UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de CienciasEscuela Profesional de Matematica

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONDEL PROBLEMA DE BRINKMAN.

SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA II

Alumno: Soto Rivera, Joel Richard

Codigo: 20071155A Nota:

Asesor: Dra. Irla Mantilla N.

LIMA-PERU2012

Agradecimientos

Agradezco de manera especial a mi asesora Dra. Irla Mantilla por el apoyo brindadoen la elaboracion de este trabajo y ası tambien por permitirme hacer uso de las insta-laciones y equipos del Laboratorio de Simulacion e Investigacion Numerica(LABOSIN-FC) y ası mismo por aceptar mi pertenencia en este grupo de investigacion.

Nomenclatura.

v: Velocidad del fluido.

p: Presion del fluido.

µeff : Viscosidad efectiva.

µef : Viscosidad externa dinamica.

k: Perneabilidad

Ω: Conjunto abierto.

∂Ω: Frontera del conjunto Ω.

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Resumen

El proposito del presente trabajo, es el estudio de la existencia y unicidad de lasolucion en sentido debil del problema de contorno de Brinkman, bajo ciertas con-diciones tales como: dominio acotado (Ω) y con una condicion de frontera Dirichletno homogenea sobre un espacio bidimensional. Para ello utilizaremos propiedadesdel analisis vectorial y funcional para determinar su formulacion variacional delproblema en estudio. Luego aplicando el teorema de Lax-Milgram se demuestra laexistencia y unicidad del problema variacional generado. Finalmente se prueba demodo equivalente que la solucion en sentido debil es solucion del problema en sentidoclasico .

Palabras claves: Formulacion variacional de Brinkman adimensional, CondicionDirichlet no homogenea, Lax-Milgram, Existencia y Unicidad, Solucion Debil.2010 Mathematics Subject Classification:35A15-46Exx-35A01-35A02

Indice general

Introduccion 2

1. Marco Teorico para el estudio del problema 31.1. Espacios de Banach y Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Espacio Dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Aplicaciones lineales y continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Representacion de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Formas Bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Propiedades del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1. Identidades del Caculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Espacios de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.1. El espacio L2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2. Espacio Sobolev de orden 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.3. Identidades de Green para espacios Sobolev. . . . . . . . . . . 15

2. Formulacion Fısica-Matematica del Problema de Brinkman. 162.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de conservacion. . . . . . . . . 172.2. Modificacion de la ecuacion adimensional de Brinkman. . . . . . . . . 172.3. Formulacion Variacional del Problema de Brinkman-Stokes(PVBS). . 18

3. Existencia y Unicidad de la Solucion del Problema de Brinkman. 213.1. Estudio de la Existencia y Unicidad de la solucion del PVBS. . . . . . 213.2. Existencia y Unicidad de la solucion del Problema de Brinkman. . . . 25

Conclusiones 27

Bibliografıa 28

1

Introduccion

El problema de Brinkman (1947) se origino al tratar de estimar la permeabilidadde un medio poroso,la ecuacion de Brinkman sirve para modelar fluidos en mediosporosos, para el que el impulso debido a las tensiones de corte son de importanciaen el fluido.El principal objetivo de este trabajo mostrar que existe un par (v, p) quesatisface el problema de Brinkman. A pesar que la ecuacion DL-Brinkman ([8]) es unrefinamiento de la ecuacion de Brinkman en este trabajo veremos la importancia yaque el otro modelo requiere un mayor numero de condiciones para ser resuelta vemosque existira un factor (v.∇)v que dificulta la linealidad de la ecuacion pero dadaque Brinkman no considero este termino en su ecuacion esto posibilita la forma deintentar hallar una formulacion debil de esa ecuacion la cual nos dara la posibilidadde probar la existencia de solucion del problema de Brinkman.Ahora consideremos el problema de Brinkman dada por el siguiente sistema deecuaciones:

−∇p + µeff∇2v − µef

kv = 0, en Ω

∇.v = 0 en Ω

Asociado a una condicion Dirichlet no homogenea, sobre un dominio acotado Ω,contenido en un espacio bidimensional. Asumiendo que este dominio cuya fronteraposee propiedades de regularidad, se prueba que el problema de Brinkman tienesolucion unica en un espacio de Sobolev de orden uno. El desarrollo de este trabajose a organizado del siguiente modo:

En el primer capıtulo veremos todos los conceptos previos que se nesesitanpara abarcar el estudio del problema como resultados clasicos del analisis fun-cional,algunas propiedades del calculo vectorial y los espacios de sobolev.

En el segunda capitulo abarcaremos la formulacion del problema sobre quedominios estamos trabajando y se aplicara ciertos metodos para trabajar consistemas equivalentes el cual se podra hallar su formulacion debil del problemaequivalente el cual se le llamara la ecuacion Brinkman-Stokes.

En la tercer capitulo trabajaremos a partir de su formulacion variacional dela ecuacion Brinkman-Stokes y se probara que esta posee solucion unica so-bre cierto espacio,luego probaremos que tambien existe solucion unica para laecuacion Brinkman.

Finalmente dara las conclusiones que nos deja este trabajo.

2

Capıtulo 1

Marco Teorico para el estudio delproblema

Empezaremos dando los conceptos que se necesitan saber probar que la ecuacionde Brinkman bajo ciertas condiciones posee solucion unica.

1.1. Espacios de Banach y Hilbert

Definicion 1.1.1 (Espacio normado). Sea V un espacio vectorial real,‖ · ‖ : V → R una funcion que satisface para todo u, v ∈ V y α ∈ R :

1. ‖u‖ ≥ 0 ; ‖u‖ = 0 ⇔ v = 0

2. ‖αu‖ = |α|.‖u‖

3. ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ (Desigualdad Triangular)

Luego se define a ‖·‖ como una norma sobre V, y al par (V, ‖.‖) un espacio normado.

Definicion 1.1.2 (Espacio de Banach). Un espacio normado (V, ‖.‖) es llamadoEspacio de Banach si V es completo con la metrica inducida por la norma ‖.‖.

Definicion 1.1.3 (Espacio Prehilbert). Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio vectorial provistocon un producto escalar en H.Mas concretamente H un espacio vectorial sobre uncuerpo K y 〈·, ·〉 es un producto escarlar en H, con las siguientes propiedades.

1. ∀x, y ∈ H, 〈x, y〉 = 〈y, x〉

2. ∀x, y ∈ H, ∀a ∈ K, 〈ax, y〉 = a〈x, y〉

3. ∀x, y, z ∈ H, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉

3

4. ∀x ∈ H, 〈x, x〉 ≥ 0, Ademas, el unico vector que al hacer el producto escalarcon el mismo es cero, es el vector nulo, es decir: 〈x, x〉 = 0 ↔ x = 0.

