Prüfungs= und aus der Memanik des Punktes

und des starren Körpers Von

Karl Federhofer o. Professor an der Tedmlsmen Homsmule Oraz

In drei T dIen

I. T eil: Statik 165 Aufgaben nebst Losungen

Mit 243 Textabbildungen

Springer-Verlag Wien GmbH

1950

Übungsaufgaben

AIle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten

ISBN 978-3-662-37608-9 ISBN 978-3-662-38392-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-38392-6

Vorwort

Die Anwendung der Lehren der Mechanik auf konkrete Aufgaben bereitet den Studierenden erfahrungsgemaB zumeist betrachtliche Schwierigkeiten, die nur durch die selbstandige Bearbeitung von Bei­spielen an Hand einer Aufgabensammlimg fiberwunden werden konnen. Das hie fUr besonders geeignete Aufgabenwerk meines Lehrers und Vor­gangers im Lehramte fUr Mechanik an der Technischen Hochschule Graz, F:Wittenbauer, das I907 erschienen und nach dem Tode des Ver­fassers von Th. Poschl in vollstandig umgearbeiteter 6. Auflage I929 herausgegeben worden ist, ist schon seit langem vergriffen.

Da das Fehlen dieses Dbungsbehelfes von den Studierenden als groBe Erschwerung beim Studium fUr die vorgeschriebenen Prfifungen empfunden wird, so glaube ich, die immer wieder gewfinschte Herausgabe meiner im Laufe von drei J ahrzehnten entstandenen Beispielsammlung, die auch einen Teil meiner Prfifungsaufgaben umfaBt, nicht langer hinaus­schieben zu dfirfen.

Diese Sammlung enthalt vorwiegendeinfache Aufgaben aus der Mechanik des Punktes und starrer Systeme nebst den Losungen; sie erscheint in drei Teilen: I. Statik, II. Kinematik und Kinetik des Massenpunktes, III. Kinematik und Kinetik starrer Systeme. Bei den meisten Beispielen sind nicht nur ihre Losungsergebnisse, sondern. auch je nach dem Schwierigkeitsgrade mehr oder minder ausfUhrliche Erlauterungen zum einzuschlagenden Losungswege angegeben.

Der vorliegende e r s t e T e i I behandelt Beispiele fiber das Stoffgebiet der analytischen und graphischen S tat i k der Vorlesungen fiber Technische Mechanik mit AusschluB von Spannungs- und Formanderungs­betrachtungen. Wenngleich die BeanspruchungsgroBen eines Balkens, namlich Biegungsmoment, Quer- und Langskraft, erst in der Festigkeits­lehre bei der Bemessung der Querschnitte des Balkens ihre Bedeutung erlangen, habe ich eine Reihe von Beispielen aufgenommen, die zUr Einfibung in die Berechnung dieser GroBen und in die Darstellung ihrer Schaulinien dienen.

Das gleiche gilt vom Dreigelenkbogen.

IV Vorwort

Zur Erleichterung beim Entwerfen von KraftepHinen ebener Fachwerke ist dem betreffenden Losungsabschnitte eine knappe Zusammenstellung der dabei zweckmaBig zu beachtenden Regeln vorangestellt nebst einem Hinweise auf jene Verfahren, die bei zusammengesetzten Fachwerken und bei besonderen Lastangriffen ZUr Verfiigung stehen. Der V ollstandig­keit wegen ist dabei auch die kinematische Methode erlautert, wenn­gleich damit dem Aufgabenbereiche des III. Teiles bereits vorgegriffen ist.

Die gleiche Bemerkung gilt iibrigens auch fUr das zur Beurteilung der statischen Stabilitat eines auf einer festen Flache ruhenden schweren Korpers benutzte kinematische Kriterium.

Den Losungsabschnitten iiber den Ausnahmefall des ebenen Fach­werkes und iiber das Raumkraftsystem ist ebenfalls eine die Losungs­methoden zusammenfassende Einleitung beigefUgt.

Der Abschnitt Seilkurven enthalt u. a. auch Aufgaben iiber die Formbestimmung von Zylinderschalen gleicher Festigkeit und iiber das weitgespannte Kabel.

Von den Hilfsmitteln der Vektorrechnung, der Elemente der projek­tiven Geometrie, der Mayor-v.Misesschen Abbildung ist stets dort Ge­brauch gemacht, wo sie der Aufgabe besonders angemessen erscheinen. Die im Manuskript bereits fertiggestellten Bande II und III werden voraussichtlich binnen J ahresfrist erscheinen.

Dem Springer-Verlag in Wien sage ich meinen herzlichen Dank fUr das mir jederzeit erwiesene Entgegenkommen.

Sommer 1950.

K. Federhofer

Inhaltsverzeichnis Aufgaben Seite

I. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . .. 3

II. Schwerpunkte ebener Fllichen ..•.•.......••...........•.......... 14

III. Ebene Fachwerke ....•.....••.........•............•.......••... 17 a. Krlifteplane von ebenen Fachwerken ..•.•....................... 17 b. Der Ausnahmefall. . • . • . • . . • . . . . . . . . . . . . • . . . • . • • . . . . . . . . . . . . . .• zz

IV. Biegemomente, Quer- und Llingskrlifte gerader Trager ...•.......•... z3

V. Dreigelenkbogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . .. z8

VI. Raumkraftsystem . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 30

VII. Sell- und Kettenlinien ...•....................................... 33

VIII. Stabilitat des Gleichgewichts . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . • • • • . . . . . .. 35 a. Der auf einer festen Flache ruhende schwere Karper . . . . . . . . . . . . .. 35 b. Der beliebig gestiitzte Karper . . . • • • . . . . . . . . . • • . . • . • • . . . . . . • . . .. 36

Losungen •........•..•.•.•..••.•.............•.••...•..•......••. 39-130

Aufgaben

Federhofer, Aufgaben I

I. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

1. Es soli zu vier der GraBe und Richtung nach gegebenen Kraften, deren Wirkungslinien einen Kreis vom Halbmesser e beriihren, ein Kraftepaar M hinzugefUgt werden, so daB die Mittelkraft der vier Krafte durch den Mittelpunkt des Kreises geht. Man bestimme M graphisch.

2. In den Eckpunkten eines schiefwinkligen Dreieckes wirken drei gegebene Krafte. Dieses Kraftsystem so11 durch ein gleichwertiges er­setzt werden, dessen drei Krafte in den Ecken angreifen und deren Wir­kungslinien parallel zu den den Ecken gegeniiberliegenden Dreieck­seiten sind. (Lasung graphisch.)

3. In den Seiten eines schiefwink­ligen Dreieckes wirken drei Krafte vom gegebenen Verhaltnisse 1 : 2 : 3. Wie groB sind diese Krafte, wenn das Hinzutreten eines Kraftpaares M zur Folge hat, daB die Mittel­kraft der drei Krafte durch den Mittelpunkt des Umkreises des Dreieckes geht?

4. Eine Kraft ~ und ein Kraft­paar M = Q q sind durch drei Krafte zu ersetzen, deren Wir­kunsglinien in die Seiten des gleichseitigen Dreieckes ABC fallen. (Abb. 1).

5. Vier ungleich groBe Krafte, die in den Seiten eines Quadrates wirken, sind zu ersetzen durch vier Krafte, deren Wirkungslinien in die Seiten des eingeschriebenen Quadrates fallen; zwei davon sollen das Verhaltnis 1 : 3 haben. (Abb. 2).

6. In den Seiten eines allge­meinen Viereckes ABC D wirken

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Abb. 1

~ / "-

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Abb. 2

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4 1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

A'L-__ ~ ______________ ~

Abb. ;)

Abb.4

c

A

-z e""';

Abb. 5

vier Krafte, in dem aus Abb. 3 ersichtlichen Richtungssinne, deren GroBen den Seiten­langen gleich sind. We1che Kraft muB in der belie big gewahlten Geraden l wirken, damit dieses Kraftsystem gleichwertig ist mit zwei in den Diagonalen des Vierecks wirkenden Kraften? Wie groB sind letztere?

7. Ein ebenes Kraftsystem bestehe aus sechs Kraften; drei davon wirken in den Seiten des Dreieckes ABC, ihre GraBen sind gleich den Seitenlangen. Die iibrigen drei Krafte greifen in den Dreiecksecken an, ihre Wir­kungslinien stehen senkrecht aUf den von den Ecken aus­gehenden Schwerlinien, ihre GraBen sind durch die Langen der Schwerlinien dargesteUt.

Man bestimme GroBe und Richtungssinn der in den Seiten des Dreieckes H A , H B ,

He wirkenden Krafte, die dem gegebenen'Kraftsystem Gleich­gewicht halten. (Abb. 4).

'l 8. Ein gerader

Balken ist in A und Ban drei Seilen auf­gehangt und mit den beiden urn e entfern­ten Gewichten Q und 2Q belastet. WiegroB muB x gemacht wer­den, damit das Ver­haltnis der Spann-krafte in A C und B D einen gegebenen Wert n habe? (Abb. 5).

9. Entlang eines Kreisbogens vom Halbmesser r und Zentriwinkel a wirken gleichmaBig verteilte tangentiale Krafte q je Langeneinheit

1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

des Bogens. Man bestimme GroBe, Rich­tung und Wirkungslinie ihrer Mittelkraft. (Abb. 6).

10. Eine von zwei Kreisbogen begrenzte Scheibe sei durch glcichmaBig verteilte Krafte q je Langeneinheit ihres Umfanges beansprucht; sie ist in A in einem fest en Gelenk, in B in einem waagrecht verschieb­lichen Gleitlager gelagert. Wie groB sind die Auflagerreaktionen? (Abb. 7).

11. Ein vollkommen biegsames Seil, dessen Eigengewicht zu vernachlassigen ist, ist in A befestigt, lauft liber die feste Rolle bei D und ist am freien Ende mit Ql be­lastet. (Abb. 8).

Ein starrer Stab B C = l mit klein en Rollen an den Enden ist in B mit Ql' in

emit Q2 = ~- belastet.

8~------+-------~

Abb.6

Abb.7

L Bei Vernachlassigung samtlicher Reibungen ist die Gleichgewichtslage dieses Sy­stems zu konstruieren und die im Stabe B C geweckte Langskraft K zu ermitteln.

r-------------- --------------

Ql = 100 kg, L = 3,6m,

l = 1,6m, a = O,8m.

12; Ein homogener Stab vom Gewichte G und der Lange l stutze sich an eine

'1!

~ _____ J

parabolisch gekrlimmte glatte Wand und an einen rauhen Boden (Reibungs­zahl f). Welcher Bedingungsgleichung genligt der Stellungswinkel cp fUr Gleich­gewicht? Welch en Normaldruck erfahrt der Boden? (Abb. 9).

8

Abb.8

A

13. Ein homogener Stab vom Ge- Abb. 9 wichte G und der Lange l stlitze sich

5

in A an die Innenwand eines glatten Hohlzylinders vom Halb­messer r und in B an einen rauhen waagrechten Boden. Wie groB muD dort die Reibungsziffer f sein, wenn in der Gleichgewichtsstellung des

6 1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

Abb. 10

Abb. 11

B

Abb. 12

Abb. 13

Abb. 14

Stabes sein Schwerpunkt gerade lotrecht unter dem Punkte 0 liegt? Wie groB ist dann der Stellungs­winkel f3? (Abb. 10).

14. Ein homogener Stab A B ruhe in horizon taler Lage auf zwei unter den Winkeln a, f3 gegen die Waagrechte geneigten rauhen schiefen Ebenen; man beweise auf rein geometrischem Wege, daB fiir Gleichgewicht der Reibungswinkel 9 der beiden schiefen Ebenen den

Wert a - f3 haben muB. (Abb.ll). 2

15. Ein Stab A B von der Lange lund dem Gewichte G, dessen Schwerpunkt 5 die Ent­fernung d von A hat, stiitzt sich mit dem oberen Ende an eine rauhe ver­tikale Ebene (Reibungszahl t), mit dem unteren Ende an eine glatte waagrechte Ebene. 1m Punkte A ist ein Seil befestigt, das iiber eine feste rauhe Scheibe (Reibungszahl! 1) lauft und am Ende mit dem Ge­wichte Q gespannt ist (Abb. 12).

Zwischen welchen Grenzen kann der Winkel a bei Gleichge­wicht schwanken?

16. Ein homogener Stab A B = = 2l stiitzt sich in A an eine glatte, unter dem Winkel a gegen die Waag­rechte geneigte Ebene, in Ban eine glatte Zylinderflache. Bei welcher Form der Leitlinie des Zylinders ist der Stab in jeder Lage 1m Gleichgewicht? (Abb. 13).

17. Eine homogene quadratische Platte stiitze sich in den Ecken A B an zwei unter a, f3 gegen die Waag­rechte geneigte glatte Ebenen. Bei welch em Winkel cp herrscht Gleich­gewicht? (Abb. 14).

1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

18. Ein rechteckiger Klotz vom Gewichte G ruhe auf rauhem Boden (Reibungszahl f). Wie stark darf das liber den Klotz gelegte, in 0 und 0 1 befestigte Seil gespannt werden, ohne das Gleichgewicht zu storen? (Abb. 15). (Losung ist rech­nerisch und graphisch zu geben).

19. Ein homogener Stab stlitzt sich in A an einen rauhen Hohl­zylinder, in B an eine raune waag­rechte Ebene. (Abb. 16). Man be­rechne die Stellungswinkel rp und 1jJ fUr Gleichgewicht, wenn A B = = l = 2 r.

20. Ein durch die glatt en Ringe bei A und B gesteckter lotrechter Stab vom Gewichte G stlitzt sich in H auf eine glatte schiefe Ebene mit der Neigung a gegen die Waag­rechte. (Abb. 17). Man bestimme GroDe und Richtung der Drlicke in A, B, H graphisch und rechnerisch.

21. Zwei schwere Htilsen P und Q, die auf einer in lotrechter Ebene liegenden parabolischen Flihrung mit waagrechter Achse reibungslos gleiten k6nnen, sind durch einen undehnbaren Faden von der Lange l verbunden, der liber eine kleine Rolle im Brennpunkt Hiuft. (Abb. 18). In welcher Lage herrscht Gleichgewicht ?

22. Zwei schwere Massenpunkte G1 und G gleiten reibungsfrei auf einer in lotrechter Ebene liegenden halbkreisformigen Flihrung vom Halbmesser a und sind durch einen undehnbaren Faden von der Lange 2 a verbunden, der liber die kleine Rolle C lauft. (Abb. 19). Man stelle die Gleichung zur Berechnung des Stellungswinkels cp fUr Gleichge­wicht auf.

.r

Abb. 15

Abb. 16

Abb. 17

Abb. 18

Abb. 19

7

8

p

1. Ebene Kraftsysteme und deren GJeichgewicht

c

Abb. 20

Abb. 21

Abb. 22

23. Zwei gleichlange und gleich­schwere Stabe A C, Be sind in C durch ein Gelenk verbunden und stUtzen sich in A und B an einen rauhen Boden. (Abb.20). Wie groB ist dessen Reibungsziffer, wenn fUr Gleichgewicht das Dreieck ABC gleichseitig ist?

Welcher Gelenkdruck entsteht in C?

24. Ein schwerer Halbzylinder (Halbmesser r, Gewicht GI ) ruhe auf rauher waagrechter Ebene (Rei­bungszahl f). An seinen glatt en Mantel stiitzt sich ein homogener, in 0 befestigter Stab (Lange l, Ge­wicht G). (Abb. 21).

\Vie groB muB f sein, damit bei der durch a, h, lund r gegebenen Lage beider Systeme Gleichgewicht bestehe?

25. Zwei gleichlange Stabe von gleichem Gewichte seien in A ge­lenkig verbunden; der obere Stab sei im Gelenke 0 befestigt, der untere stiitze sich auf eine waag­rechte glatte Ebene (Abb. 22). Welche Kraft P halt das System in der gezeichneten Lage, die durch die Winkel a, (3 und die Stablange l gegeben ist, im Gleichgewicht?

Wie groB ist der Gelenkdruck in A?

Welche Bodenrauhigkeit milBte bei Fortfall der Kraft P zur Er­haltung des Gleichgewichtes vorhanden sein?

c

Abb. 23

26. Die beiden gleichschweren homogenen Stabe A B = Be = l sind in B gelenkig verbunden. Der obere Stab ist urn das Gelenk A drehbar befestigt, der andere am rauhen Boden (Reibungsziffer f) waagrecht verschieblich. (Abb. 23). Man stelle die beiden Gleichungen zur Berechnung der Stellungswinkel a, fJ fUr Gleichgewicht auf.

1. Ebene Kraftsystcme uncl cleren Gleichgewicht

27. lwei sehwere Stabe A B =

= 2l, C D = 211 stiHzen sieh in A und D an den waagreehten glat­ten Boden, sind in C gelenkig und an den unteren Enden dureh einen undehnbaren Faden verbunden. (Abb. 24). Wenn der Winkel a ge­geben ist, solI die lugkraft im Faden bereehnet werden.

28. lwei Stabe von gleieher Lange 2 l und gleiehem Gewiehte G seien miteinan­der in A gelenkig verbunden und in der gezeiehneten Art gestiitzt. (Abb. 25). Sie sollen in der dureh die Winkel a und {3 gekennzeiehneten Lage im Gleiehgewieht sein; welche lotreehte Kraft P muB am Stabende B wirken?

Abb. 24

D / "

29. Uber eine auf waagreehter Abb. 25

Ebene ruhendc glatte Walze vom Halbmesser r wird ein gelenkig ver­bundenes Stabepaar vom Gewiehte G und der Stablange A B = l symmetriseh gelegt. (Abb. 26). Fur Gleiehgewieht sollen die beiden Stabenden dieht beim Boden lie­gen, ohne diesen zu beruhren. Bei welch em Werte r/l ist dies moglieh? Wie groB ist der Gelenkdruek?

A

Abb. 26

30. 'Con zwei homoge~en gelenkig verbundenen Staben 0 A = lund A B = l/2 und gleiehem Ge­wiehte je Langeneinheit ist der eine in 0 drehbar befestigt, der andere sttitzt sieh an eine lotreehte glatte Wand. (Abb. 27). Man berechne die Stellungs­winkel rp und 1p fUr Gleichgewicht.

31. Eiri homo­gener Stab OA vom Gewichte G und der Lange 2 list in dem Ge­lenk 0 drehbar be-

Abb. 27

9

Abb. 28

festigt und stUtzt sich in B an einen urn seine Mitte 0 1 drehbaren gleich­langen und gleichschweren Stab, der an seinem Ende C eine Last Q =~ 2 G triigt. (Abb. 28).

10 1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

Man berechne den Gleichgewichtswinkel <p, wenn 001 = t. Welche GroBe und Richtung hat der Gelenkdruck in O?

Abb. 29

/l

32. Von zwei gelenkig verbunde­nen gleichlangen Staben (GewichtG, Lange 2 a) ist der eine in der Mitte drehbar gelagert, der andere stutzt sich unter dem Winkel a an eine rauhe waagrechte Ebene. Man be­rechne die Kraft P fur Gleichge­wicht der Stabverbindung. (Abb. 29).

33. Von z,vei in B gelenkig ver­bunde~en Staben mit den Gewichten G und Q stutzt sich der eine in C an eine glatte schiefe Ebene, der andere ist im Gelenke A drehbar und soll durch ein Seil D E in waagrechter Lage im Gleichge­wichte erhalten werden.( Abb. 30). Man konstruiere bei gegebenem Winkel a die Gelenkdrucke in A

Abb. 30 und B sowie den Seilzug. 34. Ein Massenpunkt M vom Gewichte G

bewegt sich in lotrechter Ebene auf einem Kreise vom Halbmesser r (Abb. 31) und wird von zwei auf dem waagrechten Durchmesser symmetrisch zu 0 liegenden Punk ten A und B

II a. B mit Kraften angezogen, die direkt proportio­nal der Entfernung sind, und zwar \JJA =

~-~ -~

== A M A, \JJB = f-l M B, wo A und f-l Kon­stante sind. Fur welche Lage <p ist der Massen­punkt M im Gleichgewichte? Man zeichne die

Abb. 31 Gleichgewichtslage fUr fl = ~ = ~. 35. Zwei homogene Stabe von gleicher Lange 2 t und gleichem Ge­

wichte G (Abb. 32) sind im reibungsfreien Gelenke C miteinander ver­bun den und stutzen sich in A und B auf eine unter dem Winkel f3

t gegen die Waagrechte geneigte rauhe schiefe Ebene (f > tg (3).

Innerhalb welcher Grenzen muB der Offnungswinkel 2 a des Stabpaares bei Gleichgewicht liegen? Welche Beziehung besteht zwischen a und (3, wenn das Gleichgewicht der beiden Stabe ohne Ausnutzung der Reibung bei A beste-

Abb. 32 hen soll?

1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

36. Zwei homogene Stabe mit den A

Langen A13 = 3 r und Be = 3 r /2 stutzen sich in B aneinander und an die Innen­wand eines glatt en Kreiszylinders. (Abb. 33). Das Gewicht G1 des langeren Stabes und der Winkel a (= 60°) sind gegeben. Man konstruiere die fUr Gleich­gewicht notwendige GroBe des Gewichtes Gz des kurzeren Stabes.

37. Zwei gelenkig verbundene gleich­formige Stabe von der Lange l stutzen sich in A und B an einen Klotz von der Breite a = l/4. (Abb. 34). Wie grol3 muB der Reibungswinkel (! bei A und B ge­wahlt werden, damit die beiden Stabe in der SteHung a = 60° im Gleichgewicht sind? Welch en Wert hat der Normal­druck bei A?

38. Das in ° drehbar gelagerte GelenkparaHelogramm ABC D wird in waagrechter Ebene durch die beiden aufeinander senkrechten Krafte P und Q, angreifend in C und D, belastet. (Abb. 35).

Wie groB sind die Winkel a und f3 fUr Gleichgewicht? • Welche GroBe und Richtung

hat der Gelenkdruck in O?

39. Auf zwei gleich groBen glat­ten Walzen, die durch einen Stab °1°2 = 2a verbunden sind, (Abb.36), liegen zwei Stabe von gleicher Lange l, die in C gelenkig verbun­den sind. An den Enden A, B der beiden gewichtslos gedachten Stabe wirken zwei gleiche Lasten Q.

Wie groB ist der Winkel a fur Gleichgewicht und welche Kraft wirkt im Halte­stab 0102? Wie groB ist der Gelenkdruck in C?

Es sei l = 2 a und r = 0,6 a. 40. Drei gelenkig verbundene homogene

Stabe von gleicher Lange lund gleichem Ge­wichte G sind liber einen rechteckigen Klotz von der Breite a gelegt. (Abb. 37). Berechne den Winkel 'f! und die Gelenkdrucke flir Gleich-

Abb. 33

Abb. 34

Abb. 35

c

Abb. 36

Abb. 37

11

12 1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

gewicht und beweise, daB T < ~ sein muB.

Man werte die allgemeinen Ergebnisse mit a 13

der Angabe T = 12 aus.

L 41. Auf einem glatten Kreiszylinder liege 6 eine Kette, die links tiber die Hohe b bis B

Abb. 38 frei herabhangt und am Ende A durch eine Kraft P in der gezeichneten Lage (Abb. 38) im

Gleichgewicht gehalten werden solI. Wie groB ist P, wenn q das Ge­wicht der Kette je Langeneinheit ist?

Abb. 39

Abb. 40

c

-oe

~~-----------!-~ Abb. 41

42. Ein urn das feste Gelenk 0 dreh-barer homogener Stab 0 A = l vom Ge­wichte G hangt am Ende A an einem Seil, das tiber eine kleine, horizontal gelagerte Rolle fiihrt und ein langs der Fiihrungs­kurve k reibungslos gleitendes Gegenge­wicht G1 tragt. (Abb. 39). Man entwickle die Polargleichung der Gleitbahn, wenn in jeder Lage· Gleichgewicht herrschen solI. Die Lange des Seiles A 0 1 G1 = s. Wie groB ist der Normaldruck der Ftih­rungskurve ?

43. Ein gelenkiger Rahmen (Abb. 40) von der Form eines Rhombus mit der Seitenlange a sei in einer waagrechten Ebene im festen Gelenk A und im waag­recht verschieblichen Gelenk B befestigt. Es wirke im Gelenke C senkrecht zur X-Achse eine Kraft P. Welche Kraft Q muB im Gelenke D senkrecht zu P wirken, damit die Gleichgewichtsfigur des Rah­mens ein Quadrat sei? Wie groB sind dann die vier Stabkrafte?

44. Von dem in Abb.41 dargestellten gelenkigen Stabverbande sind gegeben die Abmessungen l, h, a und das Ver­MUnis P II P 2 der in den beiden beweg­lichen Gelenken wirkenden Gewichte.

Man berechne die Neigungswinkel a, (I und die Stablange b, wenIi gefordert wird, daB bei Gleichgewicht das Gelenk B in einer ""aagrechten durch D liegen solI?

1=3m, h=2m, a=2,5m, P1IP2 = = 1 und P1/P2 = 2.

1. Ebene KrClftsysteme und deren Gleichgewicht

45. Das in 0 und 0 1 aufgehangte Ge­lenksystem soIl in der gezeichneten Lage (Abb. 42) durch eine Kraft P im Gleich­gewicht gehalten werden. Wie groB ist P, wenn q das Gewicht je Langeneinheit der beiden homogenen Stabe ist? Welche GroBe hat der Gelenkdruck in B?

46. Von drei miteinander in 0 1 und 02 verbundenen, gleichlangen und gleich­schweren Staben ruht der mittlere auf rauhem waagrechten Boden, die seitlichen stiitzen sich in A und B (Abb. 43) an glatte lotrechte Wande. Man stelle die zur Berech­nung der Stellungswinkel a, (3 fUr Gleichge­wicht notwendigen beiden Gleichungen auf.

47. Zwei gleichlange und gleich--- --

schwere Stabe A C = Be = 2 l vom Gewichte G sind in C miteinan­der gelenkig verbunden und an Rol­len vom Gewicht G1 und Halb­messer r angeschlossen, die sich auf einer rauhen waagrechten Ebene (Zifter der rollenden Reibung q) be­wegen ki)nnen. Die Wirkung einer Last Q wird durch das Gelenksystem D F E auf beide Stabe ubertragen. (Abb.44). Bei welchem Winkel 2 T herrscht Gleichgewicht? Wie groB ist der Gelenkdruck in C?

48. Das in Abb. 45 dargestellte ebene Fachwerk ist in den fest en Gelenken A und B sowie im waag­recht verschieblichen Lager C ge­lagert. Man ermittle auf zeichne­rischem Wege den Lagerdruck bei C (s. III b, 3).

Abb. 42

Abb. 43

Abb. 44

Abb. 45

13

14

Abb. 46

II. Schwerpunkte ebener FUichen

II. Schwerpunkte ebener Flachen

r~------------~c

Abb. 47

1. Von einem Quadrate wird durch die Gerade A F das Dreieck A B F abge­schnitten. Man bestimme den geometrischen Ort des Schwer­punktes des restlichen Vier­eckes A F C D (Abb. 46) fUr aile Lagen des Punktes F zwischen B und C.

2. Es ist ein Punkt D auf der durch den Eckpunkt B des gegebenen Dreieckes ABC (Abb.47) gezogenen Geraden g so zu bestimmen, daB

~-----I

I I

I I

I I

I I

I

der Schwerpunkt des entstehenden Viereckes A C B D auf einer durch den Schwerpunkt S,:J des Dreieckes ABC gehenden Geraden t liege.

