Matemātika 11. klase

Jolanta Gundega BrokaDāvids Dāvis Gailītis

Algebriskas nevienādības

•< > - nestingrās nevienādības zīmes•≤ ≥ - stingrās nevienādības zīmes

Kvadrātnevienādības•ax²+bx+c<0 a≠0•Kvadrātnevienādības risinājuma soļi:1)Nosaka parabolas krustpunktus ar x asi, atrisinot vienādojumu ax²+bx+c=0D=b²−4ac x x2

•Ja  D > 0,vienādojumam ir divas dažādas saknes•Ja D = 0,vienādojumam ir divas vienādas saknes, parabolas virsotne atrodas uz ass•Ja D < 0,vienādojumam nav reālu sakņu,parabola x asi nekrusto

2) Ņemot sakņu skaitu un koeficienta a zīmi, skicē parabolas grafiku. Ja a > 0, tad parabolas zari vērsti uz augšu, ja a < 0, tad - uz leju.3) Izvēlas tukšus vai pildītus punktus, atkarībā no nevienādības zīmes veida: < > ০≤ ≥ ∙4) Iesvītro prasīto intervālu. 5) Uzraksta atbildi.

Daļveida nevienādības

•Par daļveida nevienādībām sauc tādas nevienādības, kurās mainīgais atrodas saucējā.

≤0Aizstājot ar nevienādību sistēmuRisina:1) visus locekļus pārnes vienā pusē (lai labajā pusē būtu 0 );2) pārveido izteiksmi par daļu (izveido kopsaucēju);3) Pārveido par nevienādību sistēmu un atrisina.

intervālu metode(grafiskais atrisināšanas paņēmiens)

Risina :1) Aprēķina saknes, skaitītāju pielīdzinot 0. f(x) = 0 2) Aprēķina polus (robežpunktus). Atceries - saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli. g(x)≠0 3) Saknes un polus atliek uz skaitļu taisnes (poli vienmēr ir tukši punkti), līdz ar to taisne ir sadalīta intervālos. 4) Nosaka daļas zīmi katrā intervālā. Zīmes var noteikt divos veidos - izmantojot grafiku skices vai arī izvēloties skaitli no intervāla un, ievietojot to daļā, iegūt pozitīvu vai negatīvu iznākumu. 5) Iekrāso tos intervālus, kuri atbilst uzdevumā prasītajam (ja vajag > 0, tad iekrāso +, ja < 0, tad iekrāso - ). 6) Uzraksta atbildi.

Nevienādības, kas satur moduli

Ģeometriskie pārveidojumiĢeometriskie pārveidojumi ir funkcijas, kas pēc noteikta likuma katram plaknes punktam piekārto tieši vienu noteiktu plaknes punktu.

Paralēlā pārnesePar figūru paralēlo pārnesi sauc attēlojumu, kurā katrs figūras punkts pārvietojas

vienā un tajā pašā virzienā par vienu un to pašu attālumu.

•Paralēlo pārnesi nosaka vektors, pa kuru šo pārnesi izdara.•Lai veiktu paralēlo pārnesi, ir jāzina virziens un attālums;•Lai paralēlajā pārnesē konstruētu daudzstūra attēlu, pietiek konstruēt tā virsotņu attēlus.Sākotnējā un paralēlajā pārnesē iegūtā figūra ir savstarpēji vienādas.

Aksiālā simetrija•Divus punktus A un B sauc par simetriskiem attiecībā pret taisni t, ja šī taisne ir perpendikulāra nogrieznim AB un iet caur tā viduspunktu.•Divas figūras sauc par simetriskām attiecībā pret taisni, ja katrs pirmās figūras punkts attēlojas par tam simetrisku otrās figūras punktu.

•Lai aksiālā simetrija būtu definēta, jābūt uzdotai simetrijas asij ( t. i. taisnei t).Aksiāli simetriskas figūras ir savstarpēji vienādas.

PagrieziensJa viena figūra iegūta no otras figūras, tās visus punktus pagriežot ap centru O par noteiktu leņķi, tad šādu figūras pārvietojumu sauc par pagriezienu.

•Jābūt uzdotam pagrieziena centram O un pagrieziena leņķim α . Pretēji pulksteņa rādītāju virzienam ir pozitīva pagrieziena leņķis, otrādi - negatīvs pagrieziena leņķis.

Ja pagrieziena leņķis ir 180 vai -180 grādi, tad figūra attēlojas par tai centrāli simetrisku figūru un šo pagriezienu sauc par centrālo simetriju.

HomotētijaHomotētija ir līdzības vispārinājums. Tas ir pārveidojums, kurā iegūst līdzīgas figūras (figūras, kuru atbilstošie leņķi ir vienādi un malas ir proporcionālas).•Homotētiskām figūrām ir spēkā līdzīgu figūru laukumu attiecības formula

•Lai homotētija būtu definēta, jābūt uzdotam homotētijas centram un koeficientam.

StereometrijaStereometrija pēta ģeometriskus ķermeņus un telpas figūras, kuru visi punkti neatrodas vienā plaknē.Stereometrijas pamatjēdzieni ir punkts, taisne, plakne.Pamatjēdzienu būtiskākās īpašības izsaka aksiomas(atzinumi, kas radušies praktiskā pieredzē):•Caur jebkuriem diviem punktiem var novilkt taisni, turklāt tikai vienu.•Caur jebkuriem trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, var novilkt plakni, turklāt tikai vienu.•Ja trīs punkti atrodas uz vienas taisnes, tad caur tiem var novilkt bezgalīgi daudz plaknes.•Ja divi taisnes punkti pieder pie plaknes, tad taisnes visi punkti pieder pie šīs plaknes.•Ja divām plaknēm ir kopīgs punkts, tad tām ir kopīga taisne, uz kuras atrodas visi šo plakņu kopīgie punkti.

