Predavanja E120 - Drugi Kolokvij (1)

1

Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7

3. Magnetizam3.1. Osnovne veličine magnetskog polja (1)

Osnovne veličine magnetskog polja su:

• Jakost magnetskog polja:

• Magnetska indukcija (gustoća magnetskog toka):

Vrijedi jednadžba konstitucije:

Ako je sredstvo izotropno, jednadžba konstitucije glasi:

Značajka sredstva µ zove se:magnetska permeabilnost.

[ ]m/AHr

[ ]TBr

HBrr

⋅µ=

HB ⋅µ=

2


3.1. Osnovne veličine magnetskog polja (2)Magnetska permeabilnost se može izraziti pomoću produkta:

gdje je:

S obzirom na magnetska svojstva razlikujemo 3 osnovne vrste materijala:

• Feromagnetici (µr >> 1) – od kemijskih elemenata: Fe, Ni, Co.

- permeabilnost vakuuma (zraka)

- relativna magnetska permeabilnost.

• Paramegnetici (µr > 1, µr ≈ 1 ) – npr. Al, Pb.

• Dijamagnetici (µr < 1, µr ≈ 1 ) – npr. C, Cu, Ag, Zn, voda.

r0 µ⋅µ=µ

⋅⋅π⋅=µ −

A

mT 104 7

0

rµ

3


3.1. Osnovne veličine magnetskog polja (3)

Animacija: Utvrđivanje da li je materijal

dijamagnetik ili paramagnetik

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/paramagnetism/index.html

4


3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (1)Prirodni magnet je davno otkriven. Utvrđeno je da magnet ima dva pola:

• Sjeverni pol (N –North),

• Južni pol (S –South).

Gilbert 1600. godine je utvrdio da se istoimeni polovi magneta odbijaju, a

raznoimeni polovi privlače.

Magnetsko polje se zorno

prikazuje pomoću silnica.

Analogno električnom

polju, jakost magnetskog

polja je tangencijalna u

odnosu na silnicu.

Hr

5


3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (2)Zemlja je veliki prirodni magnet.

Sjeverni geografski pol

Južni geografski pol

Sjeverni magnetski pol se nalaziu blizini južnog geografskog pola.

Danas mnogi znanstvenici tvrde damagnetski polovi zamjenjuju mjesta.Zadnja takva zamjena je bila prije780 tisuća godina.

Mnoge stijene u kori sadrže podatke o jačini i smjeru magnetskog polja u vrijeme njihovog formiranja.

Zemljino magnetsko polje smanjuje štetan utjecaj kosmičkog zračenja i solarnog vjetra. Stoga za vrijeme svake promjene polova nestaju neke vrste i nastaju nove uslijed mutacije.

N

S

6


3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (3)Prema jednoj od teorija, Zemljino magnetsko polje stvaraju električne struje u rastopljenoj željeznoj Zemljinoj jezgri koja ne rotira sasvim pravilno (postojeturbulencije u njenom toku) pa je stoga i rezultirajuće magnetsko poljenepravilno i nije usmjereno duž osi rotacije Zemlje.

Konkretno, u posljednje vrijeme sjeverni magnetski pol je udaljen nekih 1000 kilometara od geografskog pola i giba se brzinom od 24 kilometra godišnje. Zbog toga je za precizno korištenje kompasa potrebno za svako mjestopoznavati tzv. magnetsku deklinaciju, tj. razliku između smjera u kojempokazuje kompas i smjera geografskog sjevernog pola.

Činjenica je da zemljino magnetsko polje opada brže no i jedan drugigeofizički fenomen. Ovo kontinuirano gubljenje magnetskog polja Zemlje, i vezano za njega povećanje štetnog zračenja, su van ljudske kontrole.

Magnetska indukcija Zemljinog magnetskog polja u Zagrebu iznosi oko 47 µT i usmjereno je pod kutem od 70 stupnjeva s obzirom na horizontalu.

7


3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (4)Elektromagnet nastaje ako oko željezne jezgre namotamo zavojnicu i kroz nju pustimo istosmjernu struju. Smjer magnetskog polja, odnosno položaj sjevernog i južnog pola magneta određuje se po pravilu desne ruke.

Ispruženi palac pokazujesmjer magnetskog poljakroz tijelo magneta.

Savijeni prsti pokazujusmjer električne struje.

8


3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (5)

http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/magneticlines/index.html

Animacija: Silnice magneta

9


3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (6)

http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/compass/index.html

Animacija: Magnetsko polje i orijentacija kompasa

10


3.3. Magnetski tok (1)

Magnetska indukcija se još zove i gustoća magnetskog toka. Dakle, magnetski

tok je tok koji stvara vektor magnetske indukcije:

U specijalnom slučaju kad jevektor magnetske indukcije okomit na plohu S vrijedi da je:

Ako je, uz dosad uvedeni uvjet, B = konst na S, onda je

magnetski tok kroz plohu S:

∫∫ ⋅=ΦS

SdBrr

∫∫ ⋅=ΦS

dSB

SB ⋅=Φ

S

Br

Sdr

11


3.3. Magnetski tok (2)Ako magnetski tok prolazi kroz zavojnicu, onda je taj magnetski tok Φobuhvaćen (ulančen) s N zavoja. Takav obuhvaćeni magnetski tok označavamo sΨ i zovemo ga ulančeni magnetski tok.

Dakle, uz određenu aproksimaciju, za zavojnicu koja ima N zavoja te kroz koju prolazi magnetski tok Φ vrijedi da je ulančeni magnetski tok:

U specijalnom slučaju kad imamo samo jedan zavoj (N = 1), ulančeni magnetski tok jednak je “običnom”magnetskom toku:

Φ⋅=Ψ N

Φ=Ψ

12


3.4. Zakon elektromagnetske indukcije (1)Neka kroz zavojnicu koja ima N zavoja teče vremenski promjenjiva struja jakosti i. Tastruja stvara magnetsko polje, a zavojnica ulančuje magnetski tok:

Prema zakonu elektromagnetske indukcije u zavojnici se inducira EMS naznačenog smjera, koja je opisana izrazom:

Primijetimo da su inducirana EMS e ijakost struje i istog smjera te da imje smjer usklađen sa smjerom ulančenogmagnetskog toka po pravilu desne ruke.

Φ⋅=Ψ N

dt

dN

dt

d e

Φ⋅−=Ψ−=

13


3.4. Zakon elektromagnetske indukcije (2)

Inducirana EMS je posljedica težnje da ulančeni magnetski tok ostane konstantan:

a) jakost struje i raste ⇒ Ψ raste

Dakle, inducirana EMS želi potjerati struju u suprotnom smjeru, tj. poništiti porast struje.

b) jakost struje i pada ⇒ Ψ pada

Dakle, inducirana EMS želi potjerati struju u istom smjeru, tj. nastoji nadoknaditi pad jakosti struje.

.konst=Ψ

0dt

d >Ψ⇒ 0e <⇒

0dt

d <Ψ⇒ 0e >⇒

14



http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday/index.html

Animacija: Faradayev eksperiment – EM indukcija

http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday2/index.html

Animacija: Zakon elektromagnetske indukcije 1

15


3.4. Zakon elektromagnetske indukcije (4)http://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/physics/Lenz's.html

http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/lenzlaw/



16



Ako odabrani smjer induciraneEMS e i odabrani smjerulančenog magnetskog toka ψnisu usklađeni po pravilu desne ruke, onda izraz za induciranu EMS glasi:

Zakon elektromagnetske indukcijese još zove Faradayev zakonelektromagnetske indukcije ili pakLenzovo pravilo.

dt

dN

dt

d e

Φ⋅+=Ψ+=

17


3.5. Djelovanje magnetskog polja na naboj u gibanju (1)

Neka se pozitivni točkasti naboj iznosa q giba u magnetskom polju s poznatom prostornom raspodjelom magnetske indukcije.

Na naboj u gibanju djeluje sila znosa:

Odgovor: Jakosti električnog polja.

( )BvqFr

r

r

×⋅=

Pitanje: Kojoj veličini odgovara

vektor ?Bvr

r×

U specijalnom slučaju kada je Bvr

r ⊥ BvqF ⋅⋅=⇒

Br

q+

Br

vr

Fr

18



Primjer: Neka pozitivni točkasti naboj iznosa q i mase m brzinom v ulijećeokomito u homogeno magnetsko polje.

Pod djelovanjem magnetske (centripetalne) sile vodič se u homogenommagnetskom polju giba po kružnici polumjera R.

19



Polumjer R slijedi iz jednakosti magnetske i centrifugalne sile.

Ovaj primjer je osnova za određivanje ukupnog broja izotopa nekog

kemijskog elementa te postotnog udjela pojedinog izotopa.

Atomi kemijskog elementa se naelektriziraju i puste da okomito ulijeću u

homogeno magnetsko polje.

Kako su izotopi različitih masa, to će im i polumjeri kružnica po kojima se

gibaju biti različiti. Na kraju treba detektirati koliko je atoma udarilou pojedino mjesto.

⇒= FF cfmR

vmBvq

2

⋅=⋅⋅Bq

vmR

⋅⋅=⇒

20


3.6. Djelovanje magnetskog polja na vodič u gibanju (1)

Neka se vodič giba u magnetskom polju s poznatom prostornom raspodjelom magnetske indukcije.

U diferencijalu (luka) vodiča inducira se diferencijalna EMS:

U čitavom vodiču se inducira EMSiznosa:

( )Bvdderr

lr

×⋅=

( ) lrrr

dBveK

⋅×= ∫

Br

K

lr

d

Br

vr

21



Specijalan slučaj: magnetsko polje homogeno, vodič pravocrtan i konačneduljine.

U vodiču se inducira EMS iznosa:

U specijalnom slučaju kad je

( )Bverr

lr

×⋅=

⇒⊥⊥ Bvrr

lr

vBe ⋅⋅= l

22



Inducirana EMS u vodiču koji se giba u magnetskom polju je posljedica

djelovanja magnetske sile na naboj u gibanju (naboj u vodiču koji se giba).

Pod djelovanjem sile, slobodnielektroni se skupljaju na jednoj strani vodiča, a na drugoj straniimamo višak pozitivnog naboja.

Ako je vodič pravocrtan i poljehomogeno, nakon integracije povodiču slijedi da je:

( )Bverr

lr

×⋅=

( ) lrrr

lrr

dBvdEeKK

⋅×=⋅= ∫∫

23



Na konkretnom primjeru pokazat ćemo da se izraz za EMS induciranuu vodiču koji se giba u magnetskom polju može dobiti i iz zakona elektromagnetske indukcije.

S obzirom na odabrani smjer inducirane EMS i smjer magnetske indukcije,odnosno ulančenog magnetskog toka, vrijedi da je:

Po okviru od bakrene žice giba se bakreni vodič.Cijeli sustav vodiča nalazi se u homogenom magnetskom polju.

( )vB

dt

daB

dt

aBd

dt

d

dt

de ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=Φ+=Ψ+= ll

l

24


3.7. Djelovanje magnetskog polja na vodič protjecanstrujom (1)

Neka se vodič protjecan istosmjernom strujom jakosti I nalazi u magnetskom polju s poznatom prostornom raspodjelom magnetske indukcije.

Na diferencijal vodiča djeluje diferencijalna sila:

Na čitav vodič djeluje sila:

( )BdIFdr

lrr

×⋅=

( )∫ ×⋅=K

BdIFr

lrr

Fdr

Br

K

lr

d

Br

I

25


3.7. Djelovanje magnetskog polja na vodič protjecanstrujom (2)

Specijalan slučaj: magnetsko polje homogeno, vodič pravocrtan i konačneduljine.

Na vodič djeluje sila:

U specijalnom slučaju kad je

( )BIFr

lrr

×⋅=

⇒⊥ Br

lr

l⋅⋅= IBF

26


3.8. Biot-Savartov zakon (1)Biot-Savartov zakon daje izraz za računanje jakosti magnetskog polja uzrokovanog strujom koja teče kroz linijski vodič. Polje se računa u proizvoljnoj točki T. Neka kroz vodič teče istosmjerna struja jakosti I.

Diferencijalni oblik Biot-Savartovog zakona glasi:

Integralni oblik zakona glasi:

3r

rd

4

I Hd

rlr

r ×⋅π⋅

=

∫×⋅

π⋅=

K3r

rd

4

I H

rlr

r

27


3.8. Biot-Savartov zakon (2)Primjer 1: Pomoću Biot-Savartovog zakona treba odrediti izraz za izračun jakosti magnetskog polja u centru kružne petlje polumjera a kroz koju teče istosmjerna struja jakosti I.

Vrijedi da je: a r , rd =⊥r

lr

223 a

d

r

d

r

rd

llr

lr

==×

⇒

∫⋅⋅π⋅

=⇒

K2

da4

I H l

a2

I a2

a4

I H

2 ⋅=⋅π⋅⋅

⋅π⋅=⇒

28


3.8. Biot-Savartov zakon (3)Primjer 2: Izraz za izračun jakosti magnetskog polja pravocrtnog vodičakonačne duljine kroz kojeg teče istosmjerna struja jakosti I.

α⋅⋅π⋅

= sina4

IH

( )21 sinsina4

IH α−α⋅

⋅π⋅=

0 , 21 >αα

29


3.8. Biot-Savartov zakon (4)

0 , 21 >αα

( )21 sinsina4

IH α+α⋅

⋅π⋅=

30


3.8. Biot-Savartov zakon (5)Primjer 3 : Beskonačni dugi pravocrtni vodič.

Ovo je granični slučaj vodičakonačne duljine.

