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PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

Unidad 2: Cinemática en 1 D. 1) La figura muestra la relación entre la edad, en millones de años, del sedimento más antiguo y la distancia, en kilómetros, a la que fue hallado el sedimento desde un arrecife en particular en el océano. El material del lecho marino se desprende de este arrecife y se aleja de él a una velocidad aproximadamente uniforme. Halle la velocidad, en centímetros por año, a la que este material se aleja del arrecife.

2) En una galería de juegos de video, un punto está programado para moverse a través de la pantalla de acuerdo a 푥 − 9.00푡 − 0.750푡 , donde 푥 es la distancia en centímetros medida desde el borde izquierdo de la pantalla y 푡 es el tiempo en segundos. Cuando el punto llega al borde de la pantalla, ya sea en 푥 = 0 o en 푥 = 15 cm, comienza de nuevo. a) ¿En qué tiempo después del arranque llega el punto instantáneamente al reposo? b)¿Cuándo ocurre esto? c)¿Cuál es su aceleración cuando esto ocurre? d)¿En qué dirección se mueve en el siguiente instante después de llegar al reposo? e)¿Cuándo se sale de la pantalla? 3) Una bola de plomo se deja caer a una pileta desde un trampolín a 2.6 m sobre el agua. Golpea el agua con una cierta velocidad y luego se hunde hasta el fondo con esta misma velocidad constante. Llega al fondo 0.97 s después de que se ha dejado caer. a) ¿Qué profundidad tiene la pileta? b) ¿Supongamos que se deja drenar toda el agua de la pileta. La bola es arrojada de nuevo desde el trampolín de modo que, otra vez, llega al fondo en 0.97 s. ¿Cuál es la velocidad inicial de la bola? 4) Una partícula que se mueve a lo largo del eje x con aceleración constante, tiene una velocidad de 1,5 m/s en el sentido negativo de las x para t = 0, cuando su coordenada x es 1,2 m. tres segundos más tarde el punto material pasa por el origen en el sentido positivo. ¿Hasta qué coordenada negativa se ha desplazado dicha partícula? 5) Una patrulla de policía en reposo es rebasada por un automóvil que viaja a exceso de velocidad, con una rapidez constante de 130 km/h, por la cual la patrulla inicia la persecución en el instante en que el automóvil lo rebasa. El oficial de policía alcanza al infractor en 750 m manteniendo aceleración constante.

a) Dibuje la gráfica cualitativa de posición versus tiempo de ambos autos, desde la partida de la patrulla hasta el punto de alcance.

b) Calcule cuánto tiempo le tomó al oficial de policía en alcanzar el auto del infractor. c) Cuál es la aceleración requerida por la patrulla y la rapidez cuando lo alcanza.

6) Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t = 0, parte del origen x = 0.

a) Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo b) Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t = 8s.

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Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC.

Unidad 3: Cinemática en 2 D y 3 D. 1) Durante las erupciones de un volcán pueden proyectarse gruesos trozos de roca, estos proyectiles se llaman bloques volcánicos. La figura muestra una sección de dicho volcán. a) ¿A qué velocidad inicial tendría que ser arrojado de la boca A del volcán uno de estos bloques, formando un ángulo de 35º con respecto a la horizontal de manera tal que la roca caiga en el pie B del volcán? b) ¿Cuál es el tiempo de recorrido de la roca en el espacio?

2) Un cañón antitanque está ubicado en el borde de meseta a una altura de 60.0 m sobre la llanura que la rodea como muestra la figura. La cuadrilla del cañón avista un tanque enemigo estacionado en la llanura a una distancia horizontal de 2.20 Km del cañón. En el mismo instante, la tripulación del tanque ve el cañón y comienza a escapar en línea recta de éste con una aceleración de 0.900 m/s2. Si el cañón antitanque dispara obús con una velocidad de salida de 240 m/s y un ángulo de elevación de 10.0º sobre la horizontal, ¿cuánto tiempo esperarán los operarios del cañón antes de disparar para darle al tanque?

3) Una partícula se mueve en el plano de acuerdo a:

푥 = 푅 sin(휔푡) + 휔푅푡푦 = 푅 cos(휔푡) + 푅

donde ω y R son constantes. Esta curva llamada cicloide, es la trayectoria trazada por un punto de una rueda que gira sin resbalar a lo largo del eje x. a) Trace dicha trayectoria. b) Calcular la velocidad y la aceleración instantánea cuando la partícula está en el valor correspondiente a los valores de y máxima y mínima. 4) Un piloto debe viajar hacia el este desde A hasta B y luego regresa de nuevo a A hacia el oeste. La velocidad del aeroplano en el aire es v y la velocidad del aire con respecto al suelo es u. La distancia entre A y B es l y la velocidad del aeroplano en el aire es constante. a) Si u = 0 (aire quieto), demuestra que el tiempo del viaje redondo es t0 = 2t/v. b) Suponiendo que la velocidad del aire va hacia el este (u oeste). Demostrar que el tiempo del viaje redondo es, entonces:

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푡 = 푡

1 − 푢푣

c) Suponiendo que la velocidad del aire s hacia el norte (o hacia el sur). Demostrar que el tiempo del viaje redondo es, entonces:

푡 = 푡

1− 푢푣

d) En los puntos b) y c), ¿debemos suponer que u ˂ v? ¿Por qué? Unidad 4: Leyes de Newton. 1) Un automóvil que viaja a razón de 53 Km/h choca contra el pilar de un puente. Un pasajero que viaja en el auto se mueve hacia adelante una distancia de 65 cm (con respecto a la carretera) mientras es llevado al reposo por una bolsa de aire inflable. ¿Qué fuerza (supuesta como constante) actúa sobre la parte superior del torso del pasajero, que tiene una masa de 40 kg? 2) Una plomada, que consta de una pequeña pesa suspendida por un cordón de masa despreciable, cuelga del techo de un vagón de ferrocarril y actúa como acelerómetro. a) Demostrar que la expresión que relaciona a la aceración horizontal a del vagón con el ángulo θ formado por el cordón con la vertical está dada por: a = g tg(θ). b) Hallar a cuando θ = 20º. c) Halar θ cuando a = 1.50 m/s2. 3) Años atrás, las barcazas que viajaban por los canales eran arrastradas por caballos como se muestra en la figura. Supongamos que el caballo está ejerciendo una fuerza de 7900 N a un ángulo de 18 º con la dirección del movimiento de la barcaza, la cual navega en línea recta por el canal. La masa de la barzaza es de 9500 kg y su acelerción es de 0.12 m/s2. Calcular la fuerza ejercida por el agua sobre la barcaza.

4) Una mujer de 65kg desciende en un elevador que acelera brevemente a 0,20g hacia abajo. Ella está parada sobre una báscula que da su lectura en kilogramos.

a) Durante esta aceleración, ¿cuál es el peso de la mujer y qué registra la báscula? b) ¿Qué registra la báscula cuando el elevador desciende con rapidez constante de 2,0 m/s?

5) Una caja de masa de 10kg se coloca sobre un plano inclinado sin fricción que forma un ángulo θ con la horizontal.

a) ¿Cuál es el ángulo mínimo necesario para que la caja comience a deslizar? Si el ángulo es de 30º: b) Determine la fuerza normal sobre la caja. c) La aceleración de la caja.

6) Los mejores atletas corren los 100m planos en 10,0 s. Un corredor de 66kg acelera uniformemente en los primeros 45m para alcanzar la rapidez máxima la cual mantiene los otros 55m

a) ¿Cuál es la componente horizontal promedio de la fuerza ejercida por el suelo sobre los pies durante el momento de la aceleración?

b) ¿Cuál es la rapidez del corredor en los últimos 55m de carrera?

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Unidad 5: Aplicaciones de las Leyes de Newton. 1) Choque del Génesis. El 8 de septiembre de 2004, la nave espacial Génesis se estrelló en el desierto de Utah porque su paracaídas no se abrió. La cápsula de 210 kg golpeó el suelo a 311 km/h y penetró en él hasta una profundidad de 81.0 cm. a) Suponiendo que es constante, ¿cuál fue su aceleración (en unidades de m/s2 y en g) durante el choque? b) ¿Qué fuerza ejerció el suelo sobre la cápsula durante el choque? Exprese la fuerza en newton y como múltiplo del peso de la cápsula. c) ¿Cuánto tiempo duró esta fuerza? 2) En un experimento de laboratorio acerca de la fricción, un bloque de 135 N que descansa sobre una mesa horizontal áspera se jala con un cable horizontal. El tirón aumenta gradualmente hasta que el bloque empieza a moverse y continúa aumentando a partir de entonces. La figura muestra una gráfica de la fuerza de fricción sobre el bloque en función del tirón. a) Identifique las regiones de la gráfica donde hay fricción estática y fricción cinética. b) Calcule los coeficientes de fricción estática y cinética entre el bloque y la mesa. c) ¿Por qué la gráfica se inclina hacia arriba en la primera parte pero luego se nivela? d) ¿Cómo se vería la gráfica si se colocara un ladrillo de 135 N sobre el bloque, y cuáles serían los coeficientes de fricción en ese caso?

3) La tabla entre otras dos tablas en la figura pesa 95.5 N. Si el coeficiente de fricción entre los tableros es 0.663, ¿cuál debe ser la magnitud de las fuerzas de compresión (supuestas horizontales) que actúan sobre ambos lados del tablero central para evitar que se deslice?

4) Un bloque de 3.00 kg de masa es empujado contra una pared mediante una fuerza P que forma un ángulo θ = 50.0° con la horizontal, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y la pared es 0.250. a) Determine los valores posibles para la magnitud de P que permiten al bloque permanecer fijo. b) Describa qué sucede si |푷| tiene un valor mayor y qué ocurre si es más pequeño. c) Repita los incisos a) y b) suponiendo que la fuerza forma un ángulo θ = 13.0° con la horizontal.

5) La figura muestra tres cajas con masas 푚 = 45.2kg,푚 = 22.8kg, y푚 = 34.3kg sobre una superficie horizontal carente de fricción. a) ¿Qué fuerza horizontal F se necesita para empujar las cajas

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hacia la derecha, como si fueran una sola unidad, con una aceleración de 1.32 m/s2? b) Halle la fuerza ejercida por 푚 sobre 푚 . c) Y por 푚 sobre 푚 .

