Primer 3a - Proračun spregnutog podnog nosača - parcijalnismičući spoj

1. Karakteris ke spregnutog nosača

Raspon spregnutog podnog nosača:  L 12.0m

Razmak spregnu h podnih nosača:  b 4.0m

Spregnu  nosač u toku građenja nije poduprt. Čelični nosač (vruće valjani IPE profil) se spreže sa spregnutom pločom na profilisanom limu(ComFlor CF70 sa pravacem profilacije lima upravanim na pravac nosača). Za sprezanje se koristezavareni moždanici sa glavom prečnika 19mm visine 120 mm.   

Komentar 1: Za nosač raspona 12.0 m u toku građenja nije predviđeno podupiranje. Ovakav način gradnjepodrazumeva da čelični nosač raspona 12.0 m, sta čkog sistema proste grede u toku građenja(Faza I) je dimenzionisan tako da može da prenese sledeće u caje: sopstvenu težinu čeličnogprofila, sopstvenu težinu svežeg betona na profilisanom limu, sopstvenu težinu profilisanog lima ipromenljivo opterećenje u toku građenja. Za nosače većih raspona od 12.0 m, potrebno je usvojipodupiranje u toku građenja, što će bi  prikazano u Primeru 3b.

Komentar 2: Geometrijske karakteris ke spregnute ploče na profilisanom limu usvoji  u skladu sa Primerom 1 ukojem je izvršeno njeno dimenzionisanje. Za čelični profil usvoji  IPE profil. Primarno, smičući spojizmeđu spregnute ploče i čeličnog nosača će bi  dimenzionisan koristeći zavarene moždanike saglavom. Usvojena je pretpostavka o moždanicima prečnika 19.0 mm i visine 120.0 mm. Moguće jepronaći kataloge proizvođača (npr. Nelson) u kojima se nalaze i podaci o dimenzijama zavarenihmoždanika (raspoloživi prečnici i visine).Moždanici koji se primenjuju u spregnu m konstrukcijama u zgradarstvu, prema SRPS EN 1994-1-1[1], moraju bi  duk lni i ispunjava  određene uslove u pogledu dimenzija. Ti uslovi su definisani usledećim klauzulama standarda SRPS EN 1994-1-1 [1]. Navedena pravila u pogledu karakteris kazavarenih moždanika data su i u Predavanju 2- Podužni smičući spoj - Spregnute konstrukcije odčelika i betona [2].

 

2. Opterećenja

Stalna opterećenja

Ploča na profilisanom limu (beton normalne težine): g1 3.125kN

m2

Ukupna visina betonske ploče na profilisanom limu:  h 150mm

Sopstvena težina profilisanog lima:  g2 0.11kN

m2

Sopstvena težina čeličnog profila: g3 0.907kN

m

Podna obloga i instalacije:  g4 2kN

m2

Promenljiva opterećenja

Korisno opterećenje: q1 2kN

m2

Opterećenje u toku građenja:  q2 0.75kN

m2

3. Kombinacije opterećenja

Granično stanje nosivos :

i

γGi Gi γQ1 Qk1

j 1 γQj ψ0j Qkj

Granično stanje upotrebljivos :

i

Gi Qk1

j 1 ψ0j Qkj

Komentar 3: Sva opterećenja koja se koriste u dimenzionisanju spregnutog grednog nosača su ista kao iopterećenja usvojena za dimenzionisanje spregnute ploče u Primeru 1. U listu opterećenja dodajese sopstvena težina čeličnog profila. 

4. Materijali

4.1 Beton 

Klasa čvrstoće betona C25/30  fck 25MPa

Skupljanje εcs 325 106

Sekantni modul elas čnos  za kratkotrajna opterećenja  Ecm 31GPa

4.2 Čelik za armaturu  

Rebrasta armatura B500  fsk 500MPa

Modul elas čnos   Es 210GPa

4.3 Konstrukcioni čelik 

Kvalitet čelika S235  fy 235MPa

Modul elas čnos   Ea 210GPa

4.4 Profilisani lim 

Kvalitet čelika S355  fyp 355MPa

Modul elas čnos   Eap 210GPa

Srednja širina talasa profilisnog lima  b0 162mm

Visina profilisanog lima hp 70mm

4.5 Elas čni moždanici sa glavom

Prečnik moždanika:  ds 19mm

Visina moždanika nakon zavarivanja:  hsc 120mm

Granična čvrstoća na zatezanje: fu 450MPa

Granica tečenja (razvlačenja): fystud 350MPa

4.6 Parcijalni koeficijen  sigurnos  

Konstrukcioni čelik  γM0 1 Beton γc 1.5

Profilisani lim γap 1.0 Armatura γs 1.15

Moždanici  γv 1.25

Komentar 4: Usvojene karakteris ke materijala i parcijalni koeficijen  sigurnos  ostaju takođe nepromenjeni uodnosu na dimenzionisanje spregnute ploče koje je dato u Primeru 1. Svojstva materijalazavarenog moždanika sa glavom mogu se uze  u skladu sa podacima usvojenim u ovom Primeru. 

5. U caji u konstrukciji - proračun momenta i transverzalne sile

5.1 U caji u toku građenja (faza 1)

qu1 1.35 g1 g2 b 1.35g3 1.5 q2 b 23.193kN

m

Vrednost proračunskog momenta savijanja MEd1

qu1 L2

8417.482 kN m

Vrednost proračunske transverzalne sile VEd1

qu1 L

2139.161 kN

Komentar 5: Faza I je faza betoniranja odnosno izvođenja spregnute ploče na profilisanom limu. U ovoj faziopterećenje (sopstvenu težinu svežeg betona, profilisanog lima i čeličnog profila kao i promenljivoopterećenje u toku građenja) prenosi čelični profil. Obzirom da je usvojeno građenje bezpodupiranja, sta čki sistem čeličnog nosača u ovoj fazi je prosta greda raspona 12.0 m. Zanavedena opterećenja za Fazu I određuju se proračunske vrednos  u caja, momenat savijanjaMEd i smičuća sila VEd.  

