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Primimodellimatematici1.AmbitoeconomicoAvendoadisposizioneuncapitale,adesempiosottoformadidenaro,sipuòpensarediinvestirloin vari modi. Quanto ottengo dall’investimento è dettomontante. Tale montante si raggiungegrazieauntassodiinteresse,ovverounindiceespressoinpercentualechepermettedicalcolareaquantoammontailmontate.Nelmondodella finanza, il tassodi interessequantifica anche il rischiodell’investimento: più iltassoèalto,maggiorisarannoirischidiperderepartedelcapitale.L’attodiinvestirealfinediaumentareilpropriocapitaleèchiamatocapitalizzazione.LacapitalizzazionesempliceÈuntipodicapitalizzazionecheconsistenelcalcolareiltassodiinteressesulcapitaleinizialeenonsulmontatecheviaviasivaaformare.Nelcasodiundebitore,quest’ultimopagheràlastessaquotadiinteressiinogniricapitalizzazione.Siano: C capitaleiniziale(capitale) i tassodiinteresseperiodale(ingenereannuo) t duratadell’operazione,espressainnumerondiperiodi(ingenereanni) M capitalefinale(montante)SiaMn ilmontantedoponperiodi,n∈N .

Pern= 0 :M0 =C .

Pern=1 :M1 =M0 + iM0 =C + iC =C 1+ i( ) .Pern=2 :M2 =M1 + iM0 =C 1+ i( )+ iC =C 1+2i( ) .Pern=3 :M3 =M2 + iM0 =C 1+2i( )+ iC =C 1+3i( ) .…

Perungenericon≥1 :Mn =Mn−1 + iM0 =C 1+ n−1( )i( )+ iC =C 1+n·i( ) .Ovvero,inregimedicapitalizzazionesemplice,ilmontantesaràdatodaM =C 1+t·i( ) .Esempio1:disponidiuncapitaledi1000,00€chedepositiinbancadovepropongono,inregimedicapitalizzazionesemplice,untassodiinteresseannuodello0,5%.Dopoquantianniiltuocapitaleaumenteràdel50%?Ilmontante saràpari aM =C +50%·C =1000+500=1500€.Determino la duratadell’operazione:

M =C 1+t·i( )⇒ t =M−Ci·C

⇒ t = 1500−10000,5100

·1000⇒ t = 500

5⇒ t =100 anni!

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LacapitalizzazionecompostaÈuntipodicapitalizzazionecheconsistenelcalcolareiltassodiinteressesulmontatecheviaviasivaaformare.Nelcasodiundebitore,quest’ultimopagheràunaquotadiinteressisemprepiùbassa.Èiltipodicapitalizzazioneusatodagliistitutibancari.Siano: C capitaleiniziale(capitale) i tassodiinteresseperiodale(ingenereannuo) t duratadell’operazione,espressainnumerondiperiodi(ingenereanni) M capitalefinale(montante)SiaMn ilmontantedoponperiodi,n∈N .

Pern= 0 :M0 =C .

Pern=1 :M1 =M0 + iM0 =C + iC =C 1+ i( ) .Pern=2 :M2 =M1 + iM1 =M1 1+ i( )=C 1+ i( ) 1+ i( )=C 1+ i( )

2.

Pern=3 :M3 =M2 + iM2 =M2 1+ i( )=C 1+ i( )2· 1+ i( )=C 1+ i( )

3.

…

Perungenericon≥1 :Mn =Mn−1 + iMn−1 =Mn−1 1+ i( )=C 1+ i( )n−1

1+ i( )=C 1+ i( )n.

Ovvero,inregimedicapitalizzazionecomposta,ilmontantesaràdatodaM =C 1+ i( )t

.

