Predictive control

Controle Preditivo Model Predictive Control

Introduo ao Controle PreditivoWu Hong Kwong

Raphael de Medeiros Souto Maior Baltar

Laboratrio de Instrumentao Eletrnica e Controle

Departamento de Engenharia Eltrica

Universidade Federal de Campina Grande

LIEC - DEE - UFCG cRaphael Baltar 10/12/2013 1


Introduo

Diferentemente do controle feedback clsico PID, em que o controlador atua sobre os errospara calcular as aes de controle, o controle baseado em modelo (MBC, Model Based Control) uma tcnica de controle em que h a utilizao direta de um modelo de processos para calcularessas aes.



Vantagens Desvantagens uma estratgia de controle geral para processosMIMO com restries de desigualdade nas variveisde entrada e sada

A estratgia MPC bastante diferente dasconvencionais e, assim, inicialmente no familiaraos operadores da planta.

Pode acomodar facilmente comportamentosdinmicos pouco comuns ou difceis, tais comotempo morto grande e resposta inversa

Elevado esforo computacional requerido pararesolver os clculos MPC, necessitando resolver umproblema LP ou QP a cada instante de amostragem

O MPC pode ser integrado com estratgias deotimizao on-line para otimizar a performance daplanta

O desenvolvimento do modelo dinmico a partir dosdados da planta consome muito tempo

A estratgia pode ser facilmente atualizada em linhapara compensar mudanas nas condies doprocesso, restries ou critrio de performance

Os modelos, por serem empricos, s so vlidos nafaixa de condies que foram consideradas duranteos testes



Modelo Dinmico

Um aspecto-chave do MPC o fato de ser usado um modelo dinmico para prever ocomportamento futuro do processo, isto , os valores futuros das sadas controladas. No modelo deconvoluo discreto os coeficintes podem ser obtidos experimentalmente da resposta ao degrausem assumir uma estrutura para o modelo. O modelo emprico pode ser

Modelo Linear - funo de transferncia, resposta ao degrau ou modelo no espao de estadoslinear ou linearizado

Modelo no linear - redes neurais ou modelo no espao de estado no-linear



Modelo de resposta ao degrau

Uma propriedade fundamental para esta modelagem o princpio da superposio queimplica que a resposta a qualquer combinao linear de sequncias de entradas simplesmenteuma combinao linear de sequncias de sadas, ou seja,

u = 1u(1)+2u(2)+ ... y = 1y(1)+2y(2)+ ...

Ento desenvolvemos o modelo de convoluo, que pode ser interpretado como a soma deuma srie de variaes-degrau como mostrado a seguir

yk =N

i=1

aiuki

Onde yk o valor predito da sada, uk = ukuk1 e a1,a2, ...,aN so os coeficientes da respostaao degrau. Alm disso, uk1 = 0, se k i < 0 e u0 = u0.



Modelo de resposta ao impulso

Os coeficintes da resposta ao impulso unitrio do processo, h1,h2, ...,hN so expressos por

hk = akak1, k = 1,2, ...,N e h0 = 0

e o modelo de convoluo discreto, usando os coeficientes da resposta ao impulso, :

yk =N

i=1

hiuki



Controle por Matriz dinmica (DMC)

Estratgia de Implementao - Horizonte Mvel

O controle preditivo, tal como o DMC, envolve uma sequncia de operaes

1. A cada instante de amostragem um modelo de convoluo discreto usado para predizer astrajetrias das sadas do processo sobre um intervalo de tempo futuro finito, dado em termos deR intervalos de amostragem (parmetro de projeto chamado horizonte de otimizao).

2. Uma Sequncia de L movimentos de controle determinada tal que uma funo objetivo sejaminimizada. Porm devido a distrbios e erros de modelagem o comportamento predito irdiferir do comportamento real, de modo que os movimentos de controle determinados podemno ser apropriados em seu todo.

3. Portanto, tipicamente apenas o primeiro movimento calculado das entradas do processo implementado de fato, aps o que, todo o procedimento repitido no prximo instante deamostragem, comeando em 1, quando uma nova medida tomada. Esta corresponde estratgia do enfoque de horizonte mvel.



