PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERES COMPUESTO

1. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de:

a) 30% anual capitalizable mensualmente?

b) 16% anual capitalizable trimestralmente?

c) 2% trimestral?

d) 15% anual?

SOLUCIONESSOLUCION

Para conocer la tasa de interès por periodo se divide la tasa anual

entre la frecuencia de conversión:

a) 30% anual capitalizable mensualmente

Tasa anual = 30%

Frecuencia de conversión = 12

i=tasa de interès anualfrecuencia de conversiòn

=0 . 3012

=0 . 025

i = 2.50% mensual

b) 16% anual capitalizable trimestralmente

Tasa anual = 16%

Frecuencia de conversión = 4

i= tasa de interès anualfrecuencia de conversiòn

=0 . 164

=0 . 04

i = 4% trimestral

c) 2% trimestral

periodo = trimestre

Tasa anual = 2% x 4 = 8%

Frecuencia de conversión = 4

i=tasa de interès anualfrecuencia de conversiòn

=0 . 084

=0 . 02

i = 2% trimestral

d) 15% anual

Tasa anual = 15%

Frecuencia de conversión = 1

i= tasa de interès anualfrecuencia de conversiòn

=0 . 151

=0 .15

i = 15% anual

2. ¿Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del

problema anterior?

a) 30% anual capitalizable mensualmente?

SOLUCION

Periodo = mes

Frecuencia de conversión = 12

b) 16% anual capitalizable trimestralmente?

SOLUCION

Periodo = trimestre

Frecuencia de conversión = 4

c) 2% trimestral?

SOLUCION

Periodo = trimestre

Frecuencia de conversión = 4

4. Determine el interés que gana en un año un depósito de $1 000

en:

a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual simple.

b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple.

c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto

semestralmente.

d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible

trimestralmente.

SOLUCION

DATOS

I ?

Plazo = 1 año

C = $1,000.00

a) i = 20% anual simple

La fórmula que se utiliza es I=Cit porque pide calcular el interés

simple:

Como el plazo es 1 año, t = 1.

I=CitI=(1,000 )(0 .20)(1)I=200 .00

I = $200.00

b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple.

SOLUCION

Se utiliza la fórmula de interés simple, con

I = 10% semestral simple y t = 2 semestres:

I=CitI=(1,000 )(0 .10 )(2)I=200 .00

I = $200.00

c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto

semestralmente.

SOLUCION

Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el

resultado se resta del capital:

j = 20%

m =2

n = (1) (2) = 2 semestres

i= jm

=20%2

=10%−semestral=0 .10−semestral

M=1 , 000 (1+ i )n

M=1 , 000 (1+0 .10 )2

M=1 , 000 (1.10 )2

M=1 , 000 (1.21 )M=1 , 210 .00

I=M−CI=1 , 210. 00−1 ,000 .00

I = $210.00

d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible

trimestralmente.

SOLUCION

Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el

resultado se resta del capital:

j = 20%

m = 4

n = (1) (4) = 4 trimestres

i= jm

=20 %4

=5%−trimestral=0 . 05−trimestral

M=1 , 000 (1+ i )n

M=1 , 000 (1+0 .05 )4

M=1 , 000 (1.05 )4

M=1 , 000 (1.21550625 )M=1 , 215 .51

I=M−CI=1 , 215. 51−1 , 000 .00

I = $215.51

5. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en

una cuenta de valores que paga 15% anual convertible

mensualmente:

a) Al cabo de un año

b) Al cabo de dos años

SOLUCION

Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto:

DATOS

C = $50 000.00

j = 15%

m = 12

La tasa de interés compuesto para cada inciso es:

i= jm

=15 %12

=1.25 %_ mensual=0. 0125mensual

El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene

multiplicando el número de años por ñla frecuencia de conversión.

a) Al cabo de un año

n = 1(12) = 12 meses

M=C (1+i )n

M=50 ,000 (1+0 . 0125. )12

M=50 ,000 (1. 025 )12

M=50 ,000 (1. 160754518 )

M = $58,037.73

b) Al cabo de dos años

n = 2(12) = 24 meses

M=C (1+i )n

M=50 ,000 (1+0 . 0125. )24

M=50 ,000 (1. 0125 )12

M=50 ,000 (1. 34735105 )

M = $67,367.55

9. Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de

$300 000 si se reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es

de 0.24 anual convertible trimestralmente?

DATOS

C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco)

Tasa nominal anual = 0.24 = 24%

Plazo = 1 año

Periodo de capitalización = trimestre

Frecuencia de conversión = 4 (un año tiene 4 trimestres)

M = ?

SOLUCION

i=tasa nominal anualfrecuencia de conversión

i=0 . 244

=6% trimestral

n=(frecuencia de conversión ) ( plazo en años )n=4 (1 )=4 trimestres

M=C (1+i )n

M=300 , 000 (1+0 . 06 )4

M=300 , 000 (1 .06 )4

M=300 , 000 (1 .26247696 )

M = $378,743.09 (dinero que se le debe pagar al banco)

26. ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea

acumular un monto de $250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de

interés es de 9% convertible mensualmente?

