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Problemas de Valores en la Frontera en Coordenadas Rectangulares CAPÍTULO 13.
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Problemas de Valores en la Frontera en Coordenadas Rectangulares
CAPÍTULO 13
Contenidos
• 13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables• 13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la
Frontera• 13.3 Ecuación de Calor• 13.4 Ecuación de Onda• 13.5 Ecuación de Laplace• 13.6 Problemas de Valores en la Frontera no
homogéneos• 13.7 Desarrollos en Series Ortogonales• 13.8 Series de Fourier con Dos Variables
13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables
• Ecuación Diferencial Lineal ParcialSe se establece que u denota la variable dependiente y x, y son variables independientes, la forma general de una ecuación diferencial lineal parcial de segundo orden se expresa emdiante
(1)
Cuando G(x, y) = 0, (1) es homogénea; de lo contrario, es no homogénea.
GFuyu
Exu
Dy
uC
yxu
Bx
uA
2
22
2
2
Separación de Variables
• Si suponemos que u = X(x)Y(y), entonces
",",',' 2
2
2
2
XYy
uYX
x
uXY
yu
YXxu
Ejemplo 1
Determine las soluciones producto de
SoluciónSea u = X(x)Y(y) y entonces
Introducimos una constante de separación real como −.
.42
2
yu
x
u
YY
XX
XYYX'
4"
,'4"
Ejemplo 1 (2)
Así que
Para los tres casos: = 0: X” = 0, Y’ = 0 (3) = −2 > 0, > 0
X” – 42X = 0, Y’ − 2Y = 0 (4) = 2 > 0, > 0
X” + 42X = 0, Y’ + 2Y = 0 (5)
(2) 0' ,04"
'4
"
YYXXYY
XX
Ejemplo 1 (3)Caso I: ( = 0) Las soluciones de (3) sonX = c1 + c2x y Y = c3. Así
(6)cuando A1 = c1c3 , B1 = c2c3. Caso II: ( = −2) Las soluciones de (4) sonX = c4 cosh 2x + c5 sinh 2x y ASí
(7)
donde A2 = c4c6, B2 = c5c6.
xBAcxccXYu 11321 )(
xeBxeAu
ecxcxcXYu
yy
y
2sinh2coshor
)2sinh2cosh(22
2
22
654
.
2
6yecY
Ejemplo 1 (4)
Caso III: ( = 2) Las soluciones de (5) sonX = c7 cos 2x + c8 sin 2x e Así
(8)
donde A3 = c7c9, B3 = c8c9.
.2
9yecY
xeBxeAu yy 2sin2cos22
33
Si u1, u2, …, uk son soluciones de una ecuación diferencial
parcial, entonces al combinación linealu = c1u1 + c2u2 + … + ckuk
donde las ci = 1, 2, …, k son constantes, también es una
solución.
TEOREMA 13.1Principio de Superposición
Se dice que la ecuación diferencial parcia lineal de segundo orden
donde A, B, C, D, E, y F son constantes reales, eshiperbólica si parabólica sielíptica si
DEFINICIÓN 13.1Clasificación de Ecuaciones
02
22
2
2
Fuyu
Exu
Dy
uC
yxu
Bx
uA
042 ACB042 ACB
042 ACB
Ejemplo 2
Clasifique la siguiente ecuación:
Solución (a)
0(c) (b) 3)( 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
y
u
x
uyu
x
ua
parabólicaACB
C,BAy
u
x
u
:04
;0,030;3
2
2
2
Ejemplo 2 (2)
elípticaACB
CBAy
u
x
uc
ahiperbólicACB
CBAy
u
x
ub
:04
;1,0,1;0 )(
:04
;1,0,10; )(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la Frontera• Introducción
Ecuaciones clásicas:
(1)
(2)
(3)
Se conocen como la ecuación unidimensional del calor, ecuación de onda unidimensional, y forma bidimensional de la ecuación de Laplace, respectivamente.