6) Un cuña en un triángulo rectángulo de masa M y ángulo 휃, que soporta un pequeño bloque de masa m sobre su lado, descansa sobre una mesa horizontal, como se muestra en la figura 52. a) ¿Qué aceleración horizontal a deberá tener M con relación a la mesa para mantener a m estacionaria con respecto a la cuña, suponiendo contactos carentes de fricción? b) ¿Qué fuerza horizontal F debería ser aplicada al sistema para obtener este resultado, suponiendo que la cubierta de la mesa no tenga fricción? c) Suponga que no se imprime la fuerza alguna sobre M y que ambas superficies carecen de fricción. Describa el movimiento resultante.

7) Dos partículas, cada una de masa m, están unidas por un cordel delgado de longitud 2L, como se muestra en la figura. Una fuerza uniforme F se aplica en el punto medio del cordel (푥 = 0) formando un ángulo recto con la posición inicial del cordel. Demuestre que la aceleración de cada masa en dirección a 90º con F está dada por:

푎 =퐹

2푚

푥(퐿 − 푥 ) /

Donde x es la distancia perpendicular de una de las partículas desde la línea de acción de F. Discuta la situación cuando 푥 = 퐿.

8) Los dos bloques, 푚 = 16kg y 푀 = 88kg, mostrados en la figura pueden moverse libremente. El coeficiente de fricción estática entre los bloques es 휇 = 0.38, pero la superficie bajo M carece de fricción. ¿Cuál es la fuerza horizontal mínima F necesaria para mantener a m contra M?

9) Un auto se mueve a velocidad constante sobre una carretera recta pero montañosa. Una sección tiene una cresta y un valle del mismo radio de 250m, véase la figura. a) Cuando el auto pasa sobre la cresta, la fuerza normal sobre el auto es un medio del peso de 16kN del auto. ¿Cuál será la fuerza normal sobre el auto al pasar por el fondo del valle? b) ¿Cuál es la velocidad máxima a que el auto puede moverse si abandonar la carretera en la parte más alta de la cresta? c) Moviéndose a la velocidad hallada en b), ¿Cuál sería la fuerza normal sobre el auto cuando se mueve por el fondo del valle?

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10) Un bloque de 2.20 kg de masa se acelera a través de una superficie rugosa mediante una cuerda ligera que pasa sobre una pequeña polea, como se muestra en la figura. La tensión T en la cuerda se mantiene en 10.0 N y la polea está a 0.100 m sobre la cara superior del bloque. El coeficiente de fricción cinética es 0.400. a) Determine la aceleración del bloque cuando x = 0.400 m. b) Describa el comportamiento general de la aceleración conforme el bloque se desliza desde una posición donde x es mayor que x = 0 m. c) Encuentre el valor máximo de la aceleración y la posición x para la que ocurre. d) Encuentre el valor de x para el que la aceleración es cero.

Capítulo 6: Trabajo y energía cinética 1) Un ciclista parte del reposo y desciende sin pedalear por una pendiente a 4,0º. La masa del ciclista más la bicicleta es de 85 kg. Después de que el ciclista ha recorrido 250 m.

a) ¿Cuál fue el trabajo neto efectuado por la gravedad sobre el ciclista? b) ¿Qué tan rápido va el ciclista? c) ¿Cuál debe ser la potencia empleada por el ciclista para subir la misma colina con la rapidez

alcanzada cuando descendió los 250 m?

2) Si se requiere 5,0J de trabajo para estirar 2,0 cm un resorte específico desde su longitud de equilibrio, ¿cuánto más trabajo se requerirá para estirarlo otros 4,0 cm? 3) Una carga de 265 kg es levantada verticalmente 23,0 m por un solo cable con aceleración a = 0,150 g. determine:

a) La tensión en el cable b) El trabajo neto efectuado sobre la carga c) El trabajo realizado por el cable sobre la carga d) El trabajo efectuado por la gravedad sobre la carga e) La rapidez final de la carga suponiendo que ésta parte del reposo

Unidad 7: Conservación de la Energía. 1) Para el esquema de la figura demuestre que si la pesa del péndulo ha de oscilar completamente alrededor de la clavija fija, entonces d > 3L/5. (Sugerencia: la pesa debe moverse en la parte superior de su oscilación, de otro modo el cordón se vendrá abajo)

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2) Un joven está sentado en la parte superior de un montículo de hielo (ver figura). Se da a sí mismo un pequeño impulso y comienza a deslizarse hacia abajo. Demuestre que abandona el hielo en el punto cuya altura es de 2R/3 si el hielo carece de fricción. (Sugerencia: La fuerza normal se anula cuando el joven abandona el hielo)

3) Una partícula se mueve a lo largo del eje x a través de una región en la que su energía potencial U(x) varía como en la figura. a) Haga una gráfica cuantitativa de la fuerza F(x) que actúa sobre la partícula, usando la misma escala del eje x que en la figura 41. b) La partícula tiene una energía mecánica (constante) E de 4.0 J. Trace una gráfica de su energía cinética K(x) directamente en la figura.

4) La figura 43a muestra un átomo de masa m a una distancia r desde un átomo en reposo de masa M, donde m << M. La figura muestra la función U(r) de la energía potencial para varias posiciones del átomo más ligero. Describa el movimiento de este átomo si a) la energía mecánica total es mayor que cero, como en E1, y b) si es menor que cero, como en E1. Para E1 = 1.0x10-19 J y r = 0.30 nm, halle c) la energía potencial.