Obsevacion:Luego se define la norma inducida en el espacio H dada por elproducto interno como:

‖x‖H =√

〈x, x〉Donde la norma inducida ‖x‖H es un espacio Banach.Notacion:Denotaremos al siguiente conjunto:

BX := x ∈ X : ‖x‖X ≤ 1

Definicion 1.1.4 (Espacio Hilbert). Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio de prehilbert ,decimosque este espacio es Hilbert si es completo con respecto a la norma inducida porsu producto interno. Completo en este contexto significa que cualquier sucesion deCauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio con respectoa la norma inducida en H.

1.2. Espacio Dual.

1.2.1. Aplicaciones lineales y continuas.

Definicion 1.2.1 (Aplicacion lineal.). Sean X e Y espacios vectoriales sobre elmismo cuerpo K, recordemos que una aplicacion T : X → Y es lineal si:

T (αx+ y) = αT (x) + T (y), ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K

Proposicion 1.2.1 (Continuidad de una aplicacion lineal.). Sea (X, 〈·, ·〉X), (Y, 〈·, ·〉Y )espacios Hilbert y sea T : X → Y una aplicacion lineal entonces las siguientes afir-maciones son equivalentes:

Existe una constante β > 0 tal que ‖T (x)‖Y ≤ β‖x‖X ; ∀x ∈ X

T es continua en X.

T es acotada en BX .

Demostracion. La demostracion de esta proposicion se encuentra en la referencia[2]

Definicion 1.2.2 (funcional lineal). Una aplicacion lineal T se llamara funcionallineal si T : X → R .

Definicion 1.2.3 (Funcional lineal acotada.). Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio Hilbert,L :H → R una funcional lineal es llamada lineal acotada si existe un C> 0 tal que:

|T (u)| ≤ C‖u‖H, ∀u ∈ H

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Definicion 1.2.4 (Espacio Dual). Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio Hilbert se define H∗ elespacio dual de H como:

H∗ = f : H → R : f es lineal acotada.Definicion 1.2.5 (Norma de una Funcional lineal acotada.). Sea T : H → R unafuncional lineal acotada,se define su norma como:

‖T‖H∗ = supx 6=0

|T (u)|‖u‖H

Proposicion 1.2.2. Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio Hilbert se define en H∗ la norma comoen (1.2.5) entonces (H∗, ‖ · ‖H∗) es un espacio Banach.

Demostracion. La demostracion de esta proposicion se encuentra en la referencia[2].

1.2.2. Representacion de Riesz.

Antes de ello algunas definiciones previas antes de enunciar el teorema.

Definicion 1.2.6 (Subespacio). Sea H un espacio de Hilbert y S ⊆ H un subcon-junto tal que para todo u, v ∈ S y α ∈ R se tiene u+αv ∈ S, entonces S es llamadoSubespacio de H.

Definicion 1.2.7 (Complemento ortogonal). Sea H un espacio de Hilbert y S ⊂ Hun subconjunto, se define

M⊥ = v ∈ H : 〈v, x〉 = 0 ∀ x ∈ MProposicion 1.2.3. Sea H un espacio de Hilbert, dado un subespacio M de H en-tonces

H = M ⊕M⊥

es decir H = M +M⊥ y M ∩M⊥ = 0Demostracion. La demostracion de esta proposicion se encuentra en la referencia[2].

En H espacio de Hilbert, veamos que dado un u ∈ H , podemos definir la funcionallineal Lu definida en H como:

Lu(v) = 〈u, v〉Veamos ahora en el siguiente teorema que el recıproco tambien es verdadero.

Teorema 1.2.1 (Representacion de Riesz). Sea (H, 〈·, ·〉H) un espacio Hilbert,seaf ∈ H∗ entonces existe un unico u tal que:

∀ v ∈ H : f(v) = 〈u, v〉Hmas aun se tiene:

‖f‖H∗ = ‖u‖H

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Demostracion. Existencia.Sea Nu(f) = M = v ∈ H : f(v) = 0; como se sabe M es un subespacio deH ,ademas por ser una funcional lineal acotada N (L) es cerrado; entonces por laproposicion (1.2.3) tenemos que: H = M ⊕M⊥

(1) Caso: Si M⊥ = 0Esto implica que M = H ; por lo tanto L ≡ 0; entonces basta tomar u = 0 y elteorema queda demostrado. ∀ v ∈ H : f(v) = 〈u, v〉

(2) Caso: Si M⊥ 6= 0Entonces sea z ∈ M⊥, z 6= 0, luego z /∈ M por lo tanto f(z) 6= 0.Para cualquier v ∈ H consideremos: x = f(v)z − f(z)vaplicando f obtenemos:

f(x) = f(v)f(z)− f(z)f(v) = 0

Esto muestra que x ∈ N (f) = M y ya que z ∈ M⊥ tenemos que:

0 = 〈z, x〉 = 〈z, f(v)z − f(z)v〉= f(v)〈z, z〉 − f(z)〈z, v〉

Notando que 〈z, z〉 = ‖z‖2 6= 0, resulta que:

f(v) =f(z)

‖z‖2 〈z, v〉

Entonces escribiendo u = f(z)‖z‖2 z tenemos demostrado el teorema:

∀ v ∈ H : f(v) = 〈u, v〉

Unicidad.

Supongamos que existen u1, u2 ∈ H tales que:

∀ v ∈ H : f(v) = 〈u1, v〉 = 〈u2, v〉

Entonces ∀ v ∈ H : 〈u1 − u2, v〉 = 0; tomando entonces en particular: v = u1 − u2,se tiene que:

〈u1 − u2, v〉 = 〈u1 − u2, u1 − u2〉 = ‖u1 − u2‖2 = 0

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Por lo tanto u1 − u2 = 0, esto es u1 = u2, que prueba la unicidad.

Igualdad de normas.

De la definicion de u = f(z)‖z‖2 z, tomando norma tenemos:

‖u‖H =|f(z)|‖z‖ ≤ sup

x∈Hx 6=0

|f(x)|‖x‖

= ‖f‖H∗

Tambien se tiene que:

‖f‖H∗ = supx∈Hx 6=0

|f(x)|‖x‖

≤ sup

x∈Hx 6=0

|〈u, x〉|‖x‖

≤ ‖u‖H

Por lo tanto tenemos:‖f‖H∗ = ‖u‖H

Con esto queda demostrado el teorema.

1.3. Formas Bilineales.

Definicion 1.3.1 (Forma bilineal). Sea V un espacio vectorial, una funcionb : V ×V → R se le llama forma bilineal si cumple para todo u, v, w ∈ V y α, β ∈ R :

1. b(αu+ βv, w) = αb(u, w) + βb(v, w)

2. b(u, αv + βw) = αb(u, v) + βb(u, w)

Si ademas cumple que ∀u, v ∈ V : b(u, v) = b(v, u) se dice que es simetrica.

