Presstern Memorator Matematica de Trecere
Transcript of Presstern Memorator Matematica de Trecere
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
1/16
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
2/16
Cuprins
1. Operaţii cu numere reale .................................... 11.1. Radicali, puteri .............................................................................. 11.1.1. Puteri .......................................................................................... 1
1.1.2. Radicali ...................................................................................... 1
1.2. Identităţi ........................................................................................ 2
1.3. Inegalităţi ...................................................................................... 3
2. Funcţii .................................................................. 62.1. Noţiunea de funcţii ....................................................................... 6
2.2. Funcţii injective, surjective, bijective ........................................... 62.3. Compunerea funcţiilor .................................................................. 7
2.4. Funcţia inversă .............................................................................. 8
3. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi ...................... 83.1. Ecuaţii de gradul întâi ................................................................... 8
3.2. Inecua¸tii de gradul întâi ............................................................... 9
3.3. Modul unui număr real ............................................................... 10
4. Numere complexe .............................................. 124.1. Forma algebrică .......................................................................... 12
4.2. Puterile numărului i .................................................................... 13
4.3. Conjugatul lui z .......................................................................... 13
4.4. Modulul unui număr complex .................................................... 14
4.5. Forma trigonometrică ................................................................. 15
4.6. Formula lui Moivre ..................................................................... 16
4.7. Forma exponenţială .................................................................... 174.8. Ecuaţia binomă ........................................................................... 18
5. Progresii ............................................................. 185.1. Progresiile aritmetice .................................................................. 18
5.2. Progresiile geometrice ................................................................ 19
6. Logaritmi ........................................................... 206.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale ............................ 22
6.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale .......................... 22
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
3/16
7. Geometrie ........................................................... 237.1. Vectori ........................................................................................ 23
7.2. Adunarea vectorilor .................................................................... 25
7.3. Teoreme cu vectori ..................................................................... 30
7.4. Geometrie analitică în plan şi în spaţiu ...................................... 34
7.4.1. Plan determinat de un punctşi doi vectori necolinari paraleli cu planul . 34
7.4.2. Plan determinat de trei puncte necolinare ............................... 36
7.4.3. Ecuaţia planului prin tăieturi ................................................... 37
7.4.4. Ecuaţia generală a planului ...................................................... 37
7.4.5. Poziţia planelor ........................................................................ 38
7.5. Ecuaţia dreptei ............................................................................ 39
7.5.1. Ecuaţia dreptei determinat de un punctşi de un vector paralel cu dreapta .. 39
7.5.2. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 41
7.5.3. Ecuaţia generală a dreptei ........................................................ 41
7.5.4. Ecuaţia dreptei în plan ............................................................. 42
7.5.5. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 42
7.5.6. Unghul determinat de două drepte .......................................... 43
7.6. Distanţa la un punct la o dreaptă (în plan) .................................. 44
7.6.1. Ecuaţia bisectoarei (în plan) .................................................... 44
7.7. Distanţa la un punct la o dreaptă (în spaţiu) ............................... 45
7.8. Cercul .......................................................................................... 467.9. Elipsa .......................................................................................... 46
7.10. Hiperbola .................................................................................. 48
7.11. Parabola .................................................................................... 49
7.12. Alte aplicaţii cu vectori ............................................................ 50
8. Metoda inducţiei matematice ........................... 518.1. Axioma de recurenţă a lui Peano ................................................ 51
8.2. Metoda unducţiei matematice ..................................................... 51
8.3. Variantă a metodei inducţiei matematice ................................... 52
9. Analiză combinatorie ........................................ 529.1. Permutări..................................................................................... 52
9.2. Aranjamente ................................................................................ 52
9.3. Combinări ................................................................................... 53
9.4. Binomul lui Newton ................................................................... 54
9.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale ......... 55
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
4/16
10. Polinoame ......................................................... 5610.1. Forma algebrică a unui polinom ............................................... 56
10.2. Divizibilitatea polinoamelor ..................................................... 56
10.3. R ăd ăcinile polinoamelor ........................................................... 57
