AANNAALLOOGGNNII EELLEEKKTTRRIIČČNNII MMJJEERRNNII IINNSSTTRRUUMMEENNTTII Osnovna podjela električnih mjernih instrumenata je na analogne i digitalne. Kod analognih mjernih instrumenata pokazivanje ili izlazni signal je kontinuirana funkcija mjerene veličine, a kod digitalnih instrumenata izlazni signal je dat u numeričkom obliku.

Osnovni princip rada analognih električnih mjernih instrumenata zasniva se na mehaničkom djelovanju mjerene veličine na pokretni dio instrumenta, usljed čega se ovaj fizički pomjera zajedno sa kazaljkom sa kojom je kruto spregnut. Konstrukciona rješenja ovih instrumenata su relativno jednostavna. Osnovne vrste analognih električnih mjernih instrumenata su:

instrumenti sa pokretnim kalemom,

instrumenti sa unakrsnim kalemima,

instrumenti sa pokretnim željezom,

elektrodinamički instrumenti,

indukcioni instrumenti,

elektrostatski instrumenti.

INSTRUMENTI ZA MJERENJE ISTOSMJERNIH ELEKTRIČNIH VELIČINA 1. INSTRUMENTI S POKRETNIM KALEMOM

Princip rada instrumenta sa pokretnim kalemom

Aktivni obrtni moment je:

NIBlhFhM ==1 , gdje je: N – broj navoja kalema, I – istosmjerna struja koja se mjeri, B – jačina magnetne indukcije u zračnom rasporu, l – dužina vodiča u magnetnom polju, h – širina kalema.

Površina S=l⋅h predstavlja površinu jednog navoja kalema i konstantna je veličina, tako da se jednačina može napisati kao:

. GINBSIM ==1 Ovom aktivnom momentu se suprodstavlja moment spiralnih opruga:

αDM −=2 Vidi se da je protumoment M2 linearna funkcija ugla skretanja

Uzimajući u obzir da je u stacionarnom stanju M1+M2 =0 dobija se:

ID

NBSI

D

G==α

Vidi se da je ugao zakretanja kazaljke direktno proporcionalan vrijednosti jačine struje, koja se mjeri. S druge strane, može se pisati da je:

αα icNBS

DI ==

To znači da će vrijednost mjerene struje biti direktno proporcionalna uglu zakretanja kazaljke. Pri tome, koeficijent

NBS

DIci ==

α

Strujna osjetljivost instrumenta jednaka je recipročnoj vrijednosti strujne konstante:

D

NBS

dI

dS i ==

α

Temperaturna kompenzacija

Shema instrumenta sa otpornikom za temperaturnu kompenzaciju

⇒

+=

RR

UI

krelativna greška zbog promjene temperature. je

kRR

tR

I

Ig

+

∆=

∆=

α

Postupak potpune temperaturne kompenzacije

⇒

++++

=

2323

4 )( RRRRRR

RU

I a (R2ΛR4) ≠

f(∆t) RR

IR

R

II aa ∆

∂

∂+∆

∂

∂≈∆⇒ 3

3

Za slučaj da je ∆Ia=0(A) posljednji izraz će imati vrijednost nula:

23

443

3

324 )()(

R

R

R

R

R

RRRR

R

RRRR =⇒

∆+=

∆+

Proširivanje mjernog opsega ampermetra

A AŠ ŠI I I I I I= + ⇒ = −

,

AA

AA

Š

AŠAAŠŠAŠAŠ

RII

IR

I

IRIRIRIIIIII

−==⇒=∧−=⇒+=

Proširivanje strujnog mjernog područja

Uvodeći relaciju A

In

I= može se pisati:

AA

A

AA

AŠ R

nR

I

IR

II

IR

1

1

1

1

−=

−

=−

=

Kako je I>>IA, to je n>2, odnosno 1n

1

−<1, pa vrijedi da je RŠ<RA.

