Problemas de INgenierìa Civil

Ing. Fernando

Montesinos Andreses

CICLO 2013-I Módulo: II Unidad: 04 Semana: 08

MÉTODOS NUMÉRICOS Y

PROGRAMACIÓN DIGITAL

SOLUCIÓN NUMÉRICA ECUACIONES

DIFERENCIALES

http://www.google.com.pe/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=cHqWYRFOl5ZhwM&tbnid=9jWiITpN5rmJ4M:&ved=0CAgQjRwwAA&url=http%3A%2F%2Fecuacionesdiferenciales1815.blogspot.com%2F&ei=vHEyUYCLHoXH0wHokYDwDA&psig=AFQjCNG83M0K3kmWSzHeMFq4dHh1tG28Nw&ust=1362346812542125

ORIENTACIONES

Para llegar a donde deseas necesitas una

meta, que tu meta sea pasar este curso con

un buen resultado, es decir que puedas

lograr aprender a aprender. Para llegar a

ello debes tener un plan, el cual debe

incluir los puntos siguientes:·

• Prepararse para la clase.

• Asistir a clase.

• Solicitar ayuda especial cuando la

necesites·

CONTENIDOS TEMÁTICOS

SOLUCIÓN NUMÉRICA ECUACIONES DIFERENCIALES

. Método de extrapolación de Adams

. Método de Milne

. Método de diferencias finitas

Los métodos para solucionar una ecuacion

diferencial de primer orden pueden ser adaptados a

la solución de sistemas de primer orden.

00

21

0

2

0

22122

0

1

0

12111

,,,,

,,,,

,,,,

nnnnn

n

n

yxyyyyxfdx

dy

yxyyyyxfdx

dy

yxyyyyxfdx

dy

Sistemas de Ecuaciones

Diferenciales de Primer Orden

Por ejemplo sea el siguiente sistema de dos

ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden:

002

001

,,

,,

zxzzyxfdx

dz

yxyzyxfdx

dy



Donde busca aproximar y(x) y z(x)

Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial que

consta de dos EDOs de primer orden:

21

11

2

zzyxdx

dz

yzyxdx

dy



Donde busca aproximar y(1.2) y z(1.2)

nnnnn

nnnnn

nn

nnn

nnn

nn

zyxhzz

zyxhyy

hxx

zyx

hzzz

hyyy

hxx

2

1

1

1

000

1

1

1

211

'

'


Diferenciales de Primer Orden Plantearemos el algoritmo para el método de Euler:

401.2

87.1

2.1

2.2

4.1

1.1

1.0211

11

2

112

11112

12

00

2

001

00001

01

000

zyxhzz

zyxhyy

hxx

zyxhzz

zyxhyy

hxx

hzyx


Diferenciales de Primer Orden Reemplanzado valores:


Diferenciales de Primer Orden Se tiene una solución aproximada en forma

discreta:

n xn yn zn

0 1 1 2

1 1.1 1.4 2.2

2 1.2 1.87 2.401

''2*2/

''1*2/

''*2/'

''*2/'

22

1

2

1

1

2

1

2

1

1

nnnnnnnn

nnnnnnn

nn

nnnn

nnnn

nn

zyxhzyxhzz

zyhzyxhyy

hxx

zhhzzz

yhhyyy

hxx


Diferenciales de Primer Orden Si queremos mejorar la exactitud del resultado

podemos usar un paso h mas pequeño o usar

Taylor, por ejemplo de orden 2 sería:

211

211

112

112

1

1

1

2

1

2

1

,,

,,

,,

,,

llzz

kkyy

lzkyhxhgl

lzkyhxhfk

zyxhgl

zyxhfk

hxx

nn

nn

nnn

nnn

nnn

nnn

nn


Diferenciales de Primer Orden También se puede hacer una adaptación del método

de Runge-Kutta 2

Los problemas de valor inicial de mayor orden

pueden ser transformados en un sistema de

ecuaciones diferenciales de primer orden.

