PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL...

Problemario de cálculodiferencial e integral

Parte I

Alfonso C. Becerril Espinosa

BásicasUNIVERSIDAD

AUTÓNOMAMETROPOLITANA

Casa abierta al tiempo Azcapotzalco

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Problemario de cálculodiferencial e integral

Parte I

Alfonso C. Becerril Espinosa

División de Ciencias Básicas e IngenieríaDepartamento de Ciencias Básicas

UNIVERSIDADAUTÓNOMA

METROPOLITANA

Casa abierta al tiempo Azcapotzalco


Casa abierta al tiempo

UAM-AZCAPOTZALCORECTOR

Mtro. Víctor Manuel Sosa GodínezSECRETARIO

Mtro. Cristian Eduardo Leriche GuzmánCOORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADÉMICO

Mtra. María Aguirre TamezCOORDINADORA DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA

DCG Ma. Teresa Olalde Ramos

JEFA DE LA SECCIÓN DE PRODUCCIÓN Y DISTRIBUCIÓN EDITORIALES

DCG Silvia Guzmán Bofill

ISBN: En trámite

© UAM-AzcapotzalcoAlfonso C. Becerril Espinosa

Diseño de Portada:Modesto Serrano Ramírez

Universidad Autónoma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoAv. San Pablo 180Col. Reynosa TamaulipasDelegación AzcapotzalcoC.P. 02200México, D.F.

Sección de produccióny distribución editorialesTel. 5318-9222/9223Fax. 5318-9222

2a. edición, aumentada y corregida, 19883a. edición, 2003

Impreso en México.



AGRADECIMIENTOS.

Hago un profundo agradecimiento a Jaime Grabinsky Steider que

siendo jefe del Departamento de Ciencias Básicas me ofreció todo el

apoyo y más importante, estímulo para que diera inicio a esta serie

de problemarios de cálculo.

No puedo dejar de reconocer a Carlos Zubieta, como Jefe del Area

de Matemática Educativa, su constante preocupación y colaboración pa-

ra la buena marcha de este proyecto.

Han sido importantes las revisiones y sugerencias que Raúl Amez-

cua aportó para mejorar el texto.

Consejos y amable compañía de Viney Badel han coadyuvado al

estado de ánimo requerido para un desempeño productivo.

La supervisión de Carlos Ulín Jiménez contribuyó a mejorar la

edición de este problemario.

El eficiente mecanografiado de Teresa Rangel y la siempre diligente

asistencia de Norma Caballero han permitido ver la conclusión de este

trabajo.

Finalmente, agradezco la meticulosa labor de los dibujos realizados

por Sergio Guerra Aguayo y la participación profesional de la Comisión

editorial de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería.

EL AUTOR

ALFONSO C. BECERRIL, E.



ALFONSO JORGE BECERRIL C

ARACELI JAZMÍN BECERRIL C.



Í N D I C E

INTRODUCCIÓN.

PARTE I.

1) CÁLCULO APROXIMADO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA 11

A) POR MEDIO DE UNA CUADRÍCULA.B) POR MEDIO DE RECTÁNGULOS.

2) ÁREA BAJO UNA CURVA (INTEGRAL). 19

3) TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (INSTRUMENTO MATEMÁTICO),,ÚTIL EN LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES DADAS POR INTEGRAL, YPARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES). 33

4) INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLES, 63

5) INTEGRACIÓN POR PARTES. 79

6) APLICACIONES DE LA INTEGRAL A: 93

A) CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. 95

B) CÁLCULO DE VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: 128

ROTACIÓN RESPECTO DEL EJE X, ROTACIÓN RESPECTO DE UNEJE PARALELO AL EJE X, ROTACIÓN RESPECTO DEL EJE Y.

c) CÁLCULO DE VOLUMEN DE SÓLIDOS CON ÁREA TRANSVERSAL DETERMINADA POR UNA FUNCIÓN. 164

D) LONGITUD DE ARCO. jggE) INTEGRAL IMPROPIA.

7) EJERCICIOS ADICIONALES 213

BIBLIOGRAFÍA 241



1NTR0VUCCT0N

El presente trabajo tiene como principal objetivopresentar problemas resueltos de Calculo Diferen-cial e Integral (C.P. I )

En cada ¿ccc¿6n de z&tz pKobltmaKÍo ¿e em-plean en cada sección.

Al filnal de cada sección ¿e presentarán problemasa resolver y su solución está, dada al ^Inal delproblemarlo .



1CALCULO APROXIMADODEL ÁREA BAJO UNA CURVA



Cuando queremos calcular el área de una figura geométrica tal como: rectángulo,

triángulo, paral elogramo etc., lo que prácticamente hacemos es aplicar alguna fórmu-

la algebraica que nos permita realizar el cálculo del área de la figura geométrica

correspondiente, pero si deseamos calcular el área A bajo la gráfica de una fun-

ción continua no negativa f(x) sobre un intervalo [a;bj, tal como la que se demue£

tra en la siguiente figura,

entonces el problema resulta algo más complicado; en un principio, algo que se nos

puede ocurrir es que, si en lugar de calcular el área A en forma exacta aproxima-

rnos el valor de A, entonces este nuevo problema pudiera ser mas fácil de resolver,

Una manera de aproximar el área A es mediante el trazo de una cuadrícula sobre el

plano donde se encuentra el gráfico de f(.x) como se muestra en la siguiente figura

13



a i

después de dibujar la cuadrícula realizamos la suma del área de los cuadrados que

quedan "dentro11 de la gráfica y entre los tres segmentos a los lados del área por

calcular, una mejor aproximación al valor de A la obtendremos si hacemos una cuadrí-

cula más "fina11 que la cuadrícula anterior, es decir, una nueva cuadrícula donde los

cuadrados tengan lado menor que el lado de un cuadrado en la cuadrícula anterior y

nuevamente sumaríamos las áreas de los cuadrados que quedan dentro de la gráfica y

los tres segmentos a los lados del área A por calcular, desde luego el proceso de

la cuadricula podría continuar para seguir obteniendo una mejor aproximación al área

exacta A, aunque como vemos, este proceso es tedioso.

Otra menera de realizar la aproximación al área A será mediante la formación de

rectángulos inscritos y circunscritos sobre la gráfica de f(x) tal como se muestra

en la siguiente figura.



h

estos rectángulos se forman de la siguiente manera, se divide el intervalo Ca;b] en

n subintervalos de extremos

x0 = a, , x2,...,xn = b con xo < < . . .< X.

éstos intervalos no necesariamente de igual longitud, posteriormente la altura de los

rectángulos superiores se obtienen del mayor valor adquirido por f(x) sobre el inter-

valo xi+rJ

Similarmente la altura de los rectángulos inferiores se obtienen del menor valor ad-

quirido por f(x) sobre el intervalo £xit xi+fj posteriormente procedemos a calcular,-

por ejemplo, la suma de las áreas de los rectángulos inferiores (o superiores); de

esta manera tenemos un valor aproximado al área A. Indudablemente, una mejor aproxi-

mación al área A se obtendrá si el intervalo Ca;b] es dividido en un número N ma-

yor de subintervalos porque de esta manera tendríamos más rectángulos inscritos y

circunscritos sobre la gráfica de f(x), como puede verse en la siguiente figura:

15



Claramente la suma de las áreas de los rectángulos inferiores (o superiores) será

más próximo al área A, de esta manera podríamos continuar con el proceso de aproxi-

mar el área A.

Es importante tener en cuenta que en el caso de aproximación al área A por medio de

rectángulos se aprovecha la función para calcular sus alturas lo cual posiblemente

pueda hacer más práctico y rápido este método de aproximación que el método de

aproximación por cuadrados.

