Presentación de calculo unidad 4

5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com

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Instituto Tecnológico Superior De Coatzacoalcos.

Ing. En Sistemas Computacionales.

Materia: Calculo Integral

Prof.: Nila Candelaria De La Cruz Tadeo

2do Semestre, Grupo B.

Alumno:

Luis Enrique Izquierdo Velasquez

Yolitzma López Blas Jonathan Díaz Cruz



4.1 DEFINICIÓN DE SERIE (FINITA E INFINITA).

4.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LARAZÓN (CRITERIO D´ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ(CRITERIO DE CAUCHY).

4.3 SERIE DE POTENCIAS4.4 RADIO DE CONVERGENCIA

4.5 SERIE DE TAYLOR

4.6 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTES LASERIE DE TAYLOR4.7 CALCULO DE INTEGRALES DEFUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DETAYLOR.

Unidad 4 Series



UNIDAD 4 SERIES

4.1 DEFINICIÓN DE SERIE (FINITA E INFINITA)



Cuando el número de términos es limitado, se dice que lasucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es

limitado, la sucesión o serie se llama una sucesión infinita o una

serie infinita.

El término general o término enésimo es una expresión que

indica la ley de formación de los términos.

Si la sucesión es infinita, se indica

por puntos suspensivos, como 1,4, 9,« n2,«.



4.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (CRITERIODE D´ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ

(CRITERIO DE CAUCHY).

A partir de una sucesión dada

y sumando sus términos sucesivamente, es

posible construir una nueva sucesión de la

siguiente forma:

S1 = a1

S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3. . .Sn = a1 + a2 +«+ an =

Las series convergen o divergen.

En cálculo, una serie diverge si no existe o si

tiende a infinito; puede converger

si para algún



CRITERIOS DECONVERGENCIA

Clasificar una serie es determinar si converge aun número real o si diverge ( u oscilante).Para esto existen distintos criterios que,aplicados a la serie en cuestión, mostrarán dequé tipo es (convergente o divergente).

CONDICI

N NECESARIA DE CONVERGENCIA

Si la serie es convergente entonces

Por tanto, si la sucesión no converge a cero entonces la serie

diverge necesariamente. En cam¡ io, si la sucesión converge a

0, no podemos afirmar nada so¡ re la convergencia de la

serie.

2. Si es convergente, su carácter y su

suma no cam¢ ian al sustituir grupos de

términos consecutivos por sus sumas (es decir,

asociando). Lo mismo ocurre cuando la serie

es divergente (Con una serie oscilante

no se verifica esto).

3. El carácter de una serie no se altera si sesuprime o se añade un número finito de

sumandos. Por tanto, si una serie esconvergente con suma S la serie o

¢ tenida al

suprimir los k primeros términos, seráconvergente con suma S - K, siendo K la sumade los términos suprimidos.

4. Si diverge entonces

tam¡ ién diverge.

5. Si divergen

simultáneamente

entonces tam¡ ién

diverge

Ejemplo 4

Por la condición necesaria de convergencia, l

a serie es divergente pues

Proposición 2 (Propiedades)

Sean dos series convergentes con sumas S £

y S2 respectivamente, entonces se cumple:



Sea una serie , tal que ak >¤

(serie de términos positivos). Si

existe con el criterio de Alembert

Establece, si:

L < 1, la serie es convergente.

L > 1 entonces la serie es divergente.

L=1, no es porsible desir algo sobre el comportamiento del tema.

ITE I E 'ALE E T( E A E LA A )

CRITERIO DE

RAABE

En este caso, es

necesario probar otrocriterio, como el criteriode Raabe. Que sugiere



CRITERIO DE CAUCHY ODE LA RAÍZ

Sea una serie , tal que ak > (serie de términos positivos). Y

supongamos que existe , siendo

Entonces, si:

L < 1, la serie es convergente.

L > 1 entonces la serie es divergente.

L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al

criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a

alguna conclusión.



