Matematika!"#$%&'()

!"#$%!"&!$'()$'(&(* !"+,"-!%."/)01*0,"

!"#$

%&%

'()*

.

Cjelovita kurikularna

reforma

Rani i pred!kolski, osnovno!kolskii srednjo!kolski odgoj i obrazovanje

!"#$%&' ()*+!$, *#-$, (.+/'$, '0#1*#$' 2#&$'3 /%0'&%3Sonja Bani4, prof. matematike i fizike, Srednja 5kola „Ivan 6vear“, Ivani4 GradSanja Jane5, prof. matematike, Osnovna 5kola „Petar Zrinski“ 7abar, 7abarJosip Kli8inovi4, prof. matematike i informatike, X. gimnazija „Ivan Supek“, ZagrebIvana Lovi4 6tenc, dipl. u8itelj, Osnovna 5kola Antuna Gustava Mato5a, Zagrebdr. sc. Irena Mi5urac, Sveu8ili5te u Splitu, Filozofski fakultet, Odsjek za u8iteljski studijAna Ostoji4, prof. matematike i informatike, Osnovna 5kola „Meje“ Split, SplitGordana Pai4, mag. educ. math., Osnovna 5kola „Dr. Ivan Merz“, ZagrebSnje9ana 6i5i4, prof. matematike, Tehni8ka 5kola Zagreb, ZagrebEva 6palj, mag. math., XV. gimnazija, Zagreb (voditeljica):ur;a Trupini4, nastavnik razredne nastave, Osnovna 5kola „Mato Lovrak“, Nova Gradi5ka!"#$'<, ()*+!$, *#-$, (.+/'$, '0 2,-'$'<, 0# ()*+!$+ ' #-3'$'()*#)'&$+ /%-*=.+Mirjana Konosi4, Agencija za odgoj i obrazovanje (voditeljica):ur;a Kulu5i4, Agencija za odgoj i obrazovanjeAntonela Czwyk Mari4, Agencija za odgoj i obrazovanje!"#$'<# ()*+!$, *#-$, (.+/'$, '0 ,.(/,*)$, *#-$, (.+/'$,Ru9ica Vuk),>$'!.' .%%*-'$#)%* ()*+!$, *#-$, (.+/'$,Jurko Maroevi4, Ministarstvo znanosti, obrazovanja i sporta,.(/,*)$# *#-$# (.+/'$#Boris Joki4 (voditelj)Branislava Baranovi4Suzana HitrecTomislav Re5kovacZrinka Risti4 Dedi4Branka Vuk",.)+*#Igor Medi4Ana Mihaljevi4

!"#$%!"&!$ '()$'(&(* !"+,"-!%." /)01*0,"*",0*",$'"

Prijedlog!"#$%&% '()*.

Pred Vama se nalazi prijedlog nacionalnog kurikuluma nastavnog predmeta. Nacionalni kuriku-lumi nastavnih predmeta dio su sustava nacionalnih kurikulumskih dokumenata koji je Okvirom nacionalnog kurikuluma (!"#) odre$en kao sustav dokumenata kojima se na nacionalnoj razini iskazuju namjere povezane sa svrhom, ciljevima, o%ekivanjima, ishodima, iskustvima djece i mla-dih osoba, s organizacijom odgojno-obrazovnoga procesa i s vrednovanjem. Sustav nacionalnih kurikulumskih dokumenata prikazan je na Slici A.

Svi nacionalni kurikulumski dokumenti oblikovani su s idejom o djetetu i mladoj osobi kao o sredi&njem sudioniku odgojno-obrazovnoga procesa. Djeci i mladim osobama, roditeljima, od-gojno-obrazovnim radnicima kurikulumski dokumenti jasno ukazuju na odgojno-obrazovna o%e-kivanja i ishode koja postavljamo pred djecu i mlade osobe. Razvojni su i otvoreni dokumenti koje je mogu'e promijeniti kao odgovor na potrebe djece i mladih osoba, odgojno-obrazovnih radnika i ustanova, novih znanstvenih i tehnolo&kih spoznaja i onih proiza&lih iz prakse.

Nacionalnim kurikulumima nastavnih predmeta odre$uju se svrha, ciljevi, struktura, odgoj-no-obrazovni ishodi i razine njihove usvojenosti, u%enje i pou%avanje, povezanost s drugim pred-metima, odgojno-obrazovnim podru%jima i me$upredmetnim temama te vrednovanje usvoje-nosti odgojno-obrazovnih ishoda u predmetu.

Domene/koncepti u organizaciji predmetnog kurikuluma %ine gradivnu strukturu odre$enog predmeta i prote(u se kroz cijeli period pou%avanja predmeta. Unutar svake domene/koncepta odre$eni su odgojno-obrazovni ishodi.

Odgojni-obrazovni ishodi predstavljaju jasne i nedvosmislene iskaze o tome &to o%ekujemo od u%enika u odre$enoj domeni/konceptu predmeta na kraju odre$ene godine u%enja. Odre$eni su kao po(eljna znanja, vje&tine i stavovi koji se napredovanjem u odgojno-obrazovnom sustavu uslo(njavaju. Kroz godine u%enja ishodi %ine zaokru(enu, logi%nu cjelinu u%enja i pou%avanja u odre$enoj predmetnoj domeni/konceptu. Kao cjelina kroz sve godine u%enja i pou%avanja odre-$uju ukupna iskustva u%enja u odre$enom predmetu.

Svaki je ishod oblikovan kao cjelina koja, uz formulaciju ishoda, uklju%uje i razradu ishoda, pre-poruke za njegovo ostvarivanje i opis razina usvojenosti. )itanje ishoda stoga, osim na sâmu formulaciju ishoda, mora biti usmjereno i na ostale njegove komponente.

Razrada ishoda uklju%uje preciznije odre$enje aktivnosti i sadr(aja u okviru pojedinog ishoda ili skupine ishoda.

