Probabilit冀s - Le langage des ensembles et le mod le...
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Probabilites
Le langage des ensembles et le modele probabiliste
Julian Tugaut
Telecom Saint-Etienne
Julian Tugaut Probabilites
Sommaire
1 DefinitionsNotion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
2 Operation sur les ensemblesIntersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
3 Partition d’un ensemble
4 Rappels sur la denombrabilite
5 Modelisation d’une experience aleatoireL’espace fondamentalLes evenements
Plan
1 DefinitionsNotion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
2 Operation sur les ensembles
3 Partition d’un ensemble
4 Rappels sur la denombrabilite
5 Modelisation d’une experience aleatoire
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Notion d’ensemble
On considere la notion intuitive suivante d’un ensemble Ω (quidesignera dans les prochains chapitres l’univers) :
Definition
Un ensemble Ω est une collection d’objets. Il est determine lorsquel’on peut dire si un objet ω lui appartient ou ne lui appartient pas.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Notion d’ensemble
On considere la notion intuitive suivante d’un ensemble Ω (quidesignera dans les prochains chapitres l’univers) :
Definition
Un ensemble Ω est une collection d’objets. Il est determine lorsquel’on peut dire si un objet ω lui appartient ou ne lui appartient pas.
Notations
Si l’objet ω appartient a l’ensemble Ω, on note : ω ∈ Ω.Si l’objet ω n’appartient pas a l’ensemble Ω, on note : ω /∈ Ω.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Notion d’ensemble
On considere la notion intuitive suivante d’un ensemble Ω (quidesignera dans les prochains chapitres l’univers) :
Definition
Un ensemble Ω est une collection d’objets. Il est determine lorsquel’on peut dire si un objet ω lui appartient ou ne lui appartient pas.
Notations
Si l’objet ω appartient a l’ensemble Ω, on note : ω ∈ Ω.Si l’objet ω n’appartient pas a l’ensemble Ω, on note : ω /∈ Ω.
Definition
Un objet ω appartenant a l’ensemble Ω (ω ∈ Ω) est appele unelement de Ω.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Ensemble vide
Definition
On definit l’ensemble vide comme etant l’ensemble qui ne contientaucun element.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Ensemble vide
Definition
On definit l’ensemble vide comme etant l’ensemble qui ne contientaucun element.
Notation
L’ensemble vide est note ∅.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Ensemble vide
Definition
On definit l’ensemble vide comme etant l’ensemble qui ne contientaucun element.
Notation
L’ensemble vide est note ∅.
Remarque
Il ne faut pas confondre l’ensemble vide (∅) avec le zero (0). On acoutume de dire : “Etre nul, c’est deja exister”.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Inclusion, Sous-ensembles - 1
Definition
On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsquetout element de A appartient a B. Plus formellement, A est inclusdans B lorsque
∀ω ∈ A , ω ∈ B .
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Inclusion, Sous-ensembles - 1
Definition
On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsquetout element de A appartient a B. Plus formellement, A est inclusdans B lorsque
∀ω ∈ A , ω ∈ B .
Remarque
On dit aussi que B contient A ou que A est un sous-ensemble de B.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Inclusion, Sous-ensembles - 2
Notation
Si A est un sous-ensemble de B, on note : A ⊂ B.On peut aussi trouver la notation B ⊃ A.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Inclusion, Sous-ensembles - 2
Notation
Si A est un sous-ensemble de B, on note : A ⊂ B.On peut aussi trouver la notation B ⊃ A.
Exemple
Soit B l’ensemble des etudiants de Telecom Saint-Etienne. Soit Al’ensemble des FI1 de Telecom Saint-Etienne.Alors, A est inclus dans B : A ⊂ B.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles
Inclusion, Sous-ensembles - 2
Notation
Si A est un sous-ensemble de B, on note : A ⊂ B.On peut aussi trouver la notation B ⊃ A.
Exemple
Soit B l’ensemble des etudiants de Telecom Saint-Etienne. Soit Al’ensemble des FI1 de Telecom Saint-Etienne.Alors, A est inclus dans B : A ⊂ B.
Theoreme
Soient deux ensembles A et B. Alors, A = B si et seulement siA ⊂ B et B ⊂ A.