Definicion 1.3.2. Una forma bilineal b(·, ·) en un espacio vectorial normado V, sedice que es acotada (o continua); si ∃ C > 0 tal que:

|b(v, w)| ≤ C‖v‖V ‖w‖V ; ∀ v, w ∈ V

Y se dice que es coerciva en U ⊂ V si ∃ α > 0 tal que:

b(v, v) ≥ α‖v‖2V ; ∀ v ∈ U

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1.3.1. Teorema de Lax-Milgram

Definicion 1.3.3 (Contraccion). Sea (V, ‖ · ‖V ) un espacio de Banach. Una apli-cacion T : V → V es llamada una contraccion en V, si existe un real M < 1 talque:

∀ v1, v2 ∈ V : ‖Tv1 − Tv2‖ ≤ M‖v1 − v2‖Lema 1.3.1 (La aplicacion contractiva). Dado un espacio de Banach (V, ‖ · ‖) yuna contraccion T : V → V ; entonces existe un unico v ∈ V tal que: Tv = v (Puntofijo)

Demostracion. Existencia.Elegimos v0 ∈ V y definimos:

v1 = Tv0, v2 = Tv1, . . . , vk+1 = Tvk, . . .

Notemos que ∀ k ∈ N : ‖vk+1− vk‖ = ‖Tvk −Tvk−1‖ ≤ M‖vk − vk−1‖. Entonces porinduccion podemos afirmar que:

∀ k ∈ N : ‖vk − vk−1‖ ≤ Mk−1‖v1 − v0‖

Por lo tanto, para ∀m,n ∈ N : m > n tenemos:

‖vm − vn‖ =

∥∥∥∥∥

m∑

k=n+1

vk − vk−1

∥∥∥∥∥

≤ ‖v1 − v0‖m∑

k=n+1

Mk−1

≤ Mn

1−M‖v1 − v0‖

Dado que 0 < M < 1 y que el termino ‖v1 − v0‖ es fijo, el lado derecho de ladesigualdad puede hacerse tan pequeno como se desee, tomando a m suficientementegrande. Esto demuestra que (vn)n∈N es una sucesion de Cauchy. Dado que V es unespacio completo (por ser de Banach), la sucesion (vn)n∈N es convergente y seavn → v, con v ∈ V tenemos:

‖v − Tv‖ ≤ ‖v − vn‖+ ‖vn − Tv‖= ‖v − vn‖+ ‖Tvn−1 − Tv‖≤ ‖v − vn‖+M‖vn−1 − v‖

Tomando n → ∞ tenemos que:

‖v − Tv‖ = 0 ⇒ v = Tv

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Esto demuestra la existencia de un punto fijo v ∈ V.

Unicidad.

Supongamos que tenemos Tv1 = v1 y Tv2 = v2 entonces:

‖v1 − v2‖ = ‖Tv1 − Tv2‖ ≤ M‖v1 − v2‖

Entonces ‖v1 − v2‖ = 0 ya que en otro caso se tendria que 1 ≤ M que es unacontradiccion.Por lo tanto v1 = v2, el punto fijo es unico.

Teorema 1.3.1 (Lax-Milgram). Sea (H, 〈·, ·〉H) un espacio Hilbert, dada una formaa : H×H → Rbilineal coerciva y continua en H×H y una funcional acotada f ∈ H∗

entonces existe un unico u ∈ H tal que:

∀ v ∈ H : a(u, v) = f(v)

Demostracion. Para cualquier u ∈ H definimos la funcional Au ∈ H∗ por ∀ v ∈ H :Au(v) = a(u, v).Veamos que Au es lineal:

Au(αv1 + βv2) = a(u, αv1 + βv2)

= αa(u, v1) + βa(u, v2)

= αAu(v1) + βAu(v2) ∀ v1, v2 ∈ H ; ∀ α, β ∈ R

Veamos ademas que Au es continua:

∀ v ∈ H : |Au(v)| = |a(u, v)| ≤ C‖u‖‖v‖

Donde C es una constante por la definicion de continuidad de a〈·, ·〉, por lo tantotenemos que:

‖Au‖H∗ = supv 6=0

|Au(v)|‖v‖

≤ C‖u‖ < ∞

Esto muestra que Au ∈ H∗.Ademas sabemos que: ∀ φ ∈ H∗ por (1.2.1) ∃ξφ ∈ H unico, tal que

φ(v) = 〈ξφ, v〉 ∀ v ∈ H

Luego definimos ξ : H∗ → H como: ∀ φ ∈ H∗ : ξ(φ) = ξφ.Veamos que ξ es un operador lineal:

∀ L, T ∈ H∗ : ξ(L+T ) = ξL+T

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Sabemos que por la definicion de ξ: ∀ v ∈ H (L+ T )(v) = 〈ξL+T , v〉

(L+ T )(v) = 〈ξL+T , v〉L(v) + T (v) = 〈ξL+T , v〉

Para L y T tambien existen ξL y ξT tales que: ∀ v ∈ H : L(v) = 〈ξL, v〉 yT (v) = 〈ξT , v〉.Entonces:

〈ξL, v〉+ 〈ξT , v〉 = 〈ξL+T , v〉〈ξL + ξT , v〉 = 〈ξL+T , v〉

〈(ξL + ξT − ξL+T ), v〉 = 0

Por lo tanto: ξL + ξT = ξL+T ; es decir: ξ(L) + ξ(T ) = ξ(L+ T ) es Lineal.Por la unicidad de ξφ ∈ V se tiene que ξ es inyectiva.Ademas el mismo teorema asegura que: ‖φ‖H∗ = ‖ξφ‖H = ‖ξ(φ)‖H.

Ahora tomando ρ 6= 0, definimos T : H → H como:

∀ v ∈ H : Tv = v − ρ(ξ(Av)− ξ(f))

Veamos que condiciones debe tener ρ para que T sea una contraccion:Para cualquier v1, v2 ∈ H ; sea v = v1 − v2:

‖Tv1 − Tv2‖2 = ‖v1 − v2 − ρ(ξ(Av1)− ξ(Av2))‖2= ‖v − ρ(ξ(Av))‖2= ‖v‖2 − 2ρ〈(Av), v〉+ ρ2‖ξ(Av)‖2= ‖v‖2 − 2ρAv(v) + ρ2Av(ξ(Av))

= ‖v‖2 − 2ρa(v, v) + ρ2a(v, ξ(Av))

≤ ‖v‖2 − 2ρα‖v‖2 + ρ2C‖v‖‖ξ(Av)‖≤ (1− 2ρα + ρ2C2)‖v‖2= (1− 2ρα + ρ2C2)‖v1 − v2‖2= K2‖v1 − v2‖2

Entonces debemos tomar ρ de tal forma que: K < 1 es decir (1− 2ρα + ρ2C2) < 1que es lo mismo que ρ(ρC2 − 2α) < 0Entonces basta tomar ρ ∈ 〈0, 2α/C2〉Con esta eleccion de ρ se asegura que T es una contraccion por lo tanto por el lema(...) aseguramos que T posee un unico punto fijo, es decir:Existe un unico u ∈ H tal que: Tu = u.Entonces:

u− ρ(ξ(Au)− ξ(f)) = u

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Por lo tanto:ξ(Au) = ξ(f)

Y por ser ξ inyectiva tenemos que:

Au = F ⇒ Au(v) = f(v)

Por lo tanto: Existe un unico u ∈ H tal que:

∀ v ∈ H : a(u, v) = f(v)

Con lo que el Teorema queda demostrado.

