Problemas e ideas sobre el azar sigma 16

1. REFERENCIAS HISTORICAS ¿Cuál es el origen de la teoría de la probabilidad y del azar? Si queremos rastrear el origen de la teoría matemática de la probabilidad, encontraremos muchísimas dificultades. El tránsito del juego a la teoría se produce seguramente al buscar regularidades en determinados juegos de azar. Las pruebas más antiguas de utilización de juegos de azar aparecen en las culturas egipcia y griega. Unos XVIII siglos antes de J.C. ya se jugaba a un precioso juego llamado «perros y chacales», que consta de un tablero en el que se colocaban unos punzones con cabeza de perro o de chacal según sea el lanzamiento de unas tabas. Hace más de 4.000 años en Irak se utilizaron unos dados en forma cúbica, de cerámica, y con una ordenación de puntos algo distinta a la habitual:

Los juegos de azar desde siempre han sido muy populares, y en épocas y ocasiones perseguidos. En Roma el juego alcanzó tal importancia e incidencia en la vida social que se llegó a prohibir en determinadas ocasiones y épocas del año. En las primeras épocas del Cristianismo determinados juegos de azar fueron reprobados y censurados. El rey Luis XI de Francia, en 1255, prohíbe los juegos de azar y la fabricación de dados, e inclusive los pone al mismo nivel que la «frecuentación de tabernas y la fornicación». Curiosamente en algunas ocasiones el azar era asimilado a la voluntad de los dioses, así: «Las vacantes importantes en la jerarquía sacerdotal se adjudicaban por sorteo». Desde la antigüedad hasta el Renacimiento se juega sin interrupción a los juegos de azar (dados, tabas, astrálagos, cartas, etc.). No hay apenas manuales sobre las reglas del juego, lo que hace suponer que la gente conocía las reglas por tradición oral.

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Con la aparición de la imprenta comienzan a emerger tratados poco elaborados sobre los diferentes juegos de moda. los primeros acercamientos serios a lo que más tarde se llamaría: la Probabilidad, fueron de personajes como Tartaglia, Peverone, Galileo y G. Cardano, este último autor escribe el primer tratado —Liber de Ludo Alae— medianamente organizado, cuyo objetivo era el de calcular las diferentes posibilidades del lanzamiento de varios dados. Al carecer de una simbología adecuada Cardano tenía que recurrir constantemente a ejemplos concretos; a lo largo de todo el tratado no utiliza los teoremas de unión e intersección sino que se sirve especialmente de dos métodos: recuento de las distintas posibilidades y el concepto de ganancia media. El tratado de G. Cardano (1501-1576) no se publicó hasta 1663, aunque fue escrito alrededor de 1564.

La mayoría de los historiadores coinciden en atribuir a Blas Pascal (1623-1662) y Pierre

Fermat (1601-1665) las bases sobre las que posteriormente se asientan la teoría de la probabilidad. Pascal y Fermat se interesaron por este tema a raíz de unos problemas que les había propuesto el caballero De Méré. (A propósito de dicho caballero escribía Pascal: «Es muy inteligente, pero no es geómetra, y como sabéis, éste es un defecto muy grande, ...»). Una de las cuestiones planteadas era la siguiente: Dos jugadores deciden interrumpir el juego antes del término convenido; ¿cómo deberán repartirse las cantidades apostadas, según el progreso de la partida, para que dicho reparto sea justo?

La solución a este problema fue escrita por Blas Pascal en una carta que remitió a Pierre

Fermat el 29 de julio de 1654, dice así:


«He aquí aproximadamente como lo hago para saber el valor de cada una de las partidas cuando dos jugadores juegan, por ejemplo, en tres partidas, y cada uno ha puesto en el juego 32 monedas. Su-pongamos que el primero tenga dos y el otro una; ahora juegan una partida cuya suerte es que, si el primero la gana, gana todo el dinero que está en juego, a saber, 64 monedas; si el otro la gana, son dos partidas contra dos partidas, y por consiguiente, si quieren separarse, es preciso que retiren cada uno lo que han puesto, a saber, 32 monedas cada uno. Considerad, señor, que si gana el primero, le pertenecen 64; si pierde, le pertenecen 32. Ahora bien, si no quieren arriesgar está partida y separarse sin jugarla, el primero debe decir: "estoy seguro de tener 32 monedas, porque la pérdida misma me las da; pero para las otras 32, quizá las tendré yo, quizás las tendréis vos; el azar es igual repartamos, pues, estas 32 monedas, mitad por mitad, y me dais, además de estos las 32 monedas que me corresponden con seguridad". Tendrá, pues, 48 monedas y el otro 16».

Casi al unísono Fermat resolvió el problema por un método completamente distinto, lo cual fue para Pascal muy estimulante. «Ya ve, escribió B. Pascal, que la verdad es la misma en Toulouse que en París».

Pero veamos algunas de las cartas que se enviaron Blas Pascal y P. Fermat.

Pascal a Fermat (Martes, 27 de octubre de 1654)

«Señor, Su última carta me ha satisfecho a la perfección. Admiro su método para los lotes,

tanto más porque lo comprendo bien; es enteramente suyo, no tiene nada en común con el mío, y llega fácilmente al mismo resultado. Nuestra comprensión se ha establecido.

Pero Señor, si en esto he competido con Vd., debera buscar en otra .parte quien le siga en sus intervenciones numéricas, cuyos enunciados me ha hecho Vd. el honor de enviarme. Le confieso que esto me sobrepasa ampliamente; sólo soy capaz de admirarlas y le suplico humildemente que dedique su primer momento libre a concluirlas. Todos nuestros amigos las. vieron el sábado pasado y las apreciaron de todo corazón: no es fácil soportar la espera de cosas tan bellas y deseables. Piense pues en ello, si le place y esté Vd. seguro de que soy, etc.

PASCAL»

Fermat a Pascal (Sábado, 29 de agosto de 1654)


«Señor, 1. Nuestras espadas no dejan de cruzarse y estoy tan admirado como Vd. de que

nuestros pensamientos se ajusten tan exactamente que parece que hayan tomado una misma ruta y recorrido el mismo, camino. Sus últimos Tratados sobre el Triángulo Artimético y su aplicación son una auténtica prueba de ello; y si mis cálculos no me t gañan, su onceaba consecuencia iba en la posta de París a Toulouse mientras que mi proposición sobre los números figurados, que en efe, es la misma, iba de Toulouse a París.

No me asusta errar mientras haya encuentros como éstos, y estoy persuadido de que el verdadero medio para evitar el error es el competir con Vd. Pero `si dijera más, la cosa se convertiría en un cumplido y nosotros hemos borrado este enemigo de las conversaciones dulces y amables.

Ahora me toca a mí entregarle algunas de mis invenciones numéricas; pero el fin del parlamento aumenta mis ocupaciones y me atrevo a esperar de su bondad que me ofrecerá un respiro justo y casi necesario.

2. No obstante responderé a su cuestión de los tres jugadores que juegan dos partidas. Cuando el primero tiene una, y los otros no tienen una, su primera solución es la verdadera, y la división del dinero de hacerse en 17, 5 y 5; la razón de ello es manifiesta y se basa siempre en el mismo principio, las combinaciones muestran en primer lugar que el primero tiene a su favor 17 azares iguales, mientras que cada uno de los otros (dos) no tiene más que 5.

3. Por otra parte, no hay nada que en el porvenir no le comunique con toda franqueza. Medite entretando, si lo juzga oportuno, esta proposición:

Las potencias cuadradas de 2, aumentadas en la unidad, son siempre números primos. El cuadrado de 2, aumentado en la unidad, hace 5 que es número primo. El cuadrado del cuadrado, hace 16, que, aumentado con la unida hace 17, número

primo. El cuadrado de 16, hace 256, que, aumentado con la unidad, hace 257, número primo. El cuadrado de 256 es 65.536 que, aumentado en la unidad, es 65.537, número primo. Y así hasta el infinito. Es una propiedad de cuya verdad le respondo. La demostración es muy dificultosa y le

confieso que todavía no he podido encontrarla por completo; no le propondría buscarla si yo lo hubiera conseguido.

Esta proposición sirve para la invención de números que estén en una razón dada con sus partes alícuotas, sobre lo cual he hecho descubrimientos considerables. Hablaremos de ello en otra ocasión.

Soy, Señor, vuestro, etc. FERMAT>>


A través de esta correspondencia había nacido una nueva ciencia, que tuvo la mala suerte de coincidir en el tiempo con los «grandes descubrimientos» de la matemática. Efectivamente el siglo XVII puede considerarse el siglo de oro: Nacimiento y desarrollo del cálculo infinitesimal, teoría de la gravitación, desarrollo de la geometría analítica, etc.

En el año 1655 el joven Christian Huygens (1629-1695) entró en contacto con el círculo intelectual de Pascal, Fermat, Roberval, etc. De estas inquietudes intelectuales surgió un pequeño tratado, escrito en holandés —Van Rekeningh in Spelan van Geluk— (el cálculo en los juegos de azar), posterior-mente se hizo una versión latina (De Ratiociniis in Ludo Aleae). A lo largo del tratado se define de una manera definitiva y rigurosa el concepto de esperanza matemática.

Se puede asegurar que la tríada: Pascal, Fermat y Huygens sentaron las bases modernas de la teoría de la probabilidad, bases que fueron desarrolla-das a lo largo del siglo XVIII.

La primera contribución teórica del siglo XVIII es el «Essay d'analyse sur les jeux du hazard» de P.R. Montmort (París, 1708) que aporta numerosas precisiones teóricas del problema en cuestión. En 1713 aparece la obra de Jacques Bernouilli «Ars Conjectandi», obra póstuma, publicada por otro miembro de la familia —Nicolás Bernouilli—. Este tratado es de enorme trascendencia: contiene importantes contribuciones a todos los dominios de la teoría de las probabilidades, allí se encuentra el célebre «teorema de Bernouilli» o ley de los grandes números, que a grandes rasgos se puede enunciar así:


«Es muy poco probable que, si efectuamos un número suficiente-mente grande de experimentos, la frecuencia de un acontecimiento se aparte notablemente de su pobabilidad».

Este,teorema recibirá con Laplace (1749-1827) su forma definitiva y cuya verificación

experimental fue emprendida por G.L. Leclerc de BUFFON (1707-1788) y S.D. Poisson (1781-1840) mostrando su excepcional importancia en el terreno de las aplicaciones.

En esta pequeña historia no hay que olvidar las contribuciones del célebre británico Thomas Bayas (muerto en 1763), el cual se enfrentó con éxito al importante problema de «la probabilidad de las causas» (esto es determinar la probabilidad de las causas por los efectos observados). Para ejemplificarlo supongamos la siguiente situación:

«Tenemos dos cajas "A" y "B" que contienen bolas blancas y negras en la

siguiente proporción: En "A" hay 6 bolas blancas y 4 negras. En "B" hay 4 bolas blancas y 6 negras. Una bola es sacada al azar de un caja y es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido sacada de la caja "A"?»

Con Laplace la teoría de la probabilidad adquirió su «mayoría de edad» cobrando un

impulso que se ha ido acrecentando con el tiempo. Con 63 años


publica un enorme tratado titulado «Teoría analítica de las probabilidades». El avance de Laplace fue tan grande que prácticamente lo que quedaba por realizar eran labores de ordenación, precisión, rigor y crítica; labores que iniciaron ilustres matemáticos como Legendre (1752-1883) y Gauss (1777-1855). No hay que olvidar en este pequeño resumen, a un matemático que también aportó su granito de arena en este campo de la matemática, nos referimos al matemático de origen francés Abraham de Moivre (1667-1754), muchos historiadores le consideran el descubridor de la distribución normal. En el 1711 publicó en su tratado «Philosphical Transactions» un estudio detallado sobre las denominadas leyes del azar, siete años después amplió su trabajo e incluyó en un nuevo tratado, «Doctrine of Chances», numerosos problemas y aplicaciones sobre: dados, juegos, anualidades de vida, etc. Y por fin, en 1733, publicó en Londres un pequeño folleto en el que se incluía por vez primera la distribución normal, que con una cierta injusticia se ha llamado Curva de Gauss en lugar de Curva de Moivre.

A finales del siglo XIX el mundo de la probabilidad y del azar estaba muy abonado y gracias a personajes como Borel (1871-1956), Pearson (1857-1936), Poincaré (1854-1912), Galton (1822-1911), Markov, Tchebycheff (1821-1894) y Kolmogoroff, esta ciencia se fue consolidando de una manera definitiva.


2. PROBLEMAS QUE HAN HECHO HISTORIA

1. Dos jugadores "A" y "B", apuestan uno contra otro la misma cantidad de dinero en un juego en el que el ganador será aquel que primero gane tres partidas. Cuando el jugador "A" gana la primera partida (el "B" no ha ganado todavía ninguna) el juego se suspende, se da por terminado el juego. ¿Cómo repartirse el total del dinero, de una manera justa?

(Problema propuesto por el caballero de Meré y resuelto por Blas Pascal y Pierre Fermat)

2. Un jugador italiano propuso a Galileo Galilei el siguiente problema:

«He observado que al tirar tres dados la suma 10 aparece con más frecuencia que la 9, sin embargo, los casos favorables de suma 10 son {(1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4) y (3,3,4)} mientras que los casos favorables de suma"9 son {(1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4) y (3,3,3)} en los dos casos hay 6 eventos favorables. ¿Cómo es posible entonces que me salga más veces la suma 10 que la 9?

(Problema Propuesto a G. Galilei)

3. Si lanzamos un dado cuatro veces consecutivas. Parece que es más probable que salga un 6 que lo contrario. (Problema resuelto por Balise Pascal)

4. Si lanzamos dos dados veinticuatro veces es menos probable que salga un doble 6 que lo contrario.

(Problema resuelto por Blaise Pascal)

5. Un jugador tiene la intención de lanzar ocho veces un dado, con el objetivo de conseguir el número 1. El juego se interrumpe después de haber lanzado tres veces y no haber conseguido el 1. ¿En qué proporción ha de ser compensado el jugador?

(Problema propuesto por Blaise Pascal)

6. El científico A. de Moivre planteó el siguiente problema:

«Calcular la probabilidad de obtener un número de puntos dado al lanzar a dados que tienen cada uno "b" caras».

- (Problema propuesto por Abraham de Moivre)


7. El naturalista George L.L. Buffon decía:

«Si tenemos dividido un plano en franjas horizontales equidistantes (a una distancia "1'), sobre el que lanzamos una aguja de longitud "L" (con L<I), la probabilidad de que la aguja toque alguna de las rectas

2•L paralelas es ___ I

(Problema propuesto por G.L.L. Buffón)

8. Tenemos 100 billetes numerados del 1 al 100. Se extraen tres al azar. Calcular la probabilidad de:

a) Los tres billetes son números consecutivos. b) Hay exactamente dos consecutivos (pero no tres). c) No hay consecutivos.

(Problema propuesto por L. Euler)

9. 100 caballeros, cada uno con un sombrero, deciden ir a la ópera y al entrar dejan todos los sombreros en el guardarropa. A la salida cada uno coge al azar un sombrero. ¿Cuál es la probabilidad de que ni un sólo caballero reciba su sombrero?

(Problema propuesto por L. Euler)

10. El matemático polaco Banach llevaba siempre dos cajas de cerillas, una en cada bolsillo. Cuando necesitaba fósforos cogía al azar de una de las dos cajas. Si cada una tiene exactamente 40 cerillas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una de ellas se terminen los fósforos y en la otra figuren exactamente 20 cerillas?

(Problema propuesto por Banach)

11. Consideremos todos los números de 5 cfras; son en total cien mil (el número cero se escribirá 00000). De este montón de cifras calcular cuántos hay que tienen las cinco cifras distintas, y, posteriormente, 5, 4, 3, 2 ó 1 cifras diferentes.

(Problema propuesto por E. Borel)


3. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD

3.1. DEFINICIONES: EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL, SUCESOS, TIPOS DE SUCESOS, VERIFICACION DE UN SUCESO

Denominamos «Experimento Aleatorio» a cualquier experiencia susceptible de ser

repetida a voluntad en condiciones análogas, con la condición de que el «resultado» de la misma sea impredecible antes de cada repetición.

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio dado se denomina «Espacio Muestral» y lo designaremos por la letra E.

Un «suceso» es un subconjunto del espacio muestral, y por tanto está asociado a un experimento aleatorio.

Existen algunos sucesos especialmente importantes:

x� «Suceso Elemental» es el suceso más sencillo posible, verificando la propiedad de que en cada «prueba» debe ocurrir uno de ellos y no pueden ocurrir dos a la vez.

x� Se llama «Suceso Seguro» al que ocurre con seguridad cada vez que se repita el experimento. Por tanto, el suceso coincidirá con el espacio muestral.

x� Se llama «suceso imposible» al que no puede ocurrir nunca. Se le suele designar con la letra 0.

Se dice que un Suceso se ha «Verificado» cuando al realizar el experimento aleatorio, el resultado obtenidd es uno de los elementos de ese suceso. 3.2. OPERACIONES CON SUCESOS, ALGEBRA DE SUCESOS

Dos sucesos A y B son «iguales» cuando la ocurrencia de uno de ellos implica necesariamente la del otro. Simbólicamente se suele escribir A = B.

Un suceso A se dice que está «incluido» en otro suceso B, si la ocurrencia de A implica necesariamente la ocurrencia de B. Simbólicamente se suele escribir A c B.

En el conjunto de los sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen tres operaciones básicas, necesarias para poder avanzar en el mundo del azar.

x� SUCESO CONTRARIO. Dado un suceso A se llama «contrario de A» y se designa por A (también por Ac) al que cumple: A ocurre si y solo si no ocurre A.

x� UNION DE SUCESOS. Dados dos sucesos A y B, se llama «Unión de A y B» y se designa por AUB al suceso que se verifica cuando se verifica A, B o ambos.


x� INTERSECCION DE SUCESOS. Dados dos sucesos A y B se llama «Intersección de A y B» y se designa por AnB al suceso que se verifica cuando se verifican, simultáneamente, A y B.

