Microelectrnica y Fotnica Prctica 9. Interferometra II.

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PRCTICA 9. INTERFEROMETRA II.

1. INTRODUCCIN.

En esta prctica construiremos un interfermetro de Michelson con un lser de He-Ne(helio-nen) y lo utilizaremos para determinar el ndice de refraccin de un gas (CO2) y delaire. Para la construccin del interfermetro de Michelson seguiremos los mismos pasos queen la prctica anterior, pero con objeto de que ambas prcticas sean independientesrepetiremos a continuacin todas las instrucciones y explicaciones tericas. Si ya ha ledo yentendido estas explicaciones, puede pasar directamente al contenido relacionadoespecficamente con esta prctica.

En general, un interfermetro es un instrumento basado en hacer interferir dos hacesde luz coherente de modo que formen un patrn de interferencia (franjas o anillos quecorresponden a mximos y mnimos de intensidad segn si los dos haces interfieren en fase oen contrafase en distintos puntos). La condicin de coherencia es muy importante paraobtener dicho patrn de interferencia, ya que ste slo se puede lograr si los fotones de amboshaces guardan una relacin de fase constante. Un lser es una fuente de luz coherente, en elsentido de que los fotones que constituyen el haz de luz tienen la misma fase a lo largo de unacierta longitud del haz (denominada longitud de coherencia), o lo que es lo mismo, durante uncierto tiempo llamado tiempo de coherencia. Para fotones separados por un intervalo temporalmayor que el de coherencia (o por una distancia mayor que la de coherencia) la relacin defase se pierde. La mayora de las fuentes de luz, tales como lmparas incandescentes, sonincoherentes en el sentido de que los fotones emitidos tienen relaciones de fase aleatorias. Porel contrario, un lser emite luz coherente (con una cierta longitud o tiempo de coherencia quedepende del tipo de lser) y por consiguiente puede ser empleado para experimentos deinterferometra.

El funcionamiento de un interfermetro se basa en dividir el haz de luz del lser en dosmitades mediante un divisor de haz. Este divisor de haz puede ser por ejemplo una lminaparcialmente reflectante que deje pasar la mitad del haz y refleje la otra mitad. Mediantelentes y espejos se dirige a ambas mitades a lo largo de caminos diferentes hasta hacerlascoincidir sobre la pantalla o sobre el dispositivo sobre el que queremos que se forme el patrnde interferencia. La diferencia de distancias recorridas por ambas partes debe ser inferior a lalongitud de coherencia, pues de lo contrario se perder la relacin de fase constante necesariapara que se formen mximos y mnimos de intensidad. La forma del patrn de interferenciadepender de las variaciones de la relacin de fase de ambos haces entre los distintos puntosde la superficie sobre la que estn interfiriendo, y pueden ser franjas o anillos segn comoambos haces hayan sido separados, expandidos, y dirigidos uno sobre otro.

Estas franjas o anillos de interferencia son muy sensibles a la ms mnima variacin decamino ptico de cualquiera de los dos haces. Ello es debido a que el paso de un mximo a unmnimo de interferencia ocurre para una variacin de fase de p radianes de un haz respecto alotro, lo cual se corresponde con una variacin de camino ptico de l/2. Como l es del ordende dcimas de mm (632.8 nm para el lser de He-Ne), quiere decirse que el patrn deinterferencia cambia con variaciones muy pequeas del camino ptico, incluso con pequeasvibraciones del suelo. Por este motivo los interfermetros suelen requerir mesasantivibratorias, sobre todo si se van a utilizar para hacer algn tipo de medida de precisin.Ntese que hemos hablado de diferencias de camino ptico, en lugar de simplementedistancias, porque el concepto de camino ptico incluye tambin al ndice de refraccin delmedio mediante la siguiente relacin: r=nd, donde d es la distancia, n el ndice de refracciny r el camino ptico. Esto es importante porque variaciones en el ndice de refraccinimplican variaciones en la velocidad del haz al atravesar dicho medio, y por consiguiente

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variaciones en la fase. Por ello el patrn de interferencia se modifica no slo a causa depequeas variaciones de la distancia recorrida por un haz respecto al otro, sino tambin sivara el ndice de refraccin del medio atravesado por un haz en una parte de su recorrido.