Lema 1.3.2. Sea (H, 〈·, ·〉)H un espacio Hilbert entonces (H × H, 〈·, ·〉H2) es unespacio Hilbert.Donde 〈·, ·〉H2 = 〈·, ·〉H + 〈·, ·〉HDemostracion. Facilmente se prueba que dado (x, y) ∈ H ×H se tiene:

‖(x, y)‖2H2 = ‖x‖2H + ‖y‖2H

Sea (xn, yn) una sucesion de cauchy en H ×H , dado ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que si∀m,n ≥ n0 entonces ‖(xn, yn)− (xm, ym)‖H2 < ǫ

‖(xn, yn)− (xm, ym)‖2H2 = ‖xn − xm‖2H + ‖yn − ym‖2H < ǫ

de esto se deduce que (xn), (yn) son sucesiones de cauchy en H al ser H un espaciocompleto se tiene que existe (x, y) ∈ H ×H tal que

xn → x, yn → y

Afirmo que (xn, yn) converge a (x, y) en efecto:Dado ǫ√

2> 0 existe n1 ∈ N tal que ∀n ≥ n1 implica que ‖xn − x‖H < ǫ√

2

Dado√

ǫ2> 0 existe n2 ∈ N tal que ∀n ≥ n2 implica que ‖yn − y‖H < ǫ√

2

Sea n0 = maxn1, n2 entonces ∀n ≥ n0 se tiene

‖(xn, yn)− (x, y)‖2H2 = ‖xn − x‖2H + ‖yn − y‖2H < ǫ2

dado ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 implica que ‖(xn, yn)− (x, y)‖H2 < ǫ(xn, yn) una sucesion convergente en H ×H , de aqui (H ×H, 〈·, ·〉H2) es un espacioHilbert.

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1.4. Propiedades del Calculo

Se dara un breve pero conciso resumen sobre los principales resultados del calculovectorial.Sea Ω ⊆ R

2, definimos el siguinte campo vectorial u ∈ C2(Ω) donde:

u : Ω → R2

u(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y))

Se define la divergencia de u como:

div(u) = ∇ · u =∂u1

∂x+

∂u2

∂y

Se define laplaciano de u como:

∆(u) = ∇2u = (∂2u1

∂x2+

∂2u1

∂y2,∂2u2

∂x2+

∂2u2

∂y2)

Dado una φ ∈ C2(Ω) un campo escalar definido como:

φ : Ω → R

φ(x, y) = φ

Se define el gradiente de φ como:

∇φ = (∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z)

Se define laplaciano de φ como:

φ =∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2

1.4.1. Identidades del Caculo

Se cumplen las siguientes identidades:

∇ · (u+ v) = ∇ · u+∇ · v

∇ · (uφ) = φ∇ · u+ u · ∇φ

∇2φ = ∇ · (∇φ)

Teorema 1.4.1 (Identidades de Green.). Sea φ, ϕ ∈ C2(Ω) entonces se cumple:∫

Ω

φϕdx =

∮

∂Ω

φ(∇ϕ · η)dS −∫

Ω

∇φ · ∇ϕdx

∫

Ω

(φϕ− ϕφ)dx =

∮

∂Ω

(φ∂ϕ

∂η− ϕ

∂φ

∂η)dx

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Demostracion. La demostracion de este teorema se encuentra en la referencia [6]

Teorema 1.4.2 (Teorema de la divergencia.). Sea u ∈ C2(Ω) un campo vectorialentonces se cumple: ∫

Ω

∇ · udx =

∫

∂Ω

u · ηdS

Demostracion. La demostracion de este teorema se encuentra en la referencia [6]

1.5. Espacios de Sobolev.

1.5.1. El espacio L2(Ω)

Considerando a Ω ⊂ R2 un conjunto abierto.

Definicion 1.5.1 (Espacios L2(Ω)).

L2(Ω) := [v]/v : Ω → R es una funcionmedible y

∫

Ω

|v(x)|2dx < ∞

donde: [v] = u : Ω → R/u(x) = v(x) excepto en un conjunto demedida nula

Observacion:Asumiremos que v ∈ L2(Ω) ≡ [v] ∈ L2(Ω)

Proposicion 1.5.1. Para ‖v‖L2(Ω) := (∫Ω|v(x)|2dx) 1

2 se cumple:

1. |∫Ωu(x)v(x)dx| ≤ ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω) (Desigualdad de Schwarz)

2. ‖u+ v‖L2(Ω) ≤ ‖u‖L2(Ω) + ‖v‖L2(Ω) (Desigualdad Triangular)

3. (L2(Ω), ‖.‖L2(Ω)) es un espacio de Banach.

Demostracion. La demostracion de esta proposicion se encuentra en la referencia[2]

ObservacionLa norma mencionada es inducida por el producto interno 〈u, v〉L2(Ω) =

∫Ωu(x)v(x)

asi L2(Ω) es tambien un espacio de Hilbert.

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1.5.2. Espacio Sobolev de orden 1.

Definicion 1.5.2. Sea ϕ ∈ C∞(Ω) el soporte de ϕ esta definido por:

sop(ϕ) := x ∈ Ω : ϕ(x) 6= 0Definicion 1.5.3. Se define por D(Ω) o C∞

0 (Ω) al conjunto de funciones C∞(Ω)con soporte compacto en Ω.

Dado f una funcion localmente integrable,entonces f puede ser identificada conla siguiente distribucion:

〈f, ϕ〉 =∫

Ω

f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω)

Sea α = (α1, . . . , αN) ∈ NN donde |α| =

N∑

i=1

αi

De aqui se define:

∂αu =∂u|α|

∂xα1

1 . . . ∂xαN

N

Para u ∈ D∗(Ω) se puede definir: ∂αu ∈ D∗(Ω) como:

〈∂αu, ϕ〉 = (−1)|α|〈u, ∂αϕ〉 ∀ϕ ∈ D(Ω)

Observacion:Si u es α-diferenciable entonces ∂αu coincide con la derivada usual.Apartir de aqui podemos definir lo siguiente:

Definicion 1.5.4. Se define al espacio Sobolev de orden 1 como:

H1(Ω) = v ∈ L2(Ω) : ∂αv ∈ L2(Ω) α ≤ 1Definicion 1.5.5. Definimos el conjunto H1

0 (Ω) como la cerradura de D(Ω) enH1(Ω), es decir:

H10 (Ω) = D(Ω)

Definimos la siguiente norma en H10 (Ω) de la siguiente forma:

‖u‖H1 = (∑

|α|≤1

∫

Ω

|∂αu(x)|2dx) 1

2

ObservacionAsi definido se tiene que:(H1(Ω), ‖ · ‖H1) es un espacio banach. H1

0 (Ω) es un subes-pacio cerrado de H1(Ω), definido con las misma norma es tambien es un espacio debanach.