B~-----------~c

3. Gegeben sei das Dreieck ABC; man bestimme einen Punkt D als Eckpunkt des Viereckes A C B D so, daB diesem eine innerhalb des Dreieckes gegebene Schwerpunktslage S entspricht. (Abb. 48).

Abb. 48

AL-________ ~B

Abb. 49

c

4. An die Seite B C des Drei­eckes ABC soIl ein Dreieck BCD von gegebener FHiche F so angefUgt werden, daB der Schwerpunkt S des entstehenden Viereckes A B D C die kleinstmogliche Entfernung vom Schwerpunkte Sl des Ausgangsdrei­eckes ABC hat. (Abb. 49).

5. Durch cinen parallel zur Grund­linie A B des Dreieckes

D E (Abb. 50) soIl ein c. Trapez abgeschnitten ~

p ABC gefUhrten Schnitt

werden, dessen Schwer-L-______ + ___ ...".B A >6 punkt Seine vorgege-

bene Lage auf der Drei­Abb. 51 ecksschwerliniet besitzt. Abb. 50

6. Man beweise folgenden Satz von E. Henry: 1st P der Schnittpunkt der durch die Ecken C, D des allgemeinen Viereckes A B DC (Abb.51)

II. Schwerpunkte ebener Flachen

zu den gegenuberliegenden Diago­nalen A D und B C gezogenen Pa­raUelen, so £aUt der Schwerpunkt S des Viereckes mit jenem des Drei­eckes A B P zusammen.

c

15

7. Von einem beliebigen Dreiecke ABC ist ein Teil so abzuschneiden, daB der Schwerpunkt des entste­henden Viereckes A B V U (Abb. 52) eine vorgegebene Lage S erhiilt. Man ermittle die Eckpunkte U und V.

L-----------------~B

8. Von einem Dreiecke ABC (FHiche FA) ist ein Teil A DEmit gegebener Flache F = (lin) FA so abzuschneiden, daB der Schwer­punkt S1 des verbleibenden Vier­eckes BeE D (Abb. 53) moglichst weit vom Schwerpunkte S des ge­gebenen Dreieckes abrucke.

Es sind die Ecken D und E zu ermitteln.

Abb. 52

Abb. 53

9. bis 14. Man bestimme die Schwerpunktskoordinaten (~, 'f)) fur

If

9. folgende gleichformig mit Masse belegten Fla­

Abb. 54

12.

Abb. 57

chen in bezug auf die angegebenen Achsen:

10.

If;

Abb. 55

13.

...----.?r ~~-. p

Abb. 58

11.

P'--d!~~-'

Abb. 56 14,

Abb. 59

I

16

Abb. 60

II. Schwerpunkte ebener FHichen

Abb. 61

15. Bestimme das Verhaltnis der von 0 aus gemessenen Entfernungen der Schwerpunkte der beiden Teilflachen, in die ein Kreis (Abb. 60) durch den Bogen A C B zerlegt wird.

16. Bestimme den Schwerpunkt der schraf­fierten Flache und berechne den Inhalt des durch ihre Drehung urn die Achse 001 entstehenden Rotationsk6rpers (Intze-Behalter). (Abb. 61).

Abb. 62

17. Eine homogene, von zwei exzentrischen Halbkreisen berandete :Platte vom Gewichte G sei an einem in A, B befestigten, durch einen ;glatten Ring bei C laufenden Seil von der Langel in C aufgehangt (Abb. 62).

Wie groB ist die Exzentrizitat e = 0 0 1 der beiden Randkreise, 'wenn im Gleichgewichtsfalle der Durchmesser A Bunter a gegen die Waagrechte geneigt sein soIl?

Man ermittle die Seilspannung und das Verhaltnis der beiden Seil­.stiicke A C und Be.

E

A~-------rr~------~B

o Abb. 63

18. Der Schwerpunkt eines gleich­f6rmig mit Masse belegten Kreisbogens A C B kann durch folgende einfache Naherungskonstruktion (Abb. 63) ge­funden werden: Trage auf der Tangen-te i~ Scheitel C die Strecke CE = = 6/7 C B auf und ziehe die Gerade EM, die den Bogen in G schneidet. Dann gibt die Projektion von G auf die Bogensymmetrale mit groBer Ge­nauigkeit die Lage des SchwerpunktesS. Man beweise, daB nach diesem Verfah­

'ren der Schwerpunkt eines Halbkreisbogens auf 0,04% genau (also weit 1i.iber die ern~ichbare Zeichengenauigkeit) festgelegt ist.

III. Ebene Fachwerke. a) KraftepHine 17

19. Man beweise die Richtigkeit fo1-gender Konstruktion (Abb. 64) fUr den Inhalt eines Kreisabschnittes A C B A :

Lege durch den Schwerpunkt 5 des

H N

Bogens A C B die Paralle1e zur Sehne A.?-------.cJ-----+-----}! A B bis zum Schnitte G mit dem Bogen und bringe die in G auf 0 G errichtete Senkrechte mit der Bogensymmetra1en o C in H zum Schnitte. Dann ist das Rechteck H N B M flacheng1eich dem Segmente A C B A.

III. Ebene Fachwerke a) KdiftepHine

o

Abb. 64

Man zeichne fur die fo1genden Fachwerke die den angegebenen Be-1astungen entsprechenden Kraftp1ane.

1.

c

8

Abb. 65 3.

Abb. 67

Federhofer, Aufgaben I

2.

If

Abb. 66

3. Welche Anderung er­fahrt die Stabkraft im Stutz­stabe 1, wenn der Stab 2 durch den symmetrisch 1ie­genden Stab 2' ersetzt wird?

2

18 III. Ebene Fachwerke

.8

4. 5.

Abb. 68 Abb. 69

6. 7.

Abb. 70

8.

p

Abb. 72

c

Abb. 71

9.

Abb. 73

p

10.

Abb. 74

12.

Abb. 76

a) KraftepHine

c

T

19

11.

Abb. 75

12. In den Obergurt­knoten eines Fachwerk­kranes sit zen reibungs­freie RoUen, liber die ein voUkommen biegsames Kabel fiihrt, das zum Hochziehen der am rech­ten Ende angehangten Last P dient. Man er­mittIe die von den RoUen auf die Obergurt-

"'-..L ___ ---".q, knoten I, II, III, IV, V libertragenen Knoten-krafte und zeichne den reziproken Kraftplan fUr

das Fachwerk. Die Obergurtknoten liegen auf einem Viertelkreise vom Halbmesser R = 01 V (Mittelpunkt 01)' die Untergurtknoten VI, VII, VIII, V auf dem Kreise vom Halbmesser 02 V, wo °2°1 = Rj2.

B. 14.

Abb. 77 Abb. 78

2'

20

15.

Abb. 79

17.

Abb. 81

19.

I'

Abb. 83

21.

Abb. 85

III. Ebene Fachwerke

I'

16.

Abb. 80

18.

Abb. 82

20.

Abb. 84

22.

~~ . - 1·~JI. '

Abb. 86

23.

Abb. 87

25.

Abb. 89

27.

Abb. 91

29.

p"""'--------"

Abb. 93

a) KriiftepHine

24.

Abb. 88

26.

Abb. 90

28.

Abb. 92 30.

30. Man zeichne den reziproken Abb. 94

21

Kraftplan fUr das mit PI' P z belastete Hangegeriist (s. Aufg. III b, 5).

22 III. Ebene Fachwerke. b) Der Ausnahmefall

31. 32.

A

Abb. 95

31. Man ermittle fUr das in den fest en Gelenken A, B, C gestiitzte, mit den Kraften P und Q belastete 1 Fachwerk die Spannkrafte in den vier Stiitzstaben (5. Aufg. III b, 4). Abb. 96

32. Man zekhne fUr das durch vier Krafte belastete, unregelmaBige Sechseck den zugehorigen Kraftplan (5. Aufg. III b, 6).

b) Der Ausnahmefall

1. Welche Moglichkeiten bestehen, urn das Vorliegen des Ausnahme­falles bei einem ebenen statisch bestimmten Fachwerke zu entscheiden?

2. Man beweise, daB das Fachwerk in Abb. 97 wackelig ist, wenn y = a ist.

3. Bei welcher Verschiebungsrichtung des Gleitlagers C wird das Fachwerk in Aufg. I, 48 wackelig?

4. Welche Richtung des Stiitzstabes D A muB bei dem Fachwerke der Aufg. III, a, 31 vermieden werden, damit es nicht wackelig werde?

Abb. 97 5. Bei welcher Form des Stabwerkes in Aufg. III, a, 30 wird es beweglich?

6. Zeige, daB beim Fachwerk der Aufg. III, a, 32 der Ausnahmefall vorliegt, wenn das Sechseck ein Pascalsches ist.

IV. Biegungsmomente, Quer- und UingskriHte gerader Trager 23

IV. Biegungsmomente, Quer- und Langskrafte gerader Trager

1. Mit dem Trager A B =

=3 a (Abb. 98) ist das Stab­system CD E gelenkig ver­bunden. Man konstruiere fUr den Trager die Schaulinien fUr Biegungsmoment, Quer­und Langskraft bei Wirkung der lotrechten Kraft P (a = = 1 m, P = 500 kg).

2. Auf dem Trager A B (Abb. 99) ist im fest en lager C und im Gleitlager D ein Kran gelagert. Man konstru­iere die Schaulinie fUr die Biegungsmomente des Tragers A B und zeichne den Kraft­plan des Kranes fUr die Aus­legerlast P.

3. Ein in A und B. {rei aufliegender Trager mit liber­hangendem Felde Be = a ist liber sE'ine ganze lange A C = l mit q kg/m gleich­formig belastet. (Abb. 100).

Abb. 98

Abb. 99

"g~111 II I I II II I I I II I I II II I II I I I II}I£~IIIIIIIIIII!C , ~. --di

Abb. 100

Wie groB muB all gemacht werden, wenn das groBte Moment im Felde A B dem Betrage nach gleich sein soU dem Auflagermoment in B? Man zeichne die Schaulinie der Biegungsmomente.

Es ist I = 10 m und q = 500 kg/m.

4. Ein in A und B frei aufliegender Trager (Abb. 101) ist am Ende C des liberhan-genden Feldes B C = a mit P und im Felde A B mit.q gleich­fOrmig belastet, wobei P = q a

~1I11111I11I11I11I1!11111:'I1IIIIIIIIII1JC '=t A , 11 77717J

Abb. 101

ist. Wenn l die ganze Lange des Tragers A C bezeichnet, soU all so bestimmt werden, daB das groBte Moment im Felde A B dem absolu­

. t~{1 ,Werte nach libereinstimme mit dem Momente am Auflager B; zeichne die Schaulinie der Biegungsmomente.

24 IV. Biegungsmomente, Quer- und Uingskrafte gerader Trager

;---il -l .... :-II-III-II-+Jp-=-II-III-III~IIIIIIIII1111;+; A~,I' ~:-U--< #liB

:-' --- l .,

Abb. 102

5. \Vie graB muB bei dem in Abb. 102 dargestellten Tra­ger all gemacht werden, damit die Absolutwerte der Bie­gungsmomente in C und B einander gleich sind; zeichne

die zugehOrige Schaulinie der Biegungsmomente und Querkrafte. P =~q l.

Abb. 104

Abb. 103

6. Ein in C und D frei gelagerter steifer Halb­rahmen (Abb.103) ist an den Rahmenenden mit P symmetrisch belastet und tragt die gleichformige Last q kg/m entlang des Tragers A B. Bei welchem Werte P/q a sind die Biegungsmomente an den Tra­gerenden A, B und in Tragermitte gleich graB? Zeichne die Schaulinie der Biegungsmomente fur den Halbrahmen mit a = 0,8 m, q = 400 kg/m.

7. Zeichne fUr einen exzentrisch mit der lotrech­ten Last P belasteten Trager A B = l (Abb. 104), cler im Fuf3gelenk B und im Gleitlager A gelagert und waagrecht auf drei Viertel seiner Lange gleichformig

mit q kg/m belastet ist, die Schaulinie der Biegungsmomente. l = 4 ill, a = 0,5 ill, e = 1,2 m, P = 600 kg, q = 200 kg/m.

IJ

Abb. 105

8. Ein mit einem Fortsatze F versehener Reibungsring von kreisrundem Querschnitte mit

'------- .r

dem Durchmesser d ist langs einer lotrechten, unten eingespannten Saule (Durchmesser D) von der Oberflachenrauhigkeit / mit kleinem Spiel verschieblich und soIl die auf dem Fort­satze aufgebrachte dreieckformig verteilte Last Q tragen. (Abb. 105). Welche MihdestHinge x muS der Fortsatz F erhalten, wenn /. d. D. a gegeben sind?

IV. Biegungsmomentc, Quer- und Uingskrafte gerader Trager 25

Zeiehne naeh Bestimmung von x die Sehaulinie der Biegungsmomente flir die Saule und fi.ir den Fortsatz F, dessen Eigengewieht zu vernaeh­Hi.ssigen ist.

Zahlenangaben: D = 50 em, d = D /8, a = 20°, f = 0,15, Q = 80 kg.

9. Ein steifer Halbrahmen ABC (Abb. 106) ist im festen Gelenk A und im Gleitlager C gelagert. In den Punkten D, E des Riegels A B ist ein absolut bieg­sames Kabel von gegebener Lange l auf­gehangt. Entlang des Kabels kann eine kleine Rolle, die eine lotreehte Last Q triigt, reibungsfrei gleiten.

Man bereehne fUr die Gleichgewichts­lage von Q die waagrechte Entfernung x der Lastwirkungslinie von E und zeichne das Kabel in der Gleichgewichtslage.

Fii.r diese Lage ist die Schaulinie der Biegungsmomente des Riegels A B zu zeichnen und Ort und GroBe des groBten Biegungsmomentes zu bestimmen.

Q=800kg, a=1m, l=4a, a=300.

R

Abb. 106

10. Ein bei A eingespann­ter, bei B waagrecht verschieb­lich gelagerter G e r b e r trager (Abb. 107), dessen Gelenk C in Tragermitte liegt, ist im Bereiche A emit q kg/m und

,-'TITItm,_c_-t d-1111~11!lil:! J:NJ

A rr c :::7

Abb. 107

mit PI' im Felde C B mit P 2 belastet. Man zeichne die Schaulinie der Biegungsmomente und entnehme daraus Ort und Betrag des ± 1'vlmat •

a = c = 3 m, b = d = 2 m, q = 200 kg/m, P 2 = 2 PI = 1600 kg. 11. Ein Gerbertrager A G B (Abb. 108) tragt in C und D ein

rechteckiges Stabgeriist, das in den oberen Ecken mit den unter {3 a, gegen die Lotreehte geneigten Kriiften PI> P2 belastet ist.

Abb. 108

Man ermittle durch Zeichnung der Momenten- und Querkraftschau­linie die GroBtwerte von M und Q.

P1 =lOP2 =500kg, a=2m, h=1,5m, a=600, {J=450.

26 IV. Biegungsmomente, Quer- und Langskrafte gerader Trager

12. Ein auf vier Stiitzen gelagerter Gerbertrager (Abb. 109) ist iiber seine ganze Lange I. = 2l + II mit q kg/m gleichformig und in der Mitte des Einhangtragers G1 G2 mit P = q l belastet. In welcher Entfernung z von den Auflagern B und C miissen die Gelenke G ange­ordnet werden, wenn die absoluten Werte der Biegungsmomente in B und in der Mitte des Einhangtragers gleich groB sein sollen?

~1111111"I!I'IIIIIIIIII~I'I"I¢IIIIIII"lllk'!II'llii19!illrr~'IIIIIII""I'I"'IIII~ A 861 . -5, C .tJ

J ---2 __ -z- , . l !, i l~

Abb. 109

Zeichne die Schaulinie fiir die Biegungsmomente und bestimme daraus ± Mmax sowie die GroBe der Gelenk- und Auflagerdriicke.

II = S m, l = 4,S'm, q = 500 kg/m.

13. In welcher Entfernung a von den Auflagern B und C miissen bei einem auf vier Stiitzen gelagerten Gerbertrager (Abb. 110) die

Lilli 111111 111111bl!11 II I I ~i !11I!!III]fIlbtl tl[lllltttttttt~.tJ 77i7l A 61: ,,1 C 7777 :62 .'

---*-a~ --;.i~ ~. --l l --:

Abb. 110

Gerbertrager ist iiber seine ganze Lange und in der Mitte mit P belastet.

beiden Gelenke G1, G2 in den AuBenfeldern ange­ordnet werden, damit das Stiitzenmoment bei B dem Absolutbetrage nach gleich dem groBten Momente im Schlepp­trager A G1 werde? Der

3 l gleichformig mit q kg/m

Zeichne die Schaulinie fiir die Biegungsmomente und bestimme daraus den Wert des Biegungsmomentes an der Laststelle P sowie die GroBe

der Auflager- und Gelenkdriicke. l = 4 m, P = q2l , q = 500 kg/m.

14. Ein .uber vier Stiitzen durchlaufender GerbeFtrager mit drei gleichen Feldern l (Abb. 111) ist in den beiden Einhangtragern mit PI

und P 2 = 3/2 PI und im !1 0, !IIIIIIIIIIIU=( 62 1;;: Mittelfelde gleichformig

A.D..~._il-----<oi-""'8"L"-..,.--..J.LU.lllllJlJ.LLl-:"""'~""C40 '--~. ;:..2 -E,!:r tJ mit q kg/ m auf eine ~d--< l-a~~- ~~~(~ '--a~ Lange l/2 belastet. Die >--!--,--- ---:-- I -----.; Lage des Gelenkes G1

ist durch a =, l/3 gege­ben: In welcher Ent­

fernung ; von emus das Gelenk G2 in der dritten Offnung angeordnet werden, wenn die Auflagermomente bei B und C einander gleich sein sollen? Man lOse die Aufgabe zeichnerisch und gebe die Werte fUr ± Mmax an, wenn P =;' 4\ q = 400 kg/m, l = 9 m.

Abb. 111

IV. Biegungsmomente, Quer- und Langskrafte gerader Trager 27

15. Ein biegungsfester Trager A B (Abb. 112) ist in0I> O2 durch die Stabe 1, 2 nach M I , M2 abgestutzt und am linken Ende A mit der lotrechten Last P, im Bereiehe CD gleiehformig mit q kg/m belastet. Welche Kraft K mu13 in der gege- l benen Wirkungslinie l am reehten Ende B zur Herstellung des Gleich-gewichtes wirken? Man zeiehne die Sehaulinien der Biegungsmomente und Langskrafte des Tragers A B und bestimme daraus Ort und GroBe ihrer maximalen Werte< a = 0,6 m, P = 200 kg, q = 300 kg/m.

p

Abb. 112

16. Ein in A, B, C gestutzter Gerbertrager (Abb.113) ist in M mit - P und am freien Ende N mit + P belastet. Die Walzenstutze C ruht auf einem in E, F frei aufliegenden Hilfstrager.

Man zeiehne die Sehau­linien der Biegungsmomente des Tragers A N und des Hilfs­tragers und gebe an, welche Last der Hilfstrager in C auf­zunehmen hat. Das Eigen­gewicht ist zu vernachlas­sigen. a = 4 m, P = 1000 kg.

17. Ein starres Stabsystem (Abb. 114) ist im festen Gelcnk A und in den waag­reeht versehiebliehen Gelenken B, C gela­gert und besitzt im Seheitel D der reeh­ten Bogenoffnung ein Gelenk. Es ist mit einer lotreehten Last P und einer waag-reehten Kraft W und If

mit einer gleiehformi-gen waagr eeh ten Be-

,0 oe/MK

Abb. 113

lastung WI = P be- Abb. 114 liistet. Man konstru-iere die Gelenkdrucke in A und D und das Biegungsmoment 1m Seheitel des link en Bogens.

28 V. Drcigelenkbogen

18. Der Holm A B eines Flugzeugfhigels (Abb. 115) ist in A ge­lenkig an den Rumpf angeschlossen und durch die Strebe C D abge­

Abb. 115

stutzt, die im Gelenke D mit dem starren Arme F D ver­bun den ist. Die Luftkrafte wirken mit q kg/m gleichfor­mig nach aufwarts.

Man zeichne die Schau­linien fiir die Biegungsmo­mente, Quer- und Langskrafte des Holmes und bestimme

Ort und Betrag von ± Mmax mit den Angaben q = 200 kg/m, a = 1 m, a = 30°.

V. Dreigelenkbogen

Abb. 116

/f 11111111111111111111111111:11111I111111!1111111111111

~~ , p "- :

A:, l---t'~8, ~ Y ""

Abb. 117

1. Man berechne die Spannkrafte in den Staben o DUdes Dreigelenkbogens ABC (Abb. 116) mit der Pfeil­hohe t = l/4 bei halbseitiger gleichmaJ3ig verteilter Bela­stungqt/m. Die Untergurtkno­ten liegen auf einer Parabel.

2. Man beweise, daB fiir den parabolischen Dreigelenk­bogen (Abb. 117) bei gleich­m~iBig verteilter V ollbelastung das Biegungsmoment an jeder Bogenstelle verschwindet. Wie groB sind die Gelenkdriicke sowie Quer- und Normalkraft an beliebiger Bogenstelle?'

3. Man ermittle Ort und GroBe des groBten Biegungsmomentes des halbseitig mit q gleichmaBig belasteten symmetrischen Dreigelenkbogens.

21 = 6 m, t = 1 m, q = 200 kg/m.

I I

?'~ I , '

i---- l l--:

Abb. 118

Wie groB ist der Gelenkdruck im linken Kampfergelenk?

4. Man berechne fiir den nach Abb. 118 belasteten parabolischen Dreigelenkbogen das Biegungsmo­ment an der Stelle D sowie GroBe und Richtung der Gelenkdriicke bei B und C.

V. Dreigelenkbogen

5. Man konstruiere fUr das Trag­werk in Abb. 119 mit den drei Ge­lenken ABC die dort infolge der Belastung P und Q entstehenden Gelenkdrucke, ferner das Biegungs­moment an der steifen Ecke D und die Stabkrafte in dem als Fach­werk ausgebildeten SHinder A c.

6. Man entwerfe den reziproken Kraftplan fUr den mit den vier Kraften 2 W, W, 2 P, P be­lasteten symmetrischen Drei­gelenk-Fachwerkbogen mit W = P. (Abb. 120).

7. Es ist der reziproke Kraftplan fUr den mit 3 P und - P belasteten Dreigelenk­Fachwerkbogen mit Zugband zu konstruieren. (Abb. 121).

JI'

Abb. 121

29

[J

Abb. 119

Abb. 120

p

Abb. 122

8. Drei Fachwerkscheiben (Abb. 122) sind in drei Gelenken mit­einander verbunden und mit + P, - P belastet; konstruiere den reziproken Kraftplan.

9. Das durch eine Walze vom Gewichte Q belastete Bockgerust ruht auf waagrechtem, glatt em Boden; ein Ausweichen der Punkte A und B ist durch ein sie verbin­dendes Seil verhindert. (Abb. 123).

Man zeichne die Schaulinien der Biegungsmomente, Quer- und Langskrafte des Balkens B C und ermittle die Seilkraft.

Q = 80kg, 2l = 70cm, a = 25cm, b = 55cm. Abb. 123

30

Abb. 124

VI. Raumkraftsystem

A

Abb. 125

10. Ein Dreigelenkrahmen (Abb. 124) sei durch vier in den steifen Ecken angreifende Krafte belastet, die eine Gleichgewichts­gruppe bilden.

Man konstruiere die Gelenkdrucke und die Schaulinien der Biegungs­momente, Quer- und Langskrafte.

11. Man konstruiere fUr das in den fest en Gelenken A, B, C ge­stutzte, mit den Kraften P und Q belastete Stabsystem (Abb. 125) die Gelenkdrucke in A, B, C und G.

VI. Raumkraftsystem

1. Wie bestimmt man die Dyname eines gegebenen Raumkraft­svstems? . 2. Fiir ein gegebenes Raumkraftsystem 5011 ein ihm aquivalentes

Kraftkreuz (Kraftdyade) ermittelt werden. 3. Gegeben sei die Dyname :R, WI und eine durch den Punkt --+

Al (0 Al = aI ) gelegte Gerade gi (Abb. 126), wekhe die Wirkungslinie von :R nicht schneidet. Man ermittle die zu gl konjugierte Gerade g2'

Abb. 126 Abb. 127

4. In vier Seiten einer pyramide mit quadratischer Grundflache a2

und der Rohe h (Abb. 127) wirken vier Krafte P und PI> die den ent­sprechenden Seitenlangen proportional und zu je zweien gleich groB sind.

Man ermittle deren Dyname und die Zentralachse.

VI. Raumkraftsystem

5. Es ist die Dyname und Zentralachse der drei nach Abb. 128 ge­gebenen Krafte \PI \P2 \P3 zu bestimmen.

6. Welche Krafte Q ha t man dem in den Kanten 0 A und E D eines Wiirfels von der :r Seitenlange a wirkenden orthogonalen Kraft­

}--+-"'-------+-!/

Abb. 128

A

I' I I I I ,

" )..-----

B

R /,<' - I

(J

Abb. 129

31

kreuze in A B und C D (Abb. 129) hinzuzufiigen, damit sich die Gesamt­wirkung auf eine Einzelkraft reduziere?

Welche GroBe, Richtung und Wirkungslinie besitzt sie?

7. Drei gleichlange Stabe von der Lange I stiitzen sich in ABC auf eine glatte waag­rechte Ebene und sind in D durch ein Gewicht Q belastet (Abb. 130). Ein Ausweichen der Stiitzpunkte, die in den Ecken eines gleich­seitigen Dreieckes mit den Seiten I liegen, sei durch eine sie knapp oberhalb der Stiitzpunkte

A

o

verbindende Schnur verhindert. Wie stark Abb. 130 wird die Schnur gespannt? Welche Krafte entstehen in den drei Staben?

8. Ein im Kugelgelenk 0 drehbarer Stab 0 A = I vom Gewichte G stiitzt sich in A an eine von 0 urn c entfernte glatte lotrechte Wand E. (Abb. 131). Er wird durch ein in A angekniipftes, durch den Ring R laufendes und mit Q gespann­tes undehnbares Seil im Gleichgewicht gehalten. Man berechne fUr Gleichge­wicht den Winkel rp von 0] A gegen die Lotrechte sowie GroBe und Richtung des Gelenkdruckes in O.

Abb. 131

9. Ein raumliches Kraftsystem sei durch den im Ursprung 0 ange­setzten Vektor \P und durch IDlo gegeben, wobei IDlo und \P nicht zu­sammenfallen. Durch Hinzufiigen einer ihrer GroBe und Richtung nach gegebenen Kraft .Q solI erreicht werden, daB die Zentralachse der resultierenden Dyname aus \p,.Q und IDlo durch einen gegebenen Punkt D

--+-gehe (0 D =b).

Man berechne die Bestimmungsstiicke der Dyname mit den Angaben

(kg) {o (kgcm) {-4 (kg) {3 (cm) { 0 \P = 2, IDlo = 4, .Q = 0, b = 3.

1 4 3 2

32 VI. Raumkraftsystem

10. Ein rechteckiger homogener schwerer Deckel (G = 18 kg) wird nach Abb. 132 durch einen bei C angesetzten Stab in E abgestiitzt.

Wie groB ist die Stabkraft? Welche Driicke treten in A und B auf? A B = 100 em, A C = AE = 60 cm.

