Problema del peso de l’Hospital - Seminario Repensar las ...€¦ · Hénault y K. Pineau (ÉTS)...
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Miembros: ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Número de equipo: _______ Fecha: ________ Problema del peso de l’Hospital
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Miembros: ___________________________________
___________________________________
___________________________________
Número de equipo: _______
Fecha: ________
Problema del peso de l’Hospital
2 F. Caron (U. de M.), A. Hénault y K. Pineau (ÉTS) – traducido en español por H. Flores, 2016 y K. Pineau 2017.
Índice de contenidos
Contexto histórico ........................................................................................................................... 3
Referencias ............................................................................................................................................ 4
Recursos de Internet ............................................................................................................................. 4
Introducción.................................................................................................................................... 4
Montaje físico y observaciones ........................................................................................................ 5
PARTE 1. Modelación Cualitativa ..................................................................................................... 6
Exploration cualitativa .......................................................................................................................... 6
Modelación cualitativa .......................................................................................................................... 7
Modelación Cuantitativa ....................................................................................................................... 8
Validación del modelos mediante medición ......................................................................................... 9
PARTE 2. Optimización ................................................................................................................. 11
Optimización gráfica ........................................................................................................................... 12
Optimización con cálculo diferencial .................................................................................................. 12
Error relativo ....................................................................................................................................... 13
PARTE 3. El cuantitativo informa al cualitativo, y viceversa ............................................................ 14
Junio 2017
Hospital's Weight Problem by Caron, Hénault and Pineau is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
F. Caron (U. de M.), A. Hénault y K. Pineau (ÉTS) – traducido en español por H. Flores, 2016 y K. Pineau 2017. 3
Contexto histórico
El marqués Guillaume François Antoine de
l'Hospital, conde de Autremont, marqués de Saint-
Mesme (Paris 1661-1704, en la ilustración de la
izquierda) fue uno de los primeros estudiantes de
Johann Bernoulli (Basel, Suiza, 1667-1748, en la
ilustración de la derecha).
En 1691, Bernoulli permaneció muchos meses in
Paris enseñando al marqués la matemática más actual en aquellos tiempos: el cálculo diferencial. Para
ilustrar la eficiencia de este nuevo campo, Bernoulli le presentó el problema de peso que
trabajaremos hoy.
Bernoulli y L’Hospital tenían un acuerdo muy
particular. Por un salario, Bernoulli no
solamente daba lecciones de matemática a
L’Hospital, sino que también le daba pleno
derecho de usar libremente los resultados de
sus investigaciones. En 1696, L’Hospital
publicó el libro Calculi infinitesimalis pars I,
seu calculus differentialis, en el que se
encuentra el enunciado original en latín del
Problema del Peso, página 61, conocido en la
actualidad como Problema del Peso de
L’Hospital.
4 F. Caron (U. de M.), A. Hénault y K. Pineau (ÉTS) – traducido en español por H. Flores, 2016 y K. Pineau 2017.
Referencias
Van Maanen, J. (1991). L’Hôpital’s Weight Problem. For the Learning of Mathematics, 11(2), 44-47.
Drijvers, P. (1997). Un Problème Historique et la TI-92, Hypothèses, Bulletin Scientifique de Secondaire de Texas Instruments, 11, 28-30.
Drijvers, P. Old mathematics and new tehnology : L’Hôpital’s weight problem and the TI-92, Freudenthal Institute, Utrecht, Pays-Bas. www.computeralgebra.nl/sac_newsletter/weight_problem.ps
Imagen de L’Hospital: http://fr.wikipedia.org/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine,_marquis_de_L'H%C3%B4pital
Imagen de Bernoulli: http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean_Bernoulli
Diagrama técnico y enunciado del problema en latín: http://imgbase-scd-ulp.u-strasbg.fr/displayimage.php?album=1025&pos=0&visiblePos=1
Recursos de Internet
Digitalización de Calculi infinitesimalis pars I, seu calculus differentialis, Service de la documentation de l'Université de Strasbourg - Patrimoine numérisé http://imgbase-scd-ulp.u-strasbg.fr/displayimage.php?album=1025&pos=0&visiblePos=1
Site ChronoMath, une chronologie des mathématiques à l'usage des professeurs de mathématiques et des élèves des lycées & collèges http://www.chronomath.com/.
The MacTutor History of Mathematics archive http ://www.gap-system.org/~history/index.html
Diagrama técnico de
Calculi infinitesimalis pars I,
seu calculus differentialis
y enunciado del problema en latín.
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Introducción
Dividida en tres partes, esta actividad te permite explorar algunos conceptos de trigonometría y de
optimización.
