Probabilidades y Estadística 04

7/31/2019 Probabilidades y Estadstica 04

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Probabilidades y Estadstica (Computacin)

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos AiresAna M. Bianco y Elena J. Martnez 2004

37

Variables aleatorias discretas

Distribucin Binomial:

Muchos experimentos aleatorios satisfacen las siguientes condiciones:

El experimento consiste de n pruebas, siendo n fijo. Las pruebas son idnticas y en cada prueba hay slo dos resultados posibles, que

denominaremos xito (E) y Fracaso (F). Una prueba de este tipo se denomina ensayode Bernoulli.

Las pruebas son independientes, es decir que el resultado de una prueba no influyesobre el de las otras.

La probabilidad de xito (P(E)=p) se mantiene constante en todas las pruebas.

Definicin: Un experimento que satisface estos cuatro requerimientos se denominaexperimento Binomial.

Ejemplos: 1) Se arroja una moneda n veces y se llama xito al suceso sale cara.

2) Se arroja un dado equilibrado n veces y se llama xito al suceso se obtiene un as.

3) Se arroja n veces un dardo a un blanco circular de radio R, el cul contiene en el centroun crculo de radio R/4 y se denomina xito al suceso el dardo impacta en el crculocentral.

4) Se extraen 4 bolillas con reposicin de una urna que contiene 5 bolillas blancas y 3negras y se denomina xito al suceso las 4 bolillas son blancas.

5) Es el que sigue un experimento Binomial? Se extraen 2 bolillas sin reposicin de unaurna que contiene 5 bolillas blancas y 3 negras y se denomina xito al suceso la bolillaextrada es blanca.

NO, no lo es ya que si denominamos Bial suceso la i-sima bolilla extrada es blanca,

8

5)(

7

4)|( 212 == BPBBP

y, por lo tanto no se verifica la tercera condicin. En realidad tampoco se verifica lasegunda ya que las pruebas no son idnticas (la composicin de la urna vara).Observemos que, sin embargo la cuarta condicin se satisface.

Variable aleatoria binomial: Consideremos un experimento binomial que consiste de nrepeticiones y en el cual P(E) = p. Denominaremos v.a. binomial a la variable

X: nmero de xitos en las n repeticiones.

Notacin:X~ Bi (n,p).


2/16



38

Calculemos su funcin de probabilidad puntual. Para ello, observemos en primer lugarque RX = {0,1,2,...,n}.

Sea k RX, una secuencia posible con k xitos y n-k fracasos es:

321321knk

FFEE......

y su probabilidad, dada la independencia de las repeticiones, es knk pp )1( . Pero, hay

k

nsecuencias posibles conteniendo k xitos, entonces

},...,1,0{)1()()( nkppk

nkpkXP knkX

===

Verifiquemos que = =n

k

X kp0

.1)( En efecto,

( ) = =

==+=

=

n

k

n

k

nnknk

X ppppk

nkp

0 0

.11)1()1()(

Hemos usado la frmula del Binomio de Newton: =

=+

n

k

knkn bak

nba

0

.)(

Funcin de distribucin: SiX~ Bi (n,p),

[ ]

>

1,

=

=

=

==

=

=

n

k

knkn

k

knkn

k

knk ppkppk

nkpp

k

nkXE

110

)1(k)!-(nk!

n!)1()1()(

= =

=

=

n

k

n

k

knkknk ppknk

nnppp

knk

n

1 1

1 )1()!()!1(

)!1()1(

)!()!1(

!

( ) ( )

( )

=

==

=+=

=

1

0

11

1)1(

111

.)1()1(

1

)1(1

1 n

j

njnjn

kjk

knk

npppnpppj

n

npppk

n

np

Recordemos que ( ) ( ) ( ) .)()( 22222 pnXEXEXEXV ==

( ) knkn

k

knkn

k

ppk

nkkkpp

k

nkXE

=

=

+=

= )1()1()1()(

00

22

)()1()1()1()1()1( 200 XEppk

n

kkppk

n

kppk

n

kk

knkn

k

knkn

k

knkn

k

+

=

+

=

=

=

=

npppknk

nnppp

knk

nkk knk

n

k

knkn

k

+

=+

=

=

= )1(

)!()!2(

!)1(

)!(!