Dos Sucesos A y B se llaman «Incompatibles» si no pueden ocurrir a la vez. En otras palabras si AnB = 0.

PROPIEDADES más importantes de las operaciones con sucesos:

Notas: x� Es de constatar que varias de las propiedades anteriores son interdependientes

(se pueden deducir unas de otras), lo interesante a destacar es que ocurren, y por el hecho de cumplirse tales propiedades, se dice que: «El conjunto de sucesos, asociado a un experimento aleatorio recibe el nombre de "Algebra de Sucesos" respecto a las operaciones U, n y complementario».

x� La formulación «conjuntística» muchas veces oculta con su ropaje exacto yformalista la otra visión «informal», pero no menos interesante. Así la propiedad: AUA = E se podría enunciar «Siempre ocurre un suceso o el suceso contrario». Del mismo modo; ¿cuál sería «lo contrario de ocurrir dos sucesos a la vez»?


Se llama «Espacio Completo de Sucesos» a cualquier conjunto de sucesos que verifican dos propiedades:

a) La unión de todos ellos es el suceso seguro.

b) La intersección de dos cualesquiera es el suceso imposible. 3.3. DEFINICION

AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD. PROPIEDADES.

La definición que ahora daremos se debe al matemático ruso Kolmogoroff y de una forma resumida dice lo siguiente:

Dado el espacio muestral E, asociado a un experimento aleatorio, y el álgebra de sucesos. Se dice que una función P que asocia un número a cada suceso S es una «función de probabilidad» si verifica:

[ésta es la ley de LAPLACE]

Nota: Esta última propiedad hace referencia a sucesos elementales «equiprobles». Diremos que los sucesos elementales asociados a un experimento aleatorio son «equiprobables», si su número es finito y todos tiene la misma probabilidad de ocurrir.


3.4. ASIGNACION DE PROBABILIDADES POR EL METODO DE LAPLACE

Es seguramente la primera definición conocida del concepto de probabilidad, se la denomina también la definición clásica de la probabilidad, dice:

«La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos

favorables de que ocurra el suceso A y el número de casos nnsihles»

Notas:

* Para poder aplicar esta fórmula es necesario que los sucesos elementales sean equiprobables.

* Al decir casos posibles nos estamos refiriendo a todos los resultados del experimento, es decir, a todos los elementos del espacio muestral.

3.5. LEYES DE LOS GRANDES NUMEROS. ASIGNACION DE PROBABILIDADES

En la obra póstuma de Jacques Bernouilli, Ars Conjectandi, publicada en el 1713, aparece enunciada por primera vez una ley que se ha venido en llamar: «teorema de Bernouilli» o «Ley empírica del azar» o también «primera ley de los grandes números» y que dice así:

«Es muy poco probable que, si efectuamos, un número sufi-

cientemente grande de experimentos, la frecuencia de un aconte-cimiento se aparte notablemente de su probabilidad».

[Primera ley de los grandes números]

Esta ley se puede enunciar de manera más precisa, en términos matemáticos, no obstante lo fundamental a reseñar es que se encuentra en la base de la mayoría de las aplicaciones prácticas para calcular probabilidades.

Otro enunciado equivalente es el siguiente:

«Cuando el número de realizaciones de un experimento aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa del suceso asociado se va acer-cando cada vez más y más hacia un cierto valor. Este valor se llama probabilidad del suceso».

[Primera ley de los grandes números]

Esta idea se puede transmitir de manera muy sencilla, veámoslo con un ejemplo.


Ejemplo: Lanzamos un dado 240 veces, queremos estudiar cuantas veces sale el 3. Anotamos los

resultados en la tabla...

N.° de tiradas 6 12 24 48 72 96 108 144 168 204 240

N.° veces que

l l 31 3 3 5 9 14 16 20 26 34 38

Frecuencia Relativa (experimental)

0,16 0,25 0,125 0,104 0,125 0,146 0,15 0,14 0,155 0,166 0,159

Frecuencia Relativa [Teórica] = 6 = 0,1666...

Este gráfico nos indica claramente: a) La curva [formada por trozos rectos, en este caso] se va acercando a un cierto valor. b) A medida que aumenta el número de veces que realizamos el experimento aleatorio, las

oscilaciones de la curva van siendo cada vez más suaves.

Nota: Esta ley de los grandes números está conectada con el concepto de probabilidad a posteriori, en efecto: cuando no es posible establecer la probabilidad a priori no tenemos más opción que estimar la probabilidad del suceso, estudiando el valor límite al que se acercan las frecuencias relativas. Las probabilidades obtenidas por este procedimiento se denominan proba-bilidades «a posteriori».

Relacionada con esta primera ley, hay otra manifestación que se suele conocer como la segunda ley de los grandes números, y que dice así:


«A medida que el número de realizaciones de un experimento aleatorio crece, mayor tiende a ser el valor absoluto de la diferencia entre la frecuencia absoluta experimental de un suceso y la frecuencia absoluta teórica (la esperada)».

[Segunda ley de los grandes números] En el siguiente ejemplo se puede observar claramente esta segunda ley de los grandes

números. Lanzamos una moneda al aire 1.000 veces y recogemos los resultados de las veces que ha

salido cara, en la siguiente tabla hemos ido anotando:

Número de lanzamientos 200 400 600 800 900 1.000

Frecuencia Experimental 108 214 284 380 429 477

Frecuencia Teórica 100 200 300 400 450 500

Diferencia en valor absoluto 8 14 16 20 21 23 Se observa claramente como en la última fila los números van siendo cada vez mayores, esto

es lo que dice justamente la segunda ley de los grandes números.

3.6. PROBABILIDAD CONDICIONAL. DEFINICION La probabilidad de un suceso proporciona una información sobre «el grado de posibilidad» de la

verificación de dicho suceso. Algunas veces se recibe una información adicional que modifica el conocimiento que se tiene de «ese grado de posibilidad» de verificación de dicho suceso. Esta idea tiene que ver con un concepto muy importante en probabilidad, llamado: Probabilidad condicionada. De una manera formal se define así:

«Sea A un cierto suceso de un determinado experimento aleatorio. Dado otro suceso B, del mismo experimento aleatorio, se dice que B está condicionado por A y se denota B/A al suceso que acontece cuando se presenta B, en el supuesto de que se verificaba A.

Por tanto:

3.6.1. Sucesos independientes Si A y B son dos sucesos de un mismo experimento aleatorio, se considera que son

independientes, cuando uno de ellos no tiene ninguna influencia sobre el otro. Se puede decir también: que A y B son independientes si se verifica una cualquiera de las tres

condiciones siquientes:


3.6.2. Teorema de la Multiplicación [Regla del producto]

Como consecuencia de la definición de la probabilidad condicionada, se quede proponer la siguiente igualdad:

P(AnB) = P(B/A) P(A) o también:

P(AnB) = P(A/B) P(B) Dichos resultados se les conoce como el Teorema de la Multiplicación o también la «Regla del

Producto».

3.6.3. Teorema de la Probabilidad Total Es a veces frecuente que un suceso B dependa de otros A, i=1,2, ..., n, incompatibles y tales

que unidos todos ellos dan lugar al suceso seguro ['Ni; i=1,2, ..., n, es un espacio Completo de Sucesos].

Entonces se verifica que:

Esta igualdad se suele conocer como «El teorema de la Probabilidad Total».

3.6.4. Fórmula de Bayes Si A;, i=1,2, ..., n, es un sistema completo de Sucesos y B es otro suceso, entonces:

Esta última fórmula se conoce como la Fórmula de Bayes. Se suele decir que P(A,) son las probabilidades «a priori» de los sucesos A; y P(A;/B) sus

probabilidades «a posteriori», ya que se establecen después de realizada la experimentación, representada por el acaecimiento del suceso B.

Estos conceptos de probabilidades «a priori» y «a posteriori» son muy importantes y conviene aclararlas (ver sección 3.5).

Probabilidad «a priori» es la probabilidad que se establece atendiendo a consideraciones de simetría, o regularidad de sucesos elementos.

Probabilidad «a posteriori» es la probabilidad obtenida como resultado de la observación experimental de las frecuencias relativas de aparición de dicho suelo.


3.7. PROBABILIDAD GEOMETRICA por Fernando Fouz

La probabilidad geométrica puede considerarse como un apartado de la probabilidad. Se caracteriza porque necesita la geometría plana o analítica, para realizar los cálculos de probabilidades.

Su interés es grande en cualquier momento de la instrucción matemática. En la Enseñanza Secundaria Obligatoria porque permite, a los alumnos y alumnas, conocer aspectos de las conexiones matemáticas, entre la geometría plana y la probabilidad. En el Bachillerato, porque permite recuperar y revisar ideas y conceptos de la geometría euclidiana, e introducir la conexión entre la geometría analítica y la probabilidad.

Un problema de probabilidad geométrica debe plantearse siempre, a partir de una prueba o experimento del mundo real, cuya conclusión (éxito) está relacionada con el azar, mediante un ensayo único de la prueba y, cuyos resultados, puedan ser representados por puntos de un espacio geométrico plano. Cuando esto ocurre, el espacio geométrico sustituye a la prueba real pasando, de este modo, a un experimento o ensayo matemático señalando puntos en ese espacio.

La probabilidad geométrica no está tratada con gran amplitud en los libros. De los que conocemos, suele aparecer bien en uno o dos capítulos de libros de recopilación de temas de probabilidad, o en cuadernillos. La mayoría de los problemas, para introducir el azar, recurren a situaciones de juego (dardos, tiro al blanco, etc.), a situaciones meteorológicas (rayo que cae, copos de nieve, etc.), un bombardeo, o situaciones dinámicas (desplazamientos conformes a una ecuación lineal).

A continuación vamos a plantear una serie de problemas sobre la probabilidad geométrica. 1.° Problema del bombardeo

Este problema suele tener varias formulaciones todas ellas, básicamente, sitúan un determinado espacio (cuadrado, rectángulo, etc.) en el que existen uno o varios edificios. Sobre la zona se lanza una bomba, y se fija una distancia máxima, desde cada edificio, en la que, si la bomba cae, el edificio es destruido. A partir de esa información se trata de calcular las distintas probabilidades de que se destruyan' uno, dos, ..., o ninguno de los edificios. En otros casos, en vez de bombas, se lanzan paracaidistas y los edificios se sustituyen por árboles, sobre los que no pueden caer. -

Una de las construcciones posibles es la siguiente. En un recinto cuadrado de 1 Km. de lado se encuentran cuatro edificios situados, respectivamente, en cada vértice del cuadrado. Si la bomba cae a una distancia de 1/3 de Km. de cualquier edificio, éste se destruirá. Suponiendo que la


bomba cae aleatoriamente (bombas de gravedad, no teledirigidas) dentro del recinto en cuestión. ¿Cuál es la probabilidad de que...

a) ninguno de los edificios sea destruido? b) un solo edificio sea destruido? c) más de un edificio sea destruido? d) la bomba caiga «exactamente» a una distancia de 1/4 de Km. de un edificio?

Solución: a) En este caso dibujamos el cuadrado y, desde cada vértices, trazamos cuadrantes

de circuferencia de radio 1/3 de Km. (Fig. 1). La superficie rayada (A) se corresponde con la zona de éxito, por tanto:

b) En este caso, es fácil comprobar que se trata del suceso complementario del

anterior, ya que el área del resultado favorable es la superficie no rayada de la Fig. 1, por tanto:

c) Este tercer caso es imposible ya que las zonas de destrucción de cada edificio no

se intersectan. Por tanto el área de resultado favorable es cero y la probabilidad será: Probabilidad (C) = Probabilidad de destruir más de un edificio =


d) En esta situación la probabilidad vuelve a ser cero, ya que en este caso no existe área, pues el espacio favorable es un cuadrante de circunferencia no de círculo, cuyo área, es 0 ya que se trata de una línea. En la Fig. 2 se ve un dibujo de la situación.

Esta situación se da porque el problema señala que la distancia debe ser

«exactamente de 1/4 Km.», y no la circunscribe a una superficie.

Variaciones del problema: 2.° Modificar las distancias de influencia de las bombas para que el apartado c)

sea distinto de cero. Para ello basta con aumentarla p.e.:

3.° Se parte de conocer el valor de las probabilidades y se tiene que calcular las distancias de los tres primeros casos. Se define por «x» la distancia máxima desde cada edificio para la cual se destruye. Si se fija una probabilidad de 0.9 en cada caso, ¿cuánto deberá valer «x» para que se cumpla esa probabilidad?

Respuestas: a) 0.54; b) 1.71; c) 2.

4.° Sustituir el recinto cuadrado por uno de forma de triángulo equilátero de lado 1 Km. y, el radio de acción de las bombas 1/3. La probabilidad de destruir un edificio es en este caso de 0.40.

5.° Se dibuja un cuadrado ABCD de lado unidad (Fig. 3). Sobre uno de los lados

e. AB) se elige un punto cualquiera P, y se forma un nuevo cuadrilátero trapezoidal APCD. ¿Cuál será la probabilidad que el área del trapecio sea mayor que

2/3?


Solución:

En el caso límite de que P casi coincida con A, la superficie del trapecio será casi 1/2 de la del cuadrilátero, es decir, la superficie rayada deberá ser por tanto:

Más de 2/3 — 1/2 = 1/6 del total o, lo que es lo mismo, 1/3 de la mitad del cuadrado (triángulo DBA). Como cualquier triángulo construido sobre la base AB con D, tiene siempre la misma longitud de la altura (igual a la del lado BD), se cumplirá la condición del problema siempre que:

lo cual ocurre en 2/3 de los casos en los que se mueve el punto P por el lado AB.

6.° Un rectángulo ABCD (Fig. 4), tiene la longitud de la base AB = 10 Cm. y de altura AD = 8 cm. Se elige aleatoriamente un punto «P» de su interior, formándose el triángulo ABP. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) El área del triángulo sea mayor que 20 cm'. b) El área esté comprendido entre 10 y 30 cm'.


Solución: a) Como el triángulo y rectángulo tienen la misma base, el problema se reduce a comparar

la altura del triángulo con la del rectángulo, sin olvidar el factor 1/2 que interviene en ee cálculo del

b) área (a) del triángulo.

Los problemas que vienen a continuación tiene como figura geométrica base la circunferencia. Los problemas que se pueden plantear son diversos: dianas de dardos (dando puntos a cada corona circular y calculando la probabilidad de distintas puntuaciones); elegir puntos (fijos y a distancias regulares de una circunferencia) de manera que se forman determinadas figuras o ángulos concretos. Para este último tipo de problemas, también se pueden elegir los puntos a partir de los puntos de una trama cuadrada de puntos.

7.° En una circunferencia se elige un diámetro cualquiera MN. Aleatoriamente se elige un tercer punto P, distinto de los dados inicialmente, sobre la circunferencia. ¿Cuál es la probabilidad que

a) el ángulo PNM esté comprendido entre 45° y 0° b) sea un ángulo NPM recto c) esté comprendido entre 30° y 600?

Solución: La idea geométrica básica para resolver el problema es que, todo ángulo construido con su

vértice sobre un punto de la circunferencia y secante a ella -en otros dos puntos (llamado ángulo inscrito), vale la mitad del arco que comprende. Algunas consecuencias, que de esto se derivan, son por ejemplo,


8.° Sobre una circunferencia se sitúan cuatro puntos (A, B, C, D), de forma que dividen a la circunferencia en cuatro arcos iguales. Se trata de hallar la probabilidad de que se den las siguientes situaciones.

a) Escogiendo dos puntos al azar, el segmento que los una, sea un diámetro. Sólo en dos casos es diámetro: AC o BC. Los casos posibles son las combinaciones de

cuatro elementos tomados de dos en dos, por tanto, 6

P = ? = 2/3 6 b) Lo mismo que el caso anterior pero no siendo diámetro. Es claro que

es el caso complementario del anterior, por tanto:

P = 6 = 2/3

c) Escogiendo tres puntos se forme un triángulo rectángulo. Esto ocurre

siempre, por tanto, la probabilidad será 1. Variaciones del problema anterior

9.° Se eligen seis puntos y se trata de construir, eligiendo tres al azar, un triángulo rectángulo y, luego, uno equilátero.

Solución: a) P(triáng. rectáng.) = 2/5 b) P(triáng. equil.) = 1/10

10.° Si se eligen 12 puntos, el problema se abre mucho más, ya que aparece el factor divisor 4, lo que permite la construcción de cuadrados. Dejamos el problema abierto para que se puedan elegir situaciones diversas.


13.° Este problema se conoce con el nombre del problema de la feria. Consiste en un

juego en el que se tiran monedas sobre una trama cuadrada. Si la moneda cae «exactamente» en el interior (sin tocar cualquier lado) de un cuadrado de la trama, el jugador gana. Si, por el contrario, toca a cualquier lado pierde. Lógicamente la probabilidad de ganar, dependerá del lado del cuadrado de la trama y del diámetro de las monedas. Con estos datos el problema se puede enunciar de diversas formas:

a) Fijados «m» y «r», respectivamente, como lado del cuadrado y radio de la moneda, calcular la probabilidad de ganar. Solución:

b) Suponiendo un valor para «m» o «r», y fijando la probabilidad (50%, 25%, etc.), calcular el otro valor.

c) Cuál debe ser la relación entre «m y r», para ganar o perder seguro. ¿Qué interpretación tienen los resultados?

14.° En una cinta magnetofónica de una hora de duración dos personas graban una conversación. La conversación se empieza a grabar cuando pasan 21 m., desde que la cinta se pone en marcha, durando 8 m. Cuando se quiere oír la cinta, se borran accidentalmente 15 m. de la cinta, pero no se sabe en que momento o parte de la cinta. Se trata de calcular la probabilidad de que:

a) La conversación entera se haya borrado.

b) Sólo alguna parte de ella.

c) Suponiendo que no se sabe exactamente el punto de inicio de la conversación, sólo que comenzó en algún momento después de los 21 m. calcular la probabilidad que se haya borrado enteramente.

a) Podemos recurrir a una representación gráfica:

Es importante entender por qué se han suprimido los últimos 15 m. El razonamiento lo dejamos para el lector.


b) En el segundo caso podemos realizar una construcción como la anterior sólo que, en este caso, los espacios son distintos. La solución es:

P = 23 = 0.51 45 c) Este tercer caso es más complicado, para resolverlo tenemos que introducir dos

variables: «x», que es el tiempo de comienzo del borrado e «y», que es el tiempo de comienzo de la conversación. Estos tiempos estarán acotados en una región del espacio dado por el rectángulo de la figura siguiente:

El rectángulo será de esta manera el espacio en el que sucede cualquier acontecimiento. Pero los que nos interesan son los que el problema nos pide, es decir, aquellos en los que se produce el borrado íntegro de la conversación. Por tanto debemos acotar el espacio donde esto ocurre.

