Problemas de enfriamiento · donde el término de la izquierda representa la fuerza resultante que...
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1
Problemas de enfriamiento
De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, la tasa de cambio de la temperatura T
de un cuerpo respecto del tiempo, en un instante t, en un medio de temperatura constante
A, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y la del cuerpo, es decir,
proporcional a A − T. La ecuación diferencial que nos da la variación de temperatura de
un cuerpo viene dada por:
ⅆT
ⅆt= 𝑘(𝐴 − 𝑇)
donde k > 0 es la constante de transferencia de calor.
Ejemplo 1:
La sala de disección de un forense se mantiene fría a una temperatura constante de 5°C.
Mientras se encontraba realizando la autopsia de una víctima de asesinato, el propio
forense es asesinado. A las 10 am el ayudante del forense descubre su cadáver a una
temperatura de 23°C. A las 12 am su temperatura es de 17°C. Suponiendo que el forense
tenía en vida la temperatura normal de 37°C, veamos a qué hora fue asesinado.
Solución: Aplicando la ley de enfriamiento de Newton llegamos a la ecuación diferencial
de variables separable.
ⅆT
ⅆt= 𝑘(5 − 𝑇)
Tenemos:
ⅆ𝑇
(5 − 𝑇)= 𝑘 ⅆ𝑡
Integrando de ambos lados
∫ⅆ𝑇
(5°𝐶 − 𝑇)= ∫ 𝑘 ⅆ𝑡
−Ln[5°𝐶 − 𝑇] = 𝑘𝑡 + 𝑐
Ln[5°𝐶 − 𝑇] = −𝑘𝑡 − 𝑐
ⅇLn[5°𝐶−𝑇] = ⅇ−kt−𝑐
(5°𝐶 − 𝑇) = cⅇ−kt
𝑇(𝑡) = 5°𝐶 − cⅇ−kt
Tenemos las condiciones iniciales, t=0 las 10 am, T(0)=23°C.
23°C = 5°C − 𝑐
2
𝑐 = 5°C − 23°C = −18°C
Con esto la ecuación se reescribe como:
𝑇(𝑡) = 5°𝐶 + 18°Cⅇ−kt
Y con la segunda condición inicial se puede obtener k. Al cabo de 2h la temperatura es de
17°C, esto quiere decir: 𝑇(2) = 17°C.
𝑇(2) = 17°C = 5°𝐶 + 18°𝐶ⅇ−2ℎ 𝑘
12°C = 18°Cⅇ−2ℎ 𝑘
12°C
18°C=
2
3= ⅇ−2ℎ 𝑘
ln (2
3) = −2ℎ 𝑘
𝑘 = −1
2ℎln (
2
3)
Por lo anterior, la ecuación queda:
T(𝑡) = 5°𝐶 + 18°𝐶ⅇ1
2ℎln(
23
)t
Para saber la hora a la que fue asesinado el forense, sabemos que la temperatura del
cuerpo es de 37°C.
37°C = 5°C + 18°𝐶ⅇ1
2ℎ𝑙n(
23
)t
37°C − 5°C
18°C= ⅇ
12ℎ
𝑙n(23
)t
16
9= ⅇ
12ℎ
𝑙n(23
)t
ln(16
9) =
1
2ℎ𝑙n(
2
3)𝑡
𝑡 =2ℎln(
169 )
ln(23)
= −2.8380ℎ = −2ℎ 50𝑚𝑖𝑛
Tenemos un tiempo negativo, ya que el asesinato ocurrió antes de las 10 am, que fue
cuando hallaron el cuerpo.
𝑡 = 10ℎ − 2ℎ 50min = 7ℎ 10min
El forense fue asesinado a las 7:10 am.
3
Mecánica Newtoniana
La Mecánica estudia el movimiento de los objetos bajo el efecto de las fuerzas que actúan
sobre ellas. La Mecánica Newtoniana o clásica estudia el movimiento de objetos que son
grandes comparados con un átomo y cuyo movimiento es lento comparado con la
velocidad de la luz. Planteamos las ecuaciones del movimiento de un cuerpo utilizando la
segunda ley de Newton:
𝐹⇀
= 𝑚𝑎⇀
donde el término de la izquierda representa la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo
en el instante t, en la posición x y con velocidad 𝑣 =ⅆ𝑥
ⅆ𝑡.
Para aplicar las leyes de Newton a un problema de mecánica, tenemos que considerar lo
siguiente:
1. Las fuerzas que actúan sobre el objeto.
2. Elegir un sistema de ejes coordenados apropiados y representar el movimiento del
objeto y las fuerzas que actúan sobre él.
3. Aplicar la segunda ley de Newton 𝐹⇀
= 𝑚𝑎⇀
para determinar las ecuaciones del
movimiento del objeto.