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Plan
1 Definitions
2 Operation sur les ensemblesIntersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
3 Partition d’un ensemble
4 Rappels sur la denombrabilite
5 Modelisation d’une experience aleatoire
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Intersection de deux ensembles - 1
Definition
On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble deselements communs a A et a B.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Intersection de deux ensembles - 1
Definition
On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble deselements communs a A et a B.
Notation
L’intersection de deux ensembles A et B est notee A ∩ B.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Intersection de deux ensembles - 1
Definition
On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble deselements communs a A et a B.
Notation
L’intersection de deux ensembles A et B est notee A ∩ B.
Plus formellement, on peut ecrire :
A ∩ B = ω : ω ∈ A , ω ∈ B
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Intersection de deux ensembles - 1
Definition
On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble deselements communs a A et a B.
Notation
L’intersection de deux ensembles A et B est notee A ∩ B.
Plus formellement, on peut ecrire :
A ∩ B = ω : ω ∈ A , ω ∈ B
ouω ∈ A ∩ B ⇐⇒ ω ∈ A et ω ∈ B .
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Intersection de deux ensembles - 2
Avec un diagramme de Venn :
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Intersection de deux ensembles - 2
Avec un diagramme de Venn :
Figure: Intersection de deux ensembles
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Intersection de deux ensembles - 3
Exemple : Ensemble fini petit
Soit Ω := a, b, c , d , e, f , g , h, i un ensemble de lettres. Soient lesdeux sous-ensembles de Ω : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∩ B = c , d , e.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Intersection de deux ensembles - 3
Exemple : Ensemble fini petit
Soit Ω := a, b, c , d , e, f , g , h, i un ensemble de lettres. Soient lesdeux sous-ensembles de Ω : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∩ B = c , d , e.
Exemple : Ensemble fini grand
Soit Ω l’ensemble des ingenieurs formes en France. Soit A lesous-ensemble des ingenieurs exercant dans l’industrie. Soit Bl’ensemble des ingenieurs diplomes de TSE.Alors, A ∩ B est l’ensemble des ingenieurs diplomes de TSE quitravaillent dans l’industrie.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Ensembles disjoints
Definition : Ensembles disjoints
On dit que deux ensembles A et B sont disjoints lorsque leurintersection est vide : ils n’ont aucun element en commun. End’autres termes, on dit que A et B sont disjoints si l’on aA ∩ B = ∅.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de l’intersection - 1
Propriete : Commutativite
Soient deux ensembles A et B.Alors A ∩ B = B ∩ A.
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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de l’intersection - 1
Propriete : Commutativite
Soient deux ensembles A et B.Alors A ∩ B = B ∩ A.
Propriete : Associativite
Soient trois ensembles A, B et C . Alors :
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C =: A ∩ B ∩ C .
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Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de l’intersection - 2
Propriete
Soit un ensemble A. Alors, on a A ∩ A = A.
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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de l’intersection - 2
Propriete
Soit un ensemble A. Alors, on a A ∩ A = A.
Propriete
Soit un ensemble A. Alors, on a A ∩ ∅ = ∅.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Reunion de deux ensembles - 1
Definition
On appelle reunion de deux ensembles A et B l’ensemble deselements qui sont dans A ou (au sens inclusif) qui sont dans B.
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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Reunion de deux ensembles - 1
Definition
On appelle reunion de deux ensembles A et B l’ensemble deselements qui sont dans A ou (au sens inclusif) qui sont dans B.
Notation
La reunion de deux ensembles A et B est notee A ∪ B.
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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Reunion de deux ensembles - 1
Definition
On appelle reunion de deux ensembles A et B l’ensemble deselements qui sont dans A ou (au sens inclusif) qui sont dans B.
Notation
La reunion de deux ensembles A et B est notee A ∪ B.
Plus formellement, on peut ecrire :
A ∪ B = ω : ω ∈ A ou ω ∈ B
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Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Reunion de deux ensembles - 1
Definition
On appelle reunion de deux ensembles A et B l’ensemble deselements qui sont dans A ou (au sens inclusif) qui sont dans B.
Notation
La reunion de deux ensembles A et B est notee A ∪ B.
Plus formellement, on peut ecrire :
A ∪ B = ω : ω ∈ A ou ω ∈ B
ouω ∈ A ∪ B ⇐⇒ ω ∈ A ou ω ∈ B .