2 , 21

π→αα

a2

IH

⋅π⋅=⇒

31



http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/magwire/index.html

Animacija: Magnetsko polje pravocrtnog vodiča 1

32



http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/fieldlines/index.html

Animacija: Magnetsko polje pravocrtnog vodiča 2

33



Ispitni primjeri : Jakost magnetskog polja u centru kvadratne petlje te u centru pravokutne petlje protjecane strujom.

a

I22 45sin

2a

4

I8 H o

⋅π⋅⋅=⋅

⋅π⋅⋅=

β⋅⋅π⋅

⋅+α⋅⋅π⋅

⋅= sin

2b

4

I4 sin

2a

4

I4 H

α−=β=α o90 ; a

b tg arc

34


3.9. Sila između dva vodiča (1)Treba odrediti izraz za silu po jedinici duljine između dva beskonačno duga

međusobno paralelna pravocrtna vodiča. Vodiči se nalaze u zraku.

Pravocrtni vodič ne djeluje sam nasebe.

Po zakonu akcije i reakcije vrijedi da je:

sila na vodič 2 uslijed struje kroz vodič 1.

−21Fr

magnetska indukcija na mjestu vodiča 2 uslijed struje kroz vodič 1.

−21Br

2112 FFrr

−=

35


3.9. Sila između dva vodiča (2)

U ovom slučaju vrijedi da je:

Međusobna sila po jedinici duljine vodiča iznosi:

Vrijedi da je: ( )212221 BI Fr

lrr

×⋅=

[ ]N IB F 222121 l⋅⋅=

[ ]N/m IB F 221duljine jedinici po ⋅=

⇒

⋅π⋅⋅µ=

d2

IB 1

o21 [ ]N/m d2

II F 21

oduljine jedinici po ⋅π⋅⋅⋅µ=

36


3.9. Sila između dva vodiča (3)Elektromagnetski paradoks:

• Istoimeni se naboji odbijaju.

• Struja je usmjereno gibanje naboja.

• Ako struje kroz paralelne vodiče teku u istom smjeru, vodiči se privlače.

Fizikalno objašnjenje:

• Težnja je da se magnetsko polje jednoliko rasporediti po prostoru

(minimum energije).

• Kad struje teku u istom smjeru, polja između vodiča se poništavaju

pa se stoga vodiči privlače.

• Kad struje teku u suprotnom smjeru, polja između vodiča se zbrajaju

pa se stoga vodiči odbijaju.

37


3.9. Sila između dva vodiča (4)

38


3.9. Sila između dva vodiča (5)http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/parallelwires/index.html

Animacija: Sila između paralelnih vodiča

39


1. Zaokružite točan odgovor.

Ogledna ispitna pitanja (1)

dt

d e )a

Ψ+=

dt

d e )b

Ψ−=

2. Zaokružite točan odgovor.

dt

d e )a

Ψ+=

dt

d e )b

Ψ−=

40


3. Pravocrtni vodič konačne duljine giba se brzinomv u homogenommagnetskom polju. Kako glasi izraz za EMS induciranu u vodiču?

Rješenje:

( )e v B= ⋅ ×r urrl


41



4. Pravocrtnim vodičem konačne duljine teče istosmjerna struja jakosti I.Vodič se nalazi u homogenom magnetskom polju. Napišite izraz za silu koja djeluje na vodič.

5. Iskažite Biot-Savartov zakon u diferencijalnom obliku i nacrtajte pripadnu sliku.

6. Iskažite Biot-Savartov zakon u integralnom obliku i nacrtajte pripadnu sliku.

42



7. Kroz trokutastu petlju stranice duljinea teče istosmjerna struja jakosti I.

Napišite izraz za jakost magnetskog polja H u centru petlje i naznačite smjermagnetskog polja.

Rješenje:

Smjer: .

a2

I9 60sin

3v

4

I6 H o

⋅π⋅⋅=⋅

⋅π⋅⋅=

2

3a v

⋅=

43



8. Kroz petlju u obliku pravilnog šesterokuta stranice duljine a tečeistosmjerna struja jakosti I. Napišite izraz za jakost magnetskog polja H ucentru petlje i naznačite smjer magnetskog polja.

Rješenje:

Smjer: .2

3a v

⋅=

a

I3 30sin

v4

I12 H o

⋅π⋅=⋅

⋅π⋅⋅=

44


Ogledna ispitna pitanja (6)9. Kroz kvadratnu petlju stranice duljinea teče istosmjerna struja jakosti I.

Napišite izraz za jakost magnetskog polja H u centru petlje i naznačite smjermagnetskog polja.

10. Kroz pravokutnu petlju kojoj su duljine stranica a i 2⋅⋅⋅⋅a teče istosmjernastruja jakosti I. Napišite izraz za jakost magnetskog polja H u centru petlje inaznačite smjer magnetskog polja.

a

a IT

2⋅a

a IT

45


Ogledna ispitna pitanja (7)11. Kroz petlju prema slici teče istosmjerna struja jakosti I. Napišite izraz za

jakost magnetskog polja H u točki T i naznačite smjer magnetskog polja.

a

a

a

2⋅a

2⋅a

I

T

Rješenje:

Smjer:

a2

I

4

145sin

a4

I6H o

⋅⋅+⋅

⋅π⋅⋅=

46



12. Izračunajte silu po jedinici duljine između dva beskonačno duga pravocrtna

vodiča. Zadano je: I1 = I2 = 100 A; d=0,2 m; µr = 1. Vlada li među vodičima

privlačna ili odbojna sila?

d

I1 I2

Rješenje:

Sila je odbojna

m/N......d2

IIF 21

0 =⋅π⋅

⋅µ= ⋅

47



13. Krozčetiri beskonačno duga međusobno paralelna tanka vodiča teku struje

istog iznosa I i naznačenog smjera. Napišite izraz za silu po jedinici duljine

koja djeluje na vodič 1 i naznačite njen smjer.

Rješenje:432 FFFF

rrrr

++=

a2

II F 21

o2 ⋅π⋅⋅⋅µ=

a22

II F 31

o3 ⋅⋅π⋅⋅⋅µ=

a32

II F 41

o4 ⋅⋅π⋅⋅⋅µ=

432 FFFF −+=Fr

smjer sile

48






Rješenje:

Domaći rad

49






Rješenje:

Domaći rad

50






Rješenje:

Domaći rad

1


3.10. Ampereov zakon (1)Ampereov zakon kaže da je cirkulacija vektora jakosti magnetskog polja jednaka struji obuhvaćenoj konturom duž koje vršimo integraciju. Pri tome su smjer obilaska konture i smjer struje usklađeni po pravilu desne ruke.U dijelu literature Ampereov zakon se zove i zakon protjecanja.

Ampereov zakon glasi:

Za primjer dan slikom vrijedi:

gdje je Θ oznaka za magnetomotornu silu (MMS).

Θ==⋅∫ obK

IdH lrr

321K

IIIdH −+=⋅∫ lrr

2


3.10. Ampereov zakon (2)Primjer 1 : Pomoću Ampereovog zakona treba dobiti izraz za jakost magnetskog polja oko beskonačno dugog pravocrtnog vodiča protjecanog istosmjernom strujom jakosti I.

Lako je uočiti da postoji osna simetrija.Stoga se za krivulju integracije bira koncentrična kružnica.

K duž konst. H ; d H =⇒ lrr

IIHdHdH obKK

==⋅=⋅=⋅ ∫∫ lllrr

Ia2H =⋅π⋅⋅⇒I

H2 a

⇒ =⋅ π ⋅

3


3.10. Ampereov zakon (3)Primjer 2 : Pomoću Ampereovog zakona treba dobiti izraz za jakost magnetskog polja unutar beskonačno dugog pravocrtnog vodiča protjecanog istosmjernom strujom jakosti I.

Lako je uočiti da opet postoji osna simetrija.

Gustoća struje:

Za r < ro vrijedi:

konst. r

I

S

I J

2o

=π⋅

==

π⋅π⋅⋅=⋅=⋅π⋅⋅=⋅∫ 2

2ob

K 0r

rI

S

SIr2HdH l

rr

2or2

rI H

⋅π⋅⋅=⇒

4


3.10. Ampereov zakon (4)

Dakle, jakost magnetskog polja unutar i izvan beskonačno dugog pravocrtnog vodiča protjecanog istosmjernom strujom jakosti I opisana je izrazom:

0rrzar2

rI H

2o

<⋅π⋅

⋅=⇒

or r za r2

I H ≥

⋅π⋅=

5


3.10. Ampereov zakon (5)Za beskonačno dugi pravocrtni koaksijalni kabel prikazan na slici, pomoću Ampereovog zakona, odredite izraz za jakost magnetskog polja u ovisnosti o r ako je:

a) r < r1 ; H1 = ?

b) r1 < r < r2 ; H2 = ?

c) r2 < r < r3 ; H3 = ?

d) r > r3 ; H4 = ?

6


3.10. Ampereov zakon (6)

a) r < r1

2ob

11r2

rI

r2

I H

⋅π⋅⋅=

⋅π⋅=

b) r1 < r < r2

r2

I

r2

I H ob

2 ⋅π⋅=

⋅π⋅=

c) r2 < r < r3

22

22

22

22ob

323

3

23

2

rr

rr

r2

I

rr

rr 1

r2

I

r2

I H

−−⋅

⋅π⋅=

−−−⋅

⋅π⋅=

⋅π⋅=

d) r > r3 0 r2

I H ob

4 =⋅π⋅

=

7


3.11. Torusna zavojnica (1)Pomoću Ampereovog zakona treba dobiti izraz za jakost magnetskog polja torusne zavojnice. Na torusnu jezgru je namotano N zavoja torusne zavojnice. Neka kroz zavojnicu teče istosmjerna struja jakosti I.

Poprečni presjek torusne jezgre

8


3.11. Torusna zavojnica (2)

Lako je uočiti da postoji osna simetrija. Stoga se za krivulju integracije bira koncentrična kružnica.

Izvan zavojnice vrijedi da je:

K duž konst. H ; d H =⇒ lrr

21 rrr Za ≤≤⇒ (unutar zavojnice)

IN H dHK

⋅=Θ=⋅=⋅∫ llrr

r2

ININH

⋅π⋅⋅=⋅=⇒

l

0H 0IH ob =⇒==⋅ l

9



U jezgri jakost magnetskog polja opada s polumjerom r.Dakle, magnetsko polje nije homogeno na poprečnom presjeku torusne jezgre.

Često se pretpostavlja da je magnetsko polje homogeno na poprečnom presjeku jezgre, tj. uzima se da je:

gdje je:

srsr r2

ININH

⋅π⋅⋅=⋅=

l

2

rrr 21sr

+=

10



Aproksimacija (približna vrijednost) magnetskog toka torusne jezgre opisana je izrazom:

ili kraće pisano:

Magnetomotorna sila torusne zavojnice:

Približna vrijednost magnetskog otpora jezge:

SIN

SH SB sr

⋅⋅⋅µ=⋅⋅µ=⋅=Φl

otpor Magnetski

MMS

R

m=Θ=Φ

IN ⋅=Θ

SR sr

m ⋅µ= l

11


3.12. Ravna zavojnica (1)

Vrlo je komplicirano izračunatitočnu raspodjelu jakosti magnetskog polja ravne zavojnice.

Koristi se približna formula zasnovana na zanemarenju magnetskog otpora okolnog sredstva.Ako uzmemo da okolno sredstvo nema magnetskog otpora, to je istokao da smo uzeli da je izvan jezgre zavojnice H = 0.

12


3.12. Ravna zavojnica (2)

Uz zanemarenje magnetskog otpora okolnog sredstva, magnetsko polje unutar zavojnice je homogeno te je opisano izrazom:

dok je magnetski otpor jezgre:

Neka je S površina poprečnog presjeka jezgre.

SRm ⋅µ

= l

konst.IN

H =⋅≈⇒

l

0H =

0H =

0H =0H = Hr

l

13


3.13. Samoinduktivitet (1)Neka se na feromagnetskoj jezgri (µ >> µ0) nalazi svitak koji ima N zavoja. Neka kroz svitak teče vremenski promjenjiva struja. Pretpostavljamo da se sav magnetski tok Φ zatvara kroz feromagnetsku jezgru.

Po zakonu elektromagnetske indukcije, u svitku se inducira EMS. S obzirom na odabrane smjerove, vrijedi da je:

dt

d e

Ψ−=

14


3.13. Samoinduktivitet (2)

gdje je: ψ -

L -

i -

ulančeni magnetski tok [Vs],

induktivitet (samoinduktivitet, vlastiti induktivitet) [H],

jakost struje [A].

Ujedno vrijedi da je:

Općenito vrijedi da je: iL ⋅=Ψ

Za zavojnicu (svitak) vrijedi da je: Φ⋅=Ψ N

dt

diL

dt

d e ⋅−=Ψ−=⇒

mm R

diN d

R

iN

⋅=Φ⇒⋅=Φ

15


3.13. Samoinduktivitet (3)

Iz prethodno navedenih izraza slijedi da je:

Iz ovog izraza lako se dobije da je induktivitet svitka:

U ovom slučaju magnetski otpor je:

dt

di

R

N

dt

dN

dt

diL

dt

d e

m

2

⋅−=Φ⋅−=⋅−=Ψ−=

R

N L

m

2

=

S

R srm ⋅µ

≈ l

16


3.14. Međuinduktivitet dvaju svitaka (1)Neka se na feromagnetskoj jezgri (µ >> µo) nalaze dva svitak koji imaju N1 i N2 zavoja. Neka kroz prvi svitak teče vremenski promjenjiva struja i1, dok je drugi svitak u praznom hodu. Pretpostavimo da se sav magnetski tok Φ1 zatvara kroz feromagnetsku jezgru.