10.4. Ecuaţii algebrice ....................................................................... 58
10.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z ....................................... 58
11. Permutări, matrici, determinanţi ................... 5911.1. Permutări .................................................................................. 59
11.2. Matrici....................................................................................... 60
11.3. Determinanţi ............................................................................. 62
11.4. Inversa unei matrici .................................................................. 63
11.4.1. Tr(A) ...................................................................................... 63
11.4.2. Determinantul şi rangul ......................................................... 64
12. Sisteme liniare .................................................. 6612.1. Notaţii ....................................................................................... 66
12.2. Compatibilitatea ........................................................................ 67
12.3. Sisteme omogene (bi=0) ........................................................... 67
13. Trigonometrie .................................................. 68
13.1. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie ................................. 71
14. Analiză matematică ......................................... 7414.1. Recurenţe .................................................................................. 74
14.1.1. Recurenţe de ordin 1 .............................................................. 74
14.1.2. Recurenţe de ordin al doilea .................................................. 74
14.2. Limita de şiruri ......................................................................... 74
14.2.1. Limite generale, criterii de convergenţă ................................ 76
14.3. Limite de funcţii ....................................................................... 8014.3.1. Operaţii cu limite de funcţii ................................................... 80
14.3.2. Limite tip ............................................................................... 81
14.4. Continuitatea funcţiilor ............................................................. 83
14.4.1. Teoreme pentru continuitatea funcţiilor ................................ 84
14.5. Funcţii derivabile ...................................................................... 86
14.5.1. Definiţia derivatei într-un punct ............................................ 86
14.5.2. Reguli de derivare .................................................................. 86
14.5.3. Derivatele funcţiilor elementare ............................................ 87
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
5/16
14.5.4. Derivatele funcţiilor compuse ............................................... 88
14.5.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare ...... 90
14.5.6. Proprietăţi ale funcţiilor derivabile ........................................ 91
14.6. Integrale .................................................................................... 91
14.6.1. Primitive ................................................................................ 91
15. Primitivele funcţiilor ....................................... 9215.1. Reguli pentru integrarea generală a funcţiilor .......................... 92
15.2. Primitivele funcţiilor raţionale ................................................. 93
15.3. Integrale cu r=(x2+a2)1/2 ............................................................ 96
15.4. Integrale cu s=(x2 –a2)1/2 ............................................................ 99
15.5. Integrale cu t=(a2 –x2)1/2 .......................................................... 100
15.6. Integrale cu R 1/2=(ax2+bx+c)1/2 ............................................... 101
15.7. Integrale de funcţii trigonometrice ce conţin numai sin ......... 10315.8. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai cos ........ 105
15.9. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai tan ........ 107
15.10. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin atât sin cât şi cos ... 107
15.11. Funcţii logaritmice ................................................................ 109
15.11.1. Proprietăţi ale integralei definite ....................................... 110
15.11.2. Teorema Fundamentală ..................................................... 112
15.11.3. Inegalităţi ........................................................................... 113
15.12. Alte teoreme ......................................................................... 11615.12.1. Funcţii primitivabile .......................................................... 116
15.12.2. Funcţii integrabile .............................................................. 117
15.12.3. Arii ..................................................................................... 117
16. Structuri algebrice ......................................... 11816.1. Grupul ..................................................................................... 118
16.1.1. Proprietăţi şi teoreme ........................................................... 119
16.2. Monoid .................................................................................... 12116.3. Inel .......................................................................................... 122
16.4. Corpuri .................................................................................... 122
17. Spaţii vectoriale ............................................. 124
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
6/16
1 Operaţii cu numere reale
1.1 Radicali,Puteri1.1.1 Puteri
1. am·n = am · an2. am · bm = (a · b)m3. am : an = am−n
4. am
: b
m
= (a : b)
m
5. a−m = 1
am
6. (am)n = amn.
Puterile numerelor reale se extiind atât pentru exponenţiraţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru puterile realefiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale.
Aceste puteri au proprietǎţi identice cu exponenţi nu-mere naturale.
1.1.2 Radicali
1. n√
a = a1n , a > 0;
2. n
1a
= 1n√ a = a− 1m ;
3. ( n√
a)n
= a;
4. n√
a · n√
b = n√
ab;
5. ( n
1
a)n =
1
a;
6. n√
a
· n√
b
· n√
c = n√
abc;
7. n√
a : n√
b = n
a
b;
1
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
7/16
8. m√
a · n√ a = nm√
an+m;
9. m√
a : n√
a = nm√
an−m;10. n
√ anm = a
m;
11. m√ an = an
m ;12. mn
√ amp =
n√
ap;
13. m√
ap · n√
bq = nm√
apn · bqm;14. m
n√
a = nm√
a;
15.√
a2 = |a|;16. 2n+1
√
−a =
−2n+1
√ a;
17.