Teorema 1.5.1 (Desiguadad de Poincare). Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto y

acotado. Entonces existe C = C(Ω) > 0 tal que∫

Ω

v2(x)dx ≤ C

∫

Ω

( ∂v∂x1

)2 + (∂v

∂x2

)2dx, ∀v ∈ H10 (Ω)

Demostracion. La demostracion de este teorema se encuentra en la referencia [7].

14

1.5.3. Identidades de Green para espacios Sobolev.

Definicion 1.5.6. Se define el espacio de Sobolev de orden 2 como:

H2(Ω) = v ∈ L2(Ω) : ∂αv ∈ L2(Ω) α ≤ 2

Proposicion 1.5.2. Sea u, v ∈ H1(Ω) donde u = u(x1, x2) y v = v(x1, x2) entonces

∫

Ω

∂u

∂xi

vdx = −∫

Ω

u∂v

∂xi

dx+

∫

∂Ω

uvηidΓ ∀i = 1, 2

Demostracion. La demostracion de esta proposicion se encuentra en la referencia[3]

Proposicion 1.5.3. Sea u ∈ H2(Ω) y donde v ∈ H1(Ω) donde u = u(x1, x2) yv = v(x1, x2) entonces

−∫

Ω

∆uvdx =

∫

Ω

∇u · ∇vdx−∫

∂Ω

∂u

∂ηvdΓ ∀i = 1, 2

Demostracion. La demostracion de esta proposicion se encuentra en la referencia[3].

15

Capıtulo 2

Formulacion Fısica-Matematicadel Problema de Brinkman.

Consideremos un cuerpo poroso que ocupa un dominio bidimensional Ω ⊆ R2

acotado y abierto con frontera continua Lipschitz ∂Ω, asumiendo que existe un fluidoviscoso incomprensible que pasa a traves del cuerpo poroso homogeneo con permea-bilidad k.Ahora sea el campo vectorial v en H1(Ω)×H1(Ω) y una funcion escalar pen L2(Ω) definidos de la siguiente forma:

v : Ω → R2

v(x, y) = (v1(x, y), v2(x, y)).

p : Ω → R

p(x, y) = p(x, y).

Siendo estos el vector velocidad y la funcion escalar presion respectivamente.Ahora consideremos la ecuacion brinkman y la ecuacion de continuidad asociadas aeste fluido:

−∇p + µeff∇2v − µef

kv = 0, en Ω (2.1)

∇.v = 0 en Ω (2.2)

Con una condicion de contorno de la siguiente forma:

v = g, en ∂Ω (2.3)

Siendo g ∈ C2(Ω) con ∇ · g = 0. en x ∈ Ω

16

2.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de con-

servacion.

Sea R0 la longitud caracteristica de la region Ω y u∞ la magnitud de la velocidadcaracteristica,introducimos las cantidades adimensionales de la siguiente forma:

−→x =−→x ∗

R0, v =

v∗

u∞ , p =p∗

µefu∞/R0.µef

µeff

.

De (2.1) reemplazando sus valores dimensionales se obtiene lo siguiente ecuacionadimenisional:

− 1

R0

.(µeff

µef

).µefu

∞

R0

∇p+µeff

R20

u∞∇2v − u∞µef

R0

v = 0

Simplificando y factorizando se obtiene las siguiente ecuacion:

−∇p +∇2v − χ2v = 0, en Ω (2.4)

Donde: χ = R0√k

õef

µeff.

de manera similar para (2.2) se prueba que su forma adimensional coincide con suforma dimensional.De aqui reformulamos nuestro problema de la siguiente forma:

∇.v = 0, en Ω (2.5)

∇p+ (−∇2 + χ2)v = 0, en Ω (2.6)

Para la condicion de frontera de similar forma se prueba que:

v = g0, en ∂Ω (2.7)

donde g0(x, y) es la forma adimensional de g. Observar que estas ecuaciones son lasadimensionales a pesar que la primera ecuacion se ve exactamente igual a la ecuaciondimensional,ademas de ello:

∇ · g(−→x ,−→y ) =∂g(xR0, yR0)

∂xR0

+∂g(xR0, yR0)

∂yR0

= 0 =1

R0

∇ · g0

de aqui se deduce que: ∇ · g0 = 0.

2.2. Modificacion de la ecuacion adimensional de

Brinkman.

Dado el anterior sistema consideremos el siguiente cambio de variable:

u(x, y) = v(x, y)− g0(x, y) ;x ∈ Ω

17

Vamos redefinir el sistema en funcion a este cambio de variable:

∇p+ (−∇2 + χ2)(u+ g0) = 0, en Ω

∇p−∇2u+ χ2u−∇2g0 + χ2g0 = 0, en Ω

observar que: ∇2g0 = 0. ya que:

∇ · g0 = 0. (2.8)

derivando respecto de x a (2.8) y luego respecto de y a (2.8) sumas las ecuaciones yse obtiene lo pedido.reemplazando ∇2g0 = 0. se obtiene:

∇p−∇2u+ χ2u = −χ2g0, en Ω (2.9)

Luego, considerando (2.8) se obtiene:

∇ · u = ∇ · (v − g0) = −∇ · g0 = 0. x ∈ Ω (2.10)

∇ · u = 0, x ∈ Ω. (2.11)

El sistema conformado por las ecuaciones (2.9) y (2.11) se le denominara ecuacionesde Brinkman-Stokes, la misma que esta asociada la condicion de contorno del tipoDirichlet homogenea,

u = 0, x ∈ ∂Ω (2.12)

conformara el problema en estudio de este trabajo.

2.3. Formulacion Variacional del Problema de Brinkman-

Stokes(PVBS).