5) Una partícula alfa (núcleo de helio) dentro de un núcleo grande está enlazada por una energía potencial como la que se muestra en la figura, a) Construya una función de x, que tiene esta forma general, con un valor mínimo U0 en =0 y un valor máximo U1 en x = x1 y x = -x1 b) Determine la fuerza entre la partícula alfa y el núcleo en función de x. c) Describa los movimientos posibles.

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6) Una piedra de peso w es arrojada verticalmente hacia arriba en el aire a una velocidad inicial 푣 Supóngase que la fuerza de arrastre f disipa una cantidad f y de energía mecánica cuando la piedra recorre una distancia y, a) demuestre que la altura máxima alcanzada por la piedra es:

ℎ =푣

2푔(1 + 푓/푤)

b) Demuestre que la velocidad de la piedra al momento del impacto con el suelo es:

푣 = 푣푤 − 푓푤 + 푓

/

7) Un bloque de 20.0 kg se conecta a un bloque de 30.0 kg mediante una cuerda que pasa sobre una polea ligera sin fricción. El bloque de 30.0 kg se conecta a un resorte que tiene masa despreciable y una constante de fuerza de 250 N/m, como se muestra en la figura P8.57. El resorte no está estirado cuando el sistema está como se muestra en la figura, y el plano inclinado no tiene fricción. El bloque de 20.0 kg se jala 20.0 cm hacia abajo del plano (de modo que el bloque de 30.0 kg está 40.0 cm sobre el suelo) y se libera desde el reposo. Encuentre la rapidez de cada bloque cuando el bloque de 30.0 kg está 20.0 cm arriba del suelo (esto es: cuando el resorte no está estirado).

8) Jane, cuya masa es 50.0 kg, necesita columpiarse a través de un río (que tiene una anchura D), lleno de cocodrilos cebados con carne humana, para salvar a Tarzán del peligro. Ella debe columpiarse contra un viento que ejerce fuerza horizontal constante F, en una liana que tiene longitud L e inicialmente forma un ángulo ϕ con la vertical (ver figura). Considere D = 50.0 m, F = 110 N, L = 40.0 m y θ = 50.0°. a) ¿Con qué rapidez mínima Jane debe comenzar su balanceo para apenas llegar al otro lado? b) Una vez que el rescate está completo, Tarzán y Jane deben columpiarse de vuelta a través del río. ¿Con qué rapidez mínima deben comenzar su balanceo? Suponga que Tarzán tiene una masa de 80.0 kg.

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Capítulo 8: Cantidad de movimiento. Impulso y choque. 1) Una pelota de tenis con masa 0,060kg y rapidez de 25m/s, golpea una pared con un ángulo de 45º y rebota con la misma rapidez a 45º. ¿Cuál será el impulso en magnitud y dirección dado por la pared? 2) Un bloque de 3,0 kg se desliza a lo largo de una mesa sin fricción a 8,0 m/s hacia un segundo bloque (en reposo) de masa 4,5 kg. Un resorte que obedece la ley de Hooke y tiene una constante k = 850 N/m, está unido a un segundo bloque en movimiento.

a) ¿Cuál será la compresión máxima del resorte? b) ¿Cuáles serán las velocidades finales de los bloques después de la colisión? c) ¿Es elástica la colisión?

m1 m2

3) Se deja caer una bola desde una altura de 1,50m y rebota hasta una altura de 1,20m. ¿Aproximadamente cuántos rebotes dará la bola antes de perder el 90% de su energía? Unidad 9: Rotaciones. 1) La figura muestra una vista lateral de un triciclo infantil con llantas de caucho sobre una acera horizontal de concreto. Si una cuerda se une al pedal superior del extremo lejano y se jala hacia adelante horizontalmente, el triciclo rueda hacia adelante. En vez de ello, suponga que una cuerda se une al pedal inferior en el lado cercano y se jala hacia adelante horizontalmente, como se muestra en A. ¿El triciclo comienza a rodar? Si es así, ¿en qué dirección? Responda las mismas preguntas si a) la cuerda se jala hacia adelante y arriba como se muestra en B, b) la cuerda se jala recto hacia abajo como se muestra en C, y c) la cuerda se jala hacia adelante y abajo como se muestra en D. d) ¿Qué pasaría si la cuerda se amarra al borde de la rueda frontal y se jala arriba y atrás, como se muestra en E? e) Explique un patrón de razonamiento, con base en el diagrama, que facilite el responder estas preguntas. ¿Qué cantidad física debe evaluar?

2) La posición angular de un punto situado en la periferia de una rueda en rotación está descrita por 휙 = 4.0푡 − 3.0푡 + 푡 , donde휙 está en radianes si t se ha dado en segundos. a)¿Cuál es la velocidad angular en t=2.0s, y en t=4.0s? b) Cual es la aceleración angular promedio en el intervalo de tiempo que comienza en t=2.0s y termina en t=4.0s? c) ¿Cuál es la aceleración angular instantánea al principio y al final de este intervalo de tiempo? 3) Un astronauta está pasando una prueba en una centrífuga. La centrífuga tiene un radio de 10,4m y, al comenzar, gira de acuerdo a 휃 = 0.326푡 , donde t en segundos da휃 en radianes. Cuando t=5.60s, ¿Cuáles son (a) la velocidad angular del astronauta. b) su velocidad tangencial, c) su aceleración tangencial y d) su aceleración radial.