5.2 U caji koji odgovaraju spregnutom preseku (faza 2)

qu2 1.35 g1 g2 g4 b 1.35g3 1.5 q1 b 41.493kN

m

Vrednost proračunskog momenta savijanja MEd2

qu2 L2

8746.882 kN m

Vrednost proračunske transverzalne sile VEd2

qu2 L

2248.961 kN

Komentar 6: Faza II predstavlja fazu u kojoj je beton dos gao zahtevanu čvrstoću i moguće je ostvarispregnuto dejstvo između betonske ploče i čeličnog profila. Svo opterećenje (sopstvenu težinubetona, profilisanog lima, čeličnog profila, podnih obloga i instalacija, kao i korisno opterećenje uzavisnos  od namene međuspratne konstrukcije) sada prenosi spregnu  nosač sta čkog sistemaproste grede raspona 12.0 m. Za navedena opterećenja za Fazu II određuju se proračunskevrednos  u caja, momenat savijanja MEd i smičuća sila VEd. 

6. Provera graničnog stanja nosivos  

Faza 1 - Nosivost u toku građenja (kompletno opterećenje prima čelični nosač)

Usvaja se poprečni presek IPE 500 ha 500mm Aa 116cm

2

bf 200mm Iay 48200cm4

tf 16mm Wely 1930cm3

tw 10.2mm Wply 2194cm3

r 21mm iy 20.4cm

hw ha 2 tf 468 mm iz 4.31cm

d ha 2 tf 2 r 426 mm

Klasifikacija poprečnog preseka 

ε235MPa

fy1

Gornja nožica

bf tw

2r

tf4.619 nožica je klase 1

Rebro d

tw41.765 rebro je klase 1

Plas čni moment nosivos čeličnog dela poprečnog preseka (IPE 500) 

MaplRd

fy

γM0Wply 515.59 kN m

MaplRd 515.59 kN m MaplRd MEd1 MEd1 417.482 kN m

Nosivost pri ver kalnom smicanju 

η 1

Površina smicanja Av max Aa 2 b tf tw 2 r tf η hw tw 47.736 cm2

VplRd Av

fy

3

1

γM0 647.669 kN

VplRd 647.669 kN VplRd VEd1 VEd1 139.161 kN

Izbočavanje rebra smicanjem 

d

tw41.765 41.765 72

ε

η

Interakcija savijanja i smicanja

Nosač je sta čkog sistema proste grede i opterećen je ravnomerno raspodeljenim opterećenjem,pa nije potrebno proverava  interakciju dejstva momenta savijanja i smičuće sile.

Bočno torziono izvijanje

Pretpostavlja se da je čelična greda bočno pridržana čeličnim profilisanim limom u toku gradnje.  Da bi se obezbedilo bočno pridržavanje nosača, lim mora bi  fiksiran za gredu zavarivanjemmoždanika kroz profilisani lim ili ugradnjom X-HVB moždanika sa eksreima preko profilisanog lima. 

Komentar 7: Za obe faze neophodno je izvrši  odgovarajuće kontorle nosivos . Za Fazu I, kontrole se svode nanosivost poprečnog preseka na savijanje i smicanje, kako je prikazano u ovom Primeru, a u skladusa pravilima proračuna da m u SRPS EN 1993-1-1 [3] i knjizi Granična stanja čeličnih konstrukcijaprema Evrokodu [4]. 

Faza 2 - Nosivost spregnutog nosača 

Karakteris ke poprečnog preseka

Efek vna širina betonske ploče  beff min b 2L

8

3m

Komentar 8: Efek vna širina spregnute ploče na profilisanom limu koja se koris  za određivanje geometrijskihkarakteris ka spregnutog preseka određuje se prema pravilima da m u SRPS EN 1994-1-1 [1] kojasu data u nastavku ovog objašnjenja.

 

Plas čni moment nosivos  spregnutog nosača sa punim smičućim spojem 

Normalna sila potpuno plas fikovanog betona

Visina betonske ploče iznad gornje ivice profilisanog lima hc 80mm

Ncf 0.85fck

γc beff hc 3.4 10

3 kN

Normalna sila potpuno plas fikovanog čeličnog dela poprečnog preseka 

Npla Aa

fy

γM0 2.726 10

3 kN

Ncf Npla Plas čna neutralna osa poprečnog preseka je u betonskoj ploči!

Kako je:  Ncf 0.85fck

γc beff zpl zpl iz uslova Ncf Npla sledi: 

zpl

Npla

0.85fck

γc beff

64.141 mm 64.141mm 80mm

Iz uslova ravnoteže momenata u odnosu na gornju ivicu betonske ploče određuje se plas čnimoment nosivos  poprečnog preseka:

MplRd Npla za

zpl

2

za

MplRd Npla

ha

2h

zpl

2

1.003 103 m kN MplRd MEd2 MEd2 746.882 kN m

Komentar 9: Pod pretpostavkom o mogućnos  ostvarivanja punog smičućeg spoja, određuje se plas čnimoment nosivos  spregnutog preseka koga čine usvojeni čelični profil i spregnuta ploča naprofilisanom limu efek vne širine beff. Prvo se određuje položaj plas čne neutralne ose, polazeći

od pretpostavke da se ona nalazi u betonskom delu preseka, iznad profilisanog lima. Položajplas čne neutralne ose određuje se pod pretpostavkom da normalna sila pri ska koju može daprenese čelični profil se pomoću smičućeg spoja može u punom iznosu une  u betonski deopreseka iznad profilisanog lima. Izjednačavajući vrednos  ovih sila, imajući u vidu da se angažuješirina betonske ploče beff, određuje se položaj plas čne neutralne ose i potvrđuje pretpostavka

usvojena na samom početku (da se plas čna neutralna osa nalazi iznad profilisanog lima). Potomse iz uslova ravnoteže u odnosu na težište pri snutog dela betonske ploče određuje plas čnimoment nosivos  spregnutog preseka i upoređuje sa proračunkom vrednošću momenta savijanjakoja se javlja u Fazi II. Nosivost mora bi  zadovoljena. 