Comenzaremos hallando la formulacion variacional de (2.9) tomando productoescalar a cada lado de la igualdad con una funcion ϕ ∈ H1

0 (Ω)×H10 (Ω):

∇p.ϕ−∇2u.ϕ+ χ2u.ϕ = −χ2g0 · ϕ

integrando sobre Ω se tiene:∫

Ω

∇p.ϕdx−∫

Ω

∇2u.ϕdx+ χ2

∫

Ω

u.ϕdx = −∫

Ω

χ2g0.ϕdx. (2.13)

Veamos para ∇2u = (∇2u1,∇2u2) y denotando ϕ(x, y) = (ϕ1(x, y), ϕ2(x, y))entonces ∇2u.ϕ = ∇2u1.ϕ1 +∇2u2.ϕ2.Se sabe que

∇.((∇ui)ϕi) = ∇ϕi.∇ui + ϕi∇.(∇ui), para i=1,2

= ∇ϕi.∇ui + ϕi∇2ui, para i=1,2

18

∫

Ω

ϕi∇2uidx =

∫

Ω

∇.((∇ui)ϕi)dx−∫

Ω

∇ϕi.∇uidx, para i=1,2

Pero por el teorema de Green se sabe:∫

Ω

∇.((∇ui)ϕi)dx =

∫

∂Ω

(ϕi∇ui).ηd(Γ), para i=1,2

siendo η un vector normal unitario a la region Ω entonces reemplazando en lo anteriorse tiene:

∫

Ω

ϕi∇2uidx =

∫

∂Ω

(ϕi∇ui).ηd(Γ)−∫

Ω

∇ϕi.∇uidx, para i=1,2

De aqui se obtiene:∫

Ω

ϕi∇2uidx =

∫

∂Ω

ϕi

∂ui

∂ηd(Γ)−

∫

Ω

∇ϕi.∇uidx, para i=1,2 (2.14)

Se tiene que u = 0 en ∂Ω entonces (2.14) se reduce a la siguiente expresion:∫

Ω

ϕi∇2uidx = −∫

Ω

∇ϕi.∇uidx, para i=1,2 (2.15)

De (2.15) sumando los casos (i=1)+(i=2) usaremos la siguiente notacion:

∇ϕ·∇u = ∇ϕ1 · ∇u1 +∇ϕ2 · ∇u2

∫

Ω

ϕ.∇2udx = −∫

Ω

∇ϕ·∇udx. (2.16)

Ahora trabajemos con la presion:Del calculo vectorial se tiene:

∇.(pϕ) = ∇p.ϕ+ p∇.ϕ

−∫

Ω

∇p.ϕ =

∫

Ω

p∇.ϕ−∫

Ω

∇.(pϕ)

Realizando el mismo procedimiento anterior se obtiene:

−∫

Ω

∇p.ϕ =

∫

Ω

p∇.ϕ−∫

∂Ω

pϕ.ηdΓ.

Como ϕ ∈ H10 (Ω) entonces la expresion anterior se reduce:

−∫

Ω

∇p.ϕ =

∫

Ω

p∇.ϕ (2.17)

De (2.16) y (2.17) en (2.13) se tiene:

−∫

Ω

p∇.ϕdx+

∫

Ω

∇ϕ·∇udx+ χ2

∫

Ω

uϕdx = 0, ∀ϕ ∈ (H10(Ω))

2 (2.18)

19

Se define :

a : (H10 (Ω))

2 × (H10 (Ω))

2 → R

a(u, v) =∫Ω∇v·∇udx+ χ2

∫Ωu · vdx

l : ϕ ∈ [H10 (Ω)]

2/∇.ϕ = 0 → R

l(ϕ) = −∫Ωχ2g0.ϕdx.

L20(Ω) = q ∈ L2(Ω)/

∫Ωqdx = 0

b : (H10 (Ω))

2 × (L20(Ω)) → R

b(u, q) = −∫Ωq∇.udx

De (2.5) resolver la ecuacion de Brinkman se reformula en:

(FV )

encontrar u ∈ (H10 (Ω))

2, p ∈ L20(Ω) :

a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H10 (Ω))

2

b(u, q) = 0, ∀q ∈ L20(Ω)

A este nuevo sistema (FV) se llama la formulacion debil o variacional de la ecuacionadimensional de Brinkman,la cual probaremos que admite solucion y ademas esunica para ello utilizaremos resultados importantes del analisis funcional.

20

Capıtulo 3

Existencia y Unicidad de laSolucion del Problema deBrinkman.

En seccion se probara que el sistema (FV) admite solucion y ademas que estasolucion es unica tambien probaremos que dado la solucion de (FV) esta es solu-cion del sistema de ecuaciones que involucra a (2.5) y (2.6).Antes de ello algunosresultados importantes del analisis funcional.

3.1. Estudio de la Existencia y Unicidad de la so-

lucion del PVBS.

Recordemos como estaba definido (FV):

encontrar v ∈ (H10 (Ω))

2, p ∈ L20(Ω) :

a(v, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H10 (Ω))

2

b(v, q) = 0, ∀q ∈ L20(Ω)

Se define V = v ∈ [H10 (Ω)]

2/∇.v = 0, definido con el siguiente producto interno:Siendo u, v ∈ [H1

0 (Ω)]2, con u = (u1, u2); v = (v1, v2)

〈u, v〉V =∑

|α|≤1

∫

Ω

∂αu1(x).∂αv1(x)dx+

∑

|α|≤1

∫

Ω

∂αu2(x).∂αv2(x)dx

Dado que H10 (Ω) es un subespacio cerrado de H1(Ω) respecto al producto interno

〈·, ·〉V y al ser H1(Ω) un espacio de Hilbert entonces H10 (Ω) es un espacio Hilbert.De

aqui en virtud del lema (1.3.2) se tiene que [H10 (Ω)]

2 es un espacio Hilbert y dadoque V es un subespacio cerrado de [H1

0 (Ω)]2 esto es por [3] entonces (V, 〈·, ·〉V ) es

un espacio Hilbert.dado ese producto interno induce una norma de la siguiente manera:

‖u‖2V =

∫

Ω

(∂u1

∂x)2dx+

∫

Ω

(∂u1

∂y)2dx+

∫

Ω

(∂u2

∂x)2dx+

∫

Ω

(∂u2

∂y)2dx

21

de aqui claramente:

‖u‖2V = ‖∂u1

∂x‖2L2(Ω) + ‖∂u2

∂y‖2L2(Ω) + ‖∂u1

∂y‖2L2(Ω) + ‖∂u2

∂x‖2L2(Ω). (3.1)

Para fijar ideas probaremos que a(·, ·) es una forma bilineal coerciva y continua yutilizaremos 1.3.1 para hallar nuestro candidato a solucion v y utilizando un lemaadicional probaremos la existencia y unicidad de p.

Teorema 3.1.1. Sea (V, 〈·, ·〉V ) es un espacio Hilbert,definido a : V 2 × V 2 → R

como:

a(u, v) =

∫

Ω

∇v·∇udx+ χ2

∫

Ω

u.vdx

entonces a(·, ·) es una forma bilineal continua coerciva en V.

