PRŮMĚROVÁNÍ SIGNÁLU VIBRACÍ OZUBENÝCH KOL SYNCHRONNÍ S FREKVENCÍ OPAKOVANÉHO ZÁBĚRU SHODNÉHO PÁRU ZUBŮ

Jiří TŮMA, VŠB Technická Univerzita Ostrava1 Anotace:

Referát se zabývá analýzou záběru jednotlivých zubů soukolí ozubených koj s cílem detekovat vady ozubených kol v důsledku výrobních úchylek nebo opotřebením během provozu. Pro diagnostiku převodovek se s oblibou používá výpočet frekvenčního nebo řádového spektra. Dosud nevyužitou možností jsou metody využívající časového průběhu synchronně průměrkovaného signálu vibrací. Frekvenční spektrum umožňuje identifikovat amplitudu složky s frekvenci záběru ozubených kol případně amplitudy příslušných postranních složek, které podávají informaci o modulování složky s frekvencí záběru. Nevýhodou tohoto postupu je nemožnost identifikovat, zda se defekt týká jednotlivých zubů nebo všech. Přehlednější výsledek analýzy popíše dále popsaný postup.

1. Úvod

Frekvence kontaktů zubů v Hz se označuje jako záběrová nebo zubová frekvence (GMF – gear mesh frequency) a vypočítá se jako součin počtu zubů n a frekvence otáček ozubeného kola f0 v Hz.

0fnfGMF = (1)

Frekvenci záběru lze uvádět také v řádech (order), tj. v harmonických základní frekvence otáček. Jestliže tato frekvence budou otáčky ozubeného kola, pak je frekvence záběru tohoto kola dána počtem zubů. Jedno soukolí i s případně vloženými koly má jednu frekvenci záběru. Tato frekvence určuje jen kolikrát za sekundu vstoupí do záběru zuby kol soukolí.

Při výskytu lokálních vad na jednotlivých zubech je zajímavé určit frekvenci kontaktů stejného páru zubů, tj. zubů, které jsou na obou ozubených kolech nějakým způsobem odlišné od jiných zubů, například přítomnosti vady [1]. Tato opakovací frekvence v Hz nebo order (podle jednotek GMFf ) se nazývá v angličtině „hunting ftooth frequency“ a vypočítá se podle vzorce

( ) ( )2121gcd nnnnff GMFHTF = , (2)

1 Prof. Ing. Jiří Tůma, CSc. VŠB – Technická univerzita Ostrava, Fakulta strojní, Katedra ATŘ. Ul. 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba tel.: 59-699-3482, fax: 59-123-4567, e-mail: jiri.tuma@vsb.cz

kde n1 a n2 jsou počty zubů obou ozubených kol v záběru a ( )21gcd nn je největší společný dělitel (greatest common divisor) obou počtů zubů. Pro HTFf lze V češtině doporučit označení opakovací frekvence kontaktů stejného páru zubů.

Z důvodu rovnoměrnosti opotřebení povrchu boků všech zubů ozubeného kola se doporučuje pro počty zubů soukolí volit nesoudělná čísla. V tomto případě je největší společný dělitel ze vzorce (2) roven jednotce. Je však možné, že je nevyhnutelné zvolit počty zubů s největším společným dělitelem větším než jedna, například u rozvodových kol spalovacího motoru, které snižují otáčky pro pohon jeho vačky nebo vstřikovacího čerpadla přesně na polovinu otáček klikového hřídele.

Jestliže pomineme vliv duchových složek (ghost components), které vznikají nepatrným zvlněním povrchu boku zubů vlivem nepřesností při výrobě (hlavně odvalovacím broušením), pak frekvence opakování záběru je nejnižší frekvence periodicity záběru zubů a tedy její perioda je také nejdelší ve srovnání s periodou otočení ozubeného kola o celou otáčku nebo jen o zubovou rozteč. Aby bylo možné tuto periodicitu detekovat, je třeba, aby záznam signálu vibrací byl delší než délka zmíněné nejdelší periody.