En la aproximación al valor del área A por medio de rectángulos, cabe destacar que

la diferencia entre la suma de las áreas de los rectángulos superiores con los infe-

riores se tiene una área que se considera como el error que se comete al aproximar

el área A por medio de las áreas de los rectángulos inferiores (o superiores), de

hecho, para funciones f(x) crecientes (o decrecientes) podemos obtener una fórmula -

para calcular este error, por ejemplo, si la función f(x), es creciente sobre el in-

tervalo a;b , y deseamos aproximar el valor de A, entonces podemos dividir dicho

intervalo en N subintervalos de igual longitud 1

16



1 = b - a

para formar los rectángulos superiores e inferiores cuyas bases están determinadas

por los puntos

x0 = a, xi = a + 1, x2 = a + 21,..., xn = a + ni.

como se muestra en la siguiente figura

Asi tenemos

At | A •

i i i_ á

fc»H •-Y»

suma de áreasde rectángulosinferiores

(^-)f(a) + (^)f(a +n n+...+ (^)f(a + i ^n n

n-1i: fíai=0

. A

17



suma de áreas . a . . . a • . a . ade rectángulos « (^)f(a + ̂ ii) + (^)f(a + 2^-) +.. . + (5ii)f(a +superiores, r " n

b a ba k a n f(a + i^a , A.11 •_ i

En primer lugar tenemos las siguientes desigualdades

F > a + i^5-)

2ÁREA BAJO UNA CURVA(INTEGRAL)



Podemos decir qué el método de aproximación al área A bajo el gráfico de una función

f(x) sobre el intervalo [a;bl mediante rectángulos inscritos y circunscritos no sola_

mente es práctico sino que cuando dicho intervalo lo dividimos en un numero "infini-

to" (n-^ + oo) de subintervalos la sumatoria infinita de áreas de rectángulos nos da

el valor exacto de A, esta idea la podemos aprovechar de la siguiente manera:

Para calcular el área debajo de la gráfica de una función f(x) sobre un intervalo

Ca;bl primeramente dividimos este intervalo en n subintervalos de igual longitud L.

L = b-a

posteriormente formamos los rectángulos inscritos y circunscritos a la gráfica de

la función f ( x ) , en seguida efectuamos la suma de las áreas de los rectángulos infe-

riores (o superiores) y este valor será próximo al valor de A y para calcular el va-

lor exacto de A se procederá a hacer n•* +

es decir, el área bajo la gráfica de una función continua f(x) > 0 sobre el interva-

lo Ca;bl es la integral de la función

NOTA: Para funciones negativas la integral se define en la misma forma que para fun

ciones positivas excepto que el valor resultante es negativo, y para funcio-

nes que toman valores positivos y negativos el área encerrada, por la gráfica

ca de la función es la suma algebraica de las áreas encerradas por su parte

negativa.

* EL VALOR RESULTANTE NO SIEMPRE ES FÁCIL DE OBTENERLO.

22



A continuación ilustramos la aproximación al área bajo la gráfica de una función

f(x) > 0 mediante rectángulos.

Consideremos la función f(x) = x sobre el intervalo £l;4l, su gráfica se muestra en

la siguiente figura

í

podemos aproximar el área A por medio de rectángulos formados con la función

f ( x ) = x.

Al d i v i d i r el intervalo [ l ; 4 l en n subintervalos ' X ^

mos que la longitud de cada subintervalo es:

de igual longitud L, teñe

L =4-1 3n n

y los extremos de dichos subintervalos son:

x =1, x = l + | , x = -̂ ,..., x. = -| ,.,-, xn = -¿ = 4

3cuya longitud de cada subintervalo es — , con estos extremos podemos formar los rec

n —

tángulos inscritos y circunscritos a la gráfica de la función f(x) como se muestra

en la siguiente figura

23



t

Consecuentemente tenemos:

suma de las áreasde los rectángulos =inferiores.

2¿) + (¿)n n

base rectánguloinferior

altura re£tángulo i]iferior.

(1) n.



NOTA: 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n =

demostrar por inducción.

n^ *'- es válida para todo natural N y se puede

Suma de las áreas \de los rectángu- = (̂ )los superiores. n

base rectájigulo supe--rior 1.

altura rec^tángulo su-perior 1.

base rectájiguio supe--rior 2.

altura rec-tángulo su-perior 2.

>

base rectá£gulo supe--rior n.

altura rec-tángulo su-.perior n.

(f) (1 + f)+ ( 1 + 2 | ) + ( 1 + 3 | ) + . . . + ( 1 + n ^ )

= ( £ ) n - 1 + ~ 1 + 2 + 3 + . . . + n

( 1 , n + 1 nín^t

25



- 3 • f (1 • I)

por tanto el área A bajo la gráfica de la función f(x) = x sobre el intervalosatisface la dobre desigualdad.

Suma de las áreas de losrectángulos inferiores. < A <

Suma de las áreas de losrectángulos superiores.

| (1 - < A < 3 + £ (1 + 1 )

de esta doble desigualdad observamos que conforme el numero n crece; es decir , con-

forme el intervalo JjU^l se divide en un número n más grande de subintervalos el la-

do izquierdo y derecho en la doble desigualdad se acercan al número

3 +

por lo tanto

A = f ( x ) d x = 3 + |

el valor de A también puede ser calculado fácilmente de la figura anterior, cuandog

ésta es dividida en un cierto triángulo y rectángulo, el valor obtenido es 3 + -̂

como se esperaba.

26



Para calcular el área encerrada por la función f(x) = x2 sobre el intervalo [a;b]

le podemos aplicar el método de aproximación de área por medio de rectángulos inscr^

tos y circunscritos a su gráfica. La gráfica de la función f(x) = x2 sobre el in-

tervalo [a;b3con 0 < a < b> se muestra en la siguiente figura.

Al d i v i d i r el i n t e r v a l o [a; fcf j en n sub in te r va los £ * ;

tenemos

de igua l l o n g i t u d L

= x i + i - x. , i = 0, 1, . . . , n-1— = x i + i - x.

y los extremos de dichos subintervalos son

5 x2~a+21, x 3= a + 3 1 , . , . ,x.¡=a-Hl, .

en los que al sustituir el valor de L = se tiene

xo=a,

27



con ellos podemos formar los rectángulos, Inscritos y, circunscritos a la gráfica de

la función f(x) = x2 como se muestra en. la siguiente figura

La suma de las áreas de los rectángulos inferiores es:

Suma de las áreas . a . _ . .de los rectángulos = (°ri).f(a) + (°r*).f(a+&=*inferiores. n n n

base del área altura base del rectángulode rectángulo inferior 2,inferior 1.

28



NOTA

) ( )

= (b-a)a +a(b-a) ( i - i - )+ ie2 l I ( 1 _ i ) ( 2 . ¿ ]no n n

: l2+22+32+...+n2 = -n(2n + * H n - + - H

=1Suma de las áreas K a • k a k ,de los rectángulos = (̂ a-)f(a+̂ a-)+ {2=1)f(atosuperiores

- (-~

29



l2+22+...+n

- ba2-a3+2a(b-a)2(^+ ^

Por lo tanto el área A bajo la gráfica de la función f(x) = x2

sobre el intervalo 1;4 satisface la doble desigualdad

(b-a)a2+a(b-a)2(l - I ) + ¿)(2 - i ) < A < (b-a)

a +2a(b-a) (-¿-+-¿)

nuevamente, al igual que en el ejemplo anterior, observamos que conforme el número

n crece, es decir, conforme el intervalo [a;b] se divide en un número n grande de

subintervalos, el lado izquierdo y derecho de la doble desigualdad se acercan al nú-

mero

a2(b-a) + a(b-a)= ja2(b-a) + 3a(b-a)

2

por tanto A = x2dx = -^— 4 - es el área bajo la gráfica de la función f (x) = x5

30



sobre el intervalo [a;b]

Como vimos en los ejemplos anteriores, aproximar el área bajo el gráfico de una fun-

ción f (x) definida sobre un intervalo £a;b] por medio de rectángulos resulta un pro-

ceso bastante laborioso, la verdad es que si se nos pidiera aproximar el área bajo

el gráfico de la función

f(x) = x ( x - + l ) 3 / 2 ,

por medio de rectángulos como en los ejemplos anteriores el problema sería bastante

más laborioso y complicado. Más todavía, si se nos pidiera calcular el área exacta

bajo el gráfico de cualquier función continua, el problema sería difícil de resolver.

