Livro: Probabilidade - Aplicaes Estatstica Paul L. Meyer

Capitulo 3 Probabilidade Condicionada e Independncia.

1. Probabilidade Condicionada.

Definio:

( ) ( | ) ( ) ( )

(

)

Definio. Dizemos que os representam uma partio do espao amostral , quando

a. .

b.

c. ( ) .

( )

( )

2. Teorema de Bayes.

3. Eventos Independentes.

Problemas

1. A urna 1 contm bolas brancas e bolas vermelhas. A urna 2 contm bolas brancas e bolas vermelhas. Uma bola escolhida ao acaso da urna 1, e posta na urna 2. A seguir, uma bola escolhida ao acaso da urna 2. Qual ser a probabilidade de que esta bola seja branca?

A probabilidade de se retirar uma bola branca da urna 2 est diretamente relacionada com a cor da bola que retirada da urna 1.

Se a bola retirada da urna 1 for branca temos, pelo princpio da multiplicao:

( )

Se a bola retirada da urna 1 for vermelha temos:

( )

Como no podemos realizar os dois procedimentos em conjunto (a retirada da bola vermelha e a bola branca), ento pelo princpio da adio, temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2. Duas vlvulas defeituosas se misturam com duas vlvulas perfeitas. As vlvulas so ensaiadas, uma a uma, at que ambas as defeituosas sejam encontradas.

Este o problema 2.21, cuja soluo :

( ) ( )

( )

com

a. Qual a probabilidade de que a ltima vlvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio?

Para este caso temos

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

b. Qual ser a probabilidade de que a ltima vlvula defeituosa seja encontrada no terceiro, ensaio?

Temos

( ) ( ) ( )

( )

c. Qual ser a probabilidade de que a ltima vlvula defeituosa seja encontrada no quarto ensaio?

Temos

( ) ( ) ( )

( )

d. Some os nmeros obtidos em (a), (b) e (c) acima. O resultado surpreendente?

( )

O resultado no surpreende, pois, ( ) ( ) ( ) ( ) e se temos duas defeituosas a ltima obrigatoriamente deve sair no segundo ou terceiro ou quarto ensaio.

3. Uma caixa contm 4 vlvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas vlvulas so extradas juntas. Uma delas ensaiada e se verifica. Ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra vlvula tambm seja perfeita?

Seja { } { }

( | ) ( )

( )

4. No problema anterior, as vlvulas so verificadas extraindo-se uma vlvula ao acaso, ensaiando-a e repetindo-se o procedimento at que todas as 4 vlvulas defeituosas sejam encontradas. Qual ser a probabilidade de que a quarta vlvula defeituosa seja encontrada:

Idem ao exerccio 3.2 com

a. No quinto ensaio?

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

b. No dcimo ensaio?

( ) ( ) ( )

( )

5. Suponha que e sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de ou ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade da ocorrncia de for igual a 0,4, determine a probabilidade da ocorrncia de .

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

6. Vinte peas, 12 das quais so defeituosas e 8 perfeitas, so inspecionadas uma aps a outra. Se essas peas forem extradas ao acaso, qual ser a probabilidade de que:

a. As duas primeiras peas sejam defeituosas?

( )

b. As duas primeiras peas sejam perfeitas?

( )

c. Das duas primeiras peas inspecionadas, uma seja perfeita e a outra defeituosa?

( )

7. Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contm uma moeda de ouro em uma gaxeta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2 contm uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2?

Urna 1 Urna 2 Soma Gaveta 1 Gaveta 2 Total Gaveta 1 Gaveta 2 Total Moeda de ouro 1 0 1 1 1 2 3 Moeda de prata 0 1 1 0 0 0 1 Total 1 1 2 1 1 2 4

( | ) ( )

( )

8. Um saco contm trs moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as duas outras moedas so normais e no viciadas. Uma moeda tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em sequncia. Se sair cara uma vez, qual ser a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras?

Cara Coroa Soma Moeda Normal 1 1 1 2 Moeda Normal 2 1 1 2 Moeda 2 Caras 2 0 2 Soma 4 2 6

( | ) ( )

( ) ( )

9. Em uma fbrica de parafusos, as mquinas e produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produo de cada mquina, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, so parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e se verifica ser defeituoso. Qual ser a probabilidade de que o parafuso venha da mquina ? Da ? Da ?

