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Preparação para o teste intermédio
de Matemática 8º ano
Conteúdos do 7º ano
Conteúdos do 8º ano
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Conteúdos do 8º Ano
Teorema de Pitágoras
Funções
Semelhança de triângulos
Ainda os números
Lugares geométricos
Estatística
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Conteúdos do 7º Ano
Do Espaço ao Plano
Semelhança de Figuras ( está abordado nos
conteúdos do 8º ano)
Conhecer melhor os números
Conjuntos e operações
Equações
Proporcionalidade direta
Estatística (está abordado nos conteúdos do 8º ano)
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Teorema de Pitágoras
Teorema:
Num triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos
catetos.
a
b
c
C2= a2+b2
Determinação da hipotenusa
h2 = 52 + 122
h2 = 25 + 144 h2 = 169 h = 13 cm
15 2 = c2 + 92
225 = c2 + 81 225 - 81 = c2
C2 = 144 C = 12
Determinação de um cateto
9 cm5 cm
12 cmc
15 cmh
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Semelhança de triângulos
Critérios de semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se:
Tiverem dois ângulos geometricamente iguais
Tiverem os três lados correspondentes diretamente proporcionais
Tiverem dois lados diretamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual
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Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
1. Determina a altura da árvore.
• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes?
Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.
• Determinação da altura da árvore.
5,2 = h h = 5,2 x 0,8 : 1,6
1,6 0,8
h = 5,2 x 0,8 : 1,6
h = 2,6 m
A altura da árvore é de 2,6 metros.
3,6 + 1,6 = 5,2 m
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Semelhança de triângulos
Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes
Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então:
• A razão entre os perímetros de A e B é r.
• A Razão entre as áreas de A e B é r2.
PB:PA= r
AB:AA =r2
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Funções
Definição : Uma função é uma correspondência entre A e B
Formas de definir uma função:
•Por um diagrama
•Por uma tabela
•Por uma expressão analítica
•Por um gráfico
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Funções definidas por um diagrama
Ex. Não são funçõesEx. Funções
1234
-1-2-3
1
2
-1
2
1
2
3
-1-7-2-4-3
A B
Df = {1;2,3}
D’f = {-1;-2,-3}
Objetos: 1;2,3
Imagens: -1;-2;-3
A – Conjunto de Partida
B – Conjunto de chegada
f ( 2 ) = -2
f ( x ) = -x
f
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Funções definidas por uma Tabela
Df = {1;2,3;4}
D’f = {4;8;12;16}
Objetos: 1;2,3;4
Imagens: 4;8;12;16
Variável independente: Lado do quadrado
Variável dependente: Perímetro do quadrado
f ( 2 ) = 8
f ( x ) = 4x
Seja a função f definida pela tabela seguinte
Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4
Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16
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Funções definidas por uma expressão analítica
Seja a função f definida pela seguinte expressão analítica
f(x ) = 2x -1
•Calcular a imagem sendo dado o objeto
f(3) = 2 x 3 -1 f(3) = 5
•Calcular o objeto sendo dada a imagem
f(x) = 152x – 1 = 15 2x = 15 + 1 2x = 16 x = 8
(3;5) e (8;15)pertencem á reta que é gráfico da função f.
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Funções definidas por um gráfico
•Variável independente: Peso
•Variável dependente: Custo
•F( … ) = 12
•F(1) = …..
•Tipo de função: Linear
•Expressão analítica: f(x) = 6x
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Ainda os Números
oMúltiplos e divisores
oPotências
oNotação cientifica
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Múltiplos e divisores ( m.m.c)
1º processoM12 = {0;12;24;36;48;60…}
M30 = {0;30;60…}
m.m.c = {60}
Determina o m.m.c(12;30)
2º processo12 2 30 26 2 15 33 3 5 51 1
12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5
m.m.c = 22 x 3 x5 = 60
Produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados ao maior expoente
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Múltiplos e divisores ( M.d.c)
1º processoD12 = {1;2;3;4;6;12}
D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}
M.d.c = {6}
Determina o m.d.c(12;30)
2º processo12 2 30 26 2 15 33 3 5 51 1
12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5
M.d.c = 2 x 3 = 6
Produto dos fatores primos comuns elevados ao menor expoente
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Potências
Regras operatórias das potências
•Multiplicação
•Com a mesma base
2-2 x 27 = 25
•Com o mesmo expoente
(-2)3 x (-7)3 = 143
•Divisão
•Com a mesma base
2-2 : 27 = 2-9 =
•Com o mesmo expoente
(-24)3 : (-6)3 = 43
•Potencia de potência(23)5 = 215
3)2(
•Potencia de expoente inteiro negativo5-1 = 1
5
Potencia de expoente nulo50 = 1
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Notação Científica
Definição: Diz-se que um número está escrito em notação
cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se:
a x 10n , com 1≤a<10
Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica
253 x 10 -3 6769800 0,0000008 76,9 x 105
Operações com números escritos em notação científica
• Multiplicação
(2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105
• Divisão
(8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12
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Lugares geométricos
Uma circunferência é o lugargeométrico dos pontos do plano quesão equidistantes de um ponto fixo
chamado centro da circunferência.