1. Comenzarás por familiarizarte con los diferentes componentes del montaje por una exploración
cualitativa. Codificarás después las relaciones que existen entre las longitudes al construir
fórmulas en las que se usan funciones trigonométricas. Probarás la validez de tus modelos
matemáticos, es decir, tus fórmulas, midiendo las longitudes en el aparato.
2. Usando tus modelos validados, vas a predecir la posición de equilibrio del peso para una nueva
parametrización del aparato. Para esto usarás gráficas y el cálculo diferencial. Verificarás qué tan
bien pudiste predecir la posición del peso midiéndola en el aparato.
3. Finalmente, volverás en la situación de salida para apreciar cuánto las fórmulas reflejan sus
intuiciones iniciales.
Montaje físico y observaciones
Una cuerda se encuentra atada a una polea
y su extremo izquierdo está fijo a una barra
horizontal. Otra cuerda se encuentra atada
en el lado derecho de la barra, pasa por la
polea y se fija un peso en su otro extremo. El
problema es predecir, conociendo ciertas
longitudes, la posición de equilibrio del
peso.
Observa que para minimizar los errores y
tener un modelo sencillo, la masa del peso
debe ser mucho mayor que la de la polea.
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PARTE 1. Modelación Cualitativa
Exploration cualitativa
En lo que sigue, le planteamos varias
preguntas. Reflexione primero y verifique
después. Piense en cambiar un elemento a
la vez para responder1 a las preguntas.
Las letras asociadas con las diferentes
magnitudes se muestran en la figura de la
derecha.
La posición de equilibrio de la polea se modifica si se cambia
¿ la longitud L de la cuerda ? SI NO
¿ la longitud D ? SI NO
¿ la longitud a ? SI NO
La posición de equilibrio del peso se modifica se cambia
¿ la longitud L de la cuerda ? SI NO
¿ la longitud D ? SI NO
¿ la longitud a ? SI NO
1 Rodee la respuesta que conviene.
a
D
α
longitud de la cuerda = L
x
y
b
h
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Modelación cualitativa
Fije ahora las longitudes a, D et L sobre su montaje. No tiene que medirlos. Por el momento, basta con
fijarlos simplemente.
¿Cómo cambian los longitudes h, x, y, e α cuando se cambia lo posición de la polea? (conserve la
cuerda tensa y cambie solo la posición de la polea)
h ______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
x ______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
y ______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
α ______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
En resumen, cuando se cambia la posición de la polea, entre a, D, L, h, x, y e α , ¿cuáles son las
longitudes constantes y las que son variables?
Cuando las longitudes a, D et L son fijas,
¿cuál es el lugar geométrico2 de la polea?
¿Cómo se llama esta forma geométrica?
2 En Matemática, un lugar geométrico es un conjunto satisfactorio de puntos que cumplen ciertas condiciones, en este caso, se trata de unos puntos donde puede situarse la polea…
Constantes
: Variables :
Representación gráfica del lugar geométrico de la polea:
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Modelación Cuantitativa
Nos gustaría expresar la posición de la polea utilizando una sola variable. Para simplificar el análisis
decidimos elegir α , pero pudimos
haber escogido cualquier otra
variable independiente.
Expresa cada una de las siguientes
cantidades de la Tabla 1 usando la
variable α y, si es necesario, los
parámetros a, D y L.
[1.1] x =
[1.2] h =
[1.3] b =
[1.4] ( )y h L
y L
= + −
= + −
Tabla 1. Ecuaciones útiles para el modelo general.
a
D
α
longitud de la cuerda = L
x
y
b
h
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Validación del modelos mediante medición
Para montar el montaje tienes que determinar las longitudes a, D y L. Ahora vas a medir y registrar
esos valores en los cuadros vacíos del diagrama siguiente. Conviene medir L antes de colocar D,
dejando que la cuerda de la derecha cuelgue libremente. Luego, coloca D y mídela (D > x). Mide a
desde el centro del tornillo que sujeta al transportador hasta la intersección de las dos rectas
formadas por las cuerdas.
Cuando el sistema esté en equilibrio, mide α y las longitudes h, x y b, y registra los valores en los
recuadros blancos. Observa que y es la distancia entre la recta trazada sobre la barra horizontal y la
superficie superior del peso. Ten cuidado al medir…
a =
D =
α=
longitud de la cuerda = L =
x = =
y =
=
b = =
h = =?
?
?
?
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Confirma que tus formulas [1.1] a [1.4] de la Tabla 1 sean razonables usando las cantidades a, D y L
establecidas así como el valor de α que mediste. Llena los recuadros grises del diagrama con los
valores calculados usando las fórmulas de la Tabla 1.