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4) Un método antiguo para medir la velocidad de la luz hace uso de una rueda dentada que gira. Un rayo de luz que pasa a través de una ranura en el borde exterior de la rueda, como en la figura 18, viaja hasta un espejo distante, y regresa a la rueda en el momento preciso para pasar a través de la siguiente ranura de la rueda. Esta rueda dentada tiene un ratio de 5.0 cm y 500 dientes en su borde. Las mediciones tomadas cuando el espejo estaba a una distancia L= 500m de la rueda indicaron una velocidad de la luz 3.0 ×10 km/s. a) ¿Cuál era la velocidad angular constante de la rueda? b) ¿Cuál era la velocidad lineal de un punto en su borde?

5) Una rueda A de radio r = 10.0 cm está acoplada por medio de una banda B a otra rueda C de radio r = 25.0 cm, como se muestra en la figura. La rueda A aumenta su velocidad angular desde el reposo a razón de una cantidad uniforme de 1.60 rad/s2. Determine en cuanto tiempo llegará la rueda C a una velocidad de rotación de 100 rev/min, suponiendo que la banda no se deslice. (Sugerencia: si la banda no se desliza, las velocidades lineales en la periferia de las dos ruedas deben ser iguales).

6) Un objeto rígido que gira con respecto al eje Z está decelerando a razón de 2.33 rad/s2. Considérese una partícula ubicada en r = 1.83 j + 1.26 k (en metros). En el instante en que ω = 14.3k (en rad/s), halle: a) La velocidad de la partícula. b) La aceleración de la partícula. c) El radio de la trayectoria circular de la partícula. 7) Una catapulta es un dispositivo que se usó durante la edad media para lanzar rocas a los castillos, y ahora a veces se usa para arrojar grandes vegetales y pianos como deporte. En la figura se muestra una catapulta simple. Modélelo como una barra rígida de masa despreciable de 3.00 m de largo que une partículas de 60.0 kg y 0.120 kg de masa en sus extremos. Puede dar vuelta sobre un eje horizontal sin fricción perpendicular a la barra y a 14.0 cm de la partícula con mayor masa. La barra se libera desde el reposo en una orientación horizontal. a) Encuentre la rapidez máxima que logra el objeto de 0.120 kg. b) Mientras el objeto de 0.120 kg gana rapidez, ¿se mueve con aceleración constante? ¿Se mueve con aceleración tangencial constante? ¿La catapulta se mueve con aceleración angular constante? ¿Tiene cantidad de movimiento constante? ¿El sistema catapulta –Tierra tiene energía mecánica constante?

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8) En la figura, el bloque deslizante tiene una masa de 0.850 kg, el contrapeso tiene una masa de 0.420 kg y la polea es un cilindro hueco con una masa de 0.350 kg, radio interior de 0.020 m y radio exterior de 0.030 m. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie horizontal es 0.250. La polea gira sin fricción sobre su eje. La cuerda ligera no se estira y no se desliza sobre la polea. El bloque tiene una velocidad de 0.820 m/s hacia la polea cuando pasa a través de una fotocompuerta. a) Use métodos energéticos para predecir su rapidez después de que se mueve a una segunda fotocompuerta, a 0.700 m de distancia. b) Encuentre la rapidez angular de la polea en el mismo momento.

9) Este problema describe un método experimental para determinar el momento de inercia de un objeto con forma irregular tal como la carga para un satélite. La figura muestra un contrapeso de masa m suspendido mediante una cuerda enrollada alrededor de un carrete de radio r, que forma parte de una tornamesa que sostiene al objeto. La tornamesa puede dar vuelta sin fricción. Cuando el contrapeso se libera desde el reposo, desciende una distancia h y adquiere una rapidez v. Demuestre que el momento de inercia I del aparato giratorio (incluida la tornamesa) es: m r2(2gh / v2 - 1).

Capítulo 10: Dinámica del cuerpo rígido. 1) Una bala de masa m que se mueve con velocidad v golpea y queda incrustada en el borde de un cilindro de masa M y radio R. El cilindro, inicialmente en reposo, comienza a girar alrededor de su eje de simetría, que permanece fijo en el espacio. Suponiendo que no hay torca debido a la fricción, ¿cuál es la velocidad angular del cilindro después de la colisión? ¿Se conserva la energía cinética? 2) Un disco de 0.2 kg y de 10 cm de radio se hace girar mediante una cuerda que pasa a través de una polea de 0.5 kg y de 7 cm de radio. De la cuerda cuelga un bloque de 3 kg, tal como se muestra en la figura. El disco gira alrededor de un eje vertical en cuyo extremo hay una varilla de 0.75 kg masa y de 20 cm de longitud perpendicular al eje y en cuyos extremos se han fijado dos esferas iguales de 2 kg de masa y 5 cm de radio. Se suelta el bloque y el dispositivo comienza a girar. Calcular:

a) El momento de inercia del dispositivo. b) La aceleración del bloque. c) La velocidad del bloque cuando ha descendido 2m del reposo.