Mquinas Total Produzido Defeituosos da maquina Defeituosos do total

A 0,25 0,05 0,0125 B 0,35 0,04 0,014 C 0,40 0,02 0,008 Total 1 0,0345

( | ) ( )

( )

( | ) ( )

( )

( | ) ( )

( )

10. Sejam e dois eventos associados a um experimento. Suponha que ( ) , enquanto ( ) . Seja ( ) .

a. Para que valor de e sero mutuamente excludentes?

( ) ( ) ( )

b. Para que valor de e sero independentes?

( ) ( ) ( )

11. Trs componentes , e , de um mecanismo so postos em srie (em linha reta). Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatria. Seja o evento { } e seja o evento }. OS eventos e so independentes? Por qu?

( )

( )

( ) { }

( ) ( )

Os eventos so dependentes, pois ( ) ( ) ( ).

12. Um dado lanado e, independentemente, uma carta extrada de baralho completo (52 cartas). Qual ser a probabilidade de que:

{ } { }

a. O dado mostre um nmero par e a carta seja de um naipe vermelho?

( )

b. O dado mostre um nmero par ou a carta seja de um naipe vermelho?

( ) ( ) ( ) ( )

13. Um nmero binrio constitudo apenas dos dgitos zero e um. (Por exemplo, 1 011, 1 100 etc.) Esses nmeros tm importante papel na utilizao de computadores eletrnicos. Suponha que um nmero binrio seja formado de dgitos. Suponha que a probabilidade de um dgito incorreto aparecer seja e que os erros em diferentes dgitos sejam independentes uns dos outros. Qual ser a probabilidade de formar-se um incorreto?

{ }

{ }

( ) ( )

{ }

( ) ( )

( ) ( )

14. Um dado atirado vezes. Qual a probabilidade de que 6 aparea ao menos uma vez em jogadas?

{ } { }

( ) ( ) (

)

15. Cada uma de duas pessoas joga trs moedas equilibradas. Qual a probabilidade de que elas obtenham o mesmo nmero de caras?

{ }

{ }

{ }

{ }

( )

( )

( )

( )

( )

16. Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem nmeros diferentes, qual a probabilidade de que uma face seja 4?

{ }

{ }

( )

( )

( | ) ( )

( )

17. Sabe-se que na fabricao de um certo artigo, defeitos de um tipo ocorrem com probabilidade 0,1 e defeitos de outro tipo com probabilidade 0,05. Qual ser a probabilidade de que:

( )

( )

Supondo que os defeitos sejam independente um do outro, temos:

( ) ( ) ( )

a. Um artigo no tenha ambos os tipos de defeitos?

O mesmo que ter 0 ou 1 defeitos.

( ) ( )

b. Um artigo seja defeituoso?

O mesmo que ter 1 ou 2 defeitos

( ) ( ) ( ) ( )

c. Um artigo tenha apenas um tipo de defeito, sabido que defeituoso?

{ } ( ) ( ) ( ) ( )

( | ) [ ( )]

( )

( ) ( )

( | ) [( ) ( )]

( ) ( ) ( ) [( ) ( )]

( )

[( ) ( )]

( | )

18. Verifique que o nmero de condies impostas pela Eq. (3.8) dado por .

{ }

(

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

) (

) (

) (

)

19. Demonstre que, se forem eventos independentes, tambm o sero , , .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ( )][ ( )]

( ) ( ) ( )

20. Na Fig. 3.11(a) e (b), suponha que a probabilidade de que cada rel esteja fechado seja p, e que cada rel seja aberto ou fechado independentemente um do outro. Em cada caso, determine a probabilidade de que o corrente passe de L para R.

a)

{ } {( ) ( ) ( ) ( )}

A rea ondulada representa

{ }

( ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( ) ( )]

Temos a informao de que cada rel independe um dos outros, porm cada conjunto que no o universo depende de si mesmo, porm

( )

b)

{ } {( ) ( ) ( ) ( )}

A rea ondulada representa

{ }

( ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( ) ( )]

( )

21. Duas mquinas , sendo operadas independentemente, podem ter alguns desarranjos cada dia. A Tab. 3.2 d a distribuio de probabilidades dos desarranjos para cada mquina. Calcule as seguintes probabilidades:

a. tenham o mesmo nmero de desarranjos.