DATOS

C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual)

M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro)

Plazo = 2 años

j = 9%

m = 12

SOLUCION

Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el

monto.

n = 2(12) = 24 meses

C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular

$250 000.00 en dos años)

27. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de

préstamo si ha firmado un documento por $650 000 que incluye

i=jm

=9%12

i=0 . 75 %=0 .0075

C=M (1+i )−n

C=250000 (1+0 .0075 )−24

C=250000 (1. 0075 )−24

C=250000 (0 .8358314 )C=208 957 .85

capital e intereses a 18% convertible trimestralmente, y tiene

vencimiento en 18 meses?

DATOS

C = ? (La cantidad que recibe en préstamo es un valor actual)

M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro)

Plazo = 18 meses

j = 18%

m = 4

SOLUCION

Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el

monto.

n = (18/12)(4) = 6 trimestres

C = $499 132.23 es la cantidad que se recibe en préstamo

30. Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que

incluye intereses a razón de 3% trimestral, y que será pagadero al

i=jm

=18%4

i=4 .50%=0.45

C=M (1+i )−n

C=650 000 (1+0 . 045 )−6

C=650 000 (1 .045 )−6

C=650 000 (0 .76789574 )C=499 132 . 229881

cabo de un año. ¿Qué cantidad puede obtenerse por él si se

descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de interés de 12%

convertible mensualmente?

DATOS

M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagaré)

i = 3% trimestral (Tasa de interés por periodo de la deuda)

plazo = 1 año (Tiempo en que se pagará la deuda)

plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se documentó la

deuda)

plazo = 12 – 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago)

j = 12%

m = 12

SOLUCION

Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4

meses después de que se firmó el pagaré.

i=jm

=12%12

i=%=0.01 n = 8 meses

C=M (1+i )−n

C=50 000 (1+0 . 01 )−8

C=50 000 (0 . 923483222 )C=46174 .161124

C = $46 174.16 (Cantidad que se puede obtener si se

descuenta)

34. Por la venta de una casa, una compañía inmobiliaria recibe un

pagaré por $140 000 con vencimiento a 5 años que devenga

intereses a razón de 10% anual convertible semestralmente. ¿Qué

cantidad recibirá la empresa si al cabo de un año descuenta el

documento en su banco y éste le cobra 16% de interés anual?

SOLUCION

El pagaré produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor

del mismo en la fecha de su vencimiento, es decir, se debe calcular el

monto con los siguientes:

DATOS

C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual)

Plazo = 5 años (tiempo en que vencerá el pagaré)

j = 10%

m = 2

M = ? (valor nominal del pagaré)

M = $228 045.25 (valor del pagaré cuando venza)

M=C (1+i )n

M=140000 (1+0 . 05 )10

M=140000 (1 .628894627 )M=228045 . 2477

Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones

del descuento que aplica el banco:

M = 228 045.25

Plazo = 4 años

j = 16%

m = 1

C = ?

C = $125 947.36 (valor que recibe la empresa un año

después)

36. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés

efectiva anual es de:

a) 10%?

b) 20%?

DATOS

Plazo = ?

C = C (el capital puede ser cualquier cantidad)

M = 2C (el monto será el doble del capital)

De la fórmula del monto a interés compuesto se despeja el plazo (n):

a) 10%?

M=C (1+i )n

2 C=C (1+0 .10 )n

2 CC

=1.10n

2=1 . 10n

log 2= log 1. 10n

log 2=n log 1. 10log 2log 1 .10

=n

n=0 .3010299950 .041392685

=7 . 272540897

C=228045 .25 (1+0.16 )−4

C=228045 .25 ( 0.552291097 )C=125947 .3615

a) 20%?

39. Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada

tasa de interés. ¿En cuánto tiempo lo triplicará?

SOLUCION

La inversión inicial puede ser cualquier cantidad, la condición es que

18 meses después será el doble de esa cantidad. Con estos datos se

calcula la tasa de interés con la que se duplica:

C = C

M = 2C

n = 18 meses

n = ?

M=C (1+i )n

2 C=C (1+0 .10 )n

2 CC

=1.10n

2=1 . 10n

log 2= log 1. 10n

log 2=n log 1. 10log 2log 1 .10

=n

n=0 .3010299950 .041392685

=7 . 272540897

n = 7.272540897 años es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 10% efectivo anual

M=C (1+i )n

2 C=C (1+0 . 20 )n

2 CC

=1.20n

2=1 . 20n

log 2= log 1. 20n

log 2=n log 1. 20log 2log 1 .20

=n

n=0 .3010299950 .079181246

=3 . 8018

n = 3.8018 años es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 20% efectivo anual

aplicando la fórmula de la tasa de interés compuesto, que se despeja

de la fórmula del monto a interés compuesto:

Despejando, tenemos:

Sustituyendo los datos, se tiene:

Para conocer el tiempo en que se triplica el capital, los datos

son:

C = C

M = 3C

i = 3.9259226% mensual

n = ?

