Materia: Fenómenos de transporte 27 agosto de 2014

Capítulo 0 “El tema de los fenómenos de transporte”

Preguntas para discusión

1. ¿Cuáles son las definiciones de cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y

energía cinética para una partícula simple? ¿Cuáles son las dimensiones de estas cantidades?

Cantidad de movimiento.- La cantidad de movimiento lineal de una partícula o un objeto que se

modela como una partícula de masa 𝑚 que se mueve con una velocidad:

�⃗� = 𝑚�⃗� [𝑝] = [𝑀𝐿𝑇−1]

Cantidad de movimiento angular.- La cantidad de movimiento angular instantánea �⃗⃗� de una

partícula en relación con un eje a través del origen 𝑂 se define mediante el producto cruz del

vector de posición instantáneo de la partícula 𝑟 y su cantidad de movimiento lineal instantánea 𝑝:

�⃗⃗� = 𝑟 𝑥 𝑝 [𝐿] = [𝑀𝐿2𝑇−1]

Energía cinética.- La energía que posee un sistema como resultado de su movimiento en relación con cierto

marco de referencia se llama energía cinética. Cuando todas las partes de un sistema se mueven con la

misma velocidad, la energía cinética se expresa como:

𝐾 =1

2𝑚𝑣2 [𝐾] = [

𝑀𝐿2

𝑇2]

2. ¿Cuáles son las dimensiones de velocidad, velocidad angular, presión, densidad, fuerza, trabajo y

momento de torsión? ¿Cuáles son algunas unidades comunes usadas para estas cantidades?

3. Verificar que es posible pasar de la ecuación 0.3-3 a la ecuación 0.3-4

Magnitud Dimensiones Unidades del SI Sistema Ingles

Velocidad

Velocidad angular

Presion

Densidad

Fuerza

Trabajo

Momento de torsion

𝑀

𝑇𝑚

𝑀𝑀−1

𝑇𝑟

= 𝑚

2

𝑀𝐿

𝑇2

𝑀

𝑇2𝐿

𝑚2 𝐾𝑝 𝑟 𝑚𝑚

= 𝑚 2

2

𝑀

𝐿

𝑚

𝑚

𝑀𝐿2

𝑇2𝐾 𝑚

𝑀𝐿2

𝑇2 𝑚

𝑟

(0 − 5)

𝑚𝐴1�̇�𝑨𝟏 +𝑚𝐴2�̇�𝑨𝟐 +𝑚𝐵1�̇�𝑩𝟏 +𝑚𝐵2�̇�𝑩𝟐 = 𝑚′𝐴1�̇�′𝑨𝟏 +𝑚′𝐴2�̇�′𝑨𝟐 +𝑚′𝐵1�̇�′𝑩𝟏 +𝑚′𝐵2�̇�′𝑩𝟐 (0.3-3)

Como 𝑚𝐴1 = 𝑚𝐴2 =1

2𝑚𝐴 , tenemos:

𝑚𝐴�̇�𝑨𝟏 +

𝑚𝐴�̇�𝑨𝟐 +

𝑚𝐵�̇�𝑩𝟏 +

𝑚𝐵�̇�𝑩𝟐 =

𝑚′𝐴�̇�′𝑨𝟏 +

𝑚′𝐴�̇�′𝑨𝟐 +

𝑚′𝐵�̇�′𝑩𝟏 +

𝑚′𝐵�̇�′𝑩𝟐

factorizando,

𝑚𝐴(�̇�𝑨𝟏 + �̇�𝑨𝟐) +

𝑚𝐵(�̇�𝑩𝟏 + �̇�𝑩𝟐) =

𝑚′

𝐴(�̇�′𝑨𝟏 + �̇�′𝑨𝟐) +

𝑚′

𝐵(�̇�′𝑩𝟏 + �̇�′𝑩𝟐)

tomando el ejemplo de �̇�𝐴1 = �̇�𝐴 + 𝑅𝐴1 y aplicándolo a la ecuación anterior tenemos entonces,

𝑚𝐴(�̇�𝑨 + 𝑅𝐴1 + �̇�𝑨 + 𝑅𝐴2) +

𝑚𝐵(�̇�𝑩 + 𝑅𝐵1 + �̇�𝑩 + 𝑅𝐵2) =

𝑚′𝐴(�̇�′𝑨 + 𝑅′𝐴1 + �̇�′𝑨 + 𝑅′𝐴2) +

𝑚′𝐵(�̇�′𝑩 + 𝑅′𝐵1 + �̇�′𝑩 + 𝑅′𝐵2)