Proširenje strujnog mjernog područja sa četiri šenta

033022011004321 ;;; InIInIInIInIRRRRRR AA ====∧+++= p

Položaj preklopke 0 – mjerni opseg I0 = n0 IA

Ukupan šent je:

RŠ = R = R1 + R2 + R3 + R4, 10 −=⇒

n

RR A

Š

Položaj preklopke 1 – mjerni opseg I1 = n1⋅I0

Ukupan šent je: RŠ = R2 + R3 + R4 = R – R1,

1

)()(

10

11

1 −

+=+

−=

nn

RRRR

II

IR A

AA

AŠ

1432 n

RRRR =++∧

Položaj preklopke 2 – mjerni opseg I2=n2I0

Otpor šenta je 1

)(

20

213

−

++=+=

nn

RRRRRR A

AŠ 2

43 n

RRR =+⇒

Položaj preklopke 3 – mjerni opseg I3 = n3⋅I0

Analognim postupkom za položaj preklopke 3 dobije se:

3

4 n

RR =

Dakle, za sva tri položaja preklopke (1, 2,3) dobija se, respektivno:

1

432 n

RRRR =++

243 n

RRR =+

34 n

RR = odakle je:

)11

(32

323

3 nnR

n

R

n

RR −⇒=+ )

11(

212 nn

RR −= )1

1(1

1 nRR −=

Uopćeno se može pisati

∑=

=+⋅⋅⋅⋅++=n

KŠKŠKŠŠŠ

RRRRR1

21

11

11

11 +

−+

==∑

=

Š

n

KŠŠKA

A R

RRR

I

In

1)(

21

121

22 +

+

+−+

==∑

=

ŠŠ

n

KŠŠŠKA

A RR

RRRR

I

In

.................................................

11

1

+=+==

∑=

Š

An

KŠK

A

A

nn R

R

R

R

I

In

Proširivanje naponskog mjernog područja

Proširivanje naponskog mjernog područja

)1()1()()()( −=−=−=⇒+=+=+= nRU

URUU

U

RRRR

R

URRIUUU V

VVV

V

VPPV

V

VPVPV

VU

Un =

Odnos RV/UV = 1/IV (Ω/V) zove se karakteristični otpor voltmetra i brojno odgovara recipročnoj vrijednosti struje IV voltmetra pri punom otklonu Proširenje naponskog mjernog područja sa četiri predotpora

Neka je: U1 = n1 UV; U2 = n2 UV ; U3 = n3 UV.

Položaj preklopke1

)1( 111

11 −==⇒= nRRR

U

Un VVP

V

Položaj preklopke 2

12222122

2 )1( VPVVVVPV

RRRnRRRRU

Un −=∧−=+=⇒=

Položaj preklopke 3

2133332133

3 )1( VVPVVVVVPV

RRRRnRRRRRU

Un −−=∧−=++=⇒=

2.INSTRUMENTI SA POKRETNIM ŽELJEZOM

a) b) . Instrument sa pokretnim željezom, a) instrument radi na principu privlačenja, b) instrument radi na principu odbijanja Pri prolasku istosmjerne struje I kroz kalem, energija magnetnog polja kalema je:

2

2

1LIW = L-induktivitet kalema

Uvlačenjem pločice od mekog željeza u vazdušni zazor kalema za ugao dα povečaće se energija magnetnog polja za:

22

2

1)

2

1( IdLLIddW ⋅==

Prema zakonima mehanike energija rotacionog kretanja određena je proizvodom momenta inercije M1 i ugla okretanja dα:

αdMdW 1= 2

1 2

1I

d

dLM

α⇒

M1 + M2 = 0 (M2 = – D α) 2

2

1I

d

dL

D αα =⇒

3.INSTRUMENTI SA UNAKRSNIM KALEMIMA Kod instrumenata sa unakrsnim kalemima pokretni dio se sastoji od dva kruto vezana kalema pomjerena za ugao 2Θ. Kalemi su u polju stalnog magneta ali tako da magnetno polje nije homogeno što rezultira neravnomjernim fluksom. Gustina magnetnog fluksa dostiže maksimalnu vrijednost u sredini procjepa dok prema krajevima opada po kosinusnom zakonu.

Momenti namotaja su: M1=k1I1f1(α) i M2=k2I2f2(α), (k1=S1N1 k2=S2N2) f1(α) i f2(α) f-cije koje definišu promjenu gustine magnetnog fluksa duž vazdušnog procjepa. U položaju ravnoteže momenti se izjednače pa se dobije ugao skretanja

)/( 21 IIf=α Principijelna shema instrumenta sa unakrsnim namotajima

α

α−π

2

222

π=β=α

Ugao me đusobnog

pomjeraja

1

2

α=0

2β

Struja I1 protiče kroz kalem 1 i stvara obrtni momenat:

ααπ

cos)2

sin( 01011 Φ=−Φ= IIM

Struja I2 protiče kroz kalem 2 i stvara obrtni momenat:

αsin022 Φ= IM M1=M2 →I1Φ0cosα = I2Φ0sinα S druge strane je:

1 2N 2 X 1

U UI i I

R R R R= =

+ + ,

1 X 1

2 N 2

I R R

I R R

+=

+ .

