Predikatų logika. Eulerio diagramos

Predikatas – sakinys su kintamaisiais, kuris gali būti teisingas arba klaidingas priklausomai nuo kintamųjų reikšmių.

Pavyzdžiai.

P (x): 3 + x = 5;

Q (x, y, z): x2 + y2 ≥ z2;

R (x, y): x2 + y2 ≥ 0;

S (x): -1 ≤ sin(x) ≤ 1.

Predikatas su vienu kintamuoju yra vienvietis, su dviem – dvivietis ir t.t.

Predikatas tampa teiginiu, kai kintamiesiems priskiriamos reikšmės:

P (2): 3 + 2 = 5; teisingas teiginys.

P (7): 3 + 7 = 5;klaidingas teiginys.

S (x): -1 ≤ sin(x) ≤ 1.

Šis predikatas tampa teisingu teiginiu su bet kuria x reikšme, t.y. galime rašyti

visiems x teisinga (galioja) taisyklė S (x)

arba

x S (x)

arba

x ( -1 ≤ sin (x) ≤ 1 )

- bendrumo kvantorius

Teiginys su bendrumo kvantoriumi () priklauso nuo kintamojo apibrėžimo srities:

x ( x2 ≥ 5 )

teiginys bus neteisingas, jeigu x R ir teisingas, jeigu x [3, )

x ( x2 ≥ 0)

teiginys teisingas, jeigu x R, ir neteisingas, jeigu x C.

Jeigu P(x) teisinga tik su bet kuriomis (bent su viena) kintamųjų reikšmėmis, tai naudojamas egzistavimo kvantorius:

x P(x)

Predikatų skaičiavimo dėsniai

)()( xPxxPx

P(x): x skraido;

x: arklys;

Netiesa, kad egzistuoja arklys, kuris skraido

Visi arkliai neskraido

)()( xPxxPx Netiesa, kad visi paukščiai skraido

Yra paukščių, kurie neskraido

P(x): x skraido;

x: paukštis;

)()( xPxxPx

P(x): x žalias;

x: eglė;

Visos eglės žalios Nėra eglių, kurios nėra žalios

)()( xPxxPx

Kai kurie žmonės mėgsta anyžius

Ne visi žmonės nemėgsta anyžių

P(x): x mėgsta anyžius;

x: žmogus;

);()()()(

);(&)()(&)(

2121

2121

xPxxPxxPxPx

xPxxPxxPxPx

);,(),(

);,(),(

yxPxyyxPyx

yxPxyyxPyx

;)()(

;&)(&)(

;)()(

;&)(&)(

YxPxYxPx

YxPxYxPx

YxPxYxPx

YxPxYxPx

.)(&)()(&)(

;)()()()(

2121

2121

xPxPxxPxxPx

xPxPxxPxxPx

Eulerio diagramos

1. Visi dirbantys asmenys nori turėti daug pinigų2. Visi studentai nori turėti daug pinigųIšvada: kai kurie dirbantys asmenys yra studentai

„dirbantys asmenys“ -> „koldūnai“, „studentai“ -> „picos“, „nori turėti daug pinigų“ -> „yra miltiniai patiekalai“

1. Visi koldūnai yra miltiniai patiekalai2. Visos picos yra miltiniai patiekalaiIšvada: kai kurie koldūnai yra picos

?!

PQ

P Q

Visi P yra Q Kai kurie P yra Q

1. Kiekvieną prielaidą vaizduojame taikydami Oilerio diagramas

2. Apjungiame gautas diagramas taip, kad

a)Kiekvienos prielaidos diagrama išliktų nepakitusi

b) stengiamės jungti taip, kad išvada būtų neteisinga

3. Jeigu tai pavyko – išvada nėra teisinga

PQ

Visi P yra Q

Kai kurie P yra Q

P Q

IIF

FMF

1. Visi IIF grupių studentai mokosi Fundamentinių mokslų fakultete;

2. Visi Fundamentinių mokslų fakulteto studentai mokosi VGTU;

Išvada. Visi IIF grupių studentai mokosi VGTU.

FMF

VGTU

IIF

FMFVGTU

1. 2. Išvada

1. Visi menininkai (M) laimingi (L);

2. Kai kurie menininkai (M) – tinginiai (T);

Išvada. Kai kurie tinginiai (T) – laimingi (L).