A 1'-----'-->( t

Abb. 132 Abb. 133

11. Eine homogene rechteckige Platte a . b vom Gewichte G kann in den kreisrunden Hiilsen A, B an einer glatt en Stange gleiten, die unter (3 gegen die Waagrechte geneigt ist (Abb. 133). In der durch CD gelegten Normalebene zur Platte wirke im Punkte D eine Kraft Ill, welche die Platte mit der Neigung a gegen diewaagrechte Ebene e

Abb. 134

im Gleichgewicht halten soIl. Man bestimme III nach GroBe und

Richtung und ermittle die Hiilsendriieke in A und B.

12. Zwei in den Kugelgelenken A und B (Abb. 134) gelagerte diinne Stangen stiitzen sich in E aneinander und sind in C und D mit zwei Kraften III und .Q be­lastet, die einer gegebenen Ebene e parallel sein sollen. Von III ist der Betrag P gegeben. Man konstruiere die Riehtung von Ill, ferner GroBe und Riehtung von .Q sowie die Gelenkdriicke in A und- B.

13. Eine homogene waagrechte Platte vom Gewiehte Gist durch sechs Stabe gesUitzt, von den en drei lotrecht sind; in der Plattenebene wirke ein Kraftpaar M (Abb.135).

Welchen Wert hat M, wenn die lotrechten Stiitzstabe spannungslos bleiben ? Wie groB sind dann die Spannkrafte in den schragen Stiitz-

Abb. 135 staben? Die Stiitzpunkte A' B' C' bilden ein gleiehseitiges Dreieck

mit der Seitenlange a, die Lange der lotrechten Stabe sei gleieh l (Timoshenko).

VII. Seil- und Kettenlinien 33

VII. Seil- und Kettenlinien

,.-x- l 1. Ein vollkommen biegsames in A und B befestigtes Kabel (Abb. 136) sei der Wirkung einer uber die Horizontalprojektion des Kabels gleichmaDig verteilten Belastung q kg/m unterworfen; man bestimme die Form des Kabels, Ort und Be­trag des groDten Durchhanges 1 und den Horizontalzug H.

A - _=+::--, ,--- '----.----x \" fr-!~ 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111I

If

Abb. 136

Wie groD ist die Bogenlange s der Seilkurve im FaIle h = 0 ? Urn wieviel andert sich der Durchhang I, wenn die Kabellange s

infolge einer Temperaturanderung urn Ll s zunimmt?

2. Ein vollkommen biegsames, in gleich hoch liegenden Punk ten A, B festgehaltenes Kabel (Abb. 137) habe den Durchhang Iq unter der Wir­kung einer gleichfOrmigen Belastung q kg/m, die das Eigengewicht be tracht­lich uberwiege, so daD letzteres ver­nachlassigt werden kann. Nun werde symmetrisch zur Kabelmitte eine gleich­formig verteilte Nutzlast P = n q auf der Belastungslange 2 a aufgebracht. Wie groD ist dann der Durchhang 1 und der Horizon talzug H? Die Verlangerung

~ : If • , ' , , , , , , ,

i 11111111111) 1IIIIIIIIillllilillllllllllt{:llllllIlllllll:

If :"-d -'- d --:

Abb. 137

des Kabels infolge Aufbringens der Nutzlast p bleibe unberiicksichtigl.

Bei welchem Werte 2Za erreicht 1 seinen GroDtwert?

3. Das ursprunglich nur der Wirkung einer gleichmal3igen Belastung q kg/m unterworfene Kabel werde im tiefsten Punkte mit einer lotrechten Einzellast P belastet; man berechne die eintretende Anderung des Durchhanges und des Hori­zontalzuges. (Abb. 138).

4. Ein dunnwandiger vollkommen bieg­samer Blechzylinder mit waagrechter Achse sei in den Randerzeugenden bei A und B aufgehangt und mit Fliissigkeit vom Ein­heitsgewichte y gefUIlt. (Abb. 139).

Damit die dunne Blechwand uberall mit der konstanten Spannkraft 5 gezogen werde, muD die Leitlinie Z des Zylinders der Bedingung y (! = S/y geniigen, wo (!

den Krummungshalbmesser PQ bedeutet. Federhofer, Aufgaben I

Kl7 \,,!,,!,,!""""'!"" J~"","",,, "II,.!, 111111

If

Abb. 138

Abb. 139

3

34 VII. Seil- und Kettenlinien

a) Man beweise diese Bedingung und die Beziehung

h = V 2~ (1 + sinrpo)

zwischen der groBten Tiefe h und der Neigung rpo der Randtangente gegen die Lotrechte.

(Der Fliissigkeitsdruck P in der Tiefe y ist p = Y Y und steht senk-recht auf dem gedriickten FHichenelement). __

Man bestimme die Resultierende R aller auf die Blechwand A C wirkenden Fliissigkeitsdriicke nach GroBe, Lage und Richtung.

b) Beweise ferner, daB die Leitlinie l durch ein Seileck angenahert werden kann, das zu jenem Kraftecke gehort, dessen Seiten die in einem

. S Krelse vom Halbmesser ~ aufgetragenen Druckhohen y sind.

YLlS

(Die Leitlinie ist hiebei durch ein Polygon mit der konstanten Seiten­lange LI S ersetzt gedacht).

5.Ein zylindrisches Gewolbe (Abb. 140) sei nur durch lotrechte Krafte P je m2 der gekriimmten Oberflache belastet. Die Gewolbestarke

.r

Abb. 140

im Scheitel sei 150' Wenn in allen Quer­schnitten die konstante Druckspannung a herrschen solI, so muB die Gewolbeachse entsprechend der Gleichung

1 P cos2 rp e a 150

geformt sein und es muB sich die Gewolbe­starke 15 nach dem Gesetze 15 cos rp = 150

andern. a) Man beweise dies! b) Wenn in obiger Bedingung die mit rp veranderliche Belastung

dem Ansatze p = .1L geniigt, so wird e = eo cosn- 2 rp mit eo = cosn rp

= ~ 150 . Die Gewolbeachse nimmt dann die Form einer Ribaucour­Po

schen Kurve an; welche Gewolbeformen ergeben sich fUr die Sonder­

Abb. 141

werte n = - 1, Null, 2 und 3?

6. Eine biegsame Kette (Abb.141) sei der alleinigen Wirkung der Schwere unterworfen (Einheitsgewicht y).

Man beweise, daB sie nur dann in allen Querschnitten gleiche Zugspannungen a erfahrt,

yZ

wenn ihre Dicke 15 nach dem Gesetze 15 = 150 e-U von ihrem Werte 150 im Scheitel zunimmt und

VIII. StabilitatdesGleichgew. a) DerauffesterFlacheruhendeschw.Ki:irper 35

wenn sie die durch a e = Cos (a s) gegebene Form besitzt, wo e und s Krummungshalbmesser und BogenHi.nge bedeuten und a = ria ist.

7. a) Man entwickle die Differentialgleichung der Gleichgewichts­kurve eines vollkommen biegsamen, undehnbaren Fadens, der der Wirkung von Zentralkraften unterliegt, die nur von der Lange r des vom Kraftzentrum 0 aus gezogenen Polstrahles abhangen; berechne die Fadenspannung an beliebiger Stelle.

b) Man beweise, daB die dem Zentralkraftgesetze P (r) = k rn ent­sprechenden Seilkurven mit Ausnahme des Falles n = - 1 Sinus­spiralen vom Index - (n + 2) sind und daB die .Seilspannung pro­portional mit rn + 1 ist.

8. Es ist die Form jenes Seiles von veranderlicher Dicke 0 zu be­stimmen, das bei Annahme des Zentralkraftgesetzes P (r) = clr uberall gleich gespannt ist (Seil gleicher Festigkeit).

9. Man bestimme die Gleichgewichtsform eines in zwei gleich hohen Punk ten A, B (AB = 2 b) aufgehangten gleichformigen dehnbaren Seiles von der Lange 2 l; wie graB ist dessen Durchhang und die ge­dehnte Lange 2 L? (Clebsch, Minchin, Skrobanek).

VIII. Stabilitat des Gleichgewichts

a) Der auf einer festen FHiche ruhende schwere Korper

1. Mit einer Halbkugel, die auf waagrechter Ebene ruht, ist ein Kegel aus gleichem Material verbunden. Welche Hohe darf er erhalten, wenn das Gleichgewicht indifferent sein solI? (Abb. 142). .

2. Ein Kreiskegel ruht mit seiner Basis auf dem Scheitel eines Rotationsparaboloides. (Abb. 143). 1st h die Hohe des Kegels und p der Parameter des Paraboloides, so muB fUr stabiles Gleichgewicht

h < 4P sein; man beweise dies.

r------I

/

Abb. 142 Abb. 143 Abb. 144

3. Eine Halbkugel vom Halbmesser r ruht auf dem hochsten Punkte einer Halbkugel vom Halbmesser R. (Abb. 144). Beweise, daB fUr sta­biles Gleichgewicht r < 3/5 R sein muB.

3"

36 VIII. Stabilitat des Gleichgewicht'l. b) Der beliebig gestiitzte K6rper

4. Ein Zylinder, des sen Basis die Form eines Kreisabschnittes (Halb­messer r) hat, ruhe mit waagrechter Erzeugender auf kreiszylinderisch gewolbter Unterlage (Halbmesser R). Wie groB muB RJr gewahlt werden, damit das Gleichgewicht indifferent sei? (Abb. 145).

Abb. 145 Abb. 146

5. Eine ebene schwere Platte (Abb. 146) ruhe in der dargestellten Weise auf einem Kreiszylinder; wie groB darf x auBersten Falles sein, ohne das sichere Gleichgewicht zu storen?

b) Der beliebig gestlltzte Korper

1. Zeige, daB das Gleichgewicht der beiden Gewichte P, Q in Aufg. I, 21 stabil ist.

2. Zeige, daB das GleichgewichtinAufg. I, 25stabilist, wenn ~ -a> fl. 2

3. Es ist die Art des Gleichgewichtes in Aufg. I, 31 festzustellen.

4. Untersuche die Art des Gleichgewichtes des Massenpunktes M in Aufg. I, 34.

Losungen

I. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

1. Konstruiere mit Kraft- und Seileck die Mittelkraft \R der vier Krafte, deren Wirkungslinie den Hebelarm r beziiglich des Kreismittel­punktes 0 habe; fiigt man in 0 zwei sich tilgende Krafte ± \R hinzu, so verbleibt die nun in 0 wirkende Kraft \R und ein rechtsdrehendes Kraftpaar vom Betrage Rr. Das hinzuzufiigende Kraftpaar M muS daher links drehend sein mit gleichem Betrage (Abb. 147).

Abb. 147 Abb. 148

2. Konstruiere mit Kraft- und Seileck (Abb. 148) die Mittelkraft \R der drei Krafte \lJl' \lJ2' \lJ3 und wende die Culmannsche Methode der Zerlegung von \R nach drei gegebenen Richtungen .01' .02' .03 an. (Hilfsgerade s.)

3. Das gegebene Kraftpaar sei M = Q q. (Abb. 149). Konstruiere mit der Fehlannahme P l ' und den mit dieser Annahme durch das vorge­schriebene Verhaltnis 1 : 2 : 3 bestimmten Kraften P 2', P 3' ihre Mittel­kraft R' mit Kraft- und Seileck, die in Bezug auf den Mittelpunkt 0

- 39-

4 1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

des Umkreises den Hebelarm r habe. Dann ist die richtige GroJ3e R der Mittelkraft durch R r = Q q bestimmt. (Zeichnung zweier ahnlicher Drci­ecke im Lageplane.) Wird das Krafteck der Krafte PI', P 2', P3' im Verhaltnisse RjR' ahnlich verandert mit dem Ahnlichkeitszentrum im Kraftpol E, so ergeben sich die gesuchten Krafte PI> P2, P3•

\--:.IA..::>...------ /I -----~

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~ ~L:=-::=-~=J1~' '/""-

J~~~ /f':!J:1'·,:2:.J

l

Abb. 149

4. Vereinigt man in Abb. 150 \P mit einer der beiden Krafte des Paares Q q zu R und setzt diese wieder mit der zweiten Kraft Q zu-

!,P" ,P

I ,.p'j ~ ~ , ~\ ~\C' 1\ /I \

\ .1'\ .\ i ' \ \ \ \ \ \ , \ \ . \ I \ \ \ \. \ \

)\ \ '\ \ " , \ . 1, \ 1\ $T '\ '.\ \ , \. \ '\\ . , . ! \ ,~\ "fL __

If \

~

Abb, 150

sammen, so ergibt sich die gegeniiber ~ parallel verschobene Mittelkraft ~* gleich~, die nach der Methode von Culmann in die Seiten des gleichseitigen Dreieckes zu zerlegen ist.

- 40-

L6sungen 5-6

5. Seien Ql und Q2 die in den Seiten E Fund F G (Abb. 151) des eingeschriebcnen Quadrates wirkenden Krafte von vorgeschriebenem Verhaltnisse 1 : 3, so ist hiedurch die Wirkungslinie ihrer Mittelkraft

4 gegeben. Man zerlege daher die Resultierende 9i = L\J3" der gegebenen

1 Krafte in die drei Krafte Q3' Q4 und Ql +' Q2 nach der Culmannschen Methode; damit sind schlie13lich auch Ql und Q2 selbst bestimmt.

/\\ .: \' " ,\

11/ \ \ . I.' ~ c ,

R",'" , , , 't '[ Ilf

, , , , , , /

" It¥./' , /

A / , ~ 0 / ,

/ , / ,

/ ,

/ /

R,/ /

( , , , , , ,

Abb. 151

6. Die vier gegebenen Krafte bilden, da deren Kraft­eck (Abb. 152) geschlossen ist, ein Kraftpaar M gleich der doppelten Flache des Vier­eckes ABC D, daher M =

= A C h. Sei P die zu be­stimmende Kraft mit der vor­gegebenen Wirkungslinie lund PP deren Moment urn den Schnittpunkt T der Viereck­diagonalen, so muE dieses durch das Kraftpaar M ge­tilgt werden, demnach ist

P P = XC. h= Q q mit Q = -- -

= A C und q = E F = h. Die Parallele durch G zu E L schneidet I im Punkte M und

If. / ,

/ J , ,

\ , , ,

\s ,

\ , , \ \

, , \~

, \ -l

\~ /"~ \ ,= / \ /

\ , / , \ / , \

/ , \ / ,

/ , \ \ / ,

/ , / ,

<\\ /" ~~~/

Abb. 152

es ist M H = P, da die Dreiecke H G M und H L E ahnlich sind. Die Zerlegung dieser in T wirkenden Kraft p* nach den Rich­

tungen der Diagonalen ergibt die gesuchten Krafte P l und P 2 .

-41-

7-8 1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

7. Da ~l + ~2 + ~3 = 0, so besteht die Wirkung dieser sich in einem Punkte schneidenden drei Krafte in einem links drehenden Kraft­paar vom Betrage 2 F mit F als Dreiecksflache ABC. (Abb. 153).

Bezeichnen tA, tB, tc die gerichteten Schwerlinien, so ist

3 tA + tB + tc = 2" (~l + ~2 + ~3) = 0;

daher ist auch die Kraftsumme der gegen­tiber den Schwerlinien urn 90° im gleichen Sinne gedrehten Krafte ~A, ~B, ~c gleich Null und da sie sich nicht in einem Punkte schneiden, liefern sie ein Moment

vom Betrage 2 Fl (Pc/Al B l ), wenn Fl die Flache des von ihren Wirkungslinien eingeschlossenen Dreieckes Al Bl Cl be­deutet. Somit ist dieses ebene Kraftsystem gleichwertig einem links drehenden Mo-menteMvom Betrage2 [F +Fl (Pc/./i~·Bl)J. Diesem wird Gleichgewicht gehalten durch drei in den Seiten des Dreieckes H A H B H c wirkende Krafte, die proportional den

Abb. 153 Seiten dieses Dreieckes sind mit dem

Proportionalitatsfaktor F +Fl (~C/Al B l ), wo t die Flache dieses Dreieckes t

angibt; der Umlaufsinn dieser Krafte ist entgegengesetzt jenem von M.

8. Die Spannkrafte D und E in den Seilen D B und E B sind ein­ander gleich. Mit einer Fehlannahme D' = E' fUr D = E ist die zuge­horige Spannkraft A' durch n D' gegeben. Das zu den Kraften A' D' E'

l!/

Abb. 145

gezeichnete Seileck I II II I liefert die Wirkungslinie ihrer durch den Schnittpunkt von I und III fUhrenden Mittelkraft R' und damit auch x. Da R' aber die GroJ3e 3 Q haben soIl, so ist der Kraftplan im Verhalt-

- 42-

L6sungen 9-10

msse ~? ahnlich zu verandern mit dem Ahnlichkeitszentrum III H.

Hiemit sind die endgiiltigen Seilkrafte bestimmt. (Abb. 154). Rechnerische Losung: Die Gleichgewichtsgleichungen fiir den frei­

gemachten Trager A B sind 2 Q x + Q (x + e) = (2 D cos a) 6 e,

A + 2 D cos a = 3 Q, woraus mit A = n D folgt

x = (2 !~sc:s; n -~) e.

9. 1st ds das gerichtete Bogenelement an beliebiger Stelle, so liefert ---+

die geometrische Summe aller q ds die Mittelkraft \R = q c, wo c = A B. Der Normalabstand ~ der Mittelkraft von 0 folgt aus der Momenten­gleichung urn 0:

a

R ~ = J qr2 drp = qr2 a

'I'~O

qr2 a zu ~ = -R oder mit R = q c

r2 a ~=--.

c Die Flache F des Kreissegmentes A C B A betragt

F = !r2a-~-c rcos~ 2 2 2'

woraus wegen (a) folgt: 2F a -;- = ~ - r cos i = 'YJ,

wenn'YJ den Abstand der Wirkungs-linie R von der Sehne A B angibt. Verwandelt man die Segmentflache F in ein flachengleiches Rechteck, dessen eine Seite gleich der Sehne c ist, so ergibt die zweite Seite den Wert 'YJ/2. Eine einfache, sehr ge­naue graphische Naherungslosung dieser Flachenverwandlung ist in Aufg. II, 18 und 19 angegeben.

10. Nach Aufg. I, 9 besteht die Gesamtwirkung der tangentialen Krafte q in einem Kraftpaare M =

= R (rii + 'YJ2) = q 2 r Fir = 2 q F, wo F die Scheibenflache bedeutet.

- 43

-o/~ ____ !tJ ____ _

Abb. 155

(a)

11-12 I. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

Fiir die Auflagerdrikke ergibt sich daher

A=_B=M=q~ 2r r·

Die zweimalige Anwendung der Naherungs16sung von Aufg. II, 18 und 19 ermoglicht nach Abb. 155 die rein graphische Ermittlung von A und B.

11. Die Figur ABC D muB iibereinstimmen mit jenem Seileck zu den gegebenen Lasten Ql und Q2' dessen Seilkrafte gleich dem in D wirkenden Gewichte Ql sind. Dadurch ist der Pol 0 des zugehorigen Krafteckes bestimmt und durch die Geraden 0 M, 0 N und 0 T die

r-----.;r<,~·--~~ l! \~,,~ t I \ (,J')

t~/, '\ c.,,'i I \

JT / i

Abb. 156

Richtungen der Seilstiicke A B, Be und CD fUr Gleichgewicht. Da Be = l gegeben, so kann die Gleichgewichtslage von B emit Benutzung eines auf A B beliebig angenommenen Punktes B' eingezeichnet werden. Die Langskraft K im Stabe Be ist gleich N N 1 . Ais Kontrolle dient, daB sich die Wirkungslinien von 51 :f' 5 und 52 :f' 5 auf jener von R schneiden miissen. (Abb. 156).

12. Mit pals Parameter der Parabel mit waagrechter Achse ist der Neigungswinkel der Tangente im Stiitzpunkte

tga=E.= -p-o y l sin q;.

Aus den drei Gleichgewichtsgleichungen des freigemachten Stabes folgt nach Beseitigung der Drucke A und B

/ l . P SIll q; + 2 / tg q; = 1.

Der N ormaldruck bei A betragt

G A=---.

2 (1-/ tgq;)

- 44-

Losungen 13-16

13. Da sich die Wirkungslinien des Stutzdruckes B und des Ge­wichtes G in 0 schneiden, so gibt 0 A die Wirkungslinie des Gesamt­druckes in A, die unter dem Reibungswinkel (! gegen die Bodennormale geneigt ist. Daraus folgt

tg (! = t = 1 c;: fl . Da aber r cos a = l/2 . cos fl, so wird t = cos a. Weiters ist r sin a + l sin fl = r, woraus mit (l/2 r) = A der Winkel fJ

bestimmt ist durch

cos fJ = 32 A V3;T---2 + V4-3 A2;

damit wird

14. Fur Gleichgewicht mussen sich die Widerstande 5mA, 5mB an den Enden des Stabes, die gegen die Normalen N A , N B der schiefen Ebenen unter e geneigt sind, auf der Lotrechten durch den Schwer­punkt 5 schneiden. 1st C dieser Schnittpunkt und D jener der beiden Normalen NA und N B , so muJ3 der Punkt C wegen der Gleichheit der Peripheriewinkel (! uber dem gemeinsamen Bogen CD auf dem Um­kreise des Dreieckes A B D liegen. Hiedurch ist der Reibungswinkel (!

zeichnerisch bestimmt. Da j[

<}:CA B=Z-a+e,

j[ <rC BA = __ R_n - 2 I-' 0:'

so folgt aus der Gleichheit dieser Basiswinkel 1m gleichschenkligen

Dreiecke CAB unmittelbar 0 = a - f3 • - 2

15. Sind A und B die Normaldrucke an den beiden Stutzstellen, so bestehen fUr das Gleichgewicht des Stabes die drei Gleichungen

II':.... B-Qe 2 = 0,

A +tB-G=O,

" 1,-Qe 2lsina+G(l-d)cosa-Alcosa=0,

d G -- " _ + 1'2- . woraus mit A = T folgt: tg a - Q ). e + /.

16. Der Schwerpunkt muJ3 sich auf einer Waagrechten bewegen. Der Punkt B beschreibt dann eine Ellipse. Die Koordinaten des Punktes B in Bezug auf das eingetragene

- 45-

17-21 I. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

Achsenkreuz x y sind x = 2lcosq:;-yctga,

y = I sin q:;. Die Eliminierung von q:; liefert die Gl. der Ellipse

X2 + (4 + ctg2 a) y2 + 2 x y ctg a = 412, wodurch die Lage der Hauptachsen und die Langen der Halbachsen bestimmt sind.

17. ctga -ctg fJ tg q:; = 2 + ctg a + ctg fJ .

18. Rechnerisch: Aus 5 (cos 30° - cos 60°) = 1 [G + 5 (sin 60° + sin 300)J

folgt

--+ Zeichnerisch: Fiigt man an G = 0 a die beiden gleichen und aufeinander

senkrechten Seilkrafte 5 an, so liegt der Endpunkt dieses Krafteckes. auf einer durch a gelegten Geraden, die gegen 5 unter 45° geneigt ist. Die Richtung der durch 0 zu ziehenden Wirkungslinie des Bodendruckes. schlieBt mit der Lotrechten den Reibungswinkel f] ein. Damit ist auch

8

" A H

Abb. 157

die Kraft 5 bestimmt.

19. Die Winkel q:; und 'IjJ sind bestimmt durch

(l-/tg'IjJ) (l-/tgq:;) =

1 + 12 2

sin 'IjJ + 2 sin q:; = 1.

20. A = 2 B = 2 G tg a; G

H = - VgL Abb. 157. cosa

21. Sind y, YI die Tiefenlagen der Gewichte P und Q, x, Xl die zu­geh6rigen Abszissen, so ist bei Vornahme einer virtu ellen Verschiebung entlang der Parabel

P b y + Q b Yl = O. (a) Aus y2 = 2 P x folgt y b y = pbx. womit (a) iibergeht in

Pbx + .sL b x = O. (b) Y YI I

- p-- P --DaF P = x + 2' F Q = Xl + 2' somit 1 = F P + FQ = x + Xl + p,

so wird wegen b 1 = 0:

- 46-

Losungen 22-26

daher aus (b): Y P -=-=c Yl Q

(c)

2

und ~ = c2 = ~, woraus sich wegen x )'1 Xl

l - Xl - P die Abszisse

l-p . Xl ZU Xl = --2 erglbt.

1 + c

22. Bei Vornahme einer virtuellen Verschiebung ist

G cos cP /j cP + Gl cos CPl /j CPl = O.

Wegen der Konstanz der FadenHinge 2 a = a cp + 2 a sin CPl/2 besteht zwischen /j cP und /j CPl der Zusammenhang /j cP + cos CPl/2 /j CPl = 0, so daB sich fUr den Stellungswinkel cP die Gl.

G. V 2 2 - cos cP = 4 cP - cP - -::/==== G] V4cp-cp2

ergibt. Diese liefert, wenn G/Gl = 1/2: cP • 46°, CPl . 74°.

23. 1 G

t = 2 V3' c = 2 V3 (waagrecht).

24. cosa t = -------=--,-----c-----

, 2 G1 ( 2 h r ). sma+-- ------G l sin 2 a cos a

25. Man schreibe fUr jeden freigemachten Stab die drei Gleichge­wichtsgleichungen an und eliminiere daraus die Komponenten der beiden Gelenkdriicke und den Stiitzdruck in B; dies liefert

G p= -

ctg a + tg 13' Der Gelenkdruck in A hat eine waagrechte Komponente HA = P und eine lotrechte Komponente

V _ ~ cos (a + 13) A - 2 cos (a - 13) .

Da sich der Stiitzdruck in B zu

B = ~ 1 + 3 tg a tg 13 2 1 -+ tg a tg 13

errechnet, so miiBte die Kraft P ersetzt werden durch die Reibungs-2

kraft P = t B, wonach t = ctg a + 3 tg f3 sein miiBte.

26. 2

2 tg 13 - tg a = 7- , , . R h sma+sm{J=Y,

- 47-

27-29 1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

27. Sind GI , G2 die Gewichte der beiden Stabe und bezeichnet 5 die Zugkraft im Faden, dann liefert das Prinzip der virtue lIen Ver­schiebungen

5 = Gl + GIll 411 tg a .

28. Sind Zl' Z2' Z3 die Tiefenlagen der Schwerpunkte der Stabe 0 A, A B und des Punktes Bunter dem fest en Gelenke 0, dann ist fUr eine virtuelle Verschiebung bei Erhaltung der Stutzbedingung in 0 und C

G b Zl + G b Z2 + P b Z3 = 0 oder wegen Zl = l cos a, Z2 = 2l cos a -l sin fJ, Z3 = 21 (cos a -sin fJ)

(3 G + 2 P) sin a b a + (G + 2 P) cos fJ b fJ = O. (1)

Die geometrische Bedingung 2l sin a = AC cos fJ, worin mit..!!.- = v 2 l

die Strecke A C = 2 l VI + v2=iv cos a (vgl. LI 0 A C) oder mit der Abkurzung

/-----~~~­

w II + v2 - 2 v cos a (2)

A C = 2 l wist, ergibt den zwischen a, fJ bestehenden Zusammenhang

w cos fJ = sin a, (3) daher

. fJ bfJ- (cosa-v) (I-v cos a) b -SIll - w3 a.

Hiemit berechnet sich P aus (1) zu

P = ~ 3 w3 - (1-v_c~~a) 2 (I-vcosa) -w3 (4)

Eine einfache Kontrolle dieses Ergebnisses liefert der Sonderfall der waagrechten Lage des Stabes A B; aus dem dann rechtwinkligen

Dreiecke 0 C A ist der Stellungswinkel a l bestimmt durch cos a l = ..!!.- = v, 2 l

damit wird· aus (2)

und aus (4) P = ~ 3 sin at - I

2 I-sin a] .

Dieses Ergebnis folgt aber auch unmittelbar aus dem Momenten­gleichgewichte des Stabes A B urn C, wenn beachtet wird, daB der Ge­lenkdruck in A bei waagrechter Stablage lotrecht gerichtet und gleich G/2 sein muB.

