Probabilidade - 7/7/2018

Prof. Walter Tadeu www.professorwaltertadeu.mat.br

Espaço Amostral (): conjunto de todos os

resultados possíveis de um experimento aleatório.

4. Tempo de duração de uma lâmpada.

= {t: t 0}

1. Lançamento de um dado.

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) .

= {A, B, AB, O}

3. Hábito de fumar.

= {Fumante, Não fumante}

Exemplos:

Notação: A, B, C ...

(conjunto vazio): evento impossível

: evento certo

Alguns eventos:

A: sair face par A = {2, 4, 6}

B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}

C: sair face 1 C = {1}

Eventos: subconjuntos do espaço amostral

Exemplo: Lançamento de um dado.

Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A B: interseção dos eventos A e B.

Representa a ocorrência simultânea dos eventos A

e B.

Operações com eventos

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.

A B: união dos eventos A e B.

Representa a ocorrência de pelo menos um dos

eventos, A ou B.

O complementar de A é representado por Ac.

• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos

quando não têm elementos em comum, isto é,

A B =

• A e B são complementares se sua interseção é

vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,

A B = e A B =

•sair uma face par ou face 1 A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}

• sair uma face par e face 1 A C = {2, 4, 6} {1} =

• sair uma face par e maior que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}

• sair uma face par ou maior que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}

Exemplo: Lançamento de um dado

• não sair face par AC = {1, 3, 5}

•A probabilidade P(w) para cada ponto amostral

de tal forma que:

.

1ii21

i

1 )P(w ...}) , w,({w P )( P

e 1 )P(w 0

No caso discreto, todo experimento aleatório

tem seu modelo probabilístico especificado

quando estabelecemos:

•O espaço amostral = {w1,w2, ... }

Ainda no caso discreto,

• Se A é um evento, então

Aw

j

j

)(w P (A) P

Ω de elementos de nº.

Ade elementos de nº. (A) P

• Se } w..., , w,{w Ω N21

e

N

1 )(w P

i (pontos equiprováveis), então

Sejam A e B eventos de . Então,

• Para qualquer evento A de ,

P(A) = 1 - P(Ac).

Regra da adição de probabilidades

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Conseqüências:

• Se A e B forem eventos disjuntos, então

P(A B) = P(A) + P(B).

Probabilidade condicional: Dados dois eventos

A e B, a probabilidade condicional de A dado que

ocorreu B é denotada por P(A | B) e definida por

. 0 P(B) ,P(B)

B)P(A B)|P(A

PROBABILIDADE CONDICIONAL E

INDEPENDÊNCIA

Da definição de probabilidade condicional,

obtemos a regra do produto de probabilidades

B).|P(A P(B) B)P(A

Analogamente, se P(A) >0,

. A)|P(B P(A) B)P(A

0,82.

101.850

48.249 101.850

39.577

39.577 / 48.249 = 0,82. temos P(S | M) =

Exemplo 1. Observando a tabela, qual é a probabilidade

do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do

sexo masculino?

P(M)

M) P(S M) | P(S

definição, Pela

A: 2ª bola sorteada é branca

C: 1ª bola sorteada é branca

P(A) = ???

Para representar todas as possibilidades,

utilizamos, um diagrama conhecido como

diagrama de árvores ou árvore de

probabilidades.

Exemplo 2: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3

vermelhas. Duas bolas são sorteadas

sucessivamente, sem reposição.

53

52 B

V

42

42

V

B

43

41

V

B

1 Total

V V

VB

BV

BB

Probabilidades Resultados

20

2

4

1

5

2

20

6

4

3

5

2

20

6

4

2

5

3

20

6

4

2

5

3

e 5

2

20

6

20

2)A(P

Temos

. 4

1)C|A(P

1 Total

V V

VB

BV

BB

Probabilidade Resultados

25

4

5

2

5

2

25

6

5

3

5

2

25

6

5

2

5

3

25

9

5

3

5

3

Considere agora que as extrações são feitas

com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é

reposta na urna antes da 2a extração. Nesta

situação, temos

53

52 B

V

53

52

V

B

V

B

53

52

ou seja, o resultado na 2a extração independe

do que ocorre na 1a extração.

e 5

2

25

6

25

4P(A) = P(branca na 2ª) =

Neste caso,

P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = )A(P5

2

)A(P5

2P(A | C

c) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =

Independência de eventos: Dois eventos A e

B são independentes se a informação da

ocorrência (ou não) de B não altera a

probabilidade de ocorrência de A, isto é,

P(B). P(A) B)P(A

Temos a seguinte forma equivalente:

P(A), B)|P(A 0. P(B)

Exemplo: A probabilidade de Jonas ser

aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena

é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos

serem aprovados?

A: Jonas é aprovado

B: Madalena é aprovada

P(A B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9

Qual foi a suposição feita?

Distribuição Binomial

A distribuição binomial é adequada para descrever os resultados de uma variável aleatória que podem ser agrupados em apenas duas classes ou categorias.

As categorias devem ser mutuamente

excludentes.

Geralmente, denomina-se as duas categorias como sucesso ou falha.

Exemplo: Se P(sucesso) = 0,6 então

P(falha) = 1-0,6 = 0,4.

1)()( falhaPsucessoP

Seja um processo composto de uma seqüência de n observações independentes com probabilidade de sucesso constante igual a p. A distribuição do número de sucessos seguirá o modelo Binomial:

,x = 0,1,....,n

onde representa o número de combinações de

n objetos tomados x de cada vez, calculado

como:

P x p pxn x n x

( ) ( )

1

xn

)!(!

!

xnx

nnx

Exemplo 1

Exemplo 2