Primeira Unidade - Sequências e Séries Infinitas
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1
Cálculo Diferencial e Integral II
Profa: Marcia Maria de Castro [email protected]
Aula 1
Sequências e Séries infinitas
2
Introdução Seqüência é todo conjunto onde os
elementos são dispostos numa certa ordem.
Exemplos: Conjunto dos dias da semana: {domingo,
segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}
Conjunto dos meses do ano: {jan, fev, mar, ..., dez}
Lista de presença de sua turma: {Airton, Aldair, Aldízio, Allan, ... , Sérgio, Tiago}
3
Sequência Numérica Os primeiros exemplos de seqüências numéricas que
tomamos conhecimento foram as progressões aritméticas (P.A.) e geométricas (P.G.).
Definição Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos
números inteiros positivos. O contradomínio de uma seqüência é o conjunto dos números reais, ou seja, a cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).
a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n)
Notações: {an} = {a1, a2, a3, ..., an, ...}, onde an é o termo geral da seqüência.
)(
: *
nfn
RNf
4
Exemplos 1)
2)
3)
4)
,...}1
...,4
1,
3
1,
2
1,1{}
1{
nn
,...}1
...,4
3,
3
2,
2
1{}
1{
n
n
n
n
,...}2
1...,
9
1,
4
1,
2
1,1{}
2
1{
nn
,...},...,9,4,1{}{ 22 nn
5
Convergência de uma sequência numérica
Uma seqüência numérica pode ou não convergir para um valor
finito.Se a seqüência {an} converge para um valor L, então
Se o valor de L não existir, então dizemos que a seqüência diverge.Exs. 1) A sequência converge pois
2) Já a sequência diverge pois = 3) E a sequência converge ou diverge?
Lnan
lim
01
lim
n
n
}1
{n
}2{ n nn
2lim
}{ne
n
6
Exercícios1) Indique os 5 primeiros termos das seguintes sequências:
a) ; b) ; c) ; d)
2) Qual é o termo geral das sequências
a) ; b) ; c)
3) Verifique quais sequências abaixo convergem e quais divergem
a) ; b) c) ; d) ; e )
n
nan
1
na nn
1)1( 1
!n
nan
na
n
n
2
,...16
4,
9
3,
4
2,1 ,...25,16,9,4,1 ,...
32
1,
16
4,
8
1,
2
1,1
n
nan
1 ;
1
nan
nn e
na
n
nan
ln
na
n
n
2
Desafio
Olhe e diga: Qual será o próximo termo da seguinte sequência
{Ln} = {1 ,11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211,…}
Séries InfinitasSeja uma sequência infinita, então
Sn = é uma série infinita
Soma de séries infinitas foi um processo que intrigou muitos matemáticos da antiguidade. Às vezes uma soma infinita de termos podia resultar em um resultado numérico.
Exemplos:
1.
2.
8
1
321 ...n
naaaa
,...,...,, 21 naaa
22
1...
16
1
8
1
4
1
2
11
1
nn
1
1....
4
1
3
1
2
11
n n
Em outros casos não era possível se definir o resultado. Por exemplo:1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...= ? O resultado é 0? Ou é 1?, Ou nenhum dos dois?
Modelos matemáticos envolvendo séries infinitas
Arquimedes (287-212 a.C.) foi o primeiro estudar este assunto, ao tentar achar a área abaixo de uma parábola com o vértice para cima. Ele percebeu que, a partir de um certo triângulo inscrito, a soma das áreas dos outros dois seguinte era sempre 1/4 da área do anterior. Assim, a área procurada seria A = S0 + S0/4 + S0/16 + S0/64 + ...,
ou seja A = S0 (1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...) ,
Por volta de 1350, Richard Swineshead considerou um movimento durante um intervalo de tempo unitário, começando com velocidade unitária e de forma que quando faltasse a metade do tempo restante, sua velocidade aumentava em 1 unidade. Isto gera a seqüência de velocidades {vn} = {n} e de tempos {tn} = {1/2n}. A distância percorrida é dada por = d = d1 + d2 + ... onde
dn = tn .vn e portanto temos que {dn} = {n/2n}.
Laplace usou séries infinitas para provar a estabilidade do sistema solar.
