Primzahlen Wie viele gibt es? Wie findet man Primzahlen?
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Primzahlen
Wie viele gibt es?Wie findet man Primzahlen?
Primzahlen 2
Haben Sie eine Lieblingsprimzahl?
2
7
11
23 (Trons Zahl)
Meine kleine Lieblingsprimzahl : 17
Primzahlen 3
Der Plan:
Was sind Primzahlen?Warum sind sie wichtig?Wie viele Primzahlen gibt es?Wie findet man Primzahlen?Wege zum Ruhm.
Ende: Nach 40 Minuten, auf jeden Fall
Primzahlen 4
Was ist eine Primzahl?
Die Definition:
Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.
Es geht um natürliche Zahlen, es geht um Teilbarkeit.
Schon jetzt: 1 ist keine Primzahl, sie macht nur unnötigen Ärger!
Primzahlen 5
Teilbarkeit
7 teilt 42: 7 | 42, denn 42 ist Vielfaches von 7,
d.h. 42 = 6 ∙ 7
8 teilt 42 nicht: 8 ∤ 42, denn 42 ist nicht Vielfaches von 8,
d.h. es gibt keine Zahl c mit 42 = c ∙ 8
Primzahlen 6
Teilbarkeit
Die grundlegende Definition:
a | b bedeutet: a teilt b (ohne Rest), also:
b ist Vielfaches von a.
Primzahlen 7
Teilbarkeitseigenschaften
7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ (42 + 63),7 │105
Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b+c
7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ (42 - 63),7 │-21
Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b-c
Primzahlen 8
Primzahlen
Nochmals die Definition:
Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden,
heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und
sich selbst teilbar ist.
1 ist keine Primzahl. Die kleinste Primzahl ist 2.
Primzahlen 9
Die Primzahlen bis 20, der Reihe nach:
Primzahlen 10
Die Primzahlen bis 20:
2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19
Anzahl = π(20) = 8
π(x) = Anzahl der Primzahlen bis zur Zahl x
Primzahlen 11
Größte zweistellige Primzahl
Kandidaten:
91
93
95
97
99
Primzahlen 12
Größte zweistellige Primzahl
Kandidaten:91: Durch 7 teilbar93: Durch 3 teilbar95: Durch 5 teilbar97: Primzahl99: Durch 3 teilbar
97 ist die größte zweistellige Primzahl.
Primzahlen 13
Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten:
101
103
105
107
109
Primzahlen 14
Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten:
101: Primzahl
103: Primzahl
105: Durch 5 teilbar
107: Primzahl
109: Primzahl
101, 103 und 107, 109 sind Primzahlenzwillige
Primzahlen 15
Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten:
1001
1003
1005
1007
1009
Gar nicht mehr so einfach!
Primzahlen 16
Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten:
1001: Durch 11 teilbar(11·91)
1003: Durch 17 teilbar(17·59)
1005: Durch 5 teilbar (5·201)
1007: Durch 19 teilbar(19·53)
1009: Primzahl
Primzahlen 17
Primzahlen sind wichtig für:
Mathematiker
Kryptologen
Primzahlen 18
Primzahlen in der Mathematik
Beispiele:
42 = 2∙3∙7700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7
Sie finden dies bei Euklid. Primzahlen sind die Atome der Zahlen.
Der Fundamentalsatz der Arithmetik:
Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen.
Primzahlen 19
Wie zerlegt man in Primfaktoren?
Beispiele:
Z = 42
Z = 182
Z = 3553
Z = 135014
Dies ist nicht einfach!
Primzahlen 20
Wie zerlegt man in Primfaktoren?