Considerando que 𝑅𝐴2 = −𝑅𝐴1 entonces,

𝑚𝐴(�̇�𝑨 + 𝑅𝐴1 + �̇�𝑨 − 𝑅𝐴1) +

𝑚𝐵(�̇�𝑩 + 𝑅𝐵1 + �̇�𝑩 − 𝑅𝐵1) =

𝑚′𝐴(�̇�′𝑨 + 𝑅′𝐴1 + �̇�′𝑨 − 𝑅′𝐴1) +

𝑚′𝐵(�̇�′𝑩 + 𝑅′𝐵1 + �̇�′𝑩 − 𝑅′𝐵1)

reduciendo términos la ecuación queda de la siguiente manera

𝑚𝐴( �̇�𝐴) +

𝑚𝐵( �̇�𝐵) =

𝑚′𝐴( �̇�′𝐴) +

𝑚′𝐵( �̇�′𝐵)

finalmente llegamos a la ecuación:

𝑚𝐴�̇�𝑨 +𝑚𝐵�̇�𝑩 = 𝑚′𝐴�̇�′𝑨 +𝑚′𝐵�̇�′𝑩

4. Describir todos los detalles necesarios para obtener la ecuación 0.3-6 a partir de la ecuación 0.3-5.

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴 +

𝑚𝐵1�̇�𝐵1

2 +

𝑚𝐵2�̇�𝐵2

2 + ∅𝐵

=

𝑚′𝐴1𝑟 ′̇ 𝐴1

2 +

𝑚′𝐴2�̇�′𝐴2

2 + ∅′𝐴 +

𝑚′𝐵1�̇�′𝐵1

2 +

𝑚′𝐵2�̇�′𝐵2

2 + ∅′𝐵

Como �̇�𝐴12 = �̇�𝐴1�̇�𝐴1y �̇�𝐴1 = �̇�𝐴 + �̇�𝐴1 y sustituyendo en (0.3-5) tenemos,

𝑚𝐴1(�̇�𝐴 + �̇�𝐴1)

2+

𝑚𝐴2(�̇�𝐴 + �̇�𝐴2)

2+ ∅𝐴 +

𝑚𝐵1(�̇�𝐵 + �̇�𝐵1)

2+

𝑚𝐵2(�̇�𝐵 + �̇�𝐵2)

2+ ∅𝐵

=

𝑚′𝐴1(�̇�′𝐴 + 𝑅′̇ 𝐴1)

2+

𝑚′𝐴2(�̇�′𝐴 + �̇�′𝐴2)

2+ ∅′𝐴 +

𝑚′𝐵1(�̇�′𝐵 + �̇�′𝐵1)

2+

𝑚′𝐵2(�̇�′𝐵 + �̇�′𝐵2)

2

+ ∅′𝐵

Desarrollando el binomio

𝐵

𝑚𝐴1(�̇�𝐴

2 + �̇�𝐴�̇�𝐴1 + �̇�𝐴12 ) +

𝑚𝐴2(�̇�𝐴

2 + �̇�𝐴�̇�𝐴2 + �̇�𝐴22 ) + ∅𝐴 +

𝑚𝐵1(�̇�𝐵

2 + �̇�𝐵�̇�𝐵1 + �̇�𝐵12 )