Ver kalno smicanje 

Av 47.736 cm2 Površina smicanja (ver kalnu smičuću silu prenosi rebro čeličnog nosača)

VplRd Av

fy

3

1

γM0 647.669 kN

VplRd 647.669 kN VplRd VEd2 VEd2 248.961 kN

Izbočavanje rebra smicanjem 

d

tw41.765 40.29 72

ε

η

Komentar 10: Prenošenje ver kalne smičuće sile i u Fazi II se poverava čeličnom profilu, pa se proračun sprovodiu svemu prema preporukama da m u SRPS EN 1993-1-1 [3] i knjizi Granična stanja čeličnihkonstrukcija prema Evrokodu [4]. 

7. Podužni smičući spoj

Određivanje podužne sile smicanja Vl pri punom smičućem spoju 

Fcf1

Aa fy

γM02.726 10

3 kN

Površina betonske ploče  Ac 8.0cm beff 2.4 103 cm

2

Fcf2

0.85 Ac fck

γc3.4 10

3 kN

Pri proračunu podužne sile smicanja zanemaruje se podužna armatura u betonskoj ploči.

Vl min Fcf1 Fcf2 2.726 103 kN

Nosivost moždanika

Koeficijent α je funkcija odnosa visine i prečnika moždanika.    Zahsc

ds4 α 1

PRd1 0.8 fuπ ds

2

4

1

γv 81.656 kN

PRd2 0.29 α ds2 fck Ecm

1

γv 73.73 kN

Čelični nosač se spreže sa pločom na profilisanom limu pa se nosivost moždanika mora pomnožisa redukcionim koeficijentom. 

Broj moždanika u jednom rebru profilisanog lima nr 2

Pretpostavljaju se po dva moždanika u svakom rebru profilisanog lima. Pošto su rebra pločeupravna na osu nosača vrednost redukcionog koeficijenta jednaka je:

kt0.7

nr

b0

hp

hsc

hp1

0.818 kt1 min kt 0.70 0.7

Nosivost moždanika jednaka je PRd kt1 min PRd1 PRd2 51.611 kN

Potreban broj moždanika za pun smičući spoj: 

nVl

PRd52.818 kom Potreban broj moždanika:  npot 53 kom

Maksimalan broj moždanika, ako se izvedu po dva moždanika u svakom rebru, profiisanog lima: 

n112000

30040 kom Pogleda i komentar 12! 

Parcijalni smičući spoj: Maksimalan broj moždanika koji može da se izvede u svakom rebruprofilisanog lima nije dovoljan da obezbedi da se u kri čnom preseku ostvari moment puneplas čnos . 

Komentar 11: Podužna sila smicanja koja treba da se prenese u smičućem spoju pomoću moždanika jednaka je(prema prethodnoj analogiji određivanja položaja plas čne neutralne ose) minimalnoj vrednosizmeđu dve normalne sile koje se mogu javi  u čeličnom profilu ili betonskom delu preseka. Ovakoodređena podužna sila smicanja Vl treba da se prense uz pomoć moždanika. Prvo se određuje

nosivost moždanika u punoj betonskoj ploči, kao minimum nosivos  po dva kriterijuma loma: lommoždanika i lom betona. Nosivost moždanika u spregnutoj betonskoj ploči na profilisanom limuodređuje se redukcijom nosivos  moždanika u punoj betonskoj ploči pomoću odgovarajućegkoeficcijenta k. Nosivost moždanika određuje se u skladu sa preporukama da m u SRPS EN1994-1-1 [1] i Predavanju 2 - Podužni smičući spoj - Spregnute konstrukcije od čelika i betona [2]. Uzavisnos  da li se rebra profilisanog lima postavljaju upravno ili u pravcu čeličnog grednog nosača,koriste se koeficijen  redukcije kt (transversal posi on) ili kl (longitudinal posi on). Gornja granica

za vrednost koeficijenta kt definisana je u tabeli 6.2 u SRPS EN 1994-1-1 [1] i data u nastavku. 

 

 

 

 

 

 

Komentar 12: Potreban proj moždanika za prenošenje podužne sile smicanja određuje se kao količnik podužnesile smicanja Vl i nosivos  jednog moždanika u profilisanom limu. Potreban broj moždanika se

mora smes  uvek na delu nosača između nulte vrednos  i maksimalne vrednos  momentasavijanja. U slučaju proste grede, potreban broj moždanika postavlja se na polovini raspona nosačau skladu sa skicom u prilogu. U punim betonskim pločama, moždanici se duž čeličnog profila moguraspoređiva  poštujući pravila o minimlanim rastojanjima, kako je dato u SRPS EN 1994-1-1 [1] iPredavanju 2 - Podužni smičući spoj - Spregnute konstrukcije od čelika i betona [2], među m kodspregnu h ploča na profilisanom limu, moždanici se mogu postavlja  samo u rebrima profilisanihlimova koja se nalaze na međusobnom rastojanju bs (pogleda  Primer 1 i skicu profilisnaog lima,

kod lima CF 70 ovo rastojanje iznosi 300 mm). Stoga je broj moždanika koji se može postavi  uovom slučaju jendak [nrx(L/2)]/bs. Broj usvojenih moždanika u jednom rebru profilisanog lima iznosi

nr=2, koji se postavljaju po širini nožice profila u jednom redu, pa je broj moždanika koji se može

postavi  u ovom slučaju 40. 

 

MEd2 746.882 kN m

MaplRd 515.59 kN m

MplRd 1.003 103 kN m

nusv 40 Usvojeni broj moždanika, po dva moždanika u svakom rebru profilisanog lima!