Beispiele:
Z = 42 = 2∙21 = 2∙3∙7
Z = 364 = 2∙182 = 22∙7∙13
Z = 3553 = 11∙323 = 11∙17∙19
Z = 135014 = 2∙11∙17∙192
Es ist schwierig,
große Zahlen zu „faktorisieren“
Primzahlen 21
Kryptologen und Primzahlen
RSA
Ron Rivest Adi ShamirLeonard Adleman
Löst Problem der Schlüsselübergabe im Internet
Primzahlen 22
RSA
Asymmetrische Verschlüsselung
Benötigt große geheime Primzahlen
Entscheidend: Gibt es genügend viele große Primzahlen?Wie viele Primzahlen gibt es überhaupt?
Primzahlen 23
Wie viele Primzahlen gibt es?
Euklid: (325 – 265 v.Chr.)
Es gibt unendlich
viele Primzahlen.
Primzahlen 24
Euklids Beweis
Die Folgerung:
Es gibt unendlich viele Primzahlen!
Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man stets eine weitere konstruieren.
Primzahlen 25
Euklids Beweisidee
Beispiel:
Primzahlen: 2, 3, 5
E = 2∙3∙5 + 1 = 31:
Keine der Zahlen 2, 3, 5 kann E teilen.
E ist sogar eine neue Primzahl!
Primzahlen 26
Euklids Beweis
Noch ein Beispiel:
Primzahlen: 3, 5, 7E = 3∙5∙7 + 1 = 106: Keine der Zahlen 3, 5, 7 kann E teilen.
E ist keine neue Primzahl! Aber: E enthält neue Primzahlen als Faktoren.
Primzahlen 27
Euklids Beweis, allgemein:
Allgemein:
p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen.
E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 :
•Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen.
Primzahlen 28
Der Beweis von Hermite
Charles Hermite1822 – 1901
Wichtige Arbeiten: Zahlentheorie, elliptische Funktionen, quadratische Formen, e ist transzendent.
Primzahlen 29
Der Beweis von Hermite
Die Idee: Ist eine Zahl n gegeben, so gibt es eine Primzahl
größer als n.
Die Folgerung:
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Primzahlen 30
Der Beweis von Hermite für n = 5
Keine der Zahlen 2, 3, 4, 5 kann
H5 = (1 ·2 ·3 ·4 ·5) + 1 = 5! + 1
teilen.
Also ist jeder Primfaktor von H5 größer als 5.
Primzahlen 31
Der Beweis von Hermite für n
Keine der Zahlen 2, 3, 4, …, n kann
Hn = (1 · 2 · 3 · 4 · … · n) +1 = n! + 1
teilen.
Also ist jeder Primfaktor von Hn größer als n.
Primzahlen 32
Kummers Beweis: Der Schönste
Ernst Eduard Kummer
1810 – 1893
Wichtige Arbeiten zur
Analysis,
Zahlentheorie,
Fermats Vermutung
Primzahlen 33
Kummers Beweis
Die Folgerung:
Es gibt unendlich viele Primzahlen!
Die Idee: Wenn es nur endlich viele Primzahlen gibt, dannentsteht ein Widerspruch
Primzahlen 34
Kummers Beweis:
Annahme: Es gibt nur die n Primzahlen
p1, p2, p3, …, pn.
Bilde Z = p1,· p2, · p3 ·… · pn.
Die Primfaktorzerlegung von Z-1 enthältdann eine dieser Primzahlen als Faktor,
etwa pi.
Dann muss pi auch Z – (Z-1) = 1 teilen. Dies geht nicht!
Primzahlen 35
Unendlich viele Primzahlen, ist das genug?
In der Kryptologie interessant:
Primzahlen mit etwa 300 Stellen.
Gibt es genügend viele davon?
Es gibt unendlich viele Zahlen der Form nn, aber nur 149 mit weniger als 300 Stellen.
Primzahlen 36
Richtig gemein: Primzahlenlücken
Es gibt beliebig große Primzahlenlücken.