0,2
2
ktu
x
uk
2
2
2
22
t
u
x
ua
02
2
2
2
y
u
x
u
Observación:
• La ecuación de Laplace se abrevia como 2u = 0, donde
se llaman Laplaciano bidimensional de u. En tres dimensiones el Laplaciano de u es
2
2
2
22
y
u
x
uu
2
2
2
2
2
22
z
u
y
u
x
uu
Problemas de Valores en la Frontera
• Resolver:
Sujeta a : (BC) (11)
(IC)
0,0,2
2
2
22
tLxt
u
x
ua
0,0),(,0),0( ttLutu
Lxxgtu
xfxut
0,)(,)()0,(
0
• y Resolver:
Sujeta a:
(BC) (12)
byaxy
u
x
u
0,0,02
2
2
2
axxfbxuxu
byxu
xu
axx
0,)(),(,0)0,(
0,0,00
13.3 Heat Equation
• IntroducciónLa ecuación de calor puede desribirse así:
(1)
(2)
(3)
,2
2
tu
x
uk
0,0 tLx
,0),0( tu 0,0),( ttLu
,)()0,( xfxu Lx 0
Solución de los PVF• Usando u(x, t) = X(x)T(t), y − como la constante de
separación:
(4)
(5)
(6)
kTT
XX
0 XX
0 TkT
• Ahora las condicionesde frontera (2) se traducen en u(0, t) = X(0)T(t) = 0 y u(L, t) = X(L)T(t) = 0. Luego obtenemos X(0) = X(L) = 0 y
(7)De las discusiones antriores obtenemos
,0)0( X 0)( LX,0 XX
(10) 0 ,sincos)(
(9) 0 ,sinhcosh)(
(8) 0 ,)(
221
221
21
xcxcxX
xcxcxX
xccxX
• Cuando las condiciones de frontera X(0) = X(L) = 0 se aplican a (8) y (9), estas soluciones son sólo X(x) = 0. Aplicando la primera condición a(10) se obtiene c1 = 0. Por tanto X(x) = c2 sin x. La condición X(L) = 0 implica que
(11)Tenemos que sin L = 0 para c2 0 y = n/L, n = 1, 2, 3, … Los valores n = n
2 = (n/L)2, n = 1, 2, 3, … y las soluciones correspondientes
(12)
0sin)( 2 LcLX
... 3, 2, ,1 ,sin)( 2 nxLn
cxX
son los valores propios y funciones propias, respectivamente. La solución general de (6) es
y por tanto
(13)
donde An = c2c3.
tLnkecT )/(3
222
xLn
eATtxXu tLnknn
sin)()( )/( 222
• Ahora usando las condiciones iniciales u(x, 0) = f(x), 0 < x < L, tenemos
(14)Por el principio de superposición la función
(15)debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t = 0, entonces
1
sin)()0 ,(n
n xLn
Axfxu
xLn
Axfxu nn
sin)()0,(
1
)/(
1
sin),(222
n
tLnkn
nn x
Ln
eAutxu
• Se conoce como un desarrollo de semiintervalo para f en a en una serie seno. Si ponemos An = bn, n = 1, 2, 3, … entonces:
(16)Llegamos a la conclusión de que la solución del PVF descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante la serie infinita
(17)
L
n xdxLn
xfL
A0
sin)(2
xLn
exdxLn
xfL
txu
tLnk
n
L sinsin)(2
),(
)/(
10
222
• Por ejemplo, u(x, 0) = 100, L = , y k = 1, entonces
1
(18) sin)1(1200
),(
,)1(1200
2
n
tnn
n
n
nxen
txu
nA
13.4 Ecuación de Onda• Introducción
Considere la ecuación de onda
(1)
(2)
(3)
,2
2
2
22
t
u
x
ua
0,0 tLx
,0),0( tu 0,0),( ttLu
,)()0,( xfxu )(0
xgtu
t
Solución del PVF• Con la suposición u(x, t) = X(x)T(t), de (1) se
obtiene
de modo que(4)(5)
Ta
TXX
2
0 XX 02 TaT
• Empleando que X(0) = 0 y X(L) = 0, se tiene(6)
Sólo = 2 > 0, > 0 lleva a una solución no trivial. Por tanto la solución general de (4) es
X(0) = 0 y X(L) = 0 implican que c1= 0 y c2 sin L = 0. Por tanto se tiene que = n/L, n = 1, 2, 3, …
,0)0( X 0)( LX,0 XX
xcxcX sincos 21
• Los valores propios y las funciones propias son:
tL
anct
L
anctT
nxL
ncxXLnn
sincos)(
es (5) de generalsolución La
,...3,2,1,sin)(,/
43
2222
• Sean An = c2c3, Bn = c2c4, soluciones que satisfacen (1) y (2) son
(7)
y
(8)
xLn
tLan
BtLan
Au nnn
sinsincos
1
sinsincos),(n
nn xLn
tLan
BtLan
Atxu
• Al sustituir t = 0 en (8) y usando u(x, 0) = f(x) se obtiene
Puesto que esta última expresión es un desarrollo en semiintervalo para f en una serie de senos, podemos identificar An = bn:
(9)
1
sin)()0,(n
n xLn
Axfxu
L
n xdxLn
xfL
A0
sin)(2
• Para determinar Bn se deriva (8) con respecto a t y fijando t = 0:
Así se obtiene
(10)
L
n
nnt
nnn
dxLn
xgLL
anB
xLn
Lan
Bxgtu
xLn
tLan
Lan
BtLan
Lan
Atu
0
10
1
sin)(2
sin)(
sincossin
L
n dxLn
xgan
B0
sin)(2
Ondas Estacionarias
• Es fácil transformar (8) en
n
nn
n
nnnnn
nnn
CB
CA
BAC
xLn
tLan
Ctxu
cos,sin,
(11) sinsin) ,(
22
• Cuando n = 1, u1(x, t) se llama primer onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de vibración. La frecuencia f1 = a/2L del primer modo normal se llama la frecuencia fundamental o primera armónica. Observe Fig 13.9.