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3) Un giróscopo de juguete consiste en un disco de 170 g con radio de 5,5 cm montado en el centro de un eje de 21cm de largo. El giróscopo gira a 45 rev/s. un extremo del eje descansa sobre un poste y el otro efectúa una precesión horizontal con respecto al poste como se indica.

a) ¿Cuánto tardará el giróscopo precesar una revolución completa? b) Si todas las dimensiones del giróscopo se duplican, ¿cuánto tardará en precesar una revolución

completa?

4) Una máquina de Atwood consiste en dos masas de 7,0 kg y 8,2 kg cada una, están conectadas por una cuerda sobre una polea que puede girar libremente alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa. La polea es un cilindro sólido de radio 0,40 m y masa 0,80 kg.

a) Determine la aceleración de cada masa. b) ¿Cuál sería la aceleración si se desprecia el momento de inercia de la polea?

Unidad 11: Equilibrio. 1) Un letrero cuadrado uniforme, de 52,3 kg y 1,93 m de lado, está colgado de una barra de 2,88 m de masa despreciable. Un cable está unido al extremo de la barra y aun punto en la pared, como se muestra en la figura. a) Halle la tensión en el cable. b) calcule las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la pared sobre la barra.

2) En la figura la longitud L de la barra es de 2.76 m y su peso wb es de 194 N. También W = 315 N y 휃 = 320°. El alambre puede soportar una tensión máxima de 520 N. a) ¿Cuál es la distancia máxima x posible antes de que el alambre se rompa? b) Con W situada en esta x máxima, ¿cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre la barra por el pivote?

3) Una barra uniforme de 4.7 kg de masa y 1.3 m de longitud está suspendida de los extremos por dos alambres verticales. Un alambre es de acero y tiene un diámetro de 1.2 mm; el otro alambre es de aluminio y tiene un diámetro de 0.84 mm. Antes de unirlos a la barra, los alambres eran de la misma

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longitud, o sea de 1.7 m. Halle el ángulo 휃 entre la barra y la horizontal, véase la figura (desprecie el cambio en los diámetros de los alambres, la barra y los alambres están en el mismo plano)

4) Un elevador de una mina está soportado por un solo cable de acero de 2.52 cm de diámetro. La masa total de la jaula del elevador más los ocupantes es de 873 kg. ¿En cuánto se estira el cable cuando el elevador está suspendido a 42,6 m debajo del motor del elevador? (Desprecie la masa del cable). 5) Suponga que una persona se dobla hacia adelante para levantar una carga “con su espalda”, como se muestra en la figura. La columna de la persona se articula principalmente en la quinta vértebra lumbar, y la principal fuerza de soporte la proporciona el músculo espinal erector de la espalda. Para estimar la magnitud de las fuerzas involucradas, considere el modelo que se muestra en la figura para una persona que se dobla hacia adelante para levantar un objeto de 200 N. La columna de la persona y la parte superior del cuerpo se representan como una barra horizontal uniforme de 350 N de peso, que se articula en la base de la columna. El músculo espinal erector, unido a un punto a dos tercios de camino sobre la columna, mantiene la posición de la espalda. El ángulo entre la columna y este músculo es 12,0°. Encuentre a) la tensión en el músculo de la espalda y b) la fuerza compresiva en la columna. c) ¿Este método es una buena forma de levantar una carga? Explique su respuesta, con los resultados de los incisos a) y b). Puede ser instructivo comparar un humano con otros animales. ¿Puede sugerir un mejor método para levantar una carga?

Unidad 13: MAS. 1) Una fuerza de interacción entre dos átomos de ciertas moléculas diatómicas puede representarse por 퐹 = − + , donde a y b son constantes positivas y r es la distancia de separación entre los átomos.

Haga una gráfica de F contra r. Luego a) demuestre que la separación en el equilibrio es b) demuestre

que para pequeñas oscilaciones respecto a esta separación de equilibrio, la constante de fuerza es , c) halle el periodo de este movimiento. 2) Dos resortes están unidos a un bloque de masa m que puede deslizarse libremente sobre una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura. Demuestre que la frecuencia de oscilación del bloque es:

푣 =1

2휋푘 + 푘푚

= 푣 + 푣

Donde v1 y v2 son las frecuencias a las que oscilaría el bloque si se uniera solamente al resorte 1 o al resorte 2. (La analogía eléctrica de este sistema es una combinación en serie de dos capacitores)

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3) Dos resortes unidos entre sí se enlazan al bloque de masa m como se muestra en la figura. Las superficies carecen de fricción. Si los resortes, por separado, tienen constantes de fuerza k1 y k2, demuestre que la frecuencia de oscilación del bloque es:

푣 =1

2휋푘 푘

(푘 + 푘 )푚=

푣 푣

푣 + 푣

Donde v1 y v2 son las frecuencias a las que oscilaría el bloque si estuviera unido solamente al resorte 1 o al resorte 2. (La analogía eléctrica de este sistema es una combinación en paralelo de dos capacitores)

4) Un bloque de masa M, en reposo sobre una mesa horizontal sin fricción, está unido a un soporte rígido por medio de un resorte de constante de fuerza k. Una bala de masa m y velocidad v golpea al bloque como se muestra en la figura. La bala se queda empotrada en el bloque. Determine la amplitud del movimiento armónico simple resultante en términos de m, M, v y k.