Es este tipo de problemas el que nos obliga a buscar métodos o fórmulas matemáticas

que nos permitan obtener valores aproximados o exactos al área bajo la gráfica de

la función que se esté tratando. Afortunadamente para nuestro problema inicial de

calcular el área bajo la gráfica de la función f(x), contamos con cierto tipo de fun

ciones conocidas como funciones primitivas o antiderivadas, que junto con un resulta_

do matemático conocido como teorema fundamental del cálculo nos ayudan a calcular

áreas exactas bajo el gráfico de funciones continuas.

Antes de ilustrar la manera en cómo calcular el área exacta, bajo el gráfico de una

función continua, por medio de funciones primitivas, vale la pena mencionar qué

entenderemos por función primitiva y enunciar algunas de sus propiedades. Una fun-

ción F(x) es una función primitiva de la función f(x) si aquella es derivable y su

derivada es:

F(x) = f(x),

algunas propiedades de las funciones primitivas son:

a) Si Fi(x) es una primitiva de f(x), entonces F2(x) = Fi(x)+C es también una

primitiva de f(x), donde C es una constante cualquiera.

31



b) Si Fi(x) y F2(x) son dos primitivas de la misma función f(x), entonces ambas

difieren por una constante C, es decir

F2(x) = Fx(x) + C

c) Si F(x) y G(x) son primitivas de f(x) y g(x), respectivamente, entonces

f(x) + 6(x) es primitiva de f(x) + g(x).

d) Si F(x) es primitiva de f(x) y C es una constante cualquiera, entonces la función

CF(x) es primitiva de cf(x).

OBSERVACIÓN: Los puntos a y b caracterizan completamente a todas las primitivas de

una función dada; si se tiene una primitiva F(x) de f(x), pueden obte

nerse infinidad de primitivas adicionando a aquella una constante, y

se asegura que éstas son todas las primitivas de f(x).

De los resultados de derivación que tenemos para funciones algebraicas podemos for-

mar la siguiente tabla, en la que se presenta la función f(x) junto con sus funcio-

nes primitivas

función f(x) primitiva F(x)

1 x + C

x2 x rx T"

xn+l

Ahora que ya tenemos establecido el concepto de función primitiva podemos formular

el enunciado del teorema fundamental del cálculo (TFC).

32



3TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO(INSTRUMENTO MATEMÁTICO),ÚTIL EN LA DERIVACIÓN DE FUNCIONESDADAS POR INTEGRAL Y PARAEL CALCULO DE INTEGRALES



TEOREMA: Sea f:fa;b]-> R función acotada y sectoriaimente continua, entonces la fun

ción

F(x) = f(t)dt,

satisface lo siguiente

a) F(x) es continua en cada x del intervalo

b) Si f(x) es continua en x, entonces

F(x) = f(x),

es decir

dx f(t)dt =

COMENTARIO:

Acerca del punto b en el T.F.C., notamos que F(x) es primitiva de

f(x), también, como F(x) es la integral de f(t) y al derivarse y dar-

nos el integrando, se acostumbra pensar que la derivada y la integral

operan en forma inversa.

A pesar de que el teorema (T.F.C.) nos garantiza que F(x) es función

primitiva de f(x), éste no nos proporciona una expresión explícita de

F(x) a no ser que sea la propia integral, sin embargo este teorema nos

proporciona un método sencillo ara calcular el área bajo la gráfica de

f(x).

35



Hagamos la siguiente consideración. Sea G(x) otra función primitiva de f(t), enton-

ces las funciones

F(x) = f(t)dt y 6(x) difieren por una constante C,

entonces

f(t)dt = G(x) + C,

al evaluar ambos miembros en x = a.

Obtenemos

0 = f(t)dt = G(a) + C

C = - G(a)

luego entonces

f(t)dt = G(x) - G(a),

nuevamente, al evaluar ambos miembros en x = b obtenemos

fb

f(t)dt = G(b) - G(a)

esta ultima igualdad nos indica que si conocemos otra primitiva G(x) de f(t), enton-

ces podemos calcular la integral de f(t) sobre el intervalo [a;b], basta evaluar la

primitiva G én b y en a y obtener una diferencia entre estos valores para así calcu^

lar dicha integral.

36



APLICACIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

a) Cálculo de derivadas de funciones dadas en forma de integral

Ejemplo: Derivar l a función

f(x) = t/TTF dt

Solución:

d f(x)dx

á_dx

t / 1 + t2 dt teorema fundamental

del cálculo

= x/ 1 + x2

Ejemplo: Derivar la función

•s(x) = / 1 + 4tf dt

Solución:

ds(x) _ jj_dx " dx / 1 + 4t

2 dt teorema fundamental

del cálculo.

= / 1 + 4x2

37




J.8X

f(x) = •t* + 2t dt

Solución: Observemos que.la función f e s la composición de las siguientes funcio_

nes

g(x) = 8x

h(y) = t2 + 2t dt, las cuales son derivables.

Asi tenemos

f(x) = h o g(x)

f8X

2t dt

aplicando la regla de la cadena para derivar, tenemos

d f(x) = djTÍxI . d g(x)dx áy dx

• t* + 2t dt •d 8xdx

es decir

íí

2y • 8

= 8/ 64x2 + 16x

38



Ejemplo : Derivar la función

f(x) = /~3x" / l + jz dx

Solución:

¿ f(x) - jjL derivado de un productode funciones.

= /3x 4+1 dt + ( / l + -k dt ) • -&- /33T

rX

= /3x" ( + TT dt ) • i

= /3x" / l + 4- +1 2/3x

39




f(x) =

J o

• 1 + 4t* dt

Solución: f(x) es la composición de las funciones

g(x) = 3x

h(y) = / 1 + 4t2 dt , las cuales son derivables

por la regla de la cadena tenemos

d f (x) _ d . , > . d g(x)dx dy h(y) dx

= ( / 1 + 4t* dt ) • -£-

1 + 4yz • 3, con y = g(x) = 3x

= 3/ 1 +

es decir

d f(x)dx = 3/ 1 + 36x

2

¿10




£(x) =

r 3x2+2x

/l+5t dt.

Solución: Observemos que £ es la composición de las siguientes funciones:

g(x) = 3x2+2x

h(y) = L+5t dt, las cuales son derivables,

así tenemos r 3x2+2x

f(x) = hog(x) = h(g(x)) = h(3x2+2x) = dt

aplicando la regla de la cadena para derivar f(x) obtenemos

/l+5tdt • -$- (3x2+2x) (teorema fundamental)

= /l+5y • (6x+2) , con y = 3xz+2x

= Vl+5(3x2+2x) • (6x+2)

= /Ibx2+lüx+l (6x+2),

es decir,

3x^+2x

dt = (6x+2)/15x2+10x+l



Ejemplo: Comprobar que la derivada de la función

f(x) = x- - dt

satisface la igualdad

dt

(1)

Solución: Como

f(x) = x. /t+ - dt

entonces

f' (x]dx

't+ -L diderivada de un productode funciones.



x. A+ i dt +dx

r X

~ X * ]_X

i dt

s u s t i t u y e n d o e s t e " v a l o r 1 1 d e f ' ( x ) e n ( 1 ) , o b t e n e r n o s

x/x+

rx

' t + 1 dt- /t+ 1 dt x /x+1

x + x

lo cual es una identidad con (1), por tanto, f(x) satisface la igual

dad en (1).



b) Cálculo de área de funciones que tienen primitivas conocidas.

Ejemplo: Calcular el área del gráfico de la función f(x) = v̂x sobre el inter^

valo [1 ;9 ] .