T
LLa
f21
21
Fig 13.9
13.5 Ecuación de Laplace
• Introducción Considere el siguiente problema de valores en la frontera
(1)
(2)
(3)
byaxy
u
x
u
0,0,02
2
2
2
byxu
xu
axx
0,0,0
0
axxfbxuxu 0,)(),(,0)0,(
Solución del PVF
• Con u(x, y) = X(x)Y(y), (1) se transforma en
Las tres condiciones homogéneas de frontera en (2) y (3) se traducen en X’(0) = 0, X’(a) = 0, Y(0) = 0.
(5) 0"
(4) 0"
""
YY
XXYY
XX
• Por tanto disponemos de siguientes ecuaciones (6)
Para = 0, (6) se transforma enX” = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0
La solución es X = c1 + c2x. X’(0) = 0 implica que c2 = 0 y X = c1 también satisface la condición X’(a) = 0. Así X = c1, c1 0 es una solución no trivial.
• Para = −2 < 0, > 0, (6) no posee ninguna solución no trivial.
,0)0( X 0)( aX,0 XX
• Para = 2 > 0, > 0, (6) se transforma en X” + 2X = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0
Aplicando X’(0) = 0 a la solución X = c1 cos x + c2 sin x, se tiene que c2 = 0 y por tanto X = c1 cos x . De la condición X’(a) = 0 se obtiene −c1 sin a = 0, y tiene que ser = n/a, n = 1, 2, 3, …. Los valores propios de (6) son n = (n/a)2, n = 1, 2, …
• Relacionando 0 con n = 0, las funciones propias de (6) son
Para Y” – Y = 0, cuando 0 = 0, la solución es Y = c3 +
c4y. Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4y.
,...2,1,cos;0, 11 nxan
cXncX
• Para n = (n/a)2, n = 1, 2, …, la solución esY = c3 cosh (ny/a) + c4 sinh (ny/a)
Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4 sinh (ny/a).
• Las soluciones un = XY son
,...2,1for ;0for
,...2,1,cossinh;0,
41410
0
nccAnccA
nxan
yan
AnyA
n
n
• El principio de superposición conduce a que
(7)
Sustituimos y = b, entonces
es le desarrollo de semiintervalo de f en una serie de cosenos.
10 cossinh)() ,(
nn x
an
ban
AbAxfbxu
10 cossinh),(
nn x
an
yan
AyAyxu
• Si se hacen las identificaciones A0b = a0/2 y An
sin (nb/a)= an, n = 1, 2, …., se tiene
(9) cos)(sin
2
cos)(2
sin
(8) )(1
)(2
2
0
0
00
00
a
n
a
n
a
a
xdxan
xfb
an
aA
xdxan
xfa
ban
A
dxxfab
A
dxxfa
bA
Problema de Dirichlet• Demostrar que la solución del siguiente
Problema de Dirichlet
)(),(,0)0,(
0),(,0),0(
0,0,0 2
2
2
2
xfbxuxu
yauyu
byaxy
u
x
u
es
(10) sin)(sinh
2
sinsinh),(
0
1
a
n
nn
xdxan
xf
abn
aA
xan
yan
Ayxu
Superposition Principle• Queremos dividir el siguiente problema
(11)
en dos problemas, cada uno de los cuales tenga condiciones homogéneas de frontera en fronteras paralelas, como se muestra en las siguientes tablas.