Para que se borre siempre tiene que ocurrir que: x�y

y�x+7 Estas condiciones se convierten en la zona rayada de la siguiente figura:

Cuya área es aproximadamente de 192,5. Por tanto, la probabilidad será: P _ 192,5

= 0,141 1.395


BIBLIOGRAFIA (Probabilidad Geométrica)

WODWARD, ERNEST; HOEHN, LARRY: «Probability in High School Geometry», en Learning and Teaching Geometry, K-12, págs. 175-183. NCTM. 1987. Reston, VA.

DAHLKE, RICHARD; FAKLER, ROBERT: «Geometrical Probability», en Teaching Sta- tistics and Probability, págs. 143-153. NCTM. 1981. Reston, VA.

DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE, NORTH CAROLINE SCHOOL OF SCIENCE AND MATHEMATICS. «Geometry Probability»: New topics for Secondary School Mathematics, Materials and Software (contiene un diskete). NCTM. 1988. Reston, VA.

ALGUNOS PROBLEMAS DE PROBABILIDAD GEOMETRICA

1. Sobre una línea recta se seleccionan al azar dos puntos: a y b tales que: 0a-4 y 0b~3

Hallar la probabilidad de que la distancia entre a y b sea mayor que 3 unidades.

2. Dado un segmento cualquiera, lo dividimos en tres trozos, hallar la probabilidad de obtener con los tres trozos un triángulo.

3. Un tren llega a una estación en un instante al azar del intervalo (0,30 [en minutos]) parando 5 minutos. Y, a la misma estación llega un autobús al azar, de manera independiente en el mismo intervalo (0,30), parando 7 minutos. Determinar la probabilidad de que se encuentren el tren y el autobús.

4. Se lanza una moneda de 1 cm. de radio sobre un papel cuadriculado (los cuadraditos son de 2 cm. de lado).

¿Cuál es la probabilidad de que la moneda toque alguna de las líneas que forman la cuadrícula?

5. De los seis vértices de un exágono regular inscrito en una circunferencia, se eligen tres al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estos puntos formen...

a) Un triángulo equilátero b) Un triángulo rectángulo?

6. En el esquema de puntos de la figura se eligen al azar, cuatro puntos, dos puntos de la fila superior y dos de la inferior. ¿Cuál es la probabilidad de que el ciiarlrilatern rieterminarin cea


3.8. PARADOJAS PROBABILISTICAS 1) Paradoja de J. Bertrand

El matemático J. Bertrand planteó el problema siguiente:

«Dado un círculo y una cuerda sobre él, tomada al azar. ¿Cuál es la probabilidad de

que la longitud de dicha cuerda sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en el círculo?

1.« SOLUCION

Si llamamos P a uno de los extremos de la cuerda y el otro extremo (T) es elegido al azar sobre la circunferencia, para que se verifique las condiciones del problema ha de suceder: que el extre-mo T tiene que estar situado sobre el arco AB, siendo PAB el triángulo equilátero inscrito. Pero como AB=1/3 de la longitud de la circunferencia, entonces la

probabilidad pedida es igual a 1/3

2.« SOLUCION

Debido a la simetría del problema podemos razonar del siguiente modo:

ABC es el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia. M y M' son simétricos respecto a 0 (centro de la circunferencia). Además MO = MD. Para que se cumplan las condiciones del problema se ha de verificar que el punto medio de la cuerda, debe estar situado en el segmento MM'. Por tanto la probabilidad pedida es igual a.1/2


¿Estos razonamientos son correctos? Dice Jean-Louis Boursin al respecto

«Si nos preguntamos cuál de estas soluciones es la buena, res ponderemos que las tres son correctas, pero que en realidad se refiere� a tres problemas distintos; de un modo más preciso, se refieren a tre: mecanismos diferentes de intervención del azar: el enunciado del pro blema no es lo bastante explícito en cuanto a esto. Por otra parte, tic sería imposible concebir unos dispositivos experimentales para hace intervenir el azar según uno u otro de estos tres modos.

2) Dados paradójicos (Paradoja de Blyth)

La teoría de la probabilidad abunda en paradojas, que a veces ponen er un aprieto al «sentido común». Una de ellas es la siguiente:

Consideremos cuatro dados A, B, C y D marcados así:

Ahora seleccionamos dos dados y los lanzamos, quien mayor puntua. ción obtenga gana. Así, por ejemplo, si los dados son A y B, la probabilidac de que A gane a B es 2/3. De igual modo la probabilidad de que B gane a C es 2/3; la probabilidad de que C gane a D es igual a 2/3 y por último D gana a A con probabilidad 2/3. [Para calcular estos resultados se puede seguir e siguiente razonamiento, veámoslo con el último caso:


3) Paradoja de los dos perritos Una señora tenía dos perritos, una amiga le preguntó: ¿Es macho alguno de los perritos?

Sí en efecto le contestó la señora. Otro amigo le preguntó: ¿Es macho el perrito blanco? Sí en efecto le contestó la señora.

La pregunta que surge es: ¿Cuál es la probabilidad de que ambos perritos sean machos?

En el primer caso la probabilidad es igual a 1/3 mientras que en el segundo caso es igual a 1/2

¿Cómo es posible?

4) Paradoja de Simpson Algunas veces pueden suceder cosas alarmantes en probabilidad:

«Una hipótesis puede ser ratificada en varios estudios independientes, pero falseada en un estudio global».

Un ejemplo es la llamada paradoja de Simpson:

Sobre una mesa hay un sombrero blanco y otro sombrero rojo, que contienen dentro de ellos bolas, el blanco tiene 5 bolas negras y 6 bolas blancas, y el sombrero rojo contiene 3 bolas negras y 4 bolas blancas. Encima de otra mesa hay otros dos sombreros, del mismo modo: uno blanco y otro rojo, el blanco contiene 6 bolas negras y 3 blancas, y el rojo contiene 9 bolas negras y 5 bolas blancas.

Nos acercamos a la primera mesa con la intención de sacar una bola negra. ¿Debemos sacar una bola del sombrero blanco del rojo? Obviamente del

blanco, pues la probabilidad es igual a 5/11 (en el sombrero blanco) y 3/7 (en el sombrero rojo).

Ahora nos acercamos a la segunda mesa, con el mismo propósito. Nuevamente es mejor sacar una bola del sombrero blanco, pues la probabilidad

Es 6/9 (en el sombrero blanco) y 9/14 (en el sombrero rojo).Resumiendo: «En las dos mesas es más conveniente introducir la mano en el sombrero blanco para conseguir el sacar una bola negra».


Sin embargo, si juntamos las bolas que están en los sombreros blancos y hacemos lo propio con las bolas que están en los sombreros rojos, llegamos a una nueva situación:

Sombrero Blanco = {11 bolas negras y 9 bolas blancas}

Sombrero Rojo = {12 bolas negras y 9 bolas blancas}

Y en esta situación es más fácil sacar una bola negra del sombrero rojo. ¿No te parece paradójico?


5) Paradoja de San Petesburgo

Es seguramente la paradoja más famosa de la teoría de la probabilidad, propuesta por N. Bernoulli en el año 1713, posteriormente Daniel Bernoulli, sobrino de Nicolás, lo estudió ampliamente, dice así:

«Se lanza al aire una moneda hasta que salga cara. Si sale a la primera la banca

paga al jugador 1 moneda. Si sale por primera vez la cara a la segunda tirada, la banca le paga 2 monedas. Si sale por primera vez la cara a la tercera tirada, la banca le paga 4 monedas... ¿Cuál debería ser la apuesta del jugador a la banca de modo que ni el jugador ni la banca tengan ventaja de ninguna clase por más que se prolongue el juego?».

6) Paradoja de las Cajas [de J. Bertrand]

Hay 3 cajas idénticas exteriormente. La primera contiene 2 monedas de oro, la segunda 2 monedas de plata, y la tercera 1 de oro y 1 de plata. Introducimos la mano en una caja, al azar, y sacamos una moneda que resulta ser de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra moneda también sea de oro?

7) Continuación de la Paradoja de las Cajas [de J. Bertrand]

nalizando el caso anterior se puede llegar a concluir que la probabilidad Ida es igual a 1/3 Si ahora quitamos una de las dos monedas de una caja cualquiera, se

llega a la sorprendente conclusión de que la probabilidad .:buscada es 1/2 ¿Cómo es posible

que con sólo suprimir una moneda suceda ésto? ¿Quizás los razonamientos estén

equivocados?


3.9. PROBLEMAS DE CONTEO; ASIGNACION DE PROBABILIDAD; ESPACIO MUESTRAL. FUNCION DE PROBABILIDAD. ALGEBRA DE SUCESOS

1. Se extrae 1 carta de una baraja de 40 cartas. Probabilidad de que sea: a) un basto; b) un rey, c) ni basto ni rey.

2. Se extraen dos cartas de una baraja de 40 cartas. Probabilidad de que una de ellas se el As de copas, considerando: a) Se extraen a la vez. b) Se devuelve la primera carta al mazo de cartas antes de sacar la segunda.

3. Una línea de autobuses de una universidad está servida por 10 autobuses: a) Probabilidad de hacer el viaje de ida y vuelta en el mismo autobús. b) De hacerlo en distinto autobús.

4. En un grupo de 500 hombres y mujeres, unos hacen deporte y otros no, se tiene:

Eligiendo una persona al azar:

a) Probabilidad de que sea hombre. b) Probabilidad de que haga deporte. c) Probabilidad de que haga deporte y sea mujer.

5. Una espacio muestral S consta de 4 elementos {a,, a2, a3, a4}. Cuál de las siguientes funciones define un espacio de probabilidad S.

6. Un dado está trucado, de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es directamente proporcional a los números de éstas. Se pide: la probabilidad de cada una de las caras.


7. Un dado está trucado, de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es inversamente proporcional a los números de éstas. Se pide: la probabilidad de cada una de las caras.

Hallar la probabilidad de un suceso, sabiendo que la suma de su cuadrado y la del cuadrado de la

probabilidad del suceso contrario es igual a 5/8

8. En un torneo de tenis juegan 5 personas: 3 mujeres y 2 hombres. Las personas del mismo sexo tienen la misma probabilidad de ganar, pero cada hombre tiene el doble de posibilidades de ganar que una mujer. Hallar la probabilidad de que:

a) el torneo le gane una mujer b) el torneo le gana un hombre.

12. Escribir en los siguientes casos el espacio muestral. Se da la experiencia: a) Lanzamiento de una moneda. b) Lanzamiento de dos dados de distinto color.

c) En una reunión hay 4 personas, 2 no fuman. Se eligen al azar dos personas.

d) Una bolsa contiene 6 bolas numeradas del 1 al 6. Se extrae una bolsa se anota el resultado y, sin devolverla, se extrae otra bola y se anota el resultado igualmente. Si los números extraídos son x e y. Hallar el espacio muestral que verifique 2x + y < 13.

e) Lanzar una moneda y un dado. f) Extraer dos cartas de la baraja española.

g) Extraer 5 piezas de una bolsa que contiene 5 tornillos distintos y 1 clavo.


13. Tres niñas y tres niños se sientan en fila. Hallar la probabilidad de que las tres niñas se sienten juntas. Hallar la probabilidad de que los niños y las niñas estén alternados.

14. Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad de que la suma de los números sea mayor que 4.

15. Se ha comprobado que en una ciudad el 60% lee el periódico A, el 50% lee el periódico B y el 20% lee ambos periódicos.

a) Calcula la probabilidad de que elegido al azar una persona, ésta lea alguno de los dos periódicos.

b) Si hemos elegido una muestra de 500 personas. ¿Cuántos cabe esperar que lean alguno de los dos periódicos?

16. Se lanza un dado 100 veces. La tabla siguiente nos detalla la aparición de los seis números.

a) Hallar la frecuencia experimental, a partir de este experimento de que aparezca el número 3. b) ¿Cuál es la frecuencia teórica?

17. Seis matrimonios se encuentran en una reunión. a) Si se escogen 2 personas al azar. Hallar la probabilidad de que sea un matrimonio. b) Si se escogen 4 personas al azar. Hallar la probabilidad de que sean dos matrimonios.

18. Un estudiante se presenta a un examen oral habiendo estudiado 4 temas de los 8 exigidos. El examinador le propone sacar 3 temas al azar de dos maneras diferentes: sacar los tres temas a la vez o con reposición. El estudiante aprueba si conoce al menos un tema entre los tres. ¿Cuál de las dos formas le conviene? 19. Un jugador lanza 4 monedas y el otro 3. Si gana el que obtiene mayor número de caras, obtener la probabilidad que cada uno tiene de ganar.


20. Se hace al azar una permutación de los números 1,2,3, ..., n. Calcular la probabilidad de que:

a) Los números 1 y 2 aparezcan consecutivamente en dicha permutación.

b) Los números 1, 2, 3 y 4 aparezcan consecutivamente.

21. Marian y Nora son las finalistas de un torneo de ajedrez. Gana el torneo quien gane dos partidas consecutivas o tres alternativas. Hallar el espacio muestral.

22. Un aficionado al juego de la ruleta tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces a lo sumo. Cada apuesta es de 1.000 ptas. Empieza con 1.000 ptas., y deja de jugar cuando pierda las 1.000 ptas., o cuando gane 3.000 ptas. Hallar la espacio muestral.

23. Si el espacio muestral es M = {a, b, c}. ¿Cuál de las siguientes aplicaciones define un espacio de probabilidad?

24. Un alumno ha estudiado 10 de los 20 temas de que consta el programa de la asignatura. Si se eligen al azar tres temas y aprueba si contesta bien a uno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?

25. En. el experimento aleatorio de lanzar un dado, se consideran los siguientes sucesos: PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES. TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN. FORMULA DE LA PROBABILIDAD TOTAL


26. Lanzamos un dado, el resultado es impar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea el número 3? 27. Lanzamos dos dados, si la suma es 7. Hallar la probabilidad de que aparezca algún 4.

28. Se escogen al azar dos dígitos del 1 al 8. Si la suma es un múltiplo de 3. Hallar la probabilidad de que ambos sean impares.

29. Se dispone de una bolsa que contiene 5 bolas blancas y 2 bolas negras. Se extraen sucesivamente dos bolas, sin devolución. Se sabe además que la segunda bola es negra. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca?

30. Una bolsa contiene 7 bolas blancas numeradas del 1 al 7 y 14 bolas negras numeradas del 1 al 14.

Extraemos una bola y resulta ser un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?

31. El 40% de los alumnos de COU son hombres. El 30% de los hombres fuma y el 35% de las mujeres también. Elegimos una persona al azar y resulta ser fumadora. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

32. En un instituto el 27% de los estudiantes suspendieron Lengua, el 42% suspendió Matemáticas y el 10% suspendió las dos asignaturas. Se selecciona un estudiante al azar.

a) Si suspendió Lengua. ¿Cuál es la probabilidad de que también sus-pendió las Matemáticas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que suspenda una de las dos asignaturas?

33. Sean los sucesos A y B con:


35. Calcular P(B/A) en los siguientes casos: a) A está incluido en B (AcB) b) A y B son disjuntos (AnB = 0)

36. Consideremos el experimento aleatorio de sacar una carta de una baraja española. Y los siguientes sucesos:

A = «sacar una copa» B = «sacar un rey» ¿Estos sucesos son dependientes o independientes?

37. Consideremos el experimento de sacar bolas de una bolsa, que contiene 4 bolas rojas numeradas del 1 al 4 y 5 bolas negras numeradas del 1 al 5. Analicemos los siguientes sucesos:

A = «extraer una bola de color rojo» B = «extraer un número impar» ¿Serán independientes A y B?

38. Supongamos un suceso A, tal que 0 < P(A) < 1 a) ¿Serán independientes A y Á? b) Si A y B son independientes. ¿Serán independientes A y _B?

39. Se considera el experimento de lanzar una moneda 3 veces. Estudiar la independencia de los siguientes sucesos:

A = {la primera moneda sale cara} B = {la segunda moneda sale cara} C = {salen exactamente dos caras-consecutivas}

40. La probabilidad de acertar una diana, por parte de Ana, es de1/10 Por parte de Marta es de 1/5 ¿Cuál es la probabilidad de que una de las dos acierte en la diana?


41. En una urna tenemos 14 bolas, de las cuales 8 son blancas y las restantes negras. Sacamos una bola y posteriormente otra, sin reponer la primera. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean negras?

42. Dados los sucesos A, B y C demostrar que: P(AnBnC) = P(A)•P(B/A)•P(C/AnB)

(Este resultado se conoce como el teorema de la multiplicación).

43. Extraemos de una baraja española tres cartas, sin reposición. ¿Cual es la probabilidad de que la primera sea un basto y las dos restantes dos oros?

44. Lanzamos tres dados. Calcular la probabilidad de: a) Obtener tres cuatros. b) Obtener un tres, un dos y un tres (en ese orden). c) Obtener dos seises y un cinco (en ese orden).

45. Una bolsa contiene 6 bolas negras y 4 blancas. Extraemos tres bolas. Hallar la probabilidad de que sean del mismo color.

1

46. La probabilidad de que un hombre viva 15 años más es 1/4 La probabilidad de que su esposa

viva 15 años más es 1/3 Hallar la probabilidad de:

a) Ambos estén vivos dentro de 15 años. b) Al menos uno de ellos viva dentro de 15 años. c) No viva ninguno de los dos dentro de 15 años. d) Solamente viva la esposa dentro de 15 años.

