LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro.

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.1 2 3 4 5

Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

Longitud de la circunferencia

La longitud de una circunferencia es:

donde es la longitud del radio.

Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

Área

Artículo principal: Área de un círculo

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semi-producto

entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .

Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:

PROBLEMAS DE ÁREAS Y PERÍMETROS

1. Un granjero desea hacer un corral para guardar sus animales, el terreno del cual dispone se presta para construir el corral de distintas formas, él analiza las siguientes con las medidas que se adjuntan considerando que cuenta con 60 m de alambre y en cuál se cubre mayor superficie y por lo mismo cuál puede albergar a mayor cantidad de animales, en cuál se podría aprovechar más la superficie de acuerdo a la forma.

Todas las formas tienen de perímetro 60 metros

De 20 m en cada lado

Con lados de 15 m

El lado menor de 10 m y el mayor de 20 m

De perímetro aproximado a 60 m

Analiza las posibilidades de cada corral de acuerdo a los criterios entregados y agregan otra posibilidad a la forma del corral.

Proponga la forma que puede tener el corral y fundamentan tu elección

2. Completa la siguiente tabla:

radio perímetro área

1 cm

2 cm

16

4 cm

9

6 cm

10 cm

24

3. Si el radio en una circunferencia se aumenta, cómo aumenta el perímetro correspondiente? ¿Es posible afirmar que la relación entre el radio y el perímetro correspondiente es proporcional? ¿Por qué?

4. Si el radio en una circunferencia se aumenta, cómo aumenta el área correspondiente? ¿Cómo se puede caracterizar el aumento del área del círculo? ¿Es posible afirmar que la relación entre el radio y el área correspondiente es proporcional? ¿Por qué?

5. La tierra está a una distancia del sol de 155 millones de km. aproximadamente. La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es casi circular.

¿Qué distancia recorremos "en órbita" alrededor del Sol cada año? Para realizar los cálculos ¿Qué valor es conveniente usar para p ? ¿Por qué? ¿Cuál sería una buena aproximación de la velocidad de la Tierra en su órbita?

6. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia si el rectángulo está inscrito en la circunferencia y su lado mayor

mide 12 cm y el menor 9 cm?

5. En parejas de trabajo, resuelven las siguientes situaciones, evalúan su respuesta y presentan su desarrollo

a. En el dibujo, no realizado a escala, se presenta un tablero para aficionados de tiro al blanco con 3 zonas de tiro.

En teoría, si el tablero está bien construido el jugador debería tener la misma probabilidad de acertar en cada una de las secciones del tablero.

¿Cómo se puede saber que efectivamente el diseño da las mismas posibilidades de ubicar una plumilla en cada sector? ¿Qué cálculo que involucre el diseño permite esta certeza?

En el caso que el radio del círculo interior sea 12 cm. ¿Cuál debería ser el área de cada anillo? Imaginan que cada anillo de color pertenece a un círculo (con igual centro al más pequeño). Si el círculo

interior tiene de radio 12 cm, ¿Cuál debería ser área de cada uno de los círculos más grandes, de manera que el diseño del tablero sea el correcto?

Expresan el área de cada círculo de al menos tres maneras

¿Cuál debería ser el radio de cada uno de los círculos antes señalados? Presentan la respuesta : calculando la raíz con la calculadora y sin calcular la raíz

6. Las piezas de cuero tienen diferentes tamaños y formas, sin embargo la mayoría se acerca a una forma rectangular.

Un artesano compró varias piezas, en una está realizando los cortes para las bases de un cubilete de cacho, que se sabe tienen forma circular. El radio de cada pieza es de 3 cm y el tamaño de la pieza es aproximadamente de 1 metro por 80 cm y su valor es de 30 mil pesos

¿Cómo sería recomendable disponer las bases circulares de manera que se aproveche al máximo la pieza de cuero? Hacen un dibujo esquemático de la distribución y explican por qué es la forma en la cual se aprovecha

mejor la pieza. ¿Cuántas bases circulares alcanza a obtener con ella?

¿Cuánto cuero se pierde de la pieza completa? Aproximadamente a cuánto dinero equivale esta pérdida en esta pieza de cuero?