Prepa Nº 1 (Superficies Parametrizadas)

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Matemticas VI (MA-2113)

Universidad Simn Bolvar.

Matemticas VI (MA-2113).

Preparadura n 1.

[email protected] ; @ChristianLaya

Superficies parametrizadas

Superficies parametrizadas:

Una superficie parametrizada es una funcin donde D es algn dominio en . La

superficie , que corresponde a es su imagen . Podemos escribir:

Las cuales, son ecuaciones paramtricas de en forma vectorial.

rea de una superficie:

Sea una superficie suave definida por una parametrizacin , donde D es un dominio

regular, es de clase y uno a uno. En este caso, el rea de la superficie se define por:

Siendo:

As, la longitud del vector normal vendr dado por:

Si la superficie est dada de forma explcita, por ejemplo, (f es de clase y consideramos x e y como funciones de u y v), el vector normal vendr dado por:

El rea de la superficie ser:

2


Siendo .

1. Calcule el rea de la superficie dada por .

Solucin:

La superficie dada es una esfera de radio r centrada en el origen:

Tenemos que:

Consideramos slo la parte superior de la esfera para luego multiplicarla por dos y tener el rea total.

Mtodo 1: coordenadas cartesianas.

Entonces:

Buscamos el vector normal:

Teniendo:

Teniendo as:

3


Siendo . Graficamos:

Tomamos coordenadas polares:

Vemos que:

Entonces:

Mtodo 2: coordenadas esfricas.

Sin embargo, recordemos que representa la distancia desde el origen hasta cualquier punto de la esfera. En este caso:

La parametrizacin nos queda como:

Tales que:

Tenemos entonces:

4


Teniendo entonces:

Determinamos la longitud:

Entonces:

2. Dados , a y b constantes reales cualesquiera. Sea S la superficie que se obtiene al

intersectar el cono con . Halle el rea de S.

Solucin:

Graficamos la regin:

Tenemos que:

Parametrizamos la superficie:

5


Tenemos entonces:

Ahora bien:

As pues:

rea )

3. Calcule el rea total de la superficie del slido acotado por sus intersecciones con las superficies cuyas

ecuaciones son: lateralmente ; inferiormente ; superiormente .

Solucin:


Tenemos que:

Siendo cada superficie:

6


Primera superficie:

Parametrizamos mediante coordenadas cilndricas:

Sin embargo, slo nos interesan los puntos que estn sobre el borde (frontera) de la superficie:

Entonces:

Tal que:

Teniendo:

El rea ser:

Segunda superficie:

Parametrizamos:

Teniendo que:

As pues:

rea

7


Tercera superficie:

Parametrizamos:

Teniendo:

El rea ser:

rea

Finalmente:

4. Halle el rea del plano dentro del cilindro .

Solucin:

Tenemos que:


Parametrizamos:

As pues:

8


El rea ser:

rea

5. Halle el rea de la porcin del cilindro , cuyos puntos satisfacen la condicin:

Solucin:


Utilizamos coordenadas cilndricas para parametrizar:

Tenemos que:

La parametrizacin nos queda:

Tal que:

Pero como se tiene que:

9



La longitud del vector vendr dada por:

El rea ser:

6. Considere una esfera de radio a y centro en el origen, inscrita en el cilindro circular recto paralelo al

eje z definido por , con Calcule el rea de S, definida como la porcin obtenida por la interseccin de la esfera con el cilindro.

Solucin:

Tenemos que:


Parametrizamos la regin mediante el uso de coordenadas cartesianas:

10


Tenemos entonces:


Teniendo:

Teniendo as:

Siendo D la regin descrita por:

Utilizamos coordenadas polares para resolver la integral:

Vemos que:

Ahora bien:

Teniendo que:

Entonces:

11


Por cuestiones de comodidad resolvemos la integral indefinida mediante un cambio de variable:

Teniendo:

Pero como se tiene que:

7. Sea S la superficie definida por:

Halle el rea de S.

Halle el plano tangente a S en el punto (2,0,2).

Solucin:

Tomamos una parametrizacin en coordenadas cartesianas:

Entonces:


Teniendo as:

12


El rea ser:

rea )

Siendo .

Queremos buscar el plano tangente a la superficie en el punto (2,0,2). Para ello, debemos buscar cul

punto corresponde al (2,0,2).

De (1) y (2) concluimos que el punto ser . El plano tangente vendr dado por:

Integrales de funciones escalares sobre superficies

Sea una superficie parametrizada por tal que:

Sea una funcin continua con valores reales, definida en los puntos de . En este caso la integral

de f extendida sobre se define:

8. Sea la superficie lateral del cono

tal que y . Calcule:

Solucin:

Tenemos que:

13


Procedemos a parametrizar. Para ello, tomamos coordenadas cilndricas:

Tenemos que:

La parametrizacin nos queda:

Teniendo as:

Buscamos ahora la interseccin entre el cono y el plano :

De lo que se puede ver que:

Entonces:

9. Sea la parte del paraboloide que se proyecta sobre el plano xz en el crculo

. Calcule:

Solucin:

Utilizamos una parametrizacin en coordenadas cilndricas:

14


Pero como se tiene que .

Teniendo as:

Finalmente:

Recordemos que la integral:

Puede ser resuelta mediante un cambio de variable:

Teniendo entonces:

Evaluando entre 0 y 1 se tiene que:

Se agradece la notificacin de errores

Christian Laya

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