29. Da keine Stutzung am Boden stattfindet, wirken auf einen frei­gemachten Stab nur das Gewicht, der Normaldruck von der Walze und der waagrechte Gelenkdruck, die sich in einem Punkte schneiden mussen. Hiernach bestehen die geometrischen Beziehungen

- 48-

Losungen 30-34

B C = I sin a = B D = I - r ctg a und

f sin a = (l cos a - r) ctg a.

Die Elirninierung von Ilr liefert

sin 2 a + 2 sin a - 2 = 0, sornit

sin a = V3-1, woraus

r 3V3-5 y= V2 V3-3 = 0,288.

Die Krafteprojektion auf die Stabrichtung ergibt fiir den Gelenkdruck

V2 V3 - 3 A = Gctga = G = 0,931 G.

30. 4

cos2m =-' 'r 5'

31.

V3-1

sin 'If! = 2sincp, hieraus cp = 26°35', 'If! = 63°25'.

1 cos cp = -, cp = 82° 50'.

8

Der Gelenkdruck in 0 hat die waagrechte Kornponente V 63 G und 16

die lotrechte Kornponente - ~~ G. Sornit ist der Gelenkdruck gleich

2,23G.

32. Urn die dargestellte Gleichgewichtslage zu erhalten, ist eine Kraft

P=~ 1-2ttga 2 1-ttga

erforderlich. Eine Bewegung des Punktes A nach rechts hin wird durch eine Kraft

(P) = ~ 1 + 2 t tg a 2 1 +ttga

bewirkt.

33. Losung nach Abb. 158.

34. Seien i, j, e Einheits­vektoren in waagrechter und lotrechter Richtung und in Richtung 0 M, so ist mit --- ---OA=OB=a

Federhofer. Aufgahen I

/.B~ ____ -+\+'~A ____ 7P c

Abb. 158

- 49- 4

35 1. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

--+ tA=MA=-re-ai,

-~

tB =M B= -re + ai,

somit lautet die vektorische Gleichgewichts­bedingung mit !J3A = A tA und !J3B = fl tB:

A tA + fl tB + D e + G i = 0, (a) wo D den Normaldruck in M angibt.

Abb. 159 Durch skalare Produktbildung der Gl. (a) mit dem zu e normalen Einheitsvektor el fallt

wegen e. el = 0 der Druck D heraus und es ergibt sich, da i . el = = - sin cp, i. el = - cos P:

G (b) tgp = a (A-fll"

Mit der Annahme A = 2 fl = 2 Glr folgt fUr die Gleichgewichtslage CPl aus (b): tg PI = ria (vgl. Abb. 159).

35. a) Bei klein em Winkel 2 a besteht die Moglichkeit des Kippens des Stabsystems urn den Stiitzpunkt B. Aus dem Vergleiche der Momente der beiden Stabgewichte urn B folgt fUr Kippstabilitiit die Ungleichung

Gl [sin (fJ + a) -2sin (fJ-a)] > Glsin (fJ-a), wonach

1 tga> 2"tg fJ

sein muB, so daB a",in bestimmt ist durch 1

tg a",in = 2" tg fJ· (a)

Werden die Stiitzkriifte in A und B zerlegt in ihre zur schiefen Ebene parallelen und normalen Komponenten At, B t, bezw. An, Bn , so ergeben sich die letzteren aus den Momentengleichungen urn B und A zu

Abb. 160

liefert.

An = G (cos fJ -~ sin fJ ctg a) .

Bn = G (cos fJ + ~ sin fJ ctg a) ,

wiihrend das Momentengleichgewicht jedes ein-zelnen Stabes beziiglich des Gelenkes C die Werte

At = G (~cosfJtga-SinfJ).

Bt = G (~cos fJ tg a + sin fJ)

~ 50 ~

Da

L6sungen

A t < 1 An,

Bt < 1 Bn sein muB, so ergeben sich mit tg a = x die beiden Forderungen

36

X2 - 2 x (f + tg fJ) + 1 tg fJ ~ 0 (1) und

X2 - 2 x (f - tg fJ) -I tg fJ < O.

Sind Xv x 2 die Wurzeln der Gl. (1), also

Xl. 2 = 1 + tg fJ ± V-(f-+-t-g~fJ)~2-I-t-g fJ-,

so fordert die Ungleichung (1)

(x - Xl) (x - x2) < 0; daher wegen

Xl > x2 : Xl > tg a > x2•

Mit x3, x4 als Wurzeln der Gl. (2), also

X3.4 = 1- tg fJ ± V-:-:(f-t-g---CfJ~) 2-+-lc-t-g --:fJ,

lautet die zweite Ungleichung

(X-X3) (X-X4) < O. Da aber x4 < 0, so folgt die Bedingung tg flmax < x3•

(2)

Nun ist 1 > tg fJ, so daB im Falle des Gleichgewichtes der Winkel a bei Beachtung von (a) an die Grenzen

~ tg fJ ~ tg a < 1 - tg fJ + V (f - tg fJ) 2 + 1 tg fJ (b)

gebunden ist. b) Bei Eintritt des Kippens ist nach (a) tg a = 1/2 tg fJ; eine zweite

Lasung liefert die Forderung At = 0, namlich tg a = 2 tg fJ, sofern hiebei die durch (b) gezogene Grenze fUr tg a nicht uberschritten wird.

A c

Abb. 161

36. Beachte bei Zeichnung des Kraftplanes, daB die tangentialen Komponenten Bt der Stutzdriicke B1, B2 der beiden Stabe gleich groB und entgegengesetzt gerichtet sind. (Abb. 161).

- 51 - 4"

37-40 1. Ebene Kraftc;ysteme und deren Gleichgewicht

37.

38. Schneide die beiden Stabe B C und A C durch; dann folgt aus dem Gleichgewicht der entstehenden beiden Teilsysteme, daB der Ge-lenkdruck in 0 entgegengesetzt gleich der Resultierenden R = V p2 + Q2 ist und daB tg a = Q/P sein muB.

Das Momentengleichgewicht des ganzen Systems um 0 liefert, wenn A D = B C = c gesetzt wird,

Q (c cos a - a cos fJ) = P (c sin a - b sin fJ),

woraus wegen tg a = ~ folgt: tg fJ = ~ ~- .

39. N ach Freimachen des Stabes A C wirken auf diesen die Krafte Q, D und der Gelenkdruck C, dessen Wirkungslinie aus Symmetrie­grunden waagrecht sein muG. Die drei Gleichgewichtsgleichungen

C -Dcosa = 0, Dsina-Q = 0, Dp-Qlsina=O

liefern, da p sin a = a + r cos a,

D _ Q lsin2 a - a + rcosa'

C = D cos a = Q ctg a und 1 sin3 a = a + r cos a.

Mit den Angaben 1 = 2 a, r = 0,6 a wird hieraus a ~ 600. Aus dem Gleichgewichte der an einer frei gemachten Walze wirken­

den Kriifte nach der Waagrechten folgt fur die im Stabe 0 1 0 2 wirkende Kraft S = C.

40. Bezeichnen H, V die horizontale und vertikale Komponente des Gelenkdruckes in A des Stabes A B, so folgt V = G/2.

Die Gleichgewichtsgleichungen des linken Stabes A D lauten

H -DsinljJ=O, -V + DcosljJ-G= 0,

1 G2"COSIjJ -Dp = 0,

wobei zwischen p und IjJ die geometrische Beziehung 2 p cos IjJ + 1 = a besteht.

Hieraus folgt

D = ~ co~ 1jJ' H = ~- G tg IjJ und cos31jJ = ~ (T -1) .

Mit T = !~ ergibt sich IjJ = 60°.

- 52-

Losungen 41-43

41. Fur eine virtuelle Verschiebung 15 s der Kette entlang des Zylinderruckens muB die Summe der virtuellen Arbeiten des Ketten­gewichtes und der Kraft P gleich Null sein; die N ormaldrucke leisten keine Arbeit. Die Arbeit der Elementargewichte q a d rp bei Ver­schiebung urn 15 s betragt

demnach ist

woraus

a

q a 15 s J cos rp drp = q a sin a 15 s,

'1'=0

q b 15 s + q a sin a 15 s - P 15 s = 0,

P = q b + q a sin a = q h,

wenn h den H6henunterschied der Kettenenden bedeutet.

42. Aus G 15 Z + Q 15 Zl = Ofolgt G Z + Q Zl = konst. oder wegen

Z = I ( 1 - ~ sin rp) und Zl = r sin 'IjJ

Q . G 1 . r SIll 'IjJ - 2 SIll rp = c. (a)

Mit s als Seillange ist

s = r + IV2 (l-sinrp), (b)

So daB sich durch Beseitigung von rp aus (a) und (b) die gesuchte Polar­gleichung zu

(s - r)2 = 212 + 4 g 1 (c -r sin 'IjJ) (Kardioide)

ergibt. Liegt der Punkt 01 (r = 0) auf der gesuchten Kurve, dann verein­

facht sich das Ergebnis in

4Q1 . r = 2s --c- SIll!p.

Fur den Normaldruck D der Fuhrungskurve ergibt sich dann

D= :IVk2 -4S(S-r) mit k= 4gl.

43. Da der Gelenkdruck B II P, so ist jener in A II Q und es folgt aus dem Momentengleichgewicht unmittelbar Q = P tg a.

Die Stabkrafte betragen im Stabe

A B: -Psina, BC: -Pcosa, CD: + Psina,

DA: _p sin2 a. CGsa

- 53-

44--47 I. Ebene Kraftsysteme und deren Gleichgewicht

44. Das Gleichgewicht des Gelenkes B liefert

A cos a = C cos fJ, A sin a = PI + C sin fJ,

j enes des Gelenkes C: 2 C sin fJ = P 2' woraus folgt

tga= (2~: + 1) tgfJ. (1)

Hiezu treten noch die geometrischen Beziehungen sin a = h/a (gegeben),

2 b cos fJ = l - a cos a. Mit den Zahlenangaben der Aufgabe ergibt sich a = 53°

P und fUr pI = 1 : fJ . 24°, b = 0,821 m,

f " PI-2' fJ--'-150 ur P - . - , b = 0,776 m.

Bei·Entwicklung der Gl. (1) mit HiIfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen ist zu beachten, daB die beiden gleichen Basiswinkel fJ des Dreieckes BCD verschiedene virtuelle Drehungen ausfUhren.

45. P = q: (1 + ;3") = 0,972 ql.

l Die Lange II des Stabes A B betragt II = V3"' Der Gelenkdruck B hat die Komponenten

Bh = q8l (1 + V3) (waagrecht),

B = q l (1 +~) (lotrecht), v 8 V3"

so daB

B = q:VIO +3 4 V3 = O,594ql.

46. ctg a - ctg fJ = 6 t (mit t als Reibungszahl), a

cos a + cos /J = T - 1.

47. Mit q als Ziffer der rollenden Reibung wird die waagrechte Kom­ponente H des Gelenkdruckes in A :

H=~(G+Gl+ ;). Der Gelenkdruck in Chat aus Symmetriegrunden waagrechte Wirkungs­lin ie, er ergibt sich aus der Momentengleichung urn den Punkt D zu

- 54-

L6sungen 48

C = 3 (C + Q.) tg q; - 3 q (C + C1 + Q.). 2 h 2

Da die waagrechte Komponente des Gelenkdruckes D gleich (Q/2) tg q; ist, so liefert das Kraftegleichgewicht des Stabes A C in der Waagrechten

q C+C1 +t tgq;=4----

r 3C+Q .

48. Zur Lasung der Aufgabe bediene man sich der kinematischen Methode. Man zeichnet fUr die durch Wegnahme des Lagers C ent­stehende zwanglaufige kinematische Kette einen Plan der senkrechten Geschwindigkeiten mit dem Nullpunkt 0, in den auch die Punkte a, b fallen, denn die Geschwindigkeiten von A und B sind Null; sodilnn wahlt man die gedrehte Geschwindigkeit a e des Punktes E beliebig und erhalt durch Ziehen der Parallelen zu den einzelnen Staben die den

D

p

Abb. 162

einzelnen Knoten des Fachwerkes entsprechenden Geschwindigkeits­punkte d, h, g, t und schlieBlich c. Das Prinzip der virtuellen Leistungen, angewendet auf die durch I.p und (£: belastete kinematische Kette er­gibt

I.p • l.1P + (f . l.1C = o. Die virtuellen Leistungen sind aber zu deuten als statische Momente der in den Geschwindigkeitspunkten p und c angesetzten Krafte I.p und (f urn den Nullpunkt 0, d. h. der Plan der gedrehten Geschwindigkeiten darf sich bei Wirkung der Krafte I.p und (£: nicht urn den fest en Punkt 0

drehen (Gleichgewicht am sog. J oukowsky-Hebel). Hiemit kann C einfach konstruiert werden. (Abb. 162).

- 55-

1-2 II. Schwerpunkte ebener FHichen

II. Schwerpunkte ebener FHichen

1. 1st a die Quadratseite und B F = x, sind ferner c1, c2 Einheits­vektoren in den Richtungen A B und AD (Abb. 163), dann ist der Ortsvektor des Schwerpunktes a des Dreieckes A B F

:4; = ~ (a e1 + ~ c2),

und jener des Schwerpunktes 5 des Quadrates

--+ a A 5 = 2 (e1 + e2);

~ ----+----+ da as = A 5 - A a, so wird

Abb. 163

--+ a 3a-2x a 5 = - '6 e1 + 6 e2•

Der auf der Geraden a 5 liegende Schwer­punkt a1 des Restviereckes ist festgelegt durch die Beziehung

a 2x -;;-s = (a 2 _ a2x) 5;1'

so daB der Schwerpunkt a1 durch den von 5 aus gemessenen Ortsvektor

--+ ax (3a-2x)x 5 a1 = 6 (2 a _ x) e1 + 6 (2 a _ x) e2

bestimmt ist. Sind~, 'YJ die Koordinaten von a1 beziiglich~ des durch 5 gelegten Achsenkreuzes, so ist nach Vorstehendem

~ = a x (3 a - 2 x) x 6 (2 a - x) , 'YJ = 6 (2 a - x)

Die Beseitigung von x liefert als Gl. des Ortes von a1

a a ~2 + ~'YJ -2 ~ +"6'YJ = 0,

also eine Ellipse, die den Punkt 5 enthalt und dort von der Geraden mit der Richtung tg a = 3 tangiert wird. Ruckt F nach C, dann liegt der entsprechende Ellip­senpunkt a1 auf der Quadratdiagonalen B D und hat die Koordinaten ~l = 'YJl = a/6 und eine mit e1 paraUele Tangente.

2. Fur eine Fehlannahme D' des zu suchen­fL-----'-----.::...,,--~t' den Punktes D auf g (Abb. 164) liegt der

Abb. 164 Schwerpunkt a' des zusatzlichen Dreiecke& A B D' auf der Schwerlinie H D', wobei

- 56-

L6sungen 3-4

Ha' -!H D' - 3 .

Wandert D' auf g, dann liegen die zugehorigen a' auf der Parallelen p zu g, deren Schnitt mit t die richtige Lage von a liefert. Die Geraden H a und g schneiden sich im gesuchten Punkte D. Der Schwerpunkt S des Viereckes A C B D liegt im Schnitte der Geraden t mit F Hi' wobei -- --B F = A E ist und HI den Halbierungspunkt der Strecke CD bedeutet.

3. Der Schwerpunkt a des Erganzungsdreieckes A B D muB auf der Geraden SLl S (gleich t) liegen, wo SLl den Schwerpunkt des Dreieckes ABC bedeutet. Nimmt man a zunachst in der beliebigen Lage a' auf t

-- --an, dann ist H a' Schwerlinie des Dreieckes A B D', wobei H D' =,3 H a'; wandert a' auf der Geraden t, so bewegt sich D' auf der dazu parallelen Geraden d. Es geniigt also, noch die Hohe h des Erganzungsdreieckes zu bestimmen, urn die richtige Lage von D auf d zu finden. (Abb. 165).

-- --Mit A B = c, S SLl = s liefert der Momentensatz fur S:

FABCS=FABDSa oder hes=hSa. 1st m die senkrechte Entfernung des Schwerpunktes

und b der Winkel zwischen A B und t, so gilt - h S a sin b = "3 + m, A

somit wegen (a) h2

he S sin b ='" 3 + h m

oder mit s sin b = e:

(a) S von A B

h 2 + 3 h m - 3 he e = 0, ~-------~--------~c

woraus sich die Hohe h des Drei­eckes A B D ergibt zu Abb. 165

3 V9 h = -2 m + "4 m 2 + 3 he e .

4. Mit Fist die Hohe h der zur Auswahl zugelassenen Dreiecke BCD bekannt, deren Ecken auf der zu B C III der Entfernung h gezogenen Parallelen g liegen. (Abb. 166).

Fur eine willkurliche Annahme D' von D auf g liegt der Schwer­punkt des Viereckes A B D C be­kanntlich im Schnitte von F' H mit der durch SI zur Diagonale~ D' gezogenen Parallelen, wobei A F' =

= E'D' und H die Mitte der zwei­ten Diagonalen B C ist.

Wandert nun D' auf der Gera- A

den g, d. h. ist

- 57-

'.0

Abb. 166

5-6 II. Schwerpunkte ebener Flachen

E' D'sina = h und demnach auch

AF' sin a = h, so bewegt sich F' auf einer zu g parallelen Geraden gF.

Dnd da 5 1 5' = 1/3 A F' sein muB, so wandert 5' auf der zu g parallelen Geraden gs'

Der FuBpunkt der Senkrechten aus 51 zu gs entspricht der Forderung kleinstmoglicher Entfernung von 51' Da demnach A F ~ gF sein muB und der Punkt D auf der Geraden g liegt, so ist die gesuchte Lage des vierten Eckpunktes D durch den Schnitt der durch A gelegten Normalen zu B C mit der Geraden g bestimmt.

5. Mit den Bezeichnungen der (Abb. 167) besteht die Momenten­gleichung

~+ b x 5 = ~!! !!. _ '!J!! - x) (x + h - x) . 2 2 3 2 3'

b h-x da - = -- so ergibt sich fur x mit Aus-

a It' scheidung der Wurzel x = 0 die Gleichung

Abb. 167 2 x 2 - 3 (h + 5) x + 6 h 5 = 0, woraus

xl, 2 = ~ [ h + 5 ± V (h + 5)2 - ~6 h 5 J. Wegen 5 < h/3 kommt nur X 2 als Lasung in Betracht.

6. Die Richtigkeit des Satzes kann abweichend von der durch Henry gegebenen Begrundung einfach durch Ausnutzung der bekannten Eigen­schaft eines Dreieckes bewiesen werden, daB sein ,Schwerpunkt identisch ist mit jenem von drei gleichen, in den Dreiecksecken liegenden Massen­punkten. Wird das Viereck A B D C durch die Diagonale A D in die Teilfliichen Fl und F2 geteiIt, so ist hienach sein Schwerpunkt 5 identisch

mit jenem von vier Massenpunkten, und zwar Fl_; F2 in A und in D

sowie Fl /3 in B und F2/3 in C. WiihIt man bei der Bestimmung der Mittelkraft (SchwerIinie) der diesen vier Massenpunkten entsprechenden Gewichte die Richtung B C als Kraftrichtung der vier Parallelkriifte,

so kann man F2/3 und Fl/3 im Punkte B vereinigen zu Fl + F2 und die 3

gleiche im Punkte D sit zen de Masse kann auf der Parallelen zu B C noch belie big verschoben werden, ohne an der Lage der Mittelkraft etwas zu iindern. TeiIt man andererseits das Viereck durch die DiagonaJe B C in die Teilfliichen fPl und fP2' so ist der Viereckschwerpunkt 5 identisch

fPl + fP2 mit dem Schwerpunkte von vier Massenpunkten, und zwar je ---3

- 58-

L6sungen 7

in B und C, fPI/3 in A und fP2/3 in D. Wahlt man nun bei Ermittlung ihrer Mittelkraft (Schwerlinie) A D als Kraftrichtung, so konnen die beiden

letztgenannten Massen im Punkte A zu fPI ~ fP2 vereinigt werden und

es kann die gleiche, im Punkte C sitzende Masse auf der Parallelen zu A D noeh beliebig versehoben werden. Verlegt man sie in den Sehnittpunkt P der zu den Diagonalen gezogenen Parallelen; so sit zen demnaeh in den

Punkten A B P die beidemale gleiehen Massen ~! ~ F2 (gleieh fPI ~ fP2),

d. h. der Sehwerpunkt des Dreieekes A B P ist identiseh mit jenem des Viereekes A B DC.

7. a) Zeiehnerisehe Losung. Nach dem in Aufg. 6 bewiesenen Satze von Henry ist der gegebene Sehwerpunkt S des Viereekes A B V U aueh Sehwerpunkt des Dreieekes A B P, wodureh der Punkt P bereits bestimmt ist; er liegt auf der Geraden OS, wobeiP S = 20 S. (Abb. 168 a).

Einer willkiirliehen Annahme VI des Eekpunktes V auf B C ent­sprieht ein Punkt UI im Schnitte von P UI II A VI und BUIll P VI'

Bestimmt man den geometrisehen Ort aller Lagen U I U2 ••• , wenn V I auf der Geraden B C wandert, so liegt der gesuehte Eekpunkt U im Sehnitte dieser Kurve mit der Geraden A C, wodureh dann auch der zweite Eekpunkt V bestimmt ist.

C

~L-~ ____________ ~ __________ ~~

Abb. 168 a

Die Strahlenbiisehel A (VI V 2 ••• ) und P (VI V 2 ••• ) sind perspektiv und die ihnen entspreehenden beiden parallelen Strahlenbiisehel mit den Mittelpunkten P und B sind zueinander projektiv; sie erzeugen daher als Ort der Punkte U einen Kegelsehnitt, der die beiden Biisehelmittel­punkte P und B enthalt. Da in beiden Biischeln zwei Paare homologer und paralleler Strahlen vorhanden sind, so ist der Kegelschnitt eine Hyperbel, deren Asymptoten parallel sind zu den Richtungen B C und A P.

Konstruiert man also noeh einen dritten Hyperbelpunkt, - etwa Uo auf A B, entspreehend jener Lage Vo auf B C, fiir die P VO II A B,

- 59-

7 II. Schwerpunkte ebener Flachen

so ist durch die drei Punkte B, P, Uf) unddie beiden Asymptotenrich­tungen die Hyperbel vollstandig bestimmt.

Zur zeichnerischen Losung dieser Aufgabe geniigt es, einige Hyperbel­punkte in der Nachbarschaft des zu suchenden Punktes U zu konstruieren nnd den Schnittpunkt des dadurch festgelegten Hyperbelstiickes mit der Geraden A C zu bestimmen.

Auf Grund einer analogen Beweisfiihrung kann gefolgert werden, daB der Ort alIer Punkte V, die den auf der Geraden A C wandemden Punkten U entsprechen, eine die Punkte A, P enthaltende Hyperbel mit den Asymptotenrichtungen A C und B P ist.

b) Analytische Losung. Sei SA der Schwerpunkt des gegebenen Dreieckes ABC, so liegt der Schwerpunkt a des abzuschneidenden Dn!ieckes C U V auf der Geraden S SA (- t). (Abb. 168 b).

Abb. 168 b Da

CU=3CM, CV=3CN,

wobei die Punkte M, N dem Parallelogramm C MaN mit den Seiten­langen a M = e, a N = rJ' angehoren, so ist die Aufgabe mit der Kenntnis der Lage des Schwerpunktes a ge16st.

Mit den Bezeichnungen x = Sa, s = S SA (gegeben), liefert die Momentengleichung fUr den Viereckschwerpunkt

worin FAs=F"x,

FA = F (CA B) = ~- ~1} siny,

Fa = F (C U V) = ~ ~' 1}' sin y,

- 60-

(a)

Losungen 7

womit Gl. (a) ubergeht in ~'f}s = ~''f}' x. (b)

Aus der Abb. 168 b entnimmt man

t' . t . hB U =" SIllY, "sIlly =3'

, . . hA V ='f} SIlly, 'f}SIllY=3'

hB ( ). u = -- x-s SIllg?, ;)

hA ( ). v =3- x-s SIll1p;

hiemit liefert Gl. (b):

hAghB s = X [h; -(x-s) Sing?] [h; -(x-s) sin1p 1 In dieser fur x kubischen Gleichung ist die Wurzel Xl = s unbrauchbar,

da hiefiir a und 5 zusammenfallen wurden. Es verbleibt demnach die quadratische Gleichung

2 (hB hA ) hB hA X - x ;) sin g? + 3sin 1p + s +;) sin g? 3sin 1p = O. (c)

Sind P, Q die Schnittpunkte der Geraden t mit den Dreieckseiten C A und C B, so sind deren Entfernungen von S,d gegeben durch

hB hA p--- q---- ;)sing? , - ;)sin1p ,

womit sich Gl. (c) vereinfacht in x 2 - x (p + q + s) + P q = 0

mit den Wurzeln

x2, 3 = ~- [p +q+ s ± V(p + q + S)2_ 4 pq} (d)

Da a im Innern des ursprunglichen Dreieckes liegen muB, demnach x kleiner als die kleinere der Strecken p und q sein muB, so ist nur die Wurzel X3 brauchbar.

Fur g? = 0 wird die Gerade t II C A und es folgt aus Gl. (c)

hA X = ;)sin1p = q, das heiBt: Pa = s.

Der Eckpunkt V des Viereckes flillt in den Punkt B, das Viereck artet aus in das Dreieck ABU, wobei C U = ;) s.

1m Falle 1p = 0 wird x = p, der Eckpunkt U ruckt nach A, aus dem Viereck A B V U wird das Dreieck A B V, wobei C V = ;) s. (Lasung nach W. Richter, ehemalig in Aussig.)

- 61-

8-9 II. Schwerpunkte ebener Flachen

8. 1st (1 der Schwerpunkt des abzuschneidenden Dreieckes A DE>

G der vierte Eckpunkt des Parallelogrammes A DE G, so ist A (1 = 1/3 A G: Mit Fv = F (n - 1) als Flache des Viereckes gilt nach Abb. 169

- 1-­FvSS1 =F(15 oder 551 =--(15.

n-1

Die ~Forderung moglichst graBer Entfernung 5 51 ist daher gleichwertig mit der Bedingung (15 = maximum.

A

B~------------------------------~~C

Abb. 169

Sind u = A D, v = A E die schiefwinkligen Koordinaten des Punk­tes G, so folgt aus der Konstanz von F

2F 2 Uv=-.-=c, S1l1 a

wonach die moglichen Lagen der Punkte G einer Hyperbel mit dem Mittelpunkte A und den Asymptoten A B und A C angehoren; ihr Scheitel Go ist als Eckpunkt des Rhombus A Do Go E!L auf der Symme­tralen w des Winkels a bestimmt, wobei A Do = A Eo = c ist.

Wegen /1;; = 1/3 A G liegen auch die Schwerpunkte aller Teil­dreiecke von gleicher Flache F auf einer Hyperbel mit den Asymptoten A B und A C; fUr ihren Scheitel (10 gilt A (10 = 1/3 A GO'

Damit die Entfernung 5 (1 moglichst graB werde, ist durch 5 jener Strahl zu legen, der diese (1-Hyperbel senkrecht schneidet.