Solución: El gráfico de la función f(x) = /x - xL sobre el intervalo [1;9] se

muestra en la siguiente figura

AA = í f(x)dx = Y

Una función primitiva para f(x) es la función

i * 1

entonces

A = í f(x)dx

dx

= F(9) - F Teorema fundamental del cálculo.

Por tanto



E j e m p l o : C a l c u l a r el á r e a b a j o el g r á f i c o d e la f u n c i ó n f(x) =5

-x5

+ 3x. Sobre el intervalo [ 1; 7 ] .

S o l u c i ó n : El g r á f i c o d e l a f u n c i ó n f ( x ) = . - x 2 + 3x s o b r e el i n t e r v a

lo [ 1 ; f- ] se m u e s t r a e n la s i g u i e n t e f i g u r a

u n a f u n c i ó n p r i m i t i v a p a r a

- x 2 e s G x ( x ) = - ^

3x e s G 2 ( x ) = 3



x 3 3e n t o n c e s G ( x ) = G i ( x ) + G a ( x ) = - - y + j x 2 e s f u n c i ó n

p r i m i t i v a p a r a f ( x ) = - x z + 3 x

l u e g o

A =

5/2

f ( x ) d x

125 + ZI24 8

I + h3 2>

-125 + 2 2 5 + 8 - 3 624

108 - 3624

1124

= 3

por tanto A =

5/2

f ( x ) d x - 3

i

¿16

| ( I ) 2 )



Ejemplo: Calcular el área A bajo el gráfico de la función f(x) = x sobre

el intervalo [1 ;3 ] .

Solución: El gráfico de la función f(x) = x~2 sobre el intervalo [1;3] se mues_

tra en la siguiente figura

-2Una función primitiva para f(x) = x" es F(x) = - x" , entonces

A = f(t)dt

t"2 dt

— +•

2.3

¿17



Ejemplo: Calcular el área A encerrada por la gráfica de la función

f(x) - x3^2 + x3 y el eje T sobre el intervalo [1;4].-

Solución: Una primitiva para

3/2 r- / X 2 5/2

x es i-iix] 5 x

x3 es F (x) = \

luego entonces F(x) = Fx(x) + F2(x) es una primitiva de f y así tenemos

A = | f(t)dt = F(4) - F(l)i

J4) + F2(4) - (Fj

i A3 U _ 15235 * " 20 " 20



C) Cálculo de área de funciones sectorialmente continuas

Ejemplo: Calcular la integral

/Fdx

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función f(x) = /2~ sobre

el intervalo [0; 3]

luego entonces

A = /Fdx

dx

= /Tx

= 3/T mDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]



|x - l|dx

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función integrandof(x) = |x - 1| sobre el intervalo [-1; 2]

-1

Como f(x) * |x—1| entonces f(x) = <1-x si x < 1

x-1 si x > 1

Para facilitar la integración, dividimos el intervalo de integración en

en los siguientes dos [-1; 1], [1, 2].

Así tenemos

|x-l|dx =

-i

(l-x)dx

-i

(x-l)dx

es decir,

- u - f>

5

+ (

-1

|x-l|dx = j

50



Ejemplo: Calcular la integral g(x)dx, con g(x) =-2

rx2 si -2 < x < 0

x + 1 si 0 < x < 3

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función g(x) sobre el in

tervalo [-2;3]

Para facilitar la integración dividamos el intervalo de integración en los siguier^

tes dos intervalos (-2;0) y (0;3), asi tenemos que:

í g(x)dx = í x2dx + í (x-2 •'-2 ' O

61

es decirg(x)dx

-2

51



5 " * i l -O ^ A i -L

Ejemplo: Calcular la integral h(x)dx, con h(x) = ^ -x2 + 2 si -2 < x < .2* .r i ^ . . • _ ' • •

-1. si -6 < x < -2

-x2 + 2 si -2 < x < 2

3-x si 2 < x < 5

solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función h(x)

Para facilitar la integración dividimos el intervalo de integración en los siguierv

tes tres intervalos: [-6;-2], [-2;2] y [2;5].

Asi tenemos

5 -2 Z 5

f h(x)dx = f-ldx+.f (-X2 + 2)dx + í (3 - ;x)dx

= - x + (--2

(3x - f

17.6

es

5

decir, h(x)dx = - unidades cuadradas,

52



APROXIMACIÓN DE ÁREA

1) Empleando la idea de aproximación de área por medio de rectángulos, aproxime

las integrales con un error no mayor del indicado en cada caso. Bosqueje la

gráfica de la función integrando

i

a) (x2 + l)dx con error no mayor que 0.1

•2

b) í t2dt.0

con error no mayor que .002

c)

d)3/-

2x~ ^ ,

con error no mayor que -r

1dx con error no mayor que TQ~

e) f(x)dx con error no mayor que 2.5' si f(x) =<

-x si 0 < x i 1

1+x2 si x > 1

r3/2

f) f(z)dz, con error no mayor que 1 si f(z) =-i

si z < 1

si z > 1

53



PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

Empleando propiedades de la integral, resuelva los siguientes problemas.

1) Calcule las siguientes integrales

-1 -3 2 -2

a) i 2dx b) f xdx c) í x M x + f x^dx0 -1 «-2

2) Encuentre un número a tal que 2dx = 5'2-a.

fb-i3) Encuentre un número b tal que xdx = 6

fX i4) Encuentre un número x tal que tdt.= x - -j-

J rt

5) Encuentre un número c tal que 0 < c < 3 para el cual

se cumpla la igualdad.

fc Í31tdt = c h ^ d t

o •'o



6) Encuentre un número te tal que

k i 2dt = f tdto - i

7) Dé un ejemplo de una función f(x) no continua en.[-1;1] para la cual

f f(x)dx = 0-i

8) Si f(x) es continua en [a;b] y además existe un número M tal que f(x)

11) Sea f(x) como en el ejercicio 10 y c un número tal que a < c < b» Demués,

tre que

f(x)dx > \ f(x)dx

12) Demuestre que

i

2 < [ (l+x22)dx < 4.

13) Sea f(x) función continua sobre [-a;a] . Si f es función par pruebe que

a af(x)dx = 2 f(x)dx.

-a o

e interprete el resultado geométricamente.

14) Sea f(x) continua sobre el intervalo [-a;a]. Si f es función impar demues

tre que

f(x)dx = .0.

e interprete este resultado geométricamente.

15) Empleando 13 y 14, calcule las siguientes integrales

2 3 1

a) f |x|dx b) í xdx c) í x2dx

56



5

d) i 3dx e) ( x3dx f ) f x5dx

16) Calcular la integral f(x)dx con f(x) = g(x) - g(-x) y g continua,JA

'-apuede probar que g es impar y luego emplear 14.

f5

17) Graficar la función f(x)=x^ -5x y calcular f(x)dx.

1 f8

Graficar la función g(x)=x+ —= y calcular g{x)dx.18)

19) Graficar la función f(x)=x*+2x y calcular f(x)dx y representarlo en'-2

la gráfica de f(x).

1 1 fl+

20) Graficar la función lix)=x + — y calcular Ux)dx y representarlo enx .5

la gráfica.

21) Encuentre el valor Q^ la cual hace que la función

\ 2x+5 para x3

fsea continua en x =3. Calcular f(x)dx y representar este valor en la-3

gráfica de f(x).

57



22) Encuentre el valor de a para el cual la función

g(x)=«

para x2

r10sea continua en xQ=2. Calcular g(x)dx.

58



TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (leparte)

Derivar cada una de las siguientes funciones con respecto a su variable.

fx1) f(x) = vHTdt 2) [X(s+l)3/2ds

3) 4) tz+2t dt

5)2X

t dt 6) dt2X+3

3X+1

7) g(x) = j / t2+i tdt 8) t3/2dt

,-3x2+2x9) V s2+5 sds

- i

f2x+x:

10)

11) — dt si |x |< |

r2x+x2

12) dt

59



13) Calcular d2

dx2x2+lt/ t+2 dt

14) Calculardxs y

2+3 dy

-x2+3

rS*H-25

15) Calcular

y evaluarla en 0.