47. Un proyectil da en el blanco con una probabilidad de 0,4. a) Si lanzamos 5 proyectiles, ¿cuál es la probabilidad de pegar en el blanco? b) ¿Cuántos proyectiles deberán dispararse para que haya al menos un 85% de probabilidad de pegar en el blanco?

48. En una clase del instituto hay 25 alumnos. Calcular la probabilidad de coincidir en la fecha de nacimiento (esto es, que coincidan el día de cumpleaños).

49. Una alumna de Medicina ha preparado 9 temas de los 13 de que consta el programa-de la asignatura. Se eligen al azar tres temas. Cuál es la probabilidad de que:

a) Conteste exactamente dos de los tres temas. b) Conteste dos temas bien por lo menos.


50. La probabilidad de que al llamar a la centralita de una Facultad el teléfono esté comunicando es 0,3. La probabilidad de que la telefonista nos diga que la extensión pedida comunica es 0,2. Hallar la probabilidad de que logremos comunicar con la extensión deseada.

51. Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular: a) Las probabilidades que faltan en la tabla: b) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre, sea hombre. c) La probabilidad de que una persona sea rica o mujer.

52. Un problema debe ser resuelto por tres alumnos. La probabilidad de que los resuelva el

primero es 1/2 la probabilidad de que lo resuelva el segundo

Es 1/3 el tercero 1/6 .Además, la probabilidad de que lo resuelva el segundo si se sabe que lo ha

resuelto el primero es 2/3

Probabilidad de que lo resuelvan el primero y el segundo.

a) Probar que siempre que el segundo alumno resuelve el problema también lo resuelve el primero.

b) Sabiendo que siempre que los dos primeros resuelven el problema también lo hace el

tercero, calcular la probabilidad de que los tres resuelvan el problema. PROBLEMAS RESUELTOS POR BAYES 54. En una reunión hay 150 personas; 35 son de la ciudad A y los restantes de la ciudad B. Se sabe además que en A al 30% le gusta mucho la lectura, y en B el porcentaje es del 55%. Elegimos al azar una persona, resulta que a ella le gusta mucho la lectura. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona -elegida sea de la ciudad A?


55. Hay tres urnas: Urna A: 5 bolas rojas y 3 negras Urna B: 3 bolas rojas y 6 negras Urna C: 4 bolas rojas y 7 negras Se toma una urna al azar y se saca una bola. Si su color es rojo. ¿Cuál es la probabilidad de

que provenga de la urna C?

56. En un Instituto el 4% de los chicos tienen más de 180 cm. de estatura, el porcentaje de las chicas es del 1%. Además el 58% del alumnado son mujeres. Se selecciona al azar un estudiante y es más alto que 180 cm. ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante sea mujer?

57. Se introducen al azar 4 bolas, pudiendo ser blancas y negras, en una bolsa y en proporción desconocida. Se extrae una bola y resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolsa contenga 2 bolas blancas y 2 bolas negras?

58. Tres máquinas A, B y C fabrican respectivamente el 60%, 30% y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción son respectivamente el 2%, 3% y 4%. Seleccionando un artículo al azar resultó defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo lo haya producido la máquina C.

59. En una casa hay tres llaveros A, B y C. El primero con tres llaves, el segundo con cinco llaves y el tercero con siete llaves, de las que solamente una de cada llavero abre la puerta del camarote. Si la llave escogida es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al llavero A?

60. En una población animal hay una epidemia. El 16% de los machos y el 9% de las hembras están enfermos. Hay triple número de machos que de hembras. Se elige al azar un individuo de esta población.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? b) Si está enfermo. ¿Cuál es la probabilidad de que sea macho?

61. Un ratón huye de un gato, y se encuentra con una bifurcación de caminos A, B y C, teniendo probabilidades de tomar cada uno de ellos: 0,3, 0,5 y 0,2. Además las probabilidades que tiene el gato de atrapar al ratón son:

0,4 si el ratón ha huido por A 0,6 si el ratón ha huido por B 0,1 si al ratón ha huido por C a) Calcular la probabilidad de que el gato cace el ratón. b) Sabiendo que el gato ha cazado al ratón. ¿Qué probabilidades hay de que lo haya cazado

en el camino A?


SOLUCIONES


3.10. PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD 1. En una clase el 40% aprueba filosofía y el 50% matemáticas. Además, la probabilidad de aprobar la filosofía habiendo aprobado las matemáticas es 0,8. Probar que la mitad de la clase suspende ambas asignaturas y calcular el porcentaje de alumnos que, teniendo aprobado la filosofía, aprueba también las matemáticas.

(Alicante)

2. La probabilidad de nacimientos de niños varones en España es del 51,7%. Hallar la probabilidad de que una familia de 5 hijos tenga:

a) Por lo menos una niña. b) Por lo menos un niño.

Solución a) 0,963 b) 0,974. (Extremadura)

3. El 6% de los coches de una determinada fábrica tienen defecto en el motor, el 8% tienen defecto en la carrocería y el 2% tienen defecto en ambos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un coche tenga al menos un defecto? b) ¿Y la probabilidad de que no sea defectuoso? Solución: a) 0,12 b) 0,88

(León)

4. Un examen de opción múltiple está compuesto por 8 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes, que realiza el examen, responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 5 o más preguntas? ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?

Solución: 0,027 b) (_3 )8 4

(Madrid)

5. Sean A y B dos sucesos con P(A) = 0,5; P(B) 0,3 y P(AnB) = 0,1. Calcular las probabilidades siguientes: P(A/B); P(A/AnB); P(AnB/AUB) y P(A/ AUB)

(Madrid) 6. En un grupo de 10 alumnos de un centro educativo se ha comprobado que cada uno de ellos falta a clase el 5% de los días. Calcular la probabilidad de que en un día determinado...

No se registre ninguna ausencia.

Falten a clase más de 5 alumnos.

No asista ningún alumno.

Falten a clase me s de 3 alumnos.

Solución: a) 0,952 b)m os de 0,00001 c) 0,0510 d) 0,989

(Sevilla) 7. Para efectuar una rifa se tienen dos urnas A y B, tal que cada una de ellas contiene 10 bolas numeradas del 0 al 9.


Se extrae una bola de la urna A y se eliminan de la urna B las bolas que tienen una numeración

mayor que la bola extraída de la urna A. Seguidamente se extrae una bola de la urna B.

El número ganador se obtiene poniendo en el lugar de las decenas el número de la bola extraída de la urna B yen el lugar de las unidades el número de la bola extraído de la urna A.

Hallar la probabilidad de que el número ganador sea el 48. Hallar la probabilidad

de que el número ganador sea el 17.

Solución: a) _1 b)_ 1

90 80 (Valladolid)

8. Sean A, B y C, sucesos arbitrarios de un experimento aleatorio. Expresar mediante A, B y C el suceso «ocurren exactamente dos sucesos de los A, B y C».

(Madrid)

9. Razonar la afirmación de que si la probabilidad de que ocurran dos sucesos es menor que 1/2, la suma de las probabilidades de ambos (por se- parado), no puede exceder de 3/2.

(Madrid)


10. Se lanza un dado repetidamente, y estamos interesados en el número de tiradas precisas para obtener un 6 por primera vez. Se pide:

a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el 6 se obtenga precisamente en la séptima tirada?

(Madrid) 11. Se lanzan simultáneamente tres dados. Calcular, razonadamente, la probabilidad de que el total de puntos obtenidos sea un número primo menor que 10.

(Madrid)

12. Una urna, A, contiene 6 bolas blancas y 3 negras; otra urna, B, contiene 7 bolas blancas y 2 negras. Elegimos una urna al alzar y extraemos de ella dos bolas que resultan ser blancas. halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A.

(Valladolid)

13. Sean los sucesos A y B. Conocemos las probabilidades P(A) = 2/5, P(B) = 2/5 y P(AUB) = 3/4. Determinar si son compatibles o incompatibles, dependientes o independientes.

(Madrid)

14. Una enciclopedia consta de ocho tomos, uno de los cuales es «Matemáticas». Calcular la probabilidad de que al elegir dos tomos al azar resulte elegido el tomo «Matemáticas». ¿Y si escogemos tres?

(La Laguna)

15. De una baraja de 40 cartas se toman cuatro cartas. Calcular la probabilidad de que las cuatro sean de palos diferentes.

(Zaragoza)

16. Una urna contiene 8 bolas rojas, 3 verdes y 9 azules. Si se extraen tres bolas al azar, hallar la probabilidad de que no haya ninguna bola azul. (Barcelona)

17. De un dado imperfecto se sabe que la probabilidad de obtener las disintas caras es proporcional a la mitad de los números de éstas. Hallar la )robabilidad de obtener un número par.

(Valladolid)


18. Se lanzan dos dados al azar y se suman los valores de las dos caras obtenidas. Describir los sucesos aleatorios asociados a este experimento. Calcular cual es la suma de mayor probabilidad y obtenerla.

(Barcelona)

19. En una urna hay 4 monedas de una peseta y 3 de cinco pesetas. Se sacan al azar dos monedas sucesivamente sin reemplazamiento. Se pide:

Describir el espacio ,rnuestral.

b) Calcular la probabilidad de que se obtengan 10 ptas. al sacar las dos monedas. (Granada)

20. Los alumnos de cierto instituto están repartidos de la siguiente manera: 40% en primero de BUP, 25% en segundo, 15% en tercero y el resto en COU. El porcentaje de aprobados de cada uno está en el 30% para primero, el 40% para segundo, el 60% para tercero y el 70% para COU.

Elegido al azar un alumno de este centro, se pide:

1) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado? 2) ¿Y de que sea de tercero y haya suspendido?

(La Laguna)

21. Dos profesores comparten un número de teléfono. De las llamadas que llegan, 2/5 son para A y 3/5 son para B. Sus ocupaciones docentes les alejan de este teléfono, de modo que A está fuera el 50% del tiempo y B el 25%. Calcular la probabilidad de que no esté ninguno para responder el teléfono y las probabilidades de estar presente el profesor cuando le llaman.

(Santiago de Compostela)

22. Hay 11 urnas numeradas del 2 al 12. La composición de las urnas es la siguiente:

Se tiran dos dados simultáneamente. Si la suma de puntos de-los dados es k, se hace una

extracción de la urna k. Si sale bola negra se termina el juego. Si sale bola blanca se vuelven a tirar los dados y se repite el proceso. Se pide la probabilidad de poder hacer como mínimo tres extracciones sucesivas.

(Barcelona)


3.11 COMO INTRODUCIR LA PROBABILIDAD EN BACHILLERATO por Juan Montero

Oliden 1.B. «Julio Caro Baroja» (Getxo 1)

1. Introducción - Los «porcentajes» - La Combinatoria - Fórmulas de probabilidad

Se intenta mostrar en este trabajo una de las formas en que se puede abordar el estudio de la teoría de la Probabilidad en un nivel semejante al de los actuales cursos de C.O.U.

Se da una circunstancia que habrán observado muchos profesores; ciertos problemas de probabilidad de un nivel medio de dificultad pueden ser re-sueltos por los alumnos sin gran ayuda en los primeros pasos del estudio. Los mismos alumnos tienen menos facilidad para resolverlos cuando tienen un bagaje de herramientas: álgebra de Boole, definición axiomática de la Pro-babilidad, fórmulas de probabilidad condicionada, etc.

Quizá una de las razones que explican este hecho radica en la simplicidad que técnicamente suelen tener tales problemas: basta con las herramientas de trabajo que el alumno adquiere años antes de terminar la enseñanza Primaria (porcentajes, producto de números racionales, «proporción de proporción», ...) para resolver correctamente la mayoría de los problemas, aún complicados, que se presentan en el nivel de que hablamos. Sin embargo, incluso es normal que algunos profesores sientan cierto temor a navegar por las pro-celosas aguas del mundo de la Estadística.

Señalemos algunas posibles causas de esta aparente contradicción: • Uno de los «vicios» que suelen arrastrar los alumnos es el empleo de la famosa «regla de

tres» que, a mi juicio, debería quedar desterrada de los estudios (cuando menos, al final de la Primaria). Creo que es una de las razones de que compliquen las cosas en cuanto se habla de «porcentajes», siendo así que es más simple y sobre todo productivo hablar de «composición de una mezcla», que del número de litros de cada componente. El bagaje de conocimientos sobre el tema debe reducirse a cosas tan simples como:

— Los 3/5 de una cantidad 'a' son 3/5 • a. — El 25% de una cantidad es

25/100 = 1/4 de la misma. — Una cantidad parcial de 30 representa frente al total de 600 una pro-porción de 30/600 =

1/20 = 0,05 = 5/100 = un 5% de la misma.

— Si el precio de A supera un 35% al de B, se tiene PA = 1,35 • PB.

— 1/25 de «algo» es 1/25 = 4/100 = el 4% de él.


—Si mezclo leche con una pureza de un 60% con otra de un 80% en la misma proporción, la pureza de la mezcla será 1/2 • 0,6 + 1/2 • 0,8 = 1/2 • (0,6 + 0,8) = 0,7 = 70/100 = 70%.

Si en la mezcla anterior pongo el doble de la más pura, la pureza de la nueva composición será: 1/3 • 0,6 + 2/3 • 0,8 = 1/3 • (0,6 + 1,6) = 1/3 • 22/10 = 22/30 = 11/15 (11 partes de cada 15 de leche pura), o 22/30

7,333/10 = 73,33/100 = 73,33%. Otro obstáculo de más entidad se refiere al marasmo de fórmulas de combinatoria con que

se suele obsequiar al alumno como aperitivo de la probabilidad. Tal como señalaba respecto a la «regla tres», creo que todos los conocimientos de combinatoria que se deben exigir a un aspirante a uni versitario, y con más razón a quien tiene otros objetivos, se deben reducir a unos pocos aspectos:

con ello cualesquiera interesantes ejercicios que se quieran realizar sobre las propiedades del «triángulo de Tartaglia», etc.; me limito a considerar aquellos conocimientos que creo necesarios para la resolución de problemas de pro babilidad).

Una cierta destreza para «contar fichas» del tipo:

sabiendo que las casillas se pueden rellenar con un cierto número de elementos que constituyen un resultado «parcial» de cierto hecho global que se está estudiando, tales como los resultados posibles al lanzar un dado si se considera el lanzamiento de 5 dados, o los códigos de los destinatarios reales de cada carta que porta un «mensajero», representando las casillas los buzones de los destinatarios.

En algunos otros casos, cuando no exista una «simetría» completa de los datos a contar, puede ser un buen recurso el empleo de los «diagramas de árbol», tal cómo puede ocurrir en el problema anterior de las cartas si queremos averiguar, por ejemplo, de cuántas formas se pueden repartir sin que ninguna llegue a su destino correcto. Aún en este caso, conviene buscar una forma de «agrupar» los resultados de modo que no sea preciso más que el desarrollo de algunos subloques del diagrama.

Por último, se puede hacer una observación general sobre las fórmulas de los conjuntos de sucesos y de la teoría de la Probabilidad: en el nivel al que nos referimos, la utilización de las fórmulas indicadas con un cierto grado de formalización, se puede considerar, en todo caso, como un objetivo a conseguir al final del período de trabajo, favorecido precisamente por la re- solución de divérsos problemas de probabilidad; seguramente es un error, por ser muy pocos los alumnos capaces de ello, el pretender que utilicen las fórmulas de combinatoria, de las álgebras de Boole y de la teoría de la Probabilidad como herramienta de trabajo. Parece más razonable favorecer de un modo especial en este tema el desarrollo de esa gran capacidad que es el sentido común, haciendo uso tan sólo de las técnicas básicas de cálculo que aprendieron hace ya unos cuantos años.


Pasamos ya a enunciar algunos problemas que pueden ser resueltos con ayuda mínima por cualquier alumno medio sin haber oído hablar nunca antes de combinatoria ni de probabilidad, haciendo hincapié en la traducción de las fórmulas de cálculo al lenguaje formal. Debemos señalar que los problemas enunciados son completamente habituales, y resultarán conocidos para el lector. No se trata en este caso de buscar ejercicios con ninguna característica especial, salvo la de poder servir como breve ilustración de la variedad de cuestiones que pueden abordarse con conocimientos mínimos de probabilidad, y de las diversas técnicas de trabajo que pueden emplearse para resolverlas.

2. Enunciado de algunos problemas introductorios

1) Los bidones Se rellena una garrafa de aceite, tomando un tercio del primer bidón, y dos tercios del segundo. ¿Cuál es la composición de la garrafa? Si su capacidad es de 500 litros. ¿Qué cantidad de aceite de oliva y de girasol tendremos? Nota. El contenido de bidones y garrafa es una «mezcla», que se supone homogénea.

Los números indican la probabilidad que tiene el ratón de tomar cada camino, una vez situado en la bifurcación previa, debido a las dificultades del mismo. ¿Cuántos ra-tones conseguirán saciar su apetito?

El artilugio gira. Al detenerse se introduce la mano y se extrae una bola, que puede ser oscura (negra) o clara (blanca). ¿Qué probabili-dad hay de extraer oscura? ¿Y clara? Nota. Hay dos cavidades incomunicables: las bolas no pueden cambiar de cavidad.


4) Las aficiones

El Aula de Cultura de cierto Ayuntamiento decide realizar una encuesta para conocer las aficiones de sus vecinos. Entre otros datos resulta: el 60% de ellos van al cine con cierta regularidad; tan sólo el 30% de los ciudadanos leen un libro de vez en cuando, y hay un 21% que suelen hacer ambas cosas. ¿Son posibles estos datos, A partir de los datos anteriores obtener algunos otros datos numéricos relativos a las dos aficiones reseñadas. ¿Se puede afirmar que en ese municipio la/lectura y el cine son aficiones «independientes»?

5) El cartero Un cartero de una pequeña zona rural hace todos los días un recorrido para entregar cuatro

cartas con destinos fijos. Si las entrega al azar (pero una por destinatario) ¿cuántos días llegará a su destino al menos una de las cartas?