Nota: Consideramos que la aceleración de la gravedad es constante y su valor es 𝑔 =
9.8 𝑚 𝑠2⁄ .
Ejemplo 2:
Lanzamos un objeto de masa m con una velocidad inicial v0 dirigida hacia abajo.
Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad
del objeto, determinemos:
1. La ecuación que modeliza el movimiento de dicho objeto.
2. La distancia recorrida por el objeto en función del tiempo.
3. La velocidad del objeto en función del tiempo.
Solución:
Sobre el objeto actúan dos fuerzas: una fuerza constante debida a la acción de la
gravedad, dirigida verticalmente hacia abajo y de módulo F1 = mg, y una fuerza
correspondiente a la resistencia del aire, contraria al movimiento y proporcional a la
velocidad del objeto, F2 = −kv(t) = −k dx/dt , siendo x(t) la distancia recorrida por el objeto
en su caída en un instante t. Considerando como eje de coordenadas un eje vertical con
el valor x = 0 en la posición desde donde lanzamos el objeto hacia abajo, correspondiente
al instante inicial t = 0.
4
Figura 1: Diagrama de cuerpo libre para la caída de un objeto.
Tenemos que la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es la suma de las fuerzas.
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 = mg − kv
Aplicamos la segunda ley de Newton.
𝐹 = mg − kv = 𝑚ⅆ𝑣
ⅆ𝑡
Con la condición inicial 𝑣(0) = 𝑣0.
Dividimos todo entre m.
ⅆ𝑣
ⅆ𝑡= 𝑔 −
kv
𝑚
ⅆ𝑣
ⅆ𝑡+
kv
𝑚= 𝑔
Resolvemos por factor integrante.
Tenemos que:
𝑝(𝑡) =kv
𝑚 ⇒ 𝜇 = ⅇ∫
𝑘𝑚
ⅆ𝑡 = ⅇkt𝑚
La ecuación queda:
ⅆ
ⅆ𝑡[𝑣ⅇ
kt𝑚] = 𝑔ⅇ
k t𝑚
𝑣ⅇkt𝑚 = 𝑔∫ ⅇ
𝑘𝑡𝑚 ⅆ𝑡 =
𝑚 𝑔
𝑘ⅇ
𝑘 𝑡𝑚 + 𝑐
5
𝑣(𝑡) =𝑚𝑔
𝑘+ 𝑐ⅇ−
𝑘𝑡𝑚
Como la condición inicial es 𝑣(0) = 𝑣0, tenemos:
𝑣(0) = 𝑣0 =𝑚𝑔
𝑘+ 𝑐
⇒ 𝑐 = 𝑣0 −𝑚𝑔
𝑘
𝑣 (𝑡) =𝑚𝑔
𝑘+ (𝑣0 −
𝑚𝑔
𝑘) ⅇ−
𝑘𝑡𝑚
Esta es la ecuación que describe la velocidad en función del tiempo.
Para obtener la ecuación de la posición aplicamos: 𝑣(𝑡) =ⅆ𝑥
ⅆ𝑡
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡=
𝑚𝑔
𝑘+ (𝑣0 −
𝑚𝑔
𝑘) ⅇ−
𝑘𝑡𝑚
𝑥 (𝑡) = ∫ (𝑚𝑔
𝑘+ (𝑣0 −
𝑚𝑔
𝑘) ⅇ−
𝑘𝑡𝑚) ⅆ𝑡
𝑥(𝑡) =𝑔𝑚𝑡
𝑘−
ⅇ−𝑘𝑡𝑚 𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)
𝑘2+ 𝑐
Ahora tenemos que la condición inicial es: 𝑥(0) = 0
0 = −𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)
𝑘2+ 𝑐
𝑐 =𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)
𝑘2
Sustituyendo esto en la solución, tenemos:
𝑥(𝑡) =𝑔𝑚𝑡
𝑘−
ⅇ−𝑘𝑡𝑚𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)
𝑘2+
𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)
𝑘2
𝑥(𝑡) =𝑔𝑚𝑡
𝑘+
𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)
𝑘2(1 − ⅇ−
𝑘𝑡𝑚 )
La cuál describe la posición del objeto en función del tiempo.
6
Ejemplo 3:
Suponga que un automóvil viaja a 50𝑘𝑚/ℎ𝑟 cuando aplica los frenos en el tiempo 𝑡 = 2.
Determina la distancia recorrida. Suponga una desaceleración no constante 𝑎 = −6𝑡 (-6 es
la constante de proporcionalidad, con unidades 1
𝑠2
km
ℎ).