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Reunion de deux ensembles - 2
Figure: Reunion de deux ensembles
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Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Reunion de deux ensembles - 2
Figure: Reunion de deux ensembles
On remarque dans ce diagramme que l’on a
A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B et A ∩ B ⊂ B ⊂ A ∪ B .
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Reunion de deux ensembles - 3
Exemple : Ensembles finis petits
Soient les deux ensembles de lettres : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∪ B = a, b, c , d , e, f , g.
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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Reunion de deux ensembles - 3
Exemple : Ensembles finis petits
Soient les deux ensembles de lettres : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∪ B = a, b, c , d , e, f , g.
Exemple : Ensembles finis grands
Soit A l’ensemble des ingenieurs diplomes de TSE et soit Bl’ensemble des ingenieurs exercant dans l’industrie.Alors A ∪ B est l’ensemble des ingenieurs qui travaillent dansl’industrie ou qui sont diplomes de TSE.
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Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de la reunion - 1
Propriete : Commutativite
Soient deux ensembles A et B.Alors A ∪ B = B ∪ A.
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Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de la reunion - 1
Propriete : Commutativite
Soient deux ensembles A et B.Alors A ∪ B = B ∪ A.
Propriete : Associativite
Soient trois ensembles A, B et C . Alors :
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C =: A ∪ B ∪ C .
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de la reunion - 2
Propriete
Soit un ensemble A. Alors, on a A ∪ A = A.
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Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de la reunion - 2
Propriete
Soit un ensemble A. Alors, on a A ∪ A = A.
Propriete
Soit un ensemble A. Alors, on a A ∪ ∅ = A.
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Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de distributivite
Propriete
L’intersection est distributive par rapport a la reunion :
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) .
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Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de distributivite
Propriete
L’intersection est distributive par rapport a la reunion :
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) .
Propriete
La reunion est distributive par rapport a l’intersection :
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) .
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Complementaire d’un sous-ensemble - 1
Definition
Soit un ensemble Ω (l’univers des evenements). Soit A unsous-ensemble de Ω.On appelle complementaire de A dans Ω l’ensemble des elementsde Ω qui n’appartiennent pas a A.
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Complementaire d’un sous-ensemble - 1
Definition
Soit un ensemble Ω (l’univers des evenements). Soit A unsous-ensemble de Ω.On appelle complementaire de A dans Ω l’ensemble des elementsde Ω qui n’appartiennent pas a A.
Notation
Le complementaire de A est note A ou Ac .
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Complementaire d’un sous-ensemble - 1
Definition
Soit un ensemble Ω (l’univers des evenements). Soit A unsous-ensemble de Ω.On appelle complementaire de A dans Ω l’ensemble des elementsde Ω qui n’appartiennent pas a A.
Notation
Le complementaire de A est note A ou Ac .
Plus formellement, on a :
Ac = ω ∈ Ω : ω /∈ A
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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Complementaire d’un sous-ensemble - 1
Definition
Soit un ensemble Ω (l’univers des evenements). Soit A unsous-ensemble de Ω.On appelle complementaire de A dans Ω l’ensemble des elementsde Ω qui n’appartiennent pas a A.
Notation
Le complementaire de A est note A ou Ac .
Plus formellement, on a :
Ac = ω ∈ Ω : ω /∈ A
ouω ∈ Ac ⇐⇒ ω /∈ A .
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Complementaire d’un sous-ensemble - 2
Avec un diagramme de Venn :
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Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Complementaire d’un sous-ensemble - 2
Avec un diagramme de Venn :
Figure: Complementaire d’un sous-ensemble
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de la complementation
Propriete
Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A = A.
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de la complementation
Propriete
Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A = A.
Propriete
Soit un ensemble Ω. Alors, Ω = ∅. De meme, on a ∅ = Ω.
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Proprietes de la complementation
Propriete
Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A = A.
Propriete
Soit un ensemble Ω. Alors, Ω = ∅. De meme, on a ∅ = Ω.
Propriete
Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A ∩ A = ∅ et A ∪ A = Ω.