Para tener en cuenta las variaciones de fase y camino ptico causadas por el ndice derefraccin, nos fijaremos en que stas son debidas a que la longitud de onda y la velocidad depropagacin de la luz dependen del ndice de refraccin del medio (n=c0/c=l0/l, donde c0 yl0 son los valores correspondientes al vaco y c y l al medio en cuestin). Por consiguiente, elcambio de fase de una onda al recorrer una distancia d por el medio ser:

dnddk ===0

22lp

lpj (1)

Normalmente todas las expresiones se dejan en funcin de la longitud de onda en el vaco,para lo cual basta con sustituir las distancias por el concepto de camino ptico (n d) en todaslas ecuaciones en las que aparezca la distancia recorrida por el haz.

Mientras que en la prctica anterior utilizbamos el hecho de que una variacin de l/2en la distancia recorrida por uno de los haces supona un cambio de mximo a mnimo (oviceversa) en las franjas o anillos de interferencia, en la presente prctica sacaremos provechode que un efecto similar tiene lugar por variaciones en el ndice de refraccin del medioatravesado. Esto nos permitir calcular el ndice de refraccin del aire y de un gas tal comoCO2. Como el ndice de refraccin y la densidad estn ntimamente relacionados, esteprocedimiento puede utilizarse tambin para observar variaciones de densidad de un medio atravs de las correspondientes alteraciones del patrn de interferencia. Un ejemplo es el aire alcalentarse. El aire caliente tiene menos densidad que el aire fro, y por tanto menor ndice derefraccin. Las fluctuaciones de temperatura tendrn por tanto fiel reflejo en el patrn deinterferencia y de esta forma se pueden visualizar y fotografiar. Esta tcnica es conocida comoSchlieren y mediante ella se pueden obtener espectaculares fotografas. Vase por ejemplo

.- http://courses.ncssm.edu/hsi/ss/schlieren/

.- http://www.rit.edu/~andpph/text-schlieren.html

2. PRECAUCIONES.

En esta prctica vamos a utilizar material de ptica (lentes, espejos, divisores de haz,etc...) que requiere un trato especialmente cuidadoso para evitar su deterioro. La superficie delentes, espejos y divisores de haz no se debe tocar con las manos porque se ensucianfcilmente y son difciles de limpiar. Los espejos y los divisores de haz tienen recubrimientosmetlicos o dielctricos especiales para mantener una reflectancia dada en un margen delongitudes de onda establecido, y estos recubrimientos pueden daarse si se tocan o sufrenroces o golpes.

Si es necesario coger alguno de estos componentes pticos (ya sea una lente, o unespejo, o un divisor de haz) hay que hacerlo por los bordes y sin tocar las caras, y no se debendejar sobre una superficie que los pueda rayar. Para la manipulacin de los componentespticos disponemos de guantes de ltex para las manos y paos protectores especiales para lassuperficies donde se hayan de apoyar. En general estos componentes irn ya montados sobresus soportes mecnicos, por lo que siempre los cogeremos a travs de estas piezas de sujeciny no ser necesario tocarlos directamente.

El lser de He-Ne que vamos a utilizar tiene una potencia relativamente baja (5 mW),pero al estar concentrada en un haz colimado muy estrecho podra causar un dao a la visinsi incide directamente en un ojo. Por ello hay que manejarlo con cuidado y evitar reflexionesincontroladas del haz que pudieran alcanzar a alguien en la vista.

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3. REALIZACIN Y EVALUACIN DE LOS RESULTADOS.

Entre las diversas configuraciones posibles para construir un interfermetro, vamos autilizar el llamado interfermetro de Michelson, por ser el ms fcil de alinear y uno de losms comnmente empleados. El interfermetro de Michelson fue utilizado en un famosoexperimento conocido como el experimento de Michelson-Morley, mediante el cual sedemostr la inexistencia de un medio conocido como ter que durante el siglo XIX se creaque deba existir para explicar la propagacin de la luz en el vaco. Michelson y Morleyutilizaron su interfermetro para intentar medir el desplazamiento de las franjas deinterferencia que deba resultar de la variacin en la velocidad de la luz por efecto Dopplersegn que uno de los brazos del interfermetro se orientara a favor o en contra de la velocidadde desplazamiento de la Tierra respecto del ter. El resultado fue negativo: no lograron vernunca ni el ms pequeo desplazamiento de las franjas, es decir, no encontraron el esperadoviento del ter, lo que supuso el preludio para el nacimiento de la teora de la relatividadespecial.