9. Der Schwerpunkt eines Kreisabschnittes mit der Sehnenlange

.If B = chat vom Mittelpunkt M die Entfernung ~, wo t die Flache 12 t

des Abschnittes bedeutet. Die Hohe des Dreieckes A B D ergibt sich zu 2 a, sein Inhalt ist gleich 2 a2 , daher besteht fUr die von 0 aus ge­messene Schwerpunktsentfernung r; der schraffierten Flache die Gl.

(2 a2 - t) r; = 4;3 - t (~2a; - ;) , - 62-

Losungen

woraus wegen t = (a 2/4) (5 a - 2) a 2+ 3a

'Y}=6 2-a .

10-11

a bedeutet hierin den halben Offnungswinkel des Bogens A C B, der sich aus tg a = 2 zu a = 1,10715 ergibt, so daB

'Y}'= 1,007 a.

10. Der Schwerpunkt eines Kreissektors vom Halbmesser r und dem 2c

Offnungswinkel a liegt auf der Symmetralen in der Entfernung -3a

vom Mittelpunkt, wo c die Sehnenlange angibt. Ermittle hiemit die Sc:hwerpunkte des Halbkreises und der beiden

Kreissektoren; die Dreieckflache 0 1 O2 A ist in die Schwerpunktsgleichung mit negativem Zeichen einzufiihren. Hiemit wird

(a: n + 9 a2 a _ 6 a2 sin a) 'Y} = - ~ a3 + 36 a3 sin 2 ~ - 6 a3 sin 2 a,

oder wegen cos a = 2/3 2a

'Y}= . !! +9a-2V"5 2

Da a = 0,841, so wird 'Y} = 0,428 a. 2 2

11 Bezeichnet F = a a1 = a n die Flache des· Kreissektors 0 A B, • 1 2 12

(Abb. 170) und

F2 = .!.-a2 2a1- a2V3 = a2 (!! _ V3\ 2 4 6 4J

jene des zum Bogen 0 B gehOrigen Segmentes, so ist die Fliiche F, deren

Schwerpunkt zu bestimmen ist, durch F = F1 -F2 = a; (V3 - ~) gegeben.

Ferner ist

sin a1 Oa _~AB_4a_2

l- aaI -3 aI'

a3

01 a2=12F2·

Hiemit ergeben sich fur ~, 'Y} die Gleichungen

- a l --. F ~ = Fl Oa1 cos "2-F20l a2 sm at>

Abb. 170

F'Y} = F1 0 al sin ~l -F2 (a -01 a2 cos al)

- 63-

12-15 II. Schwerpunkte ebener FHichen

und daraus mit al = n/6: 3

; = a V = 0,73 a, 2 (3 3 -n)

'YJ = a 8 + 3 V3-4n = 0,153a. 2 (3 V3 -n)

12 S · h ·b . h • el 4d = 'J!, so ergl t SIC

; _ 2d 6 'J!2 (2n + 3) -12 'J! (n + 1) + 3n + 2 - 3 2 'J! (3 n + 4) - 3 n '

4d 3 'J!2 (2n + 3) -3 'J! (n + 1) + 1 'YJ = ""3 2 'J! (3 n + 4) - 3 n .

13. Die Flache F des rechtwinkligen Bogendreieckes ergibt sich aus jener des Viertelkreises vom Halbmesser 2 r durch Wegnahme zweier Viertelkreise vom Halbmesser r und des Quadrates mit der Seitenlange r.

Hienach ist

und es lautet die-Momentengleichung fUr den Eckpunkt M mit M 5 = ;

2 (V- 8 r V-) r2 n (r V- 4 r V-) 2 r V-F; = - r n r 2 - - 2 + 2 --- - 2 -- 2 + r - 2, 3n 4 2 3n 2

woraus

,;-;;--1O-3n ; = r V 2 2 (n _ 2) = 0,356 r.

14. Der Halbmesser e des Viertelkreises an der Kanalsohle betragt ,;-;;-- EFy e = r (2 - V 2). Aus 'YJ = EF folgt mit Benutzung der Formeln fUr

Halbkreis, Viertelkreis, Kreissektor und Dreieck

r -nd+2r[4(1/2-1)+n(2-V2)] 'YJ = - .. ----'"---'-"

2n r(6-V2)-2d und mit 'J! = d/r:

'J! 11132 --, 2

'YJ = r 4,5858 _ 2 'J! •

15. 'YJJ = _1_. (Der Zeiger 1 bezieht sich auf die gr613ere der 'YJ2 n-1

beiden Teilflachen.)

- 64-

Losungen 16-17

a r2 a 16. Mit F = 2" (2 h + a ctg a) - 2 als QuerschnittsfHiche er-

gibt sich 1

~ = 6F [a 2 (3 h + a ctga) -2 r3 (I-cos a)J,

'YJ = 61F [3 a h (h + 2 a ctg a) + 2 a3 ctg2 a - 2 r3 sin a].

Die Guldinsche Regelliefert fUr das Volumen V des Intze-Behalters

n V = 2n~F = 3 [a 2 (3h + a ctga) _2 r3 (1- cos a)].

17. Da die Spannungen 5 in beiden Seilstucken gleich sind, mussen A C und B emit der Lotrechten den gleichen Winkel 'IjJ einschlieBen und es ist

G 5=--.

2 cos'IjJ (a)

Die Koordinaten ~, 'YJ des Schwerpunktes der Platte in bezug auf die durch 0 gelegten X-, y-Achsen sind

4 R3_ r3

'YJ = 3--n R2-r2 .

Das Momentengleichgewicht fur Punkt A fordert

5 2 R cos ('IjJ - a) = G [( R + ~) cos a + 'YJ sin a]

oder wegen (a):

R cos (1p -a) = cOS1p [(R + ~) cos a + 'YJ sin a],

woraus sich ergibt R tg'IjJ = ~ ctg a + 'YJ.

(b)

(c)

Hiezu tritt die aus dem Dreiecke ABC folgende geometrische Be­ziehung

l sin 'IjJ = 2 R cos a, (d)

durch die bei gegebener Neigung a der Winkel 1p bestimmt ist, so daB man aus (c) mit den in (b) angegebenen \Verten die gesuchte Exzen­trizitat e berechnen kann; es ergibt sich

e = (~22 -1) tga [Vl2~: ;::OS2 a --;~ ~:=;:l Aus (a) berechnet sich die Seilspannung zu

Gl 5 = ---:;-~===c=

2 Vl 2 - 4 R2 cos2 a .

Federbofer. Auigabl::n I - 65- 5

18-19 II. Schwerpunkte ebener Flachen

Das Verhaltnis der Seilstucke A C und B C betragt

R + g+1Jtga R-g-1J tga'

05 OG _. r2 18. Es ist zufolge der Konstruktion = - =, oder 0 5 = ==.

OC OE OE

- V ( 6 _)2 11 - 7 NunistOE = r2+ 7rV2 = Tr, womit 05 =l1r=O,636363r

f

Abb. 171

wird. Gegenuber dem genauen Werte

2r Xs = - = 0,636620 r ergibt sich

:n: eine Abweichung von - 0,04%.

Fur flachere Bogen wird die Abweichung noch kleiner.

19. Mit der Sehnenlange A B = c ist 0 5 = Xs = cja oder mit b = r a als Bogenlange:

r c xS=b'

Die Flache des Segmentes A C B A betragt

F= br -~OM 2 2

oder wegen (a)

F = ~(r2 -OM). 2 Xs

Da aber nach Konstruktion 0 H = r2jxs, so wird

c -- -- c--F=Z (OH-OM) =ZM H,

also gleich der Rechteckflache H N B M.

- 66 --

(a)

Losungen

III. Ebene Fachwerke

a) KdiftepHine

In den folgenden Zeichnungen sind die Fachwerkstabe im Lageplane und ihre Spannkrafte im Kraftplane mit Ziffern bezeichnet.

Doppellinien oder gestrichelte Linien bedeuten Druckkrafte, einfache Linien Zugkrafte. Die gegebenen Lasten sind ebenso wie die Auflager­krafte stark ausgezogen.

Die gegebenen Lasten setze man ins Gleichgewicht mit den Lager­oder Stutzkraften, wodurch letztere bei statisch bestimmter Lagerung bestimmt sind. Beim Entwerfen von reziproken Kraftplanen einfacher ebener Fachwerke leisten folgende Regeln von Cremona und Bow gute Dienste: .

a) Man reihe im Kraftplane die au13eren Krafte (Lasten und Stutz­kraft e) so aneinander, wie sie bei der Umfahrung der Gurtungen in be­liebig gewahltem Umlaufsinne aufeinanderfolgen.

b) Die Krafte des dem Gleichgewichte eines Knotenpunktes des Fach­werkes entsprechenden geschlossenen Krafteckes muss en in dem gleichen Sinne aneinander gereiht werden, wie er vorher in (a) als Umlaufsinn fUr das ganze Fachwerk gewahlt war.

c) Man bezeichne die durch Dreiecke oder Vielecke gebildeten Innen­facher des Fachwerkes, die in ihrer Aufeinanderfolge jeweils nur einen Fachwerkstab gemeinsam haben durfen, mit Buchstaben, ebenso die von den Wirkungslinien der au13eren Krafte und den Gurtungen ge­bildeten Au13enfacher. Dann entspricht jedem Fache des Lageplanes ein mit gleichem Buchstaben zu bezeichnender Punkt im Kraftplane; von ihm gehen die Krafte jener Stabe aus, we1che das ihm entsprechende Fach beranden.

d) Fur die Fachereinteilung sind die Wirkungslinien der an Urn fangs­knoten angreifenden Krafte nur mit ihrem vom Knoten nach au13en weisenden -Teil einzutragen, so da13 so1che Krafte immer Au13enfelder begrenzen. Bei uberkreuzenden Staben denke man sich zwecks Er­moglichung der Anwendung der Regel (c) an der Schnittstelle ein Ge­lenk eingeschaltet; die Stabkrafte zweier sich uberkreuzenden Stabe kommen dann im Kraftplan doppelt vor, der dann freilich nicht mehr die Eigenschaft der Reziprozitat mit dem Lageplan des Fachwerkes besitzt.

Bei Fachwerken mit einem belasteten I nnenknoten wird dieser durch einen in Richtung der Knotenlast eingezogenen idealen Stab mit der nachstliegenden Gurtung in einem idealen Knoten verbunden, an dem die lediglich in ihrer Wirkungslinie verschobene Innenknotenlast nun als Au13enknotenlast wirkt. Die Stabkraft im idealen Stabe ist dann gleich der Knotenlast; die Spann kraft des Gurtstabes mit dem idealen Knoten erscheint im Kraftplane zweimal in gleicher GroBe (Aufg. III a, 13, 14, 15, 24).

- 67- 5*

1 III. Ebene Fachwerke. a) Krafteplane

Edolgt der Lastangriff nicht unmittelbar an einem Knotenpunkt, so verteile man eine solche Last nach statischen Gesetzen auf die beiden nachstliegenden Knoten (Aufg. III a, 10, 11, 21, 22).

1st das Fachwerk in drei Stutzstaben gelenkig gelagert, die sich nicht in einem Punkte schneiden duden, dann sind deren Stabkrafte durch ihr Gleichgewicht mit der Mittelkraft aller auBeren Krafte nach der Methode von Culmann graphisch zu bestimmen (Aufg. III a, 7, 8, 9, II).

Besitzt ein Fachwerk nur drei- und mehrstabige Knoten, so reichen die Regeln (a) bis (d) zur Zeichnung eines reziproken Kraftplanes nicht hin. In solchen Fallen ist es haufig moglich, einen Durchschnitt durch das Fachwerk so zu fUhren, daB nur drei Stabe geschnitten werden, die sich nicht in einem Punkte schneiden (Ri tterschnitt). Dann ergeben sich die drei Stabkrafte aus ihrem Gleichgewicht mit den am abgeschnittenen Fachwerkteil wirkenden auBeren Krafte. (Graphisch benutze man hiefUr die Methode von Culmann, analytisch setze man drei Momenten­gleichungen urn die Schnittpunkte je zweier der geschnittenen Stabe an.) (Aufg. III a, 14 bis 22.) Zuweilen laSt sich ein nur drei Stabe schneiden­der Ringschnitt fUhren (Aufg. III a, 24). Eine Erweiterung der Ritter­schen Schnittmethode besteht in der Zweischnittmethode; sie ist moglich, wenn zwei Durchschnitte so gelegt werden konnen, daB jeder nur vier Stabe trifft, wobei aber zwei der geschnittenen Stabe beiden Schnitten angehoren mussen. Zur rechnerischen Ermittlung der Spannungen in diesen beiden Staben setze man die Momente urn die Schnittpunkte des ubrigbleibenden Stabpaares in beiden Schnitten gleich Null.

Die graphische Ausnutzung dieses Verfahrens ist in Aufg. III a, 32 erlautert.

Bei Fachwerken, die keinen Ri tterschnitt oder Ringschnitt zu­lassen, fUhrt stets das Ersatzstabverfahren von Henne berg zum Ziele.

Die Methode der Fehlannahme von Saviotti ist immer dann brauch­bar, wenn die Zeichnung des Kraftplanes moglich wird, sobald eine Stabkraft bekannt ist. - (Beide Verfahren sind erla.utert an der Aufg. III a, 29.)

Abb. 172

- 68-

(,g Jj.Q

Losungen 2-4

Abb. 173

3.

d

p

e

4.

Abb. 174

Abb. 175

- 69

5-7 III. Ebene Fachwerke. a) Kraftepliine

c

5.

Abb. 176

6.

Abb. 177

7.

Abb. 178

- 70-

e'

11

Losungen

8.

Abb. 179

9.

Abb. 180

10.

Abb. 181

-71-

to t t

: t I I

~ I I

J I I t t

:/' -------,-------

C'r----5~--~, e I' /

/

I' i ,/

/ / ,

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/

/~ J

4d .... '''''''''''''''''~~ .......... ~.i

8-10

11-12

{'

C 6'

III. Ebene Fachwerke. a) KriiJteplane

11.

" Abb. 182

/ /

12.

F

;.y Abb. 183

12. Da die Spannkrafte 51 52 53 54 einander gleich P sind, so liegen die Ecken des Krafteckes der Kno­tenkrafte Rr bis Rv auf einem Kreise

vom Halbmesser P. Ihre geometrische Summe ist gleich der durch 01 gehenden Mittelkraft R der beiden zueinander senkrechten und gleich groBen Krafte P.

Damit sind die Knotenkrafte bestimmt. Aus dem Gleichgewichte der drei Krafte R, A und B, von denen die

GroBe und Lage von R sowie die Wirkungslinie von B bekannt sind, ergeben sich A und B vollstandig, so daB der Kraftplan gezeichnet werden kann.

-72-

Losungen 13-15

13.

I'

Abb. 184

14.

!

--7fr--

.11

Abb. 185

15.

d

0

d I"

\ \

a

'\ c

\

'" \ ,-e

Abb. 186

- 73-

16-18

16.

III. Ebene Fachwerke. a) Krafteplane

b

e A

I I

Abb. 187

~I/ I

I

I I

l' / ---

/;

, ,

Abb. 190

Abb. 191

Losungen

19.

11"---

I

!p L

21.

p; : d ,off: c~, ~~~+-~

Abb. 192

- 75-

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J,JJJ

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19-21

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d 75 Ii ,oJ?,;,.,

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,8 6 I , I , :'0 ,

p , , 5 c 9 /'?

/ /

72 //11 I /

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8 ' 74

d

"-

e __ ---L--_~ .4'

22-24 III. Ebene Fachwerke a) KraftepHi.ne

22.

I

.J

----~---- I'

Abb. 193

23.

fa) A

17

J,SIOO

l,m , , ,

K

(b)