5) Considérese un resorte sin masa de constante k en un campo gravitatorio uniforme y unamos a él un objeto de masa m. a) Demuestre que si x = 0 marca la posición relajada del resorte, la posición de equilibrio estático está dada por 푥 = (ver la figura). Demuestre que la ecuación de movimiento del sistema masa-resorte es:

푚푑 푥푑푡

+ 푘푥 = 푚푔

y que la solución para el desplazamiento en función del tiempo es 푥 = 푥 cos(휔푡 + 휑) +푚푔 푘⁄ , donde 휔 = 푘 푚⁄ como anteriormente. c) Demuestre, por lo tanto, que el sistema tiene las mismas ω, υ, a, v y T en un campo gravitatorio uniforme y en ausencia de tal campo, con el único cambio de que la posición de equilibrio se ha desplazado en . d) Considere ahora la energía del sistema, 푚푣 + 푘푥 +푚푔(ℎ − 푥) = 푐푡푒 y demuestre que la diferenciación respecto al tiempo conduce a la ecuación de movimiento de la parte b). e) Demuestre que cuando el objeto cae desde x = 0 m a la posición de equilibrio estático, 푥 = , la pérdida de energía potencial gravitatoria va una mitad a una ganancia en energía potencial elástica y la otra mitad a una ganancia en energía cinética. f) Por último considérese al sistema en movimiento respecto a la posición de equilibrio estático. Calcule por separado el cambio de la energía potencial gravitatoria y de la energía potencial elástica cuando el objeto se mueve hacia arriba con

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un desplazamiento 푥 y cuando el objeto se mueve hacia abajo con un desplazamiento 푥 . Demuestre que el cambio total en la energía potencial es el mismo en cada caso, es decir 푚푥 . A la vista de los resultados c) y f) podemos simplemente despreciar el campo gravitatorio uniforme en el análisis haciendo el cambio de la posición de referencia 푥 = 0 a 푥 = 푥 − 푚푔 푘⁄ = 0. La curva de la nueva energía

potencial 푈(푥 ) = 푘푥 + 푐표푛푠푡푎푛푡푒 tiene la misma forma parabólica que la curva de la energía

potencial en ausencia de campo gravitatorio 푈(푥) = 푘푥 .

6) Existe una relación interesante entre el sistema bloque-resorte y el péndulo simple. Supongamos que usted cuelga un objeto de masa M del extremo de un resorte, y que cuando el objeto está en equilibrio el resorte es estirado una distancia h. Demuestre que la frecuencia de este sistema bloque-resorte es la misma que la de un péndulo simple de masa m y de longitud h, aun cuando 푚 ≠ 푀; (ver la figura).

7) Una partícula de masa m se mueve en un plano fijo a lo largo de la trayectoria r = 푖퐴 cos휔푡 +푗퐴 cos 3휔푡. a) Trace la trayectoria de la partícula b) Halle la fuerza que actúa sobre la partícula. Halle también c) su energía potencial y d) su energía total, ambas en función del tiempo. e) Es periódico el movimiento. De ser así, halle el período. 8) Un objeto de 10,6 kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2,05 x 104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento b = 3,00 N s/m. a) Calcule la frecuencia de la oscilación amortiguada. b) ¿En qué porcentaje disminuye la amplitud de la oscilación en cada ciclo? c) Encuentre el intervalo de tiempo que transcurre mientras la energía del sistema cae a 5,00 % de su valor inicial. 9) Un tablón horizontal de masa m y longitud L se articula en un extremo. El otro extremo del tablón está sostenido por un resorte con constante de fuerza k como muestra la figura. El momento de inercia del tablón en torno al eje es 31mL2. El tablón se desplaza un ángulo pequeño θ desde su posición de equilibrio horizontal y se libera. a) Demuestre que el tablón se mueve con movimiento armónico simple con frecuencia angular ω = 3k/m. b) Evalúe la frecuencia, considere que la masa es de 5,00 kg y la

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constante de fuerza del resorte es 100 N/m.