a ±√ b =
a + c
2 ±
a − c
2 ,
c2
= a2 − b;
1.2 Identit ǎţi
Oricare ar fi x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R şi n ∈ N avem:1. a2 − b2 = (a − b)(a + b)2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax − by)2 + (ay + bx)23. ab − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)4. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
5. a3
+b
3
+c
3
−3abc = (a+b+c)(a2
+b
2
+c
2
−ab−bc−ca)6. ab + b3 + c3 = (a + b + c)3 − 3(a + b)(b + c)(c + a)7. a4 − b4 = (a − b)(a + b)(a2 + b2)8. a4 + b4 = (a2 + b2 − ab
√ 2)(a
2+ b
2+ ab
√ 2)
9. a5 − b5 = (a + b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)10. a6 + b6 = (a3 − 2ab2)2 + (b3 − 2a2b)2
11. an
−bn
= (a−
b)(
an−1
+an−2
b+
...+
abn−2
+bn−1
)
2
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
8/16
12. a2n+1 + b2n+1 =(a + b)(a
2n − a2n−1b + ... − ab2n−1 + b2n)
13. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
14. nj=1
a2
j
nj=1
x2
j
− nj=1
ajxj
2
=
1≤i
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
9/16
6. (a + b + c)
1
a+
1
b+
1
c
≥ 9,
a, b, c > 0;7. a2 + b2 + c2
≥ab + bc + ca;
8. a3 + b3 + c3 ≥ 3abc;9.
a1
a2+
a2
a3+ ... +
an−1
an+
an
a1≥ n;
10. (x2 + y2)(a2 + b2) ≥ (ax + by)2;11. (Bernoulli) Pentru orice x ∈ [−1,∞) şi α ∈ Q∗ \ {1}
avem: (1 + x)α ≤ 1 + αx, dacǎ α ∈ (0, 1) şi (1 + x)α ≥1 + α · x dacǎ α ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞).
12. Pentru orice ak ∈ R, k = 1, n şibk ∈ {−1, 1} avem cǎn
k=1
ak · bk ≤
nk=1
|ak|.
13. Dacǎ un =
1 + 1
n
n. Atunci şirul un este strict
descrescǎtor, adicǎ: un > un+1.
14. Pentru orice ak ≥ 0 numere reale avem cǎ:a1 + a2 + ... + an
n
≥ n√ a1a2 · ... · an ≥n
1a1
+ 1a2 + ... + 1an
.
Inegalitatea de mai sus, este numitǎ, inegalitatea medi-ilor. Egalitatea se obţine pentru a1 = ... = an.
15. a1 + a2 + ... + an
n≤
a2
1 + a2
2 + ... + a2n
n
4
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
10/16
16. (Cauchy-Buniakovsky-Schwarz) Dacǎ ak, bk ∈ Ratunci
n
k=1
a2
k · n
k=1
b2
k ≥ nk=1
akbk
2
17. (Cebisev) Pentru orice n ∈ N∗ şi ∀ak, bk ∈ R, k = 1, nesetén
1n
nk=1
ak · 1n
nk=1
bk ≤
1
n
nk=1
akbk
.
Egalitatea se obţine dacǎ ai = aj şi bi = bj i = j.18. (Huygens) Pentru orice n
∈N∗
\{1}
şi xk ∈R+ avem
cǎn
k=1
(1 + xk) ≥ (1 + n√ x1...xn)n
19. (Kantorovici) Fie [a, b] ⊂ R∗+ un interval, atunci dacǎxk ∈ [a, b] k = 1, n avem
nk=1
tkxk
nk=1
tk
xk
≤
(a + b)2
4ab
nk=1
tk
2.
5
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
11/16
7.5.2 Ecuaţia dreptei determinat de dou ǎ
puncte diferite
Similar, folosim ecuatţia de mai sus, pentru puntul M 1,şi pentru vectorul M 1M 2: M 1M 2 :
x − x1x2 − x1
= y − y1y2 − y1
= z − z1z2 − z1
. (23)
7.5.3 Ecuatţia generel ǎ a dreptei
Teoremǎ 7.6. Sistemul:
A1x + B1y + C 1z + D1 = 0
A2x + B2y + C 2z + D2 = 0 (24)
unde
A1 B1 C 1 D1A2 B2 C 2 D2
= 2.reprezint ̌ a o dreapt ̌ a.
41
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
12/16
7.5.4 Ecuaţia dreptei în plan
Similar ca şi în spacţiu. Fie e o drepatǎ în plan atunciecuatţia canonicǎ este:
x − x0 p
= y − y0
q(25)
Dacǎ e nu este paralel cu axa Oy atunci (adicǎ p =0), atunci pentru orice vector de direcţie avem cǎ
q
p= m
este constantǎ. Numǎrul m este numitǎ panta dreptei.Avem cǎ
m = tg α, (26)
unde α este unghiul determinat de dreapta e cu axa Ox.În acest caz dacǎ dreapta trece prin punctul
A(x0, y0) şi are panta m atunci ecuaţia dreptei este:
y
−y0 = m(x
−x0). (27)
Observaţie 7.3. Douǎ drepte sunt parelele dacǎ şi numai dacǎ pantadreptelor sunt egale.
