Práctica de Lógica

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA

Práctico de Lógica y

Matemática Computacional


Trabajo Práctico N° 1: Lógica Proposicional

1) Dadas las siguientes proposiciones compuestas:* San Martín nació en Yapeyú y murió en Francia.* Si 8 es múltiplo de 9, entonces, es múltiplo de 3.* Maradona es argentino, sólo si es santafesino.* Los alumnos de primer año de Licenciatura en Sistemas de Información cursan Lógica o Sociología.* Río de Janeiro no es la capital de Brasil ni de Uruguay. * Un triángulo es equilátero si, y sólo si, sus tres lados son congruentes.* 7 es par o impar.* Que hoy sea 28 de febrero equivale a que mañana es 1 de marzo.a) Reconozca las proposiciones simples que constituyen las proposiciones compuestas dadas.b) Escriba en símbolos las proposiciones compuestas dadas y determine sus valores de verdad.

2) Dadas las siguientes proposiciones simples:* p: 6 es un número entero par.* q: 6 es un número entero, divisible por 3.* r: 6 es menor que 5.a) Escriba, en lenguaje coloquial, las siguientes proposiciones compuestas:i) p q ii) q ¬p iii) p (q r) iv) (p v q) r.

b) Construya las tablas de verdad de las proposiciones compuestas dadas en “a)” considerando ahora que p, q y r son proposiciones simples cualesquiera.

3) Suponga que p, q, r, s y t son, en cada caso, proposiciones simples. Analice si la información que se da, en cada ítem, es suficiente para determinar el valor de verdad de las proposiciones compuestas dadas a continuación, sin construir la tabla. Si la información es suficiente, determine el valor de verdad y justifique la respuesta. Si la información no es suficiente, construya la tabla de verdad para los casos que correspondan.a) (p q) ¬s, siendo s falsa.b) [p (q v r)] ¬s, sabiendo que (s a q) es verdadera.c) ¬ q (r v p), siendo (¬p v q) falsa.d) (p ¬p) v (s v t), sabiendo que (t v ¬s) es falsa.

4) Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías:Involución: ¬(¬p) p Idempotencia de la conjunción (p p ) pIdempotencia de la disyunción (p v p ) pAsociativa de la conjunción: (p q ) r p (q r)Asociativa de la disyunción: (p v q) v r p v (q v r)Conmutativa de la (p q) (q p) conjunción:Conmutativa de la (p v q ) (q v p) disyunción:Distributiva de la conjunción respecto a la disyunción:(p y q ) r (p r) v (q r)Distributiva de la disyunción respecto a la conjunción:(p q ) v r (p v r) (q v r)Ley de De Morgan (Negación de una conjunción): ¬ (p q) (¬ p v ¬ q )

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA Ley de De Morgan (Negación de una disyunción): ¬ (p v q ) (¬ p ¬ q)Negación de una implicación: (p q) (p -.q)Negación de una doble implicación ¬ (p q) (p v q):Simplificación: (p q) p Adición: p (p v q )Implicación contrarrecíproca: (p q) (¬ q ¬ p)

5) Demuestre que p ¬ p es una contradicción.6) Demuestre la validez de las siguientes reglas de inferencia:

a) Silogismo hipotético: [(p q) (q r)] (p r)b) Modus Ponens: [(p q) p] qc) Modus Tollens: [(p q) ¬ q] ¬ p

7) a) En cada ítem, establezca los condicionales posibles (p q q p) y determine sus valores de verdad:

i) p: El auto se detuvo. q: El semáforo está en rojo.ii) p: Juan es correntino. q: Juan es argentino.iii) p: Hoy es feriado. q: Hoy es domingo.iv) p: Hoy es sábado. q: Ayer fue viernes.

v) p: (abc) es un triángulo equilátero. q: (abc) es un triángulo isósceles.b) En los casos en que sea posible, determine condición necesaria, condición suficiente o condiciones necesarias y suficientes.8) Dadas las siguientes implicaciones:i) Si un número es múltiplo de 8, dicho número es múltiplo de 2 y de 4.ii) (abcd) es un cuadrado, sólo si (abcd) es un rectángulo.iii) Una condición necesaria, pero no suficiente, para que un número sea nulo es que dicho número coincida con su cuadrado.Determine, para cada una de ellas, su negación y sus implicaciones asociadas.

9) Cuatro jugadores de fútbol (José, Juan, Julián y Justino), son conocidos como “Araña”, “Pupy”, “Rayo” y “Torpedo” (no necesariamente en ese orden). Si sus apellidos son García, Morales, Quirós y Rosales (tampoco necesariamente en ese orden), averigüe el nombre, apellido, apodo y número de la camiseta de cada uno, sabiendo que las siguientes implicaciones son verdaderas:a) Si José no es Rosales, entonces, Quirós es el 10.b) “Araña" es Morales, si Quirós es el 10.-c) Una condición suficiente para que, Justino sea el 7, es que “Araña” sea Morales.d) Es suficiente que Justino sea el 7 para que Rosales sea “Rayo”.e) “Rayo” es Rosales sólo si José es Rosales.f) Si José no es “Rayo”, entonces, José no es Rosales.g) “Araña” es el 10, si José no es “Araña”.h) Es suficiente que “Araña” sea el 10, para que Juan sea el 9.i) Si Juan no es “Araña”, Quirós es el 7.j) Si Morales no es “Araña”, entonces, Morales es el 8.k) Una condición necesaria para que Justino sea Quirós, es que a Juan lo apoden “Pupy”.Sugerencias:

1. Determine, para cada implicación, antecedente y consecuente y trate de hallar los valores de verdad de estas proposiciones simples.2. Vuelque los resultados que vaya obteniendo, en la siguiente matriz o tabla:

NOMBRE APELLIDO APODO NUMERO


10) En cada uno de los siguientes casos, enuncie la correspondiente conclusión de modo que el razonamiento resulte formalmente válido, justificando la respuesta.a) Si 4 es múltiplo de 5, 8 es múltiplo de 10.

