Probabilidades

Unidad 2: Probabilidades

1 Felipe Eduardo Olea Chandia

1) El MOP contempla la construccin de 4 nuevas carreteras, para lo cual llamara a 4

licitaciones. Por las condiciones impuestas solo podrn adjudicrselas, las empresas Alfa y Beta.

Estas empresas, por decisin de sus respectivos directorios, llegaron al acuerdo siguiente: si una

de ellas se adjudican dos de las carreteras en forma consecutiva, la otra no seguir participando.

Por antecedentes que se manejan, Alfa tiene una probabilidad constante de ganar en cualquiera

de estas licitaciones de 0,6 y Beta 0,4. Cul es la probabilidad de que Beta no siga

participando?

Definimos variables sea:

A= La empresa no sigue participando.

Ai= La empresa gana la licitacin i, i=1,2,3,4.

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Respuesta: Hay una probabilidad de 50,4% de que la empresa no sigue participando.

2) Una fbrica realiza un control automtico de la calidad de un producto determinado antes

de introducirlo en el mercado. Este control clasifica al producto como correcto (C) o incorrecto

(I). Por otra parte el producto puede ser defectuoso o no defectuoso. De los datos anteriores se

sabe que un producto defectuoso es clasificado como incorrecto el 88% de las veces y que un

producto no defectuoso es clasificado como correcto el 90% de las veces. Adems, se sabe que el

8% de los productos son defectuosos.

2.1) Si los productos clasificados como correctos salen al mercado para su venta Cul es

la probabilidad de adquirir en el mercado, un producto defectuoso? Defina sucesos y sus

probabilidades.

Definimos variables:

C= El producto se clasifica como correcto. D= El producto es defectuoso.

( )

( )

( )



( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Respuesta: La probabilidad de escoger un producto defectuoso dado que se clasifico como

correcto es 0,01146.

2.2) Se desea cambiar el proceso de control de calidad por un sistema no automtico: Los

productos se agrupan en lotes de tamao 16, se eligen al azar sin reposicin dos productos

para su inspeccin. Si al menos uno es defectuoso se rechaza el lote completo, si ninguno es

defectuoso se acepta el lote y los productos se envan al mercado. Se somete a control un

lote con 16 productos que tienen exactamente uno defectuoso. Cual es la probabilidad de

que el lote sea rechazado?

( ) (

)

( ) (

) (

)

( )

Respuesta: La probabilidad de rechazar el lote es de 0,125.

3) Una pieza producida en una empresa puede tener dos tipos de defectos. El 8% de la

produccin presenta el defecto tipo A, el 5% de la produccin presenta el defecto de tipo B, se

supone que no hay piezas que tengan los dos tipos de defectos y que el resto de las piezas no

tienen defecto. Despus de ser producida cada pieza es sometida de manera automtica a un

test de ruptura, con las siguientes posibilidades: Si la pieza tiene el defecto de tipo A, tiene una

probabilidad de 0,9 de romperse. Si la pieza tiene el defecto de tipo B, tiene una probabilidad de

0,95 de romperse. Finalmente si la pieza no tiene ningn tipo de defecto, tiene una probabilidad

de 0,01 de romperse.

3.1) Cul es la probabilidad de que una pieza escogida al azar, de la produccin, se rompa

cuando es sometida al test?

Se definen variables:

A= La pieza presenta defecto tipo A.

B= La pieza presenta defecto tipo B.

N= La pieza no presenta defecto.

R= La pieza se rompe durante el test



P(A) = 0,08

P(R/A)= 0,9

P(B)= 0,05

P(N)= 0,87

P(R/B)=0,95

P(R/N)=0,01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Respuesta: La probabilidad de que la pieza escogida al azar es la produccin se vaya a romper

durante el test es de 0,1282.

3.2) Se eligen al azar y en forma independiente 3 piezas de la produccin:

3.2.1) Si las piezas elegidas resultan no rotas en la aplicacin del test, Cul es la

probabilidad de que solo una presente defecto tipo A?

= la Pieza elegida i no rota durante el test, presenta defecto tipo A. i=1,2,3.

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Esta representa la probabilidad de la pieza que tiene un defecto tipo A no sea rota. Por lo que

ahora se calcula la probabilidad en que una sola muestra de tres que presentan un defecto tipo A.