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Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Lois de Morgan
Theoreme : Lois de Morgan
Soit un ensemble Ω et soient A et B deux sous-ensembles de Ω.Alors, on a
A ∩ B = A ∪ B (1)
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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble
Lois de Morgan
Theoreme : Lois de Morgan
Soit un ensemble Ω et soient A et B deux sous-ensembles de Ω.Alors, on a
A ∩ B = A ∪ B (1)
etA ∪ B = A ∩ B . (2)
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1 Definitions
2 Operation sur les ensembles
3 Partition d’un ensemble
4 Rappels sur la denombrabilite
5 Modelisation d’une experience aleatoire
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Partition d’un ensemble
Definition
Soit Ω un ensemble. Soient n sous-ensembles : A1, · · · ,An. On ditqu’ils forment une partition de Ω s’ils sont deux a deux disjoints etsi leur reunion est egale a Ω.
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Modelisation d’une experience aleatoire
Partition d’un ensemble
Definition
Soit Ω un ensemble. Soient n sous-ensembles : A1, · · · ,An. On ditqu’ils forment une partition de Ω s’ils sont deux a deux disjoints etsi leur reunion est egale a Ω.
Plus formellement, (A1, · · · ,An) est une partition de Ω si etseulement si
Ak ∩ Ap = ∅ si k 6= p
et A1 ∪ · · · ∪ An = Ω .
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Partition d’un ensemble - 2
Avec un diagramme de Venn :
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
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Partition d’un ensemble - 2
Avec un diagramme de Venn :
Figure: Partition d’un ensemble
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Exemple de partition
Exemple : Cas particulier de partition
Soit Ω un ensemble. Soit A un sous-ensemble de Ω. Alors (A,Ac)est une partition de Ω. En effet, on a A ∩ Ac = ∅ et A ∪ Ac = Ωpar definition. Regardons cela sur un diagramme de Venn :
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Exemple de partition
Exemple : Cas particulier de partition
Soit Ω un ensemble. Soit A un sous-ensemble de Ω. Alors (A,Ac)est une partition de Ω. En effet, on a A ∩ Ac = ∅ et A ∪ Ac = Ωpar definition. Regardons cela sur un diagramme de Venn :
Figure: Partition particuliere d’un ensemble
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Plan
1 Definitions
2 Operation sur les ensembles
3 Partition d’un ensemble
4 Rappels sur la denombrabilite
5 Modelisation d’une experience aleatoire
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Rappels sur les ensembles infinis
Definition
On dit qu’un ensemble est de cardinal fini s’il contient un nombrefini d’elements.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Rappels sur les ensembles infinis
Definition
On dit qu’un ensemble est de cardinal fini s’il contient un nombrefini d’elements.
Definition
Un ensemble qui n’est pas de cardinal fini est dit infini.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Rappels sur les ensembles infinis
Definition
On dit qu’un ensemble est de cardinal fini s’il contient un nombrefini d’elements.
Definition
Un ensemble qui n’est pas de cardinal fini est dit infini.
Exemple
L’ensemble N est infini. De meme, R est infini.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Rappels sur la denombrabilite
Definition
On dit qu’un ensemble infini est denombrable s’il est en bijectionavec N.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Rappels sur la denombrabilite
Definition
On dit qu’un ensemble infini est denombrable s’il est en bijectionavec N.
Exemple
L’ensemble des rationnels, Q, est denombrable.
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DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Rappels sur la denombrabilite
Definition
On dit qu’un ensemble infini est denombrable s’il est en bijectionavec N.
Exemple
L’ensemble des rationnels, Q, est denombrable.
Contre-exemple
L’ensemble des reels, R, n’est pas denombrable.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
Rappels sur la denombrabilite
Definition
On dit qu’un ensemble infini est denombrable s’il est en bijectionavec N.
Exemple
L’ensemble des rationnels, Q, est denombrable.
Contre-exemple
L’ensemble des reels, R, n’est pas denombrable.
Propriete
Une union denombrable d’ensembles finis ou denombrables estdenombrable.
Julian Tugaut Probabilites
Plan
1 Definitions
2 Operation sur les ensembles
3 Partition d’un ensemble
4 Rappels sur la denombrabilite
5 Modelisation d’une experience aleatoireL’espace fondamentalLes evenements
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Modelisation d’une experience aleatoire
Le resultat d’une experience est dit aleatoire lorsqu’on ne peut pasle predire avec certitude. Plusieurs raisons peuvent expliquer cetteimpossibilite de prediction : on ne connaıt pas toutes les conditionsinitiales (les causes) ou on ne sait pas determiner comment lesysteme evolue precisement. L’experience est alors dite aleatoire.
