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Probabilidad y
Estadística
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Programa
Probabilidad
●Teoría de conjuntos●Diagramas de Venn●Permutaciones y combinaciones●Variables aleatorias y distribuciones●Propiedades de distribuciones●Funciones generadoras●Algunas distribuciones importantes●Teorema del límite central
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Programa
Estadística
●Muestras y poblaciones●Muestra estadística●Estimadores y distribuciones de muestreo●Estimadores básicos●Método de máxima verosimilitud●Método de mínimos cuadrados●Pruebas de hipótesis
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Tablón●Blackboard (próximamente)●www.bifi.es/~gopar===================================Books: - Mathematical Methods for Physics and Engeneering, K. F. Riley, Mp. Hobson, S. J. Bence, Cambridge (third or higher edition)
-Probability and Statistics, Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish, Addison Wesley (third or higher edition)
===================================Please, periódicos y móviles en las mochilas !
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Probabilidad
●Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilización.
●Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad:
“Quizá llueva mañana”
“Probablemente llegaremos tarde”
“Seguramente tendré notable en Métodos Matemáticos para la Física ...”
¿Pero, qué es la probabilidad ?
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Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...●Probabilidad como frecuencia de sucesos:
aquí la probabilidad se obtiene a través de la frecuencia relativa, si el proceso se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones.
Pero, ¿cuánto es “mucho”?¿Qué significa condiciones similares ?
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Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
●Interpretación clásica de probabilidad:esta interpretación esta basada en la idea de eventos igualmente posibles (probables).
Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos ellos con la misma posibilidad de que ocurran, entonces la probabilidad de cada evento es 1/n
Pero, el concepto de “igualmente probable” está basado en el concepto de probabilidad que queremos definir !¿Qué hacemos cuando los eventos no son igualemente probables?
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Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
●Interpretación subjetiva de laprobabilidad:
esta es la probabilidad que una persona asigna a los posibles eventos de una situación. El juicio para la asignación de probabilidades está basada en creencias o información del individuo.
Obviamente, aquí la probabilidad cambia de persona a persona.
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Teoría de Probabilidades
Aquí veremos/desarrollaremos una teoría de probabilidades sin considerar las controversias respecto a la interpretación de lo que es una probabilidad.
Por supuesto, la teoría que veremos es formalmente correcta y podrá utilizarse para la asignación de valores de probabilidad en problemas reales.
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Conceptos preliminares
Un experimento es cualquier proceso, real o hipotético, cuyo posible resultado puede identificarse de antemano.
Un evento es un conjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.
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Teoría de conjuntosAlgunas definiciones:
Espacio muestral: es la colección de todos los posibles resultados de un experimento.Denotaremos por “S” al espacio muestral.
Un posible resultado “x” de “S” se dice que es un miembro del espacio muestral y se denota como
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Teoría de conjuntos
Cuando un experimento se realiza y se dice que un evento ha ocurrido, significa que el resultado del experimento satisface ciertas condiciones que especifican a ese evento.
Cada evento puede considerarse como un subconjunto del espacio muestral
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Teoría de conjuntos
Ejemplo: Dado de seis caras (once again)
Espacio muestral S
Sea A el evento de obtener un número par:
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Teoría de conjuntos
Sea B el evento de obtener un número mayor que 2
Se dice que un evento A está contenido en otro evento B, si cada resultado que perte-ce al subconjunto que define a A también pertenece al subconjunto que define B:
o bien
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HomeworkUn experimento consiste en escoger al azar un número entero entre 0 y 9 (incluyendo ambos números). Sean A, B y C los eventos definido por
Encontrar los elementos de los siguientes eventos
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Teoría de conjuntos
Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto decir que cada elemento del pertenece a A, es decir,
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Teoría de conjuntos
Un conjunto es contable si hay una correspondencia uno a uno con los números naturales {1,2,3, ...}.
Un conjunto es incontable si no es finito ni contable
Conjuntos finitos e infinitos
El número de elementos de un conjunto puede ser finito o infinitos
Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o incontable
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Teoría de probabilidadesAxioma 1. Para cada A en un espacio muestral S,
Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S
Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes
Para una serie infinita de eventos disjuntos asumimos que
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Teoría de probabilidades
Definición matemática de probabilidad:
Una probabilidad en un espacio muestral S es una especificación de números Pr(A) que satisfacen los axiomas 1, 2 y 3
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Teoría de probabilidadesAlgunos teoremas:
--
- Para cada serie finita de eventos disjuntos
- Para cada evento A
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Teoría de probabilidades
- Para dos eventos A y B
- Si entonces
- Para cada evento A
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Teoría de probabilidadesC: cara, R: cruz.
Número posible de eventos:
1- C C C2- R C C3- C R C4- C C R5- C R R6- R C R7- R R C8- R R R
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Teoría de probabilidades
Ejercicio: calcule la probabilidad de obtener un as o una espada o un número par {2,4,6,8,10}
Solución:Sea A el evento de obtener un asSea B el evento de obtener una espadaSea C el evento de obtener un número par
Se nos pide entonces calcular
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Teoría de probabilidades
Que está dada por
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Métodos de conteo
Para espacios muestrales simples es muy importante saber contar el número de resultados posibles de un evento y el número de resultados posibles del espacio muestral, pues de aquí podemos calcular la probabilidad de un evento dado
- Multiplicación
- Permutación
- Combinación
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Métodos de conteo
Multiplicación
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Métodos de conteo
Permutaciones
Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto.
Entonces nos preguntamos de cuántas formas n objetos pueden arreglarse/acomodarse (?)