Po zakonu elektromagnetske indukcije, promjenjiva struja u svitku 1 stvara promjenjivi magnetski tok koji u oba svitka inducira EMS.

17


3.14. Međuinduktivitet dvaju svitaka (2)

U svitku 2 se inducira EMS:

Vrijedi da je:


gdje je: ψ21 -

M = M21 = M12 -

i1 -

ulančeni magnetski tok koji stvrara struja svitka 1, a ulančuje ga svitak 2.

međuinduktivitet svitaka,

jakost struje u prvom svitku.

dt

dN

dt

d e 1

221

2Φ⋅−=Ψ−=

m

111

m

111 R

diN d

R

iN

⋅=Φ⇒⋅=Φ

121 iM ⋅=Ψ

18



Iz prethodno navedenih izraza slijedi da je:

Slijedi da je međuinduktivitet svitaka:

dt

di

R

NN

dt

dN

dt

diM

dt

d e 1

m

2112

1212 ⋅⋅−=Φ⋅−=⋅−=Ψ−=

R

NN M

m

21 ⋅=

19



Dakle, vrijedi da je:

m

21

m

22

2m

21

1

R

NN M

R

N L ;

R

N L

⋅=

==

21 LLM ⋅=⇒

Izraz vrijedi uz pretpostavku da sav magnetski tok što ga

stvara jedna zavojnica ulančuje druga. Tada kažemo da zanemarujemo

rasipni magnetski tok.

21 LLM ⋅=

20


3.15. Rasipni magnetski tok (1)

Struja koja teče kroz svitak 1 stvara magnetski tok.

Onaj dio toka kojeg stvara struja svitka 1, a ne ulančuje ga svitak 2 nazivamo rasipnim magnetskim tokom (tok Φ1σ).

Budući da je jezgra feromagnetska, glavnina toka se zatvara kroz jezgru, odnosno ulančuje ga svitak 2. Taj tok (Φ1m¸) nazivamo glavnim magnetskim tokom.

gl1m1 Φ=Φ

21


3.15. Rasipni magnetski tok (2)

Dakle, ukupni se tok kojeg stvara struja i1 može izraziti pomoću sume:

Sada relaciju koja povezuje vlastite induktivitete i međuinduktivitet pišemo u obliku:

gdje je k tzv. faktor ulančenja.

Ako nema rasipnog toka, onda je k = 1.

σΦ+Φ=Φ 1m11

1k 0 ; LLkM 21 ≤≤⋅⋅=

22


3.16. Vektor magnetizacije

Za magnetsko polje u vakuumu vrijedi da je:

dok je u drugom sredstvu:

Lako se vidi da se vektor magnetizacije može opisati pomoću izraza:

Magnetizacija je posljedica događanja u materijalu.

gdje je χm= µr –1 magnetska susceptibilnost.

Kod dijamagnetika i paramagnetika µr = konst. ≈ 1 pa je pogodnije dati

podatke za χm.

HB o

rr

⋅µ=

( ) MH H B oro

rrrr

+⋅µ=⋅µ⋅µ=

gdje se veličina naziva vektorom magnetizacije. Mr

( ) H H1 M mr

rrr

⋅χ=⋅−µ=

23


3.17. Feromagnetizam (1)

U feromagneticima postoje mikroskopska područja spontane magnetizacije koja se nazivaju magnetske domene. U svakoj domeni svi atomi imaju paralelne magnetske dipolne momente pa se domena ponaša kao permanentni magnet.

U nemagnetiziranom materijalu magnetske domene su orijentirane kaotično.

24



Pod djelovanjem vanjskog

polja, magnetske se domene

orijentiraju u smjeru djelovanja

polja.

25



Pod djelovanjem jakog vanjskog

polja, sve se magnetske domene

orijentiraju u smjeru djelovanja

polja. Tada govorimo o

zasićenju.

Daljnjim povećanjem pobude,

odnosno H vanjskog polja,

B u feromagnetiku ne raste.

26



Orijentacija magnetskih domena

u feromagnetiku posljedica je

toga što se istoimeni magnetski

polovi odbijaju, dok se

raznoimeni magnetski polovi

privlače.

27



http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/domains/index.html

Animacija: Magnetske domene

28


3.18. Histereza (1)

Kada se feromagnetski materijal pod utjecajem vanjske pobude magnetizira

u jednom smjeru te se potom ta pobuda makne, feromagnetik se neće u

potpunosto demagnetizirati.

Najlakše je zamisliti da je vanjska pobuda nastala uslijed prolaska struje

kroz zavojnicu feromagneta. Dakle, iako je struja jednaka nuli pa time i

jakost magnetskog polja uslijed struje jednaka nuli, u feromagnetu postoji

neki iznos magnetske indukcije, koji se naziva remanentni magnetizam.

Histereza je pojava koja uzrokuje da B zaostaje za H tako da krivulja magnetiziranja za rastuća i padajuća polja nije ista. Petlja koja predstavlja krivulju magnetiziranja naziva se petlja histereze(histerezna petlja).

29


3.18. Histereza (2)Na primjeru torusne zavojnice može se vidjeti da je jakost magnetskog polja u izravnoj vezi s jakošću struje.

Jakost magnetskog polja torusne zavojnice ne ovisi o vrsti materijala od kojeg je načinjena torusna jezgra. Jakost magnetskog polja ostaje ista i kad je zavojnica namotana na cijev savinutu u obliku prstena i ispunjenu zrakom.

B = µ⋅H ⇒ B ovisi o vrsti materijala.

r2

iNiNH

⋅π⋅⋅=⋅=

l

30


3.18. Histereza (3)

Ako je feromagnetik magnetiziran, tj. ako su mu magnetske domene

dominantno orijentirane u jednom smjeru, onda je potrebna neka energija

za njegovu demagnetizaciju. To svojstvo feromagnetika je osnova za tvorbu

magnetske “memorije”.

Magnetski materijali koji imaju relativno veliki remanentni magnetizam

i relativno veliku koercitivnost zovu se tvrdim magnetskim materijalima,

dok se oni drugi nazivaju mekim magnetski materijalima.

Jezgre transformatora i jezgre zavojnica koje se rabe u elektronici

načinjene su od magnetski mekog materijala.

Feromagnetik se može demagnetizirati ako se struja kroz zavojnicu pusti u

suprotnom smjeru. Jakost magnetskog polja, uslijed struje kroz zavojnicu,

potrebna za demagnetizaciju feromagnetika naziva se koercitivnost, koercitivno polje ili pak koercitivna “sila”.

31


3.18. Histereza (4)Na slici je prikazana petlja magnetske histereze.

a) Krivulja prvog magnetiziranja

b) i c) Petlja magnetske histereze pri kružnom procesu

H – jakost magnetskog polja(uslijed vanjskog izvora)

HC – koercitivnost (koercitivno polje)

BR – remanentni magnetizam

32


3.18. Histereza (5)

Snaga (toplinskih) gubitaka u željezu (feromagnetiku) uslijed petlje histereze proporcionalna je površini petlje histereze.Energija se troši na orijentiranje magnetskih domena.

Dakle, u feromagnetiku je ovisnost B o H nelinearna. Ako petlju histereze zamijenimo pravcem (lineariziramo), onda je µ = konst.

33


3.18. Histereza (6)U knjigama iz fizike, obično se krivulja histereze prikazuje kao ovisnost magnetizacije M o jakosti vanjskog magnetskog polja H, što je fizikalno ispravno pa je time i jasnije, ali se gotovo ne koristi u elektrotehničkoj praksi. Magnetizacija M govori o orijentiranosti magnetskih domena.

R

MR - remanentna magnetizacija

MS – magnetizacija zasićenja

34


3.18. Histereza (7)

ili kraće pisano:

Vrijedi da je:

Petlja histereze M = M (H) ekvivalentna je petlji histereze Bm = Bm(H).


M H B oo

rrr

⋅µ+⋅µ=

B +B B mo

rrr

=

gdje je magnetska indukcija uslijed magnetizacije. M B om

rr

⋅µ=

B(H) )H(B )H(M m ≈∼

35


Animacije (1)

Histereza

http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/ferromagnetic/hysteresis.php

36


Animacije (2)

Elektromagnetska indukcija 1

http://www.lon-capa.org/~mmp/applist/induct/faraday.htm

http://www.wainet.ne.jp/~yuasa/flash/EngLenz_law.swf

Elektromagnetska indukcija 2

37


Animacije (3)

Gibanje nabojau magnetskom polju

http://www.phys.hawaii.edu/~teb/optics/java/partmagn/index.html

38



1. Kako glasi Ampereov zakon za konturu na slici?

Rješenje:

413K

IIIdH −−=⋅∫ lrr

1I

2I

3I 4I

5I

39


Ogledna ispitna pitanja (2)2. Kako glasi Ampereov zakon za konturu na slici?

Rješenje:

1I

2I

3I 4I

5I

341K

IIIdH −+=⋅∫ lrr

40



3. Za beskonačno dugi pravocrtni koaksijalni kabel prikazan na slici,

pomoću Ampereovog zakona, napišite izraz za jakost magnetskog polja

u ovisnosti o r ako je:

a) r < r1 ; H1 = ?

b) r1 < r < r2 ; H2 = ?

c) r2 < r < r3 ; H3 = ?

d) r > r3 ; H4 = ?

41



4. Za beskonačno dugi pravocrtni koaksijalni kabel prikazan na slici,

pomoću Ampereovog zakona, napišite izraz za jakost magnetskog polja

u točkama A, B C i D (rA=0, rB=r1, rC=r2, rD=r3).

42



6. Nacrtajte petlju magnetske histereze. Na slici naznačite koercitivnost i

remanentni magnetizam. Čemu je proporcionalna površina histereze?

7. Čemu je proporcionalna površina histereze? Izrazite vektor magnetizacije

preko vektora jakosti magnetskog polja?

5. Kako glasi izraz za jakost magnetskog polja unutar i izvan beskonačno

dugog pravocrtnog vodiča protjecanog istosmjernom strujom jakosti I.

Neka je polumjer vodiča ro.

43



8. Uz zanemarenje rasipanja magnetskog toka, izračunajte vlastite

induktivitete i međuinduktivitet svitaka. Neka je: N1 = 1000 zavoja,

N2 = 800 zavoja, magnetski otpor jezgre Rm = 5⋅108 A / Vs.

1N 2N

H...R

NN M

H ... R

N L

H....R

N L

m

21

m

22

2

m

21

1

=⋅

=

==

==

Rješenje:

1


3.19. Magnetski krug (1)

Postoji analogija između magnetskog i električnog kruga istosmjerne struje.

Magnetski krug Električni krug

(EMS) E (MMS) ⇔Θ

I ⇔Φ

S

R S

Rm ⋅κ=⇔

⋅µ= ll

κ⇔µ

2



Zakoni za magnetski krug analogni Kirchhoffovim zakonima glase:

Drugi zakon se može napisati i u češće korištenom obliku:

(Lako se vidi da je ovo Ampereov zakon)

0 n

1=ii =Φ∑

R m

1=jmjj

n

1=ii ∑∑ ⋅Φ=Θ

H m

1=jjj

n

1=ii ∑∑ ⋅=Θ l

3



Prema Ampereovom zakonu vrijedi da je:

-Fel srednja duljina silnica u željezu

-δ širina zračnograspora

δ⋅⋅=⋅=Θ oFeFe H + H IN l

I

δ

Fel

4



U zračnom rasporu dolazi do širenja silnica.

Kako to uzeti u obzir?

Koristi se aproksimacija:

gdje je x postotno povećanje površine S0 kroz

koju prolazi tok u zračnom rasporu u odnosu na površinu poprečnog presjeka željezne jezgre SFe.

Vrijedi tzv. jednadžba kontinuiteta:

ogdje je B magnetska indukcija u zračnom rasporu.

FeS100

x1S0 ⋅

+=

ooFeFe SBSB ⋅=⋅=Φ

5


3.20. Energija magnetskog polja (1)

Magnetska energija je akumulirana u prostoru u kojem se nalazi magnetsko

polje.

Ako je ispunjen dodatni uvjet da je sredstvo i linearno i homogeno (µ = konst.), onda je:

Ako je sredstvo izotropno onda vrijedi da je: ∫ ⋅⋅⋅= V

m dVHB2

1W

∫ ⋅⋅µ⋅= V

2m dVH

2

1W

6


3.20. Energija magnetskog polja (2)

Ako je sredstvo izotropno, linearno i homogeno te ako je H = konst., onda je:

Ako kroz zavojnicu induktiviteta L teče vremenski promjenjiva struja

jakosti i, onda je akumulirana magnetska energija opisana izrazom:

Dakle, energija akumulirana u magnetskom polju zavojnice proporcionalna

je trenutnoj vrijednosti struje koja teče kroz zavojnicu.