Za veliku ve'inu ishoda odre$ene su razine njihove usvojenosti. Opisi razina usvojenosti pre-ciznije odre$uju dubinu i &irinu svakog ishoda i opisuju o%ekivana postignu'a u%enika na kraju odre$ene godine u%enja, %ime se olak&ava planiranje i provedba vrednovanja.Osim razrade samih odgojno-obrazovnih ishoda, u ve'ini kurikuluma nastavnih predmeta navo-de se i preporuke za njihovo ostvarivanje.

Od u%enika se o%ekuju ostvarivanje svih odgojno-obrazovnih ishoda.

UPUTE ZA )ITANJE

Slika !. Sustav nacionalnih kurikulumskih dokumenata izra"enih u okviru Cjelovite kurikularne reforme

!"#$% &'($!&')&!* "+%$"+)+,'

-!.%+/0' "+%$"+)+,' $ "+%$"+)+,$ ,12+-%1.,13&$4 31,'

&'($!&')&$ "+%$"+)+, 5' %'&$ $ -%1.6"!)7"$ !.*!0 $ !8%'5!#'&01

&'($!&')&$ "+%$"+)+, 5' !7&!#&!6"!)7"$ !.*!0 $ !8%'5!#'&01

&'($!&')&$ "+%$"+)+, 5' *$,&'5$07"! !8%'5!#'&01

&'($!&')&$ "+%$"+)+, 5' 73%+"!#&! !8%'5!#'&01

Okv

ir za

vre

dnov

anje

pro

cesa

i is

hoda

u9e

nja

u od

gojn

o-ob

razo

vnom

sus

tavu

RH

Okv

ir za

pot

ican

je i

prila

godb

u is

kust

ava

u9en

ja te

vr

edno

vanj

a po

stig

nu:a

u9e

nika

sa

te;k

o:am

a

Okv

ir za

pot

ican

je is

kust

ava

u9en

ja i

vred

nova

nje

post

igni

:a d

arov

itih

u9e

nika

.

&'($!&')&$ "+%$"+)+, 5' +,013&$/"! !8%'5!#'&01

Predmetni kurikulumi i Kurikulumi za stjecanje kvalifikacija u redovnom sustavu strukovnog i umjetni9kog obrazovanja

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

:

1. c 1. d dječaci 10 8 djevojčice 9 12

—

KAMION

AUTOMOBIL

BICIKL

ŽUTI X

CRVENI X

PLAVI X

—

—

⋅⋅

—

⋅ ⋅

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

⋅

—

—

—

—

—

—

—

—

∙∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙

(𝑥𝜖{3,4,5… }  )

—

∙

—

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

—

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

—

∙

—

—

—

—

—

—

—

𝑎𝑏𝑐

—

𝑥𝜖𝑄 , 5.2 ≤ 𝑥 ≤ 9.4, 𝑥𝜖𝑄 , 1.2 ≤ 𝑥 < 3.6, 𝑥𝜖𝑄 , 2.3 ≤ 𝑥 ≤

|𝑥| > 3, |𝑦| ≤ −3, |𝑥 + 1| = 6

∙ ∙∙ ∙ ∙

—

∙ ∙ ∙

|𝑥| = 5𝑥𝜖{−3,−2,−1… }

∙ ∙ ∙

—

356.43   =  3   ∙  10 +  5   ∙  10 +  6   ∙  10 +  4   ∙  10  +  3   ∙  10

∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ ∙ 10 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10∙ 10 ∙ ∙ 10 ∙ ∙ ∙

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

—

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑎𝑥 = 𝑏

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

∙

—

—

—

—

—

—

—

10 10 10 10 10 10 10

10 10 10 10 1010 10

 ∙ 10 10 10

—

∈

,....5,4x

∙ ∙∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙

—

∙

Primjer : (2𝑥) , , .

—

𝑥 ∙ 7 ∙ 𝑦, 0.5 ∙ (𝑥 ± 𝑦), 6𝑦 − (2 ∙ 𝑥 ± 3 ∙ 𝑦), 7 ∙ (𝑥 ± 𝑦) − (𝑥 − 2 ∙ 𝑦), 0.5 ∙ 𝑥 ∙ , 𝑥 ∙ 𝑦

−3 ∙ 𝑥 ∙ 6 ∙ 𝑥,34∙ 𝑥 ∙

14∙ 𝑥, 6 ∙

−3𝑥7

± 8𝑦 , 0.01 ∙ −2𝑥 ±45𝑦 , 2 ∙ (3𝑥 − 1) − (5𝑥 + 2)

(3𝑥 − 6𝑦)(3𝑥 + 6𝑦), (3𝑥 + 6𝑦)(3𝑥 + 6𝑦), (3𝑥 − 6𝑦)(3𝑥 − 6𝑦)

—

𝑎𝑥   +  𝑏   =  0𝑎𝑥   +  𝑏   =  0

—

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

—

—

—

𝜋

𝜋

—

—

—

—

7.63 ∙ 10 𝑘𝑚 1.392 ∙ 10 𝑘𝑚

—

(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦)(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦), (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦), (𝑎𝑥 − 𝑏𝑦)(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦), 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑥 ± 𝑐 ∙ 𝑦) −  (𝑑 ∙ 𝑥 ± 𝑒 ∙ 𝑦)  𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒  𝜖  𝑁, 𝑍, 𝑄  𝑖  𝑅  

—

𝑎𝑥 = 𝑏

𝑎𝑥   +  𝑏   = 0𝑎𝑥 +  𝑏 = 0

 𝑥 = 𝑎

 𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑎𝑥 = 𝑎

𝑥 = 𝑎, 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎(𝑥 ± 𝑏) = 𝑐

—

—

—

—

—

—

—

1. razred trogodišnje  srednje  škole  (70 sati)

)

—

—

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

𝑎𝑥 + 𝑐 = 0

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑐

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

𝑎𝑥 + 𝑐 = 0

—

f(x) = axf(x) = ax + c

—

—

—

+ 16

—

𝑁(𝑥) = 10000 ∙ 2

𝐶 = 𝐶 ∙ 1.03

—

—

—

—

—

𝑓(𝑥) = 𝑥   𝑓(𝑥) =   𝑓(𝑥) =  √𝑥

—

—

—

—

∙

—

, ∙ ,       −

—

š − š

—

3 ∈ 𝐴 3 ∈ 𝐵 𝐴 ∪ 𝐵 =< −∞, 15 > 𝐴 ∩ 𝐵 = {3} 𝐴\𝐵 = 𝐴

—

—

—

—

√−1 = 𝑖 √−16 = 4𝑖.