Esempio2:disponidiuncapitaledi1000,00€chedepositiinbancadovepropongono,inregimedicapitalizzazionecomposta,untassodiinteresseannuodello0,5%.Dopoquantianniiltuocapitaleaumenteràdel50%?Ilmontante saràpari aM =C +50%·C =1000+500=1500€.Determino la duratadell’operazione:

M =C 1+ i( )t⇒1500=1000 1+ 0,5

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

t

⇒ 3=2 201200

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

t

⇒32=

201200

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

t

⇒ log 32= log 201

200

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

t

⇒

⇒ t = log3 2log201 200

⇒ t ≈ 81,30⇒ t =82 anni! Sono comunque tanti perché il tasso di interesse è

realisticamente(sic!)bassomaben18anniinmenorispettoallacapitalizzazionesemplice.LacapitalizzazionecompostainflazionataL’inflazione rappresenta ilpoterediacquistodiunamoneta.Peresempio, segiustounanno facon2,00€acquistavounchilogrammodiaranceeoraneacquistosolamente9etti,significacheilpotered’acquistodellamonetacheusoèdiminuitodel5%.Chiaramente l’inflazione può colpire anche l’acquisto dimonete di diversa tipologia,ma anchequest’ultimealorovoltasarannosoggetteall’inflazione.

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L’implicita ipotesi che abbiamo fatto fin d’ora è che il poteredi acquistodellamoneta rimangainvariato nel tempo senza tener conto dell’inflazione. Se invece consideriamo un tasso diinflazionegevogliamocalcolareilrendimentoeffettivodiuninvestimento,dobbiamoscontareilcapitaleottenutoutilizzandoilregimedicapitalizzazionecompostacontassog.QuindiseCèuncapitale investito,adesempio, in regimeesponenzialeal tassodi interesseannuo i, ilmontante

ottenutodovrebbeessereM =C 1+ i( )t.

Iltassoi,inquestocaso,prendeilnomeditassoapparente.InrealtàilcapitaleCoggihalostesso

potere di acquisto, all’istante t, del capitale ʹC =C 1+g( )te quindiM− ʹC =C 1+ i( )

t− 1+g( )

t⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

rappresentalarenditaeffettiva,doveg indicailtassodiinflazionemedionelperiodot.

Sipuòdimostrarecheiltassoeffettivoè ieff =i−g1+g

equindi ilmontanteeffettivorisultaessere

Meff =C 1+ ieff( )t

.

Esempio3:disponidiuncapitaledi1000,00€chedepositiinbancadovepropongono,inregimedicapitalizzazionecomposta,untassodiinteresseannuodello0,5%.Dopoquantianniiltuocapitaleaumenteràdel50%immaginandocheg = 0,15% ?

Il tasso di interesse effettivo è ieff =i−g1+g

⇒ ieff =0,5−0,151+0,15

%= 0,351,15

%= 723

% e il montante

effettivo sarà pari a Meff =C 1+ ieff( )t⇒1500=1000 1+ 7

2300

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

t

⇒32=

23072300

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

t

⇒

⇒ t = log3 2log2307 2300

⇒ t ≈133,43 ,ovvero134 anni!

Siosservachel’inflazionerallentailraggiungimentodelmontantediben52anni.2.AmbitodemograficoIlmodellodiMalthusIlmodellopiùsemplicechedescrivelacrescitadiunasingolapopolazioneecheprendeilnomedaT. R. Malthus, si basa su ipotesi molto semplificate che si applicano ad una situazione ideale.Questasituazione,riproducibileinlaboratorioperalcunespeciediorganismimoltosemplici,puòcomunque in alcuni casi ritenersi verificata in natura, almeno per periodi di temposufficientementelimitati.Supporremoinfattiche

• la popolazione è omogenea (gli individui che la compongono si possono considerareidentici);

• lapopolazioneèisolata(nonèsoggettaadimmigrazioneedemigrazione);• l’habitatèinvariante(lerisorseadisposizionedellapopolazioneelecondizionidivitacuiè

sottopostanonsonoinfluenzatedafattoriesterni,nédallapropriastessapresenza).Nellecondizionidescritte,lafertilitàelamortalitàsonoleunichecausedivariazionedelnumerodi individuidellapopolazioneesono, inoltre,caratteristichecostanti.Possiamoquindidirecheil

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numero di nascite e di morti nell’unità di tempo sono proporzionali al numero di individuipresenti;inaltreparolel’evoluzionedellapopolazioneèdescrittadallaseguenteequazione

ΔNΔt

= β −µ( )N t( ) ,dove i parametri reali non negativiβ eµ , detti rispettivamente fertilità specifica e mortalitàspecifica,sonocosìdefiniti:

β :numerodinuovinatinell’unitàditempo,perindividuoµ :frazionediindividuichemuorenell’unitàditempoSi ottiene in questomodo ilmodello di Malthus, e il parametrok = β −µ è detto usualmenteparametrodiMalthusopotenzialebiologicodellapopolazione.Assegnando la condizione iniziale N 0( )=N0