V2

BVH

2

1VHB

2

1W

22

m ⋅µ⋅

=⋅⋅µ⋅=⋅⋅⋅=

2m iL

2

1W ⋅⋅=

7


3.21. Sila u zračnom rasporu (1)Za elektromagnet treba naći izraz za silu u zračnom rasporu uz pretpostavke:

0H )a FeFe =⇒∞→µ

SSS % 0 = x )b Feo ==⇒

FeBBB 0 ==

δ⋅⋅µ= IN

B 00

δ⋅= IN

Ho

Fr

I

δ⋅δ er

8


3.21. Sila u zračnom rasporu (2)U ovom slučaju, sva magnetska energija elektromagneta je akumulirana u zračnom rasporu.

Budući da je riječ o neizoliranom sustavu, izraz za silu u zračnom rasporu(sila na gornji dio jezgre) slijedi iz:

Sila u zračnom rasporu djeluje tako da želi smanjiti zračni raspor. Iznos sile je:

o

22

ooooooomom SIN

2

1SHB

2

1VHB

2

1WW ⋅

δ⋅⋅µ⋅=δ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==

( )δδδ −⋅⋅⋅µ⋅=⋅⋅δ

⋅⋅µ⋅−=⋅δ

+= e SH2

1 eS

IN

2

1 e

d

dWF o

2ooo2

22

om rrr

r

S2

B S

2

B SHB

2

1 F

o

2

oo

2o

ooo ⋅µ⋅

=⋅µ⋅

=⋅⋅⋅=

9


3.21. Sila u zračnom rasporu (3)

Sila u zračnom rasporu djeluje tako da se krajevi feromagnetske jezgre

privlače. Ustvari, privlače se raznoimeni polovi elektromagneta.

Fr

IN

S

10


3.22. Vrtložne struje (1)Kada kroz zavojnicu teče vremenski promjenjiva struja, ona stvara vremenski promjenjivi magnetski tok koji teče kroz feromagnetsku jezgru oko koje je zavojnica omotana. Budući da je željezo električni vodič, u njemu se inducirajuEMS, a posljedica su struje koje teku u jezgri. Te struje se zovu vrtložne struje.

Pitanje: Da li naznačeni smjer vrtložnihstruja odgovara trenutku kada jakost struje kroz zavojnicu raste?

Odgovor: Da

11


3.22. Vrtložne struje (2)Vrtložne struje mogu naći svoju primjenu, tj. biti korisne. Međutim, u jezgrielektromagneta kao i u jezgri transformatora one stvaraju toplinske gubitke i stoga su, u tim slučajevima, vrlo štetne.

Toplinski gubici u feromagnetaskojjezri se mogu bitno umanjiti takošto se jezra lamelira. Drukčije rečeno,jezgra je načinjena od tzv. dinamolimova koji su međusobno električno izolirani.U praksi debljina limova variraizmeđu 0,36 mm i 0,7 mm.

Sada se vrložne struje mogu zatvoriti samo unutar pojedinog lima.

12


3.22. Vrtložne struje (3)Na slici je prikazana jezgra jednofaznog transformatora.

Brujanje koje se čuje iz trafostanice je uzrokovano vibracijom limova

od kojih je načinjena jezgra. Vibraciju limova izazivaju magnetske sile.

PRIMAR SEKUNDAR

13


3.22. Vrtložne struje (4)

14



15



16


Animacije i filmovi

http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/detector/index.html

Animacija: Detektor metala

Animacija: Detektor metala

17


http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/recycling-metals/eddy_current.php

Animacija: Separator materijala

Animacije i filmovi

18


Animacija: Elektromagnetska kočnica

Animacije i filmovi

19


http://aluminium.matter.org.uk/content/html/eng/default.asp?catid=172&pageid=2144416566

Animacija: Separator materijala utemeljen na vrtložnim strujama

Animacije i filmovi

20


http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/speaker/index.html

Animacija: Princip rada zvučnika

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/slideshows/shrinkingquarter/index.html

Animacije i filmovi

21


http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/slideshows/teslacoil/index.html

Film: Teslin transformator (zavojnica)

http://www.youtube.com/watch?v=Bo9xY4e9T58

Film: Vrtložne struje u aluminiju – pad magneta

Animacije i filmovi

22


http://www.youtube.com/watch?v=c3asSdngzLs

Film: Lebdenje iznad supravodiča - Meissnerov efekt

Animacije i filmovi

23


Animacije i filmovi

http://science.howstuffworks.com/maglev-train.htm

Film: Superbrzi vlakovi

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/slideshows/maglev/index.html

Film: Superbrzi vlakovi – princip magnetske levitacije (lebdenja)

24


Animacije i filmovi

Animacija: Električno zvono

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/EM/Buzzer/Buzzer.html

25


3.23. Uspostavljanje struje u krugu s induktivitetom (1)

Sklopka S se zatvara u trenutku t = 0 s.

U početnom trenutku struja ne teče krozstrujni krug.

Struja kroz induktivitet je definirana diferencijalnom

jednadžbom i početnim uvjetom:

0ii o0 t===

26



Nakon zatvaranja sklopke u induktivitetu (idealnoj zavojnici) se inducira

EMS po zakonu elektromagnetske indukcije. To znači da pri formiranju

diferencijalne jednadže induktivitet možemo nadomjestiti s induciranom

EMS.

27



0ii o0 t===

dt

diL e ⋅−=

iReE ⋅=+ iR dt

diL E ⋅=⋅−⇒

L

E i

L

R

dt

di =⋅+⇒

28



Rješenje diferencijalne jednadžbe glasi:

o

t

o ie1iR

Ei +

−⋅

−= τ−

R

L=τ

vremenska konstanta.

gdje je:

29



Budući da je i0 = 0, onda je:

−⋅= τ

− t

e1R

Ei

30



U specijalnom slučaju kada je R = 0,

diferencijalna jednadžba glasi:

Nakon završetka prijelazne pojave kroz strujni krug teče istosmjerna struja

pa se induktivitet tada ne suprotstavlja prolasku struje:R

Ei

t=∞→

dtL

E di

L

E

dt

di ⋅=⇒=

tL

E dt

L

E i

t

0

⋅=⋅=⇒ ∫

31



Animacija: Uklapanje i isklapanje zavojnice

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/backemf/index.html

32


3.24. Otvaranje sklopke u strujnom krugu s induktivitetom (1)

Sklopka S se otvara u trenutku t = 0 s.

Prije otvaranje sklopke u mreži teku istosmjerne struje:

22

11 R

E I ;

R

E I ==

33



Nakon otvaranja sklopke struja kroz induktivitet zadržava svoju vrijednost,

dok struja kroz otpor može trenutno promijeniti svoj iznos.

Pitanje: Zašto struja

kroz induktivitet ne

može promijeniti

iznos bez protoka

vremena?

Odgovor: Zbog energije akumulirane u magnetskom polju

zavojnice .iL2

1W 2

m ⋅⋅=

34



R

E I i i

11o0=t ===

Početni uvjet je:

Vrijedi da je:

( ) iRR e 21 ⋅+=

( ) iRR dt

diL 21 ⋅+=⋅−⇒

35



Rješenje diferencijalne jednadžbe je:

τ−

⋅=t

o ei i

vremenska konstanta.

gdje je:

21 RR

L

+=τ

36



τ−

τ−

⋅=⋅=t

1

t

1 eR

E eI i

37



Primjer:

U trenutku t = 0 otvara

se sklopka S.

Prije toga razmatrana je

mreža bila u stacionarnom

stanju.

Pomoću veličina E, R, L

izrazite veličine:

a) RX ; b) i0 ; c) τ

Nakon otvaranja sklopke,

struja kroz induktivitet opisana je izrazom: o

t

ox

ie1iR

Ei +

−⋅

−= τ

−

38



Rješenje:

a) RX = 3⋅R

o

t

ox

ie1iR

Ei +

−⋅

−= τ

−

R2

E i )b o ⋅

=

R3

L )c

⋅=τ

39



1. Na feromagnetsku jezgru magnetskog otpora Rm namotane su tri zavojnice

kojima teče istosmjerna struja. Napišite izraz za magnetski tok i naznačite

smjer magnetskog toka. Rasipanje magnetskog toka se zanemaruje.

Rješenje:

.IIII,NNNN 321321 ======

m

332211

R

INININ ⋅−⋅+⋅=Φ

mR

IN

⋅=Φ

40



2. Na feromagnetsku jezgru magnetskog otpora Rm namotane sučetiri

zavojnice kojima teče istosmjerna struja jakosti I. Napišite izraz za

magnetski tok i naznačite smjer magnetskog toka. Rasipanje magnetskog

toka se zanemaruje.

Rješenje:

1N

2N

3N

4N

I

I

Φ

.NNNNN 4321 ====

mR

IN2

⋅⋅=Φ

41



3. Na feromagnetsku jezgru magnetskog otpora Rm namotane sučetiri

zavojnice kojima teče istosmjerna struja jakosti I. Napišite izraz za

magnetski tok i naznačite smjer magnetskog toka. Rasipanje magnetskog

toka se zanemaruje.

1N

2N

3N

4N

I

I Rješenje:

.NNN5,0NN5,0 4321 ==⋅==⋅

m

4321

R

ININININ ⋅−⋅+⋅−⋅=Φ

mR

IN2

⋅⋅=Φsmjer

42



4. Kroz zavojnicu induktiviteta L = 1 µH teče istosmjerna struja jakosti

I = 2 A. Izračunajte energiju akumuliranu u magnetskom polju zavojnice.

Rješenje:

5. U trenutku t=0, otvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče kroz

zavojnicu. Čemu je jednaka vremenska konstanta.

Rješenje:

J 102 IL2

1W 62

m−⋅=⋅⋅=

τ−

⋅=t

2e

R

E i

1R

L=τ

43





Rješenje:

τ−

⋅+

=t

31e

RR

E i

2R

L=τ

44







45



10. U trenutku t=0, zatvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče

kroz zavojnicu. Čemu je jednaka vremenska konstanta.



R

R

R

R

46



11. U trenutku t = 0 otvara se sklopka S. Prije toga razmatrana je mreža bila u stacionarnom stanju. Pomoću veličina E, R, L, napišite izraz za struju kroz induktivitet u ovisnosti o vremenu.

47



12. U trenutku t=0, zatvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče

kroz zavojnicu i nacrtajte pripadni dijagram i = i (t).

1


4. Izmjenične električne struje4.1. Uvod (1)

U elektrotehnici se najčešće koriste periodički promjenjive struje.

Tada se može pisati:

gdje je: n –

T –

prirodni broj,

trajanje jednog perioda (kraće: period).

e(t) e ; u(t) u ; )t(i i ===

)Tnt(F e ; )Tnt(F u ; )Tnt(F i 321 ⋅+=⋅+=⋅+=

Izmjenična električna struja – struja koja tijekom vremena mijenja smjer.

Osnovne su veličine funkcije vremena:

2


4.1. Uvod (2)

Veza između perioda i frekvencije je:

Frekvencija nam kaže koliko perioda ima u jednoj sekundi.

Oblik izmjenične struje načelno može biti proizvoljan.

Osobito nas zanima sinusni oblik struje i napona.

Obično se pod pojmom izmjenične struje podrazumijeva sinusna

izmjenična struja.

[ ] [ ] Hz T

1 f ; s

f

1 T ==

3


4.2. Sinusni oblik struje i napona (1)

Osnovni izraz za struju sinusnog oblika glasi:

gdje je: - kružna frekvencija,

mI − maksimalna vrijednost struje.

( ) [ ]A tsinI i m ⋅ω⋅=

[ ]s / rad f2 = T

2 ⋅π⋅π⋅=ω

( )tsinI i m ⋅ω⋅=

4



U općem slučaju, sinusna struja može biti fazno pomaknuta. Tada izraz

za struju glasi:

gdje je: - fazni kut (fazni pomak) struje.

Analogno, izraz za sinusni napon glasi:

( ) ( ) tsinI tsinI i imm ϕ+⋅ω⋅=ϕ+⋅ω⋅=

iϕ=ϕ

0 >ϕ

( ) . tsinU u um ϕ+⋅ω⋅=

5



Primjeri:

( ) 45 tsinI 4

tsinI i )a omm +⋅ω⋅=

π+⋅ω⋅=

( ) 45 tsinI 4

tsinI i )b omm −⋅ω⋅=

π−⋅ω⋅=

6


4.3. Karakteristične vrijednosti izmjenične struje i napona

4.3.1. Srednja vrijednost izmjenične struje i napona (1)

Pod srednjom vrijednošću periodične struje proizvoljnog oblika

podrazumijeva se srednja elektrolitička vrijednost struje, koja je

opisana izrazom:

Prema ovom izrazu, radi se o srednjoj vrijednosti tzv. (punovalno)

ispravljene struje ako je struja izmjenična.

∫ ⋅⋅=T

0sr dt)t(i

T

1 I

7



Izraz za izračunavanje srednje vrijednosti sinusne struje zasniva se na jednakosti

površina ispod krivulje srednje vrijednosti i ispod krivulje struje za jedan period

ili pak za samo jednu polovinu perioda.

∫ ⋅=⋅2/T

0sr dt)t(i

2

TI

⇓

∫ ⋅⋅=2/T

0sr dt)t(i

T

2 I

8



( )tsinI i m ⋅ω⋅=

∫∫∫ ⋅ω⋅⋅=⋅ω⋅⋅=⋅⋅=2/T

0

m2/T

0m

2/T

0sr dttsin

T

I2dttsinI

T

2dt)t(i

T

2 I

( )2/T

0

m2/T0

msr t

T

2cos

2

T

T

I2 tcos

1

T

I2 I

⋅π⋅⋅π⋅

⋅⋅−=ω⋅ω

⋅⋅−=

( ) mm

sr I2

0coscosI

I ⋅π

=−π⋅π

−=

9



Dakle, srednja vrijednost sinusne struje, napona i EMS su:

( ) tsinI i im ϕ+⋅ω⋅= msr I2

I ⋅π

=⇒

( ) tsinU u um ϕ+⋅ω⋅= msr U2

U ⋅π

=⇒

( ) tsinE e em ϕ+⋅ω⋅= msr E2

E ⋅π

=⇒

6366,02 ≈π

10


4.3.2. Efektivna vrijednost izmjenične struje i napona (1)

Efektivna vrijednost periodične struje proizvoljnog oblika jednaka

je po iznosu onoj vrijednosti istosmjerne struje konstantnog iznosa kojom bi

se na trošilu otpora R ostvario isti toplinski učinak, za isto vrijeme.

