Principi di Elaborazione Digitale

dei Segnali

SERIE TEMPORALISERIE TEMPORALI

Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO (problemi dinamici)

Introduzione della variabile t

Analisi nel dominio del tempo

Analisi nel dominio della frequenza

ES-1

ES-2Serie temporali e computer

I segnali del mondo reale possono essere modellati come funzioni reali x(•) di una variabile reale t (segnali analogici).

-tx

x

finita) (energia

smooth )(:Hp2

Necessità di segnali campionati

A/Dconvertersegnale nT

x(T)x(NT)

sequenza

T

NTxTxTxnTx ,,2,

Teorema di Nyquist

T = periodo di campionamento{x(nT)} = sequenza

ES-3Dal segnale discreto al vettore

Hp: x(t) ad energia finita {x(nT)} di lunghezza finita NT

1,,1, Nnxinxnxnxnx Proiezione lungo l’asse i

Punto dello spazio N-D

EixxL

Nnxinxnxnxx

N

i

T

1

0

2

1,,1,

Un segnale discreto di lunghezza N è un vettore in uno spazio N-dimensionale

{x(n)} = x

x(n)

x(n-1)

x(n-N+1)

ES-4L’operatore ritardo

iN

ii

ixinxixx

Nnxinxnxnxx1

0

1,,1,

ini ini

00

01

n

nn delta di Dirac

basi per rappresentare i segnali discreti nel dominio del tempo

Z-1x(n) x(n-1)

operatore ritardo

Z-1

Z-1

x(n) x(n)

x(n-1)

x(n-N+1)linea di ritardo

1

0

N

i

inixx

ES-5Lo spazio del segnale

Z-1

Z-1

input

linea di ritardo

asse x

asse y

asse z

x(n-3)

x(n-4)

x(n-5)

x(n-3)

x(n-2)

x(n-3)

x(n-4)

x(n-2)

x(n-1)

x(n-2)

x(n-3)

x(n-1)

x(n)

x(n-1)

x(n-2)

x(n)Spazio di ricostruzione

oSpazio del segnale

La “traiettoria” dipende dalle proprietà della serie temporale e può permettere ad un sistema connesso all’output della linea di ritardo di estrarre il modello della serie.

Un enorme numero di campioni enorme dimensione dello spazioSottospazio del segnale

x(n-3)

x(n-2) x(n-1)

x(n)

Traiettoriadel Segnale

yx

z

ES-6Il sottospazio del segnaleSegnale periodico

(K campioni) Spazio K’- dimensionale (K’ K )

K’ dipende dalla complessità della traiettoria

t

x

x1

basta 1-D K’ = 1

x1

x2

x

bastano 2-D K’ = 2(2 << K )Mappaggio uno a uno tra traiettoria e serie temporale

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

I rami si incrociano. Perdo il mappaggio 1 a 1

Potrebbe servire K-D K’=K ? ?

??

ES-7

Trovare la dimensione K’ dello spazio di ricostruzione che quantifichi appropriatamente le proprietà del segnale

x(T)x(NT)

1 2 K’

Finestra temporale “sliding”

ES-8IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE)IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE)

10

0

1

N

T

N

i

Ti

wwww

nxnxnxnx

wnxnxwinxwny

z-1

z-1

z-1

y(n)

x(n)

x(n-1)

x(n-N)

w0

w1

w2

pesi

Linea di ritardo

FIR FINITE IMPULSE RESPONSE(risposta impulsiva finita)

y(n) ha l’espressione vista nelle reti Hebbiane

ES-9

nxwinxwny TN

ii

0

y è la proiezione di x sul vettore peso w Il C.L. è un proiettore lineare dell’input nello spazio del segnale,

secondo la direzione dei pesi

La scelta ottimale dei pesi preserva al massimo l’informazione

contenuta nell’input

Idea base del filtraggio

x

x(n-1)

x(n)

x(n-N)

ES-10Esempi di filtraggio

ES-11ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPOANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO

(SISTEMI LINEARI)(SISTEMI LINEARI)

La risposta impulsiva

)(nhnynnx Risposta impulsiva [h(n)]

Descrive completamente un sistema lineare

Nnwnwnwinwnh N

N

ii

0

10 1

per il combinatore lineare

z-1

z-1

w0

w1

w2

(n)

La h(n) di un C.L. ha lunghezza finita FIR

h(0) h(1) h(2) h3

w0 w1

w2

h(i) = wi

ES-12La convoluzione

y(n) risposta ad un generico input x(n)

ii

ihinxinhixnhnxny

convoluzione

N

i

N

i

ihinxinhixnhnxny00

sistema causale

Per il combinatore lineare

06

35

234

1233

0122

011

000

2

21

210

210

10

0

y

xwy

xwxwy

xwxwxwy

xwxwxwy

xwxwy

xwy 2

43210

210

Nwwww

Mxxxxx

M + N campioni

(notare la pesantezza del calcolo)