6) El torneo Popov y Filipov juegan un torneo que ganará el primero que venza cinco partidas. Ayer se jugó

la primera, que ganó Filipov. Si ambos son igual de hábiles en el juego del ajedrez, ¿qué probabilidad tiene cada uno de ganar el torneo? (Se excluyen las «tablas» para facilitar las cosas). 3. Hacia un lenguaje probabilístico

3.1. Analogías de cálculo

En el problema los bidones conviene sustituir el esquema gráfico inicial por los siguientes, que apuntan más claramente la solución:

lo que nos permite, además, introducir naturalmente los conceptos de suceso, suceso contrario, intersección de suceso, y sobre todo, el de espacio completo de sucesos asociado a dos sucesos cualesquiera que puedan ocurrir en un experimento.

Examinemos ahora la solución de los tres primeros problemas que, como se indicó, puede ser

obtenida sin mayor dificultad por los alumnos:


La completa analogía de los cálculos sugiere dos temas de trabajo. Por una parte, la

búsqueda de un lenguaje común a los ejemplos estudiados y a otros similares; y por otro, precisar lo mejor que se pueda el concepto utilizado al escribir 'P( ---)' (el concepto de probabilidad).

3.2. Aspectos básicos en un problema de probabilidad

En los problemas de probabilidad se pueden distinguir siempre los siguientes aspectos:

— Se habla de un «experimento aleatorio» (debe poder repetirse en condiciones idénticas, siendo impredecible el resultado antes de cada re-petición).

— Existe el «espacio muestral», conjunto de los resultados más sencillos que son posibles cada vez que se realiza el experimento (en algunos

casos puede ser irrelevante la consideración del mismo, como ocurre en el primer problema).


— En cada problema se estudia un aspecto concreto del experimento. Su descripción se realiza en base a la consideración de ciertos sucesos (circunstancias que pueden ocurrir o no en cada realización de la experiencia), y resulta crucial la consideración del «espacio completo de sucesos» obtenido al clasificar el espacio muestral en una serie de sucesos derivados de los anteriores, antendiendo a las distintas modalidades o valores que se pu den dar en la experiencia que se estudia.

— El problema consiste el cálculo de las «probabilidades» de algunos de los sucesos asociados a la experiencia. Dependiendo de lo que interese en cada situación concreta, podemos interpretar de diversas formas el término de probabilidad de un suceso determinado: � Proporción de sucesos elementales que lo componen.

� Frecuencia teórica de ocurrencia del suceso, es decir la proporción de veces en que cabe esperar que ocurra el suceso al repetir un gran número de veces la experiencia.

� Interpretación conjuntista, válida para cualquiera de las interpretaciones anteriores, donde cada suceso es un conjunto de puntos de plano incluido en otro cuya área es una unidad; el área del mismo coincide con su probabilidad.

Por ejemplo, se tiene:


3.3. Suma y producto de probabilidades. La probabilidad condicionada

En los cálculos antes reseñados aparece la suma de dos productos. Se deben señalar aquí dos procesos que aparecen habitualmente en el cálculo de la probabilidad de un suceso: en primer lugar si un suceso puede ocurrir de varias formas se debe descomponer el mismo en otros sucesos más sencillos. En lenguaje de sucesos, se expresa un suceso como unión de varios sucesos incompatibles, lo que se traduce en términos probabilísticos a calcular su probabilidad como suma de las probalidades de los otros.

Por otra parte, si un suceso es compuesto, esto es, hace falta que ocurran varios otros para que ocurra él, se puede considerar el suceso como intersección de otros, lo que en términos de probabilidad equivale a un producto de probabilidades. Examinemos esto último con más detalle, utilizando las interpretaciones de probabilidad señaladas más arriba:

Si queremos calcular la proporción de ratones que llegarán al queso «superior», debemos aplicar dos «filtros» (proporción de proporción): 2/5 de la población de ratones que realicen la experiencia pasará por el camino izquierdo y, de ellos, 1/3 llegarán al queso. (Razonamientos similares en los otros problemas). Es así razonable designar el suceso: «ratones que se comen el queso superior» mediante las dos notaciones: 'no, que se refieren al mismo suceso pero referido a distinto espacio muestral, en el primer caso a todos los ratones que realizan la experiencia, en el segundo tan sólo a aquellos que han tomado el camino izquierdo en la primera bifurcación. La traducción a probabilidades es inmediata: se tiene (D(InQ) = P(I)•P(Q/I), o si se quiere: P(Q/l) = P(InQ)/P(1), lo que además justifica la notación '/' empleada, así como los nombres de Q/l: suceso Q «condicionado» a 1, y P(Q/I): probabilidad de Q condicionada a 1.

Aparecen así de un modo natural fórmulas como las siguientes, que el alumno debe saber escribir a partir del enunciado en lenguaje más o menos coloquial de algunas relaciones observadas en el estudio de un experimento:

Q = (Qnl) u (Qnl) P(Q) = P(Qnl) + Non') P(Q) = P(I)•P(Q/I) + P(1)•P(Q/Í)

4. Otros aspectos de la probabilidad

4.1. El problema «las aficiones»

La identificación de experimento, espacio muestral, sucesos básicos (Cine y Lectura), así como el espacio completo de sucesos asociado, tienen correspondencia completa con la realizada en los problemas anteriores. La diferencia básica reside entre los datos iniciales en un caso y otro, así como en el tipo de cuestiones que pueden tener interés, debido al significado concreto del enunciado:


A la hora de plantear cuestiones a resolver hay dos tipos bien diferentes: a) Aquellas que se pueden contestar utilizando simplemente sumas y resta, pues se reducen a

establecer próbabilidades para los distintos conjuntos que se obtienen al unir los del espacio completo de sucesos: {CnL, CnL, CnL, CfL} (seguramente en este problema está especialmente indicado el esquema conjuntista para identificar los nombres de los sucesos anteriores, así como las cuestiones a plantear):

¿Cuántos tienen alguna afición? ¿Cuántos no tienen ninguna? ¿Y leen pero no van al cine? ¿Y ven cine pero no leen?

b) Por otra están aquellas otras que implican la consideración de un mismo suceso con distintos referentes. Es un buen momento para introducir el concepto de «sucesos dependientes e independientes». Por ejemplo: la afición de la lectura es mayor en todo el municipio o entre aquellos que van al cine? Se puede insistir en la equivalencia, como «conjuntos» de los sucesos CnL y UC, yen que sus probabilidades nos indican el «peso» del suceso respecto al conjunto de la población o a un segmento de la misma.

4.2. La regla de Laplace - Técnicas de recuento

Tomemos ahora el problema de «El cartero». Conviene resolverlo primero para tres cartas, aunque aquí nos limitamos al de cuatro. Nos encontramos con un problema puro de clasificación del espacio muestral (conjunto de repartos posibles, sean 'n'), para determinar el espacio completo de sucesos, donde cada suceso estará constituido por aquellos repartos con un número definido de cartas entregadas correctamente. Supuesto que todos los repartos son igualmente probables, la probabilidad de cada uno de ellos será 1/n, y para los diferentes sucesos se podrá aplicar la «fórmula de Laplace». Más que ante un problema de probabilidad, nos encontramos ante uno de «conteo»; se trata sobre todo de desarrollar destrezas con esta finalidad. Veamos:

N.° de casos-posibles:

Si las casillas representan buzones en el orden de reparto, es obvio que e número de repartos distintos es 4.3.2.1 = 4! = 24.


Clasificación de los mismos a efectos de poder resolver cualquier problema relativo al número de aciertos (se asignan números a las cartas según cuál sea su destinatario):-

Como criterios de clasificación se han seguido los siguientes:

�En primer lugar, según el número de aciertos (cartas entregadas a su destinatario). No hay aquí ninguna «simetría» aparente entre los distintos casos. Hay que elaborar cada uno.

�Una vez fijado el número de aciertos, se eligen de todas las formas posibles los destinatarios que recibirán carta correcta (es un problema elemental de números combinatorios). Sí tenemos ahora una simplificación. Bastará con construir los repartos que corresponden a una de las elecciones y luego multiplicar por el número de las mismas.

�Por último, hemos recurrido, en el caso de 0 aciertos, para simplificar el recuento, a agrupar los repartos según cuál sea la carta que llega al primer buzónn (la 2, la 3 ó la 4), construyendo hasta el final todos los posibles repartos que corresponden a uno de los casos.

4.3. Las probabilidades «compuestas»

Por último, tratemos «El torneo». De nuevo nos encontramos con un problema de clasificación, aunque con más probabilidades que el anterior de ser sistematizado. Esto último se basa en la posibilidad de representar cada posible desarrollo del torneo en la forma (-, -, .., -), donde cada elemento ha de ser sustituido por F o P (según quién gane la partida correspondiente). Es claro que además, el que gane la última partida debe ser el que gane el torneo.

Aquí el espacio completo de sucesos que se considera se reduce a dos sucesos contrarios: ganar el torneo Filipov o ganarlo Popov.


Conviene otra vez plantearse primero problemas algo más sencillos, a fin de perfilar alguna estrategia válida de clasificación.

—Supongamos que el torneo se lo adjudica el primero que gane tres partidas: mediante un diagrama en árbol representamos fácilmente los posibles desarrollos del torneo (señalemos que a Filipov le vale con ganar dos partidas, y que la última partida será siempre ganada por el que se lleve a casa el título):

Vemos que el espacio muestral está formado por 10 posibles desarrollos del torneo, de los que 6 corresponden a triunfo de Filipov. Sin embargo, no es válida aquí la fórmula de Laplace, puesto que los su-cesos elementales no son equiprobables.

Examinemos con algo más de detalle esta afirmación:

Tomemos, por ejemplo, el suceso S = (F, F). Es claro que siendo igual de hábiles ambos contendientes la frecuencia teórica de ocurrencia será 1/2 • 1/ 2 (en la mitad de los torneos ganaría Filipov la primera partida, y en la mitad de ellos ganaría también la segunda). Tenemos aquí dos aspectos que con-viene señalar:

a) La probabilidad de que el torneo se desarrolle de una forma determinada no depende del número de torneos posibles, sino del número de partidas necesarias para ese desarrollo.

b) Y lo que es más importante y general: la expresión de un suceso de modo semejante al anterior (suceso compuesto), no es más que un modo más sencillo de escribir una intersección:

S = (F, F) = S,nS2, siendo S, = (F, ...) el suceso «Filipov gana la primera partida del torneo», y S2 = (-, F, ...) el suceso «Filipov gana la segunda partida del torneo». Se aplica aquí la regla del producto de probabilidades (proporción de proporción): P(S,fS2) = P(S1)•P(S2/S1) = P(S,)•P(S2), siendo cierta la última igualdad por el hecho de ser S, y S2 sucesos independientes. (Menudo lío si se supone que no lo son).

Se tiene: P(ganar Filipov) = P(F,F) + P(F,P,F) + ... = 1/4 + 1/8 + ... = 11/ 16 = 68,75%

— Pasemos ya a estudiar el torneo inical (gana el primero que gane cinco partidas). - - Cada uno de los sucesos básicos (gana el torneo Filipov o lo gana Popov) se descompone en

otros según el número de partidas qu dure el torneo, o que


gana el que pierde el torneo; esta clasificación es lógica y queda claramente sugerida en la discusión anterior, así como por la previsible complejidad que adquiriría el árbol en este caso. Por ejemplo la probabilidad del suceso «gana Filipov» se puede expresar en la forma:

P(gana el torneo Filipov) = P(Popov gana 0 partidas) + P(Popov gana 1 partida) + ... + (Popov gana 4 partidas) =

Queda clara la ventaja que da ganar la primera partida!

Terminemos analizando, de forma semejante al caso de las cartas, los criterios de clasificación del suceso base que se han seguido para llegar a la solución:

* En primer lugar, como ya queda dicho, se descompone el suceso «ganar Filipov» en otra serie de sucesos caracterizados por el número de partidas que gana Popov al finalizar.

* Cada uno de estos sucesos se compone de una serie de sucesos ele-mentales (posibles desarrollos de una partida) que: a) tienen la misma probabilidad, por tener el mismo número de partidas, y b) el número de tales sucesos es la solución de un problema elemental de combinatoria: el número de posibles selecciones de los lugares donde se colocan las partidas que gana Popov (excluyendo la última, que debe ganarla Filipov).

4.4. Elección entre la «fórmula de Laplace» o la probabilidad producto En muchos problemas cabe la posibilidad de elegir como método de trabajo entre ambas

opciones. Creo dos cosas: que existe una injustificada tradición en la enseñanza de elegir el primero de los métodos, y que habitual-mente resulta más ventajoso y menos «peligroso» para el alumno (en cuanto a la creación de «vicios» se refiere) la elección del segundo. Ello es debido al menos a dos razones. En primer lugar, la mayoría de los problemas que admiten desarrollo mediante recuento de casos posibles (número de sucesos elementales) y favorables (número de sucesos elementales que componen el suceso que se estudia), admiten otro paralelo y algo más simple a veces, con el método de la probabilidad condicionada. Y además, hay ocasiones en las que es incorrecto el uso del método de recuento por no ser equiprobables los sucesos elementales, lo que no siempre es algo fácil de ver. Veamos algunos ejemplos entre los muchos que sería fácil exponer:


— Uno sencillo lo tenemos en el problema «El Lingo». El espacio muestral sería la unión de conjuntos {(A,-)} U {(A,-)}, donde el primer guión puede ser sustituido por números del 1 al 9, y el segundo por números del 1 al 7, lo que nos da un total de 16 sucesos elementales. Sin embargo, no son equiprobables, pues el conjunto de los 9 primeros tiene la misma probabilidad de ocurrir que el de los 7 últimos, así que la probabilidad de extraer una bola concreta de la primera cavidad es de 1/2.1/9, y no 1/16. Tal como vimos, toda esta problemática desaparece abordando directamente el estudio desde la otra perspectiva.

—Cualquier problema de lanzamiento con dados, tan sólo puede ser re-suelto por la fórmula de Laplace si se supone que al lanzar un dado las seis caras son equiprobables. Sin embargo, un cambio mínimo en los cálculos, les permite seguir siendo válidos con el otro planteamiento.

5. Conclusión

Poco que decir. La probabilidad es difícil para el alumno. Quizá de todas las materias que se ven en las Matemáticas de Secundaria es aquélla que requiere con más fuerza el desarrollo de «técnicas de trabajo», y bien diversas, más que la aplicación de «mecánicas de cálculo».

Así que los profesores debemos procurar no complicar las cosas forzando el empleo de un recetario de fórmulas que por sí mismas no dicen nada ni ayudan al planteamiento de los problemas, y buscar, como siempre, los campos de trabajo más atractivos para el alumno pero sin olvidar que de forma especial en este terreno podemos ayudar a desarrollar ese sentido práctico y a la vez profundo que bucea directamente en el núcleo de cada nuevo problema para buscar la solución por el método más rápido, potente y fácil de generalizar.


AZAR: ERRORES, INTUICIONES Y APRENDIZAJE por Félix Alayo

Entre los años 1978 y 1981 David R. Creen (1) realizó el que probablemente sea el mayor estudio realizado hasta la fecha sobre las ideas de los adolescentes sobre la probabilidad. Para ello pasó a 3.000 alumnos ingleses de 11 a 16 años un test cuyos resultados son realmente impactantes. Así nos lo parecieron a quienes en el curso 89-90 (2) trabajábamos en Bilbao en un seminario sobre azar y probabilidad en la etapa 12-16. Sin dudar de la corrección del test, lo cierto es que algunos de esos resultados eran tan sorprendentes que surgieron dudas sobre si nuestros alumnos cometerían los mismos errores y con la misma frecuencia. Decidimos, por lo tanto, pasar el test a unos 300 alumnos de 1.° y 2.° ,de BUP, FP y REM de los cuatro centros en los que trabajábamos. No creo necesario decir que, efectivamente, los resultados fueron muy similares. Estas son algunas de las dificultades de nuestros alumnos: EL LENGUAJE DEL AZAR

Existe una gran confusión entre términos relacionados con el azar y la probabilidad:

«A continuación tienes cinco frases: 1. No puede suceder

2 No sucede muy a menudo 3. Sucede bastante a menudo 4. Sucede casi siempre 5. Sucede siempre

Coloca al lado de las siguientes palabras el número de la frase que tenga el mismo significado. Puedes repetir los números:

A. Muy probable B. Improbable C. Probable D. No muy probable».

Un 33% de nuestros alumnos identificaba «muy probable» con «sucede siempre» y un 81% «improbable» con «no puede suceder». En el lenguaje

(1) David R. Green. »Probability concepts in 11-16 year old pupils». (2) F. Alayo, A. Arregui, B. Arrien, C. Baquerizo, M. Múgica, F. Porra, I. Redondo. -Un test de probabilidad». Sigma n.° 6. Marzo 90.


coloquial los términos posible y probable se utilizan con frecuencia de forma indistinta y expresiones como «es muy posible», «poco posible», «bastante posible», «posiblemente» son de uso común. Hasta tal punto son comunes que por ejemplo el «Diccionario ideológico de la lengua castellana» de Julio Casares recoge estas acepciones:

* Posibilidad: calidad de posible / aquello que hace que una cosa sea posible / probabilidad / ...

* Imposible: no posible / sumamente difícil ...

Esta ambigüedad, si bien no representa ningún problema en la vida diaria, puede ser origen de algunas dificultades en matemáticas donde se exige un uso muy preciso del lenguaje.

ASIGNACION DE PROBABILIDAD EN CASOS ELEMENTALES

«En una clase hay 13 chicos y 16 chicas. Se escribe el nombre de cada uno en un trozo de papel y luego se recoge uno sin mirar. ¿Qué es más probable?

A. Que salga el nombre de un chico B. Que salga el nombre de una chica C. Son igual de probables D. No lo sé».

Tan sólo un 73%-53% (*) considera más probable obtener un nombre de chica. En 25%-42% prescinde del diferente número de chicos y chicas de la clase y considera que son igual de probables.

«¿Qué número es más difícil de obtener al lanzar un dado?».