1-n

1-n

n

n

,,,,dt

yd

dt

dyytg

dt

yd

Ecuaciones Diferenciales orden Superior

Por ejemplo, sea la EDO de tercer orden:


002

2

00

00

2

2

3

3

''

'

,,,

ytdt

yd

ytdt

dy

yty

dt

yd

dt

dyytg

dt

yd

La EDO de tercer orden se transforma en un sistema

de 3 ecuaciones de primer orden:


002

2

0

000

00

''

'

ytdt

ydtw

ytdt

dytz

yty

wzytgdt

dw

wdt

dz

zdt

dy

,,,

Considere una ecuación

diferencial de segundo orden de

un sistema de masa y resorte

vibratorio

Las cond. iniciales son x(0) =x0

y x’(0) =0.

02

2

kxdt

dxc

dt

xdm


Re-escribir la ecuación:

La primera derivada puede ser escrita:

x

m

k

dt

dx

m

c

dt

xd2

2

2

2

y dt

xd

dt

dvv

dt

dx


La ecuación puede ser escrita como un conjunto

de dos ecuaciones de primer orden.

Las condiciones iniciales: x(0) = x0 y v(0) = 0.

xm

kv

m

c

dt

dv

vdt

dx


Sistemas de Valor Inicial Problemas

Las ecuaciones pueden ser definidas:

xm

kv

m

cvxtf

dt

dv

vvxtfdt

dx

,,

,,

2

1

Podemos aplicar Euler:

iii

iii

vxtftvdt

dvtvv

vxtftxdt

dxtxx

,,

,,

2ii1i

1ii

i1i

Sistemas de Valor Inicial Problemas

Diferenciales mayor-orden Problemas

Ejemplo

Considere una ecuación diferencial de segundo

orden para sistemas de masa-resorte vibrante.

Las condiciones iniciales son x(0) =0.2, x’(0) =0

y t = 0.02. (Solución Exacta = 0.2 cos(2t))

042

2

2

2

xdt

xdx

m

k

dt

xd

Problema Ejemplo

La ecuación puede ser escrita como un conjunto de

dos ecuaciones de primer orden.

Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 y v(0) = 0.

xdt

dv

vdt

dx

4

Problema Ejemplo

El desarrollo del método de Euler.

t x v dx/dt dv/dt Valor exacto

0 0,2 0 0 -0,8 0,2

0,02 0,2 -0,016 -0,016 -0,8 0,19984002

0,04 0,19968 -0,032 -0,032 -0,79872 0,19936034

0,06 0,19904 -0,04797 -0,0479744 -0,79616 0,19856173

0,08 0,198081 -0,0639 -0,0638976 -0,79232205 0,19744546

0,1 0,196803 -0,07974 -0,07974404 -0,78721024 0,19601332

0,12 0,195208 -0,09549 -0,09548825 -0,78083072 0,19426759

0,14 0,193298 -0,1111 -0,11110486 -0,77319166 0,19221109

0,16 0,191076 -0,12657 -0,12656869 -0,76430327 0,18984708

0,18 0,188544 -0,14185 -0,14185476 -0,75417777 0,18717936

0,2 0,185707 -0,15694 -0,15693831 -0,74282939 0,1842122

0,22 0,182569 -0,17179 -0,1717949 -0,73027433 0,18095033

0,24 0,179133 -0,1864 -0,18640039 -0,71653073 0,17739898

0,26 0,175405 -0,20073 -0,200731 -0,7016187 0,17356384

0,28 0,17139 -0,21476 -0,21476338 -0,68556022 0,16945102

0,3 0,167095 -0,22847 -0,22847458 -0,66837915 0,16506712

Problema Ejemplo

Ejemplo

Se puede observar un

error que cada vez se

irá incrementando.

Euler Example

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

Dis

pla

cem

en

t

x

v

actual value

ii1i

ii1i

4*

*

xtvv

vtxx

Las ecuaciones son definidas como funciones.

Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 and v(0) = 0.

xvxtfdt

dv

vvxtfdt

dx

4,,

,,

2

1

Problema Ejemplo

Los componentes de Runge-Kutta:

ki,j donde i es el paso y j es la función.