(la popolazione iniziale è N0 ), l’evoluzione della

popolazioneèperfettamentedeterminata,risultainfatti:

N t( )=N0·ekt

elapopolazioneèdestinataall’estinzioneoallacrescitaillimitataasecondachesia k < 0 oppurek > 0 .Sepoik = 0 ,lapopolazionerimanecostante(nasciteemortisicompensano).Il“principiodipopolazione” enunciato daMalthus discende quindi come conseguenza delle ipotesi poste allabasedelmodello, anche seper alcunepopolazioni il potenzialebiologicok risultanegativoe lapopolazionesarebbedestinataall’estinzione.Questomodellodescrivemoltobenel’andamentodiunapopolazionequandoèall’iniziodellasuacrescita ed “invade” o “colonizza” l’ambiente in cui si trova, sia essa una colonia di cellule, dibatteriodiorganismiviventievoluti.Aquestopropositovalelapenadiscutereilsignificatoel’interpretazionedeiparametriβ eµ chedeterminano l’andamento della popolazione. Anzitutto osserviamo che la mortalità specificadetermina il decadimento (esponenziale) di un gruppo di individui inizialmente presenti nellapopolazionenelcasoincuinonconsiderassimoilricambiodovutoainuovinati

N t( )=N0·e−µt .

Il parametro τ =1 µ s⎡⎣ ⎤⎦ rappresenta la costante di decadimento della popolazione e si può

interpretarecomelavitamediadiunindividuo.Andandooltre,econsiderandoilparametroβ ,il

parametroadimensionaleR =τ ·β = β µ ,dettonumerodiriproduzionedibase,indicailnumerodinuoviindividuinatidaunindividuodurantetuttalasuavita.IlmodellodiVerhulstP.F.Verhulstproponeunamodificadelmodellomalthusianopertenercontodiuna“resistenza”dell’ambiente. Questa idea trova di fatto riscontro in considerazioni di tipo biologico cheassumonolaformadelprincipiodicompetizioneintraspecifica.IlmodellodiMalthusnonè realisticoperunapopolazione complessa comequellaumana, e ingeneralenonèrealisticoperdescrivereunapopolazioneinunintervalloditempoesteso.Bisogna

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tenercontochelavariabilitàdell’habitatèdifattodovutadaunaparteallavariazioneautonomadell’habitat, indipendentedallapopolazionestessa,dall’altraadalcunimeccanismi intrinseciallapopolazionechesimanifestanoquandoladensitàdellapopolazioneraggiungeuncertolivello.Trai fattori che intervengonocitiamo la limitatezzadelle risorse, l’inquinamentoche lapopolazioneproducesull’ambiente,leenergiespeseperlasocializzazione,l’aumentodellapredazione:sitrattadi una fenomenologia complessa, denominata competizione intraspecifica, a causa della qualeogni popolazione subisce una trasformazione delle proprie condizioni di vita in accordo colseguenteprincipio(effettologistico):adaltedensità,unaumentodellapopolazioneproduceunadiminuzionedifertilitàedunaumentodimortalità.Ilmodopiùsemplicepertenercontodiquestaclassedifenomeninellanostramodellizzazione,èassumere che fertilità emortalità dipendonodal numerodi individuiN inmodo lineare. Si puòprovarecheilmodelloèdescrittodallarelazione