axxgbxuxfxu
byyGyauyFyu
byaxy
u
x
u
0,)(),(,)()0,(
0,)(),(,)(),0(
0,0,02
2
2
2
• Problema 1:
axxgbxuxfxu
byyauyu
byaxy
u
x
u
0),(),(),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,0
11
11
21
2
21
2
• Problema 2:
axbxuxu
byyGyauyFyu
byaxy
u
x
u
0,0),(,0)0,(
0),(),(),(),0(
0,0,0
22
22
22
2
22
2
• Suponemos que u1 y u2 son soluciones del problema 1 y problema 2, respectivamente. Si definimos u = u1 + u2, entonces
etcétera. Fig 13.15.
)(0)(),(),(),(
)()(0),0(),0(),0(
21
21
xgxgbxubxubxu
yFyFyuyuyu
Fig 13.15
• Se deja como ejercicio determinar que la solución del problema 1 es
ban
Axdxan
xga
abn
B
xdxan
xfa
A
xan
yan
Byan
Ayxu
n
a
n
a
n
nnn
coshsin)(2
sinh
1
sin)(2
sinsinhcosh),(
0
0
11
• La solución del problema 2 es
abn
Aydybn
yGb
ban
B
ydybn
yFb
A
ybn
xbn
Bxbn
Ayxu
n
b
n
b
n
nnn
coshsin)(2
sinh
1
sin)(2
sinsinhcosh),(
0
0
12
13.6 PVF no homogéneos• Introducción
Un típico PVF no homogéneo para la ecuación de calor es
(1)
Cuando se genera calor a una rapidez r en una varilla, la ecuación de calor de (1) toma la forma
(2)está demostrado que la ecuación (2) no es separable.
Lxxfxu
ttutLututu
tLxtu
txFx
uk
0 ),()0 ,(
0 ),() ,( ),() ,0(
0 ,0 ,) ,(
10
2
2
tu
rx
uk
2
2
Cambio de Variables Dependientes
• u = v + , es una función a determinar.
EDP y CF Independientes del Tiempo
• EDP y CF Independientes del tiempoPrimero considere la fuente de calor F y que las condiciones en la frontera son independientes del tiempo:
(3)
• PDE -> EDP ecuaciones diferenciales parciales ??????• BC -> CF condiciones en la frontera ??????
Lxxfxu
tutLuutu
tLxtu
xFx
uk
0 ),()0 ,(
0 ,) ,( ,) ,0(
0 ,0 ,)(
10
2
2
• En (3), u0 y u1 son constantes. Si permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x), (3) puede reducirse a ods problemas:
)()()0(
0),(,0),0( :2 Prombla
)(,)0(,0)("{ :1 Prombla
2
2
10
xxfx,v
tLvtvt
v
x
vk
uLuxFk
Ejemplo 1Resolver (2) sujeta a
SoluciónSi permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x), entonces
(4)
puesto que t = 0.
10),()0,(
0,),1(,0),0( 0
xxfxu
tututu
,2
2
2
2
x
v
x
u
tv
tu
Ejemplo 1 (2)Sustituyendo (4) en (3) se tiene
(5)La ecuación (5) se reduce a una EDP homogénea si se exige que sea una función que satisfaga la EDO
Así se tiene
(6)
k
rrk " ó 0"
tv
rkx
vk
2
2
21
2
2)( cxcx
kr
x
Ejemplo 1 (3)
Además,
Se tiene que v(0, t) = 0 y v(1, t) = 0, si elegimos (0) = 0 y (1) = u0
Aplicando estas condiciones a (6) se tiene c2 = 0, c1 = r/2k + u0.
0)1(),1(),1(
0)0(),0(),0(
utvtu
tvtu
Ejemplo 1 (4)
En consecuencia
Por último, la condición inicial u(x,0) = v(x, 0) + (x) implica que v(x,0) = u(x, 0) − (x) = f(x) – (x). Tenemos el nuevo PVF homogéneo:
xukr
xkr
x
0
2
22)(
10 ,22
)()0(
0 ,0),1( ,0),0(
0 ,10 ,
02
2
2
xxukr
xkr
xfx,v
ttvtv
txtv
x
vk
Ejemplo 1 (5)
• De manera usual se encuentra
(7) sin22
)(2
tienese ),0( inicialcondición laCon
sin),(
1
0 02
1
22
xdxnxuk
rx
k
rxfA
x,v
xneAtxv
n
n
tknn
Ejemplo 1 (6)
Una solución del problema original es
(8)
Observe que
ransitoriasolución t: as 0),(
estable estado desolución : as )(),(
ttxv
txtxu
10
2 sin22
),(22
n
tknn xneAxu
kr
xkr
txu
EDP y BF Dependientes del Tiempo• En esta situación, una nueva forma de solución es
u(x, t) = v(x, t) + (x, t) Puesto que
(9)
(1) se transforma
(10)
y 2
2
2
2
2
2
tt
v
t
u
xx
v
x
u
)0 ,()()0 ,(
)() ,() ,( ),() ,0() ,0(
) ,(
00
2
2
2
2
xxfxv
tutLtLvtuttvtt
vtxF
xk
x
vk
• Las CF en v en (10) pasan a ser homogéneas si exigimos que
(11)Ahora construimos una función que satisfaga ambas condiciones en (11). Una función de esta forma es
(12)
Observe que xx = 0. Si sustituimos(13)
el problema en (1) se transforma en
)() ,( ),() (0, 00 tutLtut
)]()([)() ,( 010 tutuLx
tutxu
)]()([)() ,() ,( 010 tutuLx
tutxvtxu
(14)
donde G(x, t) = F(x, t) – t.
)0 ,()()0 ,(
)() ,() ,( ),() ,0() ,0(
) ,(
00
2
2
2
2
xxfxv
tutLtLvtuttvtx
vtxF
xk
x
vk
• Antes de resolver (14), señalamos la estrategia básica:
Suponemos que se pueden hallar coeficientes dependientes del tiempo vn(t) y Gn(t) tales que v(x, t) y G(x, t) en (14) pueden desarrollarse en serie
(15)
• donde sin(nx/L), n = 1, 2, … son las funciones propias de X”+ X = 0, X(0) = 0, X(L) = 0 correspondientes a los valores propios
n = n2 = n22/L2
1
1
sin)() ,( and
sin)() ,(
nn
nn
xLn
tGtxG
xLn
tvtxv
Ejemplo 2Resolver
Solución Hacemos corresponder este problema con (1) para obtener k = 1, L = 1, F(x, t) = 0, u0(t) = cos t, u1(t) = 0, f(x) = 0. De (12) obtenemos
y entonces como se indica en (13), sustituimos(16)
10 ,0)0 (
0 ,0) ,1( ,cos) ,0(
0 ,10 ,2
2
xx,u
ttuttu
txtu
x
uk
txtxttx cos)1(]cos0[cos),(
txtxvtxu cos)1() ,() ,(
Ejemplo 2 (2)Para obtener el PVF para v(x, t):
(17)
Los valores propios y las funciones propias del problema de Sturm-Liouville
X +X = 0, X(0) = 0, X(1) = 0son n = n
2 = n22 y sin nx, n = 1, 2, ….
10 ,1)0 ,(
0 ,0) ,1( ,0) ,0(
0 ,10 ,sin)1(2
2
xxxv
ttvtv
txtv
txx
v
Ejemplo 2 (3)
Con G(x, t) = (1 – x) sin t, suponemos a partir de (15) y para t fijo, v y G pueden escribirse como series de seno d eFourier:
(18)
y (19)
1
sin)() ,(n
n xntvtxv
1
sin)(sin)1(n
n xntGtx
Ejemplo 2 (4)
Tratando t como un parámetro,
Por lo tanto
(20)
tn
xdxnxt
xdxntxtGn
sin2
sin)1(sin2
sinsin)1(12
)(
1
0
1
0
1
sinsin2
sin)1(n
xntn
tx
Ejemplo 2 (5)De (18), tenemos
(21)
La EDP se transforma en
1
1
222
2
sin)(y
sin))((
nn
nn
xntvt
v
xnntvx
v
nt
tvntv
xnn
txntvntv
nn
nnnn
sin2)()('
sinsin2
sin)()('
22
11
22
Ejemplo 2 (6)
Para cada n, la solución general de la EDO es:
donde Cn denota la constante arbitraria. De ahí
(22)
tnnn eC
n
ttnn
tv22
1
cossin2)( 44
22
xneCnn
ttntxv
n
tnn
sin
)1(
cossin2) ,(
144
2222
Ejemplo 2 (7)Cn puede determinarse la condición inicial v(x, 0) a (22). De l serie de Fourier
nC
nn
xdxnxCnn
xnCnn
x
n
n
nn
2
)1(
2
sin)1(2)1(
2
sin)1(
21
44
1
044
144
Ejemplo 2 (8)Por tanto
144
22
144
22
44
sin)1(
cossin2
)cos1(),(
sin)1(
cossin2),(
2
)1(
2
2222
2222
n
tntn
n
tntn
n
xnn
e
nn
ettn
txtxu
xnn
e
nn
ettntxv
nnnC
13.7 Desarrollos en Series Ortogonales• Ejemplo 1
La temperatura de una varilla de unidad unitaria se determina de
Determine u(x, t).