!)1(

22

npppknk

npnn knk

n

k

+

=

= )1(

)!()!2(

)!2()1( 2

2

2

( )

=

=++=+

=

2

0

2222

)2()1()1()1(

2)1(

n

j

njnj

jknppppnnnppp

j

npnn

nppnn += 2)1(


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40

En realidad, para que la demostracin anterior sea vlida debe ser n 2, pero es

inmediato verificar que, si n=2, ppXE 22)( 22 += y por lo tanto la expresin hallada esvlida para todo n.Finalmente,

( ) )1()1()()()( 222222 pnpnpnppnnppnnXEXEXV =+=+==

En el siguiente grfico se muestra la funcin de probabilidad puntual correspondiente a ladistribucin Binomial para distintos valores de p y n=10. Puede observarse cmo ladistribucin se simetriza a medida que p tiende a 0.5.Cmo seran los grficos para valores de p>0.5?

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

1

0.

2

0.

3

0.

4

p=0.10

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

1

0.

2

0.

3 p=0.15

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

10

0.2

0

0.

30

p=0.20

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

10

0.

20

p=0.25

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

10

0

.20

p=0.30

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

10

0.

20

p=0.35

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

10

0

.20

p=0.40

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

10

0.

20

p=0.45

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

10

0

.20

p=0.50

Distribucion Binomial n=10


5/16



41

En el siguiente grfico se muestra la funcin de probabilidad puntual correspondiente a ladistribucin Binomial para distintos valores de p y n.

x

p(x)

0 1 2 3 4 50.

0

0.

2

0.

4

0.

6 p=0.10 n=5

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

1

0.

2

0.

3

0.

4 p=0.10 n=10

x

p(x)

0 5 10 15 20 250.

0

0.

10

0.

20

p=0.10 n=25

x

p(x)

0 1 2 3 4 5

0.

05

0.

15

0.

25

p=0.50 n=5

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

10

0.

20

p=0.50 n=10

x

p(x)

0 5 10 15 20 250.

0

0.

05

0.

10

0.

15

p=0.50 n=25

x

p(x)

0 1 2 3 4 50.

0

0.

2

0.

4

0

.6

p=0.90 n=5

x

p(x)

0 2 4 6 8 100.

0

0.

1

0.

2

0.

3

0

.4

p=0.90 n=10

x

p(x)

0 5 10 15 20 250.

0

0.

10

0.

20


6/16



42

Variable aleatoria Geomtrica: Supongamos que se repite en forma independiente unensayo de Bernoulli conprobabilidad de xito (P(E)=p) constante en todas las pruebas.Se define la v.a.

X: nmero de repeticiones hasta obtener el primer xito.

Notacin:X~ G (p).

Al estudiar en general las v.a. discretas, hemos probado que la funcin de probabilidadpuntual de X est dada por

.)1()( 1 Nkppkp kX =

y su funcin de distribucin acumulada por

[ ]

=>+>

Dem: Ejercicio.

(Sugerencia: Demostrar que siX~ G (p), kpkXP )1()( => ).

Ejemplo: SeaX: nmero de tiros hasta obtener el primer as en una sucesin de tiros deun dado equilibrado, entoncesX~ G (1/6).


7/16



43

06.06

5

6

1)7(

6

=

==XP

40.06

5

)5()6(

5

=

=>= XPXP

( )30

6/1

6/5)(6

6/1

1)(

2==== XVXE

En el siguiente grfico se muestra la funcin de probabilidad puntual correspondiente a ladistribucin Geomtrica para distintos valores de p.

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 30

0.

02

0.

06

0.

10

p=0.10

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300.

0

0.

05

0.

10

0.

15

p=0.15

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

05

0.

10

0.

15

0.

20

p=0.20

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

10

0.

20

p=0.25

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

10

0.

20

0.

30

p=0.30

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

1

0.

2

0.

3

p=0.35

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

1

0.

2

0.

3

0.

4

p=0.40

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

1

0.

2

0.

3

0.

4

p=0.45

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

1

0.

2

0.

3

0.

4

0.