2,3i1,3ii11,4

2,2i1,2ii11,3

2,1i1,1ii11,2

iii11,1

,,*

2

1,

2

1,

2*

2

1,

2

1,

2*

,,*

kvkxttftk

kvkxt

tftk

kvkxt

tftk

vxtftk

2,3i1,3ii22,4

2,2i1,2ii22,3

2,1i1,1ii22,2

iii22,1

,,*

2

1,

2

1,

2*

2

1,

2

1,

2*

,,*

kvkxttftk

kvkxt

tftk

kvkxt

tftk

vxtftk

Problema Ejemplo

La actualización de un sólo paso:

Use los valores iniciales x(0) = 0.02 y v(0) = 0

2,42,32,22,1i1i

1,41,31,21,1i1i

*2*26

1

*2*26

1

kkkkvv

kkkkxx

Problema Ejemplo

Ejemplo Metodo de Runge-

Kutta de 4th Orden

t x v k11 k12 k21 k22 k31 k32 k41 k42 Exacto

0 0,2 0 0 -0,016 -0,00016 -0,016 -0,00016 -0,01599 -0,00032 -0,016 0,2

0,02 0,19984 -0,016 -0,00031991 -0,0159872 -0,00047979 -0,01597 -0,00048 -0,01597 -0,000639 -0,016 0,1998

0,04 0,19936 -0,03197 -0,00063932 -0,01594883 -0,00079881 -0,01592 -0,0008 -0,01592 -0,000958 -0,016 0,1994

0,06 0,198562 -0,04788 -0,0009577 -0,01588494 -0,00111655 -0,01585 -0,00112 -0,01584 -0,001275 -0,016 0,1986

0,08 0,197445 -0,06373 -0,00127455 -0,01579564 -0,0014325 -0,01574 -0,00143 -0,01574 -0,001589 -0,016 0,1974

0,1 0,196013 -0,07947 -0,00158935 -0,01568107 -0,00174617 -0,01562 -0,00175 -0,01561 -0,001902 -0,016 0,196

0,12 0,194268 -0,09508 -0,00190162 -0,01554141 -0,00205704 -0,01547 -0,00206 -0,01546 -0,002211 -0,015 0,1943

0,14 0,192211 -0,11054 -0,00221085 -0,01537689 -0,00236461 -0,01529 -0,00236 -0,01528 -0,002516 -0,015 0,1922

0,16 0,189847 -0,12583 -0,00251653 -0,01518777 -0,00266841 -0,01509 -0,00267 -0,01508 -0,002818 -0,015 0,1898

xvxtfdt

dv

vvxtfdt

dx

4,,

,,

2

1

Los puntos tienen

menos error que el

método de Euler.

La aproximación

depende del tamaño

del paso del

problema

4th order Runge Kutta Example

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Time (t)

Dis

pla

cem

ent

v

x

actual value

Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th

Orden

Sistemas de EDO -

Problema Valor Inicial

Estas técnicas pueden trabajar con grandes

sistemas de ecuaciones para realizar una serie de

integraciónes del problema. Las ecuaciones se

pueden solucionar como serie de EDOs.

0

0

12212

22

2

2

2

111

12

1

2

1

yykdt

dy

dt

dyc

dt

ydm

ykdt

dyc

dt

ydm

Dando un conjunto de valores iniciales, y1,y2,y’1 e

y’2.

Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial

12

2

212

2

22

22

1

1

11

1

11

11

yym

kvv

m

c

dt

dv

vdt

dy

ym

kv

m

c

dt

dv

vdt

dy

El problema es formado por 4 EDOs de primer orden

con cuatro variables y condiciones iniciales.


2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1000

00

0010

v

y

v

y

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

dt

dvdt

dydt

dvdt

dy

El problema puede ser escrito en el formato matricial

y solucionado por consiguiente

.


Fuerzas pueden ser añadidas y fijadas para solucionar

las ecuaciones.

tF

tF

v

y

v

y

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

dt

dvdt

dydt

dvdt

dy

22

11

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

sin

0

sin

0

1000

00

0010


Cuando las condiciones la EDO se dan por lo menos

en algún punto diferente del valor inicial de la

variable independiente.