HTFHTF fT 1= , (3)

Jestliže je frekvence HTFf v Hz, pak je délka intervalu mezi opakovaným záběrem shodného páru zubů v sekundách. Pro frekvenci HTFf v order je odpovídající délka tohoto intervalu dána počtem otočení ozubeného kola, jehož frekvence otáček v Hz představuje základní frekvenci (1 order).

Pro určení složky spektra vibrací o frekvenci opakovaného záběru stejného páru zubů je vhodné, aby délka záznamu signálu byla mnohonásobně větší než nejdelší perioda a časové záznamy odpovídající této periodě bylo možné synchronně průměrovat. V dále uvedeném příkladu měření to bude například šestinásobek. Při výpočtu spektra musí být také délka záznamu pro výpočet FFT mnohem delší než je perioda opakovaného kontaktu stejného páru zubů.

Referát popisuje postup analýzy a softwarový nástroj, který byl k tomuto účelu vyvinut. Jedná se o program Signal Analyser se skripty.

2. Příprava dat pro analýzu

Měření na točivých strojích je provázeno kolísáním otáček, které je zjistitelné moderními signálovými analyzátory. Kolísání vzorkovací frekvence je vždy o několik řádů menší než kolísání frekvence otáček. Jestliže považujeme za základní periodu dobu otáčky, pak se počet vzorků vždy otoční po otočení liší. Pro synchronní průměrkování je proto třeba zajistit za jednu úplnou otáčku konstantní počet vzorků. K vymezení jednoho otočení lze použít impulsní tachosignál. V nouzi postačí i odpočítání impulsů vzniklých záběrem zubů pokud není zaznamenaný signál ovlivněn dalšími složkami s frekvencí, která není celočíselným násobkem frekvence záběru zubů.

Převzorkování signálu je dostatečně přesné, jestliže jsou zaznamenány aspoň 2 X 2,56 = 5,12 vzorků (analyzátory BK) za periodu složky spektra s největší frekvencí, což je po dvakrát více než pro spektrum s frekvenční osou v Hz [2,4]. Před

interpolací je frekvence vzorkování zvětšena na dvoj nebo čtyřnásobek vložením nul mezi vzorky výchozího záznamu. Signálové analyzátory převzorkovávají signál na takový počet vzorků za zvolený časový interval, který umožňuje použít výpočet FFT pro řádovou analýzu. Nejčastěji je tento počet roven mocnině dvou. Jestliže je zvolený interval roven jedné otáčce ozubeného kola, pak lze získat řádové spektrum s krokem jednoho řádu (order). Přesnost převzorkování se hodnotí odstupem signálu od šumu pro případ, že se převzorkovává známý, například harmonický signál. Odstup 80 dB zajistí omezení rozsahu frekvenčního spektra na polovinu maximálního frekvenčního rozsahu původního signálu.

Pro analýzu záznamů v časové oblasti bez výpočtu spektra pomocí FFT je třeba, aby převzorkovaný záznam obsahoval celočíselný počet vzorků pro úsek odpovídající otočení ozubeného kola o jednu zubovou rozteč. Počet vzorků rovný mocnině dvou za úplnou otáčku není obecně vhodný. Při kvaziustálených otáčkách je třeba zjistit nejmenší počet vzorků na otáčku ozubeného kola. Po převzorkování lze obdržet nejvýše polovinu tohoto počtu při dostatečně malých chybách představujících šum. Tento počet je třeba dále snížit tak, aby pročet vzorků odpovídajících otočení ozubeného kola o jednu zubovou rozteč byl celočíselný. V případě dostatečného počtu vzorků na zubovou rozteč lze snížit například místo dvakrát 2,56krát. Převzorkované záznamy lze snadno synchronně průměrovat (tzv. synchronní filtrace) například podle opakovací frekvence kontaktů stejných zubů nebo podle frekvence otáček ozubeného kola. Synchronní průměrkování znamená výpočet průměru velikostí vzorků, které mají stejné pořadí v záznamech za periodu opakování kontaktů stejných zubů nebo za periodu otáčky ozubeného kola. Pro průměrkování je tedy důležité, aby zmíněné záznamy měly stejný počet vzorků, což se dosáhne převzorkováním.