4.3 SERIE DE POTENCIA

Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión

del tipo , en donde

Es decir

Por ejemplo

en donde todos los valen 1, o

y todos sus .

o

n

na x

g

§

0

nn

0 1 22

33

nn

a x = a + a x + a x + a x +....+ a x +...

g

§

0

n x = 1+ x + 2

x + 3 x +...+ n

x +...g

§

0

n

2 3

n1

n!x = 1 + x +

x

2!+

x

3!+...+

1

n!x +...

g

§

na =1

n!



Que se llama intervalo de convergencia o campo deconvergencia, y será divergente para valores de x fuera deeste intervalo.

Los extremos del intervalo deben examinarseseparadamente. Para toda serie dada debe formarse larazón de D´Alembert y determinarse el intervalo deconvergencia aplicándolo lo dicho en el criterio dealembert.



Si una serie de potencias S an xn converge para valores de x / ô xô <R y diverge para ô xô > R, al valor de R se llama radio deconvergencia de la serie y al conjunto -R < x < R se llama intervalode convergencia; el intervalo de convergencia puede o no incluir losextremos.

Veamos como se calcula el radio de convergenciaConsideremos la serie S an xn / S ô an xnô < ¥ .Si existe, para cada x es:Aplicando el criterio de D¢ Alembert para cada x

resulta;1.ô xô < 1 Þ S an xn converge y1.ô xô > 1 Þ S an xn diverge

Es decir, para ¹ 0 , la serie S an xn converge si ô xô < 1 / l = R y diverge si ô xô >1/l = R.Si l = 0 la serie converge para cualquier valor de x.En efecto " x : l . ô xô = 0 < 1; en este caso el radio de convergencia R = ¥Si l = ¥ , el radio de convergencia R = 0, es decir la serie solo converge para x = 0.

4.4 RADIO DE CONVERGENCIA



4.5 SERIE DE TAYLOR

DefiniciónLa serie de Taylor de una función f de números realeso complejos que es infinitamente diferenciable en unentorno de números reales o complejos a, es la seriede potencias:

Que puede ser escrito de una maner a más

compacta como

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota lan-énesima derivada de f en el punto a; laderivada cero de f es definida como la propia f

y ( x î a) ¥ y ! son ambos definidos como uno.

. ¿Qué es?

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cualse puede encontrar una solución aproximada a una función

¿Par a que sirve?La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de unafunción en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas enotro punto.Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unascuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un errorconocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie ennumero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales,logarítmicas etc...



Una serie de potencias de xconvergentes se adapta bien alpropósito de calcular el valor dela función que representa paravalores pequeños de x (próximosa ceros).

Ahora deduciremos un desarrollode potencias de x ²a siendo a unnúmero fijo. La serie que así seobtiene se adapta al objeto decalcular la función querepresenta para valores de x

cercanos a .



4. T I II T L

I T L .

n esta segunda forma el nuevo valor de f(x) cuando x cambia de x¦

a x¦

+ h sedesarrolla en una serie de potencias de h, que es el incremento de x.

jemplo. esarrollar sen x en una serie de potencias de h cuando x pasa a x¦ a

x¦

+h.



CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONESEXPRESADAS COMO SERIES DE TAYLOR

DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR

Se incluye la serie de Taylor como unaherramienta para la representación defunciones como una serie de potencias.También para calcular integrales definidas de

funciones con primitivas difícil de determinar.

La función

p(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2+..........+a n x n, en

la que los coeficientes a k sonconstantes, se llama polinomio de

grado n. En particular y=ax+b es un

polinomio de primer grado e

y=ax 2+bx+c es un polinomio de

segundo grado.

Los polinomios pueden considerarse las

funciones más sencillas de todas. Para

calcular su valor para una x dada, necesitamos

emplear únicamente las operaciones de

adición, sustracción y multiplicación; ni

siquiera la división es necesaria.



Los polinomios son funciones continuas para todo x y

tienen derivadas de cualquier orden. Además la

derivada de un polinomio es también un polinomio degrado inferior en una unidad, y las derivadas de orden

n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.

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