N t( )= l·N0

N0 + l−N0( )e−kt,

che tende asintoticamente al valore l (detta capacità portante dell’ambiente), qualunque sia ilvalorediN0 ≠ 0 .Lapopolazione,quindi,qualunquesiailsuostatoiniziale,tendeadattestarsisulvalore l .Osserviamo infine che quando la capacità portante l è molto grande rispetto alla numerositàdellapopolazioneNlacrescitadellapopolazioneèapprossimabileconunacrescitamalthusiana.3.Ambitofisico-astronomicoLascaladiPogsonL’astronomoN.R.Pogson introdusseunarelazionechepermettedideterminare lamagnitudineapparente(m)diuncorpoceleste.mrappresentaunamisuradellasualuminositàrilevabiledaunpuntodiosservazione,disolitolaTerra.Ilvaloredellamagnitudineècorrettoinmododaottenerelaluminositàchel’oggettoavrebbeselaTerrafosseprivadiatmosfera.Maggioreèlaluminositàdell’oggettocelesteminoreèlasuamagnitudine.Generalmentelamagnitudinevienemisuratanellospettrovisibile.Poichéadesempiounoggettoestremamenteluminosopuòappariremoltodebolesesitrovaaduna grandedistanza, questamisuranon indica la luminosità intrinsecadell’oggetto celeste, chevieneinveceespressaconilconcettodimagnitudineassoluta(M),cheequivaleallamagnitudinechel’oggettoavrebbesesitrovassealladistanzadi10parsecdallaTerra(≈32,6anniluce).Nel1856,Pogsonformalizzòilsistemadefinendounastelladiprimamagnitudinecomeunastellache fosse 100 volte più luminosa di una stella di sestamagnitudine. Perciò, una stella di prima

magnitudineè 1005 ≈ 2,512 voltepiùluminosadiunastelladiseconda.TalevaloreèconosciutocomerapportodiPogson.Siano: m magnitudineapparente x banda(frequenza)dellaluceosservata

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Fx flussoluminosoLaformuladiPogsonaffermachem=−2,5·logFx .LascalaRichterLa scala Richter esprime unamisuradella cosiddettamagnitudo ovvero una stima dell’energiasprigionata da un terremoto nel punto della frattura della crosta terrestre, cioè all’ipocentro,secondoicriteriindicatidalgeofisicostatunitenseC.Richter.AdifferenzadellascalaMercalli,chevalutal’intensitàdelsismabasandosisuidannigeneratidalterremoto e su valutazioni soggettive, la magnitudo Richter tende a quantificarel’energiasprigionatadalfenomenosismicosubasepuramentestrumentale.LamagnitudoRichter,sviluppatanel1935daC.Richter,èstatadefinitapernondipenderedalletecnichecostruttive inusonellaregionecolpita.Nella scala Richter la magnitudo di qualsiasi terremoto è data dal logaritmo in base dieci delmassimospostamentodellatraccia(rispettoallozero,espressoinmicrometri)inunsismografoatorsionediWood-Andersoncalibratoinmanierastandard,sel’eventosismicosifosseverificatoaunadistanzaepicentraledi100km.IllivellodiintensitàsonoraL’intensità sonora I quantificaquanto lapotenzadiun’onda sonoraagisce suuna superficie (adesempioiltimpanodell’orecchio).Poichéilraddoppiaredelvolumepercepitodall’orecchioumanocorrispondeaunaumentodell’intensitàdi10volteeiltriplicaredelvolumeaunaumentodi100volteecosìvia,siintroduceildecibel,indicatocondB,cheèun’unitàdimisurausataperillivellodiintensitàacustica;precisamentemisuraillivellosonoropercepitoL=10log I I0( ) &dB dove I0 èlacosiddettasogliadiudibilitàevale10−12 $W m2 .La soglia di udibilità corrisponde quindi a 0dB; una normale conversazione si aggira sui 50dB,mentre lasogliadeldolorecorrispondeai120dB.Ai140dBavviene la rotturadel timpano.Neconseguechel’orecchioumanoriesceapercepiresuoninell’intervallo0-140dB.IldecadimentoradioattivoLaLeggedidecadimentoradioattivodiunelementoesprimelaquantitàdimaterialeradioattivorimastodopouncertointervalloditempo.TaleleggesiricavaricorrendoalmodellodiMalthus:

N t( )=N0·e−λt ,

dove λ è una costante positiva di proporzionalità caratteristica dell’elemento considerato,chiamatacostantedidecadimento.Taleleggemostracome,partendodaN0 atomi,ilnumeroN t( ) diatomipresentiall’istantet,che

nonsisonocioèancoradisintegrati,decresceesponenzialmenteneltempo.

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Un parametro importante per la caratterizzazione di un nucleo radioattivo è il tempo didimezzamento t1 2

,ossiailtempoimpiegatodalnumeroN0 dinucleiperridursidel50%,ovveroa

N t1 2( )=N0 2 .