ES-13Sistemi ricorrenti e stabilità

IL FILTRO IIRIL FILTRO IIR

Un filtro IIR è caratterizzato da connessioni ricorrenti o feedback

Esempio:

00

11

y

nxnyny

Eq.ne alle differenze +

y(n)

z-1

1-

y(n-1)

x(n)

inputoutput

Coefficiente di feedback

nnh

h

h

h

1

12

011

100

2

La h(n) ha estensione infinita IIR Infinite Impulse Response(risposta impulsiva infinita)

ES-14Analisi della stabilità

0 < < 1 stabile

= 0

1 h(n)decrescente

n

1h(n)

nmarginalmente stabile

< 01

h(n)

n

instabile

Obiettivo dell’elaborazione dei segnali: avere un sistema che risponda all’input a risposta impulsiva di durata finita

Importanza del coefficiente di feedback

ES-15ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZAANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

Descrizione di un segnale mediante il suo SPETTRO

x(t) {x(n)} Tf = N Tc n = 0, … , N-1Intervallo di campionamento

Numero di campioni

t

n = 0Tc

x(n) generico campione n = 0, … , N-1

c

N

nc nTtnxtx

1

0

segnale campionato

n=N-1

ES-16La trasformata di Fourier

cfnTjN

n

c

N

nc

enxfX

nTtnxtx

21

0

1

0

t

Tc(N-1)Tc

x(t)

fc

fcfc/20

X( f )

Spettro continuo

Tf = N Tc

Trasformata di Fourierdel segnale

N numeri

ES-17La trasformata di Fourier discreta (DFT)

1

0

21

0

2N

n

nkN

jN

n

nTfkj enxenxkX cf

N

k

nN

jekX

Nnx

1

21

DFT

IDFT

Tc

tN-1

Tf = NTc

N CAMPIONI

c

cfcf TNN

ffTNT

1

X (k)

k

Spettro di N righe

fffc/2

ES-18(n - N +1)

x(N -1)

(n - 1)x(1)

x(0)(n)

Dominio del tempo

X(N -1)

X(1)

X(0)

Dominio della frequenza

X(k) CX(k) = k - esimo coeff. di Fourier{X(k)} = trasformata di Fourier discreta

DFT o spettro{|X(k)|} = spettro delle ampiezze{/ X(k)} = spettro delle fasi

x(k) R

ES-19La Z-trasformata

n

n

n

n

zznzDn

znxzXnx

111

z C

z-1

operatore ritardoCombinatore lineare

zXzHzinxzih

zinxihzinxihzY

inxhny

N

i n

ni

N

i n

n

n

N

i

n

N

ii

0

00

0

)(

)()(

zXzHzY

nhZzHnxZzXnyZzY ;;

ES-20La funzione di trasferimento

zX

zYzH Funzione di trasferimento

nhZzihzHN

i

i

0

)( Z-trasformata della risposta impulsiva(polinomio algebrico)

nhnxny Convoluzione in t

zHzXnY Moltiplicazione in z

ES-21La risposta in frequenza

Tj

ezk

ez

kk k k

TkjnTjknTj

nTj

eHnxzHnxzkhnx

kheekhekhknxny

enx

TiTj

)(

H(e jt) = H’() risposta in frequenza

H’() è H(z) calcolata nel cerchio unitario |e jT|

Im(z)

z

z =1

z =j

z =-1

z =-j

Re(z)

z

0 1 /T /2T j /T 1

H’() è periodica in con 2/T (come e jT)

-1

ES-22

k

kTjTj ekheHH ' DFT della risposta impulsiva

Proprietà:

Risposta a regime

Calcolo veloce (FFT)

H’() C |H’(H’()

ES-23Poli e zeri della risposta in frequenza

111

1

)(])1(1[

1111

1

1

z

z

zzH

zXzzY

nxnynynxnyny

zeri: z = 0poli: z = 1-

Osservazioni qualitative:

valleuna ha '0

0'0

0

0

0

0

HeH

HeHTj

Tj

Stabilità

polo

zero

0< Polo nel cerchio unitario

ES-24Filtri lineari

Tc

y(1)y(N)

x(1)x(N)

H(k)kcut

Segnale +Rumore ad alta frequenza

Segnale filtrato

Tf = N Tc N

f

NTf c

cf

1

k

2cff

rumore|X(k)|

1 Nkcut

|H(k)|

k1 N

|Y(k)|

PASSA – BASSO

ES-25

fc

f

|H’()|

fc

f

|H’()|

fc

f

|H’()|

Passa - basso Passa - altoPassa - banda

Per la scelta dei wi :

Procedura di sintesi

Procedure di ottimizzazione

N

ii inxwny

0