( ) (

)

( ) ( )

( )

Respuesta: La probabilidad de que en una muestra de 3 piezas, solo una pieza no sea rota y

que tenga un defecto tipo A es de 0,0271.



3.2.2) Se define la variable aleatoria discreta: X= N de piezas que se rompen en la

aplicacin del test, entre las tres piezas elegidas. Determine distribucin de probabilidad

de X y el nmero esperado de piezas que se rompen en la aplicacin del test.

Se tiene que la probabilidad de que se rompa durante el test una pieza es, ( ) . Se

calcula la probabilidad de que no se rompa ninguna pieza.

( ) ( ( ))

( ) ( )

( )

Se calcula la probabilidad de que se rompa solo una pieza:

( ) ( ) ( ( ))

( ) ( )

( )

Se calcula la probabilidad de que se rompan solo dos piezas:

( ) ( ) ( ( ))

( ) ( )

( )

Se calcula la probabilidad de que se rompan tres piezas:

( ) ( ) ( ( ))

( )

( )

Resumiendo:

X 0 1 2 3

P(X) 0,6626 0,2923 0,043 0,0021



Luego se calcula la esperanza:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Respuesta: La esperanza para el nmero de piezas que se rompen es 0,3846.

4) Los informes de la inspeccin final de defectos de cierto artculo, que salen de una lnea de

armado, indican que existen tres defectos principales: Manchado (M), Rayado (R) y astillado (A).

La probabilidad de que un artculo salga manchado es 0,58; rayado 0,335; manchado y astillado

0,105; astillado y rayado 0,095. De los productos con defecto manchado, un 25% estn rayados.

Un 15% de los artculos solo presentan defecto de astillado. La probabilidad de que un artculo

salga con los tres defectos principales es 0,007 Qu porcentaje de artculos salen con al menos

un defecto principal? Utilice propiedades.

Se definen variables, sea:

M= El articulo elegido esta manchado.

A= El articulo elegido esta astillado.

R= El articulo elegido esta rayado.

Las probabilidades segn el enunciado son:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Nos piden calcular la probabilidad de que un artculo salga manchado o astillado o rayado, se

utiliza propiedades:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



Se debe obtener las probabilidades incgnitas se calcula la probabilidad de que ocurra solo el

defecto A.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Se debe calcular ( ) en base a propiedades:

( ) ( )

( )

( )

Ahora se calcula la probabilidad pedida:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Respuesta: La probabilidad de que se encuentre con al menos con un defecto principal es 0,92.

5) Al fabricar un producto, una empresa prueba uno de entre tres tipos de procedimiento, el

utilizado depende bsicamente de las exigencias del mercado. El 20% de los productos se realiza

con el procedimiento A, el 40% con el procedimiento B, y el resto con el procedimiento C. El 2%

de las piezas con el procedimiento A presentan defectos, mientras que este porcentaje es de 3%

y del 4% si las piezas son producidas por los procedimientos B y C respectivamente. De la

produccin total, se decide seleccionar al azar y en forma independiente piezas hasta encontrar

una defectuosa. Cul es la probabilidad que la cuarta pieza seleccionada sea la defectuosa?

Se definen variables:

A= La pieza es producida por A

B= La pieza es producida por B

C= La pieza es producida por C

D= La pieza elegida es defectuosa

( )

( )

( )

( )

( )

( )



Se Debe encontrar la probabilidad de encontrar una pieza defectuosa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

La pieza i elegida independientemente es defectuosa, i=1,2,3,4.

(

) ( )

(

)

Respuesta: La probabilidad de que la cuarta pieza sea la defectuosa es 0,02903.

6) El ingeniero a cargo de una planta productora de circuitos integrados, preocupados por la

rentabilidad de la planta y de dar buena atencin a sus clientes, ha logrado modelar

probabilsticamente el nmero de empleados que faltan semanalmente a la empresa por

diversos motivos (X), mediante la siguiente funcin:

X 0 1 2 3

P(X=x) 0.4 0.3 0.2 0.1

El ingeniero tambin ha observado que la probabilidad de que la empresa pueda cumplir con

los requerimientos de sus clientes es 0.98, cuando no faltan empleados, 0.8 cuando falta 1

empleado, 0.5 cuando faltan 2 empleados y 0.35 cuando faltan 3 empleados.

En las semanas en que se cumple con los requerimientos de los clientes, cual es la

probabilidad de que en esas semanas falten dos o ms empleados?