√3 + 3√2 − 3√3 + 4√2 √3 2 − √3 3 − 2√2

√3 + 3√2 − 3√3 + 4√2 √3(2 − √9) 3 − 2√4√

√, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁

√ax + b = cx + d

—

3x + 4x − 1 = 0

𝑓(𝑥) =  

𝑓(𝑥) =  √𝑎𝑥 + 𝑏

𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥) = √𝑥. 𝑓(𝑥) =  

𝑓(𝑥) =  √𝑥

—

𝑓(𝑥)  =   𝑓(𝑥)  =  √𝑥𝑦 = 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥 ) + 𝑦 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑓(𝑥) =  − 𝑥 + 12𝑥 − 180 𝑥 𝑓(𝑥)𝑥

—

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑄

—

—

—

—

𝑓(𝑥) = 𝑎 , 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎 ,  𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥

𝑦 = 𝑥

𝑁(𝑥) = 10000 ∙ 2

—

—

𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1, 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1, = 𝑡𝑔𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = ,      𝑥 ∈ ⟨ , 2𝜋⟩

𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥.

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥,        𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,  𝑓(𝑥) = 𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑  

𝑓(𝑥) = Asin(𝑏𝑥),  𝑓(𝑥) = Acos  (𝑏𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑

—

D(t)  =   · sin( · (𝑡 − 79) + 12

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎, 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎, 𝑡𝑔𝑥 = 𝑎,    𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0

—

—

ℎ

—

—

—

𝑧 = 2

𝑅𝑒(𝑧) = 2, 𝐼𝑚(𝑧) < 3, |𝑧| = 2, |𝑧| ≥ 3

—

, , ,

lim → , lim → , lim → 𝑎

—

𝑉 = 200(50 − 𝑡) 𝑚

—

—

—

—

—

∙

, ∙ ,       −

—

š − š

—

—

—

—

—

—

—

√−1 = 𝑖 √−16 = 4𝑖.√3 + 3√2 − 3√3 + 4√2 √3 2 − √3 3 − 2√2

√3 + 3√16 − 3√31 + 4√2 √3(2 − √9) 3 − 2√4√

√, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁

—

√𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑=

𝑥 − 5𝑥 + 6 = 0𝑥 − 𝑚𝑥 + 6 = 0

4𝑥 − 3𝑥 + 2 = 0 𝑥 + 𝑥

—

𝑚(𝑥 + 1) = 𝑥(𝑚 − 1)

𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥) = √𝑥.

𝑓(𝑥) =  

𝑓(𝑥) =  √𝑥

—

𝑓(𝑥)  =   𝑓(𝑥)  =  √𝑥𝑦 = 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥 ) + 𝑦 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑓(𝑥) =  − 𝑥 + 12𝑥 − 180 𝑥 𝑓(𝑥)𝑥

—

—

—

—

—

𝑓(𝑥) = 𝑎 ,𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑐, 𝑓(𝑥) = 𝑎 ,𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥,𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑐, 𝑓(𝑥) =𝑙𝑜𝑔 (𝑥 + 𝑐)

𝑦 = 𝑥

—

𝑁(𝑥) = 10000 ∙ 2

—

—

𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1, 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1, = 𝑡𝑔𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = ,      𝑥 ∈ ⟨ , 2𝜋⟩

𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥.

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥,        𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,  𝑓(𝑥) = 𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑  

𝑓(𝑥) = Asin(𝑏𝑥),  𝑓(𝑥) = Acos  (𝑏𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,    𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑

—

D(t)  =   · sin( · (𝑡 − 79) + 12,

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎,   𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎,    𝑡𝑔𝑥 = 𝑎,      𝑐𝑡𝑔𝑥 = 0    𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,  𝑠𝑖𝑛𝑥 < 𝑎,  𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝑎, 𝑡𝑔𝑥 > 𝑎, 𝑐𝑡𝑔𝑥 ≥ 0    𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 ≥ 0,    𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 < 0,    𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 ≥ 0.

—

—

ℎ

—

—

—

—

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4+. . . +𝑛(𝑛 + 1)  =   ( )( ) , ∀𝑛𝜖𝑁

+ + +. . . + =( )

, ∀𝑛𝜖𝑁

3|5 + 2 , ∀𝑛𝜖𝑁

𝑧 = 2

𝑅𝑒(𝑧) = 2, 𝐼𝑚(𝑧) < 3, |𝑧| = 2, |𝑧| ≥ 3

—

  , , ,

—

lim → , lim → , lim → 𝑎

𝑉 = 200(50 − 𝑡) 𝑚 .

—

—

—

—

—

∙

—

𝑧  𝐵𝑎(𝑂𝐻) + 𝑦𝐻 𝑃𝑂 → 𝑧  𝐵𝑎 (𝑃𝑂 ) + 𝑣𝐻 𝑂

š − š

—

—

—

—

—

—

—

√−1 = 𝑖 √−16 = 4𝑖.√

√ √ √

—

𝑥 − (𝑏 + 3𝑎)𝑥 + 3𝑎 − 2𝑏 + 3𝑎𝑏 = 0

√𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑

𝑥 − 5𝑥 + 6 = 0𝑥 − 𝑚𝑥 + 6 = 0

4𝑥 − 3𝑥 + 2 = 0 𝑥 + 𝑥 +

𝑚(𝑥 + 1) = 𝑥(𝑚 − 1)

—

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) 𝑓(𝑥)  =   𝑥 − 𝑥 + 3 𝑔(𝑥)  =  𝑥 + 2

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 − 1)  =  𝑥 + 3𝑥 − 1

—

𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥) = √𝑥.

𝑓(𝑥) =  

𝑓(𝑥) =  √𝑥

𝑓(𝑥)  =   𝑓(𝑥)  =  √𝑥𝑦 = 𝑥

—

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥 ) + 𝑦 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑓(𝑥) =  − 𝑥 + 12𝑥 − 180 𝑥 𝑓(𝑥)𝑥

> 0,       ≤ 0

—

γ

—

—

—

𝑓(𝑥) = 𝑎 , 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑐,    

𝑓(𝑥) = 𝑎 , 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎 ,      

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑐,

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥 + 𝑐)

—

𝑁(𝑥) = 10000 ∙ 2

—

—

𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1, 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1, = 𝑡𝑔𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = − ,      𝑥 ∈ ⟨− ,−𝜋⟩

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥,        𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥,        𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,  𝑓(𝑥) = 𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,        𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥),    𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥)

𝑓(𝑥) = Asin(𝑏𝑥),  𝑓(𝑥) = Acos  (𝑏𝑥)𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥),  𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,    𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑

D(t)  =   · sin( · (𝑡 − 79) + 12

—

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎,  𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎, 𝑡𝑔𝑥 = 𝑎,      𝑐𝑡𝑔𝑥 = 0    𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,  𝑠𝑖𝑛𝑥 < 𝑎,  𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝑎, 𝑡𝑔𝑥 > 𝑎,      𝑐𝑡𝑔𝑥 ≥ 0    𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 ≥ 0,    𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 < 0,    𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 ≥ 0,    𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 < 0.    

—

—

𝑋 ℎ𝑌 𝑏𝑜𝑑

—

—

—

—

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4+. . . +𝑛(𝑛 + 1)  =   ( )( ) , ∀𝑛𝜖𝑁

+ + +. . . + =( )

, ∀𝑛𝜖𝑁

3|5 + 2 , ∀𝑛𝜖𝑁

—

𝑧 = 2

𝑧 = 2 |𝑧 + 2 − 𝑖|  < 3

≈  

—

—

𝑉 = 200(50 − 𝑡) 𝑚

—

—

—

—

—

∙

—

𝑧  𝐵𝑎(𝑂𝐻) + 𝑦𝐻 𝑃𝑂 → 𝑧  𝐵𝑎 (𝑃𝑂 ) + 𝑣𝐻 𝑂

š − š

—

𝑣  𝑘𝑚/ℎ 𝑣  𝑘𝑚/ℎ𝑣 < 𝑣 √𝑣 𝑣

—

—

—

—

—

—

√−1 = 𝑖 √−16 = 4𝑖.

—

𝑥 − (𝑏 + 3𝑎)𝑥 + 3𝑎 − 2𝑏 + 3𝑎𝑏 = 0

√𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑

𝑥 − 5𝑥 + 6 = 0

—

𝑥 − 𝑚𝑥 + 6 = 0

4𝑥 − 3𝑥 + 2 = 0𝑥 + 𝑥

+

𝑚(𝑥 + 1) = 𝑥(𝑚 − 1)

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) 𝑓(𝑥)  =   𝑥 − 𝑥 + 3 𝑔(𝑥)  =  𝑥 + 2

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 − 1)  =  𝑥 + 3𝑥 − 1

—

𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥) = √𝑥.

𝑓(𝑥) =  

𝑓(𝑥) =  √𝑥

𝑓(𝑥)  =   𝑓(𝑥)  =  √𝑥𝑦 = 𝑥

—

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥 ) + 𝑦 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑓(𝑥) =  − 𝑥 + 12𝑥 − 180 𝑥 𝑓(𝑥)𝑥

  ≤ 0 .

—

γ

—

—

—

—

𝑓(𝑥) = 𝑎 , 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑐,    𝑓(𝑥) = 𝑎 , 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎 ,𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑐,𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥 + 𝑐)

—

𝑁(𝑥) = 10000 ∙ 2

—

—

𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1, 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1, = 𝑡𝑔𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = − ,      𝑥 ∈ ⟨− ,−𝜋⟩

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥,        𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥,        𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,  𝑓(𝑥) = 𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,      𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥),  𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥),  𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑, 𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑

𝑓(𝑥) = Asin(𝑏𝑥),  𝑓(𝑥) = Acos  (𝑏𝑥)𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥),    𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,    𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑, 𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑

—

D(t)  =   · sin( · (𝑡 − 79) + 12,

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎,  𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎, 𝑡𝑔𝑥 = 𝑎,      𝑐𝑡𝑔𝑥 = 0    𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,  𝑠𝑖𝑛𝑥 < 𝑎,  𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝑎, 𝑡𝑔𝑥 > 𝑎,      𝑐𝑡𝑔𝑥 ≥ 0    𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 ≥ 0,    𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 < 0,    𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 ≥ 0,    𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 < 0.    

—

—

ℎ

—

—

—

—

—

+ + +. . . + =( )

, ∀𝑛𝜖𝑁

17|2 + 5 ⋅ 3 , ∀𝑛𝜖𝑁3 > 2 + 3𝑛, ∀𝑛 ≥ 3

—

𝑧 = 2

𝑧 = 2 |𝑧 + 2 − 𝑖|  < 3

—

≈  

—

𝑉 = 200(50 − 𝑡) 𝑚 .