Oznaka za efektivnu struju je Ief ili pak samo I. Iz oznake I za efektivnu

struju, vidljivo je od kojeg je ona velikog značaja.

i R

efII = R

11



Dakle, efektivna vrijednost periodične struje proizvoljnog oblika slijedi

iz izraza:

odakle slijedi da je:

∫ ⋅⋅=⋅⋅T

0

22 dtR)t(i TRI

∫ ⋅⋅=T

0

2 dt)t(iT

1 I

12


Nakon integracije, dobije se da su efektivna vrijednost sinusne struje,

napona i EMS:


( ) tsinI i im ϕ+⋅ω⋅=

( ) tsinU u um ϕ+⋅ω⋅=

( ) tsinE e em ϕ+⋅ω⋅=

2

III mef ==⇒

2

UU U m

ef ==⇒

2

EEE m

ef ==⇒

7071,02

1 ≈

13


Općenito, za periodičnu struju proizvoljnog oblika vrijede sljedeće definicije:

4.3.3. Međusobni odnosi srednje, efektivne i maksimalne vrijednosti periodične struje (1)

a) Faktor oblika:

b) Tjemeni faktor:

c) Faktor srednje vrijednosti:

srsr

efo I

I

I

I f ==

I

I

I

I f m

ef

mt ==

m

srsr I

I f =

14


4.3.3. Međusobni odnosi srednje, efektivne i maksimalne vrijednosti periodične struje (2)

Za sinusnu struju vrijedi da je:

11,1 22

I

I f a)

sro ≈

⋅π==

41,1 2 I

I f b) m

t ≈==

6366,0 2

I

I f c)

m

srsr ≈

π==

15


4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (1)

Neka se svitak, koji ima N zavoja, nalazi u homogenom magnetskom polju.Svitak oko svoje osi rotira kutnom brzinom ω = konst.

16



Maksimalni magnetski tok kroz svitak:

Neka je u trenutku t = 0, magnetski tok kroz svitak:

Slijedi da je magnetski tok kroz svitak:

SB m ⋅=Φ

m Φ=Φ

( ) tcosm ω⋅Φ=Φ

17


4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (3)Po zakonu elektromagnetske indukcije, vrijedi da je:

Dakle, u svitku se inducira sinusna EMS:

Magnetski tok prethodi u odnosu na induciranu EMS e za kut π/2.

( ) ( ) tsinNdt

tcosdN

dt

dN e mm ⋅ω⋅Φ⋅ω⋅=⋅ω⋅Φ⋅−=Φ⋅−=

( ) mmm NE ; tsinEe Φ⋅ω⋅=⋅ω⋅=

18



Efektivna vrijednost inducirane EMS je:

mmmm Nf

224Nf

2

2N

2

1

2

EE Φ⋅⋅⋅

⋅π⋅=Φ⋅⋅⋅π⋅=Φ⋅ω⋅⋅==

Nf44,4 Nff4 E mmo Φ⋅⋅⋅≈Φ⋅⋅⋅⋅=⇒

11,122

fo ≈⋅π=

19



Animacija: onduciranje EMS

http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/generator/ac.html

20


4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (6)Na slici je shematski prikazan poprečni presjek trofaznog sinhronog

generatora s istaknutom polovima.

U pojedinom vodiču na statoru inducira se EMS:

gdje je: R – polumjer provrta statora,

n – brzina vrtnje (okretaja / min)

R30

nB

RB vB e meh

⋅⋅π⋅⋅=

⋅ω⋅⋅=⋅⋅=

l

ll

−ωmeh kutna brzina vrtnje

21



Magnetska indukcija u zračnom rasporu, gledano duž razvijenog oboda

statora, je sinusna:

gdje je: x – položaj točke na razvijenom obodu statora [m],

τp – duljina polnog koraka; duljina oboda statora ispod jednog pola.

Željeni oblik magnetske indukcije u zračnom rasporu dobije se oblikovanjem

tzv. polnih papuča.

Vrtnja rotora magnetiziranog istosmjernom strujom stvara okretno polje.

Uz konstantnu brzinu vrtnje, sinusni prostorni oblik magnetske indukcije

uzrokuje sinusni vremenski oblik inducirane EMS u pojedinoj fazi.

τ⋅π⋅=p

mx

sinBB

22



Uslijed vrtnje rotora, u odnosu na promatrani vodič na statoru imamo

vremensku promjenu magnetske indukcije:

Efektivna EMS faze:

gdje je: N – ukupan broj zavoja;

2⋅N – ukupan broj vodiča pojedine faze,

fn – faktor namota;

p – ukupan broj pari polova.

( ) mehelvodicaelm pf2 ; tsinB)t(BB ω⋅=⋅π⋅=ωϕ+⋅ω⋅==

nm fR

30

n

2

BN2E ⋅⋅⋅π⋅⋅⋅⋅= l

23



Animacija: princip rada sinkroonog generatora

http://www.edumedia-sciences.com/en/a112-electric-generator

24


4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (1)

U elektrotehnici postoji potreba za računom zasnovanim na kompleksnim brojevima. Iz praktičnih razloga koriste se drukčije oznake za kompleksni broj od onih koje se koriste u matematici. Najčešće oznake za kompleksni broj z su:

Tri osnovna zapisa kompleksnog broja su:

U elektrotehnici imaginarna jedinica je:

a) Algebarski zapis,

b) Trigonometrijski zapis,

c) Eulerov ili eksponencijalni zapis.

U okviru ovog kolegija koristi se oznaka za kompleksni broj: z

1j −=

z,z,z &

25


4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (2)Algebarski zapis kompleksnog broja glasi:

Trigonometrijski zapis kompleksnog broja glasi:

yjxz ⋅+=

)zRe(x =

)z(Imagy = Re

Imag

x

y

Re

Imag

x

y

ϕr

( )ϕ⋅+ϕ⋅= sinjcosrz

ϕ⋅== cosr)zRe(x

ϕ⋅== sinr)z(Imagy

22 yxzr +==

26


4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (3)Euler je razvojem u red dokazao da vrijedi:

Iz prethodnog slijedi Eulerov zapis kompleksnog broja:

Eulerov zapis je zgodan za množenje, dijeljenje, korjenovanje i potenciranjekompleksnih brojeva.

Kompleksne broje u Eulerovom zapisu nije moguće izravno zbrajati i oduzimati. U tom slučaju Eulerov zapis treba prevesti u algebarski zapiskompleksnog broja.

Re

Imag

x

y

ϕr

esinjcose )k2(jj π⋅⋅+ϕ⋅ϕ⋅ =ϕ⋅+ϕ=

esinjcose )k2(jj π⋅⋅+ϕ−⋅ϕ⋅− =ϕ⋅−ϕ=

( )ϕ⋅+ϕ⋅= sinjcosrz ϕ∠=⋅=⇒ϕ⋅ rerz j

27


4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (4)Kompleksni brojevi se iz Eulerovog zapisa u algebarski zapis prevode

pomoću džepnog računala. Najčešće oznake tih operacija su:

Ovdje se govori i o prevođenju iz pravokutnih (rectangular) koordinata u

polarne (polar), i obrnuto.

Primjeri za vježbu:

( ) ( ) y x, ) (r, , ) (r, y x, ; R P,P R →ϕϕ→→→

o13,53je54j3z)a ⋅⋅=⋅+=

o13,53je54j3z)b ⋅−⋅=⋅−=

oo 87,126j13,233j e5e54j3z)c ⋅−⋅ ⋅=⋅=⋅−−=

o90j2j0j eej ; e1 ⋅

π⋅⋅ ===

23

j2

jj eej ; e1π⋅⋅π⋅−π⋅ ==−=−

28


4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (5)Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva nije od praktične važnostiza ovaj kolegij.

U Eulerovom zapisu je jednostavno množiti i dijeliti kompleksne brojeve.

Dva kompleksna broja u Eulerovom zapisu:

se množe prema formuli:

te se dijele prema formuli:

21 j22

j11 erz;erz ϕ⋅ϕ⋅ ⋅=⋅=

( )21j2121 errzz ϕ+ϕ⋅⋅⋅=⋅

( ) er

r

z

z21j

2

1

2

1 ϕ−ϕ⋅⋅=

29


4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (1)

Sinusne veličine se prikazuju pomoću fazora. Fazor je kompleksni broj,

a svakom kompleksnom broju pridijeljen je odgovarajući radijus-vektor.

Prema definiciji, koja se koristi u okviru ovog kolegija, modul fazora je

efektivna vrijednost sinusne veličine, a kut fazora je fazni kut sinusne

veličine. Dakle, moguća je i drukčija definicija fazora.

Opći izraz za sinusnu struju glasi:


Fazor u elektrotehnici mnogi zovu vektorom.

( ) ( ) tsinI2 tsinI i m ϕ+⋅ω⋅⋅=ϕ+⋅ω⋅=

( ) ( ) ( ) tsinj tcose tj ϕ+⋅ω⋅+ϕ+⋅ω=ϕ+⋅ω⋅

30


4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (2)Dakle, vrijedi da je:

pa je trenutna vrijednost struje:

Nadalje je:

( ) ( )( )ϕ+⋅ω⋅=ϕ+⋅ω tje Imag tsin

( ) ( )( ) eI2 Imag tsinI2 i tj ϕ+⋅ω⋅⋅⋅=ϕ+⋅ω⋅⋅=

( )( ) ( )( ) eI2 Imag eeI2 Imag i tjtjj ⋅ω⋅⋅ω⋅ϕ⋅ ⋅⋅=⋅⋅⋅=

struje.fazor eI I je gdje j ϕ⋅⋅=

31



Prikaz fazora struje u kompleksnoj ravnini i njegova veza s trenutnom

vrijednošću struje.

eI I j ϕ⋅⋅=

Re

Imag

ϕ

I

ϕ+

Dakle, izabrano je da je modul fazora efektivna vrijednost pripadne fizikalne veličine. Moguć jei drukčiji izbor modula fazora.

32



Re

Imag

ϕ

I

t⋅ω

( ) eI2 tj ⋅ω⋅⋅⋅

i

( ) eI2 tj ⋅ω⋅⋅⋅- rotirajući kompleksni broj(rotirajući vektor)

Pitanje: Koja je veza između rotirajućeg kompleksnog broja i fazora?

Odgovor: Fazor je kompleksni broj definiran rotirajućim kompleksnim

brojem u trenutku t = 0. Modul fazora je efektivna vrijednost,

a modul rotirajućeg kompleksnog broja je maksimalna

vrijednost pripadne veličine.

33


4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (5)Animacija: rotirajući kompleksni broj (rotirajući vektor)

34


4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (6)U fazorskoj analizi, umjesto trenutnih vrijednosti napona, struje i EMS

računa se s kompleksnim brojevima, odnosno s fazorima sinusnih

veličina. Same trenutne vrijednosti veličina nas rijetko zanimaju.

Odgovor: Upotrebom fazorskog prikaza sinusnih veličina, svodimo linearne

integralno-diferencijalne jednadžbe na linearne algebarske jednadžbe.

Pitanje: Koja je svrha fazorskog prikaza sinusnih veličina.

Vrijedi da je:

(do na konstantu)

( )( ) ( )tjtj

ej dt

ed ⋅ω⋅⋅ω⋅

⋅ω⋅=

( ) ( )

j

e dte

tjtj

ω⋅=⋅

⋅ω⋅⋅ω⋅

∫

35



Na osnovi prethodnog i veze trenutne vrijednosti i fazora lako se može

dokazati da vrijedi:

Naravno, anlogni izrazi u fazorskom zapisu vrijede i za napon i EMS.

I i →

Ij dt

di ⋅ω⋅→⇒

ω⋅−=

ω⋅→⋅∫

Ij

j

I dti

36



Re

Imag

I UijeI I ϕ⋅⋅=

ujeU U ϕ⋅⋅=

Fazori različitih veličina mogu se prikazati na istom fazorskom dijagramu

iϕ

uϕ

37



Pitanje:

Odgovor:

( ) A 135 t100sin10 4

3 t100sin10 i )a o+⋅π⋅⋅=

π⋅+⋅π⋅⋅=

? f ; ? ; ? I ==ω=

A e2

10 I

o135j⋅⋅=

rad/s 100 π⋅=ω

Hz 50f =

38



Pitanje:

Odgovor:

( ) V 240 t120sin20 3

4 t120sin20 u )b o−⋅π⋅⋅=

π⋅−⋅π⋅⋅=

? f ; ? ; ? U ==ω=

A e2

20 U

o240j⋅−⋅=

rad/s 120 π⋅=ω

Hz 60f =

39



1. Napišite izraze za izračunavanje srednje(elektrolitičke) i efektivnevrijednosti periodične struje i(t) proizvoljnog oblika, perioda T.

Rješenje:

∫ ⋅⋅=T

0sr dt)t(i

T

1 I

∫ ⋅⋅=T

0

2 dt)t(iT

1 I

40



2. Za izmjeničnu struju i(t) sinusnog oblika napišite izraze i brojčane vrijednosti faktora oblika, tjemenog faktora i faktora srednje vrijednosti. Navedite značenje svih korištenih veličina.