Para la realizacin del interfermetro de Michelson procederemos segn el esquemade la figura 1. El haz lser se refleja en el espejo 1, que lo dirige paralelo al lateral del tablerohacia una lente de 20 mm de focal que acta como expansora del haz. Esta lente lo haceconverger hacia su foco y de all el haz sale abrindose (divergiendo). A continuacin elespejo 2 dirige el haz hacia el divisor, en el cual la mitad de la luz se transmite hacia el espejo3 y la mitad se refleja hacia el espejo 4. Estos espejos dirigen sus respectivos haces de nuevohacia el divisor, en el cual la mitad de cada uno de ellos se transmite y la otra mitad se refleja,pero ahora slo nos interesan las mitades que se dirigen hacia la pantalla, donde forman unpatrn de interferencia consistente en anillos concntricos.

Obturador (shutter): no es necesario en esta prctica. En todo caso, si queremosinterceptar el haz del lser podemos poner simplemente una cartulina.

Espejo 1

Espejo 2

Lser de He-Ne

Pantalla

Lente

Celdilla para llenarla del gascuyo ndice de refraccinqueremos averiguar, o bienpara hacer vaco en ella ycalcular as el ndice derefraccin del aire.

Divisor de haz(beam splitter)

Espejo 3

Espejo 4

Botella degas

Figura 1. Esquema del interfermetro de Michelson.

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El montaje experimental se va a realizar sobre un tablero ptico en el que los distintoselementos se fijan mediante tornillos, aunque emplearemos tambin algunos elementos consoportes magnticos. Como ya hemos comentado, los experimentos de interferometra debenrealizarse sobre unas superficies llamadas mesas pticas que presenten buenas caractersticasantivibratorias. Ello es debido a que las vibraciones del suelo (provocadas por pasos, trfico,maquinaria, etc...) se transmiten a los componentes pticos, causando variaciones en larelacin entre los caminos pticos de ambos haces y destruyendo el interferograma (bastanpara ello variaciones del orden de l/4, y tngase en cuenta que la longitud de onda de la luz esde solo unos centenares de nanmetros). El tablero que vamos a usar es del mismo tipo quelos utilizados en investigacin. La cuadrcula de la figura 1 no se corresponde exactamentecon la de este tablero, sino que cada fila o columna de dicha cuadrcula (separadas por 5 cm)equivale a dos filas o columnas del tablero que utilizaremos (separadas por 2.5 cm). Teniendoesto en cuenta podemos guiarnos aproximadamente por la figura 1 y las indicacionessiguientes, pero teniendo presente que se trata simplemente de una gua orientativa y quenuestro interfermetro puede diferir en algunas de las dimensiones si ello es conveniente(siempre que est bien alineado no habr problema).

Comience por encender el lser y alinearlo a lo largo de la coordenada y=8 del tableroa una altura de 13 cm respecto a la superficie del mismo. Aydese por ejemplo de unacartulina blanca con una marca a esa altura. El lser de que disponemos es un lser de He-Neque emite 5 mW de potencia con una longitud de onda de 632.8 nm (rojo). Ajuste el espejoM1 para que el haz incida en su centro y salga reflejado a lo largo de la coordenada x=1 deltablero. Conviene que todo el proceso de alineamiento que vamos a describir a continuacinlo realice con el mximo cuidado, ya que de l depende que obtengamos un buen patrn deinterferencia. La alineacin de los sistemas pticos puede resultar un poco tediosa, pero es elpaso decisivo que condiciona el buen resultado de los experimentos. Esto es debido a lanecesidad de mantener la trayectoria del haz de luz centrada respecto al eje ptico de loscomponentes por los que pasa (lentes, espejos, aberturas, etc...), lo cual a veces puede resultarcrtico. En nuestro sistema la posicin, orientacin y altura de los componentes pticos laspodemos ajustar moviendo los soportes magnticos y los vstagos que sostienen loscomponentes (salvo los espejos, que van a ir atornillados al tablero). Adems los espejoscuentan con unos tornillos de ajuste fino que podemos utilizar para asegurarnos que latrayectoria del haz es perfectamente horizontal y paralela a la coordenada que deseemos. Esimportante que compruebe continuamente ambos aspectos situando la cartulina antesmencionada a distintas distancias y viendo que el haz se mantiene a la misma altura y segn latrayectoria requerida.