Controlador DMC

Para processos SISO, o DMC utiliza o seguinte modelo de convoluo discreto para predizera sada no prximo instante de amostragem k+1 ou predio passo simples:

yk+1 =N

i=1

hiuk+1i

Note que para predizer a sada, preciso fornecer o valor da entrada presente uk e osvalores passados. Os parmetros do modelo hi so os coeficintes da resposta ao impulso unitrio.Outra maneira equivalente de representar a sada predita yk+1 usar a forma recursiva do modeloexpressa em termos de variaes incrementais.

yk+1 = yk +N

i=1

hiuk+1i Onde uk = ukuk1

Em seguida estendemos o modelo de convoluo para R instantes futuros

yk+ j = yk+ j1 +N

i=1

hiuk+ ji

Para j = 1,2, ...,R, em que R < N.



A informao realimentada yk permite que a predio seja corrigida recursivamente.

yck+ j = yk+ j +(yck+ j1 yk+ j1)

para j = 1,2, ...,R e yck = yk. Isto equivale a admitir que o erro de predio intrinseco equaoanterior corresponde ao erro observado no instante atual, isto , yk yk, e que o mesmo vale paraqualquer valor de j. Substituindo a sada estimada na equao anterior obtemos

yck+ j = yck+ j1 +

N

i=1

hiuk+ ji

A equao acima pode ser escrita na forma de vetor-matriz para os R instantes futuros.Assim,

yck+1yck+2

.

.

.

yck+R1yck+R

=

a1 0 ... 0 0a2 a1 ... 0 0

.

.

.

aR1 aR2 ... a1 0aR aR1 ... a2 a1

ukuk+1

.

.

.

uk+R2uk+R1

+

yk +P1yk +P2

.

.

.

yk +PR1yk +PR



em que os ai so os coeficientes da resposta ao degrau definidos por ai =i

j=1

h j. e

Pi =i

m=1

Sm i = 1,2, ...,R

Sm =N

i=m+1

hiuk+mi m = 1,2, ...,R

Os valores desejados para a varivel controlada ydk+ j( j = 1,2, ...,R) podem ser especificadospor uma trajetria de referncia ( O prprio set point ou uma aproximao suave para este):

ydk+ j = jyk +(1 j)rk para j = 1,2, ...,R e 0 < 1.

O parmetro determina o quo rapidamente a trajetria atinge o set point rk. em formamatricial

ydk+1ydk+2

.

.

.

ydk+R1ydk+R

=

1yk +(11)rk2yk +(12)rk

.

.

.

R1yk +(1R1)rkRyk +(1R)rk



Subtraindo a equao do valor desejado para a sada do valor predito em malha fechada,tem-se:

E =Au+ E

Onde A a matriz dos coeficientes da resposta ao degrau, u o vetor R-dimensional dasvariaes na entrada. Os demais vetores so definidos por:

E =

ydk+1 yck+1

ydk+2 yck+2...

ydk+R1 yck+R1

ydk+R yck+R

E =

(11)EkP1(12)EkP2

.

.

.

(1R1)EkPR1(1R)EkPR

Onde Ek = rkyk. Note que E e E so vetores de erros preditos. E uma predio em malhaaberta uma vez que calculado com base nas aes de controle passadas e representa o desviopredito da sada em relao trajetria desejada. Ele no inclui as aes de controle corrente efuturas ( uk+ j, para j 0). Por outro lado, E referido como uma predio em malha fechada umavez que baseado em aes de controle corrente e futuras.



Se for exigido que a sada predita seja igual sada desejada, o que corresponde ao projetoprottipo mnimo, ento E = 0 e

0 =Au+ E

consequentemente,

u = (A)1 E

A estratgia DMC consiste em obter um sistema sobredeterminado, reduzindoarbitrariamente a dimenso do vetor u de R para L, admitindo que uk+ j = 0 para j L. Assim,apenas L aes futuras de controle so calculadas e a equao passa a ser

yck+1yck+2

.

.

.

yck+R1yck+R

=

a1 0 ... 0a2 a1 ... 0

.

.

.

aR1 aR2 ... aRLaR aR1 ... aRL+1

ukuk+1

.

.

.

uk+L2uk+L1

+

yk +P1yk +P2

.

.

.

yk +PR1yk +PR

Agora a equao do erro dada por E = Au+ E , em que A a matriz dinmica dedimenso RxL, definida como as L primeiras colunas de A.