El 67%-75% considera que todos son igual de difíciles, mientras que el resto muestra una tendencia a considerar el 6, el 1 y el 5 como más difíciles que los demás. Parece razonable buscar la razón a esta tendencia en la experiencia en juegos como el parchís o los dados en los que el jugador desea o necesita un resultado concreto, resultado que sólo se obtiene en 1/6 de los casos y que por lo tanto resulta difícil de obtener. Al ser preguntado por los resultados difíciles, uno hace un rápido balance mental de su experiencia y encuentra que lo que le ha sido difícil en general es conseguir un 6, un 1 o un 5, los resultados que con más frecuencia esperamos. No hay que descartar interpretaciones erróneas de la pregunta o esa visión pesimista de la existencia de quienes opinan que «el que quieres que salga es el número más difícil».

(*) Salvo indicación expresa, el primer dato corresponde a los resultados obtenidos en Bilbao y el segundo a los obtenidos por D.R. Green.


PROPORCIONALIDAD

a) La bolsa A tiene 3 bolas negras y 1 blanca. A

b) La bolsa B tiene 2 bolas negras y 1 blanca. B

Para ganar un premio, hay que sacar (sin mirar) una bola negra de una de las dos bolsas. ¿Con qué bolsas es más fácil ganar?

A. Con la bolsa A B. Con la bolsa B C. Con las dos igual D. No lo sé

b) La bolsa C contiene 5 bolas negras y 2 blancas.

La bolsa D contiene 5 bolas negras y 3 blancas.

¿De cuál es más probable extraer una bola negra? A. De la bolsa C B. De la bolsa D C. De las dos igual D. No lo sé

d) Otras dos bolsas con bolas blancas y negras. La bolsa G tiene 12 negras y 4 blancas. La bolsa H tiene 20 negras y 10 blancas. ¿Qué bolsa ofrece más posibilidades de extraer una bola negra?

A. La bolsa G B. La bolsa H C. La dos igual D. No lo sé

d) Otras dos bolsas:

La bolsa J tiene 3 bolas negras y 1 blanca. La bolsa K tiene 6 bolas negras y 2 blancas.

¿De qué bolsa es más fácil sacar Una bola negra? A. De la bolsa J B. De la bolsa K C. De las dos,igual D. No lo sé

Mientras resultan válidas las estrategias de recuento, los porcentajes de acierto son elevados: * En la bolsa A hay más bolas negras que en la B (84-88% de acierto). * En la bolsa C hay menos bolas blancas que en la D (75-67%).


Los porcentajes se reducen drásticamente cuando es necesario poner en juego un modelo de proporcionalidad:

* La proporción de bolas negras es mayor en G que en H (57-57%), y es la misma en J que en K (37-33%).

La idea de proporcionalidad, fundamental para el desarrollo de los conceptos básicos de probabilidad (y no sólo de ella; en aritmética, álgegra o geometría es también un elemento clave), no parece que sea bien comprendida por muchos alumnos y habrá que prestarle una especial atención en el diseño de la instrucción. -


En el primer caso, sólo 50-52% considera que es igual de fácil en ambas ruletas. En el segundo, el 57-56% elige el disco azul. Estas elecciones exigen un razonamiento basado en áreas. El resto de los alumnos buscan su respuesta recontando el número de regiones en que aparecen el 1 y el 2, o bien estudiando la conveniencia de que las regiones sean o no contiguas...

Supongamos que dejamos caer muchas canicas por los canales del dibujo. Describe lo que crees que ocurrirá:

Las respuestas correctas oscilan entre el 47-42% del apartado (b) hasta el 61-67% del (c). La situación, muy fuertemente emparentada con los diagramas en árbol, parece ser muy poco comprendida, llegando a una situación extrema en la siguiente pregunta del test, que sólo es contestada correctamente por el 1-7% de los encuestados.

Se pone un robot en un laberinto. En cada bifurcación es igual de probable que el robot vaya por un camino o por otro. Al final de cada camino hay una trampa. ¿En cuál de las trampas es más probable que acabe el robot, o son todas igual de probables?


Resulta difícil definir las razones de este fracaso. En cualquier caso se aprecia una tendencia a pensar que las canicas tenderán a irse hacia los canales del extremo en (a) y a considerar determinante (en uno u otro sentido) la falta de simetría en (b). A algunos alumnos les resulta muy difícil sustraerse al detalle de la situación ,y razonan que si en la primera bifurcación una bola se va hacia la derecha, tras el tramo inclinado rebotará en la pared opuesta y será más fácil que en la siguiente bifurcación vaya hacia la izquierda. Otros por su parte, tienen dificultades para contemplar un modelo teórico; consideran las canicas de una en una y concluyen que no se puede saber lo que ocurrirá, puesto que cada una puede hacer cosas diferentes. En el caso del robot, la opinión mayoritaria (61-60%) dice que todas las trampas son igual de probables, mientras un 20% opina que el robot continuará su camino hasta las trampas más alejadas (5 a 8).

REGULARIDADES E INDEPENDENCIA

Un fuerte núcleo de dificultades en el estudio de lo aleatorio está relacionado con la tendencia a observar pautas o regularidades en lo aleatorio:

El suelo de un patio tiene 16 secciones cuadradas. Comienza a nevar. Al principio sólo caen unos pocos de nieve; después de un rato han caído más.

¿Cuál de estos conjuntos de dibujos muestra mejor lo que esperarías ver?

A. El conjunto A B. El conjunto B C. El conjunto C D. Los conjuntos B y C E. Todos son igual de probables.


Sólo un 10-23% elige correctamente el conjunto C. Los demás se mueven entre dos tendencias extremas:

* Aquellos (24-12%) que optan por el conjunto A, asignando al suceso aleatorio unas regularidades y una simetría tales que le niegan precisamente su carácter de aleatorio, el carácter independiente de cada ensayo.

* Aquellos otros (26-29%) que llevan al extremo la independencia de los sucesos, deciden que los tres son igualmente probables (lo cual no deja de ser cierto) y niegan que un tipo de distribución es mucho más representativo que los otros al haber muchos casos que se pueden asemejar a él.

Algo semejante podría ocurrir en la siguiente cuestión: Un profesor les pidió a Clara y a Susana que cada una lanzara una moneda un gran número

de veces y que anotara cada vez si obtenía cara o cruz. Cada cara se anotaba con un 1 y cada cruz con un 0. Aquí hay dos conjuntos de resultados:

Clara: 01011001100101011011010001110001101101010110010001 01010011100110101100101100101100100101110110011011 01010010110010101100010011010110011101110101100011

Susana: 10011101111010011100100111001000111011111101010101 11100000010001010010000010001100010100000000011001 00000001111100001101010010010011111101001100011000

Una de las dos niñas lo hizo bien, lanzando el dado. La otra hizo trampa y sólo escribió los números.

(a) ¿Qué niña hizo trampa'? .......................................................................... (b) ¿Por qué lo sabes? ..................................................................................

................................................................................

La diferencia es que en esta ocasión la gran mayoría toma partido: el 35% de los encuestados por D. Green (nosotros no incluimos la pregunta en el test) opinaba correctamente que era Clara quien había hecho trampa, frente al 53% que opinaba que era Susana. Tan sólo el 3% respondía que no se podía saber. Revisando ambas secuencias, se aprecia que la diferencia fundamental entre ambas es la mayor alternancia de resultados en Clara y las largas secuencias de ceros y unos en Susana.

Existe una tendencia generalizada (y no sólo entre individuos sin formación matemática) a elegir aquellas secuencias que presentan una mayor alternancia. De forma consciente o inconsciente tendemos a alternar los resultadospara así aproximarnos a la probabilidad teórica. Ahora bien, si los experimentos son realmente independientes, un resultado no puede condicionar el siguiente y la probabilidad de que se repita el mismo resultado debe ser igual a la de obtener el resultado contrario; por lo tanto, la alternancia debe darse en un 50% de los casos aproximadamente.


Respecto a las largas secuencias de ceros y unos, no son sino el resultado casi inevitable del carácter aleatorio e independiente de los experimentos. La probabilidad de que obtener nueve veces seguidas el mismo resultado es

ciertamente pequeña: � �82/1 = 0.0039. Ahora bien, puesto que tenemos 141

series de nueve resultados, la probabilidad de a lo largo de los 150 lanzamientos aparezca una serie nueve resultados iguales es del orden de 1/2 y no debería sorprender su presencia.

ESTABILIDAD DE FRECUENCIAS Y TAMAÑO DE LA MUESTRA

Al vaciar un paquete de 100 chinchetas sobre la mesa, 68 han quedado

«hacia arriba» y 32 «hacia abajo» Si repetimos el experimento, ¿qué resultado crees que se obtendrá?

A. Arriba 36, abajo 64 B. Arriba 63, abajo 37 C. Arriba 51, abajo 49 D. Arriba 84, abajo 16 E. Todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir F. No lo sé

El 5-17% espera obtener un resultado similar al anterior; es decir, considera que el resultado obtenido en 100 lanzamientos es representativo de lo que podemos esperar que ocurra; o, dicho de otra forma, el resultado de sos 100 lanzamientos nos da un valor aproximado de la probabilidad de cada suceso. El 87-62% por el contrario no le concede valor alguno y opina que todos los .resultados tienen la misma probabilidad.

¿Cuál de las siguientes situaciones es más probable? A. Que de los 10 primeros bebés nacidos en un hospital haya 7 o más niñas. B. Que de los 100 primeros bebés nacidos en un hospital haya 70 o más niñas. C. Son igual de probables D. No se puede saber

Tan sólo una pequeña minoría (6-8%), opta por el apartado (a). La gran mayoría (88-86%) piensa o bien que son igual de probables (a fin de cuentas se mantiene la proporción), o bien que no se puede saber.

Tanto en esta pregunta como en la anterior parece haber serías dificultades en la mayoría de los alumnos de estas edades para valorar el efecto del tamaño


* Abordar la tarea propuesta, recogiendo y organizando los datos. Este es un trabajo a realizar preferiblemente en parejas o pequeños grupos en los que pueda darse una discusión fluida y cercana al propio alumno.

* Contrastar los resultados obtenidos con la conjetura realizada y decidir sobre la necesidad o no de modificarla.

* Realizar un debate con toda la clase, recogiendo los resultados obtenidos por los distintos grupos, discutiendo las ideas de cada uno y construyendo finalmente un modelo que satisfaga los resultados.


AZAR Y PROBABILIDAD EN LA E.S.O.:

UNA COLECCION DE PROBLEMAS

por Félix Alayo

INTRODUCCIÓN El mundo del azar y la probabilidad es un mundo sencillo y complejo a la vez: sencillo,

por cuanto en estos niveles educativos no es necesario gran aparato matemático; complejo, por exigir claridad de ideas y una buena organización mental.

Esta organización mental está muy ligada al desarrollo de intuiciones certeras sobre el azar y la probabilidad, intuiciones que no se desarrollan fácil-mente a través de tratamientos teóricos, sino más bien a través del estudio de situaciones prácticas.

Se trata de que el alumno tenga numerosas oportunidades de familiarizarse con el mundo del azar antes de iniciar un estudio formal del mismo. Los alumnos deberían enfrentarse a situaciones que les comprometan personal-mente, que les obliguen a hacer una conjetura y a comprobar en la práctica su validez. La revisión de las conjeturas erróneas y la reflexión sobre el por qué de los errores cometidos pueden resultar una magnífica fuente de aprendizaje.

A la vez que se plantea una aproximación práctica y progresiva a las leyes del azar, también debe ser progresiva la aproximación a la idea de probabilidad a través de valoraciones cualitativas (es más fácil, más probables, imposible...) y cuantitativas (uno de cada dos, uno contra uno, 50%, 1/2, 0.5).

La colección de problemas que se presenta va dividida en cinco secciones: sucesos aleatorios, experimentación, juegos, simulación y formalización. Esto no debe ser entendido como una clasificación estricta sino como algo flexible, pues si bien es claro que algunos problemas sólo pueden resolverse en estos niveles de modo experimental, otros admiten un tratamiento más formal hacia el final de la etapa.

SUCESOS ALEATORIOS Se trata de un par de situaciones dirigidas a establecer con claridad la diferencia entre

situaciones aleatorias y otras que no lo son.

1. El fregado Pedro y Juan tienen que repartirse el trabajo: uno debe fregar los platos de la

comida arnés de que corten el agua y el otro tiene que ir a la Caja de Ahorros antes de que cierren. Como los dos prefieren ir a la Caja, deciden echarlos a suertes.


Di qué te parece cada uno de los siguientes sistemas de sorteo: a) Jugárselo a cara y cruz. b) Medir sus estaturas. El más alto friega. c) Jugárselo a las damas. d) Hacer una carrera. El último friega. e) Lanzar un dado. Friega el que saque el número más alto.

2. Inventa tu propio sistema para: — Elegir al azar una persona de entre un grupo de 6. — Elegir al azar una persona de entre un grupo de 10. — Elegir al azar una persona de clase.

EXPERIMENTACIÓN Como criterio general en este apartado, cada alumno debe estudiar la situación y hacer una

conjetura sobre el resultado previsible. En caso de existir dudas, se pasará a comprobar lo que ocurre en la práctica cuando experimentamos un número suficiente de veces y a comparar estos resultados con la conjetura realizada. Un debate final debe servir para contrastar ideas, aclarar las dudas y construir un modelo teórico adecuado.

En este tipo de problemas deberemos decidir sobre: � ¿Cuántos ensayos parece razonable realizar? � ¿Cuál es la forma más adecuada de llevar adelante la tarea?; dicho de otra forma, ¿cómo

debemos organizar el trabajo de clase para que sea ágil? � ¿Cómo vamos a recoger los resultados?

La experimentación por otro lado puede ser traidora y podemos encontrarnos con resultados distintos a los esperados. Una buena decisión sobre el número de ensayos a realizar disminuye los riesgos, pero no los elimina. Esto no debe ser motivo de desánimo, sino que debe ser aprovechado para que los alumnos sean conscientes del carácter no determinista del azar, de la imposibilidad de predecir los resultados, a la vez que puede servir de motivo para discutir sobre el tamaño de las muestras.

En algunos problemas se dan indicaciones sobre la forma en que se puede llevar a cabo el proceso de experimentación, situaciones que pueden surgir en clase y en algún caso se aportan igualmente soluciones.

3. Juegas con un amigo a lanzar un dado. Si sale un 6 ganas tú; si sale otro resultado gana él. a) Si tú apuestas un duro, ¿te parecería bien que tu amigo apostase otro duro? b) ¿Cuánto debería apostar para que el juego fuera justo?4. Dados «profesionales»

El encargado de seguridad de un barco que hace la ruta del Mississippi ha requisado para su estudio la colección de dados de un jugador profesional. Las sospechas que dieron lugar a la denuncia se iniciaron ante los buenos resultados que obtenía al intentar predecir el resultado del lanzamiento de los dados de su propiedad.

Si se demuestra su culpabilidad será colgado antes de terminar el viaje. En caso contrario, el denunciante será tirado por la borda. Estudia los dados y da un veredicto.

Nota: Para llevar adelante esta actividad es conveniente disponer de dados cargados que se pueden conseguir a través de algunas casas de material didáctico. Lo ideal sería mezclar dados cargados con otros que no lo estén. Si no se dispone de dados cargados, una posibilidad puede ser plantear el problema haciendo creer a los alumnos que algunos sí lo están. Una cuestión básica: ¿cuántas veces debemos lanzar el dado para decidir si está o no trucado?


5. a) Al lanzar al aire un chincheta, ¿de cuántas formas puede caer?

b) Calcula la probabilidad de que caiga de una forma u otra. c) Si pudiese elegir, ¿por qué resultado apostarías? d) Si una persona apuesta 20 ptas. por uno de los resultados, ¿cuánto debería apostar

la otra? Se trata de asignar probabilidades a sucesos no equiprobables (aunque es de esperar que

muchos alumnos crean que sí lo son) y en los que no tiene cabida la regla de Laplace. Para agilizar la tarea, cada alumno debería disponer de 10 chinchetas que lanza simultáneamente; así, rápidamente habrá realizado 100 lanzamientos, suficientes para tener una buena aproximación. Recogiendo los datos de toda la clase podremos calcular con bastante exactitud la probabilidad de cada suceso, que variará según el tipo de chinchetas pero que probablemente andará en torno a 0.65-0.35.

6. Cara y cruz

Si lanzas una moneda al aire puedes obtener cara o cruz. a) ¿Qué resultados puedes obtener al lanzar dos monedas al aire?

b) Si estáis jugando tres personas ¿a qué resultado apostarías para ganar? c) ¿Cuál es la probabilidad de ganar con ese resultado? d) Escribe los resultados posibles cuando se lanzan tres monedas. e) ¿A qué resultado apostarías para ganar? f) ¿Cuál es la probabilidad de ganar con ese resultado?


Muchos alumnos tienen serias dificultades para decidir qué casos son diferentes y cuáles no. Efectivamente, desde el punto de vista de las apuestas con dos monedas hay tres resultados (cara-cara; cara-cruz; cruz-cruz) pero uno de ellos es doble ya que en realidad hay cuatro casos diferentes (cara-cara; cara-cruz; cruz-cara; cruz-cruz). El uso de dos monedas diferentes puede ser de utilidad para el debate general. Puede ser una buena actividad para el debate general. Puede ser una buena actividad para introducir el diagrama en árbol.

7. a) ¿Cuántas veces crees que habrá que lanzar por término medio un dado para que salga un 6?

b) ¿Cómo podrías comprobarlo? c) ¿Cuántas veces crees que hay que lanzar un dado normal para que salgan

todas las caras? Compruébalo.

8. Ruletas Para hacer una ruleta casera sólo necesitas dibujar un círculo, dividirlo en las

partes que consideres convenientemente y utilizar un bolígrafo como eje de giro y un clip extendido para marcar el resultado. Así, por ejemplo, la ruleta del dibujo está marcando el 1.


10. Un feriante invita a jugar con su ruleta a 50 ptas. la partida, con premio seguro para el

jugador. Si la aguja cae en el 1, 2 6 3 el premio es de 25 ptas.; si cae en el 4 o en el 5 el premio es de 50 ptas.; si cae en el 6 el premio es de 100 ptas. ¿Crees que es fácil que el feriante se arruine?

11. En un experimento se lanzan a la vez 10 monedas de peseta.

a) Escribe todos los resultados posibles.

b) Son todos igual de probables? c) Si el experimento se repite muchas veces, ¿qué resultado es el que se producirá

más a menudo?