Rješenje:

a) Faktor oblika:

b) Tjemeni faktor:

c) Faktor srednje vrijednosti:

11,1 22

I

I f

sro ≈

⋅π==

41,1 2 I

I f m

t ≈==

6366,0 2

I

I f

m

srsr ≈

π==

41



3. Napišite pripadne fazore za zadanu struju i napon:

Rješenje: a)

b)

( ) A 45 tsin10 4

tsin10 i )a o+⋅ω⋅=

π+⋅ω⋅=

( ) V 45 tsin20 4

tsin20 u )b o−⋅ω⋅=

π−⋅ω⋅=

A e2

10 e

2

10 I

o45j4/j ⋅π⋅ ⋅=⋅=

V e2

20 e

2

20 U

o45j4/j ⋅−π⋅− ⋅=⋅=

1


4.7. Ohmov zakon u kompleksnom obliku (1)

U fazorskom računu (tzv. simboličkoj metodi)Ohmov zakon glasi:

gdje je:

Kompleksni oblik impedancije

Z

U I =

I −

U −

Z −

fazor struje [A],

fazor napona [V],

impedancija [Ω].

+

_

U

I

Z

u

i

RLC

+

2



Impedancija je ukupni otpor koji se suprotstavlja prolasku izmjenične

sinusne struje.

gdje je:

Lako je dokazati da ujedno vrijedi da je:

Z

U I =

I −

U −

Z −

efektivna vrijednost struje [A],

efektivna vrijednost napona [V],

modul (apsolutni iznos) impedancije [Ω].

3



Iz Ohmovog zakona slijedi da je impedancija:

Dakle, impedancija je kompleksni broj kojemu je kut jednak kutu ϕ zakoji napon prethodi struji.

( )iu

j j ; eZ eI

U

I

U Z iu ϕ−ϕ=ϕ⋅=⋅== ϕ⋅ϕ−ϕ⋅

U Iϕ

0>ϕ

UI ϕ

0<ϕ

4


4.8. Radni otpor u krugu izmjenične struje (1)

Budući da kod radnog otpora nema akumulirane

elektromagnetske energije, vrijedi da je:

Neka je napon na radnom otporu R:

Slijedi da je:

u

i

R

+

_R

u = i

( )um tsinU u ϕ+⋅ω⋅=

( ) ( ) tsinI tsinR

U

R

u i imu

m ϕ+⋅ω⋅=ϕ+⋅ω⋅==

iu ϕ=ϕ⇒

55



Dakle, napon na radnom otporu R i struja kroz taj otpor su istofazni.

6



Fazorski prikaz napona i struje.

Pojednostavljeni fazorski prikaz napona i struje.

Re

Imag

I U

I

U

7



Iz Ohmovog zakona i

prethodnog razmatranja

slijedi da je:

+

_

U

I

RZ =

R

U

Z

U I ==

⇒ R Z =R

8


4.8. Radni otpor u krugu izmjenične struje (5)Kod izmjenične struje radni otpor istog vodiča je veći no kod istosmjerne

struje zbog tzv. skin efekta. To znači da se struja potiskuje prema rubu

vodiča. Što je veća frekvencija struje, to je potiskivanje veće.

Koristi se pojam dubine prodiranja struje (elektromagnetskog polja) u

vodič:

Na dubini prodiranja d gustoća struje padne na 1/e ≈ 0,368 svoje vrijednosti

na rubu vodiča.

ω - kružna frekvencija struje

µ, κ - značajke materijala vodičaκ⋅µ⋅ω= 2 d

Jr

- vektor plošne gustoćestruje

9



Ustvari, zbog vremeski promjenjivog magnetskog toka, u vodiču se

stvaraju vrtložne struje.

Fizikalno objašnjenje skin efekta.

Kroz zamišljenu strujnicu prolazi vremenski promjenjivi magnetski tok.Inducirana vrtložna struja želi poništiti promjenu ulančenog magnetskog toka, po zakonu elektromagnetske indukcije.

0 dt

di Za >

10


4.9. Induktivitet u krugu izmjenične struje (1)

Po zakonu elektromagnetske

indukcije, djelovanje induktiviteta se može prikazati pomoću inducirane EMS:

+

_

u

i

L

Ovakav izraz vrijedi kada

inducirana EMS e ima isti smjer

kao i jakost struje i.

dt

diL e ⋅−=

11



Vrijedi da je:

odakle slijedi da je napon na

induktivitetu uslijed prolaska

struje kroz induktivitet:

+

_

u

i

e dt

diL u e ⋅−=−=

dt

diL u ⋅=

Ovaj izraz vrijedi za bilo koji oblik struje pa i za sinusni oblik struje.

12



Za sinusnu struju, iz Ohmovog zakona i prethodnog razmatranja slijedi da je:

⇒

LXjZ ⋅=

+

_

U

Idt

diL u ⋅=

IZ = ILj U ⋅⋅⋅ω⋅=⇒

Lj Z ⋅ω⋅=⇒

L

Xj = Lj Z L⋅⋅ω⋅=

−⋅ω= L X L induktivni otpor (induktivna reaktancija).

13



Lako se vidi da napon na induktivitetu

prethodi za 90o (π/2) u odnosu na

struju kroz induktivitet.

Množenje s j = e j⋅π/2 znači zakret

za π/2.

u

i

I

U

2

π=ϕ

14


4.10. Kapacitet u krugu izmjenične struje (1)

Vrijede izrazi:

Ovaj izraz vrijedi za bilo koji oblik struje pa i za sinusni oblik struje.

u

i

C

+

_

; dt

dq i = u C q ⋅=

dt

duC i ⋅=⇒

15



Za sinusnu struju, iz Ohmovog zakona i prethodnog razmatranja slijedi da je:

⇒

CXjZ ⋅−=

dt

duC i ⋅=

Z

U = UCj I ⋅⋅ω⋅=⇒

C

1j

Cj

1 Z

⋅ω⋅−=

⋅ω⋅=⇒

C

Xj C

1j Z C⋅−=

⋅ω⋅−=

−⋅ω

=C

1 X C kapacitivni otpor (kapacitivna reaktancija).

U

I+

_

16



Lako se vidi da napon na kapacitetu

kasni za 90o (π/2) u odnosu na

struju kroz induktivitet.

Množenje s - j = e - j⋅π/2 znači zakret

za -π/2.

u

i

U

I

2

π−=ϕ

17


4.11. Serijski spoj impedancija (1)

Neka je zadan serijski spoj triju impedancija. Treba dobiti izraz za ukupnu

(ekvivalentnu) impedanciju.

1Z 2Z 3Z

U

I

Z

U

I

; UUUU 321 ++=

ZIU ; ZIU ; ZIU ; ZIU 332211 ⋅=⋅=⋅=⋅=

18



Na osnovi prethodnih izraza dobije se:

ZIZIZIZI 321 ⋅+⋅+⋅=⋅

ZZZZ 321 ++=⇒

U općem slučaju, za n impedancija, vrijedi: ∑=

=n

1iiZZ

U specijalnom slučaju, za n = 2, vrijedi: 21 ZZZ +=

19



Primjer: R L C

A B ?ZAB =

R Z =R

L

Xj = Lj Z L⋅⋅ω⋅=

C

Xj C

1j Z C⋅−=

⋅ω⋅−=

20



( )CLCLAB XXjRXjXjRZ −⋅+=⋅−⋅+=

( ) XXRZ 2CL

2AB −+=

ϕ⋅⋅= jABAB eZZ

R

XX tg arc CL −=ϕ

21



Kompleksni dijagram impedancije:

R Re

LXj ⋅CXj ⋅−

ABZ

ϕ R

LXj ⋅CXj ⋅−

ABZ

ϕ

0 ; XX CL >ϕ> 0 ; XX CL <ϕ<

22


4.12. Paralelni spoj impedancija (1)

Neka je zadan paralelni spoj triju impedancija. Treba dobiti izraz za

ukupnu (ekvivalentnu) impedanciju.

1Z 2Z 3ZU

I

ZU

I

321 IIII ++=

Z

UI ;

Z

UI ;

Z

UI ;

Z

UI

33

22

11 ====

23


4.12. Paralelni spoj impedancija (2)

Na osnovi prethodnih izraza dobije se:

Z

U

Z

U

Z

U

Z

U

321++=

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

321++=⇒

Z

1 Y :aAdmitancij = Y Y Y Y 321 ++=⇒

U općem slučaju, za n impedancija, vrijedi: ∑=

=n

1i iZ

1

Z

1

U specijalnom slučaju, za n = 2, vrijedi:21

21

ZZ

ZZZ

+⋅=

24


4.12. Paralelni spoj impedancija (3)Primjer:

R L C

A

B

?ZAB =

−⋅+=

⋅−

⋅+==

LCCLABAB X

1

X

1j

R

1

Xj

1

Xj

1

R

1

Z

1 Y

yjABAB eY Y

ϕ⋅⋅=⇒yj

ABAB e

Y

1 Z

ϕ⋅−⋅=⇒

Ω⋅=⇒⋅= ⋅−⋅ e2

1 Z S e2 Y

oo 30jAB

30jABje neka .Npr

25


4.13. Snaga i energija izmjenične struje (1)

Neka je za RLC kombinaciju poznat

sinusni napon i sunusna struja:

Trenutna vrijednost snage RLC kombinacije je:

u

i

RLC

+

( ) tsinU u um ϕ+⋅ω⋅=

( ) tsinI i im ϕ+⋅ω⋅=

( ) ( ) tsin tsinIU iup iumm ϕ+⋅ω⋅ϕ+⋅ω⋅⋅=⋅=

( ) ( ) t2coscos2

IU p iuiu

mm

ϕ+ϕ+⋅ω⋅−ϕ−ϕ⋅⋅=⇒

ϕ43421

26


4.13. Snaga i energija izmjenične struje (2)Zamijenimo li maksimalne vrijednosti napona i struje s efektivnima, onda je:

( )[ ] t2coscosIU p iu ϕ+ϕ+⋅ω⋅−ϕ⋅⋅=

27



Srednja vrijednost snage Psr = P je:

Srednja snaga P je ona snaga čija se energija može pretvoriti u korisni rad. Stoga se ona naziva: radna snaga, aktivna snaga ili pak djelatna snaga.Razlikujemo još:

Prividnu snagu:

Jalovu (reaktivnu) snagu:

Pozitivna jalova snaga (Q > 0) je, naime, induktivna snaga.

Ako je jalova snaga negativna (Q < 0), to znači da je Q kapacitivna snaga.

[ ] W cosIUP ϕ⋅⋅=

snagefaktor zove se cos ϕ

[ ] VA IUS ⋅=

[ ] varVAr sinIUQ ≡ϕ⋅⋅=

28



Za ϕ > 0 (Q > 0) tzv.

trokut snaga ima izgled:

Za ϕ < 0 (Q < 0)

trokut snaga ima izgled:

P

QS

ϕ

P

QS

ϕ

29




(prividna snaga)

(radna snaga)

(jalova snaga)

[ ]VA IUS ⋅=

[ ]W cosS cosIUP ϕ⋅=ϕ⋅⋅=

[ ] VAr sinS sinIUQ ϕ⋅=ϕ⋅⋅=

30



Jalova energija se ne može pretvoriti u koristan rad. Ona se tijekom vremena razmjenjuje između izvora, induktiviteta i kapaciteta.

Ovako definirana električna energija je ustvari radna električna energija. Ona se može pretvoriti u koristan rad.

Električna energija sinusne (harmonijske) struje je:

Kućanstva HEP-u plaćaju samo potrošenu radnu električnu energiju, dok industrijska poduzeća plaćaju i jalovu energiju pa i maksimalnu angažiranu snagu (maksimalnu potrošnju el. energije tijekom 15 minuta, u obračunskom razdoblju). U industriji se provodi kompenzacija jalove snage, tj. teži se da faktor snage bude što bliže jedinici.

[ ]J tcosIUtP = tP =dt p =W t

0sr ⋅ϕ⋅⋅=⋅⋅⋅∫

31


4.13.1. Snaga radnog otpora R (1)

Neka je ϕu = ϕi = 0.

u

i

R

+

_

0 iu =ϕ−ϕ=ϕ

Za radni otpor je:

0. Q ; IU S P =⋅==⇒

( )[ ] t2cos1IU p ⋅ω⋅−⋅⋅=⇒

32


4.13.1. Snaga radnog otpora R (2)

( )[ ] t2cos1IU p ⋅ω⋅−⋅⋅=

33


4.13.2. Snaga idealnog svitka induktiviteta L (1)

Neka je ϕi = 0 ⇒ ϕu = π/2

2

iuπ=ϕ−ϕ=ϕ

Za idealni svitak je:

0. P ; IU S Q =⋅==⇒

+

_

u

i

L

( ) ( ) t2sinIU 2/t2cosIU p ⋅ω⋅⋅⋅=π+⋅ω⋅⋅⋅−=⇒

34


4.13.2. Snaga idealnog svitka induktiviteta L (2)

( ) ( ) t2sinIU 2/t2cosIU p ⋅ω⋅⋅⋅=π+⋅ω⋅⋅⋅−=

35


4.13.3. Snaga idealnog kondenzatora kapaciteta C (1)

Neka je ϕi = 0 ⇒ ϕu = − π/2

2

iuπ−=ϕ−ϕ=ϕ

Za idealni kondenzator je:

0. P ; IU S Q =⋅−=−=⇒

( ) ( ) t2sinIU 2/t2cosIU p ⋅ω⋅⋅⋅−=π−⋅ω⋅⋅⋅−=⇒

u

i

C

+

_

36


4.13.3. Snaga idealnog kondenzatora kapaciteta C (2)

( ) ( ) t2sinIU 2/t2cosIU p ⋅ω⋅⋅⋅−=π−⋅ω⋅⋅⋅−=

37


Ogledna ispitna pitanja (1)1. Za radni otpor R, zavojnicu induktiviteta L i kondenzator kapaciteta C

napišite izraze koji povezuju napon u = u(t) i struju i = i(t) proizvoljnog

oblika.