O sistema sobredeterminado no tem uma soluo exata. possvel, entretanto, obter amelhor soluo no sentido dos mnimos quadrados, minimizando o ndice de performance:

J(u) = ET QT Q E +uT Ru

Onde Q uma matriz de ponderao definida positiva com dimenso RxR. Q ir permitir aintroduo de penalidades nos erros preditos e R uma matriz de ponderao LxL que ir penalizaros movimentos da varivel manipulada. A soluo tima

u = (AT QT QA+R)1AT QT Q E = KC E

em que KC a matriz de ganhos feedback LxR. Para sistemas lineares, em que a matriz A constante e a matriz KC precisa ser calculada apenas uma vez. Normalmente aplica-se apenas aprimeira ao de controle uk.

Ao utilizar o horizonte mvel, apenas a primeira fila da matriz KC, contendo R elementos, usada na equao. Denotando a primeira fila de KC como KTcl , tem-se:

uk = KTcl E



Exerccio 1

Considere o sistema com funo de transferncia dada por:

G(s) = y(s)u(s)

=e5s

5s+1

Calcular a matriz de ganhos feedback do controlador DMC e avaliar a resposta dinmica malha fechada para uma variao degrau unitrio no valor desejado, assumindo que o modelo sejaperfeito, usando os parmetros de projeto T = 2,5 , N = 22, R = 11, L = 4



Algoritmo de controle para sistemas multivariveis

Estendendo os resultados desenvolvidos para sistemas MIMO, usando o princpio dasuperposio. Para um sistema com M entradas e M sadas, o modelo de convoluo torna-se:

y1,k+1 =N

i=1

h11,iu1,k+1i+ ...+N

i=1

h1M,iuM,k+1i

y2,k+1 =N

i=1

h21,iu1,k+1i+ ...+N

i=1

h2M,iuM,k+1i...

yM,k+1 =N

i=1

hM1,iu1,k+1i + ...+N

i=1

hMM,iuM,k+1i

que representam os valores preditos de y1, ...yM para o instante de amostragem k + 1. Ohorizonte do modelo N selecionado como o maior horizonte de resposta entre os M2 modelos.



Estendendo o modelo de convoluo para R instantes futuros, tem-se:

y1,k+ j = y1,k+ j1+N

i=1

h11,iu1,k+ ji+ ...+N

i=1

h1M,iuM,k+ ji

y2,k+ j = y2,k+ j1+N

i=1

h21,iu1,k+ ji+ ...+N

i=1

h2M,iuM,k+ ji...

yM,k+ j = yM,k+ j1 +N

i=1

hM1,iu1,k+ ji+ ...+N

i=1

hMM,iuM,k+ ji

para j = 1,2, ...,R. A seguir corrige-se o valor predito com base no valor atual, ou seja, paraj = 1,2, ...,R :

yc1,k+ j = y1,k+ j +(yc1,k+ j1 y1,k+ j1)

yc2,k+ j = y2,k+ j +(yc2,k+ j1 y2,k+ j1)

.

.

.

ycM,k+ j = yM,k+ j +(ycM,k+ j1 yM,k+ j1)

onde

yc1,k = y1,kyc2,k = y2,k

.

.

.

ycM,k = yM,k



Substituindo a sada estimada na equao anterior obtemos o modelo corrigido:

yc1,k+ j = yc1,k+ j1 +N

i=1

h11,iu1,k+1i+ ...+N

i=1

h1M,iuM,k+1i

yc2,k+ j = yc2,k+ j1 +

N

i=1

h21,iu1,k+1i+ ...+N

i=1

h2M,iuM,k+1i...

ycM,k+ j = ycM,k+ j1 +

N

i=1

hM1,iu1,k+1i+ ...+N

i=1

hMM,iuM,k+1i

A equao pode ser escrita na forma vetor-matriz para os R instantes futuros. Assim,

yc1yc2...

ycM1ycM

=

A11 A12 ... A1M1 A1MA21 A22 ... A2M1 A2M

.

.

.

AM11 AM12 ... AM1M1 AM1MAM1 AM2 ... AMM1 AMM

u1u2

.

.

.

uM1uM

+

y1,kF +P1y2,kF +P2

.

.

.

yM1,kF +PM1yM,kF +PM



Em que cada partio triangular:

Ai j =

ai j,1 0 ... 0 0ai j,2 ai j,1 ... 0 0

.

.