16) Graficar la función f(x)=

culo diferencial.

1+t 2 dt, empleando los conceptos de cál-

17) Graficar la función g(x) = % fát.

18) Graficar la función l(x)= T dt (esta función se llama logaritmo) em-

pleando los conceptos de Cáldulo Diferencial.

19) Pruebe que la derivada de la función f(x)=

igualdad.

satisface, la

60



TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (2a. Parte)

Calcular las siguientes integrales :

1) xdx 2) (2x+l)dx^ o

3) |x-l|dx 4) ^ )dxr

5) 6) \f

7) 8)o

|;t3(?rT"-/T" )dt

9) í ir -i)-2

-1

10)x3 + 8x + 2 dx

11)f 2x9/2 - 4x2 + 5 12) | s(4s

13) [(y+y'Vdy 14) + 2 y3 / 2 ) 2

61



4INTEGRACIÓN POR CAMBIODE VARIABLES



PRIMERA PARTE

Muchas integrales

A(t)dt

no son directas de calcular pero su integrando puede ser descompuesto en la forma

A(t) -fCg(t)).g'(t)

donde f y g' son funciones continuas, entonces

A(t)dt = fog(t)-g'(t)dt

al hacer

tenemos

u = g(t) para a < t ^ b

du = g'(t)dt

— " " " • " " O

. _ _ - 4

- - 5

para t = a se tiene ua = g(a)

y para t = b se tiene u^ = g(b) 7

luego por 4, 5, 6 y 7 tenemos

(fog)(t)g'(t)dt =

g(b)

f(u)du

g(a)

8

en muchos casos la segunda integral en 8 es más "fácil" de calcular que la inte-

gral en 1. _



SEGUNDA PARTE

Si la integral

f(x)dx

resulta "difícil11 de calcular, muchas veces es posible que exista una función $

uno a uno, sobre y derivable de un intervalo I de extremos a y 3 en intervalo j

de extremos a y b tal que para cada u de I se tenga

x = $ ( u ) - - - 2

dx = *'(u)du - . • - . ^ - - 3

a = $(a) - 4

b = ».(B) - - ~ - - - - 5

con lo que al sustituir 2, 3, 4 y 5 en 1 obtenemos

f(x)dx =

tal que la última integral de la derecha en 6 es más fácil de calcular que la integral en 1.

NOTA: Las expresiones 4 de la PRIMERA PARTE y 2 de la SEGUNDA PARTE se les co-noce como cambió dé variable para las integrales en 1.

66DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]



+4 dz.

Solución: Al inspeccionar el integrando

h(z) = z/2z2 +4

Observamos que z es la derivada de 2z 2 +4 salvo por un factor constante,

de hecho si hacemos

g(z)= 2z 2 +4 obtenemos g'(z)=4z

y la integral quedará en la forma 3

+4 dz= / 2z2+4 4zdz=

al aplicar 4 y 5 con u=g(z) y du=gl(z)clz

67



obtenemos

z /2z+4 dz=

12

du

14"

12

1 u12

12

Nota: Cuando se hace el cambio de variable también se deberán hacer los

respectivos cambios de los limites de integración en la nueva variable.

68




, 2

(2z + 2) • z2 +. 'Lz dz

Solución: Al inspeccionar el integrando

h(z) = (2z + 2) / z* + lz

observamos que 2z + 2 es la derivada de z2 + 2z, de este hecho, si

hacemos

g(z) = z2 + 2z obtenemos g'(z) = 2z + 2,

y la integral quedará en la forma 3

(2z + 2) • z + '¿z dz = g(z) g'(z)dz

al aplicar 4 y 5 con u = g(z) y du = g'(z)dz obtenemos

(2z + 2) / z2 + 2z dz = g'(z)dz

r 8

u du

2u3/2 - I -83/2

NOTA: A veces es práctico que, mediante observación del integrando sabemos quien

es g(t) y quien g1(t).

69




5z dz

S o l u c i ó n : hagamos g ( z ) = z 2 + 3 , e n t o n c e s g ' ( z ) = 2z l u e g o

5z

/ z•dz

2z/ z 2 + 3

dz

5 g ' ( z ) dz

sea u = g(z) entonces du = g'(z) y u = 3 cuando z = 0

u = 4 cuando z = 1

así tenemos que

i

5z•z + 3

dz = 5 g'(z) dz

5 du1T 2

5̂2

du

i y:2 %

= 5 [2 -3^]

70



Ejemplo 4: Calcular la integral

(l-2y) dy

Solución: Hagamos g(y) = 1 + {l-Zy? , entonces g'(y) = -8(l-2y)3 luego

U-2y)H dy = / gíy)

sea u = g(y) entonces du .= g'(y)dyy u = 1 si y = \

u = 2 si y = 1

así tenemos que:

(l-2y)V 1 + (l-2yr dy =-8

u du

1 u38 3

7112 - 1),



Ejemplo 5 : Calcular la integral

7u2du(2+4u3)3 U/2

Solución : Hagamos g(u) = 2 + 4u 3 , entonces g'(u) = 12 u2.

Luego

7u2du(2+4u3)1 / 2

7 12 u2du(2+4u3)1 / 2 12

7 g'(u)du(g(u))V2 — T I

sea w = g(u) entonces dw = g'(u)du. y w = 2 para u = 0

w = 6 para u = 1

así tenemos que:

7 u2 du(2 + 4 u 3 ) 1 / 2

7 g'(u)duu ) ) 1 / 2 .12

dwÑ7172"

1 2 ¿W



CAMBIO DE VARIABLE 2^ PARTE


x dx/ x +4

o

(1)

Solución: Hagamos w = / x + 4

entonces w2 = x + 4

x = w2- 4 y dx = 2wdw

(2)

(3)

y los nuevos límites son:

cuando x = 0 tenemos w = 2

cuando x = 1 tenemos w = 75*

(4)

(5)

sustituyendo (2), (3), (4) y (5) en (1) tenemos:

x dx/ X + 4

w2 - 4w 2wdw

- 8 dw

V?

- 8w

12. 143 " 3

73




/x JVx+1 dx (1)

S o l u c i ó n ; H a g a m o s w = / x + i - - - - - - - - - -

W - l =v/X

x = (w-1)2 y dx = 2(w-l)dvr

y los nuevos límites son

cuando x = 0 w = 1

x = 1 w - 2

sustituyendo (2), (3), (4), (5) en (1) tenemos

(2)

(3)

/x^x + 1 dx = i (w-l)^w 2(w-l)dw0 . 1

dw = t\ (w2-2w+l)v/w dwi

5/ 3 / 1/•al (w 2-2w 2+w 2)dw

5 / 2 3 / 2

-. 2w "

16




dx (1)

Solución; Hagamos w = /x* (2)

entonces w2= x y dx > 2wdw (3)

y los nuevos límites son

para x = 1, tenemos w = 1 (4)

para x = 4, tenemos w = 2 (5)

sustituyendo (2), (3), (4) y (5) en (1) tenemos

dx = 2wdw =

(w+l)~3dw

•= -(w+1)- 2

9 4 36

75



CAMBIO DE VARIABLE

Empleando cambio de var iab le , calcular las integrales

(2x-3)3dx 2)3+5t

dt

3) (l-2y)V 4) dz

5) T\T dx 6)3u2du(2-u3)3

7)z+1

(z2+2z+3)2'3 dz 8)/2+VY

7Jdy

9) (2s - pr)(s2 + i ) * ds 10)

5/9

dw

76



11)( t l / 3 - 2 ) 6

£2/3 dt 12) / v2 + 4dv

13)/ - 3 / 5 l / 5 N(y + y )

3/2

>

15)3/2

-ds 16) 6x2 + 2

+ x + 5dx

17) /x~ / l + x / x dx 18) /x / 1 + / x dx

puede hacer u = /~x~

19) du

uVl

20) du

u /3u 2 +u

21)1 + S 2 2/3 ,

s s222)