Capítulo 14: Fluidos 1) Una estatua antigua de 70 kg se encuentra en el fondo del mar. Su volumen es de 3,0 x 104 cm3. ¿Qué fuerza se necesita para levantarla? 2) El agua circula a través de una casa en un sistema de calefacción con agua caliente. Si el agua es bombeada con rapidez de 0,50 m/s través de un tubo de 4,0 cm de diámetro en el sótano a una presión de 3,0 atm. ¿Cuál será la rapidez y presión del flujo en un tubo de 2,6 cm de diámetro en el segundo piso situado a 5,0 m arriba del sótano? 3) Un cubo cuyos lados miden 10,0cm de longitud está hecho de un material desconocido y flota en la superficie entre agua y aceite. El aceite tiene una densidad de 810 kg/m3. Si el cubo flota de forma que el 72% de él está en agua y el 28% de él está en el aceite, ¿cuál es su masa y la fuerza de flotación sobre él? 4) ¿Cuál es la presión normal de la atmósfera en la cima del Monte Everest a 8848 m sobre el nivel del mar? Unidad 15: Ondas Mecánicas. 1) Un alambre no uniforme de longitud L y masa M tiene una densidad de masa lineal variable dada por 휇 = 푘푥, donde x es la distancia desde un extremo del alambre y k es una constante. a) Demuestre que 푀 = 푘퐿 /2. b) Demuestre que el tiempo t requerido para que una pulsación generada en un extremo de alambre viaje hasta una pulsación generada en un extremo del alambre viaje hasta otro extremo está dado por 푡 = 8푀퐿/9퐹, donde F es la tensión en el alambre. 2) Una onda sinusoidal continua viaja por una cuerda con una velocidad de 82,6 cm/s. Se halla que el desplazamiento de las partículas de la cuerda en x = 9,60 cm varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación 푦 = 5,12 sen(1,16 − 4,08푡), donde y está en centímetros y t en segundos. La densidad de masa lineal de la cuerda es de 3,86 g/cm. a) Halle la frecuencia de la onda. b) Halle la longitud de onda de la onda. c) Escriba la ecuación general que da el desplazamiento transversal de las partículas de la cuerda en función de la posición y del tiempo. d) Calcule la tensión en la cuerda. 3) Una onda sinusoidal transversal se genera en un extremo de una cuerda larga, horizontal por una barra que se mueve hacia arriba y hacia abajo a lo largo de una distancia de 1,12 cm. El movimiento es continuo y se repite regularmente 120 veces por segundo. La cuerda tiene una densidad lineal de 117 g/m y se mantiene bajo una tensión de 91,4 N. Halle: a) el valor máximo de la velocidad transversal u. b) el valor máximo de la componente transversal de la tensión. c) Demuestre que los dos valores máximos calculados arriba ocurren a los mismos valores de fase de la onda. ¿Cuál es el desplazamiento transversal y de la cuerda en estas fases? d) ¿Cuál es la potencia máxima transferida a lo largo de la cuerda? e) ¿Cuál

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es el desplazamiento transversal y para las condiciones bajo las cuales ocurre esta transferencia máxima de potencia? f) ¿Cuál es la transferencia mínima de potencia a lo largo de la cuerda? g) ¿Cuál es el desplazamiento transversal y para las condiciones bajo las cuales ocurre esta transferencia mínima de potencia? 4) Dos pulsaciones están viajando a lo largo de una cuerda en direcciones opuestas, como se muestra en la figura. a) Si la velocidad de onda es de 2,0 m/s y las pulsaciones tienen una separación de 6,0 cm, trace los patrones después de 5, 10, 15, 20, y 25 ms. b) ¿Qué le ha sucedido a la energía en t = 15 ms?

5) Una onda viajera incidente, de amplitud Ai, se refleja sólo parcialmente desde un extremo, siendo Ar la amplitud de la onda reflejada. La superposición resultante de dos ondas de amplitudes diferentes que viajan en direcciones opuestas produce un patrón de indas tipo onda estacionaria cuya envolvente se muestra en la figura. La razón de onda estacionaria (SWR, de standing wave ratio) se define como ( )( ) = y el porcentaje de reflexión se define como la razón entre la potencia promedio en la onda

reflejada y la potencia promedio en la onda incidente, multiplicada por 100. a) Demuestre que la SWR = ∞ para el 100% de reflexión y que la SWR = 1 cuando no hay reflexión. b) Demuestre que una medición de la SWR justo antes del extremo revela la reflexión porcentual que ocurre en el extremo de acuerdo con la fórmula,

%dereflejo =(푆푊푅 − 1)(푆푊푅 + 1) 100

6) Calcule: a) la SWR (razón de onda estacionaria) y b) la reflexión porcentual en el extremo para la envolvente del patrón de onda estacionaria mostrado en la figura.

7) Un segmento de 6,00 m de una cuerda larga contiene cuatro ondas completas y tiene una masa de 180 g. La cuerda vibra sinusoidalmente con una frecuencia de 50,0 Hz y un desplazamiento de cresta a valle de 15,0 cm. (La distancia “cresta a valle” es la distancia vertical desde la posición positiva más lejana hasta la posición negativa más lejana.) a) Encuentre la función que describe esta onda que viaja en la dirección x positiva. b) Determine la potencia a suministrar a la cuerda. 8) Una onda sinusoidal en una cuerda se describe mediante la función de onda y = (0,15 m) sen(0,80 x -50 t) donde x e y están en metros y t en segundos. La masa por unidad de longitud de esta cuerda es 12.0 g/m. Determine a) La rapidez de la onda. b) La longitud de onda. c) La frecuencia. d) La potencia transmitida a la onda.

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9) La función de onda para una onda sobre una cuerda tensa es: y(x, t) = (0.350 m) sen(10π t + 3π x - π/4 ) donde x está en metros y t en segundos. a) ¿Cuál es la rapidez promedio a la que se transmite la energía a lo largo de la cuerda si la densidad de masa lineal es de 75.0 g/m? b) ¿Cuál es la energía contenida en cada ciclo de la onda? 10) Un pulso que viaja a lo largo de una cuerda con densidad de masa lineal μ se describe mediante la función de onda y = [A0 e(-bx)] sen(k x – ω t) donde el factor entre corchetes se dice que es la amplitud. a) ¿Cuál es la potencia P(x) que porta esta onda en un punto x? b) ¿Cuál es la potencia que porta esta onda en el origen P(0)? c) Calcule la proporción P(x)/P(0).