Demostracion. Sea u, v ∈ V con u = (u1(x, y), u2(x, y)), v = (v1(x, y), v2(x, y)) Paraempezar demostraremos que:a(·, ·) es una forma bilineal. Solo demostraremos la linealidad en una componentepara demostrar en la otra es un proceso completamente analogo.Sea α ∈ R y w ∈ V con w = (w1(x, y), w2(x, y)) entonces:

a(αu+ v, w) = χ2

∫

Ω

(αu+ v) · wdx+

∫

Ω

∇(αu+ v)·∇wdx

= αχ2

∫

Ω

u · wdx+ χ2

∫

Ω

v · wdx

+

∫

Ω

∇(αu1 + v1) · ∇w1 +∇(αu2 + v2) · ∇w2dx

= αχ2

∫

Ω

u · wdx+ χ2

∫

Ω

v · wdx

+

∫

Ω

α∇u1 · ∇w1 +∇v1 · ∇w1 + α∇u2 · ∇w2 +∇v2 · ∇w2dx

= αχ2

∫

Ω

u · wdx+

∫

Ω

∇u·∇wdx+ χ2

∫

Ω

v · wdx+

∫

Ω

∇v·∇wdx

= αa(u, w) + a(v, w)

Con esto se probo la linealidad de la primera componente.a(·, ·) es continua en V.

|a(u, v)| = |χ2

∫

Ω

u · vdx+

∫

Ω

∇u·∇vdx| ≤ χ2

∫

Ω

|u · v|dx+

∫

Ω

|∇u·∇v|dx

= χ2

∫

Ω

|u1v1 + u2v2|dx+

∫

Ω

|∇u1 · ∇v1 +∇u2 · ∇v2|dx

≤ χ2∫

Ω

|u1v1|dx+

∫

Ω

|u2v2|dx+∫

Ω

|∂u1

∂x

∂v1∂x

+∂u1

∂y

∂v1∂y

+∂u2

∂x

∂v2∂x

+∂u2

∂y

∂v2∂y

|dx

22

Ahora aplicando la desigualdad de chauchy-schwarz se tiene:

∫

Ω

|uivi|dx ≤ ‖ui‖L2(Ω)‖vi‖L2(Ω);

∫

Ω

|∂ui

∂xj

∂vi∂xj

|dx ≤ ‖∂ui

∂xj

‖L2(Ω)‖∂vi∂xj

‖L2(Ω)

siendo x1 = x; x2 = y. verificandose para i, j = 1, 2;entonces aplicando estas de-sigualdades a la inecuacion anterior se tiene:

|a(u, v)| ≤ χ2(‖u1‖L2(Ω)‖v1‖L2(Ω) + ‖u2‖L2(Ω)‖v2‖L2(Ω)) + (‖∂u1

∂x‖L2(Ω)‖

∂v1∂x

‖L2(Ω)

+‖∂u1

∂x2‖L2(Ω)‖

∂v1∂y

‖L2(Ω) + ‖∂u2

∂x‖L2(Ω)‖

∂v2∂x

‖L2(Ω) + ‖∂u2

∂y‖L2(Ω)‖

∂v2∂y

‖L2(Ω)) (3.2)

De (3.1) se tiene lo siguiente:

‖∂ui

∂xj

‖L2(Ω) ≤ ‖u‖V ; ‖∂vi∂xj

‖L2(Ω) ≤ ‖v‖V de aquı ‖∂ui

∂xj

‖L2(Ω)‖∂vi∂xj

‖L2(Ω) ≤ ‖u‖V ‖v‖V(3.3)

para i, j =, 2 Ademas de la desigualdad de Poincare se tiene:

‖ui‖2L2(Ω) =

∫

Ω

u2idx ≤ C

∫

Ω

(∂ui

∂x)2 + (

∂ui

∂y)2dx (3.4)

de (3.4) se deduce:

‖ui‖2L2(Ω) ≤ C(‖∂ui

∂x‖2L2(Ω) + ‖∂ui

∂y‖2L2(Ω)) ≤ C‖u‖2V (3.5)

,Ahora aplicando (3.3) y (3.5) a (3.2) se tiene:

|a(u, v)| ≤ χ2(C‖u‖V ‖v‖V+C‖u‖V ‖v‖V )+(‖u‖V ‖v‖V+‖u‖V ‖v‖V+‖u‖V ‖v‖V+‖u‖V ‖v‖V )

|a(u, v)| ≤ (2χ2C + 4)‖u‖V ‖v‖VCon esto queda probado que a(·, ·) es continua en V.a(·, ·) es coerciva en V.se tiene:

a(u, u) = χ2

∫

Ω

u · u+

∫

Ω

∇u·∇u

a(u, u) = χ2

∫

Ω

u · u+

∫

Ω

∇u1 · ∇u1 +

∫

Ω

∇u2 · ∇u2 = χ2

∫

Ω

u · u+ ‖u‖2V

Pero como χ2∫Ωu · u ≥ 0 se tiene:

a(u, u) ≥ ‖u‖2VCon esto queda probado que a(·, ·) es coerciva en V.Con esto queda probado el teorema.

23

Teorema 3.1.2. dado l ∈ V ∗ definido como:

l(ϕ) = −∫

Ω

χ2g0.ϕdx.

entonces l es lineal acotada.

Demostracion. Sea g0(x, y) = (g10(x, y), g20(x, y)) siendo g

i0(x, y) ∈ H1

0 (Ω) con i = 1, 2entonces se tiene:

|l(ϕ)| = |−∫

Ω

χ2g0.ϕdx.| = χ2|∫

Ω

(g10ϕ1+g20ϕ2)dx| ≤ χ2(|∫

Ω

g10ϕ1dx|+ |∫

Ω

g20ϕ2dx|)

Por la desigualdad de cauchy-schwarz y luego aplicando la 3.5 se tiene:

≤ χ2(|g10|L2(Ω)|ϕ1|L2(Ω) + |g20|L2(Ω)|ϕ2|L2(Ω)) ≤ χ2√C(|g10|L2(Ω)|ϕ|V + |g20|L2(Ω)|ϕ|V )

Denotando como:M = χ2

√C(|g10|L2(Ω) + |g20|L2(Ω)) < ∞

De esto se obtiene l(ϕ) ≤ M |ϕ|V por lo tanto l es lineal acotado.

Dado el espacio (V, 〈·, ·〉V ) Hilbert (3.1.1) nos garantiza que a(·, ·) es una for-ma bilineal continua y coerciva y dado l ∈ V ∗ dado (3.1.2 nos garantiza que ellineal)acotada entonces por (1.3.1) nos garantiza que ∃!u ∈ V tal que:

∀ϕ ∈ V : a(u, ϕ) = l(ϕ). (3.6)

Ahora veamos el siguiente lema:

Lema 3.1.1. ([3]) Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto acotado con frontera continua

Lipschitz, y sea L ∈ ([H10 (Ω)]

2)∗ con L(v) = 0, ∀v ∈ V entonces existe una unicafuncion p ∈ L2

0(Ω) tal que

L(ϕ) =

∫

Ω

p ∇.ϕdx, ∀ϕ ∈ [H10 (Ω)]

2.