.

ai j,R1 ai j,R2 ... ai j,1 0ai j,R ai j,R1 ... ai j,2 ai j,1

Sendo ai j,m =m

l=1

hi j,1 e os demais elementos dados por

ycn = [ycn,k+1 ycn,k+2 ... y

cn,k+R]

T n = 1,2, ...,M

un = [un,k un,k+1 ... un,k+L1] n = 1,2, ...,M

F = [1 1 ... 1]T

Pn = [Pn,1 Pn,2 ... PTn,R] n = 1,2, ...,M

Pn, j =j

m=1

Sn,m j = 1,2, ...,R

Sn,m =N

i=m+1

M

l=1

hnl,iul,k+mi m = 1,2, ...,R



A trajetria desejada expressa por

yd1,k+ j = j1y1,k +(1

j1)r1,k

yd2,k+ j = j2y2,k +(1

j2)r2,k

.

.

.

ydM,k+ j = jMyM,k +(1

jM)rM,k

em que n so constantes entre 0 e 1. Na forma matricial, tem-se:

yd1yd2...

ydM1ydM

=

c1y1,k +(F c1)r1,kc2y2,k +(F c2)r2,k

.

.

.

cM1yM1,k +(F cM1)rM1,kcMyM,k +(F cM)rM,k

em que cn = [1n 2n ... Rn ]. Subtraindo o valor desejado do predito teremos:E =Au+ E



Os vetores so definidos por:

E =

yd1 yc1yd2 yc2

.

.

.

ydM1 ycM1ydM ycM

E =

(F c1)E1,kP1(F c2)E2,kP2

.

.

.

(F cM1)EM1,kPM1(F cM)EM,kPM

em que:

E1,k = r1,k y1,kE2,k = r2,k y2,k

.

.

.

EM,k = rM,k yM,k

Aplicando a estratgia DMC de maneira anloca ao caso SISO, chega-se a

E =Au+ E

Onde, E e E so vetores de dimenso MR e u um vetor de dimenso ML. Assim,



E = [ E1,k+1 ... E1,k+R ... EM,k+1 ... EM,k+R]T

E = [ E 1,k+1 ... E 1,k+R ... E M,k+1 ... E M,k+R]T

u = [u1,k+1 ... u1,k+R ... uM,k+1 ...uM,k+R]T

No caso em que h M entradas e M sadas, a matriz dinmica A tem a seguinte estrutura:

A =

A11 A12 ... A1M1 A1MA21 A22 ... A2M1 A2M

.

.

.

AM11 AM12 ... AM1M1 AM1MAM1 AM2 ... AMM1 AMM

Em que cada partio

Ai j =

ai j,1 0 ... 0ai j,2 ai j,1 ... 0

.

.

.

ai j,R1 ai j,R2 ... ai j,RLai j,R ai j,R1 ... ai j,RL+1

Note que cada Ai j RxL; portanto, A MRxML.



A lei de controle preditivo tem a mesma forma que o sistema SISO, ou seja:Utilizando o ndice de performance:

J(u) = ET QT Q E +uT Ru

E a soluo tima ser:

u = (AT QT QA+R)1AT QT Q E = KC E



Exerccio 2

A coluna de destilao da figura abaixo usada para separar uma mistura de 60% molar debenzeno e 40% molar de tolueno, em destilado com 95% molar de benzeno e 5% molar de tolueno,e produto de fundo com 5% molar de benzeno e 95% molar de tolueno.



A taxa de alimentao de 1.000 lb/h e entra no stimo prato a partir do topo. A colunatem 13 pratos, um refervedor parcial, um condensador total e eficincia de Murphree de 70%. Acomposio do destilado, medido como %molar de tolueno, e a composio do fundo, medidocomo %molar de benzeno, so controladas manipulando a vazo de refluxo e a carga trmica aorefervedor. O controlador de presso mantm a presso constante, e os dois controladores denvel mantm os balanos materiais no topo e no fundo, manipulando as duas vazes de produtos.Para determinar os ganhos estacionrios foram realizados testes na coluna que apresentaram oseguinte quadro:

Os ganhos de malha aberta foram calculados da seguinte maneira:

KDwR =4,435,69

132,59131,29 =0,97 %molar/klb/h

KDQ =5,874,34

30,2329,97 = 5,88 %molar/Mbtu/h



KBwR =5,844,25

132,59131,29 = 1,22 %molar/klb/h

KBQ =4,056,06

30,2329,97 =7,73 %molar/Mbtu/h

em que: D = composio do destilado, B = composio do destilado, wR = composio dodestilado, Q = composio do destilado.