27,18 b 1/

, ',20 , , ,

p e'------.,--.J·d

flt:rMltnis rler Mallstabe in d unrl b ist 2: J

Abb. 194

24.

~~~s' d", 5 --------- e' f ~§

5 'f/7 I'

5 el" \ _~ _____ 7 5'

1" ~....i::.~-=--......,_-=::::===--,;:S-;~-)\ T- - - - - - - - -p' b

Abb. 195

- 76-

25.

Losungen

c // \

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/ \ / \

/ \

2/ \q / \

/,/ \ \

rr,~~-~-~-"., __ ~_,--l_~,,:-----c~ --- .... \--

pJL------.---+---:::l "'"," \

b

26.

Abb. 196

aus Sgmmefrie.;l'Iint/en:

b ~.S6i,£,·Jj5

, ,

70""'"

, ,

-i.-----=-""""""'--;-._

Abb. 197

27.

i

Abb. 198

- 77-

9

, , I I I I

;8 I I I I , ,

", ; e

25-27

28-29

28.

III. Ebene Fachwerke a) KraJtepHine

~.~Il'Il,b J9 ~Jfo '0; dalief'.5j·O

lind k=a ~e.

Abb. 199

b,g

29. a) Das Fachwerk besitzt an den Gurtungen lauter dreistabige Knoten; da ein Ritterschnitt nicht moglich ist, so wird die Methode des Ersatzstabes von Henneberg benutzt. Stab 3 wird entfernt und der Ersatzstab q eingezogen. In dies em entsteht unter der Wirkung der auBeren Krafte die Spannkraft 5q' (Kraftplan all. Der Kraftplan a2

fUr das nur mit den beliebig gewahlten Knotenkraften ± Sa" belastete Fachwerk ergibt im Stabe q die Spannkraft Sq".

1st X Sa" die im ursprunglichen Fachwerke entstehende Spann­kraft des Stabes 3, so ergibt sich jene im Ersatzstabe bei Uberlagerung beider Belastungsfalle mit

(b)

e g I f a.' -'J s',"

I I b=coa.'"r, 'J \ f l ,)," It!

, 'J, \ I , / \f[", 4 /8

\ I

\ / (d,?) \ I

" I (g)

Abb. 200

5q = 5q' + X 5q", woraus wegen 5q = 0 folgt:

S' X q . =-5'"

q

- 78-

Losungen 30

somit betragt die wirkliche Spannkraft

5 X 5 " Sq' 5 " 3 = a = -"5" 3 .

q

(Konstruktion mit zwei ahnlichen Dreiecken). Mit der Kenntnis von SalaBt sich der endgiiltige Kraftplan b zeichnen,

der im Zusammenhange mit der folgenden zweiten Lasung dieser Aufgabe dargestellt ist.

b) Methode der Fehlannahme von Sa viotti. (Kraftplan b). Die den AuBenfeldern a, b, c entsprechenden Punkte des Kraftplanes

sind bekannt. Eine Fortsetzung der Konstruktion scheitert daran, daB von den Innenfeldern keine entsprechenden Punkte im Kraftplane angegeben werden kannen. Wahlt man zunachst willkiirlich den dem Innenfache d entsprechenden Punkt d', der auf dem durch c zu 3 ge­zogenen Parallelstrahl liegen muB, dann bekommt man e' im Schnitte von d' e' II 7 mit b e' II 2, ferner f' im Schnitte von e' f' II 6 mit a f' 111, schlieBlich g' im Schnitte von d' g' II 8 mit f' g' II 5.

Bei rich tiger Annahme von d' miiBte g' auch auf der Parallelen zu 4 durch c liegen, denn 4 gehOrt dem Fache g an.

Die Wiederholung der vorstehenden Konstruktion mit einer zweiten Fehlannahme d" auf cd' liefert die Punkte e" I" g".

Es andert demnach das Viereck d' e' f' g' seine Gestalt so, daB drei seiner Ecken auf vorgegebenen Geraden wandern. Nun gilt der Satz von Steiner: "Andert ein n-Eck seine Form in der Art, daB samt­liche Seiten durch Punkte ein und derselben Geraden gehen (die bei den hier zu machenden Anwendungen des Satzes die unendlich ferne Gerade ist) , wahrend n - 1 Punkte gerade Linien beschreiben, so bewegt sich auch der n-te Eckpunkt auf einer Geraden.

Hienach liegt der Punkt g auf der Geraden g' g", und zwar in ihrem Schnitte mit der durch c zu 4 gezogenen Parallelen.

Durch g sind auch die endgiiltigen Lagen der Punkte led bestimmt, so daB der Kraftplan vollstandig gezeichnet werden kann.

i / i II?···

! i " .. , l//

Abb. 201

30. Die Stabkrafte in den vier Hange­staben stehen im Gleichgewichte mit der Mit­telkraft R der Lasten PI und P2 (Abb. 201).

- 79-

31-32 III. Ebene Fachwerke. a) Kriiftepliine

Ein Schnitt durch die beiden Stabe 2, 4 zeigt, daB die Mittelkraft D ~ C der beiden lotrechten Stabkrafte durch den Schnittpunkt von 2 mit 4 fUhrt. Es ist demnach R zu zerlegen in die drei Krafte A, B und D +' C, deren Wirkungslinien bekannt sind.

(Culmannsche Methode mit der Hilfsgeraden s.) Sodann kann der Kraftplan durch Eintragung von 1, 2, 3, 4 erganzt werden.

31. Die Losung mit Benutzung imaginarer Gelenke ist in Aufg. V, 11 angegeben. Bei Anwendung der kinematischen Methode zeichnet man fUr die durch Wegnahme des Stutzstabes A D entstehende zwang­laufige kinematische Kette einen Plan der senkrechten Geschwindig­keiten mit dem NUllpunkt 0, beginnend mit der ihrer GroBe nach beliebig gewahlten gedrehten Ge-schwindigkeit ~ des Knotens K, wobei 0 k II C K.

Abb. 202

Da tlF = tlK + tlFK, so ergibt sich der Geschwindigkeitspunkt t im Schnitte von 0 t II B F mit k t II K F. In analoger Weise gewinnt man die Geschwindigkeitspunkte i g e h d.

Das Prinzip der virtuellen Leistungen ergibt fUr die mit IP, ,Q und 2l belastete kinematische Kette

IP . tlH + ,Q • tlJ + 2l . tlD = o. Da die virtuellen Leistungen die Bedeutung von statischen Momenten

der in den Geschwindigkeitspunkten h, i und d angesetzten Krafte P, Q, A urn den Nullpunkt 0 haben, so ist die Stutzkraft A aus dem Mo­mentengleichgewicht dieser drei Krafte urn den Punkt 0 zu bestimmen. 1st R die Mittelkraft aus P und Q, so muB demnach R +' A durch 0

gehen, so daB nun A konstruiert werden kann. Mit A sind die Spannkrafte in den ubrigen drei Stutzstaben durch

Zeichnung eines Kraftplanes bestimmt.

32. Da' lauterdrci.'Stabige Aui3enknoten vorhanden sind, so kann der Kraftplan nach der Methode der Stabvertauschung von Hen neb erg oder jener der Fehlannahme von S a v i 0 tt i konstruiert werden. 1m vor­liegenden FaIle fuhrt auch die im folgenden verwendete Zweischnitt­methode in rein zeichnerischer DurchfUhrung einfach zum Ziele.

- 80-

Losungen 32

(d)

II (C) ~~~ ______________ ~d

d 'll

Abb. 203

Legt man die beiden Schnitte I-I und II-II durch das Fachwerk, die auGer den - beiden Schnitten gemein- e samen - Stiiben 2, 3 noch die Stiibe 4,9 und 6, 8 schneiden, so muG einerseits die Mittelkraft R = PI ~ P 2 mit den Stabkriiften 2, 3, 4, 9 Gleichgewicht halten, anderseits die Mittelkraft - R = P 3 ~ P 4 mit den Stabkriiften 2, 3, 6, 8.

Da die Wirkungslinie von 2 ~ 3 durch den Punkt 0 und jene von 4 ~ 9 durch den Punkt G1 geht, so ist R ins Gleichgewicht zu setzen mit zwei Kriiften, deren Wirkungslinien durch die gegebenen Punkte 0 und C1 gehen und sich auf R schneiden.

Einer willkiirlichen Annahme X dieses Schnittpunktes auf R ent­spricht dann im zugehOrigen Kraftecke (Abb. b) der Punkt X'; be­wegt sich X auf R, so beschreibt der Punkt X' die Gerade gIll 0 Cl .

EaJ3t man in analoger Art die Kriifte in den vom Schnitte II ge­troffenen Stiiben zu 2 +' 3 und 6 +' 8 zusammen, so ist - R ins Gleich­gewicht zu setzen mit zwei Kriiften, deren Wirkungslinien durch die gegebenen Punkte 0 und C2 gehen und sich auf R schneiden. Mit der Annahme Y dieses Schnittpunktes auf R ergibt sich im entsprechen­den Kraftecke der Punkt Y' und es ist der geometrische Ort aller Punkte Y' bei auf R wanderndem Y die Gerade g211 0 C2•

Der Schnittpunkt X* - Y* der beiden Geraden gl g2 ergibt daher die richtige Lage von X' und Y'; damit sind aber auch die Stab­kriifte in den geschnittenen Stiiben bestimmt und es ist nun die Zeichnung des Kraftplanes (Abb. c) moglich.

Federhofer, Aufgaben I - 81- 6

I},

1-2 III. Ebene Fachwerke. b) Der Ausnahmefall

b) Der Ausnahmefall

1. Bei einem ebenen Fachwerke mit s Staben und k Knoten, das der Bedingung s = 2 k -;) entsprieht, liegt der Ausnahmefall (unendlich kleine Bewegliehkeit) vor, wenn die Lange eines Stabes als Funktion der Langen der iibrigen Stabe betrachtet einen extremen Wert hat. Dann ist die Determinante D jener 2 k -;) Gleiehungen, welche die Konstanz der Stablangen bei einer kleinen Bewegung zum Ausdruck bringen, gleich Null, d. h. diese Gleichungen sind nieht voneinander unabhangig. Die Berechnung dieser durch die Gliederung des Fachwerkes und durch die Riehtungen aller Stabe bestimmten Determinante D ist im allge­meinen sehr umstandlich. Ein einfacheres Kriterium fUr den Ausnahme­fall besteht darin, daB dann im unbelasteten Fachwerke 5elbstspannungen moglieh sind, was beim stabilen, statisch bestimmten Fachwerke nicht zutreffen kann.

2. Nimmt man im Knoten A des Stabes 1 eine Selbstspannung 51 beliebig an (Abb. 204), so liefert das Gleichgewieht dieses Knotens

woraus folgt:

51 -52 cos f3 + 58 cos a = 0, 52 sin f3 + 58 sin a = 0,

sma 52 = 51 -.-- = n51 ;

smy analog wird 53 = n 52 = n 2 51' . .. und 5 = n 56 = n6 51.

Da aber im Ausnahmefall 5 = 51 sein solI, so folgt n6 = 1 oder sma -- = 1, d. h. a=y; siny

damit der Ausnahmefall vorliege, muB demnach der auBere Ring mit dem inneren durch radial angeordnete Stabe verbunden sein.

A

a

Abb. 204 Abb. 205

Wendet man zur ErmittIung der Stabkrafte die Methode der Stab­vertauschung von Henneberg an, das heiBt, beseitigt man den Stab 1 UIid setzt zwecks Erhaltung der Stabezahl den Ersatzstab q ein (Abb. 205), so ergibt sich fUr dieses nun in den Knoten A und B des beseitigten Stabes mit ± 1 belastete Fachwerk die Spannkraft im Ersatzstabe q

- 82-

Losungen 3-4

zu ~ ull, da im zugeharigen Kraftplan g _ h ist, das heiBt die Stab­spannungen werden unendlich groB; dies ist ebenfalls ein Kennzeichen der Beweglichkeit des Fachwerkes.

Bei Anwendung der kinemati­schen Methode der Stabkraftermitt­lung ist der Ausnahmefall dadurch gekennzeichnet, daB die Verbin­dungslinie der Endpunkte der ge­drehten Geschwindigkeiten der Knoten E, D des beseitigten Stabes (Abb. 206) parallel zu dies em wird.

1st zum Beispiel das Fachwerk durch die im Gleichgewichte be­find lichen Krafte + P, - P, + Q, -Q belastet und zeichnet man nach der Methode der Fehlannahme (Saviotti) den Kraftplan, soer­kennt man das Vorliegen des Aus­nahmefalles daran, daB der einem

Abb. 206

Felde (in Abb. 207 ist es das Feld f) des Fachwerkes entsprechende Punkt f des Kraftplanes ins Unendliche ruckt: Die Stabkrafte werden unendlich groJ3.

f' i"h"

Abb. 207

3. Wenn die Verschiebungsrichtung des Gleitlagers C senkrecht zur Strecke 0 c des Planes der gedrehten Geschwindigkeiten ist, dann ist das Fachwerk trotz Anordnung des Lagers C beweglich.

4. Wenn dem Stutzstab die Lage D (A) 110 dim Plane der gedrehten Geschwindigkeiten gegeben wird, dann ist das Momentengleichgewicht der Krafte P, Q, A um den Nullpunkt 0 nicht maglich, das Stabsystem befindet sich dann im AusnahmefaIl.

Bei der in V 11 angegebenen Lasung dieser Aufgabe mit Benutzung der imaginaren Gelenke G1 G2 erkennt man das Vorliegen des Ausnahme­faIles (unendlich kleine Beweglichkeit) daran, da,B dann die drei Gelenke G1 G2 G auf einer Geraden liegen mussen.

- 83- 6*

5-6,1 IV. Bicgungsmomente, Quer- und Uingskrafte gerader Trager

Bringt man G2 G mit Stab 3 zum Schnitte in H, so gibt die Gerade H D jene Lage D (A) des Stutzstabes 4, fur welche das System wackelig wird.

5. Die Zerlegung von R in die Krafte A, B und D +- C ist dann nicht moglich, wenn sich deren Wirkungslinien in einem Punkte schneiden, das heiBt, wenn das Hangegerust eine lotrechte Symmetrieachse hat.

Dann sind im unbelasteten Hangegerust Selbstspannungen moglich, was aus den Gleichgewichtsgleichungen zweier benachbarter Knoten unmittelbar hervorgeht.

6. Fallen die Punkte G1 G2 0 in eine Gerade, dann werden die Ge­raden gl und g2 im Kraftplane parallel; demnach wird R unendlich groB und es ergeben sich unendlich groBe Stabspannungen als Kennzeichen des Ausnahmefalles. Die Gerade G1 G2 0 ist aber eine Pascalsche Gerade des Sechseckes, das heiBt, seine Ecken liegen auf einem Kegelschnitte.

IV. Biegungsmomente, Quer- und Langskdifte gerader Trager

1. Die Zerlegung der Kraft P nach den Richtungen I (parallel C E) und II (parallel F D) ergibt die vom Stabsystem auf den Trager A B ubertragenen Krafte C und D, deren lotrechte Komponenten fUr die Er-

8' f q:5 r ~Jm (J 7(J(J 2(J(J J(J(J 4IJ(J kg

.. _ --r angslmil'le '"

+

Abb. 208

o '7(JO' ,l(JU J(J(Jmkg 1 , , !

mittlung der Biegungsmomente und Querkrafte in Betracht kommen und deren waagrechte Komponenten als Langskrafte im Trager A B wirken. Die Polweite H, das ist die Entfernung des Poles G von P, ist

- 84-

Losungen 2

durch das Krafteck P I II bereits festgelegt. Beginnend bei dem will­kurlich auf der Wirkungslinie von A gewahlten Punkt A I zeichne man

.das Seileck I III II zu den lotrechten Komponenten von C und D; die durch G gezogene Parallele zur SchluI31inie A I B' schneidet auf P die beiden Auflagerdrucke A, B abo (Abb. 208).

Bei der Betrachtung des Gleichgewichts des Gesamtsystems (Trager + + Stabwerk) treten die in den Gelenken C und D je paarweise ent­gegengesetzt gleichen Gelenkreaktionen als innere Krafte in Erscheinung, daher lassen sich die Auflagerdrucke A, Bauch aus der Kraft P allein bestimmen, indem Pins Gleichgewicht gesetzt wird mitzwei Parallel­kraft en durch die Stiitzpunkte A und B; demnach liegt der Schnitt­punkt P' der Seilstrahlen I II auf der Wirkungslinie von P.

Die 1]-Ordinaten des Seileckes liefern die Biegungsmomente- des Tragers A B, denn es ist M = 1] H.

Durch den bei der Zeichnung der Systemskizze gewahlten Langen­maBstab und den fUr das Krafteck benutzten KraftmaBstab ist der MomentenmaBstab fUr die Messung der Ordinaten 1] bereits bestimmt.

Da die Polweite H = 220 kg, so entsprechen der Einheit des Langen­maBstabes 220 kgm Moment, wodurch der MomentenmaBstab fest­gelegt ist; mit diesem wird Mmax = 290 kgm.

Die Bezugslinie fUr das Querkraftdiagramm wird zweckmaBig waag­recht durch jenen Punkt im Krafteck gelegt, der den Auflagerdrucken A, B gemeinsam ist.

Bei der Zeichnung der Schaulinie fUr die Langskrafte trage man diese am Orte ihrer Wirkung senkrecht zur Tragerachse im KraftmaBstabe auf.

a

11 \1' , b

,I' " ---;cl-----·~ I"

Abb. 209

2. Fur die Ermittlung der Auflagerreaktionen A und B hat man die Auslegerlast Pins Gleichgewicht zu setzen mit zwei Parallelkraften durch die Auflagerpunkte A, B; die Kraftwirkungen in C und D tilgen sich als innere Krafte des Gesamtsystems. (Abb. 209).

- 85-

;) IV. Biegungsmomente, Quer- und Uingskrafte gerader Tri:iger

Nach Auftragung von P (= a b) wird der Pol E auf der Waag­rechten durch Punkt a willkurlich gewahlt; das geschlossene Seileck A' P' B' (wo P' beliebig auf der Wirkungslinie von P angenommen ist) steUt zusammen mit dem in eine Strecke ausartenden Kraftecke P B A das Gleichgewicht dieser drei Krafte dar. Dabei wird A negativ, wes­halb dort ein abhebsicheres Lager anzuordnen ist.

Die durch E zur Geraden IV gezogene Parallele ergibt im Kraft­plan die vom Kran auf den Trager ubertragenen Lasten C und D, so daB das zugehOrige Seileck und damit die Schaulinie fur die Biegungs­momente bestimmt sind. Beachte, daB C nach aufwarts, D mit P gleich­gerichtet sein muB.

3. Aus dem Momentengleichgewicht fUr den Punkt B folgt 1 l-2a

A = q2:1=--a ; (a)

fUr einen Querschnitt in der Entfernung x vom linken Auflager ist q X2

Qx=A-qx, M x =Ax-2 -.

Der Ort Xl des groJ3ten positiven Biegungsmomentes 1m Felde A B

ist durch Qx = 0 mit Xl = A bestimmt, womit q

A2 M I-­

x, - 2q

q a2 wird. Da ferner ME = - 2-' so folgt aus M x,1 = IMBI

qa2

2

A2 - oder A = ± q a. 2q

f r 2 ym o 7000 2000k,; R ~ 2000MOO;0fl0mkg • , • !

Abb. 210

1st das Lager A nicht abhebsicher, so kommt nur das positive Vor­zeichen in Frage und es ergibt sich wegen (a) die Gleichung

l2-4al+2a2 =O mi t den Losungen

- 86-

Losungen 4-5

a 1 y=1±V2 '

von denen, da a < I sein muS, nur ~ = 1 - /2 = 0,293 brauchbar ist.

1st hingegen das Lager A abhebsicher, dann fiihrt A = - q a zur Gleichung [2 = 2 a2

mit dem Ergebnis a 1 T = V2 = 0,707.

In dies em Falle entsteht das groSte Biegungsmoment im Felde A B 2

an der Stelle B, wo es den Wert q ~ hat (kein analvtisches Maximum, 2 . J

denn d! ist an der Stelle B nicht gleich Null).

4. Aus der Momentengleichung fiir Punkt B

ergibt sich

A (l-a) - q (l-a)~ + qa2 = 0 2

q 12 - 2 a l-a2 A=-----~-. (a)

2 I-a

1m Felde A Bist das Mmax A2

gleich -, das Auflagermo-2q,

ment MB betragt MB = = - P a = - q a2 ; daher flihrt die Forderung

~ 200040006't(oomkg

Mmax= IMBI Abb. 211

zu A = ::±:: q a V-Z; fiir nicht abhebsicheres Auflager A kommt nur das positive VorzeiGhen in Betracht und es ergibt sich wegen (a) die Gleichung

a2 (2 y-Z -1) - 2 a 1 (1 + V-Z) + l2 = 0, von deren beiden Wurzeln nur

a

brauchbar ist.

Y-Z-1 2V2-1

Mit I = 10 m wird a = 2,265 m und mit q = 500 kg/m: A = 1 602 kg, M B = 2566 mkg.

5. Das Momentengleichgewicht fiir Punkt B liefert

A 1- P (! I - a) - q I (~- - a) = 0,

- 87-

6 IV. Biegungsmomente, Quer- und Ui,ngskrafte gerader Trager

Abb. 212

so daB mit P = (2/3) q 1

A = q(l- ~a) wird.

Die Forderung Me = IMBI ergibt wegen Me = A a, MB =

_ia2 •

2

q a (1- ~ a) = ~~: , woraus sich ergibt

6 a=-l.

13

6. Infolge der zur Tragermitte symmetrischen Lagerung und Be­lastung ist

C - D _ 5aq P - -T+V2'

c

o 0'5 roRl , ! ,

o 200 IIIJO 6'00 k!/ t , , I

o .?OO 400 6'00 nzk!/ ty ! , , !

Abb. 213

- 88-

L6sungen 7-8

womit die Forderung Mm = MA ZU ~ = ~ V"2 fUhrt. aq 8

Mit q = 400 kg/m, a = 0,8 m wird MA = Mm = -160 mkg und Me = Mmax = -448mkg.

7. Konstruiere die Mittelkraft R der Belastungen P und q 34l, deren

Wirkungslinie jene des Gelenkdruckes A in F schneidet. Die Zerlegung von R in die Richtungen F A und F B ergibt im Kraftplane die Auflager­drucke A und B. Zeichne mit dem Pole G (Polweite H zweckmaBig

;' ;' f {}/ Tm

;'IF 0 T{){} 20{} J{}OKg I' C' " ! ! ,

1=:I7''-'++---------h-:=;--i f 2{}0 «10 8~{}mK!

8'

Abb. 214

3l gleich P gewahlt) das Seileck zu den waagrechten Kraften BH , q-

4 und A; der erste Seilstrahl list durch B' parallel zu G A gelegt, der letzte IV durch A' parallel I. An der Tragerstelle E tritt ein Momenten-sprung E' E" auf, hervorgerufen durch die exzentrisch wirkende lot­rechte Last P, so daJ3 E' E" . H = P a oder, wegen der Annahme H = P, E' E" = a.

Das gr6J3te Biegungsmoment entsteht in Emit dem Betrage 355 mkg.

8. Die Wirkungslinie der Gesamtlast Q gel:tt durch den Schnittpunkt der Ringreaktionen A und B, die unter dem durch I = tg (] bestimmten Reibungswinkel gegen die Waagrechte geneigt sind; dadurch ist die Lange x des Fortsatzes F bestimmt und es kann das Momentendiagramm fUr den Trager F konstruiert werden. Die Polweite H wurde dabei gleich Q gemacht und der KraftmaJ3stab so gewahlt, daB die Kraft­strecke Q durch D dargestellt ist. Alle Querschnitte der Saule im Be­reiche von ihrer unteren Einspannung bis zum Querschnitte in M sind durch das konstante Biegungsmoment H 1}M beansprucht. In M ent-

- 89 -

9 IV. Biegungsmomente, Quer- und Langskrafte gerader Trager

\\~1\'" ,

l7 "

IA I I

/II 'A

, , "

'"

>--------x---

- - -- --- --- -r--------'~l--___;:,.L-__=== __ --'

fj -+-----1 ° ,

Abb, 215

10 20 JO "oem '20 ' 40 ' 5;/(; ,

/

J!!

steht ein Momentensprung vom Betrage - RB D/2 infolge der in B wirkenden Reibungskraft RB ; bezogen auf die Polweite D ist der Sprung gleich - R B /2. Von hier an ist linearer Momentenabfall bis auf den Wert + RA/2 an dem durch A gelegten Querschnitte, wobei der Null­punkt dieser Momentenlinie in den Schnittpunkt von A mit der Saulen­achse fallen mull

9. Die Kabelteile D K = P und E K = q miissen zur Wirkungs­linie von Q symmetrisch liegen, da die Spannkrafte in beiden Stiicken bei Vernachlassigung der Reibung gleich groB sind.

Mit fJ als Neigungswinkel dieser Teile gegen Q gilt

woraus

und

P cos fJ -- q cos fJ = 2 a sin a, (p + q) sin fJ = 2 a cos a,

. fJ 2a S1l1 =-l cos a

p_q=2asi~~. cos fJ

- 90-

a)

Uisungen

Hieraus ergibt sich l a sin a

q=----2 cos f3

und schlieBlich aus x = q sin fJ:

x ~ acoe"[' - ~avI_F;oear]. Mit den Angaben l = 4 a, a = 1 m, a = 30° wird

x = 0,625 m, Y = 1,303 m.

c i

P qJ r {J 2 m

q 7fO 2,00 JfO 4Q{;/rg

q 2qO 4qO 000 mkg

Abb. 216

9

Nach Gl. (a) ist die gesuchte Gleichgewichtslage in folgender Weise zu konstruieren: Lege durch Punkt E eine Lotrechte und bringe sie mit dem urn D geschlagenen Kreis vom Halbmesser l in G zum Schnitt. Dann ist, da die waagrechte Prajektion von DE gleich 2 a cos a, die Neigung von G D gegen die Lotrechte gemaS (a) gleich fJ. Und da das Dreieck E KG in der Gleichgewichtsstellung gleichschenklig sein muS, so liegt der gesuchte Punkt K im Schnitte von D G mit der Symme­tralen von E G.

Zur gleichen Konstruktion fiihrt auch die folgende rein geometrische Betrachtung: Da die KabelHi.nge l konstant ist, so gehOren die mog­lichen Lagen des Punktes Keiner Ellipse an mit den Brennpunkten E, D und der graBen Achse l. Fur Gleichgewicht befindet sich die mit Q be­lastete Rolle in ihrer tiefsten Lage, daher ist K der Beriihrungspunkt der waagrechten Ellipsentangente.

Legt man durch den Brennpunkt E die Lotrechte und schneidet sie mit dem urn den anderen Brennpunkt D geschlagenen Kreis vom

-91-

10 IV. Biegungsmomente, Quer· und Uingskrafte gerader Trager

Halbmesser l in G, so liefert die Symmetrale von E G die waagrechte Ellipsentangente; in ihrem Schnitt mit D G liegt der Punkt K.

f{

/I

'~~, o 1 2 Jm

o Sou 1000 1500;1 , I I I

Abb. 217

Das gr6Bte Biegungs­moment des Riegels A B entsteht in E und hat den aus dem Momenten­diagramm entnomme­nen WertME =380 mkg.

10. Aus der Schau­linie der Biegungsmo­mente entnimmt man (Abb.217)

+ M max = 'lJ2 H = 1 920 mkg an der Laststelle P 2' -Mmax = 1]A[lI = 8 100 mkg an der Einspannstelle.

D

QU61'/(llifte

--------------------------------------------------------------~-

Abb. 218

- 92-

o 0:; , 1:; 2 m

~ ~ ,~o ';0 ;oolrg ~ ,~ &O~ JOO ~o 5~OmK§ I It! ! I

Losungen 11-12

1 I. Die Zerlegung der Mittelkraft R von PI und P 2 nach den Rich­tungen C Fund D F (Abb. 218) liefert die auf den Gerbertrager vom Stabgerust ubertragenen Krafte C und D nach GroBe und Richtungs­sinn. Zeichne fUr C und Dv das Seileck I II III mit beliebiger Polweite H, beginnend bei E', und lege die Schlul3linie IV durch E' (M = 0) so, daB das Biegungsmoment an der Stelle des Gelenkes G gleich Null wird. Die beiden Schaulinien fUr M und Q liefern

Mmax = MA = -637 mkg, Qmax = QA = 405 kg.

12. Die Gelenkdrucke in G1 und Gz sind einander gleich, da P in der Mitte des Einhangtragers wirkt. Es ist

1 G = 2 [P + q (l1 - 2 z)J

oder wegen der Angabe P = q I

G= ~ (1+11-2z). (a)

p

IJ TOOO 21J1JO JlJIJIJkg t !

Abb. 219

Das Auflagermoment bei B fiir den auf die Lange z auskragenden

(QZ2 ) Trager A B betragt M B = - 2 + G z oder wegen (a)

ME = _!L fz (1+ 11) _Z2], 2

wahrend an der Laststelle P ein Biegungsmoment

Mp=G(~ -z) -~ (~ -zf =-}(~ -Z)(l+ ~ -z) entsteht. Die Forderung

13 IV. Biegungsmomente, Quer- und Uingskrafte gerader Trager

liefert flir z die Gleiehung

Z2 - z (I + II) + ~ (i + l) = o.

Mit 11 = 8 m, 1 = 4,8 m folgt hieraus z = 1,567 m; die zweite Wurzel z = 11,233 ist unbrauehbar, da z < II sein muB. Naeh Gl. (a) bereehnet sieh der Gelenkdruek zu G = 2 416 kg. Die gleiehformige Belastung Ql des hal ben Einhiingtragers ist Q1 = 2 433 kg; aus der mit diesen Werten gezeichneten Sehaulinie der Biegungsmomente er­gibt sieh -MB = Mp = 4400 mkg. (Abb. 219).

13. Der Auflagerdruek A und der Gelenkdruek in G1 sind je gleieh

der halben Belastung des Sehlepptragers, daher ist A = f (l-a) und