Proposicion 3.1.1. Asumiendo que: L : [H10 (Ω)]

2 → R, y L(ϕ) = a(u, ϕ) − l(ϕ)donde u es definido por (3.6), entonces existe un unico par (u, p) ∈ [H1

0 (Ω)]2×L2

0(Ω)que es solucion del sistema del sistema (FV.)

Demostracion. A partir de su definicion se observa que L es lineal y continua en[H1

0 (Ω)]2,ademas L se anula en el espacio en V en virtud de (3.6) entonces 3.1.1 nos

garantiza que ∃!p ∈ L20(Ω) tal que:

L(ϕ) =

∫

Ω

p ∇.ϕdx, ∀ϕ ∈ [H10 (Ω)]

2

24

de aqui reemplazando se tiene:

L(ϕ) = a(u, ϕ)− l(ϕ) =

∫

Ω

p ∇.ϕdx = −b(ϕ, p), ∀ϕ ∈ [H10 (Ω)]

2

a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ [H10 (Ω)]

2

Ahora como v ∈ V por su definicion de V se tiene: ∇.u = 0 entonces:

b(u, q) =

∫

Ω

q∇.u = 0; ∀q ∈ L20(Ω)

Hemos probado que dado el sistema (FV) existe un unico para (u, p) ∈ [H10 (Ω)]

2 ×L20(Ω) que es solucion de ese sistema.

3.2. Existencia y Unicidad de la solucion del Pro-

blema de Brinkman.

En la seccion anterior hemos demostrado que dada la formulacion debil de laecuacion adimensional de Brinkman hemos probado que admite un unico par (v, p) ∈[H1

0 (Ω)]2 × L2

0(Ω) que es solucion de (FV).Ahora probaremos que ese mismo par essolucion de la ecuacion Brinkman-Stokes.Sea (u, p) ∈ [H1

0 (Ω)]2 × L2

0(Ω) la solucion del sistema (FV):

(FV )

a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H1

0(Ω))2

b(u, q) = 0, ∀q ∈ L20(Ω)

Llamemos al siguiente problema (FC):

(FC)

∇.u(x) = 0, x ∈ Ω∇p−∇2u+ χ2u = −χ2g0,x ∈ Ω

u = 0 x ∈ ∂Ω

Dado que u ∈ V se tiene u ∈ H10 (Ω) de aqui se deduce que u = 0,x ∈ ∂Ωcon

∇.u = 0 entonces se deduce la primera y tercera ecuacion del sistema (FC). Paradeducir la segunda se obtiene de lo siguiente:

∇ · ((∇ui)ϕi) = ∇ · (∇ui)ϕi +∇ϕi · ∇ui = ∇2ui.ϕi +∇ϕi · ∇ui (3.7)

Primero se tiene que:∫

Ω

∇ · ((∇ui)ϕi)dx =

∫

∂Ω

(∇ui)ϕidΓ = 0.

integrando 3.7 sobre el abierto Ω se tiene:∫

Ω

∇ · ((∇ui)ϕi)dx =

∫

Ω

∇2ui.ϕidx+

∫

Ω

∇ϕi · ∇uidx = 0

25

de esto se deduce facilmente:

−∫

Ω

∇2u.ϕdx =

∫

Ω

∇ϕ·∇udx = 0

Ademas de ello de (2.17) se tiene:

−∫

Ω

∇p.ϕdx =

∫

Ω

p∇.ϕdx

reemplazando estos en (FV) se tiene:

−∫

Ω

∇2u · ϕdx+

∫

Ω

χ2u · ϕdx+

∫

Ω

∇p.ϕdx = −∫

Ω

χ2g0 · ϕdx

∫

Ω

(−∇2u+ χ2u+∇p+ χ2g0) · ϕdx = 0, ϕ ∈ [H10 (Ω)]

2 (3.8)

Ahora probaremos que −∇2u+ χ2u+∇p+ χ2g0 ∈ [H10 (Ω)]

2 en efecto:claramente se tiene:∇2u, χ2u,∇p+ χ2g0 ∈ [H1(Ω)]2:Solo falta mostrar que:

∇2u(x) = 0, χ2u(x) = 0,∇p(x) = 0, χ2g0(x) = 0, cuando x ∈ ∂Ω

Probar que:∇2u(x) = χ2u(x) = 0 es claro ya que u=0, x ∈ ∂Ω;

Observacion:Se tiene que ∇p+ χ2g0 ∈ [H10 (Ω)]

2 esto por [3].Dado que [H1

0 (Ω)]2 es un espacio Hilbert este posee estructura de espacio vecto-

rial entonces −∇2u + χ2u + ∇p + χ2g0 ∈ [H10 (Ω)]

2 a partir de esto evaluandoϕ = −∇2u+ χ2u+∇p+ χ2g0 en (3.8) se tiene:

−∇2u+ χ2u+∇p+ χ2g0 = 0, x ∈ Ω

y con esto (u, p) ∈ V × L20(Ω) es solucion de las ecuaciones Brinkman-Stokes.

Como garantizamos la existencia y unicidad de ese u(x, y) entonces v(x, y) = u(x, y)+g0(x, y) claramente esta representacion existe y es unica de aqui (v, p) ∈ ([H1(Ω)]2×L20(Ω)) es solucion unica de la ecuacion adimensional de Brinkman y por tanto a

partir de las variables adimensionales regresando a las variables dimensionales seobtendra solucion (v, p) dimensional que es solucion del sistema formado por lasecuaciones (2.1),(2.2) y (2.3).A partir de aquı hemos probado que el problema de Brinkman admite solucion unicabajo una condicion Dirichlet no homogenea lo cual era nuestro objetivo inicial.

26

Conclusiones.

Del siguiente trabajo podemos concluir lo siguiente:

El proceso de adimiensionalizacion es una herramienta muy importante yaque al momento de reemplazar por su equivalente adimensional te permitesimplificar terminos en la EDP lo cual reduce mucho el calculo.

La formulacion variacional del problema es muy importante ya que te permitever desde otro punto de vista el problema,para este caso con herramientas delanalisis funcional se probo su existencia y unicidad.

Se observa tambien que el subespacio de sobolev tomados para resolver pro-blemas en su forma variacional dependen mucho de las condiciones de fronteray la forma de su forma formulacion debil de ahi viene el principal problemade que forma puedo tomar mi espacio de tal manera de encontrar solucion ala formulacion variacional.

Lo importante de este trabajo es que nos permite ver en su desarrollo , que suformulacion variacional nos deja implıcito la forma de hallar su aproximacionnumerica y este se resolvera utilizando el metodo de Galerkin para elementosfinitos mixtos lo cual se realizara en un proximo trabajo.

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