Primer - Vodotoranj - Gausova Kvadratura - Prvi Deo
-
Upload
aerodanger -
Category
Documents
-
view
20 -
download
6
description
Transcript of Primer - Vodotoranj - Gausova Kvadratura - Prvi Deo
-
ZadatakOdrediti periode i oblike vibracija (rezervoar na vrhu stuba 6x6x6 m). Pri analizi zanemariti
uticaj T i N sila na deformaciju. Podaci: E = 33 GPa, g_stuba = 25 kN/m3.
40cm
300cm
40cm
500cm
60m
3m
200t
1
-
VARIJANTA 1 - SISTEM SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE
Dinamiki model
60m
3m
M
K
X
P=1
M(x)
3,0
Odreivanje krutosti dinamikog modela: 1. Analitika integracija (MathCAD) 2. Gausova kvadratura (MathCAD)
Komentar:Deo vrha stuba duine 3 m je pri definisanju krutosti smatran beskonano krut.
2
-
Odreivanje fleksibilnosti dinamikog modela
Formiranje podintegralne funkcije
E 33000000:= L_kruti_deo 3.0:= L_stuba 60.0:=
M1_1SS x( ) 3.0 x+:=
D_spolja_gore 3.0:= D_unutra_gore 2.2:=
D_spolja_dole 5.0:= D_unutra_dole 4.2:=
D_spolja x( ) D_spolja_goreD_spolja_dole D_spolja_gore-
L_stubax+:=
D_unutra x( ) D_unutra_goreD_unutra_dole D_unutra_gore-
L_stubax+:=
I x( ) D_spolja x( )( )4 D_unutra x( )( )4-
64:=
PodIntegralnaFunkcija x( )M1_1SS x( )( )
2
E I x( ):=
a 0:= b 60:=
TacnoResenjeHorPomeranjea
b
xPodIntegralnaFunkcija x( )
d 0.0002525752=:=
Svojstvene vednosti
krutost1
TacnoResenjeHorPomeranje3959.2161480543=:=
PovrsinaPoprecnogPreseka x( ) D_spolja x( )( )2 D_unutra x( )( )2-
4:=
zapreminaGornjePolovineStuba
0
L_stuba
2
xPovrsinaPoprecnogPreseka x( )
d:=
zapreminaGornjePolovineStuba 116.86725=
masaGornjePolovineStuba 2.5 zapreminaGornjePolovineStuba 292.16812=:=
masa 200 masaGornjePolovineStuba+ 492.16812=:=
krutost
masa2.83627=:= T1_1SS 2
masa
krutost 2.21530=:=
3
-
Numerika integracija (Gausova kvadratura)
Da analiza ne bi zavisila od intervala integracije [a,b]prelazi se na interval [-1,1] supstitucijom:
x t( )b a-
2t
b a+
2+:=
t( ) PodIntegralnaFunkcija x t( )( ):=
TacnoResenjeHorPomeranjeKontrolab a-
2 1-
1
t t( )
d 0.0002525752=:=
Gausova kvadratura rauna tano polinome do 2n-1 stepena,gde je n broj taaka kvadrature
Gausova kvadratura - 2 take
Polinom aproksimacije (Legendreov polinom)
Pn t n, ( )1
2nn!