Observaţie 7.4. Fie e1, e2 douǎ drepte perpendiculare. Fie d1( p1, q1)
şi d2( p2, q2) vectorii de direcţie. Evident cˇ a d1 ⊥ d2 , deci v1 ·v2 = 0. Cea ce înseamnˇ a p1 p2 + q1q2 = 0. Presupunem cˇ adreptele nu sunt paralele cu axa Oy atunci
e1 ⊥ e2 ⇐⇒ m1 · m2 = −1. (28)
7.5.5 Ecuaţia dreptei determinat de dou ǎ
puncte diferite
Fie M 1(x1, y1) şi M 2(x2, y2) douǎ puncte în plan. Atunciecuaţia dreptei care trece prin punctele M 1 şi M 2 are
42
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
13/16
vectorul de direcţie−−−−→M 1M 2(x2−x1, y2−y1), deci Ecuaţia
canonicǎ a dreaptei M 1M 2 este
x
−x1
x2 − x1 = y
−y1
y2 − y1 , (29)sau: x y 1x1 y1 1
x2 y2 1
= 0. (30)
7.5.6 Unghul determinat de dou ǎ drepte
Fie d1 şi d2 douǎ drepte. Atunci
m(d1, d2) =
arccos d1 · d2
|| d1
| | · | | d2
||
, d1 · d2 ≥ 0
π − arccos d1 · d2|| d1| | · | | d2||
, altfel.
Dacǎ luǎm în considerare cǎ
π − arccos x = arccos(−x),
pentru orice x
∈[
−1, 1] atunci avem cǎ:
m(d1, d2) = arccos | d1 · d2||| d1| | · | | d2||
, (31)
sau:m(d1, d2) =
arccos | p1 p2 + q1q2 + r1r2
| p21 + q
21 + r
21 ·
p22 + q
22 + r
22
.
43
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
14/16
13 Trigonometrie
1. sin2 x + cos2 x = 1;
2. 1 + tan2 x = 1
cos2 x;
3. 1 + cot2 x = 1
sin2 x;
4. sin x = cos
π
2 − x
;
5. cos x = sinπ
2 − x;6. tan x = cot
π
2 − x
;
7. cot x = tan
π
2 − x
;
8. tan x > x > sin x, ∀x ∈ 0,π
2;9. cos(x + y) =
cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y);
10. sin(x + y) =
sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x);
11. tan(x + y) = tan(x) + tan(y)
1 − tan(x) tan(y) ;
12. cot(x + y) = cot(x) cot(y) − 1
cot(x) + cot(y) ;
13. sin(x − y) =
sin(x) cos(y) − sin(y) cos(x);
68
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
15/16
14. cos(x − y) =
cos(x) · cos(y) + sin(x) · sin(y);
15. tan(x − y) = tan(x) − tan(y)1 + tan(x) tan(y)
;
16. cot(x − y) = cot(x) cot(y) + 1cot(y) − cot(y) ;
17. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x);
18. cos(2x) = cos2 x − sin2 x =
1 − 2sin2 x = 2 cos2 x − 1;
19. sin 3x = 3 sin x − 4sin3 x;20. cos(3x) = 4 cos3(x) − 3 cos(x);
21. cos
x
2
=
1 + cos(x)
2 ;
22. sin
x
2
=
1 − cos(x)
2 ;
23. tan
x
2
=
1 − cos x1 + cos(x)
;
24. cotx
2 =
1 + cos x
1 − cos(x
)
;
25. sin( p) + sin(q) =
2sin
p + q
2
· cos
p − q
2
;
26. sin(x) · cos(y) =
12
[sin(x + y) + sin(x − y)];
69
-
8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere
16/16
27. sin( p) − sin(q) =
2sin
p − q
2 · cos
p + q
2 ;
28. cos( p) + cos(q) =
2 cos
p + q
2
· cos
p − q
2
;
29. cos(x) cos(y) =
1
2 [cos(x + y) + cos(x − y)];30. cos( p) − cos(q) =
−2 sin
p − q2
· sin
p + q
2
;
31. sin(x) sin(y) =
1
2[cos(x − y) − cos(x + y)];
32. tan( p) ± tan(q) = sin( p ± q)cos( p) · cos(q) ;
33. cot( p) + cot(q) = sin( p + q)
sin( p)sin q;
34. sin(x) = 2 tan(x2 )
1 + tan2(x2
);
35. cos(x) =1 − tan2(x
2)
1 + tan2(x2
);
36. tan(x) =2 tan(x
2)
1 − tan2(x2
);
37. tan( x2
) = sin(x)1 + cos(x)
= 1 − cos(x)sin(x)
;
70