O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.
exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.
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Lugares geométricos
Coroa circular:
É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r1 e menor ou igual a r2 de um ponto C.
r1
r2
Mediatriz de um segmento de reta
É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de reta [AB]
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Lugares geométricos
Bissetriz de um ângulo A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo.
•circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triangulo.
•Incentro - Ponto de intersecção das bissetrizes dos lados de um triangulo.
•Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo
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Lugares geométricos no espaçoSuperfície esférica e esfera
Ao lugar geométrico dos pontos do espaçoequidistantes de um ponto fixo chamadocentro, dá-se o nome de superfícieesférica.
A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menordistância de um ponto fixo chamado centro.
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Lugares geométricos no espaçoPlano mediador
O plano mediador de umsegmento de reta é o lugargeométrico dos pontos do espaçoequidistantes dos extremos dosegmento de reta.
O plano mediador é perpendicularao segmento de reta e contém oponto médio desse segmento dereta.
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Estatística
oRecolha de dados
oTabelas de frequências
oGráficos
oMedidas de tendência CENTRAL
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qualitativos
Representam a informação que não suscetível de ser medida, mas de ser classificação.
Exemplos:
-Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.
Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua.
Exemplo
quantitativos
Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.
Exemplo
Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.
Estatística – Recolha de dados
Tipo de dados
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Estatística - Contagem dos dados
36
37
38
39
40
total
1
2
2
7
3
18
41
42
2
1
Que número calças?
37;41;38;39;42;37;
40;39;41;39;39;40;
39;39;40;39;38;36
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Frequência absoluta (f)
Frequência relativa (fr)
Fr em percentagem
6 %
11 %
11 %
39 %
16 %
11 %
X 100%
1 : 18 = 0,06
2 : 18 = 0,11
2 : 18 = 0,11
7 : 18 = 0,39
3 : 18 = 0,16
1,00
36
37
38
39
40
total
41
42
1
2
2
7
3
18
2
1
2 : 18 = 0,11
1 : 18 = 0,06 6 %
100 %
Estatística - Tabelas de frequências
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Estatística - Gráficos de barras
Número do sapato dos alunos de uma turma
12 2
7
32
1
0
2
4
6
8
36 37 38 39 40 41 42
nº do sapato
frequ
enc
ia a
bso
luta
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Pictograma= 1 aluno
Número do sapato dos alunos do 7º F
36
37
38
39
40
41
42
nº do sapato
Estatística - Pictograma
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Estatística - Gráficos circulares
Frequência absoluta (f)
Graus
20º
40º
40º
140º
60º
360º
18 1
360
x
360
18 x 20x
36
37
38
39
40
total
41
42
1
2
2
7
3
18
2
1
40º
20º
18 2
360
x
360x2
18 x 40x
720
18 x
18 7
360
x
360x7
18 x 140x
2520
18 x
18 3
360
x
360x3
18 x 60x
1080
18 x
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Número do sapato dos alunos
38%
17%
11%
6% 6%11%
11%
36
37
38
3940
41
42
Estatística - Gráficos circulares
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Estatística – Medidas de tendência central
Frequência absoluta (f)
36 1
37 2
38 2
39 7
40 3
41 2
42 1
Total 18
36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+42 1
18
X
36 +74 +76 +273 +120+82+42
18X
703
18X 39,1X
Média
A média do número do sapato dos alunos é 39,1
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Estatística – Medidas de tendência central
Frequência absoluta (f)
36 1
37 2
38 2
39 7
40 3
41 2
42 1
Total 18
Moda - É o valor que surge com mais
frequência se os dados são discretos.
Neste caso a moda é 39.
Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.
36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42
(39 + 39) : 2 = 39
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EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras .
3x+5=2-x+4
Sou equação
3+(5-2-4) = 3+1
Não sou equação
xxx 4322
3
1º membro 2º membro
• termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x
• incógnita: x
• termos com incógnita: 3x ; - x ;
• termos independentes: -2 ; -4
x2
3
x2
3
Equações
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Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira
183 x
6 SOLUÇÃO
verdadeiraproposição1863
127 x 1520 x
5 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO
Equações equivalentes: 127 x 1520 xMesmo conjunto solução
Equações
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Equações sem parênteses e sem denominadores
4365 xx•Resolver uma equação é
determinar a sua solução.
102 x
•efetuamos as operações.
2
10
2
2
x
•Dividimos ambos os membros
pelo coeficiente da incógnita.
Conjunto solução 5
5x
•Determinamos a solução.