{ }

{ }

{ }

evidente que os so eventos mutuamente excludentes, assim como pois:

(

) ( )

(

) ( )

( ) [( )

] ( )

( )

b. O nmero total de desarranjos seja menor que 4; menor que 5.

( ) [ ( )

]

{[ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]}

( ) ( )

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( )]

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( )]

( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( )]

c. tenha mais desarranjos que .

( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

d. tenha duas vezes mais desarranjos que .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

e. tenha 4 desarranjos, quando se saiba que j tenha tido 2 desarranjos.

J ocorreram 2 desarranjos ento ainda podem ocorrer mias desarranjos de forma que isso no caracteriza a ocorrncia do evento .

Seja { }

Ainda possvel que ocorra os eventos

( ) ( )

( | ) ( )

( ) [ ( )]

( ) ( )

( )

f. O nmero mnimo de desarranjos das duas mquinas seja 3; seja menor do que 3.

( ) ( ) [ ( )

]

( )| [( ) ( ) ( )] ( )

g. O nmero mximo de desarranjos das mquinas seja 3; seja maior que 3.

( ) [ ( )

]

( )| [( ) ( ) ( )] ( ) ( )

Tab. 3.2

Nmero de desarranjos

0 1 2 3 4 5 6

A 0,1 0,2 0,3 0,2 0,09 0,07 0,04

B 0,3 0,1 0,1 0,1 0,1 0,15 0,15

22. Verifique pelas Eqs. (3.2) que, sendo fixo, ( | ) satisfaz aos vrios postulados da probabilidade. 23. Se cada elemento de um determinante de segunda ordem for zero ou um, qual ser a probabilidade de que o

valor do determinante seja positivo? (Admita que os elementos do determinante sejam escolhidos independentemente, a cada valor se atribuindo a probabilidade 1/2.).

|

|

Poderemos ter determinantes diferentes.

Para que o valor do determinante seja positivo , ou seja, e

|

|, |

|, |

|

24. Verifique que o teorema da multiplicao ( ) ( | ) ( ) estabelecido para dois eventos, pode ser estendido para trs eventos, da seguinte maneira: ( ) ( | ) ( | ) ( )

( ) ( | ) ( )

( ) ( ) ( | ) ( )

( ) ( | ) ( | ) ( )

25. Uma montagem eletrnica formada de dois subsistemas . De procedimentos de ensaio anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas:

( ) ( ) ( )

Calcule as seguintes probabilidades:

( ) ( ) ( )

a. ( | ).

( | ) ( )

( )

b. ( )

( ) ( ) ( )

26. Conclua a anlise do exemplo dado na Seo 3.2, pela deciso de qual dos dois tipos de caixa de bombons, ou , foi apresentada, baseando-se na evidncia dos dois bombons que foram tirados na amostra.

{ }

{ }

( ) ( )

Caso 1: 2 Bombons doces

{ }

{ }

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )

( ) ( )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( )

( | ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( |( | )) ( )

( | ) ( )

27. Sempre que um experimento realizado, a ocorrncia de um particular evento igual a 0,2. O experimento repetido independentemente, at que A ocorra. Calcule a probabilidade de que seja necessrio levar a cabo o experimento at a quarta vez.

( )

28. Suponha que um equipamento possua vlvulas, todas necessrias para seu funcionamento. A fim de localizar uma vlvula com mau funcionamento, faz-se a substituio de cada vlvula, sucessivamente, por uma vlvula nova. Calcule a probabilidade de que seja necessrio trocar N vlvulas, se a probabilidade (constante) de uma vlvula estar desarranjada for .

( ) ( )( )( ) ( )

29. Demonstre: Se ( | ) ( ), ento, ( | ) ( ).

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( | )

30. Uma vlvula a vcuo pode provir de trs fabricantes, com probabilidades , e . As probabilidades de que, durante determinado perodo de tempo, a vlvula funcione bem so, respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4 para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma vlvula escolhida ao acaso funcione bem durante o perodo de tempo especificado.