Als Beispiel: Eine Lücke der Länge 42
43! + 2, 43! + 3, 43! + 4, ….. , 43! + 43
(Aber: 43! = 6 ∙ 1052)
Primzahlen 37
Die Verteilung der Primzahlen
π(10) = |{2, 3, 5, 7}| = 4
π(20) = |{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}| = 8
π(30) = |{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}| = 10
π(100) = 25; π(1000) = 168;
π(1 000 0
π(x) = Anzahl der Primzahlen x
00) = 78 498
Primzahlen 38
Erste gute Ergebnisse:
Pafnuty Tschebycheff
1821 – 1894
Arbeiten zur
Analysis,
Zahlentheorie
Primzahlen 39
Tschebycheffs Ergebnis:
1Satz: Für x 2 gilt mit a= log 2 und
4A = 6log 2:
x xa π(x) < A
logx logx
Primzahlen 40
Der Primzahlensatz (1896)
Satz:
Für große x: xπ(x)
ln(x)
Primzahlen 41
Der Primzahlensatz (1896)
Nicolas de la Vallee-
Poussin
(1866 – 1962)
Primzahlen 42
Der Primzahlensatz (1896)
Jacques Salomon
Hadamard
(1865 – 1963)
Primzahlen 43
Wie viele Primzahlen bis 10300?
300 300300 297
300
10 10π(10 ) > 10
ln(10 ) 300 ln(10)
Primzahlen 44
Bestimmung von Primzahlen
Verschiedene Vorgehensweisen:
– Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe)– Formeln (traurig und schön)– Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen
Primzahlen 45
Das Sieb des Eratosthenes
Eratosthenes
Geb.: 276 v. Chr. InCyrene (Libyen)
Gest.: 194 v. Chr. in Alexandria
U.a.: Zahlentheoretiker.
Primzahlen 46
Eratosthenes
Ein sehr kluger Mann
Bestimmte den Erdradius
Primzahlen 47
Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50 bestimmen.
Sein modernes
Verfahren:
Iterationsverfahren
Start: Wie fange ich an?
Iterationsschritt:
Immer die gleichen Schritte.
Mit veränderten Daten.
Abbruch:
Wann höre ich auf?
Primzahlen 48
Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Primzahlen 49
Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Primzahlen 50
Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Primzahlen 51
Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Primzahlen 52
Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Primzahlen 53
Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Primzahlen 54
Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Primzahlen 55
Sieb des Eratosthenes:Alle Primzahlen bis 50: π(50) =15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Primzahlen 56
Primzahlen nach Formeln: Mersenne Zahlen
Marin Mersenne
Geb.: 1588 in OizeGest.: 1648 in Paris
Mathematiker undPhysiker,suchte Formeln für Primzahlen
Primzahlen 57
Mersenne Zahlen
M(p) = 2p – 1, p PrimzahlM(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3M(3) = 23 – 1 = 8 – 1 = 7M(5) = 25 -1 = 32 -1 =31M(7) = 27 – 1 = 128 – 1 = 127M(11) = 211 – 1 = 2048 - 12047 = 23*89,
keine Primzahl
Primzahlen 58
Primzahlen 59
Mersenne Zahlen: M44 (4.9.2006)
M44 = 232 582 657 – 1M44 besitzt 9 808 358 Stellen!M44 als Textdatei: 10 MB
Primzahlen 60
• 3154164756188460809363030286645451701265196562623238703163237107951353874490069346209438629475170296• 6362361422994450686916698686600279039593446893432936551204206347823658766440668754025307664209877402• 0969609945983292505783928283570842567724222472424177384530775747071585395344060062523282594879423792• 4394762048922434865847035028788593595047780850179458230391559238902357133419984601919493448218924829• 7423971417367146785344920107187028854616889613680555081376552273643139066199808666001320015918479958• 6344310640160882662896619835513624965683427527228832614627235339926202140626135740059405043680416024• 5695791118476877879904040314888270764778638440564460594446715493640212840524640263853258648567875880• 5207486603779584656802441561512807448053088924530413276985790310479275392759409642958887074769447677• 8455686462581130357179495540007112806849012797583398279772692025012125112023957367805032874051785391• 6788783705929788746019269173873499020384874963995222562261984202498415388636031123409782246990853704• 2858397422112120495713110173587890604241704635786539995934425641286927483525266696975061404019370417• 2130842478543586138651123725121933419883713586913905320917206786543928046030994652578744807276553038• 2216372087220140274657978908506227266822108409477770415591518878007915899587590851879421386024184079• 8423821154615510519383420947777771749840558790848114740929385720891394783408984441869900533029384779• 4727809000649457363094865551651230142920782625730197621382471563244553460267919066327873430826578939• 7094512986230293746223135846307057288215204488422993621434712450326260606869190224046322078245507437• 