4635 xx
•Numa equação podemos mudar
termos de um membro para o
outro, desde que lhes
troquemos o sinal
•Num dos membros ficam os
termos com incógnita e no
outro os termos independentes
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EQUAÇÕES COM PARÊNTESES
• simplificação de expressões com parênteses:
•Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
trocando os sinais dos
termos que estão dentro 53225322 xxxx
•Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
mantendo os sinais que
estão dentro. 15231523 xxxx
•Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses,
aplicando a propriedade
distributiva. 22661332 xxxx
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8625312 xxx
Como resolver uma equação com parênteses.
•Eliminar
parênteses.8661512 xxx
•Agrupar os
termos com
incógnita.
8661152 xxx
•Efetuar as
operações
312 x
•Dividir ambos os membros
pelo coeficiente da incógnita
12
3
12
12
x
4
1x •Determinar a solução, de
forma simplificada.C.S =
4
1
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EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
436 3
3
4
2
2
1 xx
•Começamos por reduzir todos os
termos ao mesmo denominador.
12
412
12
6
12
6 xx
12
412
12
66 xx
•Duas frações com o mesmo
denominador são iguais se os
numeradores forem iguais. xx 41266
•Podemos tirar os
denominadores desde que sejam
todos iguais.
12646 xx
182 x
92
18x
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Esta fração pode
ser apresentada da
seguinte forma 2
3
2
5
2
2
2
3
xx
Sinal menos antes de uma fração
2
3523
xx •O sinal menos que se encontra antes da
fração afeta todos os termos do numerador.
1(2) (6) (3) (3)
22
18
3
21 xx
7
43
7
43437
348234
334842
xxx
xx
xx
2
18
3
21 xx
•Começamos por “desdobrar” a
fração que tem o sinal menos
antes.(atenção aos sinais!)
•Reduzimos ao mesmo
denominador e eliminamos os
denominadores.
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EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES
•Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores
3
12
22
13
xxx
3
1
3
2
22
3
2
3
xxx
(3) (3) (3) (2) (2)
24399 xxx 29439 xxx
112 x 2
11
2
11
xx
C.S.=
2
11
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Proporcionalidade direta
Dados dois números a e b (com 0b ), a razão entre a e
b representa-se por:
:a b ou a
b (ler: razão de a para b ).
Termos
a antecedente
b consequente
•Razão
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GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo 3
A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo.
Número de iogurtes 1 2 3 4 ...
Preço (em €) 0,50 1 1,50 2 ...
Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de
iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro
do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.
Número de iogurtes 1 2 3 4 ...
Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...
Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.
3
2
3
2
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PROPORCIONALIDADE DIRECTA E TABELAS. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE
Número de iogurtes 1 2 3 4 ...
Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...
Na prática, como reconhecer se uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade
directa?
Observa a tabela e completa:
0,5
1 ;
1
2 ;
1,5
3 ;
2
4 ; ...
Logo,
0,5 1 1,5 2...
1 2 3 4
Custo
Número de iogurtes =
ou seja,
o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a .
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
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Sendo assim, diz-se que:
O custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.
Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade
e representa o preço de 1 iogurte.
De um modo geral,
Se numa tabela cada
valor de uma linha se
obtém multiplicando
(ou dividindo) o valor
correspondente da
outra linha sempre
pelo mesmo número,
então as grandezas
nela representadas
são directamente
proporcionais.
A grandeza y é directamente proporcional à grandeza x
se existe um número k, de modo que:
y
kx ou y kx ;
se y é zero, x também é zero.
Ao número k chama-se constante de proporcionalidade.
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Preço(em €)
n.º iogurtes1 2 3
O,5
1
1,5
PROPORCIONALIDADE DIRECTA E GRÁFICOS CARTESIANOS
Número de iogurtes 1 2 3 4 ...
Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...
Exercício 1
Com base na tabela, constrói um gráfico cartesiano que relacione o preço com a quantidade
de iogurtes.
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Percentagens
5 % de 120 chocolates são _______ 0,05 x 120 = 6
6 chocolates em 50 são ___%50------- 100% x = 6 x 100 : 50
6 -------- x
150 acrescidos de 10% são ____
150 + 10% de 150 = 150 +15 = 165
500 com um desconto de 20% ____500 - 20% de 500 = 500-100 = 400
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Resolução de problemas envolvendo Percentagens
1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.
Sabendo que o IVA é 21%, quanto é o valor, em euros, do
IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?
21% de 300 = 300 x 21% = 63
300 + 63 = 363
O preço final do sofá é 363 euros.
2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto?
Euros %56 -------------------------- 10042 --------------------------- x x = 42 x 100 : 56 = 75%100 – 75 % = 25 % O desconto foi de 25%.
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Conjuntos numéricos
IN
Q
Z
IN0
-3 -56
-12 -4
0
4
1
3
14
9
6
IN - Conjunto dos números Naturais
IN = {1;2;3;4;5;6…}
IN0 - Conjunto dos números Inteiros
IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…}
Z - Conjunto dos números Inteiros
relativos
Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}
Q- Conjunto dos números racionais
Q = z U { números fracionários}
Completa com os símbolos ; ; ; -1 ….. N 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… N 3 …… N 4 …… Z- N…… Z 2,3 …… Q