( )

31. Um sistema eltrico composto de dois comutadores do tipo , um do tipo , e quatro do tipo , ligados como indica a Fig. 3.12. Calcule a probabilidade de que uma pane no circuito no possa ser eliminada com a chave K, se os comutadores A, B e C estiverem abertos (isto , desligados) com probabilidades 0,3; 0,4 e 0,2, respectivamente, e se eles operarem independentemente.

32. A probabilidade de que um sistema fique sobrecarregado 0,4 durante cada etapa de um experimento. Calcule a probabilidade de que o sistema deixe de funcionar em trs tentativas independentes do experimento, se as probabilidades de falhas em 1,2 ou 3 tentativas forem iguais, respectivamente, a 0,2; 0,5 e 0,8.

33. Quatro sinais de rdio so emitidos sucessivamente. Se a recepo de cada um for independente da recepo de outro, e se essas probabilidades forem 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4, respectivamente, calcule a probabilidade de k sinais venham a ser recebidos para k = 0,1,2,3,4.

{ )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

34. A seguinte (de algum modo simplrio) previso de tempo empregada por um amador. O tempo, diariamente, classificado como seco ou mido, e supe-se que a probabilidade de que qualquer dia dado seja igual ao dia anterior seja uma constante ( ) Com base em registros passados, admite-se que 1 de janeiro tenha probabilidade de ser dia "seco". Fazendo ( ), pede-se obter uma expresso para em termos de e . Calcule tambm e interprete o seu resultado [Sugesto: Exprima termos de ].

( ) (

)

35. Trs jornais so publicados em uma cidade e uma recente pesquisa entre os leitores indica o seguinte: 20 por cento leem A; 26 por cento leem B; 14 por cento leem C; 8 por cento leem A e B; 5 por cento leem A e C; 2 por cento leem A, B e C; e 40 por cento leem B e C. Para um adulto escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de que:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a. ele no leia qualquer dos jornais;

( ) ( ) ( )

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

b. ele leia exatamente um dos jornais;

( ) ( ) ( ) ( )

c. ele leia ao menos A e B, se se souber que ele l ao menos um dos jornais publicados.

( ) ( | ) [( ) ( )]

( )

( )

( )

36. Uma moeda equilibrada jogada 2n vezes. a. Obtenha a probabilidade de que ocorrer igual nmero de caras e coroas;

Seja { | }

Ento podemos selecionar lanamentos da moeda para ser cara, nos interessa o conjunto de lanamentos no importa a ordem que escolha, pois, { } { }, estamos tratando pois de uma combinao de elementos tomados a , que a quantidade de eventos em que pode ocorrer caras.

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

b. Mostre que a probabilidade calculada em (a) uma funo decrescente de n.

( ) decrescente se e somente se ( ) ( ), onde

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

|

( ) ( )

( ) ( )

[

( ( ) ( ))]

[

(

)]

[ ]

(

)

37. Cada uma das n urnas: , contm brancas e bolas pretas. Uma bola retirada da e posta na ; em seguida, uma bola retirada da e posta na , e assim por diante. Finalmente, uma bola retirada da . Se a primeira bola transferida for branca, qual ser a probabilidade de que a ltima bola escolhida seja branca? Que acontece, se ? [Sugesto: Faa ( ) e exprima em termos de ].

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )( )

38. A contm brancas e bolas pretas, enquanto a contm e bolas brancas e pretas. Uma bola extrada (de uma das urnas) e em seguida reposta naquela urna. Se a bola extrada for branca, escolha a prxima bola da ; se a bola extrada for preta, escolha a prxima bola da . Continue a operar dessa maneira. Dado que a primeira bola escolhida venha da , calcule ( ) e tambm o limite dessa probabilidade, quando .

( )

( )

39. Uma mquina impressora pode imprimir n letras, digamos . Ela acionada por impulsos eltricos, cada letra sendo produzida por um impulso diferente. Suponha que exista uma probabilidade constante de imprimir a letra correta e tambm suponha independncia. Um dos n impulsos, escolhido ao acaso, foi alimentado na mquina duas vezes e, em ambas, a letra , foi impressa. Calcule a probabilidade de que o impulso escolhido tenha sido para imprimir .