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Florida-Paris Workshop on Granular Fluids 1
Ruptura de la equiparticiónde energía en mezclas granulares fluidas
Andrés Santos∗
Departamento de Física, Universidad de Extremadura, Badajoz
*En colaboración con J.W. Dufty
Ciclo de seminarios del Dpto. de Física
13 de noviembre, 2003
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Ciclo de seminarios del Dpto. de Física
13 de noviembre, 20032
Plan de la charla
Introducción (3-5)Teoría cinética (6-8)Ejemplos (9-13)Diagramas de fase (14-24)Conclusiones (25-26)
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Ciclo de seminarios del Dpto. de Física
13 de noviembre, 20033
Mezcla granular binaria
a221
m1
a12
2m2
a11
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13 de noviembre, 20034
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Ciclo de seminarios del Dpto. de Física
13 de noviembre, 20035
Formulación del problema
Mezcla binaria de esferas duras inelásticas
Especie pesada (1):m1, 1, x1=n1/n, a11, a12.
Especie ligera (2):m2, 2, x2=n2/n=1-x1, a22, a21= a12.En el estado de enfriamiento homogéneo,m1àm2ï‚v1
2Ú/‚v22Ú=?
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13 de noviembre, 20036
Ecuación de Enskog-Boltzmann
Tasas de enfriamiento Tasas de termalización
Frecuencia de colisión efectiva
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13 de noviembre, 20037
Parámetro de “orden”
Condición para valor estacionario:
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13 de noviembre, 20038
Aproximación maxwelliana
tasas de enfriamiento tasas de termalización
Colisiones elásticas: φ=h2ïT1/T2=1 ¡Equipartición de energía!
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13 de noviembre, 20039
Unos cuantos ejemplos representativos
1. Colisiones cruzadas cuasi-elásticas:α11= α22=1, 1−α12=O(h2)
Ruptura débil de la equipartición de energía Estado “normal”f~h2, T1~ T2
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13 de noviembre, 200310
2. Colisiones cruzadas inelásticas :α11= α22=1, 1−α12=Ο(1)
No dinámica browniana (x1ö0)
No gas de Lorentz (x2ö0)Independientemente de las concentracionesï
Ruptura fuerte de la equipartición de energíaf~1, T1/ T2ö¶ Estado “ordenado”
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13 de noviembre, 200311
3. Colisiones pesada-pesada inelásticas:α12= α22=1, 1−α11=Ο(1)
De nuevo, ruptura fuerte de la equipartición de energía
Estado “sub-normal”
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13 de noviembre, 200312
4. Colisiones ligera-ligera inelásticas + tamaños dispares:α11= α12=1, 1−α22=Ο(1), si~mi1/3
Intermedio entre los estados normal y ordenado
Estado“sub-ordenado” (o “super-normal”)
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13 de noviembre, 200313
5. Colisiones ligera-ligera inelásticas + límite browniano:α11= α12=1, 1−α22=Ο(1), x1= Ο(h2)
Ruptura muy fuerte de la equipartición de energía
Estado “super-ordenado”
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13 de noviembre, 200314
Clasificación de los estados
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13 de noviembre, 200315
Leyes de escala
a1=0ïColisiones pesada-pesada inelásticasa1=¶ï Colisiones pesada-pesada elásticas
b=0ï Colisiones cruzadas inelásticasb=¶ï Colisiones cruzadas elásticas
a2=0ï Colisiones ligera-ligera inelásticas + tamaños comparablesa2=¶ï Colisiones ligera-ligera elásticas
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Diagrama de fases (concentraciones finitas)
Colisiones cruzadas inelásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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13 de noviembre, 200317
Diagrama de fases (concentraciones finitas)
Colisiones cruzadas débilmente cuasi-elásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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13 de noviembre, 200318
Diagrama de fases (concentraciones finitas)
Colisiones cruzadas cuasi-elásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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Diagrama de fases (concentraciones finitas)Colisiones cruzadas fuertemente cuasi-elásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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Diagrama de fases (concentraciones finitas)
Colisiones cruzadas inelásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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13 de noviembre, 200321
Diagrama de fases (Límite browniano)
Colisiones cruzadas inelásticas
(I)
(II)
Líneas críticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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13 de noviembre, 200322
Líneas críticas (Límite browniano)
(I) x1~h2, b2ö0
(I)
(II)
(II) 1-a22~h2, x1/h2ö0
normal
sub-ordenado
ordenado
sub- ordenado
ordenado
normal
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13 de noviembre, 200323
Caso (II) 1-a22~h2, x1/h2ö0
2
2
2
2
2
2
2
2
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13 de noviembre, 200324
Caso (II) 1-a22~h2, x1/h2ö0¿Es fiable la aproximación maxwelliana?
b2=0.9
b2=1
b2=1.1
Maxwell-Boltzmann
=b2
Solución de la Ecuación cinética
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13 de noviembre, 200325
ConclusionesDependiendo de los parámetros de control (coeficientes de restitución,
cociente de tamaños y concentraciones), el cociente entre las velocidades cuadráticas medias ‚v1
2Ú/‚v22Ú (y entre las temperaturas parciales T1/T2)
en una mezcla granular con enfriamiento libre presentan una ricadiversidad de leyes de escala en el límite de masas disparesm1/m2ö¶. Los estados resultantes van desde el “sub-normal” (T1/T2ö0) al “super-ordenado” (‚v1
2Ú/‚v22Úö¶).
Si las colisiones cruzadas son inelásticas (a12<1), el estado es siempre “ordenado” (‚v1
2Ú/‚v22Ú~1). Por consiguiente, en este caso no
puede existir ni dinámica browniana (cuando x1 ö0 ) ni gas de Lorentz(cuando x2 ö0 ).
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13 de noviembre, 200326
ConclusionsUn estado “normal” (T1/T2~1) solamente es posible si los tres tipos de
colisión son suficientemente cuasi-elásticas.
Un estado “super-ordenado” sólo es posible en el límite browniano(cuando x1 ö0 ). No hay estado “sub-normal” en ese caso.
En el límite browniano existen líneas críticas en el diagrama de fases sobre las cuales el estado puede ser normal, ordenado o sub-ordenado.
El mismo escenario que en el caso de enfriamiento libre se da esencialmente en el caso de un sistema forzado externamente.
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Ciclo de seminarios del Dpto. de Física
13 de noviembre, 200327
¡GRACIAS!