10 ,1)0 (
0,0 ), ,1( ,0) ,0(
0 ,10 ,
1
2
2
xx,u
ththuxu
tu
txtu
x
uk
x
Ejemplo 1 (2)
Solución Si suponemos que u(x, t) = X(x)T(t) y usamos − como la constante de separación, tenemos
(1)
(2)
(3)
0 XX
0 TkT
,0)0( X )1()1( hXX
Ejemplo 1 (3)(1) y (3) constituyen un problema regular de Sturm-Liouville
(4)Como en Ejemplo 2 de Sec 12.5, (4) posee soluciones no triviales sólo para = 2 > 0, > 0. La solución general es X = c1 cos x + c2 sin x. X(0) = 0 implica c1 = 0. Aplicando la segunda condición en (4) a X = c2 sin x, se tiene
(5)
0)1()1( ,0)0( ,0 hXXXXX
hh
tanor 0sincos
Ejemplo 1 (4)Por el hecho de que la gráfica de y = tanx e y = −x/h, h > 0, tengan un número infinito de intersecciones para x > 0, (5) tiene un número infinito de raíces. Si las raíces positivas consecutivas se denotan n, n = 1, 2, …, entonces los valores propios son n = n
2 y las funciones propias correspondientes son X(x) = c2 sin nx, n = 1, 2, …. La solución de (2) es
1
3
sin),(
sin so and ,)(
2
22
nn
tkn
ntk
nntk
xeAtxu
xeAXTuectT
n
nn
Ejemplo 1 (5)
Ahora en t = 0, u(x, 0) = 1, 0 < x < 1, de forma que(6)
(6) es un desarrollo de u(x, 0) = 1 en términos de las funciones ortogonales que surgen del problema regular de Sturm-Liouville (4). El conjunto {sin nx} es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1. De (8) de Sec 12.1, tenemos
(7)
1
sin1n
nn xA
1
0
2
1
0
sin
sin
dxx
dxxA
n
n
n
Ejemplo 1 (6)Determinamos que
(8)
1
0
1
0
2
2sin21
121
]2cos1[21
sin
nn
n
n
dxx
dxx
)cos1(1
0
1cos
1sin
),cos(2
1sin
en a transformse (8) ,sincos (5), departir ay
cossin22sin Utilizando
1
0
21
0
2
nn
nn
n
nn
nnn
nnn
xxdx
hxdx
h
Ejemplo 1 (7)De ahí (7) se transforma en
12
2
sin)cos(
)cos1(2),(
último,Por
)cos(
)cos1(2
2
nn
tk
nn
n
nn
nn
xeh
htxu
h
hA
n
Ejemplo 2
• Observe Fig 13.19. La EDP se describe mediante
10 ,0,)0 (
0 ,0,0) ,0(
0 ,10 ,
0
1
2
2
2
22
xt
xx,
tx
t
txtx
a
t
x
Fig 13.19
Ejemplo 2 (2)Solución De manera similar, tenemos
(9)(10)(11)
(9) junto con la condición homogénea en la frontera en (11),
(12)es un problema regular de Sturm-Liouville.