Cálculos
x =
h =
b =
y =
¿De dónde vienen las diferencias entre las cantidades medidas y las calculadas? Explica con detalle tu
respuesta.
La matemática nos permite de predecir…
A partir de tu modelo general, las fórmulas de la Tabla 1, si
alguien te diera valores específicos para a, D y L, ¿podrías
predecir la ubicación (x, y) en la que el peso se detendría?
Esto es lo que veremos…
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PARTE 2. Optimización
La intuición nos lleva a pensar que el sistema estará en equilibrio cuando el peso se encuentra en su
punto más bajo. Esto corresponde al valor máximo de y. De hecho, nuestra intuición es correcta, se
puede mostrar que esta ubicación es la que corresponde a una energía potencial mínima.
Escribe aquí
la forma general de la función que describe y basada en el ángulo α y los parámetros a, D y L. Ésta es
la función de la cual se quiere conocer el máximo.
A tu equipo se le asignaron valores para los parámetros a, D y L. Escribe sus valores en la Tabla 2.
Parámetro Valor
a
D
L
Tabla 2. Valores de los parámetros
Escribe aquí
la función específica que corresponde a tus valores de los parámetros.
¿Cuál es la variable independiente de esta función? ___________________________
¿En qué intervalo debes buscar el valor de la variable independiente para que la función adquiera su
valor máximo? [ ____ ; ____ ]
Usa tu calculadora para buscar este valor
usando optimización gráfica. Consulta la
página siguiente.
Uso de la calculadora Para almacenar información sobre el papel que juegan los parámetros, teclea la formula general usando los nombres de los parámetros. Cuando necesitas evaluar la fórmula para valores específicos, usa el “como” seguido de los valores que les quieras asignar.
formula│a xx= and D xx= and L xx=
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Optimización gráfica
Grafica la función y, usando tu calculadora, encuentra su valor máximo. Reproduce la gráfica en el
recuadro y da la información importante: ejes, escalas, unidades, etcétera.
En el intervalo [ ____ ; ____ ], la función adquiere su valor máximo cuando _____ = ______
Optimización con cálculo diferencial
¿Qué propiedad geométrica posee la curva donde la función alcanza su máximo?
Traduce esta propiedad en ecuación y escríbela en la siguiente tabla. Resuelve luego la ecuación con
tu calculadora.
Ecuación a resolver:
(2.1)
La función adquiere su valor máximo cuando _____ = ______
Uso de la calculadora Puedes precisar el dominio de búsqueda de las soluciones de una ecuación como
solve(eqn,var)|a<var<b donde a y b son los limites del intervalo de búsqueda.
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¿Para qué ángulo la función adquiere su valor máximo?
Para este ángulo α , ¿cuál es la posición de la polea? ¿Del peso?
polea peso
x = x =
h = y =
Para verificar tus respuestas, coloca el montaje respetando las longitudes indicadas en la Tabla 2
(página 9). ¿El peso se encuentra al equilibrio en dónde predijiste?
Error relativo
Como el objetivo es determinar si el modelo teórico nos permite de predecir la posición de la polea, el
error porcentual relativo que se comete se calcula de la manera siguiente:
Error porcentual relativo % = valor medido - valor teórico 100%valor medido
×
Evalúa los errores porcentuales relativos que se cometieron para x e y.
α =
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PARTE 3. El cuantitativo informa al cualitativo, y viceversa
Para terminar, escriba abajo la ecuación general3 en función del ángulo α y de los parámetros a, D y L
que deberías resolver para encontrar el valor de α cuando el sistema está en equilibrio.
Llama *α la solución de esta ecuación, cuando resuelta para α (no resuelva la ecuación). ¿De qué
parámetros depende *α ?
*α depende de los parámetros:
Utiliza las formulas de la Tabla 1 de la página 8 para expresar, en la segunda columna de la tabla
siguiente, las posiciones del equilibrio de la polea ( )*; *x h y del peso ( )*; *x y . Estas expresiones
deberían contener solamente *α , a, D et L.
Sabiendo que *α depende solamente de los parámetros indicados en (3.1), completa la tercera
columna de la tabla siguiente examinando bien las fórmulas para x*, h* et y*.
Depende de los parámetros…
posición *x =
polea
( )*; *x h *h =
peso
( )*; *x y *y =
¿Es la conclusión a la que llegaste en la sección de exploración cualitativa (página 6)? En caso
contrario, examina nuevamente el montaje y revisa tus respuestas…
3 Esta ecuación debería generalizar la ecuación (2.1) de la página 12.
(3.1)