Assume-se que os analisadores sejam to lentos que a composio atinja o estado estacionrioentre amostragens. Assume-se tambm que os analisadores introduzem um tempo morto de umintervalo de amostragem em cada medidor de composio. Com isso, as funes de transfernciada coluna so:

yD =0,97z2wR(z)+5,88z2Q(z)xB(z) = 1,22z2wR(z)7,73z2Q(z)

em que: yD = % molar de tolueno no destilado; xB = % molar de benzeno no produto do fundoNesse caso, necessita-se de apenas dois termos no vetor da resposta (N = 2). Adota-se ento,

R = 2 e L = 1.



Os coeficintes das respostas ao degrau so expressos seguir:

a1,1 =

[0

0,97

]a1,2 =

[0

5,88

]

a2,1 =

[0

1,22

]a1,2 =

[0

7,73

]

Para R = 2 e L = 1, as matrizes dinmicas so:

A1,1 =[

00,97

]A1,2 =

[0

5,88

]

A2,1 =[

01,22

]A1,2 =

[0

7,73

]

A matriz dinmica ento expressa por:

A =[

A1,1 A1,2A2,1 A2,2

]=

0 00,97 5,88

0 01,22 7,73



Adotando as matrizes de ponderao como:

Q = I R =[ f1 0

0 f2]

A matriz de ganhos feedback calculada por:

Kc = (AT QT QA+R)1AT QT Q

Para o caso de f1 = f2 = 0, ou seja sem supresso de movimentos, ento:

Kc =[

0 23,8 0 18,10 3,76 0 2,99

]

Estes ganhos so considerados altos. Com parmetros de supresso de movimento f1 = 0,1e f2 = 0,1, a matriz de ganhos fica:

Kc =[

0 2,35 0 1,770 0,314 0 0,365

]

A matriz de ganhos multiplicada pelo vetor de erros preditos, o que resulta em:

u = (AT QT QA+R)1AT QT QE = Kc E

wR =2,35Ey1,77Ex Q =0,314Ey0,365Ex



Tratamento de restries do processo

Um aspecto chave de muitos problemas de controle a presena de restries em ambas asvariveis: controlada e manipulada. Basicamente existem trs tipos de restries de processo:

1. Restries nas variveis manipuladas2. Restries nas taxas de variao das variveis manipuladas3. Restries nas variveis de sada

No controlador DMC, os parmetros de sintonia podem ser ajustados para satisfazer asrestries nas variveis manipuladas. Especificamente, o fator de ponderao f e o horizonte decontrole L tm maiores efeitos no esforo de controle. Entretanto a seleo iterativa dos parmetrosde sintonia deve ser feita no procedimento de projeto, at que as restries sejam satisfeitas; o quevem a ser um procedimento insatisfatrio.



Incluso de restries no DMC

As restries so classificadas em fixas e variveis no tempo.

Fixas: so restries sempre ativas ( as variveis devem obedec-las sempre) Restries variveis: dependendo das medidas feitas na planta ou de outras condies, elas

podem ser ativadas ou no. Assim, tornam-se parte do modelo do sistema de controle apenasquando so ativadas. Em todos os outros instantes elas so invisveis ao modelo de controle.

Um mtodo mais direto de satisfazer as restries nos valores correntes e futuros dasvariveis manipuladas e controladas modificar a equao

E =Au+ E

Adicionando explicitamente as restries ativas na equao.



Restrio na varivel manipulada i

Restrio ativa no limite mximo

ui ui,max

A fim de obter respostas mais suaves, para cada intervalo de tempo futuro k+ j 1, o valorda varivel manipulada tem de satisfazer:

ui,k+ j1 ui,max

Da pode-se acrescentar equaes do tipo:

Ei j = ui,maxTOLui,k+ j1

Ei j = ui,maxTOLui,k1j

l=1

ui,k+l1

Ei j = ui,maxj

l=1

ui,k+l1TOLui,k1



Em que TOL uma tolerncia para no se trabalhar no limite ui,max. Para cada j, acrescenta-semais uma linha na equao E =Au+ E . Na matriz A, essa linha do tipo:

[1 1 ... 1 j

0 0 ... 0]

No vetor E acrescenta-se o elemento:

ui,maxTOLui,k1

Restrio ativa no limite mnimo

ui ui,min

O procedimento anlogo ao caso anterior, porem a equao a ser acrescentada :