5

p=0.50

Geometrica


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44

Variable aleatoria Binomial Negativa: Supongamos que se repite en formaindependiente un ensayo de Bernoulli conprobabilidad de xito (P(E)=p) constante entodas las pruebas. Se define la v.a.

X: nmero de repeticiones hasta obtener el r-simo xito (r1).

Notacin:X~ BN(r,p).

Esta v.a. es una generalizacin de la v.a. Geomtrica, la cual corresponde al caso r= 1.

Observemos que RX= {r, r+1, r+2, ....} y hallemos su funcin de probabilidad puntual.

Sea k un nmero natural, kr. Para que sean necesarias krepeticiones para obtener elprimer xito, el r-simo xito debe ocurrir en la repeticin k y en las (k-1) repeticionesprevias debe haber exactamente (k-1) xitos. Como las repeticiones son independientes

la probabilidad de una configuracin de ese tipo es rkr pp )1( , pero hay varias

configuraciones de esta forma. Cuntas? Tantas como formas de elegir entre las (k-1)primeras repeticiones, aquellas donde ocurrirn los (r-1) xitos, o sea

1

1

r

k.

Por lo tanto la funcin de probabilidad puntual ser:

,....}2,1,{)1(1

1)( ++

== rrrkpp

r

kkXP rkr

Funcin de distribucin: SiX~ BN(r,p),

[ ]

0), y se notaX~ P().

Es decir,X~ P() si su funcin de probabilidad puntual est dada por:

{ }0!

)( ==

NNkk

ekp o

k

X

Verifiquemos que es, en efecto, una funcin de probabilidad puntual:

Es obvio que kkpX 0)( .

Por otra parte

=

=

=

====00 0

,1

!!

)(k

k

k k

k

X ee

k

e

k

ekp

ya que

=0 !k

k

k

xes el desarrollo en serie de xe .


13/16



49

Ejemplo: Sea X: nmero de mensajes rechazados por segundo por un servidor, ysupongamos queX~ P(5).

a) Calcular la probabilidad de que se rechacen exactamente 2 mensajes en un segundo.

084.0!2

5)2(25

===eXP

b) Calcular la probabilidad de que se rechacen a lo sumo 2 mensajes en un segundo.

125.02

551

!

5)2(

2

0

25

5

=

=

++==

k

k

ek

eXP

Proposicin: SiX~ P(), entonces

== )(y)( XVXE

Dem:

( ) ( )

.!!1!1!!

)(01

1

110

==

=

===

=

=

=

=

=

j

j

k

k

k

k

k

k

k

k

j

e

k

e

k

e

k

ek

k

ekXE

Por otra parte,

( )

=

=

=

=

=+=+==2 000

22

!!)1(

!)1(

!)(

k k

kk

k

k

k

k

k

ek

k

ekk

k

ekkk

k

ekXE

( )

.!

)(!22 0

222

2

= =

+=+=+

=k j

jk

j

eXE

k

e

Entonces

( ) .)()()( 2222 =+== XEXEXV


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50

En el siguiente grfico se muestra la funcin de probabilidad puntual correspondiente a ladistribucin de Poisson para distintos valores de . En l puede observarse cmo ladistribucin se simetriza alrededor de a medida que este parmetro crece.

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

2

0.

4

0.

6

0.

8

lambda=0.10

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

2

0.

4

0.

6

lambda =0.5

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

1

0.

2

0.

3

lambda =1

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

10

0.

20

lambda =2

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

10

0.

20

lambda =3

x

p(x)

0 5 10 15 200.

0

0.

05

0.

10

0.

15

lambda =5

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300.

0

0.

04

0.

08

0.1

2

lambda =10

x

p(x)

0 5 10 15 20 25 300.

0

0.

04

0.

08

lambda =15

x

p(x)

0 10 20 30 400.

0

0.

02

0.

06

lambda =20

Distribucion Poisson

Proceso de Poisson: Una aplicacin importante de la distribucin de Poisson surge enrelacin con la ocurrencia de eventos a lo largo del tiempo, por unidad de rea, por unidadde volumen, etc. En lo que sigue nos referiremos, sin prdida de generalidad aocurrencias de un evento a lo largo del tiempo, que podremos esquematizar en la forma:


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51

A partir del instante 0 y hasta el momento t1 ocurrieron 5 eventos.