La principal dificultad para obtener los anillos de interferencia es la correctaalineacin del sistema, ya que es necesario que los dos haces lleguen a la pantallaprcticamente paralelos. Con este fin alinearemos primero el sistema sin expandir el haz, ysolamente al final introduciremos la lente entre los espejos M1 y M2. El siguiente paso, portanto, es ajustar el espejo M2 para que imprima al haz un nuevo giro de 90 a lo largo de lacoordenada y=4. Es importante que el haz vaya siempre a la misma altura y paralelo a lacorrespondiente coordenada. Para lograrlo utilice una tarjeta con una marca a esa altura ysitela a varias distancias del espejo, ajustando la posicin de ste hasta que el haz pase poresa marca a cualquier distancia a la que se ponga del espejo. Tambin es importante que elhaz incida siempre en el centro de los componentes pticos, ya que de lo contrario parte de laluz se perder por sus bordes cuando expandamos el haz.

A continuacin ajuste el espejo M3, inicialmente sin el divisor de haz, de modo que elhaz reflejado incida sobre el espejo M2 en el mismo punto que lo hace el haz incidente. En ese

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momento tambin podremos ver el haz reflejado sobre la abertura de salida del lser, lo quenos asegura que ambos haces son paralelos.

Ahora site el divisor de haz con su lado metalizado hacia el espejo M2, de talmanera que el haz transmitido siga llegando al espejo M3 igual que antes, mientras que el hazreflejado debe salir paralelo a la coordenada x=7. El divisor de haz que vamos a utilizarconsiste en un vidrio con un recubrimiento metlico parcialmente reflectante en una de suscaras. La relacin de luz transmitida a luz reflejada es de 1 a 1. Puede identificar el ladometalizado intentando ver una imagen reflejada en l y fijndose en los bordes del vidrio. Sila imagen parece provenir de la cara posterior del vidrio entonces se ser el lado metalizado.Si parece provenir de la cara anterior entonces el lado metalizado ser ste. Como referenciapara identificar la cara que est formando la imagen pueden servir las caras laterales del vidrioporque stas no estn metalizadas y por consiguiente no forman ninguna imagen.

Al manipular los divisores de haz es muy importante que no toque la superficie destos con los dedos, ya que las huellas dactilares daan el recubrimiento metlico y ademsson difciles de limpiar. Por ello es preferible que los manipule cogindolos por la varilla delsoporte sobre el que se les entregarn montados, y si tiene que coger el vidrio hgalo siemprepor los bordes y con guantes de ltex. El mismo comentario se aplica a los espejos y todos losdems componentes: cjalos siempre por sus soportes y no toque sus superficies.

A continuacin site el espejo M4 para que el correspondiente haz sea de nuevoreflejado y dirigido de vuelta hacia el divisor paralelo a la coordenada x=7 hasta llegar a lapantalla. Utilizando el ajuste fino del espejo M4 debe conseguir que este haz incida sobre lapantalla en el mismo punto que el reflejado por el espejo M3. En ese momento deber verseun ligero parpadeo del punto de luz, e incluso, si ste tiene dimetro suficiente, es posible quese vea ya algn mnimo de intensidad correspondiente a una franja de interferencia. Alcolocar la lente en la posicin (1,7) los puntos de luz se expandirn y podremos ver el patrnde interferencia sobre la pantalla. Mediante un ajuste cuidadoso de los espejos M3 y M4podremos conseguir anillos concntricos.