Julian Tugaut Probabilites
Exemple d’experience aleatoire - 1
Exemple
Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :
Exemple d’experience aleatoire - 1
Exemple
Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :
Position exacte de la main (hauteur, angles...).
Exemple d’experience aleatoire - 1
Exemple
Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :
Position exacte de la main (hauteur, angles...).
Position exacte du de dans la main.
Exemple d’experience aleatoire - 1
Exemple
Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :
Position exacte de la main (hauteur, angles...).
Position exacte du de dans la main.
Vitesse a laquelle le de est lance de la main.
Exemple d’experience aleatoire - 1
Exemple
Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :
Position exacte de la main (hauteur, angles...).
Position exacte du de dans la main.
Vitesse a laquelle le de est lance de la main.
Etat exact de la surface de reception.
Exemple d’experience aleatoire - 1
Exemple
Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :
Position exacte de la main (hauteur, angles...).
Position exacte du de dans la main.
Vitesse a laquelle le de est lance de la main.
Etat exact de la surface de reception.
Etat exact du de (coins plus ou moins arrondis, poids du de...).
Exemple d’experience aleatoire - 1
Exemple
Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :
Position exacte de la main (hauteur, angles...).
Position exacte du de dans la main.
Vitesse a laquelle le de est lance de la main.
Etat exact de la surface de reception.
Etat exact du de (coins plus ou moins arrondis, poids du de...).
Resistance de l’air.
Exemple d’experience aleatoire - 1
Exemple
Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :
Position exacte de la main (hauteur, angles...).
Position exacte du de dans la main.
Vitesse a laquelle le de est lance de la main.
Etat exact de la surface de reception.
Etat exact du de (coins plus ou moins arrondis, poids du de...).
Resistance de l’air.
et beaucoup d’autres. Il est difficile de fixer a priori les valeursexactes des differents parametres.
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Exemple d’experience aleatoire - 2
Cependant, on constate que si l’on jette un de a six faces un grandnombre de fois, on obtient en moyenne :
1 Une fois sur six la face 1.
2 Une fois sur six la face 2.
3 Une fois sur six la face 3.
4 Une fois sur six la face 4.
5 Une fois sur six la face 5.
6 Une fois sur six la face 6.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Exemple d’experience aleatoire - 2
Cependant, on constate que si l’on jette un de a six faces un grandnombre de fois, on obtient en moyenne :
1 Une fois sur six la face 1.
2 Une fois sur six la face 2.
3 Une fois sur six la face 3.
4 Une fois sur six la face 4.
5 Une fois sur six la face 5.
6 Une fois sur six la face 6.
A partir de la, on peut definir une loi de variabilite du resultat.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
L’espace fondamental - 1
On definit les resultats possibles (ω) d’une experience aleatoire.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
L’espace fondamental - 1
On definit les resultats possibles (ω) d’une experience aleatoire.
Exemple
Experience aleatoire : jeter un de. Les resultats possibles sont alors
ω1 :=“on obtient la face 1”.
ω2 :=“on obtient la face 2”.
ω3 :=“on obtient la face 3”.
ω4 :=“on obtient la face 4”.
ω5 :=“on obtient la face 5”.
ω6 :=“on obtient la face 6”.
Julian Tugaut Probabilites
L’espace fondamental - 2
Definition
L’ensemble de tous les resultats possibles d’une experiencealeatoire est appele l’espace fondamental. On parle aussi d’univers.On le note Ω.
L’espace fondamental - 2
Definition
L’ensemble de tous les resultats possibles d’une experiencealeatoire est appele l’espace fondamental. On parle aussi d’univers.On le note Ω.
La definition des resultats possibles (et donc de l’univers) n’est pasnecessairement unique. On pourrait considerer Ω2 := p, i ou p
est le resultat“la face obtenue est paire”et i est le resultat“la faceobtenue est impaire”.
L’espace fondamental - 2
Definition
L’ensemble de tous les resultats possibles d’une experiencealeatoire est appele l’espace fondamental. On parle aussi d’univers.On le note Ω.