Minimalan broj moždanika                            koji se sme postavi  na nosač u ovom slučaju

 mora da zadovolji sledeće uslove:

ηnusv

npot

1. uslov  η 1355MPa

fy

0.750.03

1mL

nusv

npot0.755 što je veće od 1

355MPa

fy

0.750.03

1mL

0.411 uslov je zadovoljen

η 0.4 uslov je zadovoljen2. uslov 

Takođe odnos plas čnog momenta nosivos  spregnutog preseka i plas čnog momenta nosivosčeličnog profila mora bi  manji od 2,5. 

MplRd

MaplRd1.945 što je manje od 2,5. I ovaj uslov je ispunjen. 

Određivanje plas čnog momenta nosivos  koji odgovara parcijalnom podužnom smičućemspoju koji je formiran sa 40 zavarenih moždanika. 

Sila koju mogu da prenesu moždanici jednaka je: 

Nc nusv PRd 2.064 103 kN

Plas čna neutralna osa je u betonskoj ploči 

zpl1

Nc

0.85 befffck

γc

48.575 mm

Plas čna neutralna osa u čeličnom delu poprečnog preseka odeređuje se iz uslova ravnoteženormalnih sila.

za

ha

2h 40 cm

Nc 2.064 103 kN

Npla 2.726 103 kN

Nf 2fy

γM0 bf tf 1.504 10

3 kN

Npla Nc Nf plas čna neutralna osa je u gornjoj nožici nosača

zpl2 hNpla Nc

2fy

γM0 bf

15.704 cm h 15 cm tf 16 mm zpl2 h tf

Nf1 2fy

γM0 bf zpl2 h 661.551 kN

Plas čni moment nosivos  spregnutog preseka

MRd Npla za

zpl1 2

Nf1

zpl2 h zpl1 2

938.699 kN m

MRd Npla za

zpl1 2

Nf1 hzpl2 h

2

zpl1 2

938.699 kN m

MRd 938.699 kN m MEd2 746.882 kN m MRd MEd2 uslov je zadovoljen

Približna vrednost plas čnog momenta nosivos  mogla se odredi  i linearnomaproksimacijom (vide  dijagram): 

MRd1

Nc

VlMplRd MaplRd MaplRd 884.696 kN m

MRd1 884.696 kN m MEd2 746.882 kN m MRd MEd2 uslov je zadovoljen

Komentar 13: Obzirom da je potreban broj moždanika za ostvarivanje punog smičućeg spoja manji od brojamoždanika koji je moguće postavi  na nosaču, biće ostvaren parcijalni smičući spoj, pa jeneophodno odredi  plas čni moment nosivos  koji odgovara parcijalnom podužnom smičućemspoju za usvojeni broj moždanika. Parcijalni smičući spoj koji se ostvaruje kod spregnu h nosača uzgradarstvu prema SRPS EN 1994-1-1 [1] mora da zadovolji uslove date u nastavku. Plas čnimoment nosivos  koji odgovara parcijalnom podužnom smičućem spoju određuje se sada iz uslovada je normalna sila pri ska koja može da se usnese u betonski deo preseka efek vne širine beff

jednaka ne sili pri ska koja se javlja u čeličnom delu preseka, nego je dik rana nosivošću podužnogsmičućeg spoja (nusvxPRd). Dalji postupak se svodi na određivanje plas čne neutralne ose i

redukovanog plas čnog momenta nosivos  koji odgovara parcijalnom podužnom smičućem spoju ikoji mora da bude veći od proračunske vrednos  momenta savijanja za Fazu II, kako bi nosivostbila zadovoljena.

 

 

 

8. Provera graničnog stanja upotrebljivos

8.1. Kontrola deformacija

Faza 1 - U toku građenja

qsls1 g1 g2 b g3 q2 b 16.847kN

m

δ1

5 qsls1 L4

384 Ea Iay44.939 mm

Faza 2 - Spregnu  nosač 

qsls2 g4 b 8kN

m qsls3 q1 b 8

kN

m

nt

Ea

Ecm

3

20.323 n0

Ea

Ecm6.774

Geometrijske karakteris ke spregnutog preseka t=t0

Ai0 Aa1

n0Ac 470.286 cm

2

Položaj težišta

ei0

Aa

ha

2h

1

n0Ac

hc

2

Ai0 za

ha

2h 40 cm

Icy1

12beff hc

3 1.28 104 cm

4

Ii0 Iay Aa za ei0 21

n0Icy Ac ei0

hc

2

2

1.633 105 cm

4

Geometrijske karakteris ke spregnutog preseka t=tt

Ait Aa1

ntAc 234.095 cm

2

Položaj težišta

eit

Aa

ha

2h

1

ntAc

hc

2

Ait

Icy1

12beff hc

3 1.28 104 cm

4

Iit Iay Aa za eit 21

ntIcy Ac eit

hc

2

2

1.247 105 cm

4

δ2

5 qsls2 L4

384 Ea Iit8.25 mm

δ3

5 qsls3 L4

384 Ea Ii06.297 mm

Predviđeno je nadvišenje nosača od 45 mm . 

Ukupan ugib nosača jednak je

δsls δ1 δ2 δ3 45mm 14.486 mm δslsL

250

L

25048 mm

Komentar 14: Kontrola deformacija se sprovodi za obe analizirane faze građenja. U Fazi I se određuje ugibčeličnog profila, dok se za Fazu II određuje dodatni ugib od opterećenja koje naknadno deluje naspregnu  nosač (sopstvena težina podnih obloga i instalacija i korisno opterećenje). Ugib u Fazi IIse određuje za idealizovan spregnu  poprečni presek (sva stalna opterećenja se tre raju da sudugotrajnog karaktera, dok se korisno opterećenje tre ra da je kratkotrajnog karaktera). Uslučaju prekoračenja ugiba, može se predvide  nadvišenje nosača (čelični profil se izrađuje saodređenom preddeformacijom odnosno nadvišenjem, koje je u ovom primeru usvojeno da budepribližno jednako ugibu iz Faze I). 