77

dx

+x



5INTEGRACIÓNPOR PARTES



Otro método de Integración llamado integración por partes surge con la necesidad de

calcular integrales

f(x)dx

que nos son d i rec tas de ca lcu la r pero su integrando f ( x ) puede ser descompuesto como

el producto de dos funciones u(x) y v ' ( x ) para las que u ' ( x ) es más "sencil la1 1 que

u(x) y v ( x ) es " f á c i l " de ca lcu lar de ta l manera que v (x ) u ' ( x ) es más f á c i l de i n t e

grar quef ( x ) = u ( x ) v ' ( x ) - - 2

El método de integración por partes se puede obtener de observar el siguiente desa-

rrollo, al derivar el producto de dos funciones u(x)v(x), obtenemos

(u(x)v(x))1 = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)

integrando ambos miembros de 3 se tiene

u(x)v(x) (u(t)v(t)ldt

u(t)v'(t)dt +

despejando la integral por calcular en 4 se tiene

u(t)v'(t)dt = uCx)v(x) v(t)u'(t)dt 5

la fórmula en 5 es conocida como fórmula de integración por partes y se aplica a in-

tegrales cuyo integrando es dado como en 2, para los que la integral del segundo

miembro en 5 es más "fácil11 de calcular que la integral inicial.

81



Nota 1: Existen integrales para las que (en el proceso para calcularlas) es nê

cesario aplicar dos o mas veces el método de integración por partes.

Nota 2: Existen integrales en las que después de aplicar el método de integra-

ción por partes se vuelve a obtener la integral inicial, salvo por un

factor constante diferente de 1, en tal caso se deberán agrupar las in-

tegrales para asi calcular la integral inicial.

Nota 3: En la aplicación de la fórmula 5, conviene elegir como v'(x) la función

de apariencia más "complicada" en la descomposición de f(x). En caso

de que la integral del segundo miembro se complique, será conveniente

hacer otra descomposición de f(x) para elegir u(x) y v'(x) y asi apli-

car la fórmula 5. Sin embargo, si esta otra descomposición de f(x) co-

mo producto de u(x)v'(x) nos complica la integral del segundo miembro,

y si después de hacer todas las posibles descomposiciones de f(x) como

producto u{x)v'(x), la integral del segundo miembro de 5 se complica p£

ra calcularla, más que la primera integral, entonces será necesario em-

plear otro método para calcular la integral inicial, aunque, posiblemer^

te en el transcurso de la aplicación de otro método se tenga que em-

plear el método de integración por partes.

Nota 4: Existen integrales que se pueden resolver por el método de cambio de v¿

riable o por el método de integración por partes. Indistintivamente

82



En los siguientes ejemplos aplicaremos los métodos de integración por partes e inte

gración por cambio de variable.

Ejemplo 1 : Calcular la integral

x(x + l)2 / 3dx

Solución: Para calcular esta integral aplicaremos el método de integración por

partes, elegimos

u(x) = x3 dv(x)dx = (x + 1)2/3

dx,

entonces

du(x) = dx f v(x) = dv(t)dt = (t+l)2/3dt =

de acuerdo a la fórmula de integración por partes tenemos

x(x + l)2 / 3dx =

'1

| (x + l ) 5 / 3 d x

x . ( f (x

83



- & ti*•-•;*.

Í o2/3

" 5 C36 fh 9_40 L 40

65 10 V - .«.

3H6 4.0

40




dx

Solución: Para ca l cu la r esta i n teg ra l apl icaremos el método de integra_

ción por pa r tes , elegimos

ux = x 2 , d v ( x ) d x = L • d x = ( x + l ) ~ 2 d x .• x +. 1

e n t o n c e s

d u ( x ) = 2 x d x , v ( x ) = d v ( t ) d t = ( t + l ) " 2 d x

de acuerdo a la fórmula de integración por partes tenemos

2

/TT dx =1

x +dx

= x2(2(x+l)l/2)

r i

2(x+l)l/22x dx

, i

= zrz~ - 4 dx

85



pero esta última integral también la resolveremos por método de integra-

ción por partes quedando

con u(x) = x; v = dv(t)dt = (t+l) l / 2dt

du(x) = dx = | (x+l) 3 / 2 .

x(x+l)l/2dx fx(x+l)3/2

(x+l)3/2dx

_ 2 93/2 4 95/2 4" 3 ¿ " TS 2 + 15

43

1615

115

±15

al susti tuir el valor de la integral de 2 en 1 tenemos

= znr - 4

J o

x(x+l)l/2dx

J o

¿/ ¿ 4^15 1 5

16 «i/2. 16 _ 14_^ .2 - ^ - ^

16

86



Ejemplo: Calcular la integral:

x V x* + 3 dx

Solución: Al inspeccionar el integrando, podemos aplicar integración por partes

haciendo la siguiente elección:

u = x2 ; v'dx = x/ x2 + 3

entonces

du = 2xdx ; v = T (*2 +.3)"*

así tenemos

x3/ x2 + 3 dx = T x2(x2 + 3)~2_3

x(x 3)3/2dx

o 'o

I V2/V2X2(x2 + 3)3/2 i.i

5.3

15 ( 32O5/2 K

- 3 . )

3 " 15 15

87



Ejemplo 4; Calcular la integral

i

dZ.

Solución; Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de

aditivilidad de la integral sobre suma de funciones tenemos:

i -1 -1

r (3-3Z)/I+TdZ - 3 Í Z+2 dZ - 3 z/z+2 1

la primera integral del segundo miembro en 1 la resolvemos por canw

bio de variable quedando:

/Z+T dZ = |(Z+2)2o 3/ ~ 3/ ,H 254

V " 3 " "

la segunda integral del segundo miembro la resolvemos por integra-

ción por partes

i i i

o 3/ • • ̂ r 3 /

-|| (Z+2) 2dZr z/z+T dz = -̂z. (z+2)

con u(Z)=Z;dv(Z)dZ=/Z+2 dZ = jZ.(Z+2)

luego ií , ! 2 3/2 4 5/2du(Z)=dZ; v(Z) = Kt+2 dt ' = 4 3 - -^-3 +j i J

2 23 5

(Z+2)

2| = 23

15

12.

15 *

4 .5/2

por tantoi

(3-3Z)/Z+2 dZ = 3 /Z+2 dZ-3 Z/Z+2 dZ0 • . • • " ' • 0 . • ' 0

= 3(2.3 *- 1^-3(2.3 2- 12

V2 V3 V2 12= 23 2-2 3-23 2+ i=-

4+-¿-2

12^2 9— 3 2- |2

3 6 3 \ 36. (3 ¿-2 ¿)



Ejemplo 5; Calcular la integral

2

dx(x+1)3/2

Solución; Para calcular esta integral aplicaremos el método de

integración por partes.

elegimos

u(x) = x2 ; dv(x)dx =

entonces(x+1)3/2

dx = (1+x) dx

-1/2 + 4Ü4/T- - 2

- 8/2~ -

/2~

3/2

1

3/2+ ±2^3

39




6x dx

J (X2 + 2)

Solución:

/2~ . VT( x3+ 6x f x2

x + b x dx = x-I (x2+ 2 ) 3 J (x2+

sr2)

dx + 6L (x2+

dx.(x2+ 2)

ahora, usando cambio de variable tenemos

/2f — ^ — dx -fj (x2+ 2 ) 3 J

12" do)

O ) 3

1 ü)-22)

1

S e a

X

U)=X2H

dcu=2x

dx=|dü

i- 2

dx

= - 1(Í2_ 3-2, .4(144)

aplicando integración por partes a la primera integral del según

do miembro tenemos

( —2L! dx = f x2. -5

J (x2+ 2 ) 3 J (x2+-dx = -

2)

/2~J_f/T~ 1 dx

u(x) = x ; dv(x) =x dx

(x2+ 2) 3 (x2+ 2)-dx

1 • — 2

du(x) = 2xdx; u(x)=-j(x2 2) 2+ 2T2J - - £xz(x2+ 2)

-JL288

Sustituyendo 2 y 3 en 1 obtenemos

6x 6. -JLLdx 6.(x2+ 2) 3 Z88 4(144)

90



INTEGRACIÓN POR PARTES

Empleando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales

1) (l+x)Vdx 2) (l+x)5/3x2dx

3) x2(3-2x)15dx

i

4)/ x + 4

dx

5)3t+2 dt 6) s

2+ s(s + 2 ) 5 d s

7)(v+1(v-1 dv

8) dx

15

9) wdw xV 2 + x dx

11) (x+1)2/ 1 + 2x dx 12) (3x+l)3(x2+/lT )dx

91



6APLICACIONESDE LA INTEGRAL



A) CALCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.

