Prise en main de CaML Light - 4

Lycée Thiers 2015

Prise en main de CaML Light - 4

Récursivité

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Récursivité

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Récursivité

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Dans la nature aussi !

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Un modèle simplifié de végétal

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Un modèle simplifié de végétal

Prise en main de CaML Light - 4

Un modèle simplifié de végétal

Prise en main de CaML Light - 4

Un modèle simplifié de végétal

Prise en main de CaML Light - 4

Un modèle simplifié de végétal

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Structures récursives

mot :

mot videmot ^ lettre

liste :

liste vide [ ]élément : : liste

arbre binaire :

arbre vide

arbre arbre

objet

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Fonctions récursives

Factorielle (définition itérative) :

n! =n∏

k=1

k

Factorielle (définition récursive) :

0! = 1n! = n (n − 1)!

Fonction définie à partir d’elle-même ! ?

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Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = (0)

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Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = (0)

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Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = (0)

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Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× 4!(0)

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Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× (4× 3!)

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Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× (4× (3× 2!))

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Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× (4× (3× (2× 1!)))

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Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× (4× (3× (2× (1× 0!))))

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× (4× (3× (2× (1× 1))))

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× (4× (3× (2× 1)))

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× (4× (3× 2))

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× (4× 6)

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 5× 24

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Calcul récursif de n !

let rec fact n =if n = 0 then 1else n * (fact (n-1))

;;

Exemple : n = 5

5! = 120

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Empilement / dépilement

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Empilement / dépilement

acheter du pain

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Empilement / dépilement

cadeau d’anniversaire

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Empilement / dépilement

retirer des sous

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Empilement / dépilement

prendre la voiture

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Empilement / dépilement

aller chercher les clefs

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Empilement / dépilement

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Empilement / dépilement

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Empilement / dépilement

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Empilement / dépilement

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Empilement / dépilement

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Récursion dans le langage

Sie gehen ins Kino, weil sie einen film sehen wollen.

Trop de niveaux refoulés→ phrase incompréhensible !

Le phénomène allemand bien connu du rejet du verbeà la fin, sur lequel des histoires drôles de professeursqui commencent une phrase, sautent d’un sujet à unautre pendant tout le cours, et finissent par débiterune série de verbes auxquels le public, pour qui lapile a depuis longtemps perdu toute cohérence, necomprend plus rien, circulent dans tous les couloirsd’université, est un excellent exemple.

Gödel, Escher, Bach : les brins d’une guirlande éternelle[an eternal golden braid]Douglas Hofstadter

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Une pile d’assiettes ...

sommet

dépilerempiler

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Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35(35

)5 multiplications + gestion de la pile

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Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35(35

)5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35(35

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 =(35

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 3× 34(35

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 3×(3× 33

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 3×(3×

(3× 32

))

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 3×(3×

(3×

(3× 31

)))

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 3× (3× (3× (3× (3× 1))))(35

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 3× (3× (3× (3× 3)))(35

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 3× (3× (3× 9))(35

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 3× (3× 27)(35

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 3× 81(35

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 243(35

)

5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion

let rec puissance x n =if n = 0 then 1else x * (puissance x (n-1))

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 243(35

)5 multiplications + gestion de la pile

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35

5 multiplications + “récursion sans pile”

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Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 =

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = aux 1 5

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = aux 3 4

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = aux 9 3

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = aux 27 2

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = aux 81 1

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = aux 243 0

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 243

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Calcul de xn : récursion terminale

let puissance x n =aux 1 n whererec aux pp n =if n = 0 then ppelse aux (x * pp) (n-1)

;;

Exemple : x = 3, n = 5

35 = 243

5 multiplications + “récursion sans pile”