Sistemas de EDO - Problema Valor Frontera

EI

xMy "

Condiciones de Frontera Condiciones Iniciales

y(0)=0 y(L)=0 y(0)=0 y’(0)=0

36

Método de Diferencias Finitas

Sea la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:

byay

bax

xryxqyxpy

,

'''

Dividiendo el intervalo en (n+1) partes iguales

111100

1210 2

1

nnnn

n

yxyyxyyxyyxy

bxhaxhaxax

n

abh

37


Sean las fórmulas de diferenciación numérica para la primera

y segunda derivada

2

11

11

2''

2'

h

yyyy

h

yyy

iiii

iii

38


Reemplazando en la ecuación diferencial para cada nodo i=1, 2, …, n:

iiiiii xryxqyxpy '''

39


Se tendrá un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

1

0

11

2

11

2

2

:1

n

iiiii

iiii

y

y

xryxqh

yyxp

h

yyy

niPara

40


Agrupando:

1

0

2

1

2

12

122

1

:1

n

iiiiiii

y

y

xrhyxph

yxqhyxph

niPara

41


Luego:

1

0

2

1

2

1

2

2

3222

2

12

1

2

2111

2

01

212

21

212

21

212

21

n

nnnnnnn

y

y

xrhyxph

yxqhyxph

xrhyxph

yxqhyxph

xrhyxph

yxqhyxph

42


Expresado en forma matricial tenemos un sistema tridiagonal:

nn

n

n

n

nn

nn

xph

xrh

xrh

xrh

xph

xrh

y

y

y

y

xqhxph

xph

xqh

xph

xph

xqhxph

xph

xqh

21

21

22

100

212

02

10

212

21

002

12

2

1

2

2

2

11

2

1

2

1

2

11

2

3

22

2

2

11

2

43


Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:

y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283.

considere h=0.1.

Solucion.-

Discretización:

x0 x1 x2 x3 x4 X5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

y0 y1 y2 y3 y4 y5

0.1 ?? ?? ?? ?? 0.283

44


Se usarán las siguientes fórmulas de diferenciación

numérica:

2

11

11

2''

2'

h

yyyy

h

yyy

iiii

iii

Sea la ecuación diferencial para cada nodo “i”:

022

2

4:1

02'"

11

2

11

i

iiiii

iii

yh

yy

h

yyy

iPara

yyy

45


Reemplazando para cada nodo:

022

2

022

2

022

2

022

2

435

2

345

324

2

234

213

2

123

102

2

012

yh

yy

h

yyy

yh

yy

h

yyy

yh

yy

h

yyy

yh

yy

h

yyy

46


Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1

02283.055283.0100200100

0255100200100

0255100200100

0251.051002001.0100

4343

342432

231321

1221

yyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyy

47


Planteando y resolviendo el sistema tridiagonal:

2308.0

1879.0

1527.0

1238.0

885.26

0

0

5.10

20210500

952021050

095202105

0095202

4

3

2

1

4

3

2

1

y

y

y

y

y

y

y

y

48

Método del Disparo

Sea la ecuacion diferencial de segundo orden con condiciones de frontera:

Bbu

utu

uutgu

00

',,"

Consiste en transformar el problema de valor frontera en un problema de

valor inicial, suponiendo una pendiente s, luego se desarrolla un método

numérico para encontrar uN(s), se compara con B, si estos valores no son

aproximados se sigue suponiendo pendientes hasta dar en el blanco B.

49

Método del Disparo

El problema de valor inicial resultante:

stu

utu

uutgu

0

00

'

',,"

50

Método del Disparo

51

Método del Disparo

52

Método de Disparo

Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:

y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283.

considere h=0.1.

Solución.-

366.005.0

1.0283.0

283.0

5.0

0

00

xb

yBs

B

b

Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial:

53

Método de Disparo

366.00

1.00

2'

'

z

y

yzz

zy

Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos

ecuaciones diferenciales de primer orden:

El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede

ver en la siguiente tabla:

Método de Disparo

Resultados mediante Runge-Kutta de orden 4:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.36600

1 0.1 0.13966 0.42952

2 0.2 0.18643 0.50876

3 0.3 0.24204 0.60706

4 0.4 0.30861 0.72849

5 0.5 0.38867 0.87803

0s

05 sy

Método de Disparo

Calculando una nueva pendiente aproximada s1:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.15466

1 0.1 0.11736 0.19369

2 0.2 0.13901 0.24090

3 0.3 0.16587 0.29815

4 0.4 0.19905 0.36770

5 0.5 0.23991 0.45232

1s

15 sy

15466.0

05.0

38867.0283.0366.0

1

0

0501

s

xb

syBss

Método de Disparo

Mediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s3:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.21588

1 0.1 0.12382 0.26200

2 0.2 0.15274 0.31849

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5 0.5 0.28300 0.57564

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21588.0

38867.023991.0

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GRACIAS

Problemas de INgenierìa Civil

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