8 no es múltiplo de 10.Conclusión:

b) Juan es cordobés sólo si es argentino.Juan es cordobés.Conclusión:

Trabajo Práctico N° 2: Algebras de Boole

A. Algebras de Boole1) Verifique que (P(I3), , ) es un Álgebra de Boole finito.2) En cada caso, justifique la validez de las demostraciones dadas, indicando qué axioma o propiedad se ha utilizado en cada caso:a) Complementarios del 0 y del 1:

1 = 1 . 1 = 1 . (0 + 0’) = 1 . 0’ = 0’ (1) (2) (3) (4)

0 = 1’ trivial por_____________________________________________

b) Leyes de De Morgan:(a + b) . (a’. b’) = a . (a’.b) + a . (a . b’) = a . (a’ . b) + b . (b’ . a’) = (a . a’). b + (b . b’).a’ = (1) (2) (3) (4)= 0 . b + 0 . a’ = 0 + 0 = 0 (*) (5) (6)(a + b) + (a’ . b’) = (a + b + a’) . (a + b + b’) = (a + a’ + b) . (a + b + b’) = (7) (8) (9)= [(a + a’) + b], [a + (b + b’)] = (1 + b).(a + 1) = (b + 1).(a + 1) = 1.1 = 1 (**) (10) (11) (12) (13)De (*) y (**), resulta: (a + b)’ = a’.b' por ____________________(a . b)’ = (a’ + b’) Trivial por___________________________________

c) Ley Cancelativa del producto:a = a . 1 = a . (b + b’) = (a . b) + (a . b’) = (c . b) + (c . b’) = c.(b + b’) = c . 1 = c (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)d) a + a’ b = (a + a b) + a’ b = a + (a b + a’ b) = a + (a + a’) b = a + 1 . b = a + b (1) (2) (3) (4) (5) a.(a’ + b) = a.b Trivial por_______________________________________

3) Sea (B, +, .) un álgebra de Boole. Halle el complementario de los siguientes elementos de B:

a) (a + b c) . a. (a + c), con a, b, c B.b) [(a + b). d’ + b . e] . (d + e), con a, b, c, d, e B.

B. Funciones Booleanas1) Una fábrica de gaseosas desea que un sistema automático (F) retire de la banda transportadora aquellas botellas que contengan bebidas que no cumplen con los requisitos mínimos de calidad; para esta operación, el sistema cuenta con cuatro sensores (x, y, z, w) en distintos puntos de la cinta transportadora que emiten señales pertenecen a B = {0, 1}. Si el sistema emite la señal 1, la botella debe ser retirada y si emite 0 puede integrarse a la producción. Halle la función booleana f: B4 B que permita conocer todos los casos en que la bebida debe ser retirada de la cinta

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA transportadora. Las señales de sensores y sistema posibles están dadas en la siguiente matriz:

x y z w F1 1 1 1 01 1 1 0 01 1 0 1 01 1 0 0 01 0 1 1 11 0 1 0 11 0 0 1 11 0 0 0 00 1 1 1 00 1 1 0 00 1 0 1 00 1 0 0 00 0 1 1 10 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 0

2) Halle las expresiones de las funciones booleanas f y g, ambas de B3 en B, (con (B = {0, 1}) cuyas tablas de verdad son:

x y z f g0 0 0 1 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 1 0

3) Simplifique, utilizando propiedades de las álgebras de Boole, las siguientes funciones booleanas (con B = {0, 1}):a) f: B3 B/ f(x, y, z) = [(x + y’), (x . y’.z)’]’b) f: B3 B/ f(x, y, z) = {[(x’ . y’)’ + z] . (x + z)}’

4) Considere los siguientes mapas de Karnaugh :

x y x y’ x’ y’ x' y1

1 1 1

x y x y’ x’ y’ x' yz u 1 1z u’ 1 1z’ u’ 1 1 1z’ u 1

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA ¿Cuál es la función booleana (con B = {0, 1}) que define cada uno de ellos? Exprésela en la forma más simple posible.

5)Construya el gráfico de compuertas de las siguientes funciones booleanas de B3 en B, (con B = {0, 1}): f(x, y, z) = x y’ + x’ z’ + y; g(x, y, z) = (x + y)’ + (y + z’).x.

6) Determine la función booleana correspondiente a los gráficos de compuertas siguientes:

7) El consejo de administración de una empresa está compuesto por 5 miembros: m1, m2, m3, m4 y m5. Cuando se somete a votación la aprobación de un proyecto, la votación es secreta y nadie puede abstenerse. Suponiendo que nadie vota en blanco, obtenga una función booleana que tome el valor 1 cuando se aprueba el proyecto con al menos 3 votos favorables de m1, m2, m3, m4. Simplifique la función lo más posible.

Trabajo Práctico N° 3: Lógica de PredicadosA. Lógica Clásica1) Dadas las siguientes funciones proposicionales, con dominio en el conjunto de los números enteros:* P(x): x es un número primo.* Q(x, y): 2.x + y = 5.* R(x, y): x . y = 0.a) Dé valores a la o las variables de modo tal de convertirlas:

i) En proposiciones verdaderas. ii) En proposiciones falsas.b) Idem a, utilizando cuantificadores.

2) Dadas las siguientes proposiciones cuantificadas:a) Algunos cisnes son blancos.b) Ningún ave es un mamífero.c) Algunos días no son soleados.d) Todos los argentinos son latinoamericanos.

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA e) Nadie vino a la fiesta.Escriba las proposiciones equivalentes a sus negaciones.

3) Halle las proposiciones cuantificadas equivalentes a las negaciones de las que obtuvo en el ítem 1 b.4) Dados los siguientes silogismos categóricos:i) Todas las ranas son anfibios.

Todos los anfibios son vertebrados.______________________________Todas las ranas son vertebrados.

ii) Algunos europeos son franceses.Algunos franceses son inteligentes._______________________________Algunos europeos son inteligentes.

iii) Todos los amigos de Pedro juegan al basket. Todos los que juegan al basket son altos._________________________________ Todos los amigos de Pedro son altos.

iv) Todos los chaqueños son argentinos. Algunos argentinos son bondadosos._________________________________

Algunos bondadosos son chaqueños

v) Ningún inteligente es imprudente. Algunos estudiantes son inteligentes. _______________________________ Algunos estudiantes son imprudentes.

a) Determine, en cada caso, los términos mayor, medio y menor.b) Establezca a qué forma y figura corresponde cada uno de los silogismos dados.c) Determine cuáles de los silogismos dados son formalmente válidos, justificando las respuestas.