Para la realizacin de las medidas introduciremos la celdilla en uno de los brazos delespectrofotmetro. El experimento va a consistir en llenar esta celda del gas cuyo ndice derefraccin queremos determinar y observar el nmero de cambios entre mximos y mnimosen el patrn de interferencia. Si llamamos l a la longitud de la celdilla, al ser atravesada dosveces por el haz en su recorrido de ida y vuelta, el trayecto del haz a travs de ella es s=2l. Elcorrespondiente camino ptico cuando est llena de aire es:

snr = 11 (2)mientras que cuando est llena del gas objeto de estudio ser:

snr = 22 (3)por lo que la variacin de camino ptico al sustituir el aire por el gas es:

snsnnrrr D=-=-=D )( 1212 (4)Conforme la celda se vaya llenando de gas iremos contando el nmero (N) de mximos ymnimos por los que pasa el punto central del patrn de interferencia. Como sabemos que elpaso de un mximo a mnimo o viceversa equivale a una variacin de fase de p radianes, o loque es igual, a una variacin de camino ptico de l0/2, de la ecuacin (1) obtenemos que paraN cambios entre mximos y mnimos la variacin de camino ptico introducida es:

snrNNr D=D==D=D2

2 00

lp

lpj , (5)

de donde conociendo s (s=2l con l=10 mm), el ndice de refraccin del aire (n1=1.000269) yla longitud de onda del lser (l0=632.8 nm) podremos calcular el ndice de refraccin del gas.

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Para llevar a cabo la medicin conecte una de las entradas de la celdilla a la vlvula desalida de la botella de gas. Asegrese de que la otra abertura de la celdilla est abierta, con elfin de que el gas entrante pueda ir desalojando al aire y saliendo por esta abertura (de locontrario la celdilla podra romperse si no aguanta la presin del gas). Abra la vlvula de labotella muy lentamente con el fin de que la celda se vaya llenando despacio y le de tiempo acontar los cambios de mximo a mnimo o viceversa en el punto central de los anillos (si abrela vlvula demasiado la celda se llenar rpidamente de gas y no le dar tiempo a contar losanillos que aparecen o desaparecen por el punto central). Cuando el patrn de interferencia sehaya estabilizado de nuevo y ya no haya ms cambios, cierre la vlvula del gas. Aplicando laecuacin (5) calcule el ndice de refraccin del gas empleado y verifique su resultadocomprobndolo con el que se da en tablas o manuales de referencia (n=1.000416 para el CO2a presin normal y 20 C).

A continuacin vamos a medir el ndice de refraccin del propio aire. Con este finharemos vaco en la celdilla mediante una bomba de mano y observaremos los cambios entremximos y mnimos del patrn de interferencia en funcin de la presin. Sabemos que elndice de refraccin depende de la presin de una manera lineal, es decir:

PPn

PnPnDD+== )0()( (6)

y que el camino ptico recorrido a travs de la celdilla depende del ndice de refraccin de laforma:

sPnr = )( (7)por lo que al variar n en funcin de la presin variar tambin el camino ptico:

( ) sPnPPnsPnr -D+=D=D )()()( (8)Un cambio de mnimo a mnimo o de mximo a mximo en el patrn de interferencia

corresponde con una variacin de fase igual a 2p radianes, o lo que es igual, a una variacinde camino ptico igual a l0 (vanse las ecuaciones 1 y 5). Por consiguiente, si llamamos N(P)al nmero de dichos cambios en funcin de la presin, tendremos que en un intervalo depresiones DP la variacin de camino ptico ser (N(P+DP)-N(P))l0, y por tanto se verificarque:

( )s

PNPPNsr

PnPPn 0)()(

)()(l-D+

=D=-D+ (9)

Dividiendo ambos miembros de la ecuacin anterior por DP nos queda:

lPN

Pn

20l

DD=

DD

(10)

de donde podremos calcular el ndice de refraccin del aire a una presin dada (p. ej. a lapresin atmosfrica de 1013 mbar) conociendo que el ndice de refraccin del vaco (P=0) esexactamente 1.

La forma de realizar el experimento ser la siguiente. Sustituya la botella de gasempleada en la primera parte de la prctica por la bomba de mano equipada con manmetro.Cierre con un tapn la abertura de la celdilla que habamos dejado abierta en la parte anterior,para as poder hacer vaco en ella. Con la bomba de vaco iremos succionando el aire delinterior de la celda y anotaremos los valores de presin diferencial (respecto a la presinatmosfrica) que marca el manmetro cada vez que en el centro del patrn de interferencia seproduzca un cambio de mximo a mximo o de mnimo a mnimo (segn que empecemos porun mximo o un mnimo). A continuacin realizaremos una grfica del nmero de estoscambios (DN) frente a variacin de la presin (DP). Deber obtenerse una grfica como la dela figura 2.