0 XX 02 TaT
y 0)0( X 0)1( X
0)1( ,0)0( ,0 XxXX
Ejemplo 2 (3)
Para = 0 y = −2, > 0, la única solución es X = 0. Para = 2, > 0, aplicando X(0) = 0 y X(1) = 0 a la solución X = c1 cos x + c2 sin x se tiene c1 = 0, c2 cos = 0. Por tanto n = (2n – 1)/2 y los valores propios son n = n
2 = (2n – 1)22/4, y las funciones propias correspondientes son
,...3,2,1,2
12sinsin)( 22
nx
ncxcxX n
Ejemplo 2 (4)La condición inicial t(x, 0) = 0 implica X(x)T(0) = 0 ó T(0) = 0. Aplicada a T(t) = c3 cos ant + c4 sin ant de (10) implica c4 = 0, T(t) = c3 cos ant = c3 cos a((2n – 1)/2)t. Por tanto
(13) 2
12sin
212
cos),(
212
sin2
12cos
1
nn
nn
xn
tn
aAtx
xn
tn
aAXT
Ejemplo 2 (5)Cuando t = 0, se tiene que tener, para 0 < x < 1,
(14)
Como en Ejemplo 1, el conjunto {sin((2n – 1)/2)x} es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en [0, 1]. Tenemos
1 212
sin)0,(n
n xn
Axx
22
1
1
0
2
1
0
)12(
)1(8
212
sin
212
sin
nxdx
n
xdxn
An
n
Ejemplo 2 (6)
Por último
12
1
2 212
sin2
12cos
)12(
)1(8),(
n
n
xn
tn
an
tx
13.8 Series de Fourier con Dos Variables
• Ecuación de Onda y de Transmisión de Calor en Dos Dimensiones Ecuación de calor en dos dimensiones:
(1)
Ecuación de onda en dos dimensiones:
(2)
tu
y
u
x
uk
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
t
u
y
u
x
ua
Fig 13.21
Ejemplo 1Determine la temperatura u(x, y, t) en la placa si la temperatura inicial es f(x, y) y los límites se matienen a temperatura cero durante el tiempo t > 0.Solución tenemos que resolver
cybxyxfyxu
tbxtcxutxu
tcytybutyu
tcybxt
u
y
u
x
uk
0,0),,()0,,(
0,0,0),,(,0),0,(
0,0,0),,(,0),,0( a sujeta
0,0,0, 2
2
2
2
Ejemplo 1 (2)Si ponemosu = XYT, obtenemos
(3)De manera similar, podemos obtener
de modo que
(4)
(5)
kTT
YY
XX '""
ó )( TXYTYXYTXk kTT
YY
XX
02 XX
2
kTT
YY
Ejemplo 1 (3)
Por la misma razón, introducimos otra constante de separación − en (5), entonces
Ahora las condiciones homogéneas(6) 0)(',0"
',
"
TkTYYkTT
YY
0)( ,0)0(
0)( ,0)0( implican
0) , ,( ,0) ,0 ,(
0) , ,( ,0) , ,0(
cYY
bXX
tcxutxu
tybutyu
Ejemplo 1 (4)De esta manera obtenemos dos problemas, uno en x
(7)y otro en y
(8)De forma similar tenemos dos conjuntos independientes de valores propios y funciones propias definidos por sin b = 0 y sin c = 0. Esto es
(9)
0)( ,0)0( ,0 bXXXX
0)( ,0)0( ,0 cYYYY
2
22
2
22
y ,c
n
b
mnm
Ejemplo 1 (5)
(10)
Después de sustituir los valores de (9) en (6), su solución general es:
... 3, 2, ,1 ,sin)( e
... 3, 2, ,1 ,sin)(
4
2
nyc
ncyY
mxb
mcxX
ycn
xbm
eAtyxu tcnbmkmnmn
sinsin) , ,( ])/()/[( 22
Ejemplo 1 (6)Usando el principio de superposición en la forma de una suma doble
(11)
En t = 0, tenemos
(12)y
(13)
ycm
xbm
eA
tyxu
m n
tcnbmkmn
sinsin
),,(
1 1
])/()/[( 22
ycn
xbm
Ayxfyxum n
mn
sinsin),()0,,(1 1
dydxycn
xbm
yxfbc
Ac b
mn
sinsin),(4
0 0
La ecuación (11) se llama serie de senos con dos variables. La serie de cosenos con dos variables es dada por
c b
m nmn
nn
mm
dxdyyxfbc
A
ycn
xbm
Aycn
A
xbm
AAyxf
0 000
1 110
1000
),(1
coscoscos
cos),(
c b
mn
c b
n
c b
m
ydxdycn
xbm
yxfbc
A
ydxdycn
yxfbc
A
xdxdybm
yxfbc
A
0 0
0 00
0 00
coscos),(2
cos),(2
cos),(2