8.2. Kontrola vibracija

Određivanje sopstvene frekvencije oscilovanja međuspratne konstrukcije

Procena mase koja osciluje:

q g1 g2 g4 b g3 0.1 q1 b 22.6471

mkN

δm5

384

q

L4

Ea Ii0 17.826 mm

Sopstvena frekvencija oscilovanja kada se posmatra jedan spregnu  gredni nosač:

f017.8

δm

3.831 Hz 3.831 Hz17.8

17.8264.216

Sopstvena frekvencija oscilovanja kada se posmatra cela međuspratna konstrukcija:

Is 880.721cm

4

m

Procena mase koja osciluje:

ms g1 g2 g4 0.1 q1 1

9.81m

s2

554.027kg

m2

masa ploče koja osciluje

mb g1 g2 g4 0.1 q1g3

b

1

9.81m

s2

577.141kg

m2

masa spregnute gredekoja osciluje

Sopstvena frekvencija oscilovanja ploče:

f0s 3.56Ea Is ms b

4

1

2

f0s 12.8561

s

Sopstvena frekvencija oscilovanja spregnute grede:

f0bπ

2

Ea Ii0 mb b L

4

1

2

4.2051

s

Ukupna frekvencija oscilovanja međuspratne konstrukcije:

1

f0s2

1

f0b2

0.063 s2

R 68000Cf

mb Seff L ζ 7.7181

kg

f01

0.063s2

3.9841

s

Odgovor spregnute konstrukcije na pešačko opterećenje (BS 6472):

f01

0.063s2

3.9841

s Niska frekvencija oscilovanja konstrukcije!

Cf 0.4

ζ 0.03 prugušenje konstrukcije

Seff 4.5 Ea

Is

mb f02

1

4

16.963m efek vna širina međuspratnekonstrukcije

Odgovor spregnute konstrukcije na pešačko opterećenje (ArcelorMital):

Frekvencija oscilovanja međuspratne konstrukcije:

f01

0.063s2

3.9841

s

Masa konstrukcije koja osciluje:

Mtotal mb b L 2.77 104 kg

δslab5

384

ms 9.81

m

s2

b4

Ea Is

9.795 mm

δbeam5

384

mb b 9.81

m

s2

L4

Ea Ii0

17.826 mm

δtotal δslab δbeam 27.621 mm

Mmod Mtotal

δslab2

δbeam2

2 δtotal2

8

π2

δslab δbeam δtotal

2

1.265 104 kg

Međuspratna konstrukcija je klase D. Konstrukcija ispunjava uslove za primenu u prostorijama zastanovanje, kancelarijama, u svemu prema: 

7 Hz

R > 4, konstrukcija ne ispunjava zahteve u pogleduvibracija za kancelarije i prostorije za stanovanje, aispunjava uslove za veoma prometne kancelarije iradionice, prema BS 6472.

*M. Feldmann, et al, “Design of floor structures for human induced vibra ons”, Backgrounddocument in support to the implementa on, harmoniza on and further development of theEurocodes, ECCS, Italy, 2009.

Komentar 15: Kontorla vibracija sprovedena je za dimenzionisani spregnu  nosač prema preporukamastandarda BS 6472 [5] i preporukama da m u Design of floor structures for human inducedvibra ons [6], kako je to prikazano u Predavanju 3 - Vibracije - Spregnute konstrukcije od čelika ibetona [7]. Prema ovim preporukama potrebno je utvrdi  kojoj klasi namene objekta pripadaspregnuta međuspratna tavanica koja je dimenzionsana do sada kroz Primer 1, Primer 2 i Primer 3i rešena dispozicionim rešenjem.

Napomena: Napomena: Is  primer neophodno je uradi  i u slučaju kada bi se umesto zavarenih moždanika saglavom koris li X-HVB moždanici. Proračunska nosivost ovih moždanika u punim betonskimpločama definisana je od strane proizvođača, dok se redukcija nosivos  u spregnu m pločama naprofilisanom limu određuje korištenjem odgovarajućih koeficijenata kt, odnosno kl, kako je

definisano u Predavanju 2 - Podužni smičući spoj - Spregnute konstrukcije od čelika i betona [2] i uSolu ons for composite beams - Hil  X-HVB system [8]. Postupak proračuna je sledeći:1. za usvojeni spregnu  nosač izvrši  samo promenu vrste sredstva za sprezanje, odredi  plas čnimoment nosivos  koji odgovara parcijalnom podužnom smičućem spoju i ukoliko je nosivost zaFazu II zadovoljena, utvrdi  koliki je procentualni pad nosivos  ostvaren,2. ukoliko nosivost nije zadovoljena, usvoji  veći čelični profil, sproves  proračun nosivos  ikonstatova  koliko povećanje profila je bilo neophodno,3. ukoliko nije moguće zadovolji  odredbe o parcijalnom smičučem spoju ni za jedan analiziranislučaj (odredbe date u 6.6.1.2 u SRPS EN 1994-1-1 [1]) završi  proračun.Karakteris čna i proračunska nosivost X-HVB moždanika kao i odgovarajući koeficijen  redukcijeda  su u nastavku i mogu se pronaći u Solu ons for composite beams - Hil  X-HVB system [8].

 

 

 

Primer 3b - Proračun spregnutog podnog nosača - pun smičućispoj

1. Karakteris ke spregnutog nosača

Raspon spregnutog podnog nosača:  L 15m

Razmak spregnu h podnih nosača:  b 3.0m

Spregnu  nosač u toku građenja je poduprt u polovini raspona. Čelični nosač (vruće valjani IPE profil) se spreže sa spregnutom pločom na profilisanom limu(ComFlor CF70 sa pravacem profilacije lima upravanim na pravac nosača). Za sprezanje se koristezavareni moždanici sa glavom prečnika 22 mm visine 120 mm.   

