Presentación de PowerPoint€¦ · 17 elementos Finalmente: como en la unión no se debe repetir...
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS INTERSECCIÓN La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B simultáneamente. La intersección se expresa en forma simbólica como: ∩= : ∈ ⋀ ∈ Si no hay elementos que pertenezcan tanto a A como a B, entonces la intersección es vacía y se denominan conjuntos disyuntos ∩= : ∈ ⋀ ∈ =∅
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
INTERSECCIÓN
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formadopor los elementos que pertenecen a A y B simultáneamente.La intersección se expresa en forma simbólica como:
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ⋀𝑥 ∈ 𝐵
Si no hay elementos que pertenezcan tanto a A como a B,entonces la intersección es vacía y se denominan conjuntosdisyuntos
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ⋀𝑥 ∈ 𝐵 =∅
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INTERSECCIÓN
En la figura la región coloreada derojo representa la intersección dedos conjuntos A y B
La intersección entre conjuntoscumple las siguientes propiedades:
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EJEMPLO
Dados los conjuntos:
𝐴 = 1,2,3,4,5 y 𝐵 = 5,6,7,8Hallar la intersección de A y B
A B
1
2 5
3
4
6
7
8
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INTERSECCIÓN
La intersección entre conjuntoscumple las siguientes propiedades:
𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 𝐴 ∩ ∅ = ∅
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ A
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ C) = (𝐴 ∩ B) ∩ C
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EJEMPLO
Dados los conjuntos:𝐴 = 𝑥: 𝑥 = 2𝑛 − 3⋀ 𝑛 ∈ ℕ y𝐵 = 0,−1,−2,−3,−4
Primero se determina por extensión el conjunto A, para comparar fácilmente loselementos de ambos conjuntos. Para esto se remplazan algunos números naturales en laexpresión: 2𝑛 − 3, de donde se obtiene que:
𝐴 = −3,−1,1,3,5,7 Luego 𝐴 ∩ 𝐵 = −3,−1
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EJEMPLO
Simbolizar la intersección que se representa en el siguientediagrama de Venn: Primero se tiene que la región sombreada
representa parte de los elementos quepertenecen a 𝐴 ∩ 𝐶Luego, se tiene que esta región tambiéncomprende parte de los elementos quepertenecen a 𝐵 ∩ 𝐶 .Finalmente se tiene que los elementos dela región pertenecen tanto a 𝐴 ∩ 𝐶 como a𝐵 ∩ 𝐶 . Por tanto el conjunto S que serepresenta en el diagrama de Venn sesimboliza así:
𝑆 = 𝑥: (𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶)
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UNIÓN
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por loselementos que pertenecen a A y o que pertenecen a B.La unión se expresa en forma simbólica como:
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ⋁𝑥 ∈ 𝐵
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UNIÓN
En la figura se muestra larepresentación en diagrama deVenn, la unión de los conjuntos A yB:
𝐴 𝐵𝑈
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La unión de conjuntos cumple lassiguientes propiedades
𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ A
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ C) = (𝐴 ∪ B) ∪ C
UNIÓN
𝐴 𝐵𝑈
𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈
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También existen otras propiedadesque relacionan la intersección y launión entre conjuntos cumple lassiguientes propiedades
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ C) = (𝐴 ∩ B) ∪ (𝐴 ∩ C)
UNIÓN
𝐴 𝐵𝑈
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ C) = (𝐴 ∪ B) ∩ (𝐴 ∪ C)
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EJEMPLO
Un supermercado ofrece unapromoción a sus clientes deproductos: champú y jabón. Elnúmero de personas queaprovechan la oferta se muestra enel siguiente diagrama de Venn
A B
9 6 11
¿cuantas personas compraron al menos uno de los dosproductos?
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
EJEMPLO
Primero: se tiene que para saber cuantaspersonas compraron al menos uno de losdos productos se debe determinar la
cantidad de elementos del conjunto 𝐴 ∪B
A B
9 6 11
Luego: el conjunto A tiene: 9+6= 15 elementos y el conjunto B tiene 11+6=17 elementos
Finalmente: como en la unión no se debe repetir un mismo elemento dosveces y hubo 6 personas que compraron champú y jabón, entonces lacantidad de elementos de 𝐴 ∪ B= 15 + 17 -6=26
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EJEMPLO
Primero: se tiene que para saber cuantaspersonas compraron al menos uno de losdos productos se debe determinar la
cantidad de elementos del conjunto 𝐽 ∪C
J C
9 6 11
Luego: el conjunto A tiene: 9+6= 15 elementos y el conjunto B tiene 11+6=17 elementos
Finalmente: como en la unión no se debe repetir un mismo elemento dosveces y hubo 6 personas que compraron champú y jabón, entonces lacantidad de elementos de 𝐽 ∪ C= 15 + 17 -6=26
Es importante aclarar queen este caso no serepresentan en eldiagrama de Venn loselementos de cadaconjunto, sino la cantidadde elementos que tiene.
