isjgorj.ro · prietenei sale Cristina 13 bile galbene ˘si prime˘ste 5 bile albastre ˘si 7 bile...
1
Societatea de Științe Matematice din România Olimpiada Nat ¸ional˘ a de Matematic˘ a Etapa Judet ¸ean˘ a¸ si a Municipiului Bucure¸ sti, 10 martie 2018 CLASA a VI-a Varianta 2 Problema 1. Numerele naturale x, y, z satisfac egalitatea 13x +8y =5z. Demonstrat ¸i c˘ anum˘arul(x + y)(y + z )(z + x) este divizibil cu 130. Gazeta Matematic˘ a Problema 2. Un tablou de form˘ ap˘atrat˘aseˆ ımparte ˆ ın100p˘atr˘at ¸ele identice, distribuite pe 10 linii ¸ si 10 coloane. Avem la dispozit ¸ie 10 cartona¸ se, numerotate diferit, cu cifre de la 0 la 9. Pe tablou trebuie s˘a a¸ sez˘ am dou˘ a cartona¸ se, avˆ and suma 10, ˆ ın p˘ atr˘at ¸ele situate pe linii ¸ si coloane diferite. Determinat ¸i num˘ arul de posibilit˘ at ¸i de a¸ sezare a acestor cartona¸ se. Problema 3. ˆ In triunghiul ascut ¸itunghic ABC, cu AB < AC , AD este ˆ ın˘ alt ¸ime, iar AE este bisectoare, unde D, E ∈ (BC ) . ˆ In triunghiul ascut ¸itunghic A 0 B 0 C 0 , cu A 0 B 0 < A 0 C 0 , A 0 D 0 este ˆ ın˘alt ¸ime, iar A 0 E 0 este bisectoare, unde D 0 ,E 0 ∈ (B 0 C 0 ) . Se ¸ stiec˘a [AB] ≡ [A 0 B 0 ] , [AD] ≡ [A 0 D 0 ]¸ si [AE] ≡ [A 0 E 0 ] . Demonstrat ¸i c˘ a triunghiurile ABC ¸ si A 0 B 0 C 0 sunt congruente. Problema 4. Lucia are ˆ ın total 2018 bile galbene, albastre ¸ si verzi. Num˘arul bilelor verzi este de 4 ori mai mare decˆ at num˘ arul bilelor albastre. La un schimb, Lucia ofer˘a prietenei sale Cristina 13 bile galbene ¸ si prime¸ ste 5 bile albastre ¸ si 7 bile verzi. Dup˘ a mai multe astfel de schimburi, Lucia r˘amˆ ane f˘ ar˘a bile galbene, dar cu 1271 bile verzi. Determinat ¸i num˘ arul de bile galbene avute init ¸ial de Lucia? Timp de lucru 2 ore. Se acord˘ a suplimentar 30 minute pentru ˆ ıntreb˘ ari. Fiecare problem˘ a este notat˘ a cu 7 puncte.
Transcript of isjgorj.ro · prietenei sale Cristina 13 bile galbene ˘si prime˘ste 5 bile albastre ˘si 7 bile...
Societatea de ȘtiințeMatematice din România
Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, 10 martie 2018
CLASA a VI-aVarianta 2
Problema 1. Numerele naturale x, y, z satisfac egalitatea
13x + 8y = 5z.
Demonstrati ca numarul (x + y) (y + z) (z + x) este divizibil cu 130.Gazeta Matematica
Problema 2. Un tablou de forma patrata se ımparte ın 100 patratele identice,distribuite pe 10 linii si 10 coloane. Avem la dispozitie 10 cartonase, numerotate diferit,cu cifre de la 0 la 9. Pe tablou trebuie sa asezam doua cartonase, avand suma 10, ınpatratele situate pe linii si coloane diferite. Determinati numarul de posibilitati de asezarea acestor cartonase.
Problema 3. In triunghiul ascutitunghic ABC, cu AB < AC, AD este ınaltime, iarAE este bisectoare, unde D,E ∈ (BC) . In triunghiul ascutitunghic A′B′C ′, cu A′B′ <A′C ′, A′D′ este ınaltime, iar A′E ′ este bisectoare, unde D′, E ′ ∈ (B′C ′) . Se stie ca[AB] ≡ [A′B′] , [AD] ≡ [A′D′] si [AE] ≡ [A′E ′] . Demonstrati ca triunghiurile ABC siA′B′C ′ sunt congruente.
Problema 4. Lucia are ın total 2018 bile galbene, albastre si verzi. Numarul bilelorverzi este de 4 ori mai mare decat numarul bilelor albastre. La un schimb, Lucia oferaprietenei sale Cristina 13 bile galbene si primeste 5 bile albastre si 7 bile verzi. Dupamai multe astfel de schimburi, Lucia ramane fara bile galbene, dar cu 1271 bile verzi.Determinati numarul de bile galbene avute initial de Lucia?
Timp de lucru 2 ore. Se acorda suplimentar 30 minute pentru ıntrebari.Fiecare problema este notata cu 7 puncte.
