Combinatoria y probabilidad. Departamento de Didáctica de la ...
PROBABILIDAD: TEORÍA BÁSICA + COMBINATORIA Joan Calventus S. .
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PROBABILIDAD:
TEORÍA BÁSICA
+ COMBINATORIA
Joan Calventus S.http://estadis.webnode.cl
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• La probabilidad permite cuantificar riesgos y con ello tomar decisiones en circunstancias inciertas.
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
• Utilizaremos la probabilidad para inferir (estadística inferencial) parámetros poblacionales a partir de la observación/medición de estadísticos muestrales.
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
• La teoría de la probabilidad surgió del interés por los juegos de azar.
• Un suceso es el resultado observado (o que pudiera observarse) al realizar un “experimento aleatorio”.
• La probabilidad de que ocurra un suceso A se calcula dividiendo el número de casos favorables a dicho suceso por el número de casos posibles.
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos”
P(4 puntos) =Casos favorables
Casos posibles=
6
1= 0,17
Calcular la probabilidad de obtener 4 puntos:
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos”
P(nº de puntos par) =Casos favorables
Casos posibles=
6
3= 0,5
¿Qué probabilidad existe de obtener un nº de puntos par?
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
0 ≤ P(A) ≤ 1
AXIOMAS:
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”
P(nº mayor de 7) =Casos favorables
Casos posibles=
6
0= 0
Probabilidad igual a cero significa que el suceso es IMPOSIBLE.
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
0 ≤ P(A) ≤ 1
AXIOMAS:
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”
P(nº menor de 7) =Casos favorables
Casos posibles=
6
6= 1
Probabilidad igual a uno significa que el suceso es SEGURO.
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
0 ≤ P(A) ≤ 1
AXIOMAS:
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”
P(nº menor de 3) =Casos favorables
Casos posibles=
6
2= 0,33
Probabilidad cercana a 1 indica mayor posibilidad que ocurra el evento.
Probabilidad cercana a 0 indica menor posibilidad que ocurra el evento.
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
0 ≤ P(A) ≤ 1
AXIOMAS:
P(A) = 1 – P(A)
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”
P(nº menor de 3) = 1 - P(nº no menor de 3)
= 1 -Casos favorables
Casos posibles
P(nº menor de 3) = 1 -4
= 0,66 = 0,331 -6
Probabilidad (complementaria) de que suceda no A
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
0 ≤ P(A) ≤ 1
AXIOMAS:
P(A) = 1 – P(A)
P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS:
P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”
P(nº menor a 3 ó mayor a 5) = P(nº menor a 3) + P(nº mayor a 5)
P(nº menor a 3 ó mayor a 5) =6
2+
6
1= 3/6 = 0,5
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)
OJO:
“ o ” +
En el caso de eventos compatibles:
P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
U = –
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
OJO:“ o ” +
En el caso de eventos compatibles:
P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”
P(nº menor a 3 ó nº par) = P(nº menor a 3) + P(nº par) - P(2)
U = –1 2 2 4 6 1 22 4 6
2
P(nº menor a 3 ó nº par) = 2/6 + 3/6 - 1/6 = 4/6 = 0,66
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OJO:“ o ” +
En el caso de eventos compatibles:
P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
Experimento: “Seleccionar al azar una persona del siguiente grupo:”
Empleo \ Género Muj. Hom.
Sí 4 2
No 1 3
Calcular la probabilidad de que la persona seleccionada sea una mujer o una persona empleada.
P( mujer ó empleada) = 5/10 =+ 6/10 - 4/10 7/10 = 0,70
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
0 ≤ P(A) ≤ 1
AXIOMAS:
P(A) = 1 – P(A)
P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)
P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS:
P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)
Experimento: “Lanzar dos veces un dado y observar resultado”
Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado”
… o lo que es lo mismo…
P(obtener 2 números pares) = P(par) y P(par) = P(par) x P(par)
P(obtener 2 números pares) = 3/6 x 3/6 = 9/36 = 0,25
Interpretar y valorar resultado: una de cada cuatro veces que realicemos el experimento, obtendremos los dos números pares. ¿Qué les parece? Utilidad? Sentido?
“ y ” x
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS:
P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)
“ y ” x
Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado”
¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos un doble 6?
P(obtener doble 6) = P(6) y P(6) = P(6) x P(6)
P(obtener doble 6) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,03
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
OJO:
En el caso de eventos dependientes:
P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)
Probabilidad (condicional) de que suceda B luego de haber ocurrido A
“ y ” x
Un evento (B) es dependiente de otro (A), cuando lo que ocurre con éste influye en la ocurrencia de aquel.
Experimentos SIN REPOSICION comportan la aparición de eventos dependientes…
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
OJO:“ y ” x
En el caso de eventos dependientes:
P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B/A)
Experimento: “De una tómbola con 3 bolas rojas y 7 blancas, extraemos al azar dos de las bolas”
Calcular la probabilidad de que ambas sean rojas.
P (ambas bolas sean rojas) = P (1ª bola sea roja) x P (2ª bola sea roja ; habiendo sido roja la 1ª)
P (ambas bolas sean rojas) = 3/10 X 2/9 = 6/90 = 0,07
Interpretar y valorar por qué la probabilidad es tan baja…
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
P (A y noA) = P (A) x P (noA)
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)
P (A y A y noA y noA y noA) = P(A) x P(A) x P(noA) x P(noA) x P(noA)
P (A y A y noA y noA y noA) = P(A)2 x P(noA)3
P(las primeras dos bolas sean Azules y las siguientes tres sean rojas)=
Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas”
P (A y A y noA y noA y noA) = (2/5)2 x (3/5)3
P (A y A y noA y noA y noA) = 4/25 x 27/125 = 108/3125 = 0,03
Interpretar y valorar el sentido de esta probabilidad tan baja…
NO REQUEREMOS
COMBINATORIA
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
P (A y noA) = P (A) x P (noA)
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)
Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas”
REQUEREM
OS
COM
BINATO
RIA
P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A) x P(noA) x C5,2
P (2 azules y 3 rojas) = (2/5)2 x (3/5)3 x5!
2! x (5-2)!
P (2 azules y 3 rojas) = 0,03 x5 x 4 x 3!
2 x 3! = 0,03 x
5 x 4
2
P (2 azules y 3 rojas) = 0,03 x 10 = 0,3Interpretar y valorar por qué la probabilidad es mayor que la anterior
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)
Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas”
P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A)2 x P(noA)3 x C5,2
C5,2 debe entenderse, en general, como:
Cn,k combinaciones de n elementos, tomados de k en k
n!
k! x (n-k)!Cn,k =
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
“ y ” x Experimento: “De una tómbola con 3 bolas Azules y 5 Rojas, extraemos al azar (con reposición) cuatro bolas”
Calcular la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y las otras azules.
P(primeras dos bolas Azules y las otras dos Rojas)=
P(A y A y R y R)= 3/8 x 3/8 x 5/8 x 5/8 = 225/4096 = 0,05
Calcular la probabilidad de que dos sean rojas y dos azules.
P(dos bolas Azules y dos Rojas)=
3/8 x 5/8 x
= 0,33
P(dos Azules) x P(dos Azules) x C4,2
P(dos bolas Azules y dos Rojas)=2 2 4 x 3 x 2!
2! x 2!
P(dos bolas Azules y dos Rojas)= 0,14 x 0,39 x 6
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)Cn,k combinaciones de n elementos, tomados de k en k
n!
k! x (n-k)!Cn,k =
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
C1,0
C1,1
C2,0
C2,1
C2,2
C3,0
C3,1
C3,2
C3,3
C4,0
C4,1
C4,2
C4,3
Triá
ngul
o de
Pas
cal
. . .C4,4
. . .
C4,2 =
6
UNA ALTERNATIVA PARA ESTE
CÁLCULO LA TENEMOS EN EL
TRIÁNGULO DE PASCAL
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TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)Experimento: “Seleccionar al azar y con reposición a 5 personas del siguiente grupo:”
Empleo \ Género Muj. Hom.
Sí 4 2
No 1 3
Calcular la probabilidad de que exactamente dos de las cinco personas sean mujeres con empleo.
1º: Calculamos la probabilidad de seleccionar al azar del grupo a una mujer con empleo:
P (mujer con empleo) = 4/10 = 0,40
2º: Calculamos la probabilidad de que dos de las cinco presenten la característica anterior:
P (2 de las 5 sean mujeres con empleo) =
0,4 2 x 0,6 3 x C5,2
= 0,16 x 0,216 x 10 = 0,35
![Page 26: PROBABILIDAD: TEORÍA BÁSICA + COMBINATORIA Joan Calventus S. .](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062301/5665b49c1a28abb57c929fee/html5/thumbnails/26.jpg)
PROBABILIDAD:
TEORÍA BÁSICA
+ COMBINATORIA
Joan Calventus S.http://estadis.webnode.cl