Ne consegue che N t1 2( )=N0·e−λt1 2 ⇒ e

λt1 2 =2⇒ t1 2 =ln2λ

, ovvero il periodo di dimezzamento

dipendesolodallanaturadell’isotopoconsiderato.Per esempio, se si parte con due grammi di sostanza radioattiva, dopo che sarà trascorso untempoparialsuotempodidimezzamento,diquell’isotoponeresteràungrammo.Unelementochesisfruttaperdatarerepertiarcheologiciè ilcarbonio. Ilcarbonioè l’elementocostituentefondamentaledituttiimaterialidiorigineorganicaedunquedegliorganismiviventi.Innaturasitrovanomescolatifra lorotre isotopidelcarbonio: ilcarbonio12C, ilcarbonio13Ce ilcarbonio14C. Quest’ultimo, più raro, è radioattivo e si forma nell’atmosfera terrestre. Nell’altaatmosfera i raggi cosmici producono neutronin che nella bassa atmosfera partecipano allaseguentereazionenucleare:

714N+n→ 6

14C +p ,doveunatomodiazoto14Nvienetrasformatonelcarbonioradioattivo14C(pindicailprotone).I nuclei14C non appena formati si combinano con l’ossigeno dell’aria per formare l’anidridecarbonica radioattiva14CO2che si mescola poi uniformemente con l’anidride carbonica. Perciò,tutti ivegetali incorporanodurante la fotosintesidelcarbonioradioattivo.Glianimali,compresol’uomo,cibandosidivegetaliassumonoalorovolta14C.Negliesseriviventisitrovalostessorapportotra14Ce12Cchenell’atmosfera;questorapportopuòessereconsideratocostanteperilperiododitempochecoprelastoriadell’uomo.Grazieal14Cèpossibileladatazionedeirepertiantichi;infatti,ilperiododidimezzamentohaunvalore diverso per ogni elemento radioattivo e rimane invariato qualunque sia la pressione, latemperatura o lo stato di aggregazione del composto chimico di cui fa parte l’elemento. Perquestomotivo ildecadimentoradioattivoèutilizzatooggicome“orologionucleare”: laquantitàresiduadi14Cpresenteneirestidiorganismimortipermettedistabilirnel’etàinquanto,quandounorganismomuore,loscambiodicarboniocessaeil14Cpresentenell’organismochedecadenonviene più reintegrato dal nuovo carbonio-14 dell’atmosfera. La quantità di 14C decresceesponenzialmentecon t1 2 =5730 anni.

4.Ambitochimico-biologicoIlpHdiunasoluzioneIlpHè una scala dimisura dell’aciditào dellabasicitàdi unasoluzioneacquosa. Tale termine fuintrodottonel1909dalchimicodaneseS.Sørensen.Il terminep(operatore) simboleggia due operazioni matematiche da effettuaresull’attivitàdelloioneossonioinsoluzioneacquosa.Ledueoperazionisonoillogaritmoinbase10dell’attivitàequindiilcambiodisegnodelrisultato(moltiplicazioneper–1).Insimboli: pH =−logH3O

+ .

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Convenzionalmente,ilpHdisoluzioniacquoseassumevaloricompresifra0(massimaacidità)e14(massima basicità). Al valore intermedio di 7 corrisponde la condizione di neutralità, tipicadell’acquapuraa25°C.In soluzioni non acquose, ilpH può assumere valori anchemolto al di fuori del range 0-14: adesempio una soluzione dioleum(acido solforico concentrato saturato con triossido di zolfo)presentaunpHdi–13.5.Esempiodimodello:unproblemadicontrattazioneUnclientehaversatoinunabancailcapitaleN0 .Labanca, inregimedicapitalizzazionecomposta,proponeuntassodi interesseannuo i.Questosignificacheseilclienteprelevasseilsuocapitaleentroil364-esimogiornolabancarestituirebbeN0 ,mentredal365-esimogiorno(finoal729-esimo)N1 = 1+ i( )N0

.Dallafinedelsecondoanno(il

730-esimogiorno)labancarestituirebbeN2 = 1+ i( )2N0

ecosìvia.

La situazioneèben rappresentatanella figura seguente,dove si evince che siamodi frontealla

funzionedefinitaatratti(confronta[4]) f x( )= 1+ i( )x⎢⎣ ⎥⎦N0

,dove x⎢⎣ ⎥⎦ indicalaparteinteradix(per

esempio,se x =1,79 allora x⎢⎣ ⎥⎦=1 ).