9
Somas das Séries Infinitas
Exemplo 0,6+0,06+0,006+0,0006 +........
Como podemos somar algebricamente apenas um número finito de parcelas, torna-se necessário definirmos o que significa esta soma infinita.
Vamos olhar para as suas somas parciais: S1= 0,6
S2= 0,6+0,06 = 0,66
S3= 0,6+0,06+0,006=0,666
Quando n Sn=
Dizemos que Sn é a soma dessa série infinita.
10
3
2
Outro exemplo
Dada a série achar os 4 primeiros termos
11
1 )1(
1
n nn
20
1
12
1
6
1
2
1
)1(
1
1
n nn
20
1
12
1
6
1
2
112
1
6
1
2
16
1
2
12
1
4
3
2
1
S
S
S
S
Somas parciaisIdéia: Para determinar se uma série geral tem uma soma ou
não, usamossomas parciais:
e, em geral,
Obs. As somas parciais formam uma nova sequencia {Sn},
que pode ou não ter um limite. Assim, se existir,
Então dizemos que
n
iin aaaaa
1321 ...
SnSn
lim
San
n
0
3213
212
11
aaaS
aaS
aS
Convergência e Divergência de uma série
infinita Se a sequência {Sn} for convergente e existir
então
a série infinita é convergente e escrevemos:
Ou
O número S é a soma da série. Caso contrário, a série é dita divergente.Atenção:
SnSn
lim
na
Saaaa n ......321
San
n
1
Saan
ii
nn
n
11
lim
ExemploPorque a série converge para 2?
Simples: Observe que as somas parciais da série:
22
1...
16
1
8
1
4
1
2
11
1
nn
)1
(1
8
71)
8
1
4
3(1
8
1
4
1
2
11
4
31)
4
1
2
1(1
4
1
2
11
2
11
2
11
1
4
3
2
1
k
kS
S
S
S
S
k
Aplicando limite quando k tende para infinito, obtemos
2)1
(1limlim
k
kk k
k
S
Series GeométricasSão exemplos de seqüências geométricas:a) 2, 4, 8, 16, 32, ...b) 1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, ...
O exemplo (a) pode representar uma população de bactérias em intervalos de tempo iguais numa cultura sem limites.O exemplo (b) pode representar a altura que uma bola salta ao bater sucessivamente numa superfície horizontal.
Uma bola saltitante
Qual seria a distância total percorrida por uma bola solta de 1 metro de altura enquanto salta “infinitas” vezes?
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1).
A soma Sn é finita?Como fica a fórmula da soma para
infinitos termos de Sn se |r| < 1? E se |r| > 1?
Obtendo a soma de uma série geométrica
A soma da série Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1)
é finita se |r| < 1
De fato, Multiplicando ambos os membros por r,
obtemos
r-1
)r-a(1 n
nS
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1) rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1)+arn
rSn - Sn = arn – a => Sn (r – 1) = a(rn – 1) Observe que, se |r| < 1
Logo a série converge para
0lim
n
nr
r1
a
Se |r| > 1
e portanto a série diverge
n
nrlim O que acontece
quando r = 1, a série converge ou diverge?
Resumindo
A série geométrica de razão r
a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1)
converge para se |r|<1
e diverge se |r| 1
r1
a
1
1-narn
Exemplo 1
A série geométrica de razão ½, logo ela
convergePara
Ou seja
2)2
1(...
16
1
8
1
4
1
2
11 1
1
n
n
2
21
1
1
22
1
11
nn
Exemplo 2
A série
é geométrica de razão 3/2, logo ela diverge
Porque?
1
1
)2
3(
n
n
Exercício
a) Qual o termo geral da série
b) Esta série é uma série geométrica? Caso afirmativo qual a razão?c) Esta série converge? Caso
afirmativo, para qual valor?
...27
40
9
20
3
105
Exercícios1) Determine a série geométrica cuja soma é
a) 0,3333...
b) 0,484848484848484...
2) Encontre a soma da série (se existir).
3) Determine o termo geral da série
Esta série é geométrica? Qual o valor da sua soma?