Se definen sucesos:

Segn los datos que nos entregan:

( )

( )

( )

( )

Se nos pide calcular que ( ), por lo que necesitamos saber el valor de probabilidad de R,

dado que



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Finalmente se calcula lo que nos estn pidiendo:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Respuesta: En las semanas en que se cumple con los requerimientos de los clientes, la

probabilidad de que en esas semanas faltan dos o ms empleados es de 0,176.

7) Una compaa de seguros ofrece tres planes (T, V, y S) clasifica a sus asegurados segn tres

categoras de riesgo (Bajo, Medio y Alto).

En la tabla siguiente se presenta informacin referente a una muestra aleatoria de 135

asegurados de esta compaa clasificados segn prima mensual, tipo de plan y riesgo:

Riesgo (R ) Tipo de plan (x)

Prima mensual (U.F) (Y)

2-12 12 - 22 22 - 32 32 - 42

Bajo

T 15 4 1 0

V 12 5 3 1

S 5 2 3 4

Medio

T 2 7 3 1

V 4 6 4 2

S 5 7 7 5

Alto

T 0 1 2 8

V 0 1 1 2

S 2 0 5 5

7.1) Se selecciona aleatoriamente a uno de estos asegurados y se observa que tomo el plan

T. Qu es ms probable que la compaa lo tenga clasificado en Bajo riesgo o en Alto

riesgo? Justifique.



Se nos pide determinar si

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Respuesta: Es ms probable que la compaa lo tenga clasificado de bajo riesgo.

8) Un sistema electrnico avisa peligro cuando al menos dos de sus tres componentes (A, B,

C) fallan. Suponga que la probabilidad de que falle A es 0.2, que falle B es 0.15 y que falle C es

0.2. Asuma adems que la falla de C es independiente de las otras dos, mientras que la

probabilidad de que falle B sabiendo que ha fallado A es 0.5

8.1) Calcule la probabilidad de que el sistema avise peligro.

( )

( )

( )

( )

Se nos pide calcular P(S), la que est dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Empezamos calculando por partes para cada una de las probabilidades:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )



Al ser C independiente de A y B se puede decir que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )

Finalmente:

( )

Respuesta: La probabilidad de que el sistema avise peligro es de 0,13.

8.2) Calcule la probabilidad de que el sistema avise peligro debido a la falla de slo dos de sus

componentes

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Respuesta: La probabilidad de que el sistema avise peligro, dada la falla de dos de sus componentes,

es de 0,11.

9) En un estudio realizado, por una compaa de seguros, sobre las causas mecnicas que

provocan accidentes de trnsito encontr que las ms frecuentes son por frenos, direccin y

neumticos. El estudio mostro que el 48% de los accidentes se deben a causa de los frenos, el 30% a

causa de los neumticos, el 10% a causa de la direccin, el 9% a frenos y neumticos, el 4% a

neumticos y direccin. El 51% a frenos o direccin. La probabilidad que en un accidente estn

presente todas las causas mencionadas es de 0,01.

Adems se detect que de todos los automviles involucrados en accidentes un 25% no tena

contratado un seguro y que de ellos un 10% tuvo un accidente grave, en cambio entre los que tenan

seguro contratado un 18% tuvo un accidente grave.

9.1) Se elige al Azar un automvil de los involucrados en accidente. Cul es la probabilidad que

ninguna de las causas mencionadas haya provocado el accidente?




F= El accidente fue a causa de los frenos.

D= El accidente fue a causa de la direccin.

N= El accidente fue a causa de los neumticos

De acuerdo al enunciado se extraen las siguientes probabilidades:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Se nos pide calcular:

( ) ( )

( )

( )

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Nos falta calcular ( ), por propiedades:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Finalmente:

( ) [

( )

Respuesta: la probabilidad que ninguna de las causas mencionadas haya provocado el accidente es de

0,31.



9.2) Determine la probabilidad que un automvil de los involucrados en accidentes, elegido al azar,

tenga un accidente grave.


A= El accidente fue grave.

S= El auto est asegurado.

De acuerdo al enunciado se extraen las siguientes probabilidades:

( )

( )

( )

Se nos pide calcular:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Respuesta: la probabilidad que un automvil de los involucrados en accidentes, elegido al azar,

tenga un accidente grave es de 0,16.

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