COMPOSICION DE M.A.S, FIGURAS DE LISSAJOUS 1

1-. BREVE INTRODUCCION TEORICA

Se denomina Movimiento Armónico Simple, al movimiento periódico en el que una

partícula oscila alrededor de su posición de equilibrio, en una dirección determinada y

en intervalos iguales de tiempo. En esta condición la variación de su posición en

función del tiempo, será una sinusoide.

La ecuación general de cualquier movimiento armónico simple esta descripta por la

siguiente ecuación:

)t(senA)t(x

Siendo x la posición de la partícula para cualquier valor de tiempo, respecto de su

posición de equilibrio.

A es la amplitud de la oscilación.

es la Pulsación o Frecuencia Angular [rad/seg], pudiéndose considerar como una

constante que multiplicada por el período da como resultado 2 radianes. Haciendo

analogía a un fasor armónico, es la velocidad con que debe de girar ese fasor para

describir 2 radianes, en un tiempo igual al período de la oscilación.

t es el tiempo en segundos que determina el movimiento.

se denomina fase inicial, es el valor de x(t) para t = 0.

Si se desea obtener la velocidad o la aceleración, deberá derivarse con respecto al

tiempo a x(t) y v(t) respectivamente.

COMPOSICION DE DOS MOVIMIENTOS ARMONICOS SIMPLES

Las trayectorias del movimiento resultante de la composición de dos movimientos

armónicos simples, de direcciones perpendiculares, se conoce con el nombre de figuras

de Lissajous, esas trayectorias dependerán de la relación de frecuencias angulares y de

la diferencia de fase.

Supongamos que analizamos dos movimientos armónicos simples (en x e y) de igual

frecuencia angular pero desfasadas en un ángulo .

Las ecuaciones de su movimiento se indican a continuación:

x(t) = A sen( t)

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL F.R.B.B

LABORATORIO DE FISICA

ASIGNATURA MECANICA TECNICA

TRABAJO PRACTICO N°

COMPOSICION DE M.A.S

COMPOSICION DE M.A.S, FIGURAS DE LISSAJOUS 2

y(t) = A sen( t + )

Esta combinación, introducida convenientemente en un osciloscopio, representaría una

elipse como la de la fig.

Aquí vemos que en la intersección con el eje y, es x =0, entonces tendremos:

x(t) = A sen( t) = 0 por lo que t deberá ser igual a cero o .

y(t) = A sen( t + ) por lo arriba indicado deberemos tener dos expresiones para esta

ecuación:

y = A sen ó y = A sen ( .+ )

Si tomamos la parte positiva del eje y, tendremos:

Sen = A

y 0

Entonces si las divisiones de la fig., representan la pantalla de un osciloscopio,

tendremos que:

= arcsen A

y0 arcsen10

5= 30°

Si tomamos ahora el eje x, tendremos:

Para ayuda repetimos:

x(t) = A sen( t)

y(t) = A sen( t + )

En y = 0, deberá ser t = - ó - , entonces:

x0 = -A sen ó x0 = A sen ( - ) = A sen

COMPOSICION DE M.A.S, FIGURAS DE LISSAJOUS 3

Entonces tendremos que:

sen = A

x 0 = 30°

En resumen, lo que hemos hecho hasta aquí es encontrar el ángulo de fase, de la

composición de dos M.A.S perpendiculares, a partir de la fig. proporcionada por un

osciloscopio.

Veremos ahora si es posible determinar la relación de frecuencia angular o de la

frecuencia ( = 2 f), mediante la visualización en un osciloscopio.

Supongamos que tenemos dos M.A.S. de direcciones perpendiculares de la misma

amplitud, pero ahora las frecuencias angulares son distintas.

Las ecuaciones del movimiento serán:

x = A sen ( 1 t)

y = A sen ( 2 t + )

Para determinar la relación de frecuencias angulares deberemos analizar el número de

tangentes, tanto verticales como horizontales.

Es decir que la relación 21 / será:

2

1

=

horizontalengentestanN

verticalengentestanN

En esta fig, la relación 21 / = 3/2

COMPOSICION DE M.A.S, FIGURAS DE LISSAJOUS 4

Conocida una de las frecuencias se podrá determinar la otra.

2.- OBJETIVO DE LA PRÁCTICA

Visualizar, utilizando un osciloscopio y generadores de ondas senoidales, la

composición de dos movimientos armónicos simples ingresados por los canales x e y

del osciloscopio. Medición del ángulo de desfasaje y relación de frecuencias y amplitud.

3-. MATERIAL A UTILIZAR

Cant Item Caract. Técnicas

1 Osciloscopio marca PINTEK, modelo RS 608 de 60 Mhz

Deflexión vertical 5 mV/div

a 5 V/div en 10 pasos

(secuencia 1-2-5).

Deflexión horizontal desde

0,1 useg/div a .5 seg en 21

pasos (secuencia 1-2-5).

Dos (2) canales.

2 Generador de ondas senoidales Philips pm 5107 y Hewlett Packard 209 A

3 Circuitos desfasadores

4-. DESARROLLO DE LA PRACTICA

El docente ingresará a los canales x e y del osciloscopio, dos señales senoidales para las cuales se

variara algún parámetro en las distintas etapas, cada alumno deberá, utilizando los conocimientos,

indicar en su hoja de reportes las características de la composición de señal visualizada (amplitud,

fase, relación de frecuencias).

5-. DATOS OBTENIDOS DURANTE LA PRACTICA

5.1- GRAFICOS

Se proveerán vía correo electrónico, las fotografías de pantalla obtenidas.

7-. OPINION Y/O SUGERENCIAS SOBRE ESTE PRACTICO

Entregar al Docente en forma separada, puede ser anónima.

COMPOSICION DE M.A.S, FIGURAS DE LISSAJOUS 5

Medida del desfase entre señales

La sección horizontal del osciloscopio posee un control etiquetado como X-Y, que nos

va a introducir en una de las técnicas de medida de desfase (la única que podemos

utilizar cuando solo disponemos de un canal vertical en nuestro osciloscopio).

El periodo de una señal se corresponde con una fase de 360º. El desfase indica el angulo

de atraso ó adelanto que posee una señal con respecto a otra (tomada como referencia)

si poseen ambas el mismo periodo. Ya que el osciloscopio solo puede medir

directamente los tiempos, la medida del desfase será indirecta.

Uno de los métodos para medir el desfase es utilizar el modo X-Y. Esto implica

introducir una señal por el canal vertical (generalmente el I) y la otra por el canal

horizontal (el II). (este método solo funciona de forma correcta si ambas señales son

senoidales). La figura resultante en pantalla se denomina figura de Lissajous (debido al

físico francés denominado Jules Antoine Lissajous). Se puede deducir la fase entre las

dos señales, asi como su relación de frecuencias observando la siguiente figura

Una técnica de medida de fase utilizando el modo X-Y es la siguiente:

Sen(w)=B/A, donde w es el desfase entre ambas señales.