Solución:
Sabemos que la aceleración se puede escribir como:
a =ⅆ𝑣
ⅆ𝑡
Y por lo planteado en el problema tenemos
ⅆ𝑣
ⅆ𝑡= −6𝑡 ⇒ 𝑣(𝑡) = ∫ −6𝑡 ⅆ𝑡 + 𝐶
La velocidad en función del tiempo es:
𝑣(𝑡) = −3𝑡2 + 𝐶
Para determinar C, sabemos que 𝑣0 = 50 km ℎ⁄ , 𝑡 = 0
50km
ℎ= −3(0)2 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 50
km
ℎ
La ecuación de la velocidad queda como:
𝑣(𝑡) = −3𝑡2 + 50km
ℎ
Para saber la distancia que recorrió, sabemos que la velocidad se puede reescribir como:
v =ⅆ𝑥
ⅆ𝑡
Ahora tenemos
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡= −3𝑡2 + 50
km
ℎ ⇒ 𝑥(𝑡) = ∫ (−3𝑡2 + 50
km
ℎ ) ⅆ𝑡 + 𝐾
Integrando
𝑥(𝑡) = −𝑡3 + (50km
ℎ) 𝑡 + 𝐾
La condición inicial es x(0)=0
7
𝑥(0) = 0 = −(0)3 + (50km
ℎ) (0) + 𝐾 ⇒ 𝐾 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la posición en función del tiempo es:
𝑥(𝑡) = −𝑡3 + (50km
ℎ) 𝑡
Como deseamos saber la distancia que recorrió el automóvil en 2s, sustituimos en la
ecuación anterior y considerando las unidades de la constante de proporcionalidad.
𝑥(2𝑠) = −(2𝑠)31
𝑠2
km
ℎ+ (50
km
ℎ) (2𝑠)
𝑥(2𝑠) = −8𝑠31
𝑠2
km
ℎ+ 100
km
ℎ𝑠
𝑥(2𝑠) = −8𝑠km
ℎ+ 100
km
ℎ𝑠 = 92
km
ℎ𝑠 = 92
km
3600𝑠𝑠
𝑥(2𝑠) =92
3600𝑘𝑚 =
23
900𝑘𝑚 = 0.02556 𝑘𝑚
8
Determinación de edades por el método de carbono 14
Willard Libby ideo un método en 1950, el cual usa carbono radiactivo para determinar la
edad de los fósiles. La teoría se sustenta en que el isótopo de carbono 14 (C14) se
produce en la atmósfera por la acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. El
cociente de la cantidad de C14 y la cantidad de carbono ordinario C12 presentes en la
atmósfera es constante, por lo cual la proporción de isótopo presente en los organismos
vivos es la misma que en la atmósfera. Cuando un organismo muere, la absorción del C14
cesa. Comparando dicha proporción de C14 de un fósil con la proporción constante
encontrada en la atmósfera, se puede determinar una aproximación de su edad. Para ello
se requiere conocer la vida media del C14, la cual es (aproximadamente) 5600 años.
Ejemplo 4:
Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la cantidad original de
carbono 14. Determina la edad del fósil.
Solución:
Sea M(t) la cantidad de C14 presente a un tiempo t y sea M(0) = M0 la cantidad inicial de
C14 que tenía el fósil. Tenemos la siguiente ecuación diferencial:
ⅆ𝑀(𝑡)
ⅆ𝑡= −𝑘𝑀(𝑡)
Resolviendo por separación de variables
ⅆ𝑀(𝑡)
𝑀(𝑡)= −𝑘 ⅆ𝑡
Integrando
ln(𝑀(𝑡)) = −𝑘𝑡 + 𝐶
Y despejando para M(t)
𝑀(𝑇) = ⅇ−𝑘𝑡+𝐶 = Cⅇ−𝑘𝑡
Aplicando la condición inicial M(0) = M0, t=0.