a) b) c)

Rješenje:

a) b) c)

u

i

R

+

_

+

_

u

i

L u

i

C

+

_

R

u = i dt

diL u ⋅= dt

duC i ⋅=

38


Ogledna ispitna pitanja (2)2. Za radni otpor R, zavojnicu induktiviteta L i kondenzator kapaciteta C

napišite izraze koji povezuju fazor struje i fazor napona ako je kružna

frekvencija sinusnih veličina ω.

a) b) c)

Rješenje:

a) b) c)

u

i

R

+

_

+

_

u

i

L u

i

C

+

_

R

U I = ILj U ⋅⋅ω⋅= UCj I ⋅⋅ω⋅=

39



3. Izračunajte fazor napona trošila na slici.

+

_

U

I

ZΩ⋅−=

⋅= ⋅

4j3Z

A e10Io30j

Rješenje:

Ω⋅=⋅−= ⋅− e5 4j3 Zo53,13j

V e50 ZI Uo23,13j⋅−⋅=⋅=

40



Rješenje:

4. Za trošilo na slici odredite kompleksni izraz za impedanciju.

+

_

U

I

Z

V e220U

A e10I

o

o

30j

75j

⋅

⋅

⋅=

⋅=

Ω⋅== ⋅− e22 I

U Z

o45j

41



5. Izračunajte fazor struje trošila na slici.

Rješenje:

+

_

U

I

Z

V e20Uo30j⋅⋅=

Ω⋅= ⋅− e10Zo45j

A e2 Z

U I

o75j⋅⋅==

42



6. Izračunajte ekvivalentnu impedanciju ako je

Rješenje:

ABZ . e15Zo45j Ω⋅= ⋅

( ) Ω⋅=⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅⋅= ⋅ o45j

AB e10Z3

2Z

21

21

Z2Z

Z2ZZ

A

B

Z

Z Z

43



7. Izračunajte ekvivalentnu impedanciju ako je ABZ . e15Zo45j Ω⋅= ⋅

A

B

Z

Z

Z

Z

Z

44



Rješenje:

8. Izračunajte ekvivalentnu impedanciju ako je ABZ . e15Zo45j Ω⋅= ⋅

Z Z2⋅

Z2⋅ Z4⋅

ZA B

Ω⋅=⋅= ⋅ e30Z2Zo45j

AB

45



Rješenje:

9. Za trošilo na slici izračunajte prividnu, radnu i jalovu snagu.

+

_

U

I

ZΩ⋅−=

⋅= ⋅

4j3Z

A e10Io30j

W 300 RI P 2 =⋅=

ArV 400 XI Q 2 −=⋅=

AV 500 QP S 22 =+=

1


4.13.4. Kompleksni izraz za prividnu snagu (1)

Kompleksni izraz za prividnu snagu glasi:

gdje * označava konjugiranje kompleksnog broja (fazora struje).

[ ] VA IUS ∗⋅=

( )4342143421

48476

QP

j sinIUj cosIUeIUIUS iu ϕ⋅⋅⋅+ϕ⋅⋅=⋅⋅=⋅=

ϕ

ϕ−ϕ⋅∗

[ ]VAQjP IUS ⋅+=⋅= ∗

2



Kompleksni dijagram snage za

ϕ > 0 (Q > 0)

P

Qj ⋅S

ϕ

P

Qj ⋅S

ϕ

ϕ < 0 (Q < 0)

Kompleksni dijagram snage za

3



Neka je impedancija izražena na

način prikazan na slici. Treba

izraziti prividnu radnu i jalovu

snagu preko I, R, X i Z.

Ujedno vrijede izrazi:

+

_

U

I

XjRZ ⋅+=

QjP)XjR(IZIZIIIUS 22

I

**

2

⋅+=⋅+⋅=⋅=⋅⋅=⋅=

ZI S 2 ⋅=⇒ RI P ; 2 ⋅= XI Q ; 2 ⋅=

2222 XR Z; QPS +=+=

4


4.13.5. Mjerenje radne snage

Radna se snaga mjeri pomoću vatmetra.

A W

V

A

B

+

I

E Z

[ ] ( )I,U ; cosIUIUReP ABAB*

AB ∠=ϕϕ⋅⋅=⋅=

5


4.14. Maksimalna radna snaga na impedanciji

Pitanje: Kod koje se impedancije trošila na trošilu razvija maksimalna

radna snaga?

Neka je na neku linearnu

harmonijsku mrežu spojena impedancija.

Odgovor: Kod impedancije ZZ *T=

− ZTgdje je Theveninova impedancija.

Z Mreža

A

B

6


4.15. Rezonancija (1)

Rezonancija se javlja u raznim granama tehnike.

Film: pucanje čaše uslijed rezonancije

http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E&NR=1

7



Primjer rezonancije

8



Rušenje mosta zbog jakog vjetra

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

9


4.15.1. Serijska ili naponska rezonancija (1)

Neka je zadan serijski spoj R, L i C, koji su spojeni na sinusni (harmonijski) izvor.

Kažemo da serijska ili naponska rezonancija nastupa kod frekvencije

EMS izvora kod koje je impedancija kruga minimalna, odnosno kod koje

je jakost struje maksimalna.

RL

CE

+I

10



Dakle, rezonantna frekvencija:

Rezonancija ⇒

( )CLCLAB XXjRXjXjRZ −⋅+=⋅−⋅+=

( ) CL XX ; RZ 0Z Imag ==⇒=

[ ]Hz CL

1

2

1f R ⋅

⋅π⋅

=

C

1L XX

RRCL ⋅ω

=⋅ω⇒=

CL

1 R ⋅

=ωRezonantna kružna frekvencija: (Thomsonova formula)

11



Fazorski dijagram za rezonantnostanje.

Kod rezonancije ukupna jalova snaga je jednaka nuli. To znači da sejalova energija razmjenjuje između idealne zavojnice i idealnog kondenzatora bez sudjelovanja izvora.

Ova rezonancija se zove naponska jer se poništavaju napon na induktivitetui napon na kapacitetu.

Faktor snage jednak je jedinici.

I

LU

CU

EUR =

12


4.15.2. Paralelna ili strujna rezonancija (1)

Neka je zadan paralelni spoj R, L i C, koji su spojeni na sinusni

(harmonijski) izvor.

Kaže se da paralelna ili strujna rezonancija nastupa kod frekvencije

EMS izvora kod koje je impedancija RLC kombinacije maksimalna,

odnosno kod koje je jakost struje minimalna.

R L C+

E

RI LI CI

I

13



Rezonancija ⇒

−⋅+=

⋅−

⋅+==

LCCL X

1

X

1j

R

1

Xj

1

Xj

1

R

1

Z

1 Y

( ) CL XX ; RZ 0Y Imag ==⇒=

Dakle, rezonantna frekvencija: [ ]Hz CL

1

2

1f R ⋅

⋅π⋅

=

C

1L XX

RRCL ⋅ω

=⋅ω⇒=

CL

1 R ⋅

=ωRezonantna kružna frekvencija:

14



Fazorski dijagram za rezonantnostanje.

Kod rezonancije ukupna jalova snaga je jednaka nuli. To znači da se

jalova energija razmjenjuje između idealne zavojnice i idealnog

kondenzatora bez sudjelovanja izvora.

Ova rezonancija se zove strujna jer se poništava struja kroz induktivitet

i struja kroz kapacitet.

Faktor snage jednak je jedinici.

E

LICI

IIR =

15


4.15.3. Rezonancija za složenu RLC kombinaciju (1)

Kod složene kombinacije možemo postići ili naponsku rezonanciju ili strujnurezonanciju, a u nekim slučajevima moguće je čak postići i obje rezonancije.

Razlikujemo dva osnovna slučaja:

a) Dominantna serija ⇒ računa se ukupna impedancija Z

( ) 0Z Imag = ⇒ naponska rezonancija

∞→≠ Z ; 0 C L, R, ⇒ strujna rezonancija

b) Dominantna paralela ⇒ računa se ukupna admitancija Y

( ) 0Y Imag = ⇒ strujna rezonancija

∞→≠ Y ; 0 C L, R, ⇒ naponska rezonancija

16



Primjer: Dominantna serija(naponska rezonancija)

( )( )

( )2C

2CC

LC

CL

XR

XjRXRj Xj

XjR

XjR Xj Z

+⋅+⋅⋅⋅−⋅=

⋅−+⋅−⋅+⋅=

+⋅−⋅+

+⋅=

2C

2C

2

L2C

2

2C

XR

XR Xj

XR

XR Z

( ) 0Z Imag = R2C

2C

2

LXR

XR X ω⇒

+⋅=⇒

R

LC

17



Primjer: Dominantna paralela(strujna rezonancija)

R L

C

2L

2L

CLC XR

XjR

X

1j

XjR

1

Xj

1 Y

+⋅−+⋅=

⋅++

⋅−=

+−⋅+

+=

2L

2L

C2L

2 XR

X

X

1j

XR

R Y

( ) 0Y Imag = RL

2L

2

C X

XRX ω⇒+=⇒

18



Primjer: Dominantna paralela(obje rezonancije) L

2C

1C

( )

−−⋅=

⋅−+

−⋅=

1CL2C2C1CL XX

1

X

1j

Xj

1

XXj

1 Y

( )1CL2C

2C1CL

XXX

XXXj Y

−⋅−−⋅=

19



( ) 0Y Imag = RsC21CL XXX ω⇒+=⇒

( )1CL2C

2C1CL

XXX

XXXj Y

−⋅−−⋅=

Strujna rezonancija:

∞→Y

Naponska rezonancija:

Rn1CL XX ω⇒=⇒

20



Primjer: Dominantna serija(obje rezonancije)

( )( ) C2L

C2L1L

C2L

C2L1L XX

XXj Xj

XXj

XjXj Xj Z

−⋅⋅−⋅=

−⋅⋅−⋅⋅+⋅=

2L

1LC

−⋅−⋅=

C2L

C2L1L XX

XX Xj Z

21



( ) 0Z Imag =

−⋅−⋅=

C2L

C2L1L XX

XX Xj Z

Naponska rezonancija:

RnC2L

C2L1L XX

XX X ω⇒

−⋅=⇒

Strujna rezonancija:

∞→Z RsC2L XX ω⇒=⇒

22



Rješenje:

1. Za trošilo na slici izračunajte prividnu,

radnu i jalovu snagu.+

_

U

I

Z

V e220U

A e10I

o

o

30j

75j

⋅

⋅

⋅=

⋅=

VAe2200 e10e220 IUSooo 45j 75j 30j* ⋅−⋅−⋅ ⋅=⋅⋅⋅=⋅=

VA21100j 21100S ⋅⋅−⋅=

VA 2200 S ;Ar V 1555,63 Q ; W 1555,63 P =−==

23



Rješenje:

2. Za trošilo na slici izračunajte prividnu,

radnu i jalovu snagu.+

_

U

I

ZA e20I

o30j⋅⋅=

Ω⋅⋅= ⋅ e210Zo45j

VAe24000 e21020 ZI S oo 45j45j22 ⋅⋅ ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=

VA4000j 4000S ⋅+=

VA 5656,85 S ;VAr 4000 Q ; W 4000 P ===

24


Ogledna ispitna pitanja (3)3. Za trošilo na slici izračunajte prividnu, radnu i jalovu snagu.

+

_

U

I

ZV e230U

o30j⋅⋅=

Ω⋅⋅= ⋅− e210Zo45j

Rješenje:

VAe20295 e21023 ZI S oo 45j45j22 ⋅−⋅− ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=

VA 7481,19 S ;VAr 5290 Q ; W 5290 P =−==

25


Ogledna ispitna pitanja (4)4. Ako voltmetar pokazuje 230 V, ampermetar 2 A, vatmetar 250 W, a faktor

snage je induktivan,izračunajte prividnu radnu i jalovu snagu trošila.

Rješenje:

A W

V+

E Z

W 250 P =

VA 460 = IU S ⋅=

VAr 386,13 PS Q 22 =−=

26



snage je induktivan,izračunajte impedanciju trošila u kompleksnom obliku(modul i kut impedancije).

Rješenje:

A W

V+

E Z

ind. 0,54348 460

250

IU

P

S

P cos ==

⋅==ϕ o57,08 =ϕ⇒

Ω== 115 I

U Z Ω⋅=⇒

⋅ e115 Z o08,57j

27



snage je kapacitivan,izračunajte prividnu radnu i jalovu snagu trošila.

Rješenje:

A W

V+

E Z

W 250 P =

VA 460 = IU S ⋅=

VAr 386,13 PS Q 22 −=−−=

28



snage je kapacitivan,izračunajte impedanciju trošila u kompleksnom obliku(modul i kut impedancije).

Rješenje:

A W

V+

E Z

kap. 0,54348 460

250

IU

P

S

P cos ==

⋅==ϕ o57,08 −=ϕ⇒

Ω== 115 I

U Z Ω⋅=⇒

⋅− e115 Z o08,57j

29


Ogledna ispitna pitanja (8)8. Nadopunite shemu ampermetrom, voltmetrom i vatmetrom. Koju snagu

mjeri vatmetar?

Rješenje:

Vatmetar mjeri

radnu snagu.

A W

V+

E Z

+E Z

30



Rješenje:

Z2

5ZT ⋅=

Ω⋅=⋅== ⋅− o45j**T1 e25Z

2

5ZZ

9. Izračunajte kompleksnu vrijednost impedancije kod koje se na toj

impedanciji razvija maksimalna radna snaga. Neka je .e10Zo45j Ω⋅= ⋅

1Z

++

+Z Z

1ZZ Z

1E

2E3E

sIZ

31





1Z

++

+1Z Z

ZZ Z

1E

2E3E

sIZ

32





1Z

++

+1ZZ

ZZZ

1E

2E3E

sIZ

33



12. Odredite izraz koji povezuje R, XL i XC u slučaju rezonancije. Da li je

rezonancija strujna ili naponska?