q Mmax = 8 (1-a)2.

Da ferner

p

Abb. 220

o 1 2 m ~

o 1000 2000kg '-----'----' o !0002000JOOO mkg \-'---L....J

M B =Al_ ql2 =_'La1 2 2 '

so ergibt die Bedingung Mmax = IMBI:

a2 - 6 a l + l2 = 0

mit der Wurzel a = l (3 -2 V2). Die zweite Wurzel ist, da sie groBer als l ausfallt, nieht brauehbar.

Mit l = 4 m wird a = 0,686 m und es ergibt sieh mit dieser Lage der Gelenke das Biegemoment an der Stelle P:

Ferner wird Mp = 1314mkg.

A = D = G1 = G2 = 829 kg, B = C = 2 672 kg.

- 94-

Losungen 14-15

14. Zeichne das Seileck I II III IV zu den Lasten PI' Q und P2 (Abb. 221); durch die SchluBlinie V im ersten Felde ist 1}B bestimmt. Da gefordert wird, daB MB gleich Me sei, mache man 1}c = 1}B, wo­durch die SchluBlinien VI und VII im zweiten und dritten Felde und damit auch der Momentennullpunkt im dritten Felde, also die gesuchte Gelenkstelle G2 bestimmt sind.

4 G 8 l1l

'2 'J ' ~ t

f ~o f 'fJn.t

Abb. 221

Kontrolle durch Rechnung: Da G1 = ~ 1 , so ist M B = _ ~~ l .

Fur den rechten Schlepptrager ist G2 (l-';) = P2 a, daher

P2 l G2 =3(l_';) und Me=-G2 ';.

Aus ME = Me folgt dann .; = l/4.

Die Momentenschaulinie liefert

+ Mmax = 10 mt,

-Mmax = 6mt.

15. Konstruiere die Mittelkraft R aus P und Q und setze sie mit Benutzung des Verfahrens von Culmann ins Gleichgewicht mit den Kraften 51' 52' K (Hilfsgerade s). (Abb. 222).

Das Selleck zu den Kraften P, Q und Kv liefert nach Eintragung der SchluBlinie V die Schaulinie der Biegungsmomente.

- 95-

16 IV. Biegungsmomente, Quer- und UingskriHte gerader Trager

0 0"5 , m , ,

2o~k§ 0 100 , , f 2fo ~OmKg

/

J/

~lJ/

'IF

Abb. 222

Aus dieser ergibt sich an der SttitzsteUe °1 : Mmax = 135 mkg (133,5 laut Rechnung). Die gr6Bte Lingskraft betragt 270 kg.

16. Zeichne das Seileck I II III (Abb. 223) zu den Lasten - P und + P und lege die SchluBIinien IV und V so, daB die Biegungsmomente bei A, G und N verschwinden; dadurch ist im Kraftplan die vom Hilfstrager aufzunehmende Last emit 2750 kg bestimmt.

o 200 ¥DO 6'00800 kg

f

1"

\{

\ \

\ V \

:F~Jf Abb. 223

Das Seileck III, V stellt im Verein mit der Schlul3linie VI die Schau­linie der Biegungsmomente des Hilfstragers E F dar. Aus den Schau­linien ergibt sich fUr den Gerbertrager MM = -750 mkg, ME =

- 96-

Li:isungen 17-18

= + 1500 mkg, Me = - 2000 mkg; an der Stelle C des Hilfstragers ist Me = + 2050 mkg.

17. Auf den mit der waagreehten gleiehformig verteilten Last WI belasteten Systemteil D bis C wirken bei Freimaehung des Systems der lotreehte Gelenkdruek C und der Gelenkdruek D, dessen Wirkungs­linie dureh den Sehnittpunkt von WI und C gehen muE, wodureh C und D im Krafteeke bestimmt sind. Der linke Bogen samt seiner Auskragung bis D ist belastet mit den Kraften W, P und -D, die ins Gleichgewieht

Abb. 224

zu set zen sind mit den Gelenkdriieken B und A. Zeiehnet man naeh An­nahme des Poles E im Krafteeke das Seileek zu den bekannten Kraften W, P, D (Linienzug I, II, III, IV, wobei der erste Seilstrahl I zweek­maEig gleieh dureh A gelegt wird), bringt den Seilstrahl IV mit der be­kannten Wirkungslinie von B zum Sehnitte in Fund zieht den Seil­strahl F A = V, dann ist das Seileek (I ... V) dieser fUnf Krafte ge­sehlossen, wie es deren Gleicbgewieht verlangt. Dureh das zugeharige Krafteek sind die GraBen von A und B bestimmt.

Das Biegungsmoment filr den Seheitel S ist als Moment der beiden links von dieser Sehnittstelle wirkenden Krafte A und W naeh Culmann zu konstruieren. Die Mittelkraft R dieser beiden Krafte ist aus dem Kraftplan zu entnehmen; zieht man daher dureh S die Parallele zu R, sehneidet diese mit den Seilstrahlen V und II, wobei sieh 'Yj als Ent­fernung dieser Sehnittpunkte ergibt, so ist Ms = H 'Yj, wenn H den Normalabstand des Poles Evon der Kraft R im Kraftplane bedeutet.

18. Die Gesamtlast 5 q a steht im Gleiehgewieht mit der Stabkraft C des Stiitzstabes CD und mit dem Gelenkdrueke A, dessen Wirkungs­linie daher dureh den Punkt S gehen muE (Abb. 225); das zugehOrige Krafteek liefert die Krafte A und emit gleieher waagreehter Kom­ponente H. Das zu den Luftkraften 2 q a und 3 q a der Holmteile

Federhofer, Aufgaben I - 97- 7

18 IV. Biegungsmomente, Quer- und Langskrafte gerader Trager

B Fund F A mit der Polweite H gezeichnete Seileck I II III IV liefert die Schaulinie der Biegungsmomente; der an der Holmstelle F sich ergebende Momentensprung ist bedingt durch die exzentrisch in D

+

I·

I I I

................ ·1'··· .... I I I I

c

f O! 7 7,5 2 m

o 200 400 600 800 kg

~ 500 700075002000 mlrg

Abb. 225

wirkende Stiitzkraft und hat den Betrag H a/2, da D F = a/2 ist. Der Nullstelle im Querkraftdiagramme (x = 1,75 m) entspricht der art des - Mmax = 310 mkg, an der Holmstelle F ergibt sich + Mmax = = 400 mkg.

- 98-

Losungen 1

v. Dreigelenkbogen

1. Bezogen auf das mit dem Koordinatenursprung C gewahlte X Y­System lautet die Parabelgleichung

y2 = 2P x;

fUr das Gelenk A ist (~) 2 = 2 P ~ , somit P = ~ und y2 = l x.

Da die linke Bogen­halfte unbelastet ist, fallen die Wirkungs­linien der einander glei­chen Gelenkdriicke A und C in die Gerade A C, wodurch auch die Wirkungslinie von B bestimmt ist. Wird A in AH und A v zerlegt, so liefert das Momen­tengleichgewicht urn den Punkt B:

!I

A

Abb. 226

A l Q 1 d A Q ml·t Q __ q 1 v = 4 0 er v = 4 2 .

2

Da All = A v ctg a und tg a = 2l/ = ~ , so wird All = 2 A v = ; und

A = V A1I2 + A v 2 = Q V45 .

Das Gleichgewicht der Krafte, die an dem dllrch die Stabe 0, D, U ge­legten Ri tter-Schnitt abgetrennten linken Fachwerkteil wirken, ist dargestellt durch die drei Momentengleichllngen

SO PI + Av 2.1e -All (f - Xl) =,0, (Momentenpunkt 1) 3

5D P2 + Ali 2 / - Av (.Ie + Po) = 0, (Momentenpllnkt 2)

= 0; (Momentenpllnkt 3)

die Hebelarme P berechnen sich zu

17 11 Po = -6 };, Pl = 18 /, P2 = 1,27/, Pa = 0,84/,

womit sich ergibt 2

So = U Q = + 0,18Q,

5D = -0,087Q, 5u = -0,69Q.

- 99- 7*

2-3 V. Dreigelenkbogen

2. Der Gelenkdruck in C ist parallel zu A B. Das Gleichgewicht einer Bogenhalfte fordert

q l2 . Av=ql, AH=C, CI=T'

q x 2 an der Stelle y ist das Biegungsmoment Mx = C Y - -2- oder wegen

x 2 = (l2/1) y: M,,=O.

Gelenkdruck

A=B= qlV1 +(;/f

Bedeutet Q" die Querkraft, N" die Normalkraft an der Bogenstelle p (x, y), so folgt aus dem Gleichgewicht des Bogenteiles PC

Q x = q x cos <p - C sin <p, N x = q x sin <p + C cos <po

Da 1 . 2/x

cos <p = V £2 + 4 t y' sm <p = l V [2 + 4 t Y , so wird Qx = 0,

N" = ~ ~ V12-+ 41 y , das heiBt die parabolische Bogenachse ist bei gleichmaBig verteilter Vollast Drucklinie des Bogens. (Vgl. Aufg. VII, 5 mit n = -1.)

Fur y = 0 wird Nx=o = C, fUr x = l: Nx=l = A.

3. Aus den Gleichgewichtsgleichungen fur die belastete Bogenhalfte Av + Csin f3-ql = 0,

()" C AH-CCOSf3 = 0, q l2

.r AHI-Av l +- =0, 2

worin tg f3 = til, folgt

qlV (l)2 C=4 1 + T ' 3 q l2

A v = "4 q l, AH = 41' Abb. 227

Hiemit wird das Biegungsmoment an der Bogenstelle (x, y) mit y = 1 x2/1 2

q x 2 q Mx=CVx+CH'Y---= - x(l-x)

. 2 4 '

somit entsteht Mmax an der Stelle Xl = l/2 mit Mmax = ~~2 = 112,5 mkg.

Gelenkdruck

A = q l V9 ' (!.-)2 = 636 3 kg 4 T t ,.

- 100 -

Losungen

4. C=~q1 A=B= q1 V13 tga=~ 4 ' 4' ;)

(a gleich dem Winkel von A mit der Waagrechten) q 12

M D =-3i' 5.

Abb. 228

6.

Abb. 229

Abb. 230

- 101 -

4-7

8-9

8.

b

V. Dreigelenkbogen

Abb. 231

\

8" V '72 '\

~\j, ~

h

9. Es liegt ein Dreigelenkrahmen vor mit uber das Scheitelgelenk G hinausragenden Teilen, wobei die Festhaltung der Fu13gelenke durch die waagrechte Sttitzebene im Verein mit der Wirkung des Seiles ge­wahrleistet ist. Zerlegt man Q in die Komponenten N und N' senkrecht zu den beiden Balken, so wirken auf den aus dem Verbande gelosten

o TO 20 30 4IJcm

o 20 40 50 80 lrg

o 500 T00015002000 cmlr!l

Abb. 232

Balken Be die Kraft N, der Gelenkdruck G mit einer aus Symmetrie­grunden waagrechten Wirkungslinie und der Stutzendruck in B. Ihre Wirkungslinien mussen sich in e~nem Punkte schneiden, das zugehOrige Kraftdreieck liefert die Gro13e von G und R; die waagrechte Komponente von B ist vom Seile aufzunehmcn; es ist 5 = 54 kg. Sind BL und BQ die Komponenten von B in Richtung des Stabes B C und senkrecht hiezu, so zeichne man zu den Kraften N und BQ das Seileck I II I IT,

- 102 -

Losungen 10

das mit def Schaulinie der Biegungsmomente des Balkens Be iiberein­stimmt. Das gr6Bte Biegungsmoment tritt an der Gelenkstelle G auf und hat laut Zeichnung den Wert 1550 cmkg. (Abb. 232).

Die Kontrolle durch Rechnung ergibt Mma% = 1571 cmkg, denn es ist MG = N a cos a, wo 2 a den Winkel zwischen beiden Staben

bedeutet; ferner N = -2? ,so daB MG = Q a ctg a, woraus sich mit sma 2

Q k b 11 b· W b = 80 g, a = 25 cm, ctg (I = T = 7 0 1ger ert ergi t.

Wahrend bei einem Gerbertrager die Biegewirkung eines Tragers durch ein Gelenk (mit verschwindendem Biegungsmoment) an den be­nachbarten Trager weitergeleitet wird, hat hier der Balken B C bei G das gr6Bte Biegungsmoment voll aufzunehmen, das nicht in den ge­lenkig mit ihm verbundenen Balken A D fortgeleitet wird; letzterer hat im Querschnitte bei G ein gleich groBes Biegungsmoment mit ent­gegengesetztem Vorzeichen aufzunehmen.

10. Fiir den Dreigelenkrahmen 01234 ermittelt man graphisch die Gelenkdriicke Go G2 G 4 durch Oberlagerung der beiden Lastzustande,

RuerlrNl'le

Abb. 233

- 103-

I I

I I

I

I I

I I

I I

I I

I

11 V. Dreigelenkbogen

die dem zunachst nur mit PI' dann nur mit P 2 belasteten Rahmen ent­sprechen. (Abb. 233). Von den jeweils paarweise entgegengesetzt gleichen Gelenkkraften ist stets nur jene in der Zeichnung eingetragen, welche auf den bei der Linksumfahrung des Rahmens dem Gelenk folgenden Stabteil wirkt.

Die Zerlegung der Gelenkkraft G2 im Scheitelgelenk in die Richtung des Stabes 1 2 und senkrecht hiezu gibt die Langs- und Querkraft dieses Stabes, die in der Schaulinie in einem gegenuber dem Kraftplane auf ein Viertel verjungten MaBstabe aufgetragen sind. Die Vereinigung von G2 mit dem in der Ecke 1 hinzutretenden PI gibt die Kraft Go; ihre Zer­legung in die Richtung 01 und senkrecht hiezu ergibt Langs- und Quer­kraft des Stabes 01; so fortfahrend lassen sich beide Schaulinien fUr den ganzen Rahmen konstruieren. Mit der Kenntnis der Querkrafte ist auch der Verlauf der Biegungsmomente bestimmt; da P 3 zu den Momenten des Stabes 5 6 nichts beitragt, so muB der Nullpunkt der Schaulinie der Biegungsmomente dieses Stabes in den Schnittpunkt von G4 mit 5 6 fallen.

11. Da die gegenseitige Bewegung der Stutzstabe 1, 2 in einer Drehung urn ihren Schnittpunkt G2 besteht, ebenso jene der Stutzstabe 3, 4 in einer Drehung urn GI , so kann das Gesamtsystem aufgefaBt werden als ein System mit zwei imaginiiren Gelenken G1 G2 und einem reellen

Abb. 234

Gelenk G. Konstruiert man hiefUr die Gelenkdrucke GI ' G2' bei alleiniger Wirkung von P, sodann GI " G2" bei alleiniger Wirkung von Q, so liefert deren geometrische Addition die resultierenden Gelenkdrucke GI G2 und G. Die Zerlegung von GI in die Richtungen 4, 3 ergibt A und B1,

jene von G2 nach den Richtungen 1, 2 liefert C und B2, so daB mit A, C, B = BI +' B2 die Drucke in A, B, C bestimmt sind. (Abb.234).

- 104 -

Losungen 1

VI. Raumkraftsystem

1. a) Seien \13x (~ = 1,2 ... n) die n gegebenen Krafte, deren An­griffspunkte Ax durch die auf den willkurlichen Aufpunkt 0 bezogenen Ortsvektoren a" festgelegt sind, so liefert die Reduktion aller Krafte nach 0 den Kraftvektor

und den Momentenvektor

n

n

ill10 = .1: a" X \13" • 1

Von der Wahl des Bezugspunktes 0 sind unabhangig \R und \R.illlo (Invarianten des Raumkraftsystems).

Die durch die Spitze A * des Vektors

o A-; = 0* = \Rx illlo 1\R12

zu \R gezogene Parallele ist die Zentralachse des Raumkraftsystems (Achse der Dyname oder Kraftschraube), fUr welche \R IlilllA> wird.

A * ist daher der FuBpunkt des Lotes von 0 auf die Zentralachse. Fur die Zentralachse ergibt sich das kleinste Reduktionsmoment mit

dem Betrage M = \R. illlJ)

l\Rf

b) Fur ein gegebenes Kraftkreuz \131' \132 schneidet die Zentralachse den kurzesten Abstand P der beiden windschiefen Krafte im Punkte A *, cler die Strecke P im Verhaltniss'e PI : P2 = tg al : tg a2 teilt (P = PI +P2)' wo at> a2 die Winkel von \131 und \132 mit \R bedeuten. Das Dynamen­moment betragt mit a = a l + a2

M = P 1 P 2 P sin a R

und es ist PI tg a2 = P2 tg a l = M / R = Parameter der Dyname.

c) Konstruktion der Dyname und der Zentralachse aus \R und illlo' Zerlegt man den Vektor illlo parallel und normal zu \R in die Kompo­

nenten MR und Mn , so ist MR _ M das Moment der Dyname, wahrend Mn eine Parallelverschiebung des Vektors \R aus dem Reduktions­punkte 0 in die Zentralachse bewirkt.

Die tatsachliche DurchfUhrung dieser Konstruktion wird recht einfach bei Benutzung des Abbildungsverfahrens von Mayor und v. Mises. l

1 Mises, R. von: Zeitschr. f. Math. und Physik, 1916.

- 105 -

2 VI. Raumkraftsystem

Sind R und Mo die Bilder der gegebenen Vektoren ~, mo in der GrundriBebene, in der 0 den Reduktionspunkt bedeutet und ist c als beliebig gewahlte Lange die Abbildungskonstante, so fallen wegen 9JlR II ~ die Bilder M R und R in dieselbe Gerade, wahrend das Bild M n

sowohl dureh den Sehnitt­punkt s der Bilder Mo und M R

als aueh dureh den Antipol eR des Bildes R beziiglieh des urn 0 gesehlagenen Kreises vom Halbmesser c fiihren mul3. (Abb. 235).

Da M gleieh ist der geo­metrisehen Summe von M R

~-.....,t-~---o:--......... MR und M ", so liefert die Zerle­gung von M naeh den Rich­tungen R und s eR das Dy-

Abb. 235 namenmoment M R und das Moment M,,; letzteres bewirkt

die Parallelversehiebung von ~ in die Zentralaehse, die die Bildebene in einem Punkte gDyn durehst6Bt, welcher auf der dureh 0 gezogenen Normalen zu M" liegen muB, und zwar in ihrem Schnitte mit der durch eR zur Verbindungslinie der Punkte R', !lfn' gezogenen Normalen.

2. Man wahlt einen beliebigen Reduktionspunkt 0 und eine diesen Punkt nicht enthaltende Hilfsebene e. Eine durch 0 und durch \p" ge­legte Ebene sehneidet e in der Geraden 1,,; der im DurchstoBpunkt D" von \p" mit e angesetzte Kraftvektor \p" wird zerlegt in die Krafte \P",o und \P"'. mit den Wirkungslinien D" 0 und 1".

Dieser Vorgang liefert naeh Anwendung auf aile n Krafte ein raum­liehes Kraftbiisehel aller \P",o mit dem Mittelpunkte 0 und ein ebenes Kraftsystem aller \P'" < in der Ebene e; es sind so mit die beiden sieh kreuzenden Krafte

n

~o = 2' \p",o angreifend in 0

n

III der Ebene e

1

gleiehwertig mit dem gegebenen Raumkraftsystem. Die Wirkungslinien von ~o und ~. sind zwei konjugierte Gerade des

gegebenen Raumkraftsystems. Bei der graphisehen Ermittlung von ~ und ~e empfiehltes sieh, die Hilfsebene e als GrundriBebene, den Punkt 0 auf einer Normalen hiezu unendlich fern zu wahlen. Die Krafte \P",o bilden dann ein raumliches Parallelkraitsystem, dessen Mittel­kraft ~o im Aufrisse und Seitenrisse mit Kraft- und Seileek zu be­stimmen ist; auch die Resultierende ~e des in der GrundriBebene

- 106-

Losungen

wirkenden eben en Kraftsystems der \l)", < ist mit Kraft- und Seileck zu konstruieren. Die Krafte mo, m< dieses Kraftkreuzes stehen aufeinander senkrecht (orthogonale Dyade), ihr kiirzester Abstand P ist im Grund­riB unmittelbar aus der Entfernung des DurchstoBpunktes der Kraft mo mit der GrundriBebene von der Wirkungslinie ms zu entnehmen.

3. a) Seien ev e2 Einheitsvektoren in den Richtungen der Krafte \l)1> \l)2 des aquivalenten Kraftkreuzes, wobei die Wirkungslinie von \l)l in gl fane und ist a2 der Ortsvektor eines Punktes A2 der konjugierten Geraden g2' so gelten die Gl.

m = \l)l + \l)2' 9.n = al X \l)l + a2 X \l)2 '

oder wegen \l)l = el PI' \l)2 = m - \l)l: 9.n = PI (alX ell + a2X (m - PI ell. (a)

LaSt man A2 mit dem FuBpunkt der Normalen aus 0 zu g2 zusammen­fallen, womit a2 .\l)2 = 0 wird und multipliziert Gl. (a) auf innere Art mit m - PI el , so entsteht, da fUr zwei beliebige Vektoren x, 1)

(xX 1)) • 1) = 0 ist, die Gleichung

9.n . (\R - PI ell = PI (al X ell . m, woraus

P ___ ~. __ \R __ _ 1 - (al X ell . \R + 9.n . el

Mit PI ist \l)2 = m - PI el bekannt und daher auch die Richtung der konjugierten Geraden g2'

Aus

folgt \l)2 X (a2 X \l)2) = \l)2 X (9.n - al X \l)l) ;

da aber ~2 X (u2 X ~2) = P22 U2-~2 (~2' u2) oder wegen ~2 . a2 = 0

\l)2 X (a2 X \l)2) = P 2 2 a2 ' so ergibt sich

\l)2 X (9.n - al X \l)l) a2 = p2 '

2

womit auch die Lage der konjugierten Geraden g2 festgelegt ist.

b) Rechnerisch-graphische Lasung. . Man bestimmt den kiirzesten Abstand PI der Geraden m und gl'

die den gegebenen Winkel al einschlieBen. Man hat nun aus den gegebenen Werten R, M, PI und al die kiirzeste

Entfernung P2 der konjugierten Geraden g2 und der Wirkungslinie von m zu berechnen sowie den von diesen Geraden eingeschlossenen Winkel a2•

Hiefiir ergibt sich nach Aufg. VI (1 b):

M P2 = Rctgal

M und tga2 = RP~'

-. 107 =

4-6 VI. Raumkraftsystem

4. Mit den orthogonalen Einheitsvektoren i, i, f ergibt sich

wonach

~ = -(i + 2~ f), PI a

I\RI V----,ih2 -= 1+-~ PI a2

und das Reduktionsmoment Wlo = - f a PI + 5 X IJ3 mit 5 als Orts­vektor der Spitze S.

Wegen 5=

a 2

a

2

h

und

wird Wlo = i h - f ~ a und hiemit das Moment der Dyname PI 2

\R.Wlo ha MD=-]f-= PIli a2 •

h2 +-4

Der Punkt A * der Zentralachse ist festgelegt durch

\R X Wlo " a ( 2 a2 ) a* = -W- = - 12 1 + a2 + 4 h2 "

5. Mit den Einheitsvektoren i, i, f fUr die x, y, z-Richtungen und mit Pals Kraftstrecke von der Lange a ergibt sich \R = P (- i + j), R = P V2" und bezogen auf den in den Schnittpunkt von 1J32 und 1J33 ge­leg ten Reduktionspunkt 0

Wlo = P a (i + f) ; hiemit wird das Moment der Dyname

M _ \R" Wlo _ Pa --1?--V2"

Der Punkt A * der Zentralachse besitzt den Ortsvektor

-~ \R \JR a o A * = ~2 0 = 2 (i + i-f) ;

die Zentralachse geht daher durch die Mitte H von 1J32"

6. Sind QI' Q2 die beiden zu bestimmenden parallelen Krafte, so ist

\R = i (QI + Q2) + i P + f P, Wlo = i a X i P + fax i Qi + i a X i Q2

~ 108 ~

Losungen 7-8

oder wegen i x i = fund f X i = i lmO =iaQI +fa(P-Q2)'

Damit sich die Dyname auf eine Einzelkraft reduziere, muD 9i . lmo = 0 sein. Dies liefert die Bedingung Q2 = Ql + P, wobei Ql in A B will­kiirlich gewahlt werden kann.

Die Resultierende der vier Krafte geht durch den Wiirfelmittelpunkt und ist bestimmt durch

9i=i2Ql + (i+i+f)P.

7. Schnurspannkraft: 5 = .-.2_- =~ 3 Vii" 3'

Stabspannkraft : Q

51 = 16' 8. Die Gleichgewichtsgleichungen der Krafte am freigemachten

Stabe sind w+m+~+n=o W { X (~ + ~ + n) = o. (b)

In den Richtungen x, y, z ergeben sich folgende Kraftkomponenten

m={ ~ .~={-: n={-~sinVJ -G, 0, Q cos1jJ.

Damit liefert Gl. (a) fUr den Gelenkdruck W die Komponenten

W = {~sinVJ G -Q cosVJ.

Da der Ortsvektor r des Stiitzpunktes A die Teile ( ~ sin q; hat, r cos q;

so folgen hiemit aus (b) die Gl. G sin q; = 2 Q sin (q; -t VJ), (c)

GC-2Arcosq;-2QccosVJ=0. (d) Ferner ergibt das Dreieck 01 A R:

sin VJ = i sin (q; + VJ),

oder wegen Gl. (c) . r G .

S111tp = h 2 Q S111 q;,

woraus

cos m = ~(1 + ~ _.iQ2). r 2 r h2 G2'

- 109 -

9-11 VI. Raumkraftsystem

schlieBlich folgt aus Gl. (d)

oder

A =_c _(G -Qcos lP) r coscp 2

A = rc~scp[~ -Q Vl-(G;~i~CP)] 9. Da ~ = IlJ + .0, so wird I~I = V29 kg. Mit q als Ortsvektor eines Punktes der Wirkungslinie von .0 ergibt

sich das Moment der Dyname WlD = -b X IlJ + Wlo + (q -b) X .0. Wegen

WlD II ~ kann WlD = c ~ (a)

gesetzt werden, wo C eine noch zu bestimmende Lange bedeutet. Ver­legt man den Angriffspunkt der Kraft .Q in ihren DurchstoBpunkt mit der x, y-Ebene, so daB x, y, Odie Komponenten von q sind, so liefert (a) die drei Gleichungen

woraus folgt: 16

12 - 3 Y + 3 c = 0, 2 + 3 x + 2c = 0,

-13 + 3 y + 4 c = 0,

87 1 x=--cm

21 ' Y == 2T cm, c=-cm 7 .

Demnach ist das Dynamenmoment gleich V29 kgcm. 7

10. Druckkraft im Stabe C E:

V3-S =Gr;= 3 V3kg.

Die Komponenten des Druckes in A sind

G V- 3 V­Ax = 12 3 =~ 2" 3 kg,

G Ay ="4 =4,5kg.

Der Druck in B ist lotrecht und betragt Gj2 = 9 kg.

B. Die Gleichgewichtsgleichungen fUr das raumliche Kraftsystem ~, IS, Gi und IlJ sind

Gi + IJl + IS + IlJ = 0. cr X ~ + s X Gi + b X IlJ = 0,

(a) (b)

wo cr, s, b die Ortsvektoren der Angriffspunkte A, S, ]) beziiglich B sind. Ihre Zerlegung in die Richtungen des x, y, z-Systems (positive x-Rich­tung von A -+ B, y-Achse in der waagrechten Ebene, z-Achse gegen die Lotrechte unter f3 geneigt) gibt

- 110 -

I-a

a= ~'

Losungen

s = i ; b ' --- cos a 2

b . 25m a,

Gi= 0 1 GsinfJ

-Gcosp

12-13

b = 1 ~ cos a, b sin a

da IP in der Normalebene zur Platte wirken 5011, ist P y = - Pz tg a.

Hiemit liefern die Gl. (a) und (b)

P x = -G sin fJ,

P y = - ~ sin a cos a cos fJ,

G P z =2 cos2 a cos fJ,

A Gb . fJ y = 2a-cosasm ,

Az = ~ (cOSfJ + ~sinaSinfJ),

By = ~ cos a (sin a cos fJ - ~ sin fJ) ,

B G. (. B h· fJ) z = 25m a smacos -a-sm .

12. Die Wirkungslinie der an der Beruhrungsstelle E auftretenden entgegengesetzt gleichen Druckkrafte ± :DE ist die Normale der Ebene ABE. An dem freigemachten Stab A C wirken die drei Krafte m, :DE, IP, die sich im Gleichgewichtsfalle in einem Punkte schneiden, der wegen :DE lis in den DurchstoBpunkt von :D£ mit der durch C gelegten Parallelebene zu s fallen muB.

Da IIllI gegeben, so laBt sich das Kraftdreieck zeichnen, womit m und :D1O bestimmt sind.

Der Stab B D steht unter dem EinfluB der Krafte ~, - :DE und .0, von denen :DE bereits bekannt und .0 1 i c sein 5011. Damit ergeben sich wie vorher die Krafte ~ und .0.

Fur die DurchfUhrung aller hiezu erforderlichen Konstruktionen empfiehlt sich bei ganz allgemeiner Lage der Stabe und der Ebene s das Abbildungsverfahren von Mayor -v. Mises.

B. Aus der Momentengleichung fUr einen lotrechten Stutzstab er­gibt sich die waagrechte Komponente Sh der Zugkraft 5 in einem Schrag­stabe zu Sh = Mjh mit h als Hohe des gleichseitigen Dreieckes ABC. Damit berechnet sich die lotrechte Komponente Sv von 5 zu

I 2Ml Sv = Sh- = --=.

a a2 V3 - 111

1 VII. SeiI- und Kettenlinien

Da aber durch das Gewicht G in jedem lotrechten Stutzstabe eine Druck­kraft G/3 geweckt wird, so lautet die Bedingung der Spannungslosigkeit der lotrechten Stabe

woraus

folgt.

G 5"="3'

Die Spannkrafte in den Schragstaben sind einander gleich und zwar

I GV a 2 5 = 1 5h2 ,' 5 2 = - 1 + - .

V 1" 3 '[2

VII. Seil- und Kettenlinien

d2y q 1. Aus - = -- folgt, da q konstant ist, dx2 H

dy q dx = -Ii x + C1'

y = -"2~ x 2 + C1 x-+- C2 ;

mit den Randbedingungen

wird C2 = 0,

y = 0 fur x = 0, y = h fiirx = l,

h ql . q h C1 = Y+2:ii' som1t Y=2H x (l-x) +T x,

Die Seilkurve ist eine Parabel mit lotrechter Achse.

Aus d~ (Y - ~ x) = 2 ~ (I - 2 x) = 0 ergibt sich der gr6Bte

l qt2 Durchhang f an der Stelle Xl = "2 mit f = 8 H und daher der Horizontal-

zug q l2

H=8f'

Die Bogenlange s der Seilkurve ist zu berechnen aus I

s = IVI + y'2dx.

o

- 112 -

(1)

L6sungen 2

Im Fane h = 0 ist

,q 4 I ( x) . y = --- (1-2 x) = - 1-2-2H 1 1 '

wird der Integrand in eine Reihe entwickelt, so ergibt deren Integration

s = 1 (1 + ~ [2 __ 32 14 + 256 16 _ ) • 3 [2 5 [4 7 16 •••