+

𝑚𝐵2(�̇�𝐵

2 + �̇�𝐵�̇�𝐵2 + �̇�𝐵22 ) + ∅𝐵

=

𝑚′𝐴1(𝑟′̇𝐴

2 + 𝑟′̇𝐴�̇�′𝐴1 + 𝑅′̇ 𝐴12 ) +

𝑚′𝐴2(𝑟′̇𝐴

2 + 𝑟′̇𝐴𝑅′̇ 𝐴2 + 𝑅′̇ 𝐴22 ) + ∅′𝐴

+

𝑚′𝐵1(�̇�′𝐵

2 + �̇�′𝐵𝑅′̇ 𝐵1 + �̇�′𝐵12 ) +

𝑚′𝐵2(�̇�′𝐵

2 + �̇�′𝐵�̇�′𝐵2 + �̇�′𝐵22 ) + ∅′𝐵

Al realizar las operaciones nos queda

𝑚𝐴1�̇�𝐴

2 +𝑚𝐴1�̇�𝐴�̇�𝐴1 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴

2 +𝑚𝐴2�̇�𝐴�̇�𝐴2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴 +

𝑚𝐵1�̇�𝐵

2 +𝑚𝐵1�̇�𝐵�̇�𝐵1 +

𝑚𝐵1�̇�𝐵1

2 +

𝑚𝐵2�̇�𝐵

2 +𝑚𝐵2�̇�𝐵�̇�𝐵2 +

𝑚𝐵2�̇�𝐵2

2 + ∅𝐵 =

𝑚′𝐴1�̇�′𝐴

2 +𝑚′𝐴1�̇�′𝐴�̇�′𝐴1 +

𝑚′𝐴1�̇�′𝐴1

2 +

𝑚′𝐴2�̇�′𝐴

2 +𝑚′𝐴2�̇�′𝐴�̇�′𝐴2 +

𝑚′𝐴2�̇�′𝐴2

2 + ∅′𝐴 +

𝑚′𝐵1�̇�′𝐵

2 +𝑚′𝐵1�̇�′𝐵�̇�′𝐵1 +

𝑚′𝐵1�̇�′𝐵1

2 +

𝑚′𝐵2𝑟′̇𝐵

2 +𝑚′𝐵2�̇�′𝐵�̇�′𝐵2 +

𝑚′𝐵2𝑅′̇ 𝐵2

2 + ∅′𝐵

Ordenando

𝑚𝐴1�̇�𝐴

2 +𝑚𝐴1�̇�𝐴�̇�𝐴1 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴

2 +𝑚𝐴2�̇�𝐴�̇�𝐴2 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴�̇�𝐴�̇�𝐴1 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴�̇�𝐴�̇�𝐴2 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴�̇�𝐴�̇�𝐴1 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴

2 −

𝑚𝐴�̇�𝐴�̇�𝐴1 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴

𝑚𝐴�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴

𝑚𝐴�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴

𝑚𝐴�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴

𝑚𝐴�̇�𝐴

2 +

𝑚𝐴1�̇�𝐴1

2 +

𝑚𝐴2�̇�𝐴2

2 + ∅𝐴

𝑚𝐵1�̇�𝐵

2 +𝑚𝐵1�̇�𝐵�̇�𝐵1 +

𝑚𝐵2�̇�𝐵

2 +𝑚𝐵2�̇�𝐵�̇�𝐵2 +

𝑚𝐵1�̇�𝐵1

2 +

𝑚𝐵2�̇�𝐵2

2 + ∅𝐵 =

′𝐴

′𝐵

Los vectores cambian en su posición

pero el origen puede ser arbitrario por

lo que la ecuación no se modifica ni es

afectada por este hecho

𝑚′𝐴1�̇�′𝐴

2 +𝑚′𝐴1�̇�′𝐴�̇�′𝐴1 +

𝑚′𝐴2�̇�′𝐴

2 +𝑚′𝐴2�̇�′𝐴�̇�′𝐴2 +

𝑚′𝐴1�̇�′𝐴1

2 +

𝑚′𝐴2�̇�′𝐴2

2 + ∅′𝐴 +

𝑚′𝐵1�̇�′𝐵

2 +𝑚′𝐵1�̇�′𝐵�̇�′𝐵1 +

𝑚′𝐵2𝑟′̇𝐵

2 +𝑚′𝐵2�̇�′𝐵�̇�′𝐵2 +

𝑚′𝐵1�̇�′𝐵1

2 +

𝑚′𝐵2𝑅′̇ 𝐵2

2 + ∅′𝐵

Reduciendo términos la ecuación finalmente queda como:

(

𝑚𝐴�̇�𝐴

2 + 𝐴) + (

𝑚𝐵�̇�𝐵

2 + 𝐵) = (

𝑚′𝐴𝑟′̇𝐴

2 + ′𝐴) + (

𝑚′𝐵�̇�′𝐵

2 + ′𝐵)

5. Suponga que el origen de coordenadas se ha desplazado a una nueva posición. ¿Cómo afecta este

hecho a la ecuación 0.3-7? ¿Cambia la ecuación?

6. Compare y contraste la velocidad angular y la cantidad de movimiento angular

El movimiento angular se refiere al movimiento circular alrededor de una línea imaginaria llamada eje de

rotación, mientras que la velocidad angular se refiere a la velocidad rotacional de un objeto desarrollando

un ángulo en movimiento.

7. ¿Qué se entiende por energía interna?, ¿y energía potencial?

Energía interna:

La energía interna se define como la energía asociada con el movimiento aleatorio y desordenado de las

moléculas. Está en una escala separada de la energía macroscópica ordenada, que se asocia con los objetos

en movimiento. Se refiere a la energía microscópica invisible de la escala atómica y molecular.

Energía potencial:

(0 − 6)

Es la energía que posee un sistema como resultado de su elevación en un campo gravitacional. Un objeto

puede tener la capacidad para realizar trabajo como consecuencia de su posición en un campo gravitacional,

eléctrico o magnético.

8. La ley de conservación de la materia, ¿siempre es válida?, ¿Cuáles son sus limitaciones?

1. Sólo puede VERIFICARSE la ley de conservación de la materia en sistemas cerrados.

2. Siempre que hay una reacción química, parte de la materia se convierte en energía. Eso responde a la

famosa ecuación de Einstein que dice que

AE = Am*c'2 que quiere decir que dado una cierta pérdida de masa (Am) esta se convierte en una

determinada energía (AE).