nt
t2
1-( )n
d
d
n:= Aikoef nula n, ( )
2 1 nula2
-( )n2
Pn nula n 1-, ( )( )2:=
P2 t( ) Pn t 2, ( )3 t
2
2
1
2-:=
TackeKvadrature2 P2 t( ) 0= solve t,
3
3
3
3-
:=
t1_2 TackeKvadrature21
0.57735-=:= t2_2 TackeKvadrature20
0.57735=:=
TezineKvadrature2
Aikoef TackeKvadrature202, ( )
Aikoef TackeKvadrature212, ( )
1.00000
1.00000
=:=
c1_2 TezineKvadrature20
1.00000=:= c2_2 TezineKvadrature21
1.00000=:=
t1_2( ) 0.0000016878= t2_2( ) 0.0000066403=
Resenje2b a-
2c1_2 t1_2( ) c2_2 t2_2( )+( ) 0.0002498446=:=
4
-
Gausova kvadratura - 3 take
P3 t( ) Pn t 3, ( ) t33 t t
21-( )
2+:=
TackeKvadrature3 P3 t( ) 0= solve t,
0
15
5
15
5-
:=
t1_3 TackeKvadrature32
0.77460-=:= t2_3 TackeKvadrature30
0.00000=:=
t3_3 TackeKvadrature31
0.77460=:=
TezineKvadrature3
Aikoef t1_3 3, ( )
Aikoef t2_3 3, ( )
Aikoef t3_3 3, ( )
0.55556
0.88889
0.55556
=:=
c1_3 TezineKvadrature30
0.55556=:= c2_3 TezineKvadrature31
0.88889=:=
c3_3 TezineKvadrature32
0.55556=:=
t1_3( ) 0.0000007991= t2_3( ) 0.0000044479= t3_3( ) 0.0000072276=
Resenje3b a-
2c1_3 t1_3( ) c2_3 t2_3( )+ c3_3 t3_3( )+( ) 0.0002523896=:=
Gausova kvadratura - 4 take
P4 t( ) Pn t 4, ( ) 3 t2 t2 1-( ) 3 t2
1-( )2
8+ t
4+:=
TackeKvadrature4 P4 t( ) 0= solve t,
2 30
35
3
7+
2
3530
3
7+-
3
7
2 30
35-
3
7
2
3530--
:=
t1_4 TackeKvadrature41
0.86114-=:= t2_4 TackeKvadrature43
0.33998-=:=
t3_4 TackeKvadrature42
0.33998=:= t4_4 TackeKvadrature40
0.86114=:=
5
-
TezineKvadrature4
Aikoef t1_4 4, ( )
Aikoef t2_4 4, ( )
Aikoef t3_4 4, ( )
Aikoef t4_4 4, ( )
0.34785
0.65215
0.65215
0.34785
=:=
c1_4 TezineKvadrature40
0.34785=:= c2_4 TezineKvadrature41
0.65215=:=
c3_4 TezineKvadrature42
0.65215=:= c4_4 TezineKvadrature43
0.34785=:=
t1_4( ) 0.0000004721= t2_4( ) 0.0000028517= t3_4( ) 0.0000058262=
t4_4( ) 0.0000074612=
Resenje4b a-
2c1_4 t1_4( ) c2_4 t2_4( )+ c3_4 t3_4( )+ c4_4 t4_4( )+( ):=
Resenje4 0.0002525676=
Gausova kvadratura - 5 taaka
P5 t( ) Pn t 5, ( )15 t t
21-( )2
85 t
3 t
21-( )+ t5+:=
TackeKvadrature5 P5 t( ) 0= solve t,
0
2 70
63
5
9+
2
6370
5
9+-
5
9
2 70
63-
5
9
2
6370--
:=
t1_5 TackeKvadrature52
0.90618-=:= t2_5 TackeKvadrature54
0.53847-=:=
t3_5 TackeKvadrature50
0.00000=:= t4_5 TackeKvadrature53
0.53847=:=
t5_5 TackeKvadrature51
0.90618=:=
TezineKvadrature5
Aikoef t1_5 5, ( )
Aikoef t2_5 5, ( )
Aikoef t3_5 5, ( )
Aikoef t4_5 5, ( )
Aikoef t5_5 5, ( )
0.23693
0.47863
0.56889
0.47863
0.23693
=:=
6
-
c1_5 TezineKvadrature50
0.23693=:= c2_5 TezineKvadrature51
0.47863=:=
c3_5 TezineKvadrature52
0.56889=:= c4_5 TezineKvadrature53
0.47863=:=
c5_5 TezineKvadrature54
0.23693=:=
t1_5( ) 0.0000003265= t2_5( ) 0.0000018758= t3_5( ) 0.0000044479=
t4_5( ) 0.0000065152= t5_5( ) 0.0000075773=
Resenje5b a-
2c1_5 t1_5( ) c2_5 t2_5( )+ c3_5 t3_5( )+ c4_5 t4_5( )+ c5_5 t5_5( )+( ):=
Resenje5 0.0002525750=
Gaus2Resenje2 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje1.08112- %=:=