Komentar 16:Proračun spregnutog nosača raspona 15.0 m pokazuje karakteris čan slučaj proračuna kada jeneophodno podupiranje u toku građenja. Stoga se komentari koji su is  u pojedinim delovimazadatka neće ponavlja , nego će se da  pozivanje na komentare date u Primeru 3a i po potrebida  novi komentari. U ovom primeru je usvojeno da je spregnuta ploča is h geomerijskihkarakteris ka kao ploča čije je dimenzionisanje urađeno u Primeru 1, ali sa smanjenim rasponom,odnosno b=3.0 m. 

Pogleda komentar 2.

2. Opterećenja

Stalna opterećenja

Ploča na profilisanom limu (beton normalne težine):  g1 3.125kN

m2

Ukupna visina betonske ploče na profilisanom limu:  h 150mm

Profilisani lim :  g2 0.11kN

m2

Sopstvena težina čeličnog profila: g3 0.907kN

m

Podna obloga i instalacije:  g4 2kN

m2

Promenljiva opterećenja

Korisno opterećenje: q1 2.0kN

m2

Opterećenje u toku građenja:  q2 0.75kN

m2

3. Kombinacije opterećenja

Granično stanje nosivos  

i

γGi Gi γQ1 Qk1

j 1 γQj ψ0j Qkj

Granično stanje upotrebljivos  

i

Gi Qk1

j 1 ψ0j Qkj

Pogleda komentar 3.

4. Materijali

4.1 Beton 

Klasa čvrstoće C25/30  fck 25MPa

Skupljanje εcs 325 106

Sekantni modul elas čnos  za kratkotrajna opterećenja  Ecm 31GPa

4.2 Čelik za armaturu  

Rebrasta armatura B500  fsk 500MPa

Modul elas čnos   Es 210GPa

4.3 Konstrukcioni čelik 

Kvalitet čelika S235  fy 235MPa

Modul elas čnos   Ea 210GPa

4.4 Profilisani lim 

Kvalitet čelika S355  fyp 355MPa

Modul elas čnos   Eap 210GPa

Srednja širina talasa profilisnog lima  b0 162mm

Visina profilisanog lima hp 70mm

4.5 Elas čni moždanici sa glavom

Prečnik moždanika:  ds 22mm

hsc 120mmVisina moždanika nakon zavarivanja: 

Granična čvrstoća na zatezanje fu 450MPa

Granica tečenja (razvlačenja) fystud 350MPa

4.6 Parcijalni koeficijen  sigurnos  

Konstrukcioni čelik  γM0 1 Profilisani lim γap 1.0

Beton γc 1.5 Moždanici  γv 1.25

Armatura γs 1.15

Pogleda komentar 4.

5. Faze građenja spregnute konstrukcije

Faza 1 ‐ Montaža čeličnog nosača i profilisanog lima, betoniranje ploče. Nosač je u ovoj fazipoduprt u polovini raspona. Sta čki sistem je kon nualni nosač na dva jednaka raspona.Opterećenje koje prima nosač je g1+g2+g3+q2. 

Faza 2 ‐ Nakon završenog sprezanja vrši se demontaža privremenog oslonca. Spregnu  nosačsta čkog sistema proste grede raspona L koji prenosi stalno i korisno opterećenje g1+g2+g3+g4+q1.

Komentar 17:U Fazi II na spregnu  nosač koji je sta čkog sistema proste grede raspona 15.0 m deluju svaopterećenja: sopstvena težina svežeg betona, profilisanog lima, čeličnog profila, podne obloge iinstalacija, kao i korisno opterećenje. Navedena opterećenja koja su delovala na nosač u Fazi I sesada u Fazi II unose kao rekacija središnjeg oslonca kon nulanog nosača iz Faze I, dok se sopstvenatežina podne obloge i instalacija, kao i korisno opterećenje zadaje kao raspodeljeno opterećenje. 

 

6. U caji u konstrukciji - proračun momenta i transverzalne sile

6.1 U caji u toku građenja (faza 1)

qu1 1.35 g1 g2 b 1.35g3 1.5 q2 b 17.701kN

m

Poprečni presek u sredini polja grede kon nualnog nosača 

Vrednost proračunskog momenta savijanja MEd1 0.07qu1L

2

2

69.698 kN m

Vrednost proračunske transverzalne sile uzkrajnji oslonac

VEd1

0.375qu1 L

249.785 kN

Poprečni presek nad srednjim osloncem 

Vrednost proračunskog momentasavijanja

MEd1.s 0.125qu1L

2

2

124.462 kN m

Vrednost proračunske transverzalne sile uzsrednji oslonac

VEd1.s

0.625qu1 L

282.974 kN

Reakcija srednjeg oslonca za fazu 2 qu11 1.35 g1 g2 b 1.35g3 14.326kN

m

REd1.s 0.625qu11 L 134.308 kN

6.2 U caji koji odgovaraju spregnutom preseku (faza 2)

qu3 1.35 g4 b 1.5 q1 b 17.1kN

m

Vrednost proračunskog momenta savijanja

MEd3

qu3 L2

8

REd1.s L

4 MEd3 984.593 kN m

Vrednost proračunske transverzalne sile

VEd3 qu3L

2

REd1.s

2 195.404 kN

7. Provera graničnog stanja nosivos  

Faza 1 ‐ Nosivost u toku građenja (kompletno opterećenje prima čelični nosač)

Usvaja se poprečni presek IPE 500 ha 500mm Aa 116cm

2

bf 200mm Iay 48200cm4

tf 16mm Wely 1930cm3

tw 10.2mm Wply 2194cm3

r 21mm iy 22.3cm

hw ha 2 tf 468 mm iz 4.45cm

d ha 2 tf 2 r 426 mm

Klasifikacija poprečnog preseka 

ε235MPa

fy1

Gornja nožica

bf tw

2r

tf4.619 nožica je klase 1

Rebro d

tw41.765 rebro je klase 1

Plas čni moment nosivos čeličnog dela poprečnog preseka (IPE 500) 

MaplRd

fy

γM0Wply 515.59 kN m

MaplRd 515.59 kN m MaplRd max MEd1.s MEd.1 max MEd1.s MEd1 124.462 kN m

Nosivost pri ver kalnom smicanju 

η 1

Površina smicanja Av max Aa 2 b tf tw 2 r tf η hw tw 47.736 cm2

VplRd Av

fy

3

1

γM0 647.669 kN

VplRd 647.669 kN VplRd max VEd1.s VEd1 max VEd1.s VEd1 82.974 kN

Izbočavanje rebra smicanjem d

tw41.765 40.29 72

ε

η

Interakcija savijanja i smicanja

max VEd1.s VEd1 0.5.VplRd 82.974kN 323.83kN

Nije potrebno vrši  kontrolu nosivos  poprečnog preseka na interak vno dejstvo savijanja ismicanja.

Bočno torziono izvijanje

Pretpostavlja se da je čelična greda bočno pridržana čeličnim profilisanim limom u toku gradnje.  Da bi se obezbedilo bočno pridržavanje nosača, lim mora bi  fiksiran za gredu zavarivanjemmoždanika kroz profilisani lim ili ugradnjom X‐HVB moždanika sa ekserima preko proflisanog lima.

Faza 2 ‐ Nosivost spregnutog nosača 

Karakteris ke poprečnog preseka

Efek vna širina betonske ploče  beff min b 2L

8

3m

Plas čni moment nosivos  spregnutog nosača sa punim smičućim spojem 

Normalna sila potpuno plas fikovanog betona

Visina betonske ploče iznad gornje ivice profilisanog lima hc 80mm

Ncf 0.85fck

γc beff hc 3.4 10

3 kN

Normalna sila potpuno plas fikovanog čeličnog dela poprečnog preseka 

Npla Aa

fy

γM0 2.726 10

3 kN

Ncf Npla Plas čna neutralna osa poprečnog preseka je u betonskoj ploči

Kako je:  Ncf 0.85fck

γc beff zpl zpl iz uslova Ncf Npla sladi: 

zpl

Npla

0.85fck

γc beff

64.141 mm 64.141mm 80mm

Iz uslova ravnoteže momenata u odnosu na gornju ivicu betonske ploče određuje se plas čnimoment nosivos  poprečnog preseka:

MplRd Npla za

zpl

2

za

MplRd Npla

ha

2h

zpl

2

1.003 103

m kN MplRd MEd3 MEd3 984.593 kN m

Ver kalno smicanje 

Av 47.736 cm2

Površina smicanja (ver kalnu smičuću silu prenosi rebro čeličnog nosača)

VplRd Av

fy

3

1

γM0 647.669 kN

VplRd 647.669 kN VplRd VEd3 VEd3 195.404 kN

Izbočavanje rebra smicanjem 

d

tw41.765 45.8 72

ε

η

Pogleda komentare koji prate određeni deo proračuna u Primeru 3a.

8. Podužni smičući spoj

Određivanje podužne sile smicanja Vl pri punom smičućem spoju. 

Fcf1

Aa fy

γM02.726 10

3 kN

Površina betonske ploče  Ac 8.0cm beff 2.4 103

cm2

Fcf2

0.85 Ac fck

γc3.4 10

3 kN

Pri proračunu podužne sile smicanja zanemaruje se podužna armatura u betonskoj ploči.

Vl min Fcf1 Fcf2 2.726 103

kN

Nosivost moždanika

Koeficijent α je funkcija odnosa visine i prečnika moždanika.    Zahsc

ds4 α 1

PRd1 0.8 fuπ ds

2

4

1

γv 109.478 kN

PRd2 0.29 α ds2

fck Ecm1

γv 98.852 kN

Čelični nosač se spreže sa pločom na profilisanom limu pa se nosivost moždanika mora pomnožisa redukcionim koeficijentom. 

Broj moždanika u jednom rebru profilisanog lima nr 2

Pretpostavljaju se dva moždanika u rebru profilisanog lima. Pošto su rebra ploče upravna na osunosača vrednost redukcionog koeficijenta jednaka je:

kt0.7

nr

b0

hp

hsc

hp1

0.818 kt1 min kt 0.60 0.6

Nosivost moždanika jednaka je PRd kt1 min PRd1 PRd2 59.311 kN

Potreban broj moždanika za pun smičući spoj: 

nVl

PRd45.961 kom Potreban broj moždanika:  npot 46 kom

Pun smičući spoj: Maksimalan broj moždanika koji može da se izvede u svakom rebru profiisanoglima je dovoljan da se obezbedi da se u kri čnom preseku ostvari moment pune plas čnos .  

nusv15000

30050 kom

Komentar 18:Potreban broj moždanika može se postavi  u rebrima profilisanog lima, pa je zadovoljenapretpostavka o punom smičučem spoju. 

8. Provera graničnog stanja upotrebljivos

8.1. Kontrola deformacija

Faza 1 ‐ U toku građenja

qsls1 g1 g2 b g3 q2 b 12.862kN

m

δ1

0.284 qsls1L

2

4

Iay δ1 2.44mm ugib u prvom polju grednog

nosačaδ1.oslonac 0mm ugib kod privremenog oslonca (polovina

raspona spregnute grede)

Faza 2 ‐ Spregnu  nosač 

qsls3 g4 b 6kN

m Rsls.3

g1 g2 b g3 0.625 L

249.744 kN

qsls4 q1 b 6kN

m

nt

Ea

Ecm

3

20.323 n0

Ea

Ecm

Geometrijske karakteris ke spregnutog preseka t=t0

Ai0 Aa1

ntAc 234.095 cm

2

za

ha

2h 40 cm

Položaj težišta

ei0

Aa

ha

2h

1

ntAc

hc

2

Ai0

Icy1

12beff hc

3 1.28 10

4 cm

4

Ii0 Iay Aa za ei0 21

n0Icy Ac ei0

hc

2

2

2.011 105

cm4

Geometrijske karakteris ke spregnutog preseka t=tt

Ait Aa1

ntAc 234.095 cm

2

Položaj težišta

eit

Aa

ha

2h

1

ntAc

hc

2

Ait

Icy1

12beff hc

3 1.28 10

4 cm

4

Iit Iay Aa za eit 21

ntIcy Ac eit

hc

2

2

1.247 105

cm4

δ23

5 qsls3 L4

384 Ea IitRsls.3

L3

48 Ea Iit 28.466 mm u sredini raspona spregnutog nosača

δ4

5 qsls4 L4

384 Ea Ii09.366 mm

Ukupan ugib nosača u sredini raspona jednak je

δsls δ1.oslonac δ23 δ4 37.832 mm δslsL

250

L

25060 mm

8.2. Kontrola vibracija

Određivanje sopstvene frekvencije međuspratne konstrukcije

Procena mase koja osciluje:

q g1 g2 g4 b g3 0.1 q1 b 17.2121

mkN

δm5

384

qL4

Ea Ii0 26.867 mm

Sopstvena frekvencija oscilovanja kada se posmatra jedan spregnu  gredni nosač:

f017.8

δm

3.831 Hz 3.831 Hz17.8

26.8673.434

Sopstvena frekvencija oscilovanja kada se posmatra cela međuspratna konstrukcija:

Is 880.721cm

4

m

Procena mase koja osciluje:

ms g1 g2 g4 0.1 q1 1

9.81m

s2

554.027kg

m2

masa ploče koja osciluje

mb g1 g2 g4 0.1 q1g3

b

1

9.81m

s2

584.845kg

m2

masa spregnute grede koja osciluje

Sopstvena frekvencija oscilovanja ploče:

f0s 3.56Ea Is mb b

4

1

2

f0s 22.2441

s

Sopstvena frekvencija oscilovanja spregnute grede:

f0bπ

2

Ea Ii0 mb b L

4

1

2

3.4251

s

Frekvencija oscilovanja spregnute međuspratne konstrukcije:

1

f0s2

1

f0b2

0.087 s2

f01

0.087s2

3.391

s

R 68000Cf

mb Seff L ζ 5.639

1

kg

Odgovor spregnute konstrukcije na pešačko opterećenje (BS 6472):

f01

0.087s2

3.391

s 7 Hz Niska frekvencija oscilovanja konstrukcije!

Cf 0.4

ζ 0.03 prugušenje konstrukcije

Seff 4.5 Ea

Is

mb f02

1

4

18.327m efek vna širina međuspratnekonstrukcije

Odgovor spregnute konstrukcije na pešačko opterećenje (ArcelorMital):

Frekvencija oscilovanja međuspratne konstrukcije:

f01

0.087s2

3.391

s

Masa konstrukcije koja osciluje:

Mtotal mb b L 2.632 104

kg

δslab5

384

ms 9.81m

s2

b4

Ea Is

3.099 mm

δbeam5

384

mb b 9.81m

s2

L4

Ea Ii0

26.867 mm

δtotal δslab δbeam 29.966 mm

Mmod Mtotal

δslab2

δbeam2

2 δtotal2

8

π2

δslab δbeam δtotal

2

1.27 104

kg

Međuspratna konstrukcija je klase D. Konstrukcija ispunjava uslove za primenu u prostorijama zastanovanje, kancelarijama, u svemu prema: 

R >4, konstrukcija ne ispunjava zahteve u pogleduvibracija za kancelarije i prostorije za stanovanje, aispunjava uslove za veoma prometne kancelarije iradionice, prema BS 6472.

*M. Feldmann, et al, “Design of floor structures for human induced vibra ons”, Backgrounddocument in support to the implementa on, harmoniza on and further development of theEurocodes, ECCS, Italy, 2009.

Za pripremanje ovog materijala korištena je sledeća literatura:  

[1] SRPS EN 1994‐1‐1:2012 ‐ Evrokod 4 — Projektovanje spregnutih konstrukcija od čelika i betona — Deo 1‐1: Opšta pravila i pravila za zgrade (naslov na engleskom jeziku ‐ Eurocode 4: Design of composite steel and concrete structures ‐ Part 1‐1: General rules and rules for buildings), Institut za standardizaciju Srbije, 2012. 

[2] doc. dr Milan Spremić, Predavanje 2 – Podužni smičući spoj, https://www.grf.bg.ac.rs/studije/pta?o=0&pid=821&t=2&v=0 

[3] SRPS EN 1993‐1‐1:2013 ‐ Evrokod 3 — Projektovanje čeličnih konstrukcija — Deo 1‐1: Opšta pravila i pravila za zgrade (naslov na engleskom jeziku ‐ Eurocode 3: Design of steel structures – Part1‐1:General rules and rules for buildings), Institut za standardizaciju Srbije, 2013. 

[4] Z. Marković, Granična stanja čeličnih konstrukcija prema Evrokodu, Akademska misao, 2014.  

[5] British Standard BS 6472‐ Guide to Evaluation of human exposure to vibration in buildings (1 Hz to 80 

Hz), BSI, Switzerland, 1992. 

[6] M. Feldmann, Design of floor structures for human induced vibrations, Background document in 

support to the implementation, harmonization and further development of the Eurocodes, ECCS, Italy, 

2009. 

[7] Nina Gluhović, Predavanje 3 – Vibracije, 

https://www.grf.bg.ac.rs/studije/pta?o=0&pid=821&t=2&v=0 

[8] Solutions for composite beams ‐ Hilti X‐HVB system, 2017