Otpori R1 i R2 su zanemarivi, te je:

1 x 1X N

2 N 2

I R IR R

I R I= ⇒ = .

4. ELEKTROSTATSKI INSTRUMENTI Svi elektrostatski instrumenti imaju mjerni mehanizam sastavljen od kondenzatora sa jednom nepokretnom i drugom (pokretnom) pločom, koja je vazana za kazaljku instrumenta. Priključivanjem bilo kakvog napona između ploča stvaraju se električne sile koje pomjeraju pokretnu ploču. Znači, oni mogu da mjere napon i zato se zovu elektrostatički voltmetri ili elektrometri. Kapacitet se mijenja :

ili sa promjenom aktivne površine ploča, ili sa promjenom rastojanja između ploča. - Principijelna shema elektrostatičkog instrumenta

1. Promjena aktivne površine ploča

-Kondenzator sa pokretnom pločom

Trenutna vrijednost energije električnog polja između ploča kondenzatora je:

2

2

1Cuw = -u trenutna vrijednost napona na kondenzatoru

2

1 2

1)( u

d

dC

d

dwtm

αα== - aktivni obrtni moment

Vidi se da je trenutna vrijednost obrtnog aktivnog momenta proporcionalna kvadratu trenutne vrijednosti napona.

T T2

1

0 0

1 1 dC 1 dCM (t)dt dt U

T 2T d 2 d2

1m u= = =α α∫ ∫ . - obrtni moment za period

T Ravnoteža nastaje kod 0,MM 21 =+ gdje je DαM 2 −= , pa je otklon instrumenta jednak:

2

2

1U

d

dC

D αα =

2.Promjena rastojanja izmedju ploča

Kvadratni elektrometar sastoji od dva kondenzatora: jedna polovina pokretne elektrode + kvadranti 2 i 4 (kapacitet C1), jedna polovina pokretne elektrode + kvadranti 3 i 5 (kapacitet C2). Neka je U0 potencijal pokretne elektrode, U1 potencijal kvadranta 2 i 4, a U2 potencijal kvadranta 3 i 5, električna energija sistema je:

2 21 0 1 2 0 2

1 1W C (U U ) C (U U )

2 2= − + − .

Aktivni obrtni moment je :

2 21 21 0 1 0 2

dC dCW 1 1M (U U ) (U U )

2 d 2 d

∂= = − + −

∂α α α .

Kako vrijedi da je α=

α−=

α d

dC

d

dC

d

dC 21,slijedi:

( ) 1 21 2 1 0

U UdCM U U U

d 2

+ = − −

α .

U slučaju ravnoteže kada je 0,MM 21 =+ gdje je DαM 2 −= , otklon instrumenta je:

( ) 1 22 1 0

U U1 dCU U U

D d 2

+ α = − −

α ,

odnosno:

( ) ( ) ( )2 1 0 1 0 2

1 dCU U U U U U

2D dα = − − + − α

2.1.) Idiostatski spoj

oklop

Ux

Nepomična

elektroda

Ux

2x

1 dCU

2D dα =

α

2.2. heterostatski spoj

pxx

px UUd

dC

D

1

2

UUU

d

dC

D

1

α=

−

α=α

5. ELEKTRODINAMIČKI INSTRUMENTI

F

i2

h

β = 0

F

β

l1

i1

x

Magnetna indukcija B, koju stvara nepokretni kalem u njegovoj sredini, određuje se na osnovu relacije:

1 10

1

I NB

l= µ , N1 – broj namotaja nepokretnog kalema, l1 – dužina nepokretnog

kalema. Zakretni moment para sila na pokretni kalem je:

βµ=β= cosININl

bhcosBINhbM 1122

10221 ,

h – širina pokretnog kalema, β – ugao nagiba pokretnog kalema prema uzdužnoj osi nepokretnog kalema. Protumomenat je:

M2 = – Dα. Pokretni kalem će se zaustaviti kod izjednačavanja momenata:

1 2M M 0+ = , → 0

2 2 1 11

bhN I N I cos

D l

µα = β .