Taisnes un plaknes savstarpējais novietojums

•Taisne atrodas plaknēa α

•Taisne krusto plaknia ∩ α

•Taisne un plakne ir paralēlasa II α

Divu plakņu savstarpējais novietojums

•Divas plaknes var sakrist - atrasties viena uz otras.

•Divas plaknes var šķelties pa plakņu šķēluma līniju.

•Plaknes var būt paralēlas.

Paralēlā projekcijaProjecēšana – telpisku ķermeņu attēlošana plaknē.Paralēlās projekcijas īpašības:•Taisnes paralēlā projekcija ir taisne vai punkts.•Paralēlā projicēšanā taisnes nogriežņu attiecība ir vienāda ar projekciju attiecību.•Paralēlā projicēšanā paralēlu taišņu projekcijas ir paralēlas taisnes vai punkti.•Paralēlā projicēšanā paralēlu taišņu nogriežņu attiecība ir vienāda arprojekciju attiecību.

Centrālā projekcijaJa visi projicējošie stari iziet no viena punkta, tad šo projicēšanas metodi sauc par centrālo projicēšanu. Šo punktu sauc par projicēšanas centru Iegūto attēlu – par telpiskās figūras centrālo projekciju.

Daudzskaldņa šķēlums ar plakniPar telpiska ķermeņa šķēlumu ar plakni sauc plaknes un ķermeņa kopīgo daļu.Īpašības:•Ja divi punkti pieder šķēluma plaknei, tad taisne, kas novilkta caur šiem punktiem, arī pieder šķēluma plaknei.•Ja taisne pieder šķēluma plaknei, tad katrs tās punkts arī pieder šķēluma plaknei.•Ja šķēlums iet caur vienu no paralēlām plaknēm, tad tas šķeļ arī otru plakni un šķēluma līnijas paralēlajās plaknēs ir paralēlas.

Slīpne un tās projekcija plaknē

Nogriezni, kurš nav perpendikulārs plaknei un kura viens galapunkts atrodas plaknē, sauc par slīpni pret plakni.

Novelkot perpendikulu pret plakni no slīpnes punkta A, Iegūst nogriezni CB, kas ir slīpnesprojekcija plaknē.

Leņķis, ko veido slīpne ar plakni ir CBA∢

Divplakņu kakts

Par divplakņu kaktu sauc figūru, kuru veido divas pusplaknes ar kopīgu robežu, ja abas pusplaknes neatrodas vienā plaknē.

•Abas pusplaknes sauc par divplakņu kakta skaldnēm. •Kopīgo taisni par divplakņu kakta šķautni.

Statistika

• Statistika ir matemātikas nozare, kas pēta datu savākšanas, sistematizēšanas u.c. metodes.

15.04.23

Visi elementi Ģenerālkopas daļa, kas ir atlasīta praktiskai novērošanai, lai spriestu par visas ģenerālkopas īpašībām.Tā ir reprezentatīva, ja dabiski sadalās apakškopās atbilstoši katra elementa apjomam.

15.04.23

Diskrēti Nepārtraukti

• Datus pieraksta biežuma tabulās

• Datus prezentē histogrammās un poligonos

15.04.23

15.04.23

Standartnovirze raksturo datu izkliedi ap aritmētisko vidējo.

Korelācija raksturo datu kopu savstarpējo saistību.

15.04.23

Kombinatorika

Saskaitīšanas likums Reizināšanas likums

15.04.23

N elementi

K elementi

N+K veidos

Cik veidos var izvēlēties 1 elementu ?

N∙K veidos

Cik veidos var izvēlēties elementu pāri no abām grupām ?

15.04.23

Variācijas elementu skaits

Kopas elementu skaits

Kopas elementu skaits

Kombinācijas elementu skaits

Varbūtību teorija

15.04.23

NOTIKUMS

LABVĒLĪGIE IZNĀKUMI

DROŠS NOTIKUMS

NEIESPĒJAMS NOTIKUMS

Var izpildīties Vienmēr realizējas Nevar realizēties

15.04.23

PrizmaPar prizmu sauc daudzskaldni, kura divas skaldnes ir vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs, bet pārējās skaldnes ir paralelogrami.Skaldnes, kas atrodas paralēlās plaknes, sauc par prizmas pamatiem, bet pārējās - par prizmas sānu skaldnēm.Atkarībā no pamata, prizmas sauc par trijstūra, četrstūra, sešstūra utt. prizmām.

Prizmas diagonālšķēlums

•Par prizmas diagonāli sauc nogriezni, kas savieno prizmas abu pamatu divas virsotnes, kuras neatrodas vienā skaldnē (FD un EC).•Par prizmas diagonālšķēlumu sauc šķēlumu ar plakni, kas novilkta caur divām sānu šķautnēm, kuras nepieder vienai sānu skaldnei.

•Prizmu, kuras sānu šķautnes ir perpendikulāras prizmas pamatiem, sauc par taisnu prizmu.•Prizmu, kuras sānu šķautnes nav perpendikulāras pamatiem, sauc par slīpu prizmu.

Prizmas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no viena prizmas pamata pret otru.

•Prizmas sānu virsmas laukums ir visu prizmas sānu skaldņu laukumu summa.Staisnas prizmas sānu virsma=P ∙ H P-prizmas pamata

daudzstūra perimetrs H-prizmas augstums

•Prizmas pilnas virsmas laukums ir visu skaldņu laukumu summa.Spilnai virsmai=Ssānu virsmai+2Spamatam

•Prizmas tilpums

V= Spamatam ∙ H

15.04.23

Paldies, čabulīši, par uzmanību!