Considerando que la integral de una función f(x) continua y no negativa

sobre un intervalo [a;b] es el área encerrada por la gráfica de la

función, el intervalo [a;b] y segmentos de recta que pasan por x=a,

x=b, como se muestra en la siguiente figura

i

entonces, y si a su vez f(x) y g(x) son funciones continuas no negati-

vas definidas sobre el intervalo Ca;b^ en e^ °lue

f(x)>g(x) para todo x de dicho intervalo,

tenemos que h(x)=f(x)-g(x)> 0 será una función continua no negativa y

por tanto la integral de h(x)

h{x)dx= (f(x)-g(x)dx.

95



f(x) dx- g(x)dx, (1)

será el área comprendida por las gráficas de la funciones f(x) y g(x)

Concretamente tenernos:

Si f(x) y g(x) son funciones continuas no negativas sobre el intervalo

| a;b | entonces el área A encerrada encerrada entre las dos gráficas

es:

f(x)dx- g(x)dx. (2)

la siguiente figura muestra dos gráficas la de f(x) y g(x) y el área en-

cerrada por ellas, dada por 2,

96



La formula 2 es válida aún si las funciones f(x) y g(x) satisfacen las condicio__

nes:

a) "f(x), g(x) negativas y continuas sobre el intervalo [a;b]

b) f(x) > g(x) para todo x en el intervalo

NOTA: Si f(x) y g(x) son continuas y se intersectan en un número f ini to de pun_

tos { x l f x 2 . . , xn } entonces el área encerrada entre las gráficas de f(x)

y g(x) es igual a la suma de cada una de las áreas entre las gráficas

sobre cada subintervalo [a;xv] , [x l t x 2 ] . . . , [x

n-i » x j ' v [*n;b]

97



ÁREA

Ejemplo: Determinar el área encerrada por las siguientes tres rectas

yi = 3x - 2, y2 = - y x + 2, y3 = - I x + 1.

Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las tres rectas

Los puntos de intersección entre las rectas se obtienen de igualar su?

respectivas ecuaciones una con otra. Así por ejemplo al igualar yi

con y2 se obtieneyi * yz

3 x - 2 = - j X + 2

3x + |x = 4

10

Tx= 4

x = - y por tanto yi = y2 ( F ) = F

#3 3 3

consecuentemente Q = ( F > F ) es £1 punto de intersección entre las3 D

rectas yi con y2 . . '

98



Similarmente al igualar yx con y3 obtnemos

3x - 2 = - g- x + 1

3x + I- x = 3

fx .3

x -X 25 '

al sustituir este valor de x en cualquiera de las dos expresiones para22yi o y3 tenemos yx = y3 = -^ y consecuentemente el punto de inter

24 22 ~sección entre yx , y3 es p = ( ̂ » 25" ) •

De igual manera se obtiene que el punto de intersección entre las rec

5 ' 524 2

t a s y 2 , 7 3 en R = ( T > F ) • En tonces e l á r e a e n c e r r a d a por l a s

tres rectas es:

A =

2*»5

L(t)dt con L(t)

yi(t) - y3(t) para IIN< t « |

yz(t) - y3(t) para ^ < t <2 5

A =

2**25

( 3 t - 2 - . • ( - £ t + l ) ) d t l ) ) d t

,« /*

4M - 3) dt +

2h25.

J e/s



Ejemplo: Determinar el área encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son:

x+y = 3 y y+x2= 3.

Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las curvas dadasá

los puntos de intersección entre las curvas dadas lo podemos obtener el igualar sus

ecuaciones

y = 3-x = 3-x2= y

así tenemos x2- x = 0

x(x-l) = 0

Xi= 0 y x2= 1

al sustituir cada uno de estos valores de x en cualesquiera de las ecuaciones de las

curvas obtenemos

y = 3-0 = 3

7 = 3-1 = 2 ,

luego P = (0,3) y Q = (1,2) son los puntos de intersección entre ambas curvas, y el

área A encerrada por ellas es:

(i

A • = • dt

(i ri

t2dt t3

tdt = - ^ 1 + 1 _ 13 2 ^ F

es decir, A --^ unidades cuadradas,

100



Ejemplo: Determinar el área encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son:

. y = x3+2, x = 1, y = -6-

Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las curvas dadas.

claramente la curva y = x3+2 intersecta a la recta x = 1 en P = (1,3) e intersec-

ta a la recta y = -6 en Q = (-2,-6) y por tanto el área encerrada por las curvas

dadas es:

A l(t)dt =ri

(t3+2-(-6))dt-2

(t3+8)dt

t3dt+S

-2

dt = £-2

+8t

81es decir, ' A - -j- unidades cuadradas.

101



Ejemplo: Determine el área encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son:

y = -x2 + 10, y = 1.

Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las curvas dadas

los puntos de intersección entre las curvas dadas lo podemos obtener al

igualar sus ecuaciones

y = -x2 + 10 = 1 = y

asi obtenemos

x2 = 9

xi = 3, x2 = -3

al sustituir cada uno de estos valores de x en cualesquiera de las ecua-

ciones de las curvas obtenemos,

y = -(3)2 + 10 = 1

y = -(-3)2 + 10 = 1,

luego P = (-3,1) y Q = (3,1) son los puntos de intersección entre am-

bas curvas, y el área A encerrada por ellas es;

202



A = l(t)dt

-3

(-t2 + 10 - l)dt

-3

(-t2 + 9)dt

-3

3 3

t2dt + 9

-3

dt

-3

3 3

+ 9t

-3 -3

= - i (33 + 33) +9(3 + 3)

= -18 + 54

= 36

es decir, A = 36 unidades cuadradas.

103



Ejemplo: Determinar el área A comprendida por alguna de las siguientes rectas

Xi = - 5 6 x2 = 5 y las dos curvas f(x) = x3 + 1, g(x) = -x2 + 1

Solución: La gráfica de las curvas se muestra en la siguiente figura junto con el

área por calcular.

los puntos de intersección entre f(x) y g(x) se obtienen de igualar

sus ecuaciones

x3 + 1 =

f(x) =g(x)

-x2 + 1

x2(x •+ 1) = 0

x3+x2

luegox = 0, x = -1

104



son las coordenadas de los puntos donde se cortan las curvas,

Para -1 < x < 0 tenemos que -x2 < x3 < 0.

luego entonces g(x) < f(x) en el intervalo -1,0

y f(x) < g(x) en -5;-lg(x) < f(x) en 0;5

luego entonces el área A es:

A = (-t2 + i - t3 - l)dt + (t3 +.1

J-c

375112

- l)dt

-5

105



Ejemplo: Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones

z£2(x) =

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones fx(x), f2 (x) y el

área encerrada por ellas.