1. elektrodinamički ampermetar

2

11221

0 cos IKININDl

bh⋅== β

µα

2. elektrodinamički voltmetar

2UK u ⋅=α

2.elektrodinamički vatmetar

I

P

P

Rv'

Rn

Rs

U

P

Rw'

Rn

Rs

U1 U

I2

I1

Struja koja protiče kroz taj kalem je w

2 R

UI = . Pošto je 21

1 IID

k=α , slijedi da je:

PkUIkR

UI

D

kp1p

w1

1 ===α .

INSTRUMENTI SA POLUVALNIM ISPRAVLJAČEM

Ulaz je i=Imaxsinωt izlaz

≤

≤

==

Tt

tIii

m

fi

p

p

2

T 0

2

Tt0 sinω

iefefm

T

mi

T

isri IIII

tdtIT

IdtiT

II2

2sin

11 2/

00

π

ππω =⇒===⇒== ∫∫

INSTRUMENTI SA PUNOVALNIM ISPRAVLJAČEM

ief

efmT

mi IIII

tdtIT

I22

222sin

2 2/

0

π

ππω =⇒=== ∫

Ako se na ulaz dovede signal izmjenične struje prostoperiodičnog oblika maksimalnog intenziteta od Im, srednja vrijednost je nula a ako se dovede ispravljeni prostoperiodični signal maksimalnog intenziteta pokazivanje će biti 2Im/π. Kvantitativna procjena sistematske greške izražava se koristeči tzv faktor oblika. Faktor oblika se definira kao odnos srednje i efektivne vrijednosti signala. Za

prostoperiodični signal fator je 11.122

≈π

Valni oblik Faktor oblika Procentualna greška

1,11 0

1,57 -29,3

1,15 -3,81

1 +11,1

Primjeri 1. Voltmetar mjernog dometa 100 mV unutrašnjeg otpora Rv=120Ω, spojen je na šent 20A/150 mV vodičima koji imaju svaki po RV=0.8 Ω. Kolika je struja Ix ako voltmetar pokazuje 90 mV?

Nazivni otpor šenta je Ω=== mA

mV

I

UR

Š

ŠŠ

5.720

150

Struja bez korekcije Am

mV

R

UI

Š

VX 12

5.7

90' =Ω

==

Napon na voltmetru prV

VŠV RR

RUU

2+=

Napon na šentu ŠXprVŠ

prVŠXŠ

RIRRR

RRRIU ≈

++

+=

2

)2(

Stvarna struja ARR

RRU

R

UI

ŠV

prVV

Š

ŠX 16.12

)2(=

+==

Pogreška bez korekcije %3.1100'

−=−

=X

XX

I

IIp

2. Na izlazu iz generatora prostoperiodičnog napona dobijen je signal čiji je vremenski oblik dat na slici

a) Odrediti analitički izraz koji odgovara vremenskom obliku ovog signala. b)Odrediti pokazivanje instrumenta kojim se mjeri prikazani signal ako je upotrebljen voltmetar sa pokretnim kalemom bez ispravljanja. Nacrtati vremenski oblik ispravljenog signala i odrediti pokazivanje instrumenta ako je upotrebljen voltmetar sa pokretnim kalemom i:

c) jednostranim ispravljanjem, d) dvostranim ispravljanjem.

a) 0)( Utu = )2sin( ftU m π+ ; U0=1 V; Um=2 V; f=50

Hz; ms 201

==f

t

b) ∫ ===T

sr VdttuT

UU0

0 1)(1

c) jednostrano ispravljanje

≥

=0)(;0

0)();()(11

ptu

tututu ili

−

≥=

0)();(

0)(;0)(12

ptutu

tutu

π

3

3

2)(

1)(

112

7

12

111

0

1111 +=== ∫∫−

f

f

T

dttuT

dttuT

U

π

3

3

1)(

1)(

112

11

12

712

0

1212 +−=== ∫∫f

f

T

dttuT

dttuT

U

d)

−

≥=

0)();(

0)();()(2

ptutu

tututu

π

32

3

1)(

112

0

1112 +=+== ∫ UUdttuT

UT

3. Voltmetar sa pokretnim gvoždjem označen sa V1 i četiri voltmetra za jednosmjerni napon sa pokretnim kalemom, označeni sa V2 do V5, povezani su kako je dato na slici. Izvor napona v(t) ima talasni oblik kako je dato na slici.Odrediti pokazivanje svakog instrumenta.