1 )1(
1
n nn
...842
32
O problema da bola que pula
Voce joga uma bola de uma altura de a metros sobre uma superfície plana. Cada vez que a bola atinge a superfície depois de cair de uma altura h ela rebate a uma distância rh, onde r é positivo, mas menor que 1. Qual é a distância vertical total percorrida pela bola pulando para cima e para baixo?
Observe que
Sn = a + 2ar + 2ar2 + 2ar3 + ... + 2ar(n-1)=
Se a = 6 e r = 2/3, qual será essa distância?
23
r
r
1
1a
r-1
2ara
Séries Hiper-Harmônica ou série p
São as séries que seguem o padrão
A série p converge se p > 1 e diverge se p 1 Exemplos: Quais série são convergentes e quais são
divergentes
1) ; 2) ; 3) ; 4)
24
1
1
npn
1
1
n n
12
1
n n
13 2
1
n n
13
1
n n
Série Harmônica
A série
é denominada Série Harmônica porque os termos da série
harmônica correspondem aos nós em uma corda vibrando que
produzem múltiplos da freqüência fundamental. Por exemplo, ½
produz o harmônico que é o dobro da freqüência fundamental, 1/3
produz uma freqüência que é 3 vezes a freqüência fundamental e
assim por diante. Freqüência fundamental é a nota ou a altura do
som mais baixa que ouvimos quando uma corda é tangida.
...4
1
3
1
2
11
1
1
n n
Testes de convergênciaTeste do n-ésimo termo: Se uma série é convergente, então
Caso contrário a série diverge. Atenção! Se a série pode convergir ou não.
Mas se
Ex.
26
na
0lim n
na
0lim n
na
diverge série a queafirmar podemos ,0lim nn
naa
Aplicando o teste do n-esimo termo
1) As série abaixo são divergentes. Explique porque.
a) ; b)
c) c)
2) As séries abaixo convergem ou divergem?
a) b) c) d)
27
1
1
n n
n
1
1)1(n
n
1 52n n
n
12 1n n
n
1
2
n
n
n
)1
ln(1
n n
n
1
2
n
ne
1
1
n n
O teste da razão
Seja uma série com termos positivos e suponha
que
Então
a) A série converge se < 1
b) A série diverge se > 1
c) Se = 1 nada se pode dizer da série
28
na
n
n
n a
a 1lim
Exemplos Usar o teste da razão apara verificar se as
séries abaixo convergem ou divergem
a) b)
c) d)
29
12
2
n
n
n
1 !n
n
n
n
1 3
52
nn
n
1 4
)!2(
nn
n
O Teste da Integral Consideremos a série , onde é uma sequência
de termos positivos. Suponha que , onde é uma função de x contínua positiva e decrescente para todo x ≥ 1, então,
i) Se converge então a série converge
ii) Se diverge então a série diverge
Exemplos: Use o teste da integral para verificar a convergência das
séries:a) b) c) d)
30
na }{ na)(nfan f
dxxf
1)( na
dxxf
1)( na
1
1
n n
12
1
n n
1
1
n nn
12 4n n
n
Convergência absoluta
Se a série converge então converge.
Ex. a série é absolutamente convergente
Pois converge, logo ela converge.
Exemplos: Verifique a convergência das seguintes séries
alternadas a) b) c)
31
|| na na
1
21 1
)1(n
n
n
12
1
n n
1
231 1
)1(n
n
n
1
1 )ln()1(
n
n
n
n
1
1
1
1)1(
n
n
n
O paradoxo de Zenão Segundo Aristóteles em Fisica VI, 239 b 9 consiste
basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. Os experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto B, a tartaruga já está em C e assim até o infinito.
32
Outra forma de explicar o paradoxo de Zenão
Aquiles iria apostar corrida com uma tartaruga, como Aquiles era mais rápido ele permitiu que a tartaruga fosse na frente. Quando a tartaruga estava a 100 metros de distancia, Aquiles decide partir. O argumento de Zenão é que Aquiles nunca alcançará a tartaruga, pois para completar os 100 metros, ele terá que completar a metade destes (50 metros) e para alcançar os 50 metros deve alcançar a metade destes também, isso infinitamente, de modo que Aquiles nunca alcançara a tartaruga. Pois haverá um espaço infinito a ser completado por um corpo finito.
33
34