Gaus3Resenje3 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.07351- %=:=
Gaus4Resenje4 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.00301- %=:=
Gaus5Resenje5 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.00010- %=:=
7
-
Trapezno pravilo
t2L_stuba
160.00000=:=
y0t2 PodIntegralnaFunkcija 0 t2( ) 0.0000000965=:=
y1t2 PodIntegralnaFunkcija 1 t2( ) 0.0000078073=:=
ResenjeTrapeznoPravilo2 t2y0t2
2
y1t2
2+
0.0002371148=:=
t3L_stuba
230.00000=:=
y0t3 PodIntegralnaFunkcija 0 t3( ) 0.0000000965=:=
y1t3 PodIntegralnaFunkcija 1 t3( ) 0.0000044479=:=
y2t3 PodIntegralnaFunkcija 2 t3( ) 0.0000078073=:=
ResenjeTrapeznoPravilo3 t3y0t3
2y1t3+
y2t3
2+
0.0002519952=:=
t4L_stuba
320.00000=:=
y0t4 PodIntegralnaFunkcija 0 t4( ) 0.0000000965=:=
y1t4 PodIntegralnaFunkcija 1 t4( ) 0.0000028843=:=
y2t4 PodIntegralnaFunkcija 2 t4( ) 0.0000058017=:=
y3t4 PodIntegralnaFunkcija 3 t4( ) 0.0000078073=:=
ResenjeTrapeznoPravilo4 t4y0t4
2y1t4+ y2t4+
y3t4
2+
0.0002527580=:=
t5L_stuba
415.00000=:=
y0t5 PodIntegralnaFunkcija 0 t5( ) 0.0000000965=:=
y1t5 PodIntegralnaFunkcija 1 t5( ) 0.0000020637=:=
y2t5 PodIntegralnaFunkcija 2 t5( ) 0.0000044479=:=
y3t5 PodIntegralnaFunkcija 3 t5( ) 0.0000063883=:=
y4t5 PodIntegralnaFunkcija 4 t5( ) 0.0000078073=:=
ResenjeTrapeznoPravilo5 t5y0t5
2y1t5+ y2t5+ y3t5+
y4t5
2+
0.0002527777=:=
8
-
t6L_stuba
512.00000=:=
y0t6 PodIntegralnaFunkcija 0 t6( ) 0.0000000965=:=
y1t6 PodIntegralnaFunkcija 1 t6( ) 0.0000015795=:=
y2t6 PodIntegralnaFunkcija 2 t6( ) 0.0000035293=:=
y3t6 PodIntegralnaFunkcija 3 t6( ) 0.0000052888=:=
y4t6 PodIntegralnaFunkcija 4 t6( ) 0.0000067118=:=
y5t6 PodIntegralnaFunkcija 5 t6( ) 0.0000078073=:=
ResenjeTrapeznoPravilo6 t6y0t6
2y1t6+ y2t6+ y3t6+ y4t6+
y5t6
2+
0.0002527361=:=
Trapezno2ResenjeTrapeznoPravilo2 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje6.12114- %=:=
Trapezno3ResenjeTrapeznoPravilo3 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.22965- %=:=
Trapezno4ResenjeTrapeznoPravilo4 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.07235 %=:=
Trapezno5ResenjeTrapeznoPravilo5 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.08015 %=:=
Trapezno6ResenjeTrapeznoPravilo6 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.06368 %=:=
9
-
Simpsonovo pravilo (n mora biti paran broj)
s3L_stuba
230.00000=:=
y0s3 PodIntegralnaFunkcija 0 s3( ) 0.0000000965=:=
y1s3 PodIntegralnaFunkcija 1 s3( ) 0.0000044479=:=
y2s3 PodIntegralnaFunkcija 2 s3( ) 0.0000078073=:=
ResenjeSipsonovoPravilo3s33
y0s3 4 y1s3+ y2s3+( ) 0.0002569554=:=
s5L_stuba
415.00000=:=
y0s5 PodIntegralnaFunkcija 0 s5( ) 0.0000000965=:=
y1s5 PodIntegralnaFunkcija 1 s5( ) 0.0000020637=:=
y2s5 PodIntegralnaFunkcija 2 s5( ) 0.0000044479=:=
y3s5 PodIntegralnaFunkcija 3 s5( ) 0.0000063883=:=
y4s5 PodIntegralnaFunkcija 4 s5( ) 0.0000078073=:=
ResenjeSipsonovoPravilo5s53