La definition des resultats possibles (et donc de l’univers) n’est pasnecessairement unique. On pourrait considerer Ω2 := p, i ou p
est le resultat“la face obtenue est paire”et i est le resultat“la faceobtenue est impaire”.
L’enjeu du choix de l’univers repond donc a deux contraintes. Ilfaut que l’univers soit suffisamment riche pour repondre auxquestions que l’on se pose. Mais il faut egalement qu’il soitsuffisamment simple pour que l’on puisse travailler dessus.
L’espace fondamental - 2
Definition
L’ensemble de tous les resultats possibles d’une experiencealeatoire est appele l’espace fondamental. On parle aussi d’univers.On le note Ω.
La definition des resultats possibles (et donc de l’univers) n’est pasnecessairement unique. On pourrait considerer Ω2 := p, i ou p
est le resultat“la face obtenue est paire”et i est le resultat“la faceobtenue est impaire”.
L’enjeu du choix de l’univers repond donc a deux contraintes. Ilfaut que l’univers soit suffisamment riche pour repondre auxquestions que l’on se pose. Mais il faut egalement qu’il soitsuffisamment simple pour que l’on puisse travailler dessus.
L’espace fondamental associe a une experience aleatoire peut etrefini, infini denombrable ou infini non denombrable.
Les evenements - 1
Definition
On appelle evenement associe a une experience aleatoire touteproposition logique relative au resultat de cette experience.
Les evenements - 1
Definition
On appelle evenement associe a une experience aleatoire touteproposition logique relative au resultat de cette experience.
Exemple
Si l’experience aleatoire est le lancer de de, un evenement peut etreA :=“obtenir une face paire”.Si l’experience aleatoire est la quantite d’octets echanges dans unsysteme de pair a pair durant un intervalle de temps de duree fixee,un evenement peut etre A :=“Plus de mille octets ont eteechanges”.
Les evenements - 1
Definition
On appelle evenement associe a une experience aleatoire touteproposition logique relative au resultat de cette experience.
Exemple
Si l’experience aleatoire est le lancer de de, un evenement peut etreA :=“obtenir une face paire”.Si l’experience aleatoire est la quantite d’octets echanges dans unsysteme de pair a pair durant un intervalle de temps de duree fixee,un evenement peut etre A :=“Plus de mille octets ont eteechanges”.
Contre-exemple
Si l’experience aleatoire est le lancer de de, B :=“il va pleuvoirdemain”n’est pas un evenement.
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Les evenements - 2
On represente un evenement par l’ensemble des resultats possiblesqui verifient la proposition qui le definit : c’est un sous-ensemble del’ensemble fondamental Ω. A partir de maintenant, on confondl’evenement et le sous-ensemble qui le represente.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Les evenements - 2
On represente un evenement par l’ensemble des resultats possiblesqui verifient la proposition qui le definit : c’est un sous-ensemble del’ensemble fondamental Ω. A partir de maintenant, on confondl’evenement et le sous-ensemble qui le represente.
Exemple
Si l’experience aleatoire est le lancer de de, on pose A :=“onobtient une face paire”. L’espace fondamental estΩ := ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 et l’on ecrit A = ω2, ω4, ω6.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Les evenements - 3
Definition : Evenement elementaire
On dit qu’un evenement A est elementaire si un seul resultat verifiela proposition logique qui definit A : A = ωA.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Les evenements - 3
Definition : Evenement elementaire
On dit qu’un evenement A est elementaire si un seul resultat verifiela proposition logique qui definit A : A = ωA.
Definition : Evenement certain
On dit qu’un evenement A est certain si tous les resultats verifientla proposition logique qui definit A : A = Ω.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Les evenements - 3
Definition : Evenement elementaire
On dit qu’un evenement A est elementaire si un seul resultat verifiela proposition logique qui definit A : A = ωA.
Definition : Evenement certain
On dit qu’un evenement A est certain si tous les resultats verifientla proposition logique qui definit A : A = Ω.
Definition : Evenement impossible
On dit qu’un evenement A est impossible si aucun resultat possiblene verifie la proposition logique qui definit A : A = ∅.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Implication - 1
Definition
Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire. On dit que A implique B lorsqu’a chaque fois que A estrealise, B l’est egalement.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Implication - 1
Definition
Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire. On dit que A implique B lorsqu’a chaque fois que A estrealise, B l’est egalement.