—

—

—

—

—

𝑓(𝑥) = 𝑎 , 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑐, 𝑓(𝑥) =𝑎 , 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎 ,      𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥,𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑐, 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥 +𝑐)

—

𝑁(𝑥) = 10000 ∙ 2

—

—

𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1, 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1, = 𝑡𝑔𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = − ,      𝑥 ∈ ⟨− ,−𝜋⟩

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥,        𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥,        𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔𝑥,    𝑓(𝑥) = 𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,  𝑓(𝑥) = 𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,      𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥),    𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥),  𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑, 𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑

𝑓(𝑥) = Asin(𝑏𝑥),  𝑓(𝑥) = Acos  (𝑏𝑥)𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥),𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑,    𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑    𝑓(𝑥) =  𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑, 𝑓(𝑥) =  𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑

—

D(t)  =   · sin( · (𝑡 − 79) + 12

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎,  𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎, 𝑡𝑔𝑥 = 𝑎,      𝑐𝑡𝑔𝑥 = 0    𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,    𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 = 0,  𝑠𝑖𝑛𝑥 < 𝑎,  𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝑎, 𝑡𝑔𝑥 > 𝑎,      𝑐𝑡𝑔𝑥 ≥ 0    𝐴 sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 ≥ 0,    𝐴 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 < 0,    𝐴𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 ≥ 0,    𝐴𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 < 0.    

—

—

—

𝑋 ℎ𝑌 𝑏𝑜𝑑

—

—

—

—

+ + +. . . + =( )

, ∀𝑛𝜖𝑁

17|2 + 5 ⋅ 3 , ∀𝑛𝜖𝑁3 > 2 + 3𝑛, ∀𝑛 ≥ 3

—

𝑧 = 2

𝑧 = 2 |𝑧 + 2 − 𝑖|  < 3

—

≈  

—

𝑉 = 200(50 − 𝑡) 𝑚

—

—

—

—

о е а а а е а а а е о а а а о е е ј е е о а а еј је ео а е е е е а е а о а а о је е о е е а о а а

е о а е а а а а а е а е е е а а аа а а а а о о е о је а а е а е а е

о о о е а

—

—

—

—

—

—

dr.  sc.  Irena  Mišurac 26.  veljače  2016. Sveučilište  u  Splitu Filozofski fakultet u Splitu Odsjek  za  učiteljski  studij

Izdvojeno  mišljenje   o dijelu dokumenta „Kurikulum  nastavnoga predmeta  Matematika“

Poštovani,   kao   članica   stručne   radne   skupine,   kao   metodičarka   nastave   matematike   i   kao  

profesorica matematike nisam   u   potpunosti   zadovoljna   konačnim   dokumentom.   Moje  nezadovoljstvo  posebno  se  odnosi  na   ishode  učenja  koji  su  zamišljeni  kao  znanja,  vještine  i  stavovi  koje  očekujemo  od  učenika  na  kraju pojedinoga razreda. Želim  naglasiti  da  usprkos  ovom   izdvojenom  mišljenju,   dajem punu potporu Cjelovitoj kurikularnoj reformi koju smatram  dobro  osmišljenim  i  važnim projektom u osuvremenjivanju odgojno - obrazovnoga sustava te u   razvijanju   životnih   kompetencija   naših   učenika.   Voljela bih da se ovo moje očitovanje   protumači   kao   poticaj   za   daljnja   promišljanja   i   refleksije   o   kvaliteti   kurikuluma  kako bi u  konačnici  bio što  učinkovitiji i kvalitetniji.

Ulazeći  u  reformu,  pošla  sam  od  činjenice  da  rezultati  naših  učenika  u  matematici  nisu  zadovoljavajući.   Rezultati   vanjskih   vrednovanja   (kako   nacionalnih   tako   i   međunarodnih   – PISA  i  TIMSS)  pokazali  su  nisku  razinu  matematičke  pismenosti  naših  učenika,  veliki  je  broj  negativnih ocjena upravo iz matematike, brojni učenici  prisiljeni  su  plaćati  dodatne  instrukcije  kako bi savladali programom propisane   sadržaje,   stav  učenika  prema  matematici   je   izrazito  loš,   a   naučeno   u   školi   učenici   ne   uspijevaju   primijeniti   u   svakodnevnim   situacijama.   Sve  navedeno  traži  od  nas  da  preispitamo  uzroke  ovih  pojava  i  pokušamo  poboljšati  uvjete  učenja  kako  bi   se   rezultati   učenika  u matematici popravili.  Gledajući  postojeće   nastavne  programe  matematike  uočavamo  da  je  sadržaj  jako  opširan  i  zahtjevan,  posebno  u  predmetnoj  nastavi  u  osnovnoj školi  te  u  srednjim  školama.  Zbog  toga  se  često  događa  da  učitelji  „jure“  kroz  teme  kako  bi   ih   u   predviđenoj   satnici   realizirali,   nemajući   vremena   zaustavljati   se   na   dijelovima  koje  učenici  nisu  uspjeli  na  zadovoljavajućoj  razini  usvojiti.  Uz  to,  količina  sadržaja  koja  se  iz  razreda  u  razred  gomila  dovodi  do  toga  da  učenici  sve  teže  povezuju  naučeno,  površnije  uče  i  više   zaboravljaju, pa na kraju ne steknu niti   osnovna   znanja   i   vještine   koje   su   im   za   život  potrebne. Ovo  obično  prate  i  loše  ocjene  te  pad  samopouzdanja  i  vjere  u  sebe,  pa se događa  da  mnogi   učenici   „bježe“   od  matematike   čime   dugoročno   gube   i   oni   i   naše   društvo   u   cjelini. Kako  je  odmah  naglašeno  da  neće  biti  povećanja  broja  sati  matematike,  kao  jedan  od  načina  podizanja   kvalitete   nastave,   a   time   i   rezultata   učenika,   vidjela   sam  mogućnost   da   kroz   ovu  reformu rasteretimo  sadržaje koji se u matematici uče. Pri tome ne mislim na neselektivno izbacivanje   pojedinih   tematskih   cjelina,   već   odabir   onih   najvažnijih   i   najreprezentativnijih  koncepata   koji   svakom   čovjeku   trebaju   kako   bi   bio   matematički   pismen   i   kako   bi  matematičke  spoznaje  mogao  primjenjivati  u  svom  životu.  