M

L

1.

TM

2.

M

TL

Išvada

1. Kai kurie menininkai (M) yra blondinai (B);

2. Kai kurie sportininkai (S) – blondinai (B);

Išvada. Kai kurie menininkai (M) yra sportininkai (S).

BM

1.

BS

2. Išvada

B

M S

1. Visų politinių partijų atstovai (A) norėtų dirbti seime (S);

2. Kai kurie pensininkai (P) norėtų dirbti seime (S);

Išvada. Kai kurie pensininkai (P) yra politinių partijų atstovai (A).

A

S

1.

SP

2.

A

PS

Išvada

Užduotys savarankiškam darbui

1. Duoti predikatai

P (x, y, z): x2 + y2 ≥ z2;

Q (x, y): y = (x – 4)/(x + 4);

R (x, r): | x - 1| ≤ r;

S (n, y): y = n!

Užrašyti sakinius

a) P (3, 4, 5);

b) Q (8, 2);

c) R (3, 7);

d) S (4, 24).

a) 32 + 42 ≥ 52;

b) 2 = (8 – 4)/(8 + 4);

c) | 3 - 1| ≤ 7;

d) 24 = 4!

1. Duoti predikatai

P (x, y, z): x2 + y2 ≥ z2;

Q (x, y): y = (x – 4)/(x + 4);

R (x, r): | x - 1| ≤ r;

S (n, y): y = n!

Užrašyti sakinius

a) ( x)( y) P (x, y, 25);

b) ( x) Q (x, 7);

c) ( r) ( x) R (x, r);

d) ( n) ( y) S (n, y).

a) egzistuoja tokie x ir y, kad

x2 + y2 ≥ 252;

b) egzistuoja toks x, kad

7 = (x – 4)/(x + 4);

c) kiekvienam r egzistuoja toks x, kad

| x - 1| ≤ r;

d) egzistuoja toks n, kad su bet kuriuo y

y = n!

1. Visi teisininkai yra turtingi žmonės;

2. Visi turtingi žmonės valgo ikrus;

Išvada. Visi teisininkai valgo ikrus.

Patikrinti, ar teisingai padaryta išvada

Teisininkai

Turtingi žmonės

Valgo ikrus

1. Kai kurie teisininkai turtingi;

2. Kai kurie gydytojai turtingi;

Išvada. Kai kurie gydytojai yra teisininkai.


Turtingi žmonės

Teisininkai Gydytojai

1. Kai kurie marsiečiai žali;

2. Visos eglės žalios;

Išvada. Kai kurie marsiečiai - eglės.


Marsiečiai

Eglės

Žali

1. Visi vyrai mėgsta mėsą;

2. Kai kurie mokytojai - vyrai;

Išvada. Kai kurie mokytojai mėgsta mėsą.


Vyrai

Mėgsta mėsą

Mokytojai

1. Visiems gydytojams patinka muzika;

2. Visiems dailininkams patinka muzika;

Išvada. Visi gydytojai - dailininkai.


Gydytojai

Patinka muzika

Dailininkai

1. Kai kurie gydytojai protingi;

2. Visi protingi žmonės - poetai;

Išvada. Kai kurie gydytojai yra poetai.


Protingi žmonės

Poetai

Gydytojai

1. Visi automobiliai brangūs;

2. Dviratis nėra brangus;

Išvada. Dviratis nėra automobilis.


Automobiliai

Brangūs daiktai

Dviračiai

1. Visi vyrai žiūri televizorių;

2. Kai kurie šaltkalviai - vyrai;

Išvada. Kai kurie šaltkalviai žiūri televizorių.


Vyrai

Žiūru televizorių

Šaltkalviai

1. Visi žmonės mirtingi;

2. Žąsys nėra žmonės;

Išvada. Žąsys nemirtingos.


Žąsys

Mirtingi

Žmonės

1. Kai kurie šunys turi juodą kailį;

2. Kai kurie juodą kailį turintys gyvūnai yra arkliai;

Išvada. Kai kurie šunys yra arkliai.


Turi juodą kailį

Šunys Arkliai

Predikatų logika. Eulerio diagramos

Documents

Transcript of Predikatų logika. Eulerio diagramos