Prise en main de CaML Light - 4

Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2

x13 = x(x6

)2

x6 =(x3

)2

x3 = x x2

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Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2→2

x13 = x(x6

)2→2

x6 =(x3

)2→1

x3 = x x2→2

Prise en main de CaML Light - 4

Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2→2

x13 = x(x6

)2→2

x6 =(x3

)2→1

x3 = x x2→2

Prise en main de CaML Light - 4

Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2→2

x13 = x(x6

)2→2

x6 =(x3

)2→1

x3 = x x2→2

Prise en main de CaML Light - 4

Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2→2

x13 = x(x6

)2→2

x6 =(x3

)2→1

x3 = x x2→2

Prise en main de CaML Light - 4

Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2→2

x13 = x(x6

)2→2

x6 =(x3

)2→1

x3 = x x2→2

Prise en main de CaML Light - 4

Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2→2

x13 = x(x6

)2→2

x6 =(x3

)2→1

x3 = x x2→2

Prise en main de CaML Light - 4

Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2→2

x13 = x(x6

)2→2

x6 =(x3

)2→1

x3 = x x2→2

Prise en main de CaML Light - 4

Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2→2

x13 = x(x6

)2→2

x6 =(x3

)2→1

x3 = x x2→2

Prise en main de CaML Light - 4

Exponentiation rapide - Exemple : x27

x27 = x(x13

)2→2

x13 = x(x6

)2→2

x6 =(x3

)2→1

x3 = x x2→2

Coût total = 7 multiplications

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Calcul de xn : exponentiation rapide

∀n ∈N?, xn =

(xn/2

)2si n pair

x(x(n−1)/2

)2sinon

T (1) = 0 T (n) = T(⌊n

2

⌋)+ 1 + (n mod 2)

T (n) =⌊log2 (n)

⌋+ σn − 1

log2 (n) 6 T (n) 6 2 log2 (n)

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Exponentiation rapide

Retour à l’exemple :

x27 calculé avec 7 multiplications ...

T (27) =⌊log2 (27)

⌋+ σ27 − 1

16 = 24 < 27 < 25 = 32⇒⌊log2 (27)

⌋= 4

27 = 110112 ⇒ σ27 = 4

T (27) = 7

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Calcul de xn : on récapitule ...

1 version itérative

2 version récursive

3 version récursive terminale

4 exponentiation rapide

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Remplissage d’un damier 2n× 2n

Prise en main de CaML Light - 4

Remplissage d’un damier 2n× 2n

Prise en main de CaML Light - 4

Remplissage d’un damier 2n× 2n

Peut-on recouvrir le damier entier ?

C’est impossible, car ...

4n . 0 [3]

Et si on enlève une case ?

4n− 1 ≡ 0 [3]

ça peut marcher ... mais ce n’est pas garanti a priori !

D’ailleurs, voici un exemple classique ... (page suivante)

Prise en main de CaML Light - 4

Damier (2n) × (2n) et dominos

Prise en main de CaML Light - 4

Damier (2n) × (2n) et dominos

Prise en main de CaML Light - 4

Damier (2n) × (2n) et dominos

Prise en main de CaML Light - 4

Damier (2n) × (2n) et dominos

Prise en main de CaML Light - 4

Damier (2n) × (2n) et dominos

Etant donné un damier de format (2n) × (2n) duquel on aretiré deux cases diagonalement opposées, il estimpossible de recouvrir ce qui reste à l’aide de dominos(chaque domino pouvant recouvrir deux cases,horizontalement ou bien verticalement).

En effet, chaque domino recouvre une case blanche etune case noire, or les deux cases supprimées étaient dela même couleur !

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Damier 2n× 2n privé d’une case (reprise)

Prise en main de CaML Light - 4

Damier 2n× 2n privé d’une case (reprise)

Prise en main de CaML Light - 4

Damier 2n× 2n privé d’une case (reprise)

Prise en main de CaML Light - 4

Damier 2n× 2n privé d’une case (reprise)

Prise en main de CaML Light - 4

Damier 2n× 2n privé d’une case

Solution récursive pour le problème à l’ordre n :

Si n = 1, c’est évident !Si n > 2 :

on partage en 4 damiers 2n−1× 2n−1

on place un ’L’ au centre avec la bonne orientationon résout 4 problèmes à l’ordre n − 1

Prise en main de CaML Light - 4

Damier 2n× 2n privé d’une case

Prise en main de CaML Light - 4

Damier 2n× 2n privé d’une case

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