Tijekom osmišljavanja   kurikuluma   matematike   stalno   sam   se   zalagala   da   mi matematičari   odredimo   koji   su   koncepti   najvažniji   i   treba   ih   znati   svaki   učenik,   a   koji  

koncepti  spadaju  u  matematičku  nadgradnju i  vezuju  se  uz  određeno  strukovno  obrazovanje  ili predstavljaju  dio  matematičke   teorije. Znanja   i  vještine  koji   su   temeljni i potrebni svima trebaju   se   učiti   kroz   obavezno   obrazovanje namijenjeno svima, dok nadgradnju treba prilagoditi potrebama, interesima   i   mogućnostima   učenika te satnici matematike.   Nažalost,  kao rezultat   našega višemjesečnoga rada   i   dalje   ne   vidim   da   su   se   sadržaji   na   ovaj   način  rasteretili,  a  čini  mi  se  da  je  u konačnom  dokumentu isplanirano  još  više  koncepata nego što   ih   se   učilo   do   sada. Kroz cijelu je vertikalu dodana nova domena Podaci, statistika i vjerojatnost čija   je   važnost   neupitna, ali koja traži  dodatno vrijeme   za   njeno  poučavanje   te uključuje   još   više   matematičkih   sadržaja. Uza   sve   sadašnje   sadržaje,   vraćeni   su   i neki koncepti koje  su  ranije  reforme  izbacile  iz  programa  u  cilju  rasterećenja  (npr.  dvojni  razlomci  ili kompleksni brojevi).

Gledajući   ishode   po   razinama, mišljenja   sam   da su neki ishodi u razrednoj nastavi presloženi   i  preambiciozni  za  učenike  nižih   razreda,  posebno kada se od učenika  1.   razreda očekuje  da  se  „služi  podacima  i  prikazuje  ih  piktogramima  i  jednostavnim  tablicama“.  Ishode nižih   razreda   često   opterećuje   i   nepotrebno   komplicirana   formulacija   kako   ishoda   tako   i  razina njihova ostvarivanja. Razrada ishoda koja   bi   trebala   pomoći   učiteljima   u   odabiru  sadržaja   učenja   također   je   na  mnogim  mjestima   nejasna   i   nepotpuna.   Smatram   da   u   nižim  razredima nije bilo neophodno inzistirati na domeni Algebra i funkcije koja niti u NOK-u nije bila   predviđena   za   učenike   ove   dobi,   a   što   je   u   konačnici   opet   rezultiralo   ambicioznim  ishodima poput onog da učenik   2.   razreda „prepoznaje   uzorak   i   kreira   niz   objašnjavajući  pravilnost  nizanja“.  U preporukama za ostvarivanje ishoda na nekoliko mjesta pojavljuju se naputci koji određuju  da  se  nešto  mora  raditi  na  određeni  način,  a da uz  to  ne  piše  zašto  se  to  tako mora raditi. Kao primjer navodim uputu uz zbrajanje s prijelazom desetice u kojoj piše „uvijek  je  potrebno  uz  dulji  zapis  računa  zapisati  i  njegov  kraći  oblik“  (7+8  =15). Uputa  može  biti   iznesena  kao  preporuka   i   to   isključivo uz pravovaljanu  argumentaciju,  a  učitelji  moraju  sami  procijeniti  hoće  li  je  slijediti  ili  ne.  Sve  navedeno  otežava  pravilno  razumijevanje  ishoda  za   razrednu   nastavu   i   u   konačnici   može   za   posljedicu   imati   dodatno   opterećivanje   mlađih  učenika  neprimjerenim  sadržajima.    

Gledajući  ishode  učenja  u predmetnoj nastavi osnovne  škole,  čini  mi  se  da  je  količina  pojmova   koji   su   predviđeni   ovim kurikulumom veća   negoli je bila do sada. Kao primjer izrečenoga navesti   ću  5.   razred  u  kojem  se  uz  sve  sadržaje  koje  propisuje  sadašnji  program (osim   najvećega zajedničkoga djelitelja i najmanjega zajedničkoga višekratnika koji su prebačeni   u   6.   razred),   predviđa   još   i   učenje   skupova   i   operacija   s   njima,   učenje   potencija  broja  10,   linearna  jednadžba,  centralna  simetrija,  grafovi,  volumen  i  preračunavanje  mjernih  jedinica.  Mišljenja   sam  da   je   5.   razred   posebno   osjetljiv   budući   su   učenici   u   njemu   ionako  istraumatizirani prelaskom iz razredne u predmetnu nastavu te promjenom učitelja   koji   ih  poučava  matematiku.  Ova  reforma  pokušala  je  ublažiti  ovaj  prijelaz  na  način  da  je  5.  razred  uključila   u   2.   ciklus   obrazovanja   zajedno   s   3.   i   4.   razredom   čime   se   htjelo   naglasiti   da   su  učenici   ovih   razreda   po   svojim   kognitivnim   i   razvojnim   karakteristikama   slični   te   da   bi   i  pristup   poučavanju   i   učenju   trebao   biti   sličan.   Smatram   da   zbog   svega   navedenoga nije primjereno   opteretiti   učenike   u   5.   razredu   ovako   velikom   količinom   sadržaja,   posebno  sadržaja  koji  su  apstraktni  za  učenike  na  ovom  stupnju kognitivnoga razvoja (poput skupova i

potencija  broja  10!).  Gledajući  prijedlog  kurikuluma  mišljenja  sam   da  je  količina  sadržaja  i  u  3.  ciklusu  preopsežna. Smatram da  je  bilo  prostora  za  rasterećivanje,  a  osobno  sam  predlagala  da ih rasteretimo koncepata koje učenici osnovne   škole najčešće ne mogu u potpunosti razumjeti   niti   ih   onda  mogu   na   pravi   način   iskoristiti   (navest   ću   primjere   sustava   linearnih  jednadžbi,  linearne  funkcije,  ili sukladnosti i sličnosti trokuta).

