Primer Parcial Mate1
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8/18/2019 Primer Parcial Mate1
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Matemáticas I (MA-1111).
Universidad Simón Bolívar.
Matemáticas I (MA-1111).
Septiembre – diciembre 2013.
[email protected] ; @ChristianLaya
Primer examen parcial (25%)
1. Halle el conjunto de todas las soluciones de la inecuación:
Solución:
Definimos los valores absolutos:
Determinemos si las raíces (factores) podemos incluirlas:
Si se tiene:
Lo cual causa la división entre cero y, por ende, no podemos incluirlo.
Si se tiene:
Lo cual es falso y, por ende, no podemos incluirlo.
Estudiamos los casos:
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Estudiamos los casos:
Caso 1: si , es decir, .
Realizando el estudio correspondiente de signos obtenemos que:
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]
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Matemáticas I (MA-1111).
Interceptando las soluciones obtenemos que:
Caso 2: si , es decir, .
Realizando el estudio correspondiente de signos:
Teniendo que:
Interceptamos y obtenemos:
Caso 3: si , es decir, .
Lo cual es falso y se obtiene que:
Interceptamos y obtenemos:
Finalmente:
2. Sean
la recta de ecuación
y un punto P(-4,5).
Halle la ecuación de la recta L’ que es paralela a L y pasa por P.
Halle la ecuación de la circunferencia tangente a L y L’ que pasa por P.
Solución:
Sabemos que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales.
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Matemáticas I (MA-1111).
La recta Q nos proporciona información suficiente para construir la circunferencia C que es tangente a L, R y
pasa por el punto P.
Definimos el punto H como el que se origina de la intersección entre L y Q.
La distancia entre el punto P y el punto H es el diámetro de la circunferencia. El punto medio entre P y el punto H es el centro de la circunferencia.
Busquemos el punto H (intersección entre L y Q):
Sustituimos (2) en (1):
Sustituimos el valor obtenido en (2):
Así pues, el punto H es:
Busquemos ahora el diámetro de la circunferencia:
Así pues, el radio de C será:
Busquemos el centro de C:
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Matemáticas I (MA-1111).
Finalmente, la ecuación de la circunferencia C buscada, es:
3. Sean las funciones definidas por:
Bosqueje las gráficas de las funciones f y g por separado.
Determine el dominio y el rango de f y g.
Halle Solución:
Graficamos la función f:
De la gráfica vemos que:
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Matemáticas I (MA-1111).
Graficamos la función g:
De la gráfica vemos que:
Ahora bien, queremos hallar , para ello se debe cumplir que:
Se ve claramente que:
Procedemos a hallar la función compuesta:
Tenemos:
Primer trozo:
Resolvemos la inecuación:
Interceptando tenemos que:
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Matemáticas I (MA-1111).
Segundo trozo:
Resolvemos la inecuación:
Interceptando tenemos que:
Finalmente:
