PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika...

20
PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDA PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDA Predavanje IV dr Živojin Stamenković docent dr Živojin Stamenković, docent

Transcript of PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika...

Page 1: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPredavanje IVj

dr Živojin Stamenković docentdr Živojin Stamenković, docent

Page 2: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Mirovanje fluida u polju Zemljine teže• Posmatra se sud sa tečnošću koji miruje u polju

l žZemljine teže• Na jedinicu mase tečnosti deluje sila Zemljine teže, a zaz osu je usvojeno da je usmerena vertikalno naniže:

0, 0,X Y Z g

•Komponente sila se•Komponente sila sezamenjuju u osnovnujednačinu hidrostatike

1 dp Xdx Ydy Zdz

jednačinu hidrostatike

dp Xdx Ydy Zdz

Page 3: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Jednačina rasporeda pritiskap p• Nakon zamene u osnovnu jednačinu hidrostatike dobija se sledeći raspored pritiska:

1 0 0d d d d1 0 0dp dx dy gdz

d ddp gdz

dp g dz p gz C

p g

0, 0 0p z C

p gz

Page 4: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Izobarske površiIzobarske površi

I j d či d iti k klj č j d• Iz jednačine rasporeda pritiska zaključujemo dasu izobarske površi određene jednačinom:

O ši d lj j h i l i

z const

• Ove površi predstavljaju horizontalne ravni.• Takože, te izobarske površi i vektor g su normalni,št i ij klj čili kt k j išto smo i ranije zaključili; vektor g pokazuje i smernajvećeg porasta pritiska‐ vertikalno naniže.

• Izobarska površ na kojoj je relativni pritisak p = 0• Izobarska površ na kojoj je relativni pritisak p = 0tj. tamo gde vlada atmosferski pritisak naziva seslobodna površ;slobodna površ;

Page 5: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Uticaj natpritiska i potpritiskaj p p p• Kako sada na površini iznad tečnosti ne vlada

t f ki iti k ć t iti k iliatmosferski pritisak, već natpritisak pm ilipotpritisak pv raspored pritiska se menja na sledećinačin:

• Izobare su i u ovom slučaju horizontalne ravni.

Page 6: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Relativno mirovanje fluidaj• Razmatra se problem relativnog mirovanja fluida u poljuinercijalnih sila i sile Zemljine težeinercijalnih sila i sile Zemljine teže.

• Rezervoar se kreće po horizontalnoj podlozi konstantnimb j U j l i j d j biubrzanjem a.  U stanju apsolutnog mirovanja sud je bio 

napunjen do visine H. • Iz iskustva znamo da će tečnost zauzeti položaj prikazanna slici. 

Page 7: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Relativno mirovanje fluidaj• Na jedinicu mase tečnosti deluje sila Zemljine teže i 

il i ij t d ktsila inercije usmerena suporotno od vektora ubrzanja a :

• Nakon zamene u osnovnu jednačinu hidrostatike dobija se sledeći raspored pritiska:j p p

, 0,X a Y Z g 1 0dp a dx dy g dz

dp adx adz dp adx gdz p ax gz C

0, 0, 0 0p z x C

p ax gz J‐na rasporeda pritiska

Page 8: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Jednačina slobodne površinep• Jednačina slobodne površine određuje se iz uslova poznatog pritiskapoznatog pritiska.

• Pritisak iznad tečnosti je atmosferski te je relativni pritisak jednak nuli:

p ax gz

0 ax gz 0 ax gz

gz ax

az xg

g

Page 9: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Izobarske površip

• Može se zaključiti da su izobarske površiMože se zaključiti da su izobarske površimeđusobno paralelne praveO kl j l d ći iti i• Ove prave zaklapaju sledeći ugao sa pozitivnimsmerom x ose:

aarctgg

g

Page 10: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Vektor spoljašnjih sila i izobarep j j• Iz diferenijalnog oblika Ojlerove jednačine:

1

• Zaključuje se da su vektori normala izobarskih površi i

1 dp Xdx Ydy Zdz

Zaključuje se da su vektori normala izobarskih površi iukupan vekor f spoljašnjih sila kolinearni, tj. vektor f jeupravan na izobarske površi koje su nagnute pod uglom αupravan na izobarske površi koje su nagnute pod uglom α.

• Ugao α je proporcionalan inentzitetu ubrzanja a.

Page 11: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Mirovanje fluida u poljut if l ilcentrifugalne sile

• Posmatra se jedan cilindričniPosmatra se jedan cilindričnisud, prečnika D koji je napunjentečnošću gustine ρ do visine H.tečnošću gustine ρ do visine H.Neka se sud počne obrtatikonstantnom ugaonom brzinomkonstantnom ugaonom brzinomω oko vertikalne ose, i neka seta osa poklapa sa osom suda.ta osa poklapa sa osom suda.

Usled dejstva viskoznosti delići tečnosti koji se nalaze nazidu suda će se obrtati zajedno sa sudom; ti delići će utom kretanju sa sobom povlačiti i ostale deliće, a ovi sebisusedne na manjem radijusu, sve do ose cevi.

Page 12: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Mirovanje fluida u poljucentrifugalne sile

P l i t t d ć b t ti• Posle izvesnog vremena sva teqnost u sudu će se obrtatizajedno sa njim ‐ možemo smatrati da se tečnost obrćek k t t lkao kruto telo.

• U koordinatnom sistemu vezanom za sud, tečnost miruje,pa će za nju važiti Ojlerova jednačina statike fluida.

Page 13: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Jednačina hidrostatike pri rotacijiJednačina hidrostatike pri rotaciji• Pošto tečnost rotira konstantnom ugaonom brzinom• Pošto tečnost rotira konstantnom ugaonom brzinom,na svaki fluidni delić koji se nalazi na rastojanju r odose rotacije deluje centrifugalna sila (po jediniciose rotacije, deluje centrifugalna sila (po jedinicimase) usmerena ka osi rotacije:

2c x yf f i f j xi yj

• Da bi se odredile projekcije zapreminske sile kojadeluje na fluid, za usvojeni koordinatni sistem važi:

• z osa se mora poklapati sa osom rotacije, zbognačina definisanja centrifugalne sile; r osa se moženačina definisanja centrifugalne sile; r osa se možeusvojiti bilo gde na osi rotacije.

Page 14: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Jednačina hidrostatike pri rotacijip j

• Projekcije zapreminske sile sada glase:j j p g2

xf x 2yf y zf g

• Njihovom zamenom u osnovnu jednačinu hidrostatike dobija se:dobija se: 

2 21 dp xdx ydy gdz dp xdx ydy gdz

2 21 dp xdx ydy g dz

Page 15: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Jednačina hidrostatike pri rotacijiJednačina hidrostatike pri rotaciji

• Nakon integraljenja osnovne jednačine hidrostatike dobija se:j

2 22 2x yp gz C 2 2

p g

22 2p x y g C

22

r

p x y gz C

22

2p r gz C

2

Page 16: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Jednačina hidrostatike pri rotacijiJednačina hidrostatike pri rotaciji

• Konstanta C se određuje iz graničnih uslova. Zausvojeni koordinatni sistem, taj granični uslov je:

22

2p r gz C

2

0, 0 0r z p 0, 0 0r z p

0C 2

2

2p r gz

2

Page 17: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Jednačina slobodne površi i izobarep

• Polje pritiska je nelinearno po koordinati r a• Polje pritiska je nelinearno po koordinati r, alinearno po koordinati z.

• Jednačina slobodne površi (pritisak je jednaatmosferksom, tj. relativni pritisak jednak je nuli)određena je izrazom:

22

2 22

202r gz

2

2gz r 2

2z r

g

• Izobarske površi su obrtni paraboloidi

Page 18: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Korisne relacijej• Ukoliko pri obrtanju suda ne dolazi do prosipanja t č ti l k t t ti i ži t l ditečnosti, uslov konstantnosti zapremine važi, te sledi:

2 2 21D D D 10

14 4 2 4 rD D DH H H

012 rH H H

Page 19: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Uticaj natpritiska i potpritiskaj p p p• Ukoliko iznad tečnosti deluje pritisak gasa koji je j d k ( t iti k) ili ( t iti k) j i tijednak pm (natpritisak) ili pv (potpritisak) on je isti u svim tačkama iznad tečnosti

22

2p r gz C

0, 0 mr z p p

Dmp C

0,2 r mDr z H H p p

2 2D 02 4m rDp g H H C

Page 20: PRIMENJENAMEHANIKAFLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA ......Microsoft PowerPoint - Mehanika fluida Author Zika Created Date 11/15/2019 11:13:34 AM ...

Uticaj natpritiska i potpritiskaj p p p• Kada je sud pun tečnosti i nema gasa iznad tečnosti,natpritisak je različit u različitim tačkama, i običnoje definisan za neku tačku (slede dva primera):

p ax gz C p ax gz C

L L1, ,

2 2mL Lp p x z tg

2 , ,2 2mL Lp p x z tg 2 2