Nástrojem pro analýzu časových záznamů je například na VŠB – TU Ostrava vyvinutý program Signal Analyser. Jeden z přístrojů tohoto virtuálního analyzátoru obsahuje převzorkování na libovolnou novou vzorkovací frekvenci. Tato nová vzorkovací frekvence je dána počtem vzorků signálu vibrací za jedno otočení ozubeného kola, které je vymezeno impulsy tachosignálu. Výsledný signál je považován za sloupcový vektor, který je složen ze segmentů o stejném počtu vzorků. Segmenty jsou záznamy signálu za jednu otáčku zmíněného ozubeného kola. Synchronní filtraci nebo průměrování se uskutečňuje následujícím algoritmem. Z vektoru s posloupností záznamů lze jediným příkazem vytvořit matici se sloupci, které odpovídají zmíněným převzorkovaným záznamům. Na řádcích této matice jsou vzorky se stejným pořadím v záznamech. Po transpozici matice se tyto řádky stanou sloupci, ze kterých lze vypočítat aritmetický průměr. Například synchronní filtrace převzorkovaného vstupního signálu input1 lze zajistit jednoduchým skriptem programu Signal Analyser. Nejprve je vstupní signál příkazem extract zkrácen a výsledek je označen proměnnou x, pak je vektor x změněn na matici x příkazem set o počtu sloupců num_of_columns, dále je tato matice x transponována příkazem transpose na matici y, aby byl z nové matice y vypočten aritmetický průměr jejich sloupců příkazem mean a výsledek označen také y: x = extract(input1, 0, num_of_columns * num_of_sample_per_revolution); set(x, num_of_columns, 'columns'); y = transpose(x); y = mean(y);

Operace se záznamy a, b a c jsou graficky znázorněny na obr. 1.

Obr. 1 Změna vektoru na matici a její transponování

3. Příklad analýzy signálu vibrací soukolí 27/40 automobilové převodovky Následující příklad se týká několikastupňové převodovky nákladního auta, ve

které jsou pod zatížením tři soukolí ozubených kol. Pozornost bude soustředěna na soukolí spojující vstupní a předlohovou hřídel. Počet zubů ozubeného kola na vstupní hřídeli je 27 (pastorek) a na předlohové hřídeli je 40. Vibrace byly měřeny na jednom ložisku vstupního hřídele v radiálním směru. Na vstupní hřídeli byla značka pro tachosondu, která generovala impulsy pro určení otáček. Počet otáček za minutu kolísal mezi 1491 až 1495 a kroutící moment na vstupním hřídeli byl 900 Nm.

Tachosignál a signál vibrací byl zaznamenán konstantní vzorkovací frekvencí 32768 Hz po dobu 10 sekund. Nejmenší počet vzorků za otáčku byl 1314. Záznam pevnou vzorkovací frekvenci by bylo možné převzorkovat na nejvíce polovinu tohoto počtu vzorků. V tomto příkladu je však zvolen mezní počet 513, který je dán dělením zmíněného nejmenšího počtu vzorků faktorem 2,56. Pro jednu otáčku ozubeného kola s 27 zuby byl však zvolen počet vzorků 486 (= 18 x 27), což odpovídá 18 vzorkům na otočení ozubeného kola o jednu zubovou rozteč. To umožňuje sledovat až 9. harmonickou frekvence záběru, což je dostatečný počet. Délka záznamu, který odpovídá otočení ozubeného kola o 40 zubů, je 720 (= 18 x 40).