Napon izvora može se opisati formulom

≤−

−

≤

=

TtT

T

TtU

TtU

tu

p

p

2;

22

0;)(

Voltmetar V1 pokazuje efektivnu vrijednost napona

∫ ==T

eff

Udttu

TV

0

2

3

6)(

1

Voltmetar V2 pokazuje srednju vrijednost napona:

4)(

1

0

Udttu

TV

T

sr == ∫

Voltmetar V3 pokazuje srednju vrijednost napona:

≤

≤

=

TtT

Tttu

tu

p

p

2;0

20);(

)(3

∫ ==T U

dttuT

V0

33 2)(

1

Voltmetar V4 pokazuje srednju vrijednost napona:

≤−

≤

=

TtT

dttu

Tt

tu

p

p

2;)(

20;0

)(4

∫ ==T U

dttuT

V0

44 4)(

1

Voltmetar V5 pokazuje srednju vrijednost napona:

≤−

≤

=

TtT

tu

Tttu

tu

p

p

2);(

20);(

)(5

4

3)(

1

0

55

Udttu

TV

T

== ∫

4.Na ulaze voltmetra sa pokretnim kalemom i dvostranim ispravljanjem koji je baždaren tako da pokazuje efektivne vrijednosti prostoperiodičnog napona dovodi se napon čija je vremenska ovisnost data na slici. -nacrtati talasni oblik dvostrano ispravljenog napona -odrediti pokazivanje instrumenta.

a)

b) Iz 5)2sin(25 ±=T

tπ mogu se odrediti ti (i=1,2,3,4) za prvu periodu u kojim se

funkcija mijenja 82

2)2sin( 1

Tt

T

t=⇒±=π

8

32

Tt =

8

53

Tt =

8

74

Tt =

Prva perioda signala u(t) može se napisati analitički na slijedeći način

≤

≤−

≤

≤

≤

=

TT

T

t

Tt

T

Tt

T

T

t

Tt

T

Tt

T

t

tu

8

7);2sin(25

7

7

8

5;5

8

5

8

5);2sin(25

8

3

8;5

80);2sin(25

)(

π

π

π

p

p

p

p

Za dvostrano ispravljanje napon je:

≤−

≤

≤−

≤

≤

≤

==

TtT

T

t

Tt

T

Tt

T

T

t

Tt

T

T

t

Tt

T

Tt

T

t

tutui

p

p

p

p

p

p

8

7);2sin(25

7

7

8

5;5

8

5

2);2sin(25

28

3);2sin(25

8

3

8;5

80);2sin(25

)()(

π

π

π

π

Srednja vrijednost ovako definisanog napona je

VdttudttuT

dttuT

dttuT

U

T T

T

TT

isr 82.32

5)22(2

5))()(2(

12)(

12)(

1 8

0

8

3

8

2

00

=+−=+=== ∫ ∫∫∫ π

Pokazivanje instrumenta je:

UP1 =1.11 Usr=4.24 V 5. Na ulaze voltmetara V1 i V2 dovodi se napon čija je vremenska zavisnost prikazana na slici. Voltmetar V1 je voltmetar sa pokretnim kalemom i jednostranim ispravljanjem koji je baždaren tako da pokazuje efektivne vrijednosti prostoperiodičnog napona. Voltmetar V2 je voltmetar sa pokretnim gvoždjem. -nacrtati talasni oblik jednostrano ispravljenog signala -odrediti pokazivanje voltmetra V1 - odrediti pokazivanje voltmetra V2

-prva perioda prikazanog napona može se opisati analitičkim izrazom

Odgovarajući jednostrano ispravljeni napon je

Pokazivanje instrumenta je

VUU srP 74.03

211.111.11 ===

Voltmetar V2 mjeri efektivnu vrijednost napona

VdtT

tdt

T

t

Tdttu

TU

T

T

T

T

T

TP 1))

5

24

5

16(64(

1)(

1 4

8

8

7

4

22

28

7

8

212 =−+== ∫ ∫∫

−−