R

LC

R L

C

34



14. Odredite izraz koji povezuje XL, XC1 i XC2 u slučaju rezonancije. Da li je


15. Odredite izraz koji povezuje XL1 , XL2 i XC u slučaju rezonancije. Da li

je rezonancija strujna ili naponska?

L

2C

1C

2L

1LC

35







R

L

C

R

L

C

36



18. Odredite izraz koji povezuje XC, XL1 i XL2 u slučaju rezonancije. Da li je


19. Odredite izraz koji povezuje XC1 , XC2 i XL u slučaju rezonancije. Da li

je rezonancija strujna ili naponska?

1LC

2L

L

1C

2C

1


4.16. Trofazni sustav4.16.1. Trofazni simetrični sustav napona (1)

Trofazni simetrični sustav napona čine tri sinusna napona međusobno fazno

pomaknuta za 120o (2⋅π/3 u radijanima), dok su im maksimalne vrijednosti

jednake.

( ) tsinU u um1 ϕ+⋅ω⋅=

3

2 tsinU u um2

π⋅−ϕ+⋅ω⋅=

3

4 tsinU

3

2 tsinU u umum3

π⋅−ϕ+⋅ω⋅=

π⋅+ϕ+⋅ω⋅=

2


4.16.1. Trofazni simetrični sustav napona (2)

U specijalnom slučaju za ϕu = 0, sustav napona je opisan izrazima:

Za trofazni simetrični sustav napona, vrijedi da je:

t ; 0 u u u 321 ∀=++

( ) tsinU u m1 ⋅ω⋅=

( ) 201 tsinU 3

2 tsinU u o

mm2 −⋅ω⋅=

π⋅−⋅ω⋅=

( )omm3 201 tsinU

3

2 tsinU u +⋅ω⋅=

π⋅+⋅ω⋅=

3



Slijedi grafički prikaz trofaznog simetričnog sustava napona i to za ϕu = 0.

1u 2u 3u

t⋅ω

2

π π2

3 π⋅π⋅23

2 π⋅3

4 π⋅

4



Slijedi fazorski prikaz trofaznog simetričnog sustava napona za ϕu = 0.

Re

1U

2U3U

5


4.16.2. Trofazni simetrični sustav EMS (1)

Neka je trofazni simetrični sustav EMS spojen u zvijezdu.

L1, L2, L3 – fazni vodiči ; N – neutralni vodič

+

+

+

1L

2L

3L

N

1E

2E

3E

V

V

ll EU =

ff EU =

6



Fazorski prikaz EMS

za trofazni simetrični

sustav EMS spojen

u zvijezdu.

−lU linijski napon (napon između dvije faze (linije), međufazni napon

−fU fazni napon (napon između faze i neutralnog vodiča)

1E

3E

2E

2112 EEE −=

7



Za spoj EMS u zvijezdu vrijedi:

fE lE EMS fazna E

EMS linijska E

f −

−l

E3 = E f⋅l

8



Trofazni simetrični sustav EMS može biti spojen i u trokut.Tada nema neutralnog vodiča.

+

+

+

1L

2L

3L

2E

1E3EV

llEU =

9



Fazorski prikaz EMS za trofazni simetrični sustav EMS spojen u trokut.

1E

2E

3E

10


4.16.3. Trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu (1)

Neka je trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu priključeno na trofaznu simetričnu krutu mrežu. Kruta mreža – mreža koja ima konstantan napon i frekvenciju, neovisno o trošilima.

Z Z Z

1Il

1fI lUV

V fU

L1 L2 L3

11


4.16.3. Trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu (2)Slijedi fazorski prikaz napona na trošilu.

Na dijagramu je prikazanfazor jednog od ukupno tri linijska napona na trošilu:

Za spoj trošila u zvijezdu vrijedi:

Linijska struje – struje u dovodima trošila.

1U

3U

2U

2112 UUU −=

− U ,U ,U 321 fazori faznih napona

2112 U U U −=

U3 U f⋅=l I I f=l

12


4.16.3. Trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu (3)Trošila mogu biti trofazna i jednofazna. Jednofazna trošila se mogu spajati

ako postoji neutralni vodič.

1L

2L

3L

N

M3

13


4.16.3. Trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu (4)

Animacija: Princip rada trofaznog sustava

http://en.wikipedia.org/wiki/File:3-phase_flow.gif

14


4.16.4. Trofazno simetrično trošilo spojeno u trokut (1)

Neka je trofazno simetrično trošilo spojeno u trokut priključeno na trofaznu simetričnu krutu mrežu.

1Il

Z Z

Z

fUU =l

V

3fI

1fI 2fI

L1 L2 L3

15


4.16.4. Trofazno simetrično trošilo spojeno u trokut (2)Kod spoja trošila u trokut, svaka od faza trošila je spojena na linijski napon mreže.

Pitanje: Je li trošilo na slici spojeno u trokut?

Odgovor: Da.

L1 L2 L3

16


4.16.4. Trofazno simetrično trošilo spojeno u trokut (3)Slijedi fazorski prikaz napona i struja trofaznog trošila.

Za spoj trošila u trokut vrijedi:

1U

2U

3U

1fI

2fI3fI

3f1f1 III −=l

U U f=l I3 I f⋅=l

17


4.16.5. Primjena Millmanove metode (1) Prvi primjer primjene: Treba izračunati struje u granama (fazne struje).

ABU AB

+

+

+

1E

2E

3E

1I

2I

3I

1Z

2Z

3Z

18


4.16.5. Primjena Millmanove metode (2)

Vrijedi da je:

Nadalje je:

Z1

+ Z1

+ Z1

ZE

+ ZE

+ ZE

U

321

3

3

2

2

1

1

AB =

1111AB I E ZI U ⇒+⋅−=

2222AB I E ZI U ⇒+⋅−=

3333AB I E ZI U ⇒+⋅−=

19


4.16.5. Primjena Millmanove metode (3) Drugi primjer primjene: Treba izračunati fazne struje i struju neutralnog vodiča.

ABUB A

+

+

+

1E

2E

3E

1I

2I

3I

1Z

2Z

3Z

0I0Z

20



Vrijedi da je:

Nadalje je:

Z1

+Z1

+ Z1

+ Z1

ZE

+ ZE

+ ZE

U

0321

3

3

2

2

1

1

AB =

1111AB I E ZI U ⇒+⋅−=

2222AB I E ZI U ⇒+⋅−=

3333AB I E ZI U ⇒+⋅−=

000 I ZI U AB ⇒⋅=

21



Treći primjer primjene: Treba izračunati fazne struje i struju neutralnog vodiča.

+

+

+

1E

2E

3E

1I

2I

3I

1Z

2Z

3Z

0I

22



Sve tri faze su u kartkom spoju. Vrijedi da je:

1

11 Z

E I =

I I I I 3210 ++=

3

33 Z

E I =

2

22 Z

E I =

23


4.16.5. Primjena Millmanove metode (7) Četvrti primjer primjene: Trofazno simetrično trošilo priključeno na trofazni

simetrični sustav EMS. ZZZZ 321 ===

+

+

+

S

1E

2E

3E

1Z

2Z

3Z

1I

2I

3I

0I

24



Bez obzira je li sklopka S otvorena ili zatvorena, vrijedi da je:

Z

E

Z

E I 1

1

11 ==

Z

E

Z

E I 3

3

33 ==

Z

E

Z

E I 2

2

22 ==

0 U AB =

0 I 0 =

25


4.16.6. Snaga trofaznog sustava (1) U općem slučaju vrijedi da je:

Za trofazni simetrični sustav vrijedi da je:

Qj P IU IU IU S S S S *3f3f

*2f2f

*1f1f3f2f1f ⋅+=⋅+⋅+⋅=++=

Qj P IU3 S3 S *1f1f1f ⋅+=⋅⋅=⋅=

f f S 3 U I= ⋅ ⋅

ϕ⋅⋅⋅=ϕ⋅= cosIU3 cosS P ff

ϕ⋅⋅⋅=ϕ⋅= sinIU3 sinS Q ff

1fU

1fIϕ

26


4.16.6. Snaga trofaznog sustava (2)

Dakle, za trofazno simetrični trošilo spojeno u zvijezdu i spojeno

u trokut vrijedi isti izraz za prividnu snagu:

Izraz ima isti oblik i u slučaju linijskih vrijednosti napona i struje:

Za spoj trošila u zvijezdu vrijedi:

Za spoj trošila u trokut vrijedi:

IU3 S ff ⋅⋅=

IU3IU3 S ⋅⋅≡⋅⋅= ll

U3 U f⋅=l I I f=l

U U f=l I3 I f⋅=l

27



Tri jednake impedancije jednom su spojene u zvijezdu, a drugi put u trokut

te su priključene na trofaznu simetričnu krutu mrežu.

Z Z ZZ Z Z

1L2L3L

28



Pitanje: Koji je omjer prividnih snaga trošila u spoju u zvijezda

i u spoju u trokut? Napomena: Linijski napon definira mreža.

Spoj u zvijezdu:

Spoj u trokut:

ff IU3 S ⋅⋅=Z

U I ; f

f =Z

U3 S

2f⋅=⇒

3

U Uf

l=Z

U S

2

zvijezdal=⇒

lU Uf =Z

U3 S

2

trokutl⋅=⇒

3 S

S

zvijezda

trokut =⇒

29



Dakle, isto trofazno trošilo u spoju trokut uzima iz iste simetrične krute mreže

tri puta veću snagu no u spoju zvijezda.

Fizikalno obješnjenje: U spoju u trokut faza trošila je spojena na linijski

napon mreže, a u spoju zvijezda na fazni napon mreže. To znači da je

u spoju u trokut napon na trošilu puta veći no u spoju u zvijezdu, a snaga

koja se razvija na impedanciji proporcionalna je s kvadratom napona.

3

Do istog rješenja se dolazi ako se razmotri transfiguracija zvijezde

impedancija u trokut impedancija.

Primjena: Pokretanja trofaznog asinhronog motora pomoću preklopke

zvijezda-trokut.

30



Rješenje:

1. Izračunajte struje Neka je:

V, e230E V, e230E V, e230E 150j3

90j2

30j1

ooo ⋅⋅−⋅ ⋅=⋅=⋅=

. e50Z , e20Z , e10Z 40j3

50j2

30j1 Ω⋅=Ω⋅=Ω⋅= ⋅⋅⋅ ooo

.IiI,I 321

A 23 Z

E I

1

11 ==

A e1,51 Z

E I

o140j

2

22

⋅−⋅==

A e4,6 Z

E I

o110j

3

33

⋅⋅==

+

+

+

1E

2E

3E

1I

2I

3I

1Z

2Z

3Z

31



Rješenje: Simetrični sustav

2. Izračunajte struje Neka je: .IiI,I,I 0321

V, e230E V, e230E V, e230E 150j3

90j2

30j1

ooo ⋅⋅−⋅ ⋅=⋅=⋅=

. e1,0Z , e10ZZZZ 10j60j321 0 Ω⋅=Ω⋅==== ⋅⋅ oo

A e23 Z

E I

o30j11

⋅−⋅==

A e23 Z

E I

o051j22

⋅−⋅==

A e23 Z

E I

o09j33

⋅⋅==

A 0 I 0 =

+

+

+

1E

2E

3E

1I

2I

3I

1Z

2Z

3Z

0I0Z

32


Ogledna ispitna pitanja (3)3. Napišite izraze za prividnu snagu trofaznog simetričnog trošila spojenog

na trofaznu simetričnu mrežu u slučaju:

a) Poznate fazne vrijednosti napona i struje, spoj zvijezda: S =

b) Poznate fazne vrijednosti napona i struje, spoj trokut: S =

c) Poznate linijske vrijednosti napona i struje, spoj zvijezda: S =

d) Poznate linijske vrijednosti napona i struje, spoj trokut: S =

Rješenje: a), b)

c), d)

ff IU3 S ⋅⋅=

IU3 S ⋅⋅=

33



Rješenje:

2Z 2Z 2Z1Z 1Z 1Z

1L2L3L

4. Tri međusobno jednake impedancije spojene su u zvijezdu, a tri druge međusobno jednake impedancije u trokut te su priključene na trofaznu simetričnu krutu mrežu. Koji je omjer prividnih snaga trošila u spoju trokut i u spoju zvijezda? Neka je .Z3Z,Z2Z 21 ⋅=⋅=

? S

S

zvijezda

trokut =

; Z

U S

1

2

zvijezdal= ;

Z

U3 S

2

2

trokutl⋅= 2

Z

Z3

S

S

2

1

zvijezda

trokut =⋅=

34



1Z 1Z 1Z2Z 2Z 2Z

1L2L3L

? S

S

zvijezda

trokut =

5. Tri međusobno jednake impedancije spojene su u zvijezdu, a tri druge međusobno jednake impedancije u trokut te su priključene na trofaznu simetričnu krutu mrežu. Koji je omjer prividnih snaga trošila u spoju trokut i u spoju zvijezda? Neka je .e5Z,e20Z

oo 60j2

30j1 Ω⋅=Ω⋅= ⋅⋅

Rješenje:

75,0 Z

Z3

S

S

1

2

zvijezda

trokut =⋅=

Predavanja E120 - Drugi Kolokvij (1)

Documents

Transcript of Predavanja E120 - Drugi Kolokvij (1)