Imaginemos que dividimos el intervalo (0, t1 ) en un nmero muy grande de pequeossubintervalos, de manera que se satisfacen las siguientes condiciones:

La probabilidad de que ocurra un evento en un subintervalo es proporcional a lalongitud del subintervalo.

La probabilidad de que ocurra ms de un evento en un subintervalo es despreciablecon respecto a la probabilidad de que ocurra uno.

La ocurrencia de un evento en un subintervalo es independiente de lo que ocurre enotro subintervalo disjunto.

En particular, si todos los intervalos son de igual longitud t1/n, la v.a.1t

X : nmero de

eventos que ocurren en el intervalo (0, t1) es casi binomial, siendo xito la ocurrenciade un evento en cada uno de los subintervalos yp = P(xito)=probabilidad de que ocurraun evento. Si el nmero de subintervalos es suficientemente grande y por lo tanto el psuficientemente pequeo, por el resultado lmite que hemos probado, la variable

1tX tiene

distribucin de Poisson.

Ejemplos: 1) Mensajes de correo electrnico que llegan a una casilla de correos.

2) Emisin de partculas por una sustancia radioactiva.

3) Accidentes que ocurren en un cruce de ruta.

4) Nmero de errores en una pgina de un libro.

5) Nmero de larvas de cierto insecto en un terreno.

Ejercicio: Para cada uno de estos ejemplos, discutir en que situaciones se verifican lastres condiciones enunciadas.

Definicin: Supongamos que se observa la ocurrencia de un evento a lo largo del tiempo yque existe una cantidad positiva > 0, tal que

1) La probabilidad de que ocurra exactamente un evento en un intervalo pequeo delongitud t es aproximadamente igual a t , es decir:

P(ocurra un evento en t) = t + o(t)

siendo o(h) una funcin g(h) tal que 0)(

lim0h

= h

hg.


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52

2) La probabilidad de que ocurra ms de un evento en un intervalo pequeo de longitudt es despreciable cuando se la compara con la probabilidad de que ocurra un evento,es decir:

P(ocurra ms de un evento en t) = o(t)

3) El nmero de eventos que ocurren en un intervalo es independiente del nmero deeventos que ocurren en otro intervalo disjunto.

Entonces, el nmero de ocurrencias del evento en un periodo de longitud t tienedistribucin de Poisson de parmetro ( t), es decir que la v.a.Xt: nmero de ocurrenciasdel evento en el intervalo de longitud t satisface

Xt ~ P( t)

Observaciones: 1) Cmo se interpreta la cantidad ?

Puede interpretarse como la tasa media a la cual ocurren los eventos en la unidad de

tiempo. Se la suele llamar tasa media de ocurrencia o intensidad del Proceso de Poisson.

2) Cul es la diferencia entre un Proceso de Poisson y una v.a. con distribucinPoisson?

La definicin anterior, que en realidad es un teorema, da las condiciones bajo las culesciertos experimentos aleatorios que producen como resultados eventos en el tiempo (o enlongitud, rea, volumen, etc) pueden ser modelados mediante la distribucin de Poisson.Consideremos los ejemplos 1) a 5). Slo bajo ciertas condiciones, satisfacen laspropiedades de un Proceso de Poisson.

Ejemplo: Supongamos que el nmero de mensajes de correo electrnico que llegan a una

casilla de correos sigue un proceso de Poisson de intensidad = 2 mensajes / minuto.

a) Cul es la probabilidad de que no se reciba ningn mensaje entre las 12 hs y las12:03 hs?

SeaX3: nmero de mensajes en un periodo de 3 minutos, X3 ~ P(2 3) = P(6).

Entonces, P(X3 =0) = e-6 = 0.002

b) Cul es el nmero esperado de mensajes en media hora?

SeaX30: nmero de mensajes en un periodo de 30 minutos

X30~ P(2 30) = P(60) E(X30) = 60

c) Cul es la probabilidad de que no se reciba ningn mensaje entre las 13:30 hs y las13:33 hs?

La respuesta es la misma del tem a) porque la distribucin depende slo de la longituddel intervalo y no de su ubicacin.

Probabilidades y Estadística 04

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