Ei j = ui,k+ j1ui,min+TOL



Restrio na varivel controlada i

Restrio ativa no limite mximo

yi yi,max

Impe-se que :

ri,k = yi,max

Restrio ativa no limite mnimo

yi yi,min

Impe-se que :

ri,k = yi,min



Soluo do problema com restries

Podemos representar as equaes do modelo que incluem as restries fixas da seguinteforma:

E =Au+ E

e as que incluem apenas as restries ativas no momento como:

E =Au+ E

[EE

]=

[AA

]u+

[E E

]

A soluo do problema de mnimos quadrados associada a esse conjunto de equaes fica:

u = (AT A)1AT E

u = u+PAT(APAT + I)1( EAu)

Em que, P = (AT A)1



Controlador LDMC

O LDMC(Linear Dynamic Matrix Control)(Morshedi et al., 1985) possui propriedadesadicionais s do DMC que o tornam bastante apropriado para aplicaes em linha. Nestecontrolador o critrio de timizao no o de mnimos quadrados, mas sim a soma dos valoresabsolutos dos resduos, que transformada para se enquadrar no problema geral de programaolinear.

O algoritmo LDMC

O desenvolvimento do algoritmo parte da formulao do DMC, diferindo apenas na definioda funo objetivo e no tratamento das restries. No h distino entre o caso mono emultivariveis, pois o tratamento idntico. Considerando novamente a equao do erro:

E =Au+ E

Impondo-se que o valor previsto seja igual ao calculado, ento:

Au = E

Tambm podemos incorporar o fator de supresso de movimentos. Para tal, pr-multiplicamosa equao acima por AT , fornecendo:

AT Au = AT E



Pode-se adicionar um parmetro positivo f aos elementos da diagonal de AT A para restringir otamanho de u.

(AT A+ f I)u = AT E

Se o problema for multivarivel escolhe-se um parmetro fi para cada varivel manipulada.Portanto, de forma geral:

(AT A+R)u = AT E

em que,

R =

f1I 0 ... 00 f2I ... 0

.

.

. 00 0 0 f3I

Definindo-se um vetor resduo:

= (AT A+R)uAT E



Frisa-se que o nmero de equaes maior que o nmero de incgnitas. Resolvendo osistema em alguma norma matemtica, ser gerado um vetor de aes futuras de controle quelevar o sistema ao valor desejado de modo timo. O LDMC resolve o seguinte problema deotimizao:

minu

= w||

Sujeito a um conjunto de restries lineares. O resduo e a matriz w, de pesos adotados, soespressos por:

=

kk+1

.

.

.

k+L2k+L1

w =

w1 0 ... 0 00 w2 ... 0 0

.

.

.

0 0 ... wL1 00 0 ... 0 wL

O problema no pode ser resolvido diretamente por programao linear, define-se:

= x z com xi,zi 0



Se k+i positivo, ento k+i = xk+i e zk+i = 0; caso contrrio, k+i =zk+i e xk+i = 0. O problemade otimizao pode ser recolocado.

minu,x,z

= w(x+ z)

sujeito a = x z e outras restries lineares.



Controlador QDMC

O QDMC (do ingles Quadratic Dynamic Matrix Control)(Garcia & Morshed, 1986), usa asmesmas equaes de predio do DMC, ou seja:

E =Au+ E

porm, a funo objetivo quadrtica:

J(u) = 12

ET QT Q E + 12

uT Ru

Substituindo o valor do erro de malha fechada na equao do custo teremos:

J(u) = 12

[(Au+ E

)T QT Q(Au+ E )]+ 12

uT Ru

J(u) = 12[uT

(AT QT QA+R)u] E T QT QAu+ 1

2E T QT Q E T

Como o ultimo termo no depende de u, este pode ser removido da funo objetivo. Oproblema do controlador pode ser escrito como:

minu

J(u) = 12[uT

(AT QT QA+R)u] E T QT QAu



ou

minu

J(u) = 12

uT Hu+ cT u

em que,

H = AT QT QA+R e cT = E T QT QA

Observao: Note que H corresponde matriz Hessiana e que c o vetor gradiente do QP.

No enfoque do horizonte mvel, esse QP resolvido a cada execuo do controlador aps aobteno de uma nova leitura. Note que o nico elemento que varia com o tempo nesse problema o vetor E . Ou seja, a Hessiana do QP permanece constante em todas as execues.


Predictive control

Documents

Transcript of Predictive control