Ahora, de la fórmula del monto a interés compuesto se despeja otra

para calcular el plazo:

M=C (1+i )n

i=n√ MC

−1

i=n√ MC

−1

i=18√2CC

−1

i=18√2−1=1 . 039259226−1i=0 . 039259226

A esta tasa se duplica el capital

n=log (M

C )log (1+i )

n=log (3C

C )log (1+0 .039259226 )

n=log (3 )log (1.039259226 )

=0 .4771212540 .016723888

n=28 .52932504n=28 .53 meses

40. Se realiza una inversión de $50 000 en un banco el día 1º de

febrero. ¿En qué fecha valdrá $55 000 si la tasa de interés es de 15%

compuesta mensualmente?

SOLUCION

La cantidad invertida de $50 000 es el capital (C) y el 1 de febrero la

fecha inicial. Los $55 000 es el monto (M)(o valor futuro de la

inversión) y se busca la fecha final. Para encontrarla, primero

calculamos el plazo de la inversión, determinando el valor de “n” a

interés compuesto:

j = 15%

m = 12

La inversión se triplica en 28.53 meses

i= jm

=15%12

i=0.0125

n=log(M

C )log (1+i )

n=log(55000

50000 )log (1+0 . 0125 )

n=log (1.1 )log (1.0125 )

=0 . 0413926850 . 005395031887

n=7 .672370808n=7 .67 mesesn=7 meses 20 díasfecha final = 21 de septiembre ( considerando tiempo aproximado )n = 7 . 67/12 x 365 = 233 días (tiempo exacto )fecha final = 22 de septiembre ( considerando tiempo exacto )

42. ¿A qué tasa de interés un capital quintuplica su valor en 10

años?

SOLUCION

El capital (C) puede ser cualquier cantidad. Si se quintuplica, el monto

(M) es 5 veces C, es decir, 5C.

DATOS

C = C

M = 5C

Plazo = 10 años

m = 1 (la frecuencia de conversión es 1, pues el plazo se expresa en

años)

n = 10 años

De la fórmula del monto a interés compuesto se despeja la tasa de

interés compuesto, se sustituyen los datos, y se resuelve:

i=n√ MC

−1

i=10√5CC

−1=i=10√5−1

i=1 .174618943−1=0 . 174618943i=17 . 4618943% anual

43. ¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20 000

que se ha incrementado a $50 000 en 3 años, si dicho interés se

capitaliza:

a) mensualmente?

b) trimestralmente?

SOLUCION

Para encontrar la tasa nominal (j) primero se calcula la tasa de interés

por periodo (i), con la fórmula que se despeja de la fórmula del monto

a interés compuesto:

DATOS

j = ?

C = $20 000

M = $50 000

Plazo = 3 años

a) mensualmente?

La frecuencia de conversión es:

m = 12 Entonces:

n = 3 años x 12 = 36 meses

i=n√ MC

−1

i=36√5000020000

−1=i=36√2. 5−1

i=1 . 025779201−1=0 . 025779201i=2 . 578% mensual ( tasa por periodo)

Ahora, calculamos la tasa nominal (j):

J = 30.94% anual convertible mensualmente

b) trimestralmente?

La frecuencia de conversión es:

m = 4 Entonces:

n = 3 años x 4 = 12 trimestres

i=n√ MC

−1

i=12√5000020000

−1= i=12√2 .5−1

i=1 . 079348438−1=0. 079348438i=7 . 9348438% trimestral (tasa por periodo )

Ahora, calculamos la tasa nominal (j):

i=jm

i (m)= jj=0. 025779201 (12 )j=0 .309350417

i=jm

i (m)= jj=0. 079348438 ( 4 )=0.317393752

j=31 .74% anual convertible trimestralmente

44. Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3

años y 9 meses. Actualmente tiene $208 862, y desea saber cuál es

la tasa de interés que ha ganado si la capitalización es trimestral.

DATOS

C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital)

M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su

depósito)

plazo = 3 años y 9 meses

j = ?

m = 4 (la frecuencia de conversión es trimestral, o sea, 4 por año)

SOLUCION

Se busca la tasa de interés por periodo y luego la tasa nominal:

n = 15 trimestres (3 años x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15

trimestres

i=n√ MC

−1

i=15√208862100000

−1=i=15√2 . 08862−1

i=1 . 050325627−1=0 .050325627i=5 . 03% trimestral ( tasa por periodo )

Ahora, calculamos la tasa nominal (j):

i=jm

i (m)= jj=0 .050325627 (4 )=0 . 201302508i = 20 .13%anual convertible trimestralmente