8350286423955710034643155685467450121686882785061682131237949569258974891282609534375211503100512553• 6278333095827175628098936675891063216450050826450522088872310541190705425637888076403388964379762875• 8990202441978327960533232905516300332979279381548175680754536752734938106030522829872888560538531442• 5459646977842425273627674249003089465521112370556179318628634625387890120725949945144901549309075056• 4305162310550035739673980410386854676491434256527299066349441601754962998888851568996973366396423222• 0378706621907724941957217674960878448882308920721524587328468256420010375531458681119430872328687124• 2537549090447493689073519984748102397949303464944676206218413265539794091064593191285303991214411211• 9740936337500199326897352488182346553964317734576807622090959329337503226196703101713183279159318815• 1354379593841837678621542346006656503875688414975697381475998348561378858914148710121190009655970578• 1878438641245591210649877364078066402757795600646109600197869687237548737869999975380258388027000801• 6308462728058684293077227765191881626841375595175739375958474491833031164557586683691032023237466155• 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1777699494825771772872209594741217886009629289008246881812742191030217616284961503821174742349885315• 6577661169807847623982187003417225697108321577411291108410865523973229459360169214867049760624998777• 9894464939426562832554479594386939010319366348989811957998819762301274806592709067149506780095037434• 7178770225829018828901565117507666653664012018977208237978750461258380759175170487436872655626395343• 9196666571180131839946928883538975048310287196034896045971774451932008592682654118936510002826403256• 8325922867927934014448437078790364848068662062128037675303557918015534510798400084033516367841050368• 2879929695762445112556370412017097113478910753907930231288880365210352591232777990485484577973036998• 2925349414104445128705778128384750358006247373494347716475012847425836445016477124861291311336977869• 2922878538962702351910927028247418996202573971071054481539592846548530008218029489122433138657311186• 5565335019498196530366993068985267936110909368685894234612183981614488487925021745953386799956640271• 4033910498895117489680123325987655933050186209290494788432488669444486519790642745953402720009437232• 2534742249903225315322984039049743488448432314474704416056595444025312990961499334159597867937768904• 4836973902911920650758489608689531921395820901619373824926714558581236161539984527456626110228558656• 7530114460959284720075588433973918442902352080772735317766397787560058618477610491195882327307658097• 4516231659312568541252429679748654593066139294523701177711082788993468476864909629751645572470793107• 1787653996030343667698858622518074850642323707000792901283740230128947151964632283999758373693282487• 6718348090368546669507869862136671580412216303080312685929372127536845346748149695398617967533994408• 8359658279622338659685088570081603755487541103549846409653478431170829138716824993808569263448903886• 9086348864073329146699589382743945881995571403713806730499027182975435979213155899801803602511532716• 5674840104566052433656905359506778996450521114190635079681140988072789137215926086881390814747077127• 6505620100550628834172694152767890293695676748400840515730029145202475114226816741978378420383265146• 7490443296673774412642095426164607592544210845017646436449204013054481756437822324898792997350536727• 7867595589951512906599152514267426733868924810370304130450204878471115674135577538403244493328800794• 0408597048769824447093527816329485336946043816244282047685002062214706582909668259382120612027351912• 5364582815801771046099486812467772852317916544306314258873303216528864150477980801432304596268937583• 6025064282895041248103375063999146410278697620253421599103820689379288876629963307320736675201384179• 3178480482258803425092321205333384894656674246934134872511869700279295154896515186914583905279096607• 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Primzahlen 61
M44
Ausgedruckt mit 8-Punktschrift:
Etwa 1200 Seiten
Primzahlen 62
Eine Formel für alle Primzahlen
• Hardy und Wrights Formel
• n Zweien bei f(n) • ω = 1.9287800…• Zur Berechnung von ω
benötigt man alle Primzahlen
• Nicht sehr praktisch!• Es gibt weitere solcher
Formeln
Primzahlen 63
Godfrey Harold Hardy
Geb.: 1877 in Cranleigh
Gest.: 1947 in Cambridge
Einer der bedeutendsten
Zahlentheoretiker des
20. Jahrhunderts
Primzahlen 64
Primzahlenzwillinge
Primzahlen im Abstand 2:
3, 5
11, 13
29, 31
101, 103
……..