Výsledkem převzorkování je 248 záznamů, odpovídajících celé otáčce ozubeného kola s 27 zuby, s celkovou délkou 120528 vzorků a tedy otočení o 6696 zubových roztečí. Do tohoto počtu se vejde jen 167 celých otáček ozubeného kola s 40 zuby a ještě nějaké vzorky zbudou. K nalezení počtu zubových roztečí, do kterého se vejde celistvý počet 27 roztečí jednoho kola a 40 roztečí druhého kola, představuje úlohu nalezení nejmenšího společného násobku čísel 27 a 40, který je roven 1080. Otočení o 1080 zubových roztečí představuje jednu periodu, opakovaných kontaktů stejných zubů. K tomuto výsledku lze dospět také použitím vzorce (2) a (3). Nejvyšší celistvý násobek tohoto počtu 1080 zubových roztečí v počtu 6696 jen roven 6, což odpovídá otočení o 6480 (= 6 x 1080) zubových roztečí nebo 116640 (= 6480 x 18) vzorků. Měření obsahuje tedy 6 period opakování záběru stejných zubů.

Pro synchronní filtraci lze z převzorkovaného signálu použít 116640 vzorků. Synchronní filtrace podle frekvence opakování kontaktů stejných zubů bude počítat průměry ze záznamů o délce 19440 (= 1080 x 18) vzorků a synchronní filtrace podle frekvence otáček obou ozubených kol bude počítat průměry ze záznamu o délce 486 a 720 vzorků.

a

b

c

a b c

signal matrix

column

column

column

ab c

transposition

Synchronously Averaged Acceleration Signal (27-tooth gear)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Nominal Revolution [-]

[m/s

^2]

Obr. 2 Výsledek synchronní filtrace záznamů odpovídajících otáčce ozubeného

kola s 27 zuby

Obr. 3 Výsledek synchronní filtrace podle frekvence opakovaného záběru stejných

zubů znázorněných na úseky otočení kola se 27 zuby

Synchronously Averaged Acceleration Signal (40-tooth gear)

-50-40-30-20-10

010203040

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Nominal Revolution [-]

[m/s

^2]

Obr. 4 Výsledek synchronní filtrace záznamů odpovídajících otáčce ozubeného

kola s 40 zuby

Obr. 5 Výsledek synchronní filtrace podle frekvence opakovaného záběru stejných

zubů znázorněných na úseky otočení kola se 40 zuby Výsledek synchronní filtrace záznamů odpovídajících jedné otáčce ozubeného

kola s 27 zuby je na obr. 2 a výsledek synchronní filtrace podle otáček ozubeného kola se 40 zuby je na obr. 4. Oba obrázky uvádějí průměrovaný průběh zrychlení za jednu otáčku příslušného kola bez ohledu na podmínky kontaktu se zuby spolu

zabírajícího kola, které se v průměrkovaných záznamech střídají. Z obr. 3 je zřejmý periodická porucha představující 7 modulačních vln.

Odhalit efekt výrobních odchylek nebo defektů boku jednotlivých párů zubů v kontaktu umožňuje synchronní filtrace podle frekvence opakovaného záběru shodných zubů. Na rozdíl od obr. 2 a 4 je v případě této synchronní filtrace nevýhodné znázornit průběh signálu zrychlení za celou periodu opakovaného záběru. Vhodnější je uspořádat výsledky přepočtu do matice, jejíž sloupce odpovídají záznamům za jedno otočení buď ozubeného kola s 27 zuby nebo kola se 40 zuby. V prvním případě bude mít matice 40 sloupců a ve druhém případě 27 sloupců [3].

Signál zrychlení osciluje kolem nuly a proto je výhodnější posuzovat jeho kvadrát, což je okamžitý výkon tohoto signálu. Výsledky výpočtu ve tvaru plošných grafů jsou na obr. 3 a 5. Plošný graf je složen buď ze 40 záznamů kvadrátu zrychlení kola se 27 zuby (obr. 3) nebo 27 záznamů téhož signálu ozubeného kola se 40 zuby (obr. 5).