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A partir de esta grfica calcularemos la pendiente DN/DP mediante un ajuste lineal delos datos, tal como el que se muestra en la figura. El signo de la pendiente debemos ignorarlo,ya que ste es arbitrario y depende de si tomamos como referencia para el nmero de cambiosDN el punto de menor presin o el de mayor presin. Una vez conocida esta pendientepodemos aplicar la ecuacin 10 para calcular el ndice de refraccin del aire a la presinatmosfrica de 1013 mbar sabiendo que l0=632.8 nm , l=10 mm y el ndice de refraccin delvaco es 1. Compare su resultado con el valor de referencia para el ndice de refraccin delaire a la presin de 1013 mbar, temperatura de 22 C y longitud de onda de 632.8 nm, que esn=1.000269.

Finalmente, como ltimo ejercicio puede observar el fenmeno del Schlieren descritoanteriormente situando una resistencia en uno de los brazos del interfermetro y haciendopasar una corriente por ella para que se caliente. De este modo se calentar tambin el aire entorno a ella y podremos ver en el patrn de interferencia las fluctuaciones de densidad e ndicede refraccin.

4. TEORA DEL INTERFERMETRO.

Si dos ondas )sen( 111 aw -= taY e )sen( 222 aw -= taY que tienen la mismafrecuencia w pero diferentes amplitudes y fases inciden sobre un punto, se superponensumndose, de forma que se obtiene la onda )sen()sen( 2211 awaw -+-= tataY . Esta ondaa su vez puede expresarse de la forma:

)sen( aw -= tAY (11)con una amplitud

dcos2 2122

21

2 aaaaA ++= (12)

-700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0

1

2

3

4

5

6

DN (

n d

e ca

mbi

os d

e in

tens

idad

)

DP (variacin respecto a presin atmosfrica) mbar

Figura 2. Ejemplo de resultados para el nmero de cambios de mnimo a mnimo o demximo a mximo en el punto central del patrn de interferencia frente a la variacin dela presin en la celdilla. La lnea recta es un ajuste lineal de los datos experimentales.

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donde d=a1-a2 es la diferencia de fase entre las dos ondas. Como ejercicio, puede demostrarlas ecuaciones 11 y 12 mediante manipulaciones trigonomtricas (separando la fase y lafrecuencia en senos y cosenos).

En un interfermetro de Michelson el haz de luz es dividido en dos mitades medianteun divisor de haz, que puede ser por ejemplo un vidrio semiplateado (con un recubrimientometlico de plata parcialmente reflectante). Ambos haces realizan un recorrido de ida y vueltaentre el divisor y los espejos, y continan juntos hasta la pantalla.

Para examinar la formacin de las franjas de interferencia fijmonos en dos rayosreflejados por los espejos M3 y M4 que coinciden en un punto P de la pantalla. Con el fin depoder comparar la trayectoria de los dos rayos, calcular el desfase entre ellos, y poder asdeterminar la amplitud mediante la ecuacin 12, vamos a dibujar el diagrama ptico delinterfermetro de una manera equivalente, sustituyendo el espejo M4 por su imagen virtualM4' formada por la reflexin en el divisor de haz BS (ntese que para el haz que pasa por M4el divisor BS se comporta como un espejo). El diagrama que resulta es el siguiente:

En el diagrama de rayos de la figura 4 podemos ver la diferencia de caminos pticosentre los dos rayos que provenientes de S interfieren en el punto P tras ser reflejados por cadauno de los espejos. Esta diferencia es qcos2 d , donde q es el ngulo de reflexin y se hasupuesto que es aproximadamente el mismo para los dos rayos. Esta aproximacin es vlidasiempre que P est suficientemente lejos comparado con la distancia d entre los dos espejos,lo que ocurre en cualquier caso prctico. La separacin d entre el espejo M3 y la imagen del

Figura 4. Diagrama de rayos para calcular el desfase entre dos haces que interfierenen el punto P. El espejo M4 ha sido sustituido por su imagen virtual dada por BS.

Figura 3. Esquema del interfermetro de Michelson.

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espejo M4 proviene del hecho de que las distancias entre BS y M3 y M4 no son exactamenteiguales, y por pequea que sea la diferencia supondr una diferencia de fase significativa.Recurdese que si la diferencia de camino ptico es 2dcosq entones la diferencia de fase es:

qlpq

lpd cos22cos22

0

== ndd (13)

por lo que basta con que d sea del orden de l para que implique una diferencia de fasesignificativa.

Si tenemos en cuenta que la relacin de transmisin a reflexin en el divisor de haz esde 1 a 1 (50% de la intensidad incidente para cada onda) entonces ambos haces tienen lamisma amplitud (a=a1=a2), por lo que la ecuacin (12) se simplifica de la forma:

2cos4 222

daAI = (14)

donde se ha indicado que la intensidad de la luz es proporcional a la amplitud al cuadrado. Deaqu se deduce que los mximos de intensidad ocurrirn cuando d sea igual a un mltiplo de2p , o lo que es lo mismo, segn la ecuacin (13), cuando se verifique que:

,....2,1con ;cos2 0 == mmnd lq (15)Esta condicin slo depende del valor de q, lo que significa que la forma del patrn deinterferencia consistir en anillos concntricos: dado un valor de q que verifique la condicin,sta se cumple para toda la circunferencia que sustenta dicho ngulo vista desde la posicin delos espejos.

Si el ndice de refraccin aumenta (por ejemplo al llenar la celda de un gas con unndice de refraccin mayor que el del aire) entonces el dimetro de los anillos aumenta (qaumenta y cosq disminuye) para que el producto 2dncosq se mantenga constante para cadaanillo definido por un valor de m segn la ecuacin 15. En esta situacin el centro del patrnde interferencia se comporta como una fuente de anillos, pues stos parecen surgir de l y vanaumentando su dimetro. Por el contrario, si el ndice de refraccin disminuye (p. ej. al hacervaco en la celda) entonces el dimetro del anillo definido por un valor dado de m tambindisminuir (para que cosq aumente y el producto 2dncosq se mantenga constante y sigacorrespondiendo al mismo anillo definido por el valor de m y la ecuacin 15). En esta ocasinel centro se comporta como un sumidero de anillos que van desapareciendo por l.

Ntese que los comentarios del prrafo anterior slo son vlidos en la situacin dadapor las figuras 4 y 1, en las que el espejo M4 est ligeramente ms lejos del divisor que el M3,y la celdilla se encuentra entre el divisor y el M4, por lo que un aumento (o disminucin) delndice de refraccin en la celdilla tiene el mismo efecto que un aumento (o disminucin) de ladiferencia de distancias d entre los espejos y el divisor. En caso de que el espejo M4 estuvierams cerca del divisor que el M3 los efectos descritos en el prrafo anterior seran justamentelos contrarios.

5. BIBLIOGRAFA.

Puede encontrar informacin adicional sobre interferometra en general y diversostipos de interfermetros en textos clsicos de ptica como p.ej:

.- "Optics", 4th Edition. E. Hecht. Addison Wesley, 2001.

.- Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference, andDifraction of Light, 7th Edition, M. Born y E. Wolf, Cambridge University Press,1999..- "ptica", Justiniano Casas, Universidad de Zaragoza.

As como en textos de fotnica tales como:

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.- Optics and Photonics: an Introduction, F. G. Smith y T. A. King, John Wiley &Sons, 2000..- "Photonik", Jrgen Jahns, Editorial: Oldenbourg, 2001..- "Optics, Light and Lasers: The Practical Aproach to Modern Aspects of Photonicsand Laser Physics", Dieter Meshede, Editorial: Wiley-VCH, 2004.

y en el libro de divulgacin:.- "ptica tradicional y moderna", Daniel Malacara, Serie: la ciencia para todos,Editorial: Fondo de cultura econmica, 2002

Tablas de ndices de refraccin se pueden encontrar en:.- "Handbook of chemistry and physics", CRC Press, 2002.