Probabilidad Cap 6 DISTRIBUCION NORMAL · 10 Propiedades de la curva de normal estándar 1. Es...

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DISTRIBUCION NORMALProbabilidad – Cap 6


La distribución de probabilidad normal ó distribución normal es

una, sino la más importante de todas las distribuciones de probabilidad.

El histograma de frecuencias relativas de una variable aleatoria

continua que se distribuye normalmente es simétrica y tiene forma

acampanada.

Una distribución de probabilidad como a siguiente se llama una curva

normal.

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La distribución normal


Si el histograma de frecuencias relativas de una

variable aleatoria continua tiene forma de curva

normal entonces

3

1. La distribución de

probabilidad es simétrica

alrededor de su media.

2. Debido a que moda = media

= mediana, existe un solo

pico y el punto más alto se

produce en 𝑥 = 𝜇.3. Tiene puntos de inflexión en

𝑥 = 𝜇 + 𝜎 𝑦 𝑥 = 𝜇 − 𝜎4. El área bajo la curva es igual

a 1.

5. El área bajo la curva a la

derecha de 𝜇 es igual al área

bajo la curva a la izquierda 𝜇

y es igual a 1

2.

Area total debajo de la curva = 1


EJEMPLO Identificar 𝜇 𝑦 𝜎 en los histogramas

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Cada histograma que se presenta es simétrica alrededor

de su media. Identifique 𝜇 𝑦 𝜎 para la variable aleatoria

X.


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Area bajo la curva normal

Supongamos que un variable aleatoria, X, tiene una

distribución normal con media 𝜇 y desviación estándar

𝜎.

El área bajo la curva normal para cualquier intervalo de

valores de la variable aleatoria X representa la

probabilidad de que un individuo seleccionado al azar

de la población tenga la característica que describe el

intervalo de valores.


EJEMPLO Interpretar el área bajo la curva normal

Los pesos de jirafas siguen, aproximadamente, una

distribución normal con μ = 2,200 libras y σ = 200 libras.

(a)Dibuje una curva normal con los parámetros marcados.

Sombree el área bajo la curva normal a la izquierda de x =

2100.

(b)Supongamos que el área bajo la curva normal a la izquierda

de x = 2100 libras es 0.3085. Interprete este resultado.• La probabilidad de que una jirafa

seleccionada al azar pese menos

de 2100 libras es 0.3085.

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• Nota: Este ejemplo lo pudimos

trabajar por que nos dijeron cuanto era

el área.

• De 100 jirafas que se seleccionan al azar de esta población, se esperaque cerca de 31 pesen 2100 libras. libras es 0.3085.


DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Probabilidad – Cap 6

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La distribución normal estándar

Para calcular la probabilidad de variables aleatoriascontinuas como el anterior estandarizamos la variable y usamos tablas.

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Variable aleatoria normal estandarizada

Podemos determinar el área bajo la curva normal primeramente estandarizando la variable. Determinamos el valor Z para cada valor de la variable usando la transformación

Luego usamos la tabla conocida como la tabla para la curva normal para determinar el área bajo la curva.

10

Propiedades de la curva de normal estándar

1. Es simétrica alrededor de su media, 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 1. 2. La moda = media = mediana =0, y el punto más alto

se produce en 𝑥 = 0.3. Tiene puntos de inflexión en 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 14. El área bajo la curva es igual a 1. 5. El área bajo la curva a la derecha de 𝜇 es igual al

área bajo la curva a la izquierda 𝜇 y es igual a 1

2.


Se muestra una tabla para la distribución normal estándarque da el área bajo la curva normal estándar para valores a la izquierda de alguna Z. Esto es, nos da P(Z≤ 𝑧)

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Determinar el área bajo una curva normal

estándar usando tablas.

P(Z ≤ z) = Area

bajo la curva

normal hacia la

izquierda de z


Determinar P(Z ≤ -0.38).

Solución: P(Z ≤ -0.38). área bajo la curva normal

estándar a la izquierda de Z = -0.38.

EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar

Área hacia la izquierda de z = -0.38 es________ P(Z ≤ -0.38) = _______


Determinar P(z ≤ -0.84).

EJEMPLO Determinar probabilidad para una variable estandarizada

Área hacia la izquierda de z = -0.84 es _____. P(Z ≤ -0.84) = _______7-13


Área bajo la curva normal estándar a

la derecha de zo es igual a 1 – Area

to the left of zo

7-14

Area bajo una curva normal estándar

Determinar P(Z > 1.25).

Solución: P(Z > 1.25) es el área bajo la curva normal estándar a la derecha de Z = 1.25

Área a la derecha 1.25 = 1 – área a la izquierda de 1.25= 1 – 0.8944 = 0.1056 P(Z > 1.25) = 0.1056

7-15



Area bajo una curva normal estándar


Práctica

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La tabla normal

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La tabla normal (cont)

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MATERIAL PARA BONO 2DO EXAMEN PARCIAL

Determinar P(-1.02 < Z < 2.94)

Solución: P(-1.02 < Z < 2.94) es el área bajo la curva normal estándar entre z = -1.02 y z = 2.94.

Área entre -1.02 y 2.94

= (Área a la izquierda de z = 2.94) – (área a la izquierda de z = -1.02)

Buscando en la tabla de curva normal estándar tenemos

= 0.9984 – 0.1539

= 0.8445

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P(-1.02 < Z < 2.94) = 0.8445


EJEMPLO Estandarizar una variable aleatoria

Los pesos de jirafas siguen una distribución normal con media, μ = 2,200 libras y desviación estándar, σ = 200 libras. • Determine el área bajo la curva normal estándar para X entre

los valores de Z correspondientes a x=2000 y x = 2300.

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𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎

𝑧 =2000 − 2200

200

𝑧 =−200

200

𝑧 = −1

𝑧 =2300 − 2200

200

𝑧 =100

200

𝑧 =1

2

EJEMPLO (cont.) Estandarizar una variable aleatoria

Si comparamos el área bajo la curva de los pesos entre x=2000 y

x=2300

Con la curva normal estándar entre los valores para Z entre z=-1

y z = ½ Notamos que son iguales.

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P(-1 < z < ½ ) = Área bajo la curva entre -1 y ½

= (Área a la izquierda de z = ½ ) – (área a la izquierda de z = -1)

Buscando en la tabla de curva normal estándar tenemos

= 0.6915 – 0.1587

= 0.5328


Práctica

Determinar el área bajo la curva normal estándar que

está a la derecha de z.

Determinar el área bajo la curva normal estándar que

está entre:


Probabilidad para una variable aleatorianormal estándar

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P(a < Z < b) representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar está entre a y b

P(Z > a) representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es mayor que a.

P(Z < a) representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es menor que a.


Determinar las siguientes probabilidades:

(a) P(Z < -0.23)

(b) P(Z > 1.93)

(c) P(0.65 < Z < 2.10)

EJEMPLO Determinar la probabilidad una variable aleatoria normal estándar.

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= 0.4090

= 0.0268

= 0.2399


NOTA:

Para cualquier variable aleatoria continua, la probabilidad de observar

un valor específico de la variable aleatoria es 0.

Por ejemplo, para una variable aleatoria normal estándar, P (a) = 0,

para cualquier valor de a.

Esto es debido a que no hay área bajo la curva normal estándar en

un sólo valor, por lo que la probabilidad es 0.

Por lo tanto, las siguientes probabilidades son equivalentes:

P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b)

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P(Z=z)

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