Notation
Si A implique B, on note A ⇒ B.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Implication - 2
Exemple
On jette un de. On pose A :=“on obtient une face plus grande quetrois”. On pose B :=“on obtient une face plus grande que deux”.Alors A implique B : A ⇒ B.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Implication - 2
Exemple
On jette un de. On pose A :=“on obtient une face plus grande quetrois”. On pose B :=“on obtient une face plus grande que deux”.Alors A implique B : A ⇒ B.
Remarque : Traduction ensembliste
A chaque fois que A est realise, B l’est egalement. En d’autrestermes, pour tout ω ∈ A, on a ω ∈ B. Ceci signifie A ⊂ B. On adonc
(A ⇒ B) ⇐⇒ (A ⊂ B) .
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Operations sur les evenements
Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.
Definition : Conjonction d’evenements
On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A etB sont tous les deux realises. Traduction ensembliste : E = A ∩ B.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Operations sur les evenements
Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.
Definition : Conjonction d’evenements
On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A etB sont tous les deux realises. Traduction ensembliste : E = A ∩ B.
Definition : Disjonction d’evenements
On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A ou(non exclusif) B est (sont) realise(s). Traduction ensembliste :E = A ∪ B.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Operations sur les evenements
Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.
Definition : Conjonction d’evenements
On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A etB sont tous les deux realises. Traduction ensembliste : E = A ∩ B.
Definition : Disjonction d’evenements
On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A ou(non exclusif) B est (sont) realise(s). Traduction ensembliste :E = A ∪ B.
Definition : Contraire d’un evenement
On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si An’est pas realise. Traduction ensembliste : E = Ac = A.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Evenements incompatibles
Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Evenements incompatibles
Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.
Definition
Si les deux evenements A et B ne peuvent pas etre realisessimultanement, on dit qu’ils sont incompatibles. Traductionensembliste : A ∩ B = ∅. On dit que A et B sont disjoints.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionsOperation sur les ensembles
Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite
Modelisation d’une experience aleatoire
L’espace fondamentalLes evenements
Evenements incompatibles
Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.
Definition
Si les deux evenements A et B ne peuvent pas etre realisessimultanement, on dit qu’ils sont incompatibles. Traductionensembliste : A ∩ B = ∅. On dit que A et B sont disjoints.
ATTENTION
Il est essentiel de differencier la notion d’evenements disjoints de lanotion d’independance d’evenements. Nous insistons donc pourque l’etudiant soit precautionneux a ce sujet.
Julian Tugaut Probabilites
Systeme complet d’evenements - 1
Definition
Soient A1, · · · ,An des evenements associes a une meme experiencealeatoire. On dit qu’ils forment un systeme complet si les deuxhypotheses suivantes sont satisfaites :
Les evenements sont deux a deux incompatibles.
A chaque repetition de l’experience aleatoire, l’un des nevenements est realise.
Systeme complet d’evenements - 1
Definition
Soient A1, · · · ,An des evenements associes a une meme experiencealeatoire. On dit qu’ils forment un systeme complet si les deuxhypotheses suivantes sont satisfaites :
Les evenements sont deux a deux incompatibles.
A chaque repetition de l’experience aleatoire, l’un des nevenements est realise.
Remarque : Traduction ensembliste
(A1, · · · ,An) est un systeme complet d’evenements de l’experiencealeatoire si et seulement si (A1, · · · ,An) est une partition del’espace fondamental Ω.
Systeme complet d’evenements - 2
Exemple : Cas particulier
Soit A un evenement quelconque d’une experience aleatoire. Alors,(A,Ac) est un systeme complet d’evenements.
Systeme complet d’evenements - 2
Exemple : Cas particulier
Soit A un evenement quelconque d’une experience aleatoire. Alors,(A,Ac) est un systeme complet d’evenements.
Exemple
L’experience aleatoire que l’on considere est la suivante : on tire auhasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On se donne lesevenements
A1 :=“On obtient un carreau”.
A2 :=“On obtient un cœur”.
A3 :=“On obtient un pique”.
A4 :=“On obtient un trefle”.
Alors, (A1,A2,A3,A4) est un systeme complet d’evenements.