y0s5 4 y1s5+ 2 y2s5+ 4 y3s5+ y4s5+( ) 0.0002530385=:=
s7L_stuba
610.00000=:=
y0s7 PodIntegralnaFunkcija 0 s7( ) 0.0000000965=:=
y1s7 PodIntegralnaFunkcija 1 s7( ) 0.0000012681=:=
y2s7 PodIntegralnaFunkcija 2 s7( ) 0.0000028843=:=
y3s7 PodIntegralnaFunkcija 3 s7( ) 0.0000044479=:=
y4s7 PodIntegralnaFunkcija 4 s7( ) 0.0000058017=:=
y5s7 PodIntegralnaFunkcija 5 s7( ) 0.0000069159=:=
y6s7 PodIntegralnaFunkcija 6 s7( ) 0.0000078073=:=
ResenjeSipsonovoPravilo7s73
y0s7 4 y1s7+ 2 y2s7+ 4 y3s7+ 2 y4s7+ 4 y5s7+ y6s7+( ):=
ResenjeSipsonovoPravilo7 0.0002526795=
Simpson3ResenjeSipsonovoPravilo3 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje1.73418 %=:=
Simpson5ResenjeSipsonovoPravilo5 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.18342 %=:=
Simpson7ResenjeSipsonovoPravilo7 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.04126 %=:=
10
-
3/8 pravilo (n mora biti deljivo sa 3)
tro4L_stuba
320.00000=:=
y0tro4 PodIntegralnaFunkcija 0 tro4( ) 0.0000000965=:=
y1tro4 PodIntegralnaFunkcija 1 tro4( ) 0.0000028843=:=
y2tro4 PodIntegralnaFunkcija 2 tro4( ) 0.0000058017=:=
y3tro4 PodIntegralnaFunkcija 3 tro4( ) 0.0000078073=:=
TroOsminskoPravilo43
8tro4 y0tro4 3 y1tro4+ 3 y2tro4+ y3tro4+( ) 0.0002547134=:=
tro7L_stuba
610.00000=:=
y0tro7 PodIntegralnaFunkcija 0 tro7( ) 0.0000000965=:=
y1tro7 PodIntegralnaFunkcija 1 tro7( ) 0.0000012681=:=
y2tro7 PodIntegralnaFunkcija 2 tro7( ) 0.0000028843=:=
y3tro7 PodIntegralnaFunkcija 3 tro7( ) 0.0000044479=:=
y4tro7 PodIntegralnaFunkcija 4 tro7( ) 0.0000058017=:=
y5tro7 PodIntegralnaFunkcija 5 tro7( ) 0.0000069159=:=
y6tro7 PodIntegralnaFunkcija 6 tro7( ) 0.0000078073=:=
TroOsminskoPravilo73
8tro7 y0tro7 3 y1tro7+ 3 y2tro7+ 2 y3tro7+ 3 y4tro7+ 3 y5tro7+ y6tro7+( ):=
TroOsminskoPravilo7 0.0002527871=
TroOsminskoPr4TroOsminskoPravilo4 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.84654 %=:=
TroOsminskoPr7TroOsminskoPravilo7 TacnoResenjeHorPomeranje-
TacnoResenjeHorPomeranje0.08387 %=:=
11
-
Rekapitulacija rezultata
Gaus2 1.08112- %= Trapezno2 6.12114- %= Simpson3 1.73418 %= TroOsminskoPr4 0.84654 %=
Gaus3 0.07351- %= Trapezno3 0.22965- %= Simpson5 0.18342 %= TroOsminskoPr7 0.08387 %=
Gaus4 0.00301- %= Trapezno4 0.07235 %= Simpson7 0.04126 %=
Gaus5 0.00010- %= Trapezno5 0.08015 %=
Trapezno6 0.06368 %=
12
-
VARIJANTA 2 - SISTEM SA DVA STEPENA SLOBODE
Dinamiki model
60m
3m
M1
K
X
M2
P =11
M (x)1
3,0P =12
M (x)2
M1_2SS1
2
1
4+
200 150.00000=:= M2_2SS
1
4200 masaGornjePolovineStuba+:=
MatricaMasa_2SSM1_2SS
0
0
M2_2SS
150
0
0
342.16812
=:=
Mom1_2SS x( ) 3 x+:= Mom2_2SS x( ) x:=
delta11_2SS
a
b
xMom1_2SS x( )( )
2
E I x( )
d 0.0002525752=:=
delta22_2SS
a
b
xMom2_2SS x( )( )
2
E I x( )
d 0.0002125786=:=
delta12_2SS
a
b
xMom1_2SS x( ) Mom2_2SS x( )
E I x( )
d 0.0002312862=:=
13
-
delta21_2SS delta12_2SS 0.0002312862=:=
MatricaFleksibilnosti_2SSdelta11_2SS
delta21_2SS
delta12_2SS