Gledajući   prijedlog   ishoda za srednju   školu moram naglasiti da je novina u ovoj reformi  bio  pristup  u  kojem  su  škole  grupirane  prema  broju  tjednih  sati  matematike.  To  znači  da   isti   program   imaju   sve   škole   s   3   sata   matematike,   neovisno   je   li   riječ   o   gimnaziji   ili  strukovnoj   školi.   U   ovu   kategoriju   škola   spada   na primjer jezična   gimnazija,   ali   i   brojne  strukovne  škole  (tehničar  za  mehatroniku, odjevni  tehničar, pomorski  nautičar ili smjerovi iz sektora šumarstvo,   prerada   i   obrada  drva i   slično).  Smatrala   sam  da  u   školama  koje   imaju  manje  od  4  sata  nastave  matematike   tjedno   treba  adekvatno  „rasteretiti“  sadržaje  kako  bi  se  ono  što  se  uči  moglo  kvalitetno  i  s  razumijevanjem  obraditi.  Predlagala  sam  da  dio  sadržaja  stavimo u izborne module kako bi ih   pojedine   škole   (na primjer gimnazije) prema potrebi mogle  odabrati.  Gledajući  ishode  koji  su  predloženi,  primjećujem  da  se  sada  u  svim školama  s  3   sata   matematike   tjedno   planiraju   raditi   sadržaji   koji   su   se   do   sada   u   gimnazijskim  programima radili. Uz to,  ishodi  za  škole  s  3  sata  matematike  tjedno,  gotovo  u  potpunosti  su  isti   kao   i   ishodi   za   učenike   iz   škole   s   4   i   5   sati   matematike   tjedno!   Usprkos   činjenici   da  učenici iz  škola  s  5 sati matematike tjedno imaju na raspolaganju 66% više sati, učenici  koji  matematiku imaju 3 sata tjedno moraju ostvariti gotovo sve ishode kao i učenici s 5 sati tjedno (razlika   je  kroz  cijelu  srednju  školu  uglavnom  u  matricama  i  determinantama,  krivuljama  2.  reda,  matematičkoj   indukciji   i  Diofantskim  jednadžbama).  Čak  su  i   razine ishoda koji se od njih  očekuju  jednake.  Ovaj  nesrazmjer  smatram  potpuno  neprihvatljivim  i  to  na  štetu  učenika  iz  škola  s  manjim  brojem  sati.  Uzme  li  se  u  obzir   i  činjenica  da  škole  s  manjim  brojem  sati  matematike   često   biraju   učenici   koji   nemaju   sklonost prema matematici, apsurdnost ove situacije  još  više  dolazi  do  izražaja.

Frontalna i  predavačka  nastava koja  je  dominirala  u  tradicionalnoj  školi, usprkos svim svojim nedostacima bila  je  ekonomična  i  omogućavala  je  da  se  u  malo  vremena  svima  izloži isti sadržaj.   U   suvremenoj,   budućnosti   okrenutoj   školi   naglašava se   samostalno   učeničko  istraživanje,  otkrivanje   i  promišljanje,  samostalno  dolaženje  do  zaključaka,  argumentiranje   i  dokazivanje,   a   sve   to   traži   vrijeme.  Pitam  se  kako  će   se  ovako  veliki   broj   ishoda   sadržajno  orijentiranih realizirati u istoj satnici u kojoj ni do   sada   nismo   imali   zadovoljavajuće  rezultate?  Kako  će  učitelji  i  nastavnici  koji  uvedu  suvremene  načine rada poput  suradničkog  učenja,   problemske   nastave   ili   diskusije   stići   proći   sve   sadržaje kako bi učenici   stekli  kompetencije  predviđene  postavljenim  ishodima  učenja?

Uz   navedeno,   gledajući   ishode, vidimo da je orijentacija u cijelom dokumentu ostala tradicionalno usmjerena na nastavne sadržaje,  a  bitno  manje  na  procese  (vještine)  koje bi matematikom trebalo razviti ili stavove koje matematikom stječemo. Iako je NOK   (2010.)   izjednačio   važnost   (sadržajnih)   koncepata   i   procesa   (kompetencija)   koji   se  razvijaju kroz nastavu matematike, ovim dokumentom ta je ravnopravnost procesa i koncepata  bitno  narušena  na  štetu  procesa. Smatrala sam da u kurikulum treba ubaciti zasebne ishode koji bi tražili da   učenik   (neovisno   o   sadržaju   učenja)   samostalno   zaključuje,   da

postavlja pitanja, da povezuje   različite   matematičke   prikaze,   da   voli   matematiku,   da   ima  pozitivan stav o njoj i da ima razvijeno samopouzdanje. U   tom   slučaju   bi   i   učiteljima   bila  poslana  jasna  poruka  da  se  od  njih  očekuje  mnogo  više  od  same  realizacije  nastavnih  sadržaja.  Čitajući   ishode   smatram da je ostala   tradicionalna   usmjerenost   na   (preširoke)  matematičke   sadržaje,   a   za   njihovu   realizaciju   i   dalje   će   biti   jako   malo   vremena. Naravno  da  je  uz  ove  nedostatke  dokument  donio  i  mnoga  dobra  rješenja,  posebno  u  pokušaju  da   spiralno   poveže   neke  matematičke   koncepte   koji   se   kroz   cikluse  nadovezuju, razvijaju i proširuju.  