12. Ceros y unos en el dado Se da a cada alumno un dado cúbico en cada una de cuyas caras se ha escrito un,cero

o un uno (en proporción variable). Cada alumno lanza su dado 30 veces y apunta los resultados. Cada uno debe acertar cuántos ceros y cuántos unos había escritos en el dado de su compañero conociendo sólo los resultados de los 30 experimentos. Finalmente cada alumno


dice en voz alta los resultados que ha obtenido y el resto de la clase debe acertar cómo era su dado.

Es interesante recoger en el encerado los resultados y el número de ceros y unos que realmente había en cada dado para comprobar que un razona-miento basado en criterios de proporcionalidad es el más adecuado, pero que no siempre garantiza el éxito.

Los dos problemas siguientes son un complemento de éste y van orientado a reforzar ese tipo de razonamiento.

13. ¿Cómo es el dado?

Existen cinco tipos de dados regulares:

Un dado regular tiene sus caras marcadas con ceros y unos. Nos informan de que después de 300 tiradas se ha obtenido la siguiente serie

de resultados:

011111011100000011110110110111100110011 101111111001010111011110101111111111011 010011111110110101100011110011111111110 111000110001111111011111111111110001101 111011110111111001111111000111011111111 111011101110110010110100101111011111001 001010011110110001101101111010110110110 010011111111101111101011101

a) ¿En qué proporción pueden estar los 0 y 1 en el dado?

b) ¿Cuántas caras crees que tiene el dado?

14. Las caras de un dado regular se han marcado con ceros y unos. Tras realizar 200 lanzamientos se han obtenido los siguientes resultados: 152 ceros y 48 unos. ¿Cuántas caras crees que tiene el dado?, ¿cuántos ceros y cuántos unos se han marcado?


15. Frecuencia relativa y probabilidad

Lanza 40 veces una moneda al aire y anota los resultados: Lanza-

miento Resultado N.° de caras

Frecuencia

Lanza-mientoResultado N.° de

caras Frecuencia

relativa 1 21

2 22

3 23

4 24

5 25

6 26

7 27

8 28

9 29

10 30

11 31

12 32

13 33

14 34

15 35

16 36

17 37

18 38

19 39

20 40

Haz una gráfica en papel milimetrado que muestre la evolución de la frecuencia relativa a medida que aumenta el número de lanzamientos. Es-cribe lo que observes.


JUEGOS

Los juegos son una buena excusa para trabajar en clase sobre situaciones aleatorias. Su gran ventaja es que involucran personalmente al alumno y sirven para establecer unas buenas relaciones afectivas con el objeto de estudio. En cualquier caso, el elemento lúdico no debe hacernos olvidar los contenidos matemáticos del juego.

En general se pueden a distinguir tres fases: � Familiarización: el objetivo de las primeras partidas debe ser normal-mente el de

familiarizarse con el juego, con sus reglas, aclarando las dudas que puedan surgir sobre ellas (una buena opción puede ser que sean los propios jugadores los que lleguen a acuerdos sobre los puntos poco claros).

� Profundización: cada jugador quiere ganar y quiere saber cómo hacerlo; empieza a pensar en estrategias, en qué resultados son más probables... La tarea del profesor es animar a jugar de forma cada vez más reflexiva, a pensar sobre las mejores opciones y a intentar razonarlas (preguntando, más que dando respuestas).

� Conclusiones: finalmente un debate de clase puede servir para recoger las ideas fundamentales y construir un modelo teórico. Es especialmente importante que al final se hagan explícitas de forma clara las ideas subyacentes, que los alumnos sean conscientes de ellas (que no salgan de clase pensando que simplemente han jugado) y que las recojan en sus cuadernos de trabajo.

16. La gran carrera de caballos

Un juego para 1 a 12 jugadores. Lo que necesitas:El tablero, dos dados y 12 fichas que representan a los caballos (es preferible que las

fichas de cada jugador sean de un color diferente). Reglas:

Cómo empezar: — Se reparten los caballos entre los jugadores y se colocan en la salida (el método de

reparto lo pueden decidir los propios jugadores). Si algún caballo queda libre, también participa en la carrera aunque no pertenezca a nadie.

Cómo jugar: — Se lanzan los dos dados y se suman los puntos (por ejemplo, si en un dado sale un

dos y en otro un seis, el número resultante será el ocho).

— El caballo con ese número avanza un cuadro hacia adelante. — Se vuelven a lanzar los dados y a avanzar los caballos. — El primer caballo que llega a la meta es el ganador. — Repite el juego varias veces, anotando en cada partida qué caballo llega el primero,

cuál queda segundo, tercero...


Es un juego muy interesante, en el que surgen gran cantidad de ideas relacionadas con el azar y la probabilidad. En la primera partida es normal que repartan los números, incluido el 1, sin seguir ningún criterio matemático. Aunque alguien se dará cuenta de que el 1 no puede salir nunca, es raro que pase de ahí y considere que unos números son más probables que otros y en qué medida. La práctica les dirá que íos valores centrales son los que más probabilidades tienen de ganar, pero aún tendrán dificultades para justificarlo y, en especial para distinguir entre las probabilidades de obtener un 7 y las de obtener un 6 ó un 8. La explicación de esta alumna es bastante representativa de lo que se puede esperar:

Los números que tienen más posibilidades son las centrales ya que tienen más combinaciones que los de las esquinas.

Estas son las combinaciones: 1. No tiene combinaciones jugando con 2 dados. 2. 1+1 3. 2+1 4. 3+1 y 2+2 5. 3+2 y 4+1 6. 3+3, 4+2 y 5+1 7. 3+4, 6+1 y 5+2 8. 4+4, 5+3 y 6+2 9. 5+4 y 6+3

10. 5+5 y 6+4 11. 6+5 12. 6+6 Los números que más posibilidades tienen son el 6, 7 y 8 ya que tienen las que más

combinaciones. Si se jugara con un dado de 12 caras las posibilidades serían las mismas para todos los

números. Al igual que el lanzamiento de dos monedas, la dificultad estriba. en que hay casos

ocultos que no son fáciles de descubrir. En la discusión de clase, la utilización de dados de dos colores diferentes puede ser una buena ayuda para distinguir las distintas formas de obtener cada número:

�6:3+3,4+2,2+4,5+1,1+5 �7:4+3,3+4,5+2,2+5,6+1,1+6 �8:4+4,5+3,3+5,6+2,2+6 Junto al cálculo de la probabilidad de obtener cada resultado, es interesante discutir sobre

la influencia de la longitud-de la carrera en el resultado final. Una variante del juego: en lugar de sumar, se restan los números que se obtienen al

lanzar los dados. ¿Cómo deberíamos numerar los caballos?, ¿cuáles tendrán más probabilidades de ganar? (¡ojo!, ahora no serán los números centrales).


17. La travesía del río

Juego para dos jugadores.

Material:

— dos dados cúbicos.

— 12 fichas de un color y 12 de otro color. — un tablero como éste:

Reglas:

— Cada jugador dispone de 12 fichas. Uno de ellos las sitúa en un lado del río y el otro en el lado opuesto. Las fichas se distribuyen en las casillas de la manera que se desee, pudiéndose optar por poner más de una ficha en una casilla y dejar otras en blanco.

— Los jugadores van lanzando los dados por turno. Si la suma de los números obtenidos coincide con el número de una casilla en la que hay fichas, una de éstas pasa al otro lado del río.

— Gana el primero que pasa al otro lado todas sus fichas.

En la primera partida muchos tienden a poner una ficha en cada número, a pesar de que en el juego anterior (la gran carrera de caballos) acaban de ver que unos números tienen más probabilidades de salir que otros y que es imposible que salga el 1. Otros, por el contrario, han asimilado que el 7 es el número con mayores probabilidades de salir y aplican mecánica-mente a este problema las apuestas de la carrera de caballos, colocando todas las fichas en el 7, con la. consiguiente desesperación posterior al observar el gran número de tiradas que se ven obligados a desperdiciar.


La práctica les va llevando hacia una distribución más adecuada y al final parece posible llegar a un acuerdo.

Una forma de llegar a la distribución definitiva que puede ser utilizada para la puesta

en común, o seguido de ella, viene dada en el cuadro siguiente. En él se indican las diferentes formas en que se puede obtener cada número (36 en total). Si las fichas a colocar fueran 36, estas formas nos darían el número de fichas que deberíamos colocar en cada cuadro. Como las fichas son sólo 12, habrá que dividir por 3 (cuarta columna) y redondear a fichas enteras, lo que nos da la distribución de la última columna.

Número Formas de obtenerlo

Sobre 12 Fichas en cada casilla

1

0 0 0

2 1+1 1 1/3 0

3 2+1,1+2 2 2/3 1

4 1+3,2+2,3+1 3 1 1

4 1+3,2+2,3+1 3 1 1

5 1+4,2+3,3+2 4 1+1/3 1

4+1

6 1+5,2+4,3+3 5 1+2a 2

4+2,5+1

7 1+6,2+5,3+4 6 2 2

4+3,5+2,6+1

8 2+6,3+5,4+4 5 1+2a 2

5+3,6+2

9 3+6,4+5,5+4 4 1+1a 1

6+3

10 4+6,5+5,6+4 3 1 1

11 5+6,6+5 2 2/3 1

12 6+6 1 1/3 0

Total 36 12 12


18. Triples

Cada jugador (o equipo) dispondrá de cuatro dados y un cuadrado formado por tres líneas de tres cuadros cada una.

Cada jugador lanza un dado. El que obtenga el número más alto empieza.

Reglas:

1. El primer jugador elige lanzar uno, dos, tres o los cuatro dados, y los lanza. Suma los resultados y lo escribe en uno de sus cuadros.

2. El siguiente jugador elige cuántos dados quiere lanzar, los lanza y escribe la suma de sus resultados en uno de sus propios cuadrados.

3. Una vez escrito un número no puede borrarse. 4. El juego continúa hasta que se rellenan todos los cuadrados. Puntuación:

25 puntos por cada suma en una fila 30 puntos por cada resta en una columna 50 puntos por cada producto en una diagonal.

Ejemplos:

19. Un, dos, tres puertas

En un concurso, el concursante ve tres puertas. Detrás de una de ella. hay un gran premio y detrás de las otras dos un regalo sin valor. El con cursante elige una puerta. Entonces el presentador abre una de las puerta: que quedan-y se la muestra al concursante, enseñando siempre un regalo sin valor. El concursante tiene la opción de mantenerse con su primera opción o de cambiar a la otra puerta cerrada. Si tú fueses el concursante ¿cuál de las siguientes estrategias seguirías y por qué?


1. Mantener la puerta original 2. Echarlo a cara y cruz 3. Cambiar a la otra puerta

Es un problema bonito y difícil a la vez, que exige un fuerte esfuerzo de razonamiento. Se puede plantear un día y dejarlo abierto hasta la clase siguiente. En un primer acercamiento se ven dos líneas de argumentación contradictorias:

� Después de abrir la primera puerta sólo quedan dos y nosotros no podemos saber en cuál de ellas está el premio: la probabilidad de acertar con cada una de ellas será 1/2.

� Si desde el principio elegimos una puerta y decidimos que no la vamos a cambiar, nuestra probabilidad de acertar será 1/3: debemos acertar a la primera una puerta de tres posibles.

Los dos razonamientos parecen correctos pero contradictorios: la probabilidad de la puerta inicial no puede ser a la vez 1/2 y 1/3.

La simulación del juego con un concursante y tres jugadores nos llevará al siguiente resultado:

' Probabilidad de ganar manteniendo la puerta original: 1/3.

� Probabilidad de ganar echándolo a cara y cruz: 1/2.

� Probabilidad de ganar cambiando de puerta: 2/3. En efecto, con esta última estrategia cuando elegimos la primera puerta, en realidad

estamos diciendo que la vamos a rechazar en el segundo paso. Si el premio está en ella, perderemos (p=1/3). Pero si el premio está en cualquiera de las otras dos (p=2/3), ganaremos, puesto que el presentador estará obligando a enseñarnos la mala y a nosotros sólo nos queda elegir la otra. SIMULACIÓN

La experimentación en muchas ocasiones puede ser demasiado larga (tirar a canasta 100 veces), cara (comprar 500 bolsas de gusanitos) o sencillamente imposible (realizar 100 duelos). En estos casos conviene recurrir a la simulación. La simulación exige buscar un modelo para el problema. Un modelo que es físicamente diferente, pero que tiene las mismas características que el problema original y resulta más fácil de operar. Permite resolver de forma práctica problemas de muy difícil resolución teórica. Cuanta mayor sea la exactitud con la que deseemos resolver un problema, mayor número de simulaciones deberemos realizar, siendo necesario en ocasiones acudir a la ayuda del ordenador o al trabajo cooperativo.

La simulación es un proceso que exige cierta capacidad de abstracción, en el que se pueden distinguir las siguientes fases:


— Identificar las características matemáticas del problema, identificando todos los resultados posibles y asignándolos su probabilidad.

— Seleccionar un dispositivo aleatorio (ruleta, dado...) y determinar en que consistirá cada experimento.

— Realizar un elevado número de experimentos: estimar cuántos serán necesarios para tener una estimación adecuada a la situación; puede ser interesante repartir entre toda la clase la tarea.

— Hacer el cálculo con los resultados obtenidos.

— Interpretar el resultado.

20. ¿Qué es más probable:

� que 7 de los 10 primeros bebés nacidos en un hospital sean chicas � que 70 de los 100 primeros bebés nacidos en un hospital sean chicas � o son los dos igual de probables?

Este es un problema que genera una gran discusión en clase. La atención de los alumnos tiende a centrarse en la proporción de chicas que se espera obtener, prescindiendo de la influencia del tamaño de la muestra sobre loe resultados. Tras una breve discusión, puede plantearse la simulación dando a cada alumno 10 monedas. Este debe lanzarlas todas a la vez, contar el número de cruces (número de chicas) y apuntar el resultado, repitiendo la experiencia 20 veces. Se hace el recuento de las veces en que le han salido a cada uno 8 o más chicas (se obtendrá en torno al 17% de los casos). Para simular 100 lanzamientos se pueden agrupar los resultados obtenidos anteriormente de 10 en 10; como en cada experimento se lanzaban 10 monedas, en 10 experimentos se lanzarán 100. Es prácticamente seguro que no aparecerá ningún resultado de 70 o más cruces, lo cual quiebra la idea de proporcionalidad y permite reincidir el debate desde otra perspectiva: ¿es muy raro que de un grupo de 10 personas siete o más sean mujeres?, ¿es raro que de 1.000 personas haya más de 700 mujeres?, ¿sería normal que de los 1.000 millones de habitantes de China 700 o más fueran mujeres?...

21. ¿Cuál es la probabilidad de que los 5 descendientes de una familia sean las cinco chicas?

22. Si una pareja continúa teniendo descendencia hasta tener una hija, ¿cuál será el número medio de hijos (chicos y chicas)?, ¿cuál será la proporción de chicas?-

¡Ojo! Una decisión tan extraña como ésta-puede hacer variar el número total de nacimientos, pero ¿podrá cambiar la proporción de chicos y chicas de una sociedad?


Una solución teórica:

Al nacer el primer bebé pueden darse dos casos:

—Si es chica (p=1/2), la pareja no tiene más criaturas.

— Si es chico (p=1/2), la pareja vuelve a estar como antes (eso sí, con un niño más).

Esto se podría representar así:

Para calcular el número media de hijos tendremos que hacer una media ponderada entre las distintas situaciones posibles, teniendo en cuenta la probabilidad de cada una de ellas: 1/2 de tener un hijo, 1/4 de tener dos, 1/8 de tener 3... Es decir:

N=1/2.1+1/4.2+1/8.3+1/16+4+...

Lo que nos daría una serie infinita. Otra forma de verlo sería la siguiente: * Si el primer

bebé es chica (1/2) la pareja no tiene más criaturas.

* Si es chico (1/2) vuelve a la situación inicial, aunque, eso sí, con un chico más. Si el número medio de criaturas en general es N, y puesto que se ha perdido una oportunidad, el número medio de criaturas en este caso será N+1

Por lo tanto: N = 1/2 . 1 + 1/2 • (N+1) De donde N=2.

No se pretende en absoluto que los alumnos de la ESO aprendan este método, pero sí puede ser interesante que de forma experimental (a través de la simulación) se hagan una idea aproximada de lo que sería razonable esperar en situaciones análogas: ¿cuántas debemos realizar por término medio para obtener un 6 con un dado cúbico?...

Por cierto que el análisis de los resultados obtenidos en la simulación o experimentación puede dar lugar a una interesante discusión sobre la utilidad de la moda (¿en qué tirada es más probable acabar?), mediana (¿a partir de cuántas tiradas la probabilidad supera el 50%?) y la media.

23. Tablero de coloresa) Queremos pintar este tablero en dos colores, de forma que el color de cada cuadro

se elija al azar. Sin realizar ningún tipo de sorteo, pinta qué tipo de dibujo crees que quedará aproximadamente


b) Pinta al azar este otro cuadro, mediante el tipo de sorteo que t parezca más oportuno, y compara el resultado con el tipo de dibujo que habías previsto.

24. Copos de nieve El suelo de un patio tiene 16 secciones cuadradas. Comienza a nevar ¿Cómo crees que

caerán más o menos los 32 primeros copos?


Compara tu previsión con lo que has obtenido.

Haz una tabla que recoja el número de cuadros en los que han caído 0,1, 2, 3, 4 o más de 4 copos de nieve.

Números aleatorios y método de Monte-Carlo

Las tablas de números aleatorios son unas tablas generadas al azar que cumplen una serie de propiedades: la probabilidad de obtener cada cifra es 0.1; si las agrupamos de dos en dos, los números resultantes (del 00 al 99) son equiprobables; lo mismo debe ocurrir si las agrupamos de tres en tres, cuatro en cuatro...

Pueden utilizarse para simular rápidamente distintos procesos aleatorios. Algunos ejemplos:

� Lanzamiento de una moneda al aire: un número par representa que hemos obtenido cara; uno impar, cruz.