delta22_2SS
0.0002525752
0.0002312862
0.0002312862
0.0002125786
=:=
DinamickaMatrica_2SS MatricaFleksibilnosti_2SS MatricaMasa_2SS:=
DinamickaMatrica_2SS0.0378862872
0.0346929247
0.0791387515
0.0727376292
=
svojstveneKruzneFrekvencije_2SS1
eigenvals DinamickaMatrica_2SS( )
104.078
3.008
=:=
obliciVibracija_2SS eigenvecs DinamickaMatrica_2SS( )0.90238-
0.43095
0.73668-
0.67624-
=:=
T1_2SS2
svojstveneKruzneFrekvencije_2SS1
2.08893=:=
1_2SS obliciVibracija_2SS 1 0.73668-
0.67624-
=:=
T2_2SS2
svojstveneKruzneFrekvencije_2SS0
0.06037=:=
2_2SS obliciVibracija_2SS 0 0.90238-
0.43095
=:=
14
-
VARIJANTA 3 - SISTEM SA TRI STEPENA SLOBODE
Dinamiki model
60m
3m
M1
K
M2
M3
P =11
3,0
33,0
P =12
30,0
63,0 60,0
M1
X
M2
30,0
M3P =13
-30,0
15
-
M1_3SS1
2
1
4+
200 150.00000=:=
M2_3SS1
4200 2.5
0
15
xPovrsinaPoprecnogPreseka x( )
d+ 184.30309=:=
M3_3SS 2.515
45
xPovrsinaPoprecnogPreseka x( )
d 339.29201=:=
MatricaMasa_3SS
M1_3SS
0
0
0
M2_3SS
0
0
0
M3_3SS
150
0
0
0
184.30309
0
0
0
339.29201
=:=
Mom1_3SS x( ) 3 x+:= Mom2_3SS x( ) x:= Mom3_3SS x( ) 30- x+:=
delta11_3SS
0
60
xMom1_3SS x( )
2
E I x( )
d 0.0002525752=:=
delta22_3SS
0
60
xMom2_3SS x( )
2
E I x( )
d 0.0002125786=:=
delta33_3SS
30
60
xMom3_3SS x( )
2
E I x( )
d 0.0000211816=:=
delta12_3SS
0
60
xMom1_3SS x( ) Mom2_3SS x( )
E I x( )
d 0.0002312862=:=
delta13_3SS
30
60
xMom1_3SS x( ) Mom3_3SS x( )
E I x( )
d 0.0000584516=:=
delta23_3SS
30
60
xMom2_3SS x( ) Mom3_3SS x( )
E I x( )
d 0.0000550634=:=
16
-
MatricaFleksibilnosti_3SS
delta11_3SS
delta12_3SS
delta13_3SS
delta12_3SS
delta22_3SS
delta23_3SS
delta13_3SS
delta23_3SS
delta33_3SS
:=
MatricaFleksibilnosti_3SS
0.0002525752
0.0002312862
0.0000584516
0.0002312862
0.0002125786
0.0000550634
0.0000584516
0.0000550634
0.0000211816
=
DinamickaMatrica_3SS MatricaFleksibilnosti_3SS MatricaMasa_3SS:=
DinamickaMatrica_3SS
0.0378862872
0.0346929247
0.0087677351
0.0426267539
0.0391788974
0.0101483532
0.0198321495
0.0186825690
0.0071867638
=
svojstveneKruzneFrekvencije_3SS1
eigenvals DinamickaMatrica_3SS( )
3.495
148.872
20.645
=:=
obliciVibracija_3SS eigenvecs DinamickaMatrica_3SS( )
0.72489-
0.66609-
0.17564-
0.72884-
0.68082
0.07267-
0.35870-
0.13093-
0.92422
=:=
T1_3SS2
svojstveneKruzneFrekvencije_3SS0
1.79770=:=
1_3SS obliciVibracija_3SS 0
0.72489-
0.66609-
0.17564-
=:=
T2_3SS2
svojstveneKruzneFrekvencije_3SS2
0.30435=:=
2_3SS obliciVibracija_3SS 2
0.35870-
0.13093-
0.92422
=:=
T3_3SS2
svojstveneKruzneFrekvencije_3SS1
0.04221=:=
3_3SS obliciVibracija_3SS 1
0.72884-
0.68082
0.07267-
=:=
17
-
Odnos izmeu perioda vibracija prvog tonakod modela:
sa 1 i sa 2 stepena slobode ------------------------------->
sa 1 i sa 3 stepena slobode ------------------------------->
sa 2 i sa 3 stepena slobode ------------------------------->
T1_2SS T1_1SS-
T1_1SS5.704- %=
T1_3SS T1_1SS-
T1_1SS18.851- %=
T1_3SS T1_2SS-
T1_2SS13.941- %=
18