Vjerujem da   je   nastavom   matematike   prvenstveno   važno   učenike   naučiti   logički  misliti   i   naučiti   ih   kako   voljeti i   kako   učiti matematiku. Nije potrebno znati baš   sve iz matematike da bi učenik  bio matematički  pismen.  Ako  zna  razmišljati  i  zna  učiti  matematiku,  ako   razumije   pojmove   koje   je   upoznao,   uvijek   može   nadograditi   svoju   kognitivnu   mrežu  znanja   i   vještina   novim   pojmovima   ili   vještinama   ukoliko   mu se potreba za tim pojavi. Smatram da je  najveća  opasnost  istraumatizirani  učenik  koji  počinje  izbjegavati  matematiku  i  sve  aktivnosti  vezane  uz  nju,  koji  počinje  gajiti negativne emocije prema njoj i koji na kraju niti   sebi   niti   društvu   ne   može   pomoći   primjenjujući   matematičke   spoznaje   i   vještine,   a matematika  zaista  može  biti  predivan  predmet  i  prezanimljiva  igra  uma.  Željela  bih  da  i  naši  učenici  uživaju  u  njoj  kao  što  uživamo mi koji je razumijemo i  iskreno  se  nadam  da  ćemo  u  dodatnom  promišljanju  o  kurikulumu  matematike  taj  cilj  i  doseći.

dr.  sc.  Irena  Mišurac

Sonja  Banić,  prof. 25. veljače, 2016. SŠ  Ivan  Švear    Ivanić  Grad

Izdvojeno  mišljenje o  dijelu  dokumenta  „Kurikulum  predmeta  matematika“

Poštovani,   kao   članica   stručne   radne   skupine   koja   je   osmišljavala   i   pisala   kurikulum   predmeta  

Matematika nisam u potpunosti zadovoljna dijelom konačnog dokumenta i  želim obrazložiti  svoje   izdvojeno   mišljenje. Dio dokumenta kojim   nisam   zadovoljna   su   ishodi   učenja   u  četverogodišnjim  programima  srednje škole, prvenstveno za plan matematike od 3 sata tjedno (105+105+105+96 sati).

Želim   naglasiti   da   u   potpunosti   podržavam   Cjelovitu   kurikularnu   reformu, koja je kvalitetno   osmišljen   i   vođen   projekt.  Smatram da smo u kurikulumu predmeta Matematika napravili značajan iskorak u pravom smjeru. Primjena novog kurikuluma znači   kvalitetne  promjene i napredak za nastavu matematike te za sustav u cjelini.

Novi  kurikulum  predviđa   suvremeni  pristup  nastavi,  u kojem od  učenika  očekujemo  da  samostalno  istražuju,  otkrivaju  pravilnosti,  proučavaju  i  rješavaju  probleme  te primjenjuju matematiku u situacijama iz životnog   i   školskog   okružja. Također   očekujemo   da   surađuju, rade u timovima, na projektima te prikazuju   i   obrazlažu   svoje   radove.   Samo suvremena nastava   omogućuje   da   se   ostvare   ciljevi   predmeta   matematika,   da   učenici komuniciraju matematičkim   jezikom,   matematički   rasuđuju,   rješavaju   problemske   situacije   te razviju samopouzdanje i pozitivan stav prema matematici. Kao   što   je   objašnjeno   u poglavlju 6. kurikuluma predmeta, Učenje   i   poučavanje, suvremeni pristup zahtijeva da se pojedinoj temi (konceptu) posveti  puno  više  vremena  nego  što   je   to   bilo   do   sada,   u   tradicionalnoj nastavi. Citiram:   „Suvremeni pristup nastavi matematike   u   kojem   dominira   istraživački   pristup,   u   kojemu   se   matematika   otkriva   kroz  rješavanje   problemskih   situacija   traži   dodatno   vrijeme,   ali   i   drugačiji   pristup   učenju   i  poučavanju   matematike.   …   Upravo   stoga   suvremena   nastava   traži   više   vremena   kako   bi  učenicima   omogućila   kreativnost   i   samostalnost   u   pristupu   i   zaključivanju.“ Budući   da u postojećem   nastavnom   planu   nema   promjene   broja   sati   pojedinog   predmeta,   više   vremena  moglo  se  dobiti  jedno  smanjenjem  broja  i  opsega  matematičkih  koncepata.

Plan matematike od 3 sata tjedno (105+105+105+96 sati) odnosi se na mnoge četverogodišnje   strukovne   škole raznih profila,   ali   i   na   jezičnu   i   klasičnu   gimnaziju.  Obuhvaća učenike vrlo raznolikog predznanja   i   matematičkih   sposobnosti   te različitih  očekivanja   obzirom   na   struku   i   nastavak   školovanja. To ga je učinilo vrlo zahtjevnim za stručnu  radnu  skupinu.

Smatram da u   konačnom   rješenju   za taj plan nismo u dovoljnoj mjeri rasteretili sadržaje  i  da  neće  biti  moguće  provoditi  suvremen  pristup  nastavi, a istovremeno ostvariti sve predviđene   ishode   u   punom   opsegu.   Ishodi   učenja   trebali su biti jednostavniji i manje zahtjevni, kako bi bili dostupni učenicima   u   svim   programima   koji   imaju   tu   satnicu.  Kroz preporučene sadržaje trebala se dati sloboda i odgovornost nastavnicima da rad i ishode učenja   prilagode   potrebama   i   sposobnostima   svojih   učenika. Ovako   će   nastavnici biti

primorani juriti  kroz  sadržaje  nauštrb  suvremenog  pristupa  nastavi.  U  takvoj  situaciji  neće  biti  moguće  ostvariti  ciljeve  predmeta  matematika. U  ostalim  nastavnim  planovima   s  više   sati   tjedno   rješenja   su  bolja,   ali   se i u njima, smanjenjem   sadržaja   u   ishodima   a   povećanjem preporučenih sadržaja, mogla   dati   veća  sloboda   i   odgovornost   nastavnicima   u   određivanju   širine   i   dubine   pojedinih   ishoda   učenja. Smatram   da   bismo   na   taj   način   omogućili   veću   motivaciju,   kvalitetniju   nastavu i bolje ostvarenje ciljeva predmeta Matematika.

Sonja  Banić,  prof.