� Lanzamiento de un dado: recogemos de las tablas los números del 1 al 6, despreciando los

demás.

� Lanzamiento de un dado icosaédrico: se agrupan las cifras de dos en dos; los números 01 al 20 representan resultados del lanzamiento, el resto se desprecia.

� Idear una forma de simular con los números aleatorios: el lanzamiento

de un dado icosaédrico, un sorteo entre 100 personas, un sorteo entre los 32 (?) alumnos de clase...

La simulación de fenómenos aleatorios utilizando las tablas de números aleatorios se

denomina método de Monte-Carlo. Es interesante que los alumnos se familiaricen con diversos métodos de simulación y que, a partir de un momento determinado, decidan ellos mismos el método que van a aplicar en cada problema.


TABLA

Números aleatorios

12159 66144 05091 13446 45653 13684 66024 91410 51351 22772 80156 90519 95785 47544 66735 35754 11088 67310 19720 08379 59069 01722 53338 41942 65118 71236 01932 70343 25812 62275 54107 58081 82470 59407 13475 95872 16268 78436 39251 14247 99681 81295 06315 28212 45029 57701 96327 85436 33614 29070

77252 37875 53679 01889 35714 63534 63791 76342 47717 73684 93259 74585 11863 78985 03881 46567 93696 93521 54970 37607 84068 43759 75814 32261 12728 09636 22336 76529 01017 45503 68582 97054 28251 63787 57285 18854 35006 16343 51867 67979 60646 11298 19680 10087 66391 70853 24423 73007 74958 29020

97437 52922 80739 59178 50628 61017 51652 40915 94696 67843 58009 20681 98823 50979 01237 70152 13711 73916 87902 84759 7721!70110 93803 60135 72881 13423 30999 07104 27400 25414

54256 84591 65302 99257 92970 28924 36632 54044 91798 78018 37493 69330 94069 39544_ 14050 03476 25804 49350 92525 87941

87569 22661 55970 52623 35419 76660 42394 63210 62626 00581 22896 62237 39635 63725 10463 87944 92075 90914 30599 35671 08597 33230 64527 97210 41359 79399 13941 88378 68503 33609 20080 15652 37216 00679 02088 34138 13953 68939 05630 27653 20550 95151 60557 57449 77115 87372 02574 07851 22428 39189

72771 11672 67492 42904 64647 94354 45994 42538 54885 15983 38472 43379 76295 69406 96510 16529 83500 28590 49787 29822 24511 56510 72654 13277 45031 42235 96502 25567 23653 36707 01054 06674 58283.82831 97048 42983 06471 12350 49990 04809 94437 94907 95274 26487 60496 78222 43032 04276 70800 17378

97842 69095 25982 03484 25173 05982 14624 31653 17170 92785 53047 13486 69712 33567 82313 87631 03197 02438 12374 40329 40770 47013 63306 48154 80970 87976 04939 21233 20572 31013 52733 66251 69661 58387 72096. 21355 51659 19003 75556 33095 41749 46502 18378 83141 63920 85516 75743 66317 45428 45940

10271 85184 46468 3886!) 24039 80949 51211 35411 40470 16070 98791 48848 68129 51024 53044 55039 71290 26484 70682 56255 30196 09295 47685 56768 29285 06272 98789 47188 35063 24158 99373 64343 92433 0638) 65713 35386 43370 19254 55014 98621 37768 27552 42156 23239 46823 91077 06306 17756 84459 92513

67791 35910 56921 51976 78475 15336 92544 82601 17996 72268 64018 4.1004 08136 56129 77024 82650 18163 29158 33935 94262 79715 33859 10835 94936 02857 87486 70613 41909 80667 52176 20100 40737 82688 07009 65255 52167 65930 45861 32575 93731 82421 01208 49762' 66360 00231 87540 88302 62686 38456 25872

00083 81269 35320 72064 10472 92080 80447 15259 62654 70882 56558 09762 20813 48719 35530 96437 96343 21212 32567 34305 41183 20460 08608 75283 43401 25888 73405 35639 92114 48006 39977 10603 35052 53751 64219 36235 84657 42091 42587 16996 29310 84031 03052 51356 44747 19678 14619 03600 08066 93899

47360 03571- 95657 85065 80919 14890 97623 57375 77855 15735 48481 98262 50414 41929 05977'78903 47602 52154 47901 84523 48097 56362 16342 75261 27751 28715 21871 37943 17850 90999 20648 30751 96515 51581 43877 94494 80164 02115 09738 51938 60704 10107 59220 64220 23944 34684 83696 82344 19020 84834


25. Caza de patos Diez cazadores de élite llegan a una laguna en la que están nadando 10 patos. Cada

cazador hace un disparo y acierta, pero ninguno sabía a qué pato estaban disparando los demás. ¿Cuántos patos sobrevivían por término medio?

26. Sólo queda un segundo para terminar un partido de baloncesto y el equipo del

instituto pierde por un punto. A la mejor lanzadora de tiros libres (75% de acierto) le hacen personal y tiene la oportunidad de lanzar dos tiros. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el partido sin prórroga?

27.. Cada paquete de gusanitos trae un cromo de una tortuga Ninja. ¿Cuán-tos paquetes

habrá que comprar para conseguir la colección completa de 7 tortugas? 28. Billy y El Malo desafía a Joe El Niño a un dueño. Los dos son malos tiradores. Doc sólo

acierta 1/10 de las veces y Billy 1/5. Doc piensa que no es buena idea para él disparar los dos a la vez y propone disparar por turnos: primero dispara él, luego Billy, de nuevo Doc, Billy... hasta que uno de ellos acierte. ¿Qué probabilidades de ganar tiene cada uno?

29. El empleado de guardarropía se arma un lío y reparte aleatoriamente los 9 abrigos que tiene guardados a 9 personas. ¿Cuánta gente recibirá su propio abrigo?

30. ¿Cuál es la probabilidad de que en una clase de 33 alumnos coincidan dos cumpleaños?

31. Un sistema de seis componentes falla cuando falla alguno de ellos. La probabilidad de que falle un componente es 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que falle el sistema?

32. Utilizando la tabla de números aleatorios simula varias veces cada uno de los siguientes experimentos:

a) Lanzamiento de 10 monedas b) Lanzamiento de 50 monedas c) Lanzamiento de 200 monedas En cada caso, apunta el número de caras obtenido y calcula la desviación frente al resultado

teórico más probable y la frecuencia relativa. Por ejemplo, si realizas 10 lanzamientos el resultado más probable será 5 caras y 5 cruces; si

obtienes 7 caras, la desviación será 7–5=2 y la frecuencia relativa f=7/10=0.7. A la vista de los resultados obtenidos, analiza lo que ocurre con desviación y la frecuencia

cuanto aumento el número de lanzamientos. ¿Son lógicos los resultados obtenidos?


FORMALIZACIÓN

Hacia el final de la etapa los alumnos deberían comenzar el proceso de formalización incluyendo la expresión de la probabilidad como un número entre 0 y 1, la regla de Laplace, etc. La inclusión de este apartado no significa que muchos de los problemas aquí planteados no se puedan trabajar de forma experimental ni que algunos de los planteados en otras secciones no puedan incorporarse a ésta. Es más, algunos están tan relacionados con los de otra: secciones (por ejemplo, el problema de las dos chinchetas) que parecen exigir un tratamiento conjunto. Así pues, la clasificación tiene algo de arbitraria � debe quedar claro que no pretende en absoluto ser una propuesta de se secuenciación.

33. En un dado cúbico se han pintado 4 caras con un cero y las otras con un uno. En otro

dado icosaédrico se han pintado 12 ceros y 1 unos. ¿Con qué dado es más probable conseguir un cero?

34. En una bolsa hay 4 bolas rojas, 4 azules y 3 verdes. Se extraen 2 bolas rojas y 1 azul y

se dejan aparte. ¿De qué color es más probable que sea la siguiente bola? 35. De una baraja de 40 cartas extraemos una carta al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener oros? c) ¿Cuál es la probabilidad de que seas oros o un as?

36. En una urna hay bolas con las siguientes numeraciones: a) 0 a 9 b) 0 al 99 c) 0 a 999.

Se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída contenga algún 9?

37. Se lanzan dos chinchetas al aire. ¿De cuántas formas distintas puede caer? ¿Cuál es la

probabilidad de cada una de ellas? En este problema se debe tener presente que las dos formas en que puede caer cada

chincheta no son equiprobables. En el problema n.° 5 se plantea el cálculo experimental de esas probabilidades. Este problema sería un complemento de aquél; sería interesante relacionarlo igualmente con el lanzamiento de dos monedas-al aire (problema 6) para remarcar las semejanzas las diferencias entre ambas situaciones.


38. En una clase hay 12 chicos y 18 chicas se hace un sorteo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el premio le toque a una chica? b) Si hay dos premios, ¿cuál es la probabilidad de que les toquen a dos chicas? c) ¿Y de que le toquen a dos chicos? d) ¿Y a un chico y una chica?

39. De las 100 bombillas de una caja sabemos que 10 no funcionan. Si sacamos dos bombillas al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean malas? b) ¿Y de que las dos sean buenas?

40. Se extraen simultáneamente dos cartas de una baraja de 40 cartas: a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un oro y una copa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo palo?

41. En un cajón están revueltos 4 calcetines negros, 4 azules y 2 verdes. Si se sacan sin mirar dos calcetines, ¿cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo color?

42. El ratón de la figura no sabe dónde está en el queso y en cada bifurcación decide al azar el camino a seguir. Una vez elegido un camino no puede retroceder. ¿Qué probabilidades tiene de llegar al queso?

Hay dos formas posibles de aproximación a este tipo de problemas. Una, más estándar, consiste en considerar la probabilidad de que en cada bifurcación el ratón siga un camino u otro, para a partir de ahí calcular la probabilidad global:


Una segunda aproximación, más sencilla para los alumnos de esta etapa consiste en considerar que entran muchos ratones y que éstos se van distribuyendo al azar: si entran 6 ratones, en el primer cruce se meterán dos por cada camino; en el segundo desdoblamiento cada uno de los ratones de camino seguirá una dirección:

Por lo tanto, de los 6 ratones que han entrado 4 llegarán al queso. La probabilidad será 4/6 = 2/3.

Los siguientes problemas están pensados para ser resueltos según es' segundo método. La principal dificultad consiste en saber cuántos elementos debemos introducir. Los números formados por potencias de 2 y 3 suele resultar los más adecuados (16, 18, 24, 32, 48 ...) aunque algunos alumnos prefieren partir de 100 con lo que obtienen directamente la probabilidad fin en tanto por ciento.


43. La princesa de cierto país medieval quería casarse con un poeta sin fortuna en contra de la opinión de sus padres. Finalmente el rey le hizo la siguiente propuesta: «Para casarse contigo, el poeta deberá penetrar en un laberinto que termina en dos habitaciones A y B; en una de ellas habrá un tigre hambriento, en la otra le esperarás tú para casaros». ¿En cuál de las dos habitaciones debe colocarse la princesa?

Introduciendo 18 «poetas», 11 acabarán en B y 7 en A. Por lo tanto, la princesa debería situarse en B (p=11/18).

44. El gato, el ratón y el queso

Un ratón entra en un laberinto como el de la figura, que tiene dos salidas. En una de ellas hay un gato y en la otra un queso. En cada cruce elige al azar uno de los caminos posibles.

¿Qué crees que es más fácil: que el ratón se coma el queso o que sea comido por el gato?

El ratón debe elegir primero entre 2 caminos, a continuación entre 3 y finalmente, si aún

sigue vivo, entre 2; así pues, puede recorrer 2x3x2 = 12 itinerarios diferentes. Si hacemos entrar a 12 ratones, 3 llegarán al queso (p=3/12=1/4) y a 9 les comerá el gato (p=9/12=3/4).

45. Los ladrones de Bagdag

Hace miles de años, bajo el reinado de un príncipe cruel, los ladrones detenidos eran lanzados al interior de un calabozo que tenía 3 salidas. Los ladrones erraban por el calabozo, que no tenía ninguna luz.

Cuando encontraban una de las salidas la seguían sin saber cuál era ni a dónde


conducía. — La primera de las salidas les llevaba a la libertad en su día. — La segunda les conducía de nuevo al calabozo después de una mar-cha de dos

días. — La tercera les llevaba también al calabozo, pero al cabo de tres días (no podían dar

la vuelta a mitad de camino).

Si no lograban escapar antes, al cabo de seis días morían de hambre, sed y

desesperación.

Simula lo que le ocurriría a un ladrón en este calabozo. ¿Qué

probabilidad tiene de salir vivo?

El empleo de fichas para representar ladrones puede ser una buena ayuda, dado el gran número de vueltas que hay que dar. Como los ladrones deben tomar 3 decisiones, eligiendo cada vez entre 3 opciones, un buen número de partidas es considerar 3x3x3 = 27 ladrones de los que se salvarán 18 (p = 18/27 = 2/3) y morirán 9.


45. El juego audazTengo 1 millón de pesetas y necesito urgentemente 5 millones. Puedo

conseguirlos jugando a doble o nada. Me decido por una estrategia audaz: en cada jugada apuesto una cantidad de

dinero que me acerque lo más posible a mi meta. Esto quiere decir que si en un momento del juego tengo uno o dos millones, lo

apuesto todo. Pero si tengo 3 ó 4 millones sólo apuesto lo que necesito para llegar a los 5 millones.

Esto se puede representar así:

¿Qué probabilidad tengo de ganar? Supongamos que comienzan 16 jugadores: en la primera apuesta 8 perderán su dinero

y otros 8 se colocarán con 2 millones; 4 de éstos se arruinarán en la segunda jugada y otros 4 pasarán a tener 4 millones. Ahora sólo apuestan el millón que necesitan para ganar: 2 lo conseguirán y otros 2 se quedarán con 3 millones. Estos apuestan los 2 millones que necesitan: uno lo conseguirá y otro perderá, volviendo a encontrarse en la situación de partida, con 1 millón para comenzar nuevamente el juego. En resumen, de 16 de jugadores, 12 habrán perdido su capital, 3 habrán logrado los 5 millones que necesitaban y uno está en la situación de partida como si no hubiera jugado. Podemos prescindir del «jugador que no ha jugado» y obtendremos que la probabilidad de ganar es p = 3/15 = 1/5.

Por otro lado, este resultado resulta lógico: si el juego es limpio, la probabilidad de duplicar el dinero debe ser 1/2, la de triplicarlo 1/3 y la de quintuplicarlo 1/5.

47. Una urna contiene dos bolas blancas y dos bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazar la primera de ellas. Si la primera bola era blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea también blanca?

48. Una urna contiene dos bolas blancas y dos bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazar la primera de ellas. Si la segunda bola es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la primera fuera también blanca? Para la mayoría de los alumnos no debe suponer mucha dificultad decidir que en el problema

46 la probabilidad es 1/3, puesto que al ir a sacar la segunda bola sólo quedan en la urna 1 bola blanca y 2 negras. Lo que resulta más difícil es concluir que en el 47 la probabilidad es también 1/3. Muchos pensarán que es 1/2 (cuando se sacó había 2 blancas y 2 negras) o sencilla-mente que no puede calcular.

Mientras en el primer caso puede verse un razonamiento de causalidad, en el segundo resulta muy duro aceptar que un acontecimiento pueda venir condicionado por otro que se ha desarrollado posteriormente.

La simulación física del problema puede ser de alguna ayuda: el profesor saca una bola y la coloca aparte; a continuación saca una segunda bola; los alumnos ven que la segunda bola es


blanca (si es negra se anula el experimento), y entonces se les pide la probabilidad de que la primera bola (todavía oculta) sea también blanca. En estas condiciones el problema 47 es equiva-lente al 46.

Un diagrama en árbol puede ayudar a comprender la situación:

Es decir que de 6 casos tendremos: � blanca-blanca: 1 caso � blanca-negra: 2 casos � negra-blanca: 2 casos � negra-negra: 1 caso La segunda bola es blanca en 3 casos, de los cuales sólo en uno era

blanca también la primera bola: p=1/3.


� En una bolsa se introducen tres cuadrados de cartulinas del mismo tamaño. En una de ellas se ha dibujado un círculo rojo en cada cara; en la segunda se ha dibujado un círculo azul en cada cara; en la tercera se ha dibujado un círculo azul en una cara y uno rojo en la otra. Si al extraer una cartulina vemos un círculo rojo, ¿qué color es más probable que aparezca en la cara posterior? ¿Y si el círculo que vemos es azul?

En primer lugar los alumnos deberían pensar sobre el problema y hacer una conjetura. A continuación es interesante ver qué ocurre cuando realizamos el experimento 15 ó 20 veces e intentar interpretar los resultados.

Para llegar al resultado teórico un buen método puede ser numerar los círculos: -

Supongamos que el círculo que vemos es rojo. Podrá ser el 1, el 2 ó el 3: —Si es el 1, el círculo oculto al otro lado de la cartulina será el 2, y por lo tanto rojo.

—Si es el 2, el círculo oculto será el 1, y por lo tanto también rojo. — Si es el 3, el

círculo oculto será el 4, azul. Es decir, en dos de los tres casos el otro círculo es del mismo color (p=2/3) y en uno es de

color diferente (p=1/3).

� Problema de los taxis Un taxi se ve envuelto en un accidente nocturno y se da a la fuga. En la ciudad operan

dos compañías: una de Taxis Azules y otra de Taxis Verdes. Se sabe que el 85% de los taxis de la ciudad son Verdes y el 15% Azules.

Un testigo identificó el -taxi del accidente como Azul. A este testigo se le realizó una prueba bajo parecidas condiciones de visibilidad e identificó correctamente el color en el 80% de los casos.

¿Cuál es la probabilidad de que-el taxi del accidente fuera Azul? La tendencia «natural» es a considerar que el taxi efectivamente era azul, dado el alto

índice de acierto del testigo. Sin embargo, la siguiente tabla de contingencia para una muestra de 100 taxis dice que la probabilidad de que el taxi fuera azul es tan sólo p = 12/29 = 0.41.


Problemas e ideas sobre el azar sigma 16

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