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DIFERENCIA
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formadopor los elementos que pertenecen a A, pero que nopertenecen a B.La diferencia se expresa en forma simbólica como:
𝐴 − 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
La diferencia entre dos conjuntos ay b cumple las siguientespropiedades
DIFERENCIA
𝐴 − ∅ = 𝐴 𝐴 − 𝐴 = ∅
𝐴 − 𝐵 = ∅ si y solo si 𝐴 ⊆ 𝐵
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 si y solo si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Es importante aclarar que ladiferencia entre conjuntos nocumple la propiedad distributiva,es decir:
DIFERENCIA
𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
El complemento de un conjunto Acon respecto un conjunto universalU es el conjunto formado por loselementos de U que no pertenecena A. en forma simbólica elcomplemento de un conjunto sedefine como:
COMPLEMENTO
𝐴𝑐 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴 𝐴𝑐 = 𝑈 − 𝐴
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Determinar por extensión el conjunto 𝐴 − 𝐵 y representarloen un diagrama de Venn teniendo en cuenta que 𝐴 =1,2,3,4 , 𝐵 = 4,6,8 y el conjunto Universal es 𝑈 =𝑥 ∈ ℕ: 1 ≤ 𝑥 ≤ 10
EJEMPLO
41
2
3
6
8
5
9
7
10
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
EJEMPLO
41
2
3
6
8
5
9
7
10
El conjunto 𝐴 − 𝐵 es el conjunto de los elementos quepertenecen a 𝐴 y no pertenecen a 𝐵. Por tanto 𝐴 − 𝐵 = 1,2,3
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Representar un diagrama de Venn 𝐴𝑐 a partir del conjuntouniversal 𝑈 y del conjunto 𝐴
EJEMPLO
𝑈 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ
𝐴 = 𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
ae
i
b d
cf
hg
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DIFERENCIA SIMÉTRICA
La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es elconjunto formado por los elementos que pertenecen a 𝐴 ∪ B yque no pertenecen a 𝐴 ∩ B. En forma simbólica, la diferenciasimétrica se expresa como:
𝐴∆𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵)
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Simbólicamente se representa así:
DIFERENCIA SIMÉTRICA
𝐴∆𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵)
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
La diferencia simétrica entre dosconjuntos a y b cumple lassiguientes propiedades
DIFERENCIA SIMÉTRICA
𝐴 ∆ 𝐵 = 𝐵 ∆ 𝐴
𝐴∆𝐵= 𝐴 ∪ 𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐵)
𝐴∆𝐵= 𝐴 − 𝐵 ∪ (𝐵 − 𝐴)
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados los conjuntos 𝐴 = 1,3,4,5,7,8 y 𝐵 =
3,7,8,9,10,12 , determinar el conjunto 𝐴 ∆ 𝐵 yrepresentarlo en un diagrama de Venn
EJEMPLO
Primero, se determinan los conjuntos 𝐴 ∪ B 𝑦 𝐴 ∩ B, así
𝐴 ∪ 𝐵 = 1,3,4,5,7,8,10,12
𝐴 ∩ 𝐵= 3,7,8
Luego, se determinan los elementos que pertenecen a launión y no pertenecen a la intersección.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
EJEMPLO
Finalmente, se 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒:
𝐴 ∆ 𝐵 = 1,4,5,9,10,12
A B
3
7
8
1
4
5
9
10
12
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
EJEMPLO
En una encuesta se les preguntó a los estudiantes queactividad preferían realizar en su tiempo libre: Vertelevisión o navegar por internet . Al respecto se obtuvieronlos siguientes resultados: 38 estudiantes prefieren vertelevisión y navegar por internet, 120 prefieren vertelevisión, 90 y navegar por internet y 20 prefieren realizarotras actividades.
EJEMPLO
En una encuesta se les preguntó a los estudiantes que actividad preferían realizar en su tiempo libre: Ver televisión o navegar por internet . Al respecto se obtuvieron los siguientes resultados: 38 estudiantes prefieren ver televisión y navegar por internet, 120 prefieren ver televisión, 90 y navegar por internet y 20 prefieren realizar otras actividades.
38
120
8252
20
EJEMPLO
• ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?
3882 52
20
• ¿Cuántos estudiantes prefieren ver televisión únicamente o navegar por internet únicamente?
• Encuestados=82+38+52+20=192
𝐴 ∆ 𝐵
• Nos preguntan por:
82+52=134
REPASO
REPASO
REPASO
REPASO
REPASO
REPASO
DIFERENCIA