𝑀(0) = 𝑀0 = Cⅇ−𝑘(0) = 𝐶 ⇒ 𝐶 = 𝑀0
La ecuación queda
𝑀(𝑡) = 𝑀0ⅇ−𝑘𝑡
El problema dice que el fósil contiene 0.001 M0 de C14, del cual su vida media es de 5600
años. Entonces
9
𝑀(5600) =𝑀0
2
De esto tenemos
𝑀0
2= 𝑀0ⅇ−𝑘(5600 𝑎ñ𝑜𝑠)
1
2= ⅇ−𝑘(5600 𝑎ñ𝑜𝑠)
ln (1
2) = −𝑘(5600 años)
𝑘 = −ln (
12
)
5600 años
La ecuación queda como
𝑀(𝑡) = 𝑀0ⅇ(
ln(12
)
5600 años)𝑡
Como queremos saber el tiempo que ha transcurrido para que el fósil tenga 0.001 M0,
entonces
0.001 𝑀0 = 𝑀0ⅇ(
ln(12
)
5600 años)𝑡
⇒ 0.001 = ⅇ(
ln(12
)
5600 años)𝑡
Por lo tanto
ln (0.001) =𝑙𝑛 (
12)
5600 𝑎ñ𝑜𝑠𝑡
Despejando t
𝑡 =ln(0.001)(5600 años)
ln (12)
La edad del fósil es
𝑡 = 55808.3919 𝐴ñ𝑜𝑠
10
Problemas de mezclas
Sea x(t) la cantidad de sustancia presente en un tanque al instante t y sea ⅆ𝑥
ⅆ𝑡 la rapidez
con que cambia x respecto del tiempo. Para un tiempo t, la velocidad con la que cambia la
sustancia dentro del tanque, ⅆ𝑥
ⅆ𝑡, debe ser igual a la velocidad a la que dicha sustancia
entra al tanque menos la velocidad a la que sale. La ecuación diferencial para modelar
este problema es:
ⅆ𝑥(𝑡)
ⅆ𝑡= 𝑣𝑒 − 𝑣𝑠
Donde
𝑣𝑒(cantidad 𝑡⁄ )
= vⅇlocidad dⅇ ⅇntrada dⅇl fluido(vol 𝑡⁄ ) 𝑥 concⅇntración al ⅇntrar (cantidad vol⁄ )
𝑣𝑠(cantidad 𝑡⁄ ) = vⅇlocidad dⅇ salida dⅇl fluido(vol 𝑡⁄ ) 𝑥 concⅇntración al salir (cantidad vol⁄ )
La concentración de salida es la cantidad de sustancia x(t) dividida por el volumen total en
el tanque en dicho instante t.
Ejemplo 5:
Tenemos un tanque, para el cual a un tiempo inicial t = 0, contiene Q0 kg de sal disuelta
en 100 litros de agua. Si en el tanque entra agua con 1
4 kg de sal por litro, a razón de 3
litros/minuto y que la solución bien mezclada sale del tanque a la misma velocidad. Halla
una expresión que proporcione la cantidad de sal que hay en el tanque al tiempo t. Halla
también una expresión que proporcione la concentración de sal en el tanque en cada
instante t.
Solución:
Sea x(t) la cantidad de sal (kg) que hay en el tanque al instante t. Si la velocidad de
cambio de sal en el tanque para un tiempo t, x’(t) debe ser igual a la velocidad de entrada
de la sal en el tanque menos la velocidad de salida.
Entonces
ⅆ𝑥(𝑡)
ⅆ𝑡= 𝑣𝑒 − 𝑣𝑠
Del problema tenemos
𝑣𝑒 =1
4
kg
𝑙𝑥3
𝑙
min
𝑣𝑠 =𝑥(𝑡)
100
kg
𝑙𝑥3
𝑙
min
11
Figura 2: Mezcla en el tanque.
Sabemos que el volumen del agua permanece constante dentro del tanque (100 litros),
debido a que entra la misma cantidad que sale de agua por minuto. Por lo que tenemos la
siguiente ecuación diferencial:
ⅆ𝑥(𝑡)
ⅆ𝑡= 𝑣𝑒 − 𝑣𝑠 = (
1
4𝑥 3) − (
𝑥(𝑡)
100 𝑥 3)
ⅆ𝑥(𝑡)
ⅆ𝑡=
3
4−
3
100𝑥(𝑡)
Ésta ecuación se puede reescribir,
ⅆ𝑥(𝑡)
ⅆ𝑡+
3
100𝑥(𝑡) =
3
4
Calculamos el factor integrante
𝜇 = ⅇ∫3
100ⅆ𝑡 = ⅇ
3100
𝑡
Resolvemos la ecuación diferencial
(ⅆ𝑥(𝑡)
ⅆ𝑡+
3
100𝑥(𝑡) =
3
4) ⅇ
3100
𝑡
ⅆ
ⅆ𝑡(ⅇ
3100
𝑡𝑥(𝑡)) =3
4
ⅇ3
100𝑡𝑥(𝑡) = ∫
3
4ⅇ
3100
𝑡 ⅆ𝑡 + 𝐶
ⅇ3
100𝑡𝑥(𝑡) =
3
4(
100
3) ⅇ
3100
𝑡 + 𝐶
12
ⅇ3
100𝑡𝑥(𝑡) = 25 ⅇ
3100
𝑡 + 𝐶
Tenemos que
𝑥(𝑡) = 25 + Cⅇ−3100
𝑡
Ahora aplicamos la condición inicial x(0) = Q0
𝑥(0) = 𝑄0 = 25 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 𝑄0 − 25
Así que la ecuación que indica la cantidad de sal en el tanque es
𝑥(𝑡) = 25 + (𝑄0 − 25)ⅇ−3100
𝑡
Cuando t crece, este término se aproxima a 25. Físicamente, éste será el valor límite de x
a medida que el tanque se llena con la solución que tiene 1
4 kg/l de sal. La concentración,
C(t), de sal al instante t es:
𝐶(𝑡) =𝑥(𝑡)
100
puesto que el volumen del tanque es 100 litros.