Graf na obr. 3 neoznačuje pravidelné zvýšení vibrací pro jednotlivé zuby kola s 27 zuby. Příslušnost vysoké amplitudy vibrací k určitým zubům je naproti tomu zřejmá z obr. 5. Na obvodu kola se 40 zuby je zřejmých 7 vln zvýšených vibrací. Vibrace byly změřeny na nové převodovce a proto je jejich původ vysvětlitelný nepřesností výroby. 4. Příklad analýzy signálu vibrací soukolí 15/68 automobilové převodovky

Druhý příklad se týká soukolí stálého záběru převodovky osobního auta. Počet zubů pastorku je 15 a ozubeného kola je 68. Hřídel s tímto kolem pohání přes diferenciál nápravu. Vibrace byly měřeny na jednom ložisku v radiálním směru. Na hřídeli s kolem se 68 zuby byla značka pro tachosondu, která generovala impulsy pro určení otáček. Počet otáček za minutu byl asi 203 a převod byl zatížen kroutícím momentem. Tachosignál a signál vibrací byl zaznamenán konstantní vzorkovací frekvencí 65536 Hz po dobu 5 sekund.

Synchronously Averaged Acceleration Signal (68-tooth gear)

-4-3-2-10123

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Nominal Revolution [-]

[m/s

^2]

Obr. 6 Výsledek synchronní filtrace záznamů odpovídajících otáčce ozubeného kola s 68 zuby

Vzorkovací frekvence byla volena zbytečně vysoká a proto byl signál vibrací převzorkován na 1700 vzorků pro jednu otáčku kola se 68 zuby. Otočení tohoto ozubeného kola s 68 zuby o jednu zubovou rozteč odpovídá 25 vzorků převzorkovaného signálu. Před převzorkováním bylo upraveno frekvenční spektrum signálu tak, aby nebyl porušen Shannon-Kotelnikův teorém.

Výsledek synchronní filtrace je uveden na obr. 6. V určitém místě ozubeného kola je lokální defekt, pravděpodobně z výroby. Prostorový graf je na obr. 7 potvrzuje vadu jednoho nebo dvou zubů na kole se 68 zuby.

05

10152025

Revolutions0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66

03

69

12

Tooth Pitch Rotation [-]

[(m/s

^2)^

2]

Instantaneous Power of Acceleration Signal

Obr. 7 Výsledek synchronní filtrace podle frekvence opakovaného záběru stejných

zubů znázorněných na úseky otočení kola se 68 zuby

5. Závěr Referát popisuje podrobnou analýzu vibrací soukolí ozubených kol v časových

intervalech o délce periody opakovaného záběru stejných zubů na obou ozubených kolech. Tento způsob rozboru umožňuje detekovat výrobní nepřesnosti nebo přímo defekty pro všechny možné páry zubů v kontaktu na rozdíl od analýzy, která se opírá o synchronní filtraci podle otáček každého ozubeného kola zvlášť. Pro tento způsob analýzy je zapotřebí zaznamenávat signály o délce mnohonásobku periody opakování kontaktu stejných zubů.

Literatura:

[1] Tailor J. I., The Gear Analysis Handbook, Vibration Consultants, Inc., USA, 2000

[2] Tůma, J. Transmission and gearbox noise and vibration prediction and control. In: Crocker, M. (Editor) Handbook of noise and vibration control. New York: Wiley, 2007. Chapter 88, pp. 1080-1089.

[3] Galezia A., Maczak J.: Application of the local plane concept in control diagnostics of gears. In The 2nd World Congress on Engineering Asset Management (EAM) and The 4th International Conference on Condition Monitoring : WCEAM, Harrogate, UK 11. – 14. June 2007, pp. 647-656. ISBN: 978-1-901892-22-2, ISBN 1-901892-22-0

[4] Tůma, J.: Zpracování signálů získaných z mechanických systémů užitím FFT. Sdělovací technika, Praha 1997.

Výzkumné práce v oboru zpracování měření hluku a vibrací jsou podporovány Grantovou agenturou České republiky jako projekt č. 101/07/1345.

A GEAR SET VIBRATION SIGNAL SYNCHRONOUSLY AVERAGED WITH THE FREQUENCY AT WHICH THE SAME TEETH ARE MESHING TOGETHER

Jiří TŮMA, VŠB - Technical University of Ostrava Abstract:

The paper deals with the analysis of vibration signal produced by a simple gear train during an interval corresponding to the period when the same two gear teeth mesh together. As this way of analysis allows discovering defects originating from imperfect manufacturing or a due to the wear, it gives the more detailed results than the synchronous averaging with the frequency at which a gear is rotating.