Fur flache Parabelbogen (j <: ~) kann angenahert

s = 1 (1 + ~i:) (2)

gesetzt werden oder auch

(3)

Hieraus folgt L1 s = ~6 {L1 I, somit betragt die VergroBerung des

Durchhanges bei Zunahme der Bogenlange urn L1 s:

3 1 L1 I = 16yL1 s.

2. Die Seilkurve besteht aus zwei parabolischen Asten A C und CD, die in C tangentiell ubergehen. (Abb. 236).

d2y Fur den Ast A C folgt aus dx2

dy q -=--x+C dx H I

und wegen y = 0 fur x = 0: , q x 2

Y=-liz+ C1X ;

d 2y q + P fur den Ast C D entsteht aus dx2 = - --H durch zweimalige Inte-

gration dy q+p dx = -~X+Dl'

Aus der Ubereinstimmung der Ordinaten y und der Tangenten­

neigung ddY an der Stelle Xl = i-a ergibt sich C1 = -~ Xl + DI X 2 H

und D2 = - ~ i/, womit fUr den Ast C D die Gl.

q x2 P y = -H2 + Clx- 2H (X-XI)2

entsteht.

Federholer, Aulgaben I - 113- 8

2

II

VII. Seil· und Kettenlinicn

Aus ~~ = 0 fiir x = ~ folgt die Integrationskonstante C1 zu

A~ x /I I

!I C .... ~ .... : . flo ~~-= 2 ! --x,--a-

Abb. 236

C_pa, ql l-H I 2H'

womit sich der Durchhang f mit·

f = _1 [q l2 + P a (l- a)j (1) H 8 2

berechnet.

Die Abszisse LI2 des Scheitels 5 der Parabel A C ergibt sich aus q L - H2 + C1 = 0 mit Benutzung des Wertes von C1 zu

~ =~+ tao (2) 2 2 q

Die Ergebnisse Gl. (1) und (2) findet man auch unmittelbar durch folgende Dberlegung: Schneidet man das Kabel in C entzwei, so muG dort die Kabelspannung flir den Ast A C und flir den anschlieGenden Ast C D gleich groG sein. Da das Kabel nur lotrecht belastet wircl, so ist die Gleichheit der Horizontalkomponenten der Kabelspannungen ge­sichert. Die lotrechte Komponente der am Ast A C in C wirkenden Kabelspannung betragt q (L12 - Xl), wahrend jene der am Ast C D wirkenden Kabelspannung den Wert (q + p) a hat; die Dberein­stimmung beider liefert

q ( ~ - Xl) = (q + p) a,

woraus mit Xl = LI2 - a unmittelbar Gl. (2) folgt. Da die lotrechte Komponente der Kabelspannung im Aufhange-

punkt A gleich i!. + P a ist, so liefert Nullsetzen der Momente urn 2

Punkt D:

( ql )l ql2 pa2 ql2 pa fH= 2+ pa 2'-s--2=s+T(l-a)

1Il Dbereinstimmung mit Gl. (1). Der Horizontalzug H ist nun aus der Bedingung der Undehnbarkeit

des Kabels zu berechnen. Das zunachst nur mit q auf die horizon tale Lange 2l belastete Kabel mit dem Durchhange fq hat nach Gl. (2) der Aufg. VII, 1 die halbe Bogenlange

A1) =!.. (1 + ~ fq2). o 2 3 l2

Nach Aufbringen der Nutzlast p senkt sich der Scheitel Do nach D und

es ist die Bogenlange AD gleich AS' - CS + CD; die angegebenen Teilbogen sind nach Gl. (3) der Aufg. VII, 1 zu berechnen.

- 114-

Es ist

Losungen

- L ( q2L2) AS=- 1+--. 224Hz

ferner wegen LI2 - Xl = (1 + Plq) a:

CS = (1 + ~-) a[1 + (P6~;)2 a2 ]

und schlieBlich

_ _ [ I (P + q)Z a2] CD-a I-+- . . I 6H2

2

Da Plq = n, so lautet die Bedingung der Undehnbarkeit des Kabels

mit EinfUhrung von ~la = Z und wegen L = 1 + 2 a n' = 1 (1 + z n):

1 ( 8 jq2) 1 [q2l2 (1 + Zn)2] '2 1 + "3 ---z2- = 2" (1 + z n) 1 + 24 H2 -

[ a2 (P + q)2] [ aZ (P + q)2 ] -a(n+I) I+--6H2- +a 1+ 6H2 .

Hieraus folgt 28 jq2 3 q2 l2 q2 a2 2 q a2

H 3---y2 = (1 + zn) 24-- z (n + 1)3-6 + z (n + 1) -6-.

Daaber nach Gl. (1) der Aufg. VII. 1 Hq = ~ ~:, sq ergibt sich

schlieBlich

H = Hq VI + 3nz + 3n2z2_(2n2 + n) Z3 (2)

und hiemit aus Gl. (1) der Durchhang j bei Beachtung von jq = r zu 8Hq

j = jq __ 1 + nz_(2-z) _ (3) VI + 3 n z + 3 n 2 Z2 - (2 n 2 + n) Z3

Nennt man 2 a l jene Belastungsstrecke der Nutzlast P, fUr die sich

der gri:iBte Durchhang jmax ergeben solI, so muB das zugehi:irige Zl = 2;1 der aus ~ ~ = 0 entstehenden Gl.

n (2n + 1) z4-2n (n-l) z3-3 (n-I) z2-4z + 1 = 0 genugen.

Fur einige Werte von n zwischen 0 und 1 sind die zugehi:irigen Wurzeln Zl nebst den Werten (fljq -1) und HIHq in der folgenden Dbersicht angegeben:

n= 0 0,10 0,25 0,50 1,00 Zl = 0,333 0,322 0,306 0,289 .0,253 (fljq) -1 = 0 0,0069 0,0151 0,0281 0,0456 HIHq = 1 1,047 1,112 1,213 1,379

~ach Timoshenko, S,: Journ. Franklin Instit. 235, S. 213, (1943).

- 115- 8"

VII. Seil- und Kettenlinien

3. Die sich ausbildende Seilkurve besteht aus den beiden symmetrischen Parabelasten A D und B D (Abb. 237), die in D einen Knick aufweisen. Der Scheitel 5 der Parabel ADS sei urn das MaJ3 b aus der Mittellage

. ., P P 11' verschoben, das slch aus der Glelchhelt von q b und - zu b = - = -

2 2 q 2

ergibt, wenn :z = v gesetzt wird; so mit ist L = 1 (1 + v).

H-4--

Bezeichnen H q und H die Horizontalziige vor und nach Aufbringen der Last P, wobel

12 nach Aufg. VII, 1 Hq = ~ /q'

weiters A = } (q 1 + P) =

= q/ (1 +)1) die lotrechte

Komponente der Kabelspannkraft in A, so folgt aus dem Momenten­

gleichgewicht urn Punkt D: A ~- - q ~z - H / = 0 oder

1 (q 12 P 1) q 12 /= - - +- =-~--(1 -l-2v). H 8 4 8H '

(1)

Die Bedingung der vorausgesetzten Dehnungslosigkeit der Kabel­achse fiihrt zur Kenntnis von H. Nach Gl. (2) der Aufg. VII, 1 betragt

die Lange des nur mit q belasteten Parabelbogens ADo = ~ ( 1 + ~ /lqz2 ) ,

jene des Bogens AD ergibt sich zu AD = AS - DS, wobei

_ L ( qZ LZ) _ ( qZ bZ) A 5 = 2" 1 + 24 HZ' D 5 = b 1 + 6 HZ '

so daJ3 aus ~ = AD die Beziehung folgt

!..( ~/qZ)_!_ .,[ qZ1Z(1+V)Z]_!.. ( q212vZ) 2 1 + 3 1Z - 2 (1 + Y) 1 + 24 H2 2 v 1 + 24 H2 .

Diese liefert bei Beachtung des obigen Ausdruckes von Hq das Ergebnis

H = HqVI + 3 v + 3 v2 (2)

und daher nach Gl. (1): . 1 + 21'

/ = /q - -- -~-"C. (3) VI + 3 1'+ 31'2

Hieraus kann die Anderung H - Hq des Horizontalzuges und / - /q des Durchhanges berechnet werden.

- 116-

Losungen 4

Die Ergebnisse Gl. (2) und (3) k6nnen natiirlich auch durch einen Grenziibergang aus den GIn. (2) und (3) der Aufg. VII, 2 gefunden werden. UiBt man dort die BelastungsHinge 2 a gegen Null abnehmen und setzt

P . d· P . 2 P a = ,so wIr mIt 'II = {ji : n z = 'II, womIt fiir z = 0 die

GIn. (2) und (3) unmittelbar in die obigen Formeln Gl. (2) und (3) iibergehen.

4. Die Leitlinie des Zylinders muB die Seillinie der Fliissigkeits­drucke sein. Sei y die Tiefenlage des Punktes P der Leitlinie unter dem Fliissigkeitsspiegel, so wirkt auf das Uingenelement ds der Seilkurve der mit der Tiefe linear zunehmende Fliissigkeitsdruck p = y y normal zu ds. (Abb. 238).

Bezeichnet e = P Q den Kriimmungshalbmesser der Leitlinie und S die konstante Spannkraft in der Blechwand, so liefert das Gleichgewicht des Wandelements in der Druckrichtung

S dcp = P ds = Y Y (! dcp oder Ye = Sly = a 2/2 mit a /J ...... -f-....."..'""----F'------=,-..-';:-_S

als gegebener Lange. Mit cp als N eigung der

Tangente gegen die Lotrechte gilt

d(sincp) 2 Y Q dy ~,

so daB

sincp = (~r + Cl ·

y

Abb. 238

An der tiefsten Stelle ist y = h, cp = i, damit wird CI = 1 _ (~) 2 und

. y2_h2 smcp = 1 + --2-.

a

Da fUr y = 0, cp = - CPo sein solI, so folgt hieraus

h = V 2 ~ (1 + sin CPo)·

Die resultierende Druckwirkung \R auf die Blechwand AC steht im Gleichgewichte mit den in A und C wirkenden Zugkraften S; die Wir­kungslinie von \R geht daher durch den Schnittpunkt D der beiden Krafte S und es ist \R =- (GA + Ge). Wird die Meridianlinie in gleiche kleine Bogenteile LI s geteilt, so wirkt auf ein solches die Belastung

- 117 -

5 VII. Seil- und Kettenlinien

Ll P = Y Ll s y. Schlagt man aus beliebigem Mittelpunkte 0 einen Kreis

vom Halbmesser r = ~- = ~~ ,so schneiden jene Radien, welche YLJS 2LJS

den in den Endpunkten des Bogenteilchens Ll S gezogenen Tangenten parallel laufen, den Kreis in den Punk ten m - lund m; dann betragt die Sehnenlange m:':':':"-I--: m = r Ll rp oder wegen Ll s = q Ll rp

-~- S m-I,m=-=y, ye

das heil3t, die Meridiankurve kann durch ein Seileck angenahert werden, das zu jenem Krafteck geh6rt, dessen Seiten die in einem Kreise vom

S Halbmesser r = ~ aufgetragenen Druckh6hen y sind.

Y LJ S

(Nach Federhofer, K. und Krebitz, ].: Eisenbau, 5, S. 187, 1914.)

Da 1 I ._._- dy

cotg rp = -;-- II - sin 2 q; = -, SIn rp dx

so ergibt sich als Differentialgleichung der gesuchten Seilkurve

Vl- (y2 + C)2 dy a2 1 dx = ---y-2------- ,

2"+C1 a

deren Integration mit Hilfe der Substitution y = a VI - C1 cos"p durch die elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung vom Modul

k'= Vl z_C.1 geleistet werden kann.

Federhofer, K.: Eisenbau, 4, S. 355, 1913.

5. Die auf die Oberflacheneinheit wirkende lotrechte Last P gibt in den Richtungen der Tangente und Normalen der Gew6lbeachse die Komponenten PI = P sin rp, Pn = peas rp und es lauten die Gleichge­wichtsgleichungen fur ein Gew6Ibeelement ds fUr die Richtungen t und n

.r

z

do a ds = PI = P sin rp , (a)

1 Pn P cosrp {! ao ao (b)

Mit {! dq; = ds ergibt sich aus (a) bei do

Beachtung von (b) 6 = tg rp drp, woraus

folgt Abb. 239 o cosrp = 00 ,

wenn 00 die Gew6lbestarke im Scheitel (rp = 0) angibt. (c)

- 118 -

Hiemit liefert Gl. (b) 1

e

L6sungen 6

(d)

Der Belastungsansatz P = ~~. flihrt zur Beziehung ~ = lJLcos2-nrp, cosn rp e a 150

ar5 oder e = eo cosn-2 rp, wenn __ -.Jl den Krummungshalbmesser eo im

Po Scheitel bezeichnet.

Sonderfalle:

n = - 1; e = co;~ rp (Parabel); aus Gl. (d) folgt hiemit P = Po cos rp,

das heiBt konstante Belastung Po je waagrechte Flacheneinheit.

n= 0; e = ~%- (Kettenlinie); aus Gl. (d) folgt P = Po. cos rp

n = 2; e = eo (Kreis); aus Gl. (d): P = ~f-. cos rp

n = 3; e = eo cos rp (Zykloide); P = -.1!]--. cos rp

6. Auf das Langenelement ds an der Stelle (x, z) der Kette (Abb. 240) wirken die Krafte y 15 ds, S und S -+- dS, deren Gleichgewicht ausgedruckt ist durch die Gleichungen

dS - y 15 ds sin rp = 0 (Rich tung der Tangente), S drp -y 15 ds cos rp = 0 (Richtung der Normalen).

Aus der erst en folgt mit S = a 15 und ds sin rp = dz

dr5 a -;f - y dz = 0 oder

yz

15 = 150 e a , (a)

wo 00 die Kettenstarke im Scheitel o (x = 0, z = 0) angibt.

Die zweite Gleichgewichtsglei­chung liefert wegen ds = e drp

J.. = X cos rp = a cos rp, (b) e a

wobei die Konstante yla = a gesetzt ist.

Abb. 240

Mit S = a 0 lautet die zweite Gleichgewichtsgleichung ~ = a ds; cos rp

- 119 -

7 VII. Seil- und Kettenlinien

ihre Integration liefert bei Beachtung, dal3 s = 0, q; = 0 zusammen­gehOrige Werte sind,

oder

a s = In tg (n + .r) = In _l_+_t_g_~_ 4 2 I- tg ..'E.

as 1 +tg ~

e =---

q; ea s-1

q; 1-tg-

2

2

1 1 + tg2!E.

2 Hieraus folgt tg 2 = ea~l und wegen -------

cosq;

1 1 -- = - (e a s + e-aS) = Cos (as). cos fP 2

1m Verein mit Gl. (b) ergibt sich daher

a(2 = Cos (as),

1-tg2!E. 2

(c) das ist die natiirliche Gl. der von G. Coriolis gefundenen Kettenlinie gleichen Widerstandes.

Die analoge Aufgabe mit den gleichen Ergebnissen Gl. (a) und (c) liegt vor bei der Formbestimmung eines nur durch Eigengewicht be­Iasteten Gew6Ibes, das in allen Querschnitten gleiche Druckspannungen a erfahrt.

7. a) Bezeichnet in Abb. 241: P = k f (r) die auf die Langen­einheit des Fadens bezogene Zentralkraft (positiv als Anziehungskraft), 5 die Fadenspannung an der'Stelle M (r, q;), [0 M = r], 8 den Winkel zwischen Fahrstrahl und Kurventangente, so ist das Gleichgewicht der am Bogenelemente ds wirkenden Krafte P ds, 5 und 5 + d5 aus­gedriickt durch die beiden Gleichungen

d5 - P ds . cos 8 = 0 (Kraftesumme in Richtung der Tangente = 0), d (5 r . sin 8) = 0 (Momente urn das Zentrum 0 gleich Null).

Die erste Gl. vereinfacht sich wegen ds. cos e = dr in

d5 = Pdr, und die zweite Gl. liefert

5rsine = C.

Aus Gl. (a) ergibt sich fUr die Fadenspannung

5 = k J t (r) dr + C1,

- 120 -

(a)

(b)

(c)

L6sungen 7

womit aus Gl. (b) wegen . Ll r

Slnl':f = -:;;=;,;==~

Vr2 + r'2 die Beziehung folgt:

k Jt (r) dr + C1 = ~ Vr2 + r'2. (d)

Mit den Abkiirzungen klC = a, C1/C = fJ ergibt sich die Differential­gleichung der Seilkurve

dr dcp = rVr2 [a Jt (r) dr + fJJ 2--1 .

b) 1st Mo der FuBpunkt der vom Pole 0 zur Seillinie gezogenen Normalen und bezeichnen ro;50 die zu Mo gehorigen Werte von r und 5, so gilt wegen eo = n/2 gemaB Gl. (b) und (c)

50ro = C,

Fiihrt man die Dimensi­onslosen ~ und g W entspre­chend der Festsetzung

r ~ = --, p (~) = k1 g (~)

ro ein, so sind die zu bestim-' menden Seilkurven charakte­risiert durch einen wesent­lichen Parameter

k1 r02 kl ro y=C-=S--'

o Hiemit geht Gl. (d) bei

Beachtung von Gl. (e) tiber in

C1 = 50 -k Jt (r) dr.

T ='0

;

I)

Abb. 241

;2 V ~2 + ~'2 = 1 + y J g (~) d~, ;=1

woraus folgt

~! = ± ~ V ~2 [1 + y /g (~) d~J2-1 .

(e)

Mit p (~) = k1 ~n , das heiBt g (~) = ~n ergibt sich hieraus - wenn der Fall n = -1 ausgenommen wird -

d~ = ± ~ V~2l1 + -y- W+ 1 -1)J2-}. dcp n+1

Gehorcht der Parameter y der Seilkurve der Beziehung y = n + 1,

- 121 -

8 VII. Seil- und Kettenlinien

dann wird

oder ~n +2 cos (n + 2) T = 1.

Dies ist die Polargleichung einer Sinusspirale vom Index - (n ...;.... 2). Mit den Dimensionslosen ~, g (~) und dem Parameter y wird Gl. (c)

umgeformt in e

5 = 50 r 1 + y Ig (~) d~ l 1

woraus mit g (~) = ~n und y = n + 1 die Beziehung

5 = 50 ~n + 1 = 50 (;J n + 1

folgt. Der Kurvenklasse der Sinusspiralen gehoren viele bekannte Kurven an, z. B.

Kreis, 5

Index + 1, n = -3, 50

Parabel, 2

Gleichseitige Hyperbel - 2

3 2

o

Parameter y = -- 2,

2'

1. Federhofer, K.: Z. angew. Math. Meeh., 2I, S. 233, (1941).

8. Mit a aIs konstanter Seilbeanspruchung wird 5 = a 15, so daB

Gl. (a) der Aufg. 7 (a), in der P = ~~ einzutragen ist, ubergeht in r'

a d() = kjr () dr; hieraus wird

() = ()o (;~ ra,

wenn ()o die Seilstarke an der Stelle ro angibt. Aus Gl. (b) von Aufg. 7 (a), die in

r2 c (

r )kJa a ()o -

ro ubergeht, folgt nach Integration

1+!: ( k) 1+!: r a cos 1 + a T = r 0 a.

Der gesuchten Seilform entsprechen somit Sinusspiralen mit dem Index - (1 + kja).

Bonnet, 0.: Liouvilles Journ., 9, S. 97, (1844).

- 122 -

Losungen 9

9. Mit q als Gewicht der Liingeneinheit des Seiles und 5 als Seil­kraft an der Stelle (x, y) bestehen fiir ein Element ds die Gleichgewichts­gleichungen

d (5 cosf[!) = 0 (Kriifte in waagrechter Richtung),

d (H tg f[!) - q ds = 0 (Krafte in lotrechter Richtung). Die erste Gl. liefert 5 cos f[! = konst. = H, so daB

5=-~ cosf[!'

H aus der zweiten folgt -"2 df[! = q ds oder

cos f[! ds

df[!

H q cos 2 f[!·

(a)

(b)

5 Infolge der Seilkraft 5 verlangert sich das Bogenelement ds urn E F ds

(E Elastizitatsmodul, F Seilquerschnitt), das Bogenelement erhalt daher die Lange

da = ds (1 + ___ l!_) E Fcosf[!

oder wegen Gl. (b)

da - dm (~l- -L ~~), (c) - 't' cos2f[! I cos3 f[!

worm H

a1 =-, q

Die Lange a1 bedeutet den Parameter der nicht dehnba­Ten (gewohnlichen) Ketten­linie, a2 gibt einen durch

1----0 --~."",.~-- 1J --:

~q---,,---~------~8

I '0

Abb. 242

Beriicksichtigung der Elastizitat des Seiles hinzutretenden Parameter an. Bei Annahme des durch 0 gelegten rechtwinkligen Achsenkreuzes gilt

dX=daCOSf[!=(~L+4-)df[!, (e) cos f[! cos f[!

. (a1 sin f[! a2 sin f[!) dy = da sm f[! = --+ ------ df[!. cos2 f[! cos3 f[!

(f)

Integriert man Gl. (e) und (f), so folgt, da x = 0, f[! = 0 (Punkt C) zusammengehorige Werte sind,

x = d1ln tg (~+ r) + a2 tgrp und

(g)

a1 a2 y - --+ --- -L C - cos f[! 2 cos2 f[! I 1·

- 123 -

9 VII. Seil- und Kettenlinien

Wird der Ursprung 0 so festgeIegt, daB CI = 0, so wird

und

-- a2 OC= a=a I +-,

2 (h)

a l a~ v = --- + ... _-- (i) . cos P 2 cos 2 p

Mit den GIn. (g) und (i) sind die ParametergIeichungen der "elastischen Kettenlinie" dargestellt. Aus Gl. (h) ersieht man, dal3 die Elastizitat des SeiIes den Parameter a l der gew6hnlichen KettenIinie urn a2/2 ver­gr6Bert. Die Lange a kennzcichnet den Parameter der "eIastischen Kettenlinie" .

Mit x = b foIgt aus Gl. (g) die zur Berechnung der Seilneigung PI in A dienende transzendente Gl.

b = al In tg (~ + iI) + a2 tg Pl' Der Durchhang t ergibt sich aus Gl. (i), wenn P = PI und y = t + a

eingetragen wird, zu

t = a (_1_ -1) + a2 (_1_ -1). 1 cos PI 2 cos2 PI

Die Seillange L von A bis C nach der Dehnung betragt nach Gl. (c) fIJI fIJI

J dP JdP L = 1 + J 1 = a -- + a--1 cos2 P 2 cos3p o 0

oder

- 124-

Losungen 1

VIII. Stabilitat des Gleichgewichts

a) Der auf einer festen Flache ruhende schwere Korper

Es sei vorausgesetzt, daB der gestiitzte K6rper eine Symmetrie­ebene besitze, in der dann der Schwerpunkt 5 liegt; sie schneide den K6rper in der Kurve Fg, die feste Unterlage in der Kurve F,. Bei glatten Flachen muB fUr Gleichgewicht die Linie 0 5 lotrecht sein und mit der Normalen der sich in 0 beriihrenden Kurven. zusammenfallen. (Abb.243).

Erfahrt der gestiitzte Korper eine unendlich kleine Bewegung aus seiner Gleichgewichtslage, indem Fg eine kleine Drehung urn den Mo­mentanpol 0 ausfiihrt, so ist das Gleichgewicht stabil, wenn die Bahn von 5 nach unten konvex ist.

Es gibt auf der Systemgeraden 0 5 nur einen einzigen Punkt - den Wende­pol J -, der momentan eine Bahnstelle mit unendlich groBem Kriimmungshalb­messer, also im allgemeinen einen Wende­punkt seiner Bahn durchschreitet. Sind eg und er die Kriimmungshalbmesser der beiden Polbahnen (Fg Gangpolbahn, F, Rastpolbahn), so gilt fUr den Wende-durchmesser d = oT nach der Gleichung von Euler-Savary:

-~±~=~ eg er d '

worin das positive Zeichen zu nehmen ist, wenn die Kriimmungsmittelpunkte von rg und rr auf entgegengesetzten Mo Seiten von 0 liegen. Da die Bahnkurven Abb. 243 der innerhalb der Strecke 0 J liegenden Systempunkte ihre konvexe Seite dem Drehpole 0 zuwenden, so be­steht fUr stabiles Gleichgewicht die Bedingung

(1)

Hiemit laBt sich die Stabilitat des Gleichgewichtes in den Aufg. 1 his 5 einfach beurteilen.

1. Wegen e, = <Xl wird 0 J = eg = Y, das heiBt der Schwerpunkt 5 des Korpers muB in den Mittelpunkt J von Fg fallen; hienach ist

woraus

1 1 2 ;) - xy2 n- x = -r3n-y ;) 4 ;) 8'

x = Y Vi - 125-

2-5 VIII. StabilitiHd. Gleichgew. a) Derauffest. FUicheruhendeschw. Kerper

2. Bei der Parabel ist der Krummungshalbmesser (lr im Scheitel gleich dem Parameter p; da ferner (lg = 0.::, so folgt (lr = d = P oder nach Gl. (1) 05 < P und wegen 05= h/4

h < 4p . . - Rr

3. Mit (lg = r, (lr = R wird d = 0 j = R -L r· I

- 3 5 Nun ist 05= r - 8 r = 8 r, womit die Bedingung (1) uber-

. 5 Rr geht m -r < -R - oder

8 + r 3

r <- R. 5

4. Mit F als cler zum Vollkreis fehlenden FIa.che des oberen Segmentes und 2 a = n/2 ist die Entfernung des Schwerpunktes 5 der Basis­flache von 0 zu berechnen aus

(r2'rT - F) 05= r2 n r - F (~~ -L r), "" 12 F I

wo C = 2 r sin a die Sehne des Segmentes bedeutet. Hienach wird

worin

r3 n - F r - ~ r3 sin3 a 3 05= ---~- ---,

r2 n-F

F = r2 (a-sinacosa). Da (lg = r, (lr = R, so ist

d=O]= ;~r; somit folgt aus 05 = 0 j als Bedingung fUr indifferentes Gleichgewicht

R 3 ( . ) - = -.- n - a + sm a cos a -1 r 2sm3 a

und mit 2 a = n/2: R - = 11,12. r

5. Mit (lr = r, (lg = 2 r folgt aus -d1 = ~ - ~ :

(lg (lr

d=Oj = -2r, das heiBt der Wenclepol j liegt oberhalb des Drehpoles 0 symmetrischzu 0 1•

Das gesuchte MaD x ist zu berechnen aus aS < 2 r. Mit F als Flache der Platte ist die Entfernung ihres Schwerpunktes 5

von 0 1 zu berechnen aus

- 126 -

Losungen

---- 1 2 F. 01 S = 2 (R + a) 2 sin 2 a"3 (R + a) cos a +

. [ x J 1 2 2 R sin a + 2 (R + a) x sm a (R+a) cosa+ 2 -2 R2 2a 3 --z;-' worm

F = ~ (R + a)2 sin 2 a + 2 (R + a) x sin a -~- R2 2 a.

Mit den Angaben R = 2 r, a = r/2 und 2 a = n/3 wird

F = r2 (25 y"3 _ 2 n) + ~r x 16 3 2

und

-- 119 25 y- 5 r F.01S=-96r3+gr23x+4x2.

1

Da OS = 01 S - 2 r, so geht die Bedingung ° S < 2 r tiber in 01 S < 4 r oder mit ~ = x/r in

2 (5 y- ) (119 32n ;-) ~ + 2 3-8 ~+ 120+15-5 1;3 <0,

woraus folgt ~ < 3,91 oder x < 3,91 r.

b) Der beliebig gestiitzte Korper

Bei Gleichgewicht muB fUr eine kleine virtuelle Verschiebung die Arbeit 0 A der wirkenden Krafte verschwinden und im FaIle der Stabilitat muB auBerdem 02 A < 0 sein.

1. Esist oA=POy+QOY1. Mit den in Aufg. I, 21 angegebenen Beziehungen

yo Y = pox, y! 0 YI = P 0 Xv

ox + 0 Xl ~-= 0, erhalt man

(5 A = P (P - Q) 0 x. Y YI

o A = 0 gibt fUr die Gleichgewichtslage QP = Z (wie in Lasung I, 21) Y1

und da

~2X~ =p(-;-~~+y:2 ~~I)=p(-~2~ -y:2 :J= 2( P Q) =-p -+- <0,

y3 Y13

so folgt die Stabilitat dieser Gleichgewichtslage.

- 127 -

2 VIII. Stabilitat des Gleichgewichts. b) Der beliebig gestiitzte Korper

2. Sind Zl = -~- sin fJ, Z2 = 1 (sin fJ + ! cos a) die Hi:ihenlagen der

beiden Stabschwerpunkte tiber der waagrechten Sttitzebene, so ist bei Zunahme des Winkels fJ urn 15 fJ die virtuelle Arbeit

15 A = - G ( 15 Zl + 15 Z2) - P 15 x zu leisten, wobei

x = Bo B = 1 (cos fJ -sin a). Es ist

r5z1 = ~- cos fJ 15 fJ, r5z2 = 1 (cOSfJ 15 fJ --} sin a 15 a),

15 x = -l (sin fJ 15 fJ + cos a 15 a) . Aus der Konstanz von h = 1 (cos a + sin fJ) folgt

-sin a 15 a + cos fJ 15 fJ = 0, daher wird

15 Z2 = 15 Zl und 15 x = -l 15 fJ (sin fJ + ctg a cos fJ) und

~~ = 1 [P (sin fJ + ctg a cos fJ) -G cos fJJ.

15 A = 0 liefert das in Li:isung zu Aufg. I, f5 auf anderem Wege ge­wonnene Ergebnis

G P=--·

tg fJ + ctg a Bildet man

~2~ =z[p(CosfJ-sinfJctga- ~:2~ ~;) + G sin fJ}

15 a cos {J so wird mit S fJ = -. - und G = P(tg (J + ctg a)

u sma

15 2 A sins a - coss {3 --= PI .

15 {32 sins a cos {3

Die Bedingung ~2 {J~ -< 0 verlangt demnach: sin a < cos {J odeI'

cos (~ - a) < cos fJ, das heiBt

n Z-a > {J.

1st Bo der FuBpunkt des Lotes aus 0 auf die waagrechte Sttitzebene, so ist fUr die Sonderlage 0 ABo der beiden Stabe: n/2 -a = fJ, also

- 128 -

Losungen

r5 2 A dfi2=O.

3-4

J e nachdem der Stiitzpunkt E links oder rechts von Eo liegt, ist das Gleichgewicht stabil oder labil.

3. Es ist Zl = I coscp, Z2 = I cos1p und r5 A = G r5 Zl + Q r5 Z2'

Aus

und wegen 1p=n-2cp, r51p=-2r5cp wird

~: = 2Qlsin2cp-Glsincp

G und hieraus mit r5 A = 0: cp = 0 und cos cp = -.

4Q

Mit der Angabe Q = 2 G folgt die in Aufg. I, 31 auf anderem Wege erhaltene Lasung coscp = 1/8.

r5 2 A Da -b2=4Qlcos2cp-Glcoscp oder mit G=4Qcoscp:

cp

r5 2 A ~2 = 4 Q l (cos 2 cp - cos2 cp) = - 4 Q l sin 2 cp < 0,

so ist das Gleichgewicht stabil.

4. Der Zunahme des Zentriwinkels cp urn r5 cp entspricht die gerichtete virtuelle Verschiebung r5 5 = - e1 r r5 cp des Massenpunktes M und die virtuelle Arbeit

Da

r5 A = (iliA + IllB + (l) + 1») . r5 5.

iliA = - A (r e + a i), \l3B = fk (-r e + ai), (l)=Gj,

so kommt wegen e. e1 = 0 und i. e1 = - sin cp, i. e1 = - cos cp,

o A = r 0 cp [G cos cp - a (A -,u) sin cp],

woraus mit 0 A = 0 die Lasung in Aufg. I, 34:

G tgcp = ---~ a (A -,u)

folgt. Ferner wird 02A bcp2 = -r [Gsincp + a (A-,u) coscp],

oder mit G = a (A-,u) tgcp

02 A G r r a (A - !l) b cp2 = -Si~n-cp cos cp

Federhofer, Aufgaben 1 - 129 - 9

(a)

4 VIII. Stabilitat des Gleichgewichts. b) Der beliebig gestiitzte Korper

Je nachdem A ~ fl, liefert Gl. (a) einen spitzen oder stumpfen

15 2 A . . d GI' h . h Winkel cp, aber beidemale wird 15 cp2 < 0, somlt 1St as elc gewlc t

gegen aIle Storungen stabil.

Dies folgt auch daraus, daB bei einer klein en Verschiebung von M nach rechts hin die im Sinne der Bewegung wirkende Kraftkomponente von ~B verkleinert, die riickfiihrende Komponente von ~A vergroBert wird; das gleiche gilt bei Umkehrung des Richtungssinnes der Bewegung.

- 130-

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