Primzahlen 65
Wie viele Zwillinge gibt es?
Man weiß es nicht.
Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy)
Neueste Ergebnisse aus den USA und der
Türkei stützen dies
Primzahlen 66
Viggo Brun
Mathematiker, Norweger
1885 – 1978
Bedeutender
Zahlentheoretiker
Primzahlen 67
Bruns Witz
2, 2
Pr
2
1 1 = B 1,902160583...
2
1 1 1 1 1 1 1 1.... B
3 5 5 7 11 13 17 19
p pimzahl
p p
Primzahlen 68
Wege zum Ruhm: Probleme der Zahlentheorie
Die Goldbachsche Vermutung,
Die Riemannsche Vermutung,
Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt
Ein schnelle Algorithmus zur Primfaktorzerlegung
Primzahlen 69
Konkurrenten
Primzahlen 70
Die Goldbachsche Vermutung
Christian Goldbach
Geb.: 1690 in Königsberg
Gest.: 1764 in Moskau
Primzahlen 71
Die Vermutung
Beispiel: 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 13 + 87 = ….
Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden PrimzahlenBeispiel: 51 = 3 + 17 + 31 = 5 + 17 + 29 =
5 + 23 + 23 = ….
Goldbach I: Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen.
Primzahlen 72
Goldbach I: State of the Art
Bestätigt bis 2x1016 Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6
PrimzahlenVinogradov: Jede genügend große Zahl ist
Summe von höchstens 4 PrimzahlenVinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind
Summe von 2 PrimzahlenCheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl ≥ 4 ist
Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren
Primzahlen 73
Goldbach I:
Im Jahr 2000 wurde ein Preis von
1 000 000 $ für den Beweis der
Goldbachschen Vermutung ausgesetzt.
Nach Ansicht der meisten Mathematiker
stimmt die Goldbachsche Vermutung;
statistische Argumente sprechen dafür.
Primzahlen 74
Bernhard Riemann (1826 – 1866)
Nachfolger von Gauß inGöttingen
Mathematisches Genie
Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts-theorie
Primzahlen 75
Die Riemannsche Vermutung
zn=1
1ς(z)=
n
Alle komplexen Nullstellen
haben die Form
1
Schwierig,
Sie haben schlechte
z = +i
Cha
y.2
ncen.
Primzahlen 76
Primzahlenzwillinge
Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt,entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun.
Sie werden länger berühmt sein als DanielKübelböck.
Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten.
Primzahlen 77
Ein schneller Algorithmus zur PFZ
Überleben schwierig!
Falls doch, Sie sind
berühmt, für immer!
Primzahlen 78
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Eine Literaturliste liegt aus.Der Vortrag unterliegt der GNU-License.
PDF-Version des Vortrags demnächst auf der TholeyerHomepage
Für (nicht allzu) kritischeKommentare bin ich dankbar.