Homotecia

¿Dónde podemos observarlas?

Homotecia

Actividad 1

A

B

C D

E

A’

B’

C’ D’

E’

• Comprobar las propiedades que cumplen dos figuras homotéticas

1) Trazar las rectas que pasan por los puntos

correspondientes. 𝐴𝐴′,

𝐵𝐵′, 𝐶𝐶′, 𝐷𝐷′ 𝑦 𝐸𝐸′. 2) Comprobar que todas estas rectas se

intersectan en un mismo punto llamado O (Centro de homotecia)

3) Determina las siguientes medidas: OA, OB, OC, OD, OE, OA’, OB’, OC’, OD’ y OE’.

4) Comprueba si se cumple la siguiente proporción:

𝑂𝐴′

𝑂𝐴=

𝑂𝐵′

𝑂𝐵=

𝑂𝐶′

𝑂𝐶=

𝑂𝐷′

𝑂𝐷=

𝑂𝐸′

𝑂𝐸= 𝑘

𝑘: razón de homotecia

Actividad 2: Responde a las siguientes preguntas

Caso 1: con centro de homotecia en el origen (0,0) y razón de homotecia k > 1.

Aplicar una homotecia sobre el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, cuyos vértices son A(1,-1), B(1,1), C(0,1) y razón de homotecia 𝑘 = 3.

A

B C

• Cuando se aplica la homotecia, se comienza trazando los vectores desde el centro O, a cada uno de los vértices de la figura.

• En este caso, 𝑂𝐴 = 1, −1 , 𝑂𝐵 = 1,1 𝑦 𝑂𝐶 = (0,1) • Notar que las componentes del vector coinciden con las

coordenadas de los vértices. • Se pondera cada uno de los vectores por la razón de

homotecia (k=3)

Es decir, 3 𝑂𝐴 = 3, −3 , 3𝑂𝐵 = 3,3 𝑦 3𝑂𝐶 = 0,3 • Se trazan los nuevos vectores, desde el origen. En este

caso, el punto extremo se llamará imagen y se designará respectivamente como: 𝐴′, 𝐵′ 𝑦 𝐶′.

• Puedes comprobar si se cumplen las características de la Actividad 1.

A’

B’ C’

¿Cómo realizar una homotecia en el plano cartesiano?

Actividad 3

¿Cuál de las siguientes figuras representa una homotecia con centro en el origen (O) y razón de homotecia k=2?

a) Determina la imagen homotética de la figura dada con centro de homotecia en el

origen y factor de homotecia 2.

Actividad 4: Aplica las siguientes homotecias b) Determina la imagen homotética de la figura dada con centro de homotecia en el origen y

factor de homotecia 3.

Usando GeoGebra

• Ubica en el plano cartesiano, los puntos A, B y C. • Dibuja el polígono (triángulo) ∆ABC • Marca el punto de origen (0,0).

• Para aplicar la homotecia, desplegaremos el menú y buscaremos la opción “Homotecia”

• Una vez que hagas click en la opción, debes dar click en la figura (triángulo) y luego en el punto de origen.

Se abrirá la siguiente ventana, en este recuadro debes digitar el valor de la razón. En este caso, 𝑘 = 3

• Finalmente se determinará la figura que es imagen del triángulo ABC. • Compara esta imagen con la obtenida en la Actividad 2. • Puedes comprobar las características de la Actividad 1 usando las

aplicaciones de GeoGebra. Desafío: • Aplica dos homotecias más sobre el Triángulo ABC con centro de

homotecia en el origen pero, usando k = -2 y luego k = -1/3. • Observa.