X

la gráfica de la función f2(x) se puede obtener empleando los resultados de derivación,

y los puntos de intersección entre las funciones fx, f2 se obtienen al igualar las

ecuaciones de ambas funciones, así tenemos

x _ 1¿

2x =

=0

= 0 = 0

= 0 , x2= +/5 ,

es decir, las curvas de fi(x), f2(x) se intersectan en los puntos

P = r' TJ ' R = (0,0) , Q = \-/5, - ^

así que el área encerrada entre las curvas es:

106



A = L(t)dt con L(t) =

/t2+l

/t2+l

~bsi -

SI

L(t)dt + L(t)dt

tdt - tdtf/3"

tdt 1

A2+ltdt

1 1 2.2 2 + /t

2+l2 2

/3

- (1-2) + (2-1) -¿3

es decir

A = -j unidades cuadradas,

107



Ejemplo: Determinar el área encerrada por la parábola y = - x* +

y las rectas tangentes a ella que pasan por el punto P = (0r4)

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la parábola

junto con sus rectas tangentes, que pasan porP= (0,4).

la pendiente mt de las rectas tangentes es;

t = f • (xo) = - 2xo,

con xo la abscisa del punto de tangencia Q = (xo, f(x0)), emplean

do la fórmula de la pendiente cuando se tienen dos puntos, en

este caso P = (0,4) y Q = (xo, f (xo)) -(xo / 1 -• xj), tenemos

- 2xo= m. =-x2 + 1 - 4 -x* - 3

2x2o = - x* - 3

xo = -

108



y las ecuaciones de la recta tangente R. (x) = f(xo) + f'(xo)<

(x - xo) son

R1 (x) = - 2 + (- 2/T~) (x - VT~)

= - 2 /T~ x + 4

R2 (x) = - 2 + 2/T"(x

= 2 /T~ x + 4 .

así, el área encerrada por las rectas tangentes y la parábola

es:

A = i (2/T~ x + 4 - (-x2+ l))dx +• [(- 2 /3~x + 4 - / (-. x2+ l))dx.

- VT~ 0

0 0 (

íxdx + |x2dx + 3 fe/T"

f= 2 /T~ lxdx + !x2dx •+; 3 |dx - 2 /T~ I xdx .+ jx2dx + 3 ídx

-/T~ -/T~ -vT" O O O

2/3- § 3x0- 2 2

/T"+ 3

/T"+ 3x

vT"

= - 3 3/T~ - 3/3" 3/T~ = 2/3~

A - 2/T~ unidades Cuadradas .

109



Ejemplo: Determinar el área acotada encerrada entre la gráfica de la función f(x) =9-^x

la recta tangente a f(x) en Xo^l y el eje X-

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de f(x) y su recta tangente a ella en

xo=l.

foo-1-tx*

Sabemos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto xoes del tipo

como

= fCxo)+f'(xo)Cx-Xo)

f(x) = 9-̂ -x2, entonces f'(x) ^-

luego

y así, la ecuación de la recta tangente es:

se puede comprobar fácilmente que la recta Rt(x) intersecta al eje X en x=41 y la grá-

fica de f(x) intersecta al eje X. en x=9.

Entonces el área encerrada por la función f(x) la recta tangente Rt(x) en Xo=l y el

eje X es:

A L(t)dt con L(t)Rt(t)-f(t) si ĵ tjc

Rt(t) si 9

. 82- 9-±t2l!dt+

2^82t+

9 1 2i" 9"

1 3i + 27*.

9

1

1 2y

m9 9

= § - |(80)+ ̂ (728)- i(1600)+ ^

= 24 - 240 + 728 - 4800 + 7872

27

_ 3584

"ir.unidades cuadradas.

111



Ejemplo: Determinar el área comprendida entre las siguientes curvas,

y = x3, y - - 7 x , y * x + 6 , x = - 2.

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones junto con

el área por calcular

los puntos de intersección fueron calculados al igualar las ecuaciones de las

respectivas curvas intersectadas, entonces el área encerrada por las curvasdadas es:

.0 2

A = (t + 6 + ~ t)dt +

• - 2

(t + 6.- t )dt

o

# t + 6 dt +

-2

(-t + t + 6)dt

1 ¿2 2

• +' 6t

-2 -2

+ '•£• + 6t

(4) + 12 -^- + 1 + 12 = t9.

112



Ej emplo: Determinar el área encerrada por las parábolas

y1(x) = -x2+2, -. y2(x) = -x

2+ 8x - 10

y la recta que une sus vértices

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las parábolas, la recta que une

sus vértices y el área encerrada por ellas.

completando cuadrado para y2(x) tenemos que:

y2(x) - -(x-4)2+6,

y los vértices de las parábolas son: el de yx es Vi=(0¿2), el de y2(x).es v2=(4,6),

empleando los vértices podemos obtener que la ecuación de la recta que une los vérti-

ces de las parábolas es

R(x) = x+2.

Como observamos de la gráfica, la recta R(x) = x+2 toca otro punto de la parábola

y2(x) antes de tocar al vértice, este punto se puede deteminar al igualar la ecuación

de la recta y la parábola y2(x), así que de la igualdad

tenemos

al aplicar la fórmula

x+2 = -x2+8x-l0

x2-7x+12 - 0

con

2a

a - . 1 , - b - - 7 , c •« 1 2 ,

113



obtenemos los valores

. xi= 4, x2= 3,

entonces la recta R corta a la parábola y2 en el punto P = (3,5), también, las parábo-

las yx(x), y2(x) se intersectan en el punto Q = -r » "T el c u a l s e 0 D t i e n e de igua-

lar las ecuaciones de las parábolas.

Con los datos anteriores podemos calcular el área pedida A.

(3

A L(t)dt donde L(t) =R(t)-yi(t) si 0

Ejemplo: Deteminar el área encerrada por las siguientes curvas

f(x) = x2 , g(x) = (x-2)2 -2, R(x) = x-4, x = 0.

Solución: En la siguiente figura se muestran las curvas dadas junto con el área

p©r co.1 cu lar +•

Como observamos, las curvas f(x) y g(x) se intersectan en el punto

P=(y > •%)> mientras que la recta R(x) intersecta a g(x) en el punto

V=(2,-2), los puntos P y V se obtuvieron de igualar las respectivas ecua

ciones, la de f(x) con g(x) paraobtener P y la R(x) con g(x) para obte-

ner V.

Como f(x)>R(x) sobre el intervalo[b;f]y g(x)>R(x) sobre el intervalo

;2Ju,entonces el área encerrada por las cuatro curvas es:

A = (x2-(x-4))dx+ ((x-2)2-2-(x-4))dx

x2dx- xdx+4 dx+ (x-2)2dx- xdx+2 dx

-

0

X2

T

12

0

+4x (x -2)3

32

1

X 2

T

2

i

T"

\

2x 256"

115



Ejemplo: Determinar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funcio-nes:

f v (x) = 10x\ f 2 (x) = ( x - e f - 4 , f 3 (x) = | | x - ^

Solución: La gráfica de las funciones f i, f2, f3 se muestra en la siguiente figu.ra

Como observamos, las funciones fi(x) y f3(x) se intersectan en los

puntos P = \JQ , YQ y Q' s (3,5), y las funciones fi(x), f2(x) se

intersectan en el punto R = ^ , ~gr » dichos puntos se obtuvieron de

igualar las respectivas ecuaciones de las funciones y posteriormente de-1 41

terminar los valores de x. Como en el intervalo j o ; 3* s e t i e n e c l u e

f i (x)>f3(x) y en el intervalo U- ; 3 tenemos que f2(x)>f3(x), enton-

ces el área encerrada por las tres curvas es:



A = (Mx) - f3(x))dx

1/10

(fz(x) - f3(x))dx

l/lO

= 10 x dx - ^4929J 1/10

xdx + 29

l/lO

dx +

1/10

(x-6) dx - 4929 xdx -114~29~ dx

= 10 49 xf_29 2

í/io

t / 3

l/lO l/lO

492 9 X

1 1 4

- 10 í í i } 3 1 1 ü ÍÍ4]2 J M . 2 (43 {{3} " lOOOj " 58 [|3J " lOOj 29 [ I "

49 [ i 16] 114 f,- 4]" 58 (2 " 18] " 2 9 ¡ / " 3j

= 41.38

117



Ejemplo: Determinar el área encerrada por las siguientes curvasf(x) = x2, g(x)V(x-6)2-4, R(x) = x-10, x = 0

Solución: En la siguiente figura

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