Supponiamo che il cliente abbia la necessità di prelevare l’intero capitale prima dell’inizio delsecondoanno,peresempiodopo6mesi.La banca, attenendosi alle regole prestabilite, propone la restituzione di N1 2 =N0

, ovvero il

capitaleiniziale.Invece il cliente propone che venga restituito sì il capitale iniziale ma anche gli interessiproporzionatialperiodonelqualelabancahaavutoadisposizioneisuoisoldi:N1 2 =N1 2 .

Avviene quindi una disputa che porta a una soluzione concertata, ovvero che sta bene sia allabanca che al cliente: passare da un tasso annuo i a un tasso semestrale i 2 (si veda la figurasuccessiva).

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Così,dopounanno, ilclienteraggiungerebbeunmontantepariaN2 =N0 1+ i2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

(duesemestri),

conunleggerovantaggioeconomicoperilcliente.Ilcliente,vistaladisponibilitàdellabancaevistoilvantaggioeconomicochenehatratto,proponeun tasso di interesse mensile, così da raggiungere, dopo un anno, un montante pari a

N12 =N0 1+ i12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12

.Labancaaccetta.

Ilcliente(esoprattuttolabanca)sichiedequantopotràguadagnare(rispettivamenteperdere)seproponeuntassodiinteressearbitrario i n ,dovensonoiperiodiconilqualedividol’anno.Dopo

unannoilmontantesaràpariaNn =N0 1+ in

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n

.

Per il cliente risulta veramente difficile studiare questo problema, quindi si accontenta amalincuorediuntassod’interessemensile.Ilclientenonriesceaprevedereseperqualchevaloredinrischiadiandareinperdita!Labancainvecesiaffidaaungruppodiricerca.Cisonotrevariabiliingioco(N0 , i edn):troppo

complesso!Riduciamoaunasolavariabile,quellapiùsignificativa:postoN0 =1 , i =1 ,otteniamo

unafunzioneaun’unicavariabile:Nn = f n( )= 1+ 1n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n

.

Bisognaorastudiarelafunzionepercapireseaumentandoilnumerodeiperiodin,Nn nondiventitroppo grande. Per fortuna (della banca) c’è un limite in questa crescita, del quale ci possiamorenderecontoinserendoinunatabellavalorisemprepiùgrandidin:

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n f(n)anno

i

1 2,00000

annuale2 2,25000

semestrale

12 2,61304

mensile365 2,71457

giornaliero

8760 2,71813

all’ora525600 2,71828

alminuto

31536000 2,71828

alsecondoComesipuònotaredalla tabella,pergrandivaloridin ilmontanteannuosembratendereaunvalorebenpreciso,circa2,71828.Il gruppodi ricerca è riuscito a dimostrare che pern→+∞ ilmontante tende ade, noto comenumerodiNepero.eèunnumeroirrazionale.Questo significa che con un capitale di 1,00 € e un tasso di interesse annuo i =100% , dopo unannoal più ilmontante raggiungerà i 2,72€.Nonmale (per il cliente)ma comunqueun valorefinito.PerungenericocapitaleN0 ,ilgruppodiricercaèriuscitoadimostrarecheilmontanteannuosarà

alpiùpariaN0e e,perungenericotassodiinteressei,ilmontanteannuosaràalpiùpariaN0ei .

UnesempiorealisticopotrebbeessereconN0 =10000,00€e i =2% .Supponendo di avere un tasso di interesse istantaneo, dopo un anno il montante sarà pari a10000·e1 50 ≈10202,01€.Supponendo di avere un tasso di interesse annuo, dopo un anno il montante sarà pari a10000· 1+1 50( ) ≈10200,00 €.Comesivede,suuncapitaledi10000,00€ilguadagnochehailclienteèirrisorio:2,01€.Labancagioisce!6.Biografia[1]Wikipedia,https://it.wikipedia.org[2]M.Iannelli,Introduzioneallateoriamatematicadellepopolazioni,UniversitàdiTrento.http://www.science.unitn.it/~anal1/biomat/note/BIOMAT_08_09.pdf[3]ProgettoLaureeScientifiche-UniversitàdiGenova.http://pls.dima.unige.it/pls0409/Logaritmo/Berto/decadimento.htm[4]Matematicamente, http://www.matematicamente.it/formulario-dizionario/formulario/valore-assoluto-funzione-segno-parte-intera/