5) Construya, en cada caso, silogismos válidos, con la siguiente información:a) Conclusión: Todo argentino es sensible.

Término medio: Hombre.Forma de las dos premisas: A.

b) Conclusión: Ningún insecto es ave.Término medio: Vertebrado.Forma de la premisa mayor: A; de la premisa menor: E.

c) Conclusión: Algunos hombres son culpables. Término medio: Injusto.Forma de la premisa mayor: A; la premisa menor: I.

B. Lógica Difusa1) Se consideran tres conjuntos borrosos que representan, para seres humanos, los conceptos de joven, edad intermedia y adulto, respectivamente. Estos conjuntos borrosos se presentan a continuación mediante sus funciones de pertenencia

respectivamente: 1 si x 20 0 si x 20 x 60

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA 35 – x x - 20 1 (x) 15 si 20 < x < 35 2 (x) 15 si 20 < x < 35 0 si x 35 60 - x 15

0 si x 45 x - 45 3 (x) 15 si 45 < x < 60 1 si x 60

Determine el grado de verdad de las siguientes proposiciones, sabiendo que Javier tiene 29 años de edad y Sandra 22:a) Javier es joven.b) Javier está en una edad intermedia y Sandra es joven.c) Javier es adulto o Sandra está en una edad intermedia.d) Sandra no es adulta.2) Sea E = {a, b, c, d, e} y los subconjuntos borrosos cuyas funciones de pertenencia se dan a continuación:

x a b c d eA(x) 1 0 0.5 0.9 0.7B(x) 0.8 0.6 0.2 1 0.8

Completar la tabla siguiente:

x a b c d e(A) (x)AB(x)AB(x)

3) Supongamos que tenemos un termostato con el que queremos regular la temperatura de una habitación mediante un dispositivo que puede enfriar o calentar según sea la temperatura que haya en la habitación. El objetivo es que la temperatura de la habitación siempre se mantenga en el intervalo de [18,22].a) Construir los conjuntos difusos necesarios para representar los tres posibles estados de la habitación (fría, templada y caliente) diciendo qué valores comprende y proponiendo una función de pertenencia acorde a cada uno de dichos estados.b) Si el valor de verdad de la proposición “la habitación está caliente” es de 0.3, y el valor de verdad de la proposición “la habitación está fría es de 0.82”, ¿cuál es el valor de verdad de la proposición “La habitación está caliente o fría”?

4) Si E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} es el conjunto formado por el número de hijos que puede tener una familia, proponga el conjunto difuso D, que corresponda al concepto de “número razonable de hijos que puede tener una familia”. Según la definición dada... ¿cuál es el grado de verdad de la afirmación “es razonable tener 5 hijos”? ¿y “es razonable no tener hijos”?5) Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} es el conjunto formado por la cantidad de celulares en uso que puede tener una persona normal para sí misma. Sea el conjunto A {(1 ; 0.8):(2 ; 0.9);(3 ; 1);(4 ; 0.9);(5 ; 0.6);(6 ; 0.5);(7 ; 0.1);(8 ; 0)} Siendo A (n) grado de verdad del predicado difuso “es razonable tener n celulares”, determinar el grado de verdad de las siguientes proposiciones:

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA “Si es razonable tener 4 celulares, es razonable tener 5.”“Si es razonable tener 4 celulares, es razonable tener 3.”6) En una autopista de la provincia de Bs. As.. Existen carteles en donde dicen que la máxima velocidad a la que puede ir un auto es a 220 k/h y la mínima es de 110 para no ser multado y no sufrir accidentes. Se consideran 3 conjuntos borrosos que representan los conceptos de “rápido, moderado y lento”. Estos conjuntos borrosos se representan a continuación mediante sus funciones de pertenencia R M L

respectivamente.

0 x 135 x 180 1 x 180 x - 135 x - 140 5 135 < x < 140R (x) 40 140 < x < 180 M (x) 180 - x 0 si x 140 20 160 < x < 180 1 140 x 160

0 x 135 x - 140 L (x) 40 si 135 < x < 60 1 x 60

Determinar el grado de verdad de las siguientes afirmaciones sabiendo que un Audi va a 178 Km./h y un Orion a 153 km/h.a) El auto de marca Audi va rápido.b) El Audi va rápido o el Orion va a una velocidad moderada.c) El Orion no va rápido

7) Un lavarropas de última generación que se acaba de instalar en un edificio lujoso, utiliza entre 1 litro y 15 litros de agua, dependiendo si las prendas a lavar están en una de las siguientes categorías: Limpio, manchado, Sucio, Muy sucio. Construir los conjuntos borrosos para representar las 4 posibles categorías en que se encuentra una prenda para ocupar una determinada la cantidad de agua.

Trabajo Práctico N° 4: Números Naturales. SucesionesA. Números Naturales. Inducción Matemática1) a) El matemático Pitágoras, utilizando piedras, procedió de la siguiente manera:

1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9

A partir de allí, generalizó la expresión de la suma de los n primeros números naturales impares. ¿Puede ud. completar la siguiente igualdad: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = ______ ?

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA b) Por su parte Gauss, cuando su maestro lo mandó a sumar los 100 primeros números naturales para tenerlo quieto un rato, hizo lo siguiente: 1 100 2 99 . . . . 50 51

Como observó que en cada fila, la suma de los números escritos en ella es 101, concluyó que tenía 101*50 es decir: (100 + 1 ) * ( 100/2). Generalizando el razonamiento de Gauss... ¿puede Ud. completar la siguiente igualdad: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n (n + 1) ? 22) Demuestre por inducción la validez de las siguientes proposiciones:a) Las igualdades obtenidas en el ejercicio 1.b) n N: 2n < n2 + 2

n k 1

c) n N: k + 1 = n + 1 k = 1

n 5 + 5n+1 (4 n - 1)

d) n N: i . 5i = 16 i = 1

3)¿El producto de tres números naturales consecutivos es siempre múltiplo de 6? ¿Y la suma? Justifique todas las respuestas.

4) Demuestre que n N n > 4 n! > 2n.

5) En cada caso, determine m N, tal que, n m : 1 1a) n < 0.027 b) 3n > 2514 c) n4 < 0.064 * 10 -5

B. Sucesiones. Ecuaciones de recurrencia1) Escriba en cada caso, los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones: 1 a) (n + 1) n No b) (2n3 + 1) n No

2) Dados los primeros términos de las siguientes sucesiones, halle el término general:a) 7, 7, 7, 7, 7, 7……b) 1, -1, 1, -1, 1, -1,……..c) 1, 5, 9, 13, 17, 21,………d) 2, 1, 2, 3, 2, 5, 2, 7,…….

3) En cada uno de los siguientes casos, calcular los 7 primeros términos de las siguientes sucesiones definidas por recurrencia:

1 si n = 0 n = 1 5 si n = 0an = bn = 5 an – 1 – 6an -2 si n > 2 3bn -1 si n > 0


0 si n = 0 1 si n = 0cn = 1 si n = 1 dn = 4

3 cn – 1 + cn -2 si n > 1 4 – dn-1 si n > 0

4) a) Genere, con planilla de cálculo, los 100 primeros términos de:i) La sucesión aritmética de diferencia -3 y primer término 15. (an)ii) La sucesión geométrica de razón 0.5 y primer término 3. (bn)iii) La sucesión de Fibonacci.b) Demuestre que el término general de una sucesión aritmética de diferencia d (con d R - {0}) y primer término a0 es: n N : ah = a0 + d(n -1).c) Demuestre que el término general de una sucesión geométrica de razón r (con r R- (0, -1, 1}) y primer término b0 es: n N0 : bn = born.

5) Resolver las ecuaciones de recurrencia asociadas a:a) Las sucesiones (an) n No (cn) n No del ejercicio 3.

1 si n = 0

xn = 2 si n = 1 yn = 1 si n = 0 -xn – 1 – 6an -2 si n > 1 yn -1 + n si n > 0b) c)

6) Un chico dispone de n monedas para comprar golosinas. Le gustan el pochoclo (que cuesta 1 moneda cada bolsa) y dos tipos de alfajores, que cuestan 2 monedas cada uno. ¿De cuántas formas puede gastar las n monedas?

7) El número de bacterias de un cultivo de laboratorio se triplica cada hora. Plantear una relación de recurrencia para el número de bacterias que hay en el cultivo después de n horas. Si el número inicial de bacterias es 100, ¿cuántas habrá al cabo de 10 horas?

8) Hallar una relación de recurrencia para el número de cadenas binarias (de ceros y unos) de longitud n, que contienen dos ceros consecutivos. Resolver la relación.

9) a) Dada la sucesión del ejercicio 5b, determine el término general de la sucesión (bn

)n No / n N0 : b n = 2 . xn

x0 = 2 x1 = 1 x2 = 3 b) Idem 9 para la sucesión (xn)nN tal que: xn = x n-1 + xa n-2 - xa n-3 si n > 2 10) Dada la siguiente sucesión, definida por recurrencia: 1 si n = 1 bn = 2bn - 1+ 1 si n > 1

a) Escribir un algoritmo que muestre los N primeros términos de la sucesión(bn) n No . Ingresar N por teclado.b) Comprobar que el algoritmo “funciona”, hallando los 10 primeros términos de la sucesión.

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA c) Encuentre el término general de la sucesión, mediante un cálculo recursivo.d) Verifique que la expresión hallada en d es correcta, usando inducción.

C. Sistemas de numeración1) Utilizando el desarrollo decimal de un número natural, escriba en símbolos ¡as siguientes proposiciones:a) La cifra de las unidades de un número de n cifras es 3.b) La suma de las n cifras de un número natural es 9.c) N es un número natural de n cifras, las cuales son todas 9.2) Hallar la representación en base 2, 8 y 16 de los siguientes números expresados en base 10: 237, 634, 562, 2002.3) Exprese en base 10 los siguientes números: 10011101(2, 21ADC(16, 33810(8.4) Exprese en sistema binario el número 173,6015625(10.5) Exprese en base 10 el número binario 10011,011001.

Trabajo Práctico N° 5: Números Enteros

A. Teoría de Números1) Encontrar el cociente y el resto de la división entera entre a y b (b * 0) si:

a) a = 327; b = 49.b) a = 142; b = -12.c) a = -213; b = - 3.d) a = -152; b = 4

2) a) Halle todos los m, n e N0 / m + n = 13 y el resto de dividir cada uno de ellos por 3 es 2.

b) Halle todos los a, b e Z / a - b = 2 y el cociente de dividir cada uno de ellos por 5 es 42.

3) Demuestre por inducción sobre n que: a) 3 | (10n - 1) b) 9 | (10n - 1) c) 11 | [10n - (-1)n]4) Demostrar que si un número natural de tres cifras...

a) ...es divisible por 9, la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.b) ... es múltiplo de 4, el número formado por sus dos últimas cifras es

múltiplo de 4.5) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando la respuesta:

a) n, m Z: n | m n < m.b) n N: 3|8n - 5n.c) n N: n|m + p n|m v n|p .d) n N: 2|n2 + n .e) n, m Z: n | m m|n n = m.f) n N: 2| n 2| n2

6) Un mago solicita a un participante del público que pase al escenario y escriba un número de 3 cifras en una pizarra. El participante escribe el 678, luego le solicita que lo repita a la derecha, con lo cual el número es ahora 678678. Posteriormente, le da una calculadora, se venda los ojos y le pide: primero, que lo divida por 13; luego, al cociente obtenido, que lo divida por 11 y, finalmente a este último cociente, que lo divida por 7. Finalmente, sin quitarse la venda, el mago exclama: El resultado final es...678!!! Descubra cuál es el truco del mago.7) Un viajante va a Rosario cada 18 días, otro va a Rosario cada 15 días y un tercero va cada 8 días. Hoy día han coincidido en Rosario los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en dicha ciudad?

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA 8) Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible.

a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?

9) Utilizando el algoritmo de Euclides, determinar el M.C.D. de:a) 63 y 28 b) 56 y 27 c) 721 y 448

10) Un pequeño agricultor está organizando su producción: tiene 180 manzanas y 160 peras. Su idea es colocarlas en bolsas con la misma cantidad de frutas cada una, embolsando por separado las manzanas y las peras.

a) ¿De cuántas maneras distintas lo puede hacer?b) ¿Cuántas unidades podrá poner como máximo en cada bolsa, y cuántas bolsas necesitará para cada fruta?

B. Congruencias y ecuaciones diofánticas.9) Sean a, b,c Z, n N / a b (mod n). Demostrar que:

a) x Z: a + x b + x(mod n)b) x Z: a.x b.x (mod n)c) n N: am bm (mod n)

10) Determine para qué números naturales n, se cumple que 2n s o (mod 7).11) Demuestre que la suma de los cubos de tres-números enteros consecutivos es congruente con cero módulo 9.12) Un grupo de niños y niñas del Jardín “El caracolito” fueron al parque de diversiones. Si cada niño pagó $19 por su entrada y cada niña $13... ¿Cuántos niños y cuántas niñas entraron al parque si, en total, pagaron $323?13) Halle el menor n e N tal que: I) La cifra de las unidades es 6.

ii) Si el 6 es trasladado al principio del número, se obtiene su cuádruplo14) Determine qué día de la semana...

a) ... fue el 25 de mayo de 1810?b) ... será el 9 de julio de 2016?c) ... nació ud.?d) Verifique que su cumpleaños número 28 caerá o cayó el mismo día de la semana en que nació.

15) Resolver las siguientes ecuaciones de congruencia:a) 5x 1 (mod 11) b) 4x 3 (mod 7) c) 5x 7 (mod 15)d) 9x 12 (mod 4) e) 12 18x (mod 30)

Trabajo Práctico N° 6: Teoría de Grafos

A. Relaciones en un conjunto, Dígrafos1) Dados los siguientes conjuntos, A = I4 y B = {a, b, c}, y las siguientes relaciones definidas en ellos:

R1 = {(x,y) A2 / x | y}; R2 = {(x,y) A2 / x = y}; S1 = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,c), (b,c)} B2; S2 = {(a,a), (b,a), (c,a)} B2;

a) Construya el dígrafo correspondiente a cada una de las relaciones dadas.b) Construya la matriz de adyacencia de cada una de dichas relaciones.c) Analice qué propiedades cumplen y cuáles no, cada una de las relaciones dadas y, de ser posible, clasifíquelas. Justifique todas las respuestas.

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA d) Construya los dígrafos de todas las relaciones de equivalencia que pueden definirse en I4.2) Considere las relaciones R = S1 y S = S2 (con S1 y S2 del ejercicio 1). Determine lo matriz de adyacencia y el dígrafo de:

a) R-1.b) R' = B2 - R (Complemento de R).c) R S.d) R S.e) S º R (Composición de R y S)f) Caracterice las matrices de adyacencia de las relaciones R-1 , R', R S, S º R,

R S.3) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) Cualquiera sea el conjunto no vacío A, R = {(x, y) A2 / x = y} es de orden amplio y de equivalencia.b) Una condición suficiente para que la intersección de dos relaciones sea de equivalencia, es que ambas sean de equivalencia.c) La unión de dos relaciones de equivalencia es, a su vez, de equivalencia.d) Una condición necesaria y suficiente para que una relación sea no clasificable es que no verifique la propiedad transitiva.

4) Sea M = (aij)7x7 la matriz de adyacencia de un grafo de vértices a, b, c, d, e, f y g, tal que sólo a12 = a16 = a23 = a25 = a37 = a41 = a43 = a51 = a64 = a74 = 1 y los restantes aij = 0.

a) Construya el grafo dirigido correspondiente.b) Escriba por extensión la relación R A2, con A = { a, b, c, d, e, f y g}, asociada a M.c) Analice qué propiedades cumple R y cuáles no, justificando todas las respuestas. Si es posible, clasifique a R.

5) Dado el siguiente dígrafo:

a) Construya la matriz de adyacencia correspondiente.b) Escriba por extensión cada relación R A2, con A = {a, b, c, d, e}, asociada al dígrafo dado.c) Analice qué propiedades cumple R y cuales no, justificando todas las respuestas. Si es posible, clasifique a R.

6) Si P es una partición de I6 tal que P = {{1,6}, {2,4,5}, {3}}, determine el dígrafo y la matriz de adyacencia asociados a la relación de equivalencia inducida por P.

B. Gratos y Multígrafos7) En un torneo de fútbol, el equipo Nieve venció a los Faisanes una vez, el Rascacielos venció al Tuna una vez. el Nieve venció al Rascacielos dos veces, los Faisanes vencieron al Tuna una vez y los Faisanes vencieron al Rascacielos una vez. En cada uno de los siguientes casos, use un grafo para modelar el torneo, siendo cada equipo un vértice del mismo. Determine el tipo de grafo usado en cada ítem.

a) Hay un arco o arista entre los equipos si éstos jugaron.b) Hay una arista entre los equipos para cada juego jugado.c) Hay un arco entre el equipo i y el j si i venció a j, al menos, una vez.d) Hay una arista entre el equipo i y el j por cada victoria de i sobre j.

8) Se tienen 6 ordenadores y 9 cables de conexión. Se quiere conectar cada ordenador con otros 3... ¿Existe alguna forma de conectarlos? Si existe... ¿hay diferentes modos de hacerlo?

a

b

c

d e

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA 9) Construya el llamado grafo de Petersen, en el cual los vértices son los subconjuntos de 2 elementos de I5 y donde dos vértices son adyacentes si los subconjuntos correspondientes son disjuntos.10) El siguiente mapa muestra el sentido del tráfico de una pequeña urbanización mediante flechas continuas. ¿Se puede acceder desde cualquier punto indicado por letras mayúsculas a todos los demás? En caso negativo, intentar aportar alguna solución modificando el sentido del tráfico.

11) ¿Cuáles de los siguientes grafos tienen un circuito de Euler, un camino euleriano que no es circuito, o ninguno de éstos? Justifique la respuesta.

a) a b d b) a f c) 1 2 3

c

c b e 4 5 6 d12) El plano que se presenta más abajo es el de un pequeño museo con tres salas. ¿Es posible comenzar en el exterior y visitar las 3 salas pasando por cada puerta una única vez? Justifique la respuesta. EXTERIOR SALA SALA A B

SALA C

13) Utilice el algoritmo de Fleury para obtener un circuito euleriano paro cada una de los siguientes grafos:a)El Grafo del ítem c del ejercicio 5.b) c)

B A D

E C

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA 14) Sir William Hamilton, desarrolló y comercializó un juego que consistía en una gráfica de madera en forma de dodecaedro regular, con las instrucciones para encontrar lo que se llama circuito hamiltoniano. En la figura siguiente se muestra una versión plana de este sólido. Numere los vértices en forma consecutiva, a fin de encontrar uno de los muchos circuitos de Hamilton que admite este grafo.

15) Determine si los siguientes pares de grafos son isomorfos:

a) 1 a b

4 5 2 f c

3 e d

b) A B 1 2

E F 3 4 H G 5 6 D C 7 8c)

1 2 a b 3 6 c d

4 5 e f16) Se desea enviar información a los usuarios de un servidor de Internet. La información en Internet está clasificada en artículos culturales (1), deportivos (2) y de carácter científico (3). Se realiza un registro mensual de las preferencias de los usuarios obteniéndose que el mes pasado, las preferencias de 6 usuarios, fueron: Usuario Cultura Deportes Ciencia1 10 2 02 2 14 13 0 15 24 3 9 75 8 1 16 1 12 4

Obtenga los grafos de similaridad para un coeficiente de inferencia c = 6. ¿Qué interpretación se le puede dar a estos grafos?


C. Árboles

1) Aplicar el procedimiento BFS (búsqueda a lo ancho) al grafo de la figura para encontrar un árbol generador. c b d j k i m h l a g e f

2) a) Dibuje el grafo cuya matriz de adyacencia es:

a b c d e f g h abcdefgh

0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0

b) Aplique el método DFS (búsqueda en profundidad) para hallar un árbol generador.3) Construir un árbol generador mínimo del siguiente grafo ponderado: a 5 4 e 4 b 6 3 3 6 4 2 d 7 c

Utilizando: a) Algoritmo de Kruskal.b) Algoritmo de Prim.

4) Se va a construir un ferrocarril metropolitano que comunique a los municipios de Seganel (S), Colonor (C), Tomoles (T), Fregatav (F) y Bralunda (B). El costo de los posibles tramos del ferrocarril viene dado por la siguiente tabla:

S C T F

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA C 14T 38 12F 10 35 18B 26 9 13 28

Donde las cantidades están dadas en miles de pesos. ¿Qué tramos deberán construirse si se quiere minimizar los costos? Justifique la respuesta.

5) La red de conexiones de 7 tiendas de una misma cadena se da en el siguiente grafo. En las aristas figura el costo de transporte (en miles de pesos) entre dos tiendas, independiente del volumen transportado 6 B F 2 4 6 4 A 4 1 D 6 G 7 4 6 3 6 10 C 5 E

Se desea establecer las rutas de transporte de costo mínimo entre la tienda A y todas las demás. Justifique la respuesta.

6) Una empresa desea instalar un sistema de tubos neumáticos para permitir enviar artículos pequeños entre diez lugares, con posibilidad de envío no directo. Si los costos en cientos de pesos se dan el grafo siguiente, ¿entre qué lugares se debe instalar el tubo para minimizar el costo total? M1 8 M2 13 M3 7 M4

9 12 6 5 6

M5 7 M6 7 M7 12 M8 M9 M10

7) Verónica y Marta, compañeras de curso en la FACENA, tienen la intención de visitar en vacaciones la isla de La Palma, en la que los lugares más interesantes, las carreteras entre los mismos y las distancias en kilómetros, están representados en la tabla siguiente: A B C D E F G H IABCDEFGHI

0 12 0 6 0 5 0 4 0 12 0 7 0 0 0 8 0 2 0 7 0 7 0 0 0 5 0 6 0 7 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2 0 9 0 0 0 5 0 0 0 9 0 6 0 15 0 8 0 0 0 6 0 3 0 4 0 5 0 0 0 3 0 5 0 2 0 1 0 15 0 5 0

Las amigas quieren buscar un recorrido que conecte todos los lugares de interés (sin generar ciclos) y que minimice la distancia total recorrida.

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA 8) Siete amigos tienen sus ordenadores en red. bebido a problemas de costos, no todas las líneas son iguales en cuanto a velocidad (V) y costo (C) de transmisión de información y la distancia (D) de unos lugares a otros

M R J L H TV C D V C D V C D V C D V C D V C D

P 5 7 9 5 8 10 4 3 4 5 7 8T 3 7 9 3 7 9H 1 3 5 2 7 6L 3 5 9 2 6 8 6 2 4J 7 5 9R 2 7 10

Suponiendo que todas las líneas son bidireccionales y que no se desea que se formen ciclos:

a) ¿Con qué tendido mínimo de cable se lograría unir todos los puestos?b) ¿Con qué configuración se logra conectar todos los puestos a la mayor velocidad posible?c) ¿Con qué configuración se logra conectar todos los puestos con costo mínimo?

9) En 1800, en el lejano oeste norteamericano, a fin de conocer la identidad y poder detener a los forajidos que azotaban la región, se estableció una red de telégrafos entre los 10 pueblos más poblados de la zona. La información de dicha red se presenta a continuación, donde los arcos del grafo se valuaron según la distancia en millas entre dos pueblos. Obtenga una red que conecte todos los poblados y dé distancia mínima (que no incluya ciclos).

C F3

8A 2 3

5 96

7 2O 8

D 6 G I7

8 6

B 9 87

4 8

E 6 H

Trabajo Práctico N° 7 Lenguajes Formales y Autómatas Finitos

1) Sea la siguiente gramática G = { , N, T, S0, c}, donde = {a, b, c}, N = {S0, A, B}, S0 es el estado inicial y las composiciones: S0 AB; A ab; A aAb; B c; B Bc.a) Determinar si las siguientes cadenas pertenecen al lenguaje dado. En caso afirmativo, realizar la derivación correspondiente. aabb baab aabbcc abab aabba aaabbbc aabbccc


b) ¿Qué características tienen todas las cadenas que pertenecen a este lenguaje?

2) Sea = {m, e, t, a, l, s, p} cuyas composiciones son: S0 mA A eB B tC C aD D lE E eF F s A aB B p C e D l C a

a) Determine G = { , N, T, S0, c}b) Genere al menos 4 palabras con sentido y 4 sin sentido pertenecientes a este lenguaje, efectuando la derivación correspondiente.

3) Dada la gramática G = { , N, T, S0, c} donde, N = {S0, A}, T = {0,1,2}, S0 es el estado inicial. Composiciones: S0 02 S0 0A A 1A2 A 122a) Determine sí las siguientes cadenas pertenecen al lenguaje dado. En caso afirmativo, realice la derivación correspondiente. 0212 01222 011222 0211222 0122b) Caracterice el conjunto de cadenas que pertenecen a éste lenguaje.

4) Dado el siguiente lenguaje: L (G) = {0n 1 2n, n 0} a) Caracterice el conjunto de cadenas que pertenecen a éste lenguaje.b) Encuentre una gramática G = { , N, T, S0, c}, que pueda generar el lenguaje dado.

5) Dado el siguiente lenguaje: L (G) = {0n 1 2n, n 0} a) ¿Qué cadenas pertenecen a éste lenguaje? Caracterícelas.b) Encuentre una gramática G = { , N, T, S0, c}, que pueda generar el lenguaje dado.

B. MAQUINAS DE ESTADO FINITO DETERMINISTA 1) Dado el siguiente diagrama de transición del autómata finito

1 0 0 q0 q1

0 1 1 q2

a) Determine los conjuntos, , E, S y Fb) Determine si las siguientes cadenas son aceptadas por el autómata,i) 1001 ii) 00010 iii) 1111101 iv) 10011 v) 10010 vi) 00000001 vii) 1111001 viii) 10011101c) Caracterice el conjunto de cadenas aceptadas.

2) Dado el siguiente autómata

1 0 0 0

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA q0 q1 q2

1 1

a) Determine 3 cadenas que son aceptadas y 3 que no.b) Caracterice el conjunto de cadenas aceptadas por el autómata.

3) Dada la siguiente tabla de transición de! autómata finito.

0 1q0 q1 q4

q1 q1 q2

q2 q2 q3

q4 q4 q4

a) Determine los conjuntos, , E, S y F.b) Construya el respectivo diagrama de transición del autómata finito.c) Caracterice el conjunto de cadenas aceptadas por el autómata.

C. MAQUINAS DE ESTADO FINITO NO DETERMINISTA1. Dado el siguiente diagrama

a b a a a q0 q1 q2

b

a) Determine los conjuntos, , E, S y F.b) Representa al diagrama por medio de una tabla de transición.c) Determina si las siguientes cadenas son aceptadas.

i) aabaabbb ii) aaabb iii) bbba iv) aaabba v) bbaba

2. Dada la siguiente tabla de transición y el conjunto F = {q0, q1 ,q2}

a b cq0 { q0, q1, q2} {q1, q2} {q2}q1 {q1, q2} {q2}q2 {q2}

a) Determine el diagrama correspondienteb) Determine los conjuntos , E, Sc) Determine si las siguientes cadenas son aceptadas por el autómata finito

i) aabbcc ii)abbbb iii) bbbbc iv) abcb v) abca

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA 3. Dado los siguientes diagramas. i) b a b q0 q1 q2 a a

ii) q0 a q1

a b b

q2 a

a) Determine los conjuntos , E, S y F.b) Represente cada diagrama por medio de una tabla de transición.c) Determine si las siguientes cadenas son aceptadas por los autómatas. i) aababa ii) aaaaabb iii) babab iv) aabbbabba v) bbaba

d) Proponga 3 cadenas que sean aceptadas por los autómatas y 3 que no.4. Dada las siguientes tablas de transición y el conjunto F = {q3} i)

i) ii)

a) Determine el diagrama correspondiente para cada autómatab) Determine los conjuntos, , E, Sc) Determine si las siguientes cadenas son aceptadas por el autómata finito

i) aabbbab ii)aabba iii) baabb iv) aaab v) abca

5. Mediante un diagrama, diseñar una máquina expendedora de productos de latas de gaseosas. El producto cuesta $3.00 pesos y acepta monedas de $1.00 y $2.00 pesos. Suponga que solamente se puede introducir una moneda a la vez y que la máquina tiene monedas ilimitadas para dar cambio. También suponga que el reloj interno de la maquina es tal, que después de cada moneda, la maquina solo queda en suspenso esperando la siguiente entrada.

a bq0 {q1} {q0, q2}q1 {q0, q3} q2 {q1}q3 {q2, q3}

a bq0 {q1} q1 {q2} {q1}q2 {q2} {q2, q3}Q3 {q1}


Resolución Práctico N° 1: Lógica Proposicional

En principio, cabe aclarar, que la Lógica y Matemática Computacional es más abstracta que Álgebra, porque utiliza más el razonamiento humano y ya no tratamos exclusivamente de operaciones algebraicas sino proposiciones, que pueden ser ciertas o falsas, o a veces ninguna de las dos, provocando en un principio una contradicción, pero analizando más en profundidad, puede ser difícil ver que hay grados de verdad, pero se habla en esos términos en la actualidad, y eso lo determina la sociedad específica de cada área de estudio.

Se recomienda firmemente tratar de entender estos ejercicios, preguntando al jefe de trabajo práctico y practicando en sus domicilios (hoja y papel), o consultenme a mi si quieren, mi correo es [email protected] , manden su Nombre y Apellido, Nacionalidad e Institución. Utilicen el tiempo que sea conveniente, todo se puede, pero se debe aplicar el máximo esfuerzo a todo. Hay que “moverse”, las oportunidades de éxito, principalmente en esta carrera, se la gana cada uno, no vienen solas.

Les deseo mucha suerte y éxitos en sus estudios. Estudien y esfuércense mucho!!!

Se van a agregar () Paréntesis a las explicaciones

1) a) Se identifican las proposiciones:p: San Martín nació en Yapeyú q: San Martín murió en Francia.

(Cuando hablamos en lenguaje coloquial o cotidiano no repetimos 2 veces el sujeto, en este caso San Martín. Pero en este caso, si, para que p y q cobren sentido.)(Cuando hay un “y” en la frase, se dice que es una conjunción, entonces el símbolo a utilizar en la lógica es )

p: Si 8 es múltiplo de 9q: es múltiplo de 3.

(Cuando hay un “entonces”, un “solo sí” o simplemente una coma en la frase, se dice que es una implicación, entonces el símbolo a utilizar en la lógica es )

p: Maradona es argentinoq: Maradona sólo si es santafesino.

(Por lo explicado anteriormente, se utiliza el símbolo , se aclara que se copia el solo si, mientras que el entonces o la coma no se copian en q)

p: Los alumnos de primer año de Licenciatura en Sistemas de Información cursan Lógica

mailto:[email protected]

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA q: Los alumnos de primer año de Licenciatura en Sistemas de Información cursan Sociología.

(Cuando hay un “o” en la frase, se dice que es una disyunción, entonces el símbolo a utilizar en la lógica es )

p: Río de Janeiro no es la capital de Brasil q: Río de Janeiro no es la capital de Uruguay.

(Cuando hay un “ni” en la frase, se dice que es una conjunción de negaciones, entonces lo que se hace es lo siguiente, se reemplaza el ni por toda la negación completa, ignorando las comas y demás símbolos, como se puede ver más arriba. Los símbolos de negación y conjunción son y respectivamente) p: Un triángulo es equilátero q: Un triángulo sus tres lados son congruentes.

(Cuando hay un “sí y solo sí” , o un “equivale”, o un “exactamente igual” en la frase, se dice que es una doble implicación, entonces el símbolo a utilizar en la lógica es )

p: 7 es parq: 7 es impar.

(Cuando hay un “o” que separe circunstancias opuestas en la frase, se dice que es una disyunción exclusiva o excluyente, entonces el símbolo a utilizar en la lógica es )

p: Que hoy sea 28 de febrero q: mañana es 1 de marzo.

(Por lo explicado anteriormente, se utiliza el símbolo )

2) i) 6 es un número entero par y no divisible por 3.ii) 6 es un número entero, divisible por 3, entonces no par.iii) 6 es un número entero par, sí solo sí es divisible por 3 y es menor que 5iv) 6 es un número entero par y no es divisible por 3, implica que no es menor que 5.

b) Tablas de Verdad:i) ii)

iii) iv)

p qV F F VV V V FF F F VF F V F

q pV F F VF V F VV V V FF V V F

p ( q r )V V V V VV F V F FV F F F VV F F F FF F V V VF V V F FF V F F VF V F F F

(p q) r V V F V F F VV V F V V V FV V V F F F VV V V F V V FF F F V V F VF F F V V V FF V V F F F VF V V F V V F


Tengan mucho cuidado al confeccionar las tablas, recuerden que cuando escribo una V o un 1, estoy significando un Verdadero, y cuando una F o un 0, estoy significando un Falso. También recuerden como armar las tablas, es 2 a la cantidad de proposiciones o sea que si ustedes tienen 2 proposiciones son cuatro posibilidades de encontrar el valor de verdad, si tienen 3 son 8, y así. Ya teniendo en cuenta lo de V y F o 1 y 0, si tengo un “y”, todas las proposiciones deben ser V, para que el resultado sea V, si no lo entienden revean y pregunten, de lo contrario será una F. Si tienen una “o”, con tal de que una proposición sea V, ya el resultado es V, así que les recomiendo que en esta busquen la V, porque si todas son F, el resultado es F. Si tienen un “no” entonces si hay un V se vuelve F, y si hay un F si vuelve una V, todo al revés. Si tienen un “entonces”, será F solamente cuando el primero sea F y el segundo sea V, o sea cuando el antecedente sea falso y el consecuente sea verdadero, simple, porque ustedes no pueden afirmar nada si no tienen una hipótesis válida o argumentos válidos (esto es aplicable a la vida en general, véanlo de esa forma). Todo lo demás es compuesto de esto, lean la teoría, y si no entienden pregunten. Casi me olvidaba, tengan cuidado con los paréntesis, ya que ellos denotan el orden de las operaciones.

3) Tengan cuidado con este punto, es tema de exámen. Lo que expliqué antes deben dominar bien para entender esto. Cuidado.

a) (p q) s (siendo s falsa) 1 / 0 1 (si s es falsa su opuesta es verdadera) 1Como el consecuente de la de la implicación es verdadero, la misma implicación es verdadera.

b) [p (q r)] s (siendo s q) verdadero entonces s y q = 1 1 1/0 0

1Como p puede tomar dos valores 1 o 0, esto puede ser tanto verdadero como falso, entonces no se puede decidir a simple vista el valor de esta proposición compuesta.Conclusión:Como la proposición compuesta (s q) es V, s es V, y la proposición simple q es verdadera. En consecuencia la proposición compuesta q o r es V.Y es el opuesto de s es falso. Entonces, el valor de verdad de la implicación depende del valor de verdad de la proposición simple p, como se indica, y por lo cual se concluye que la información es insuficiente.c) q (r p), siendo (p q) falsa ( disyunción excluyente)

No se puede determinar el valor de verdad porque la proposición (p q) va a ser verdadera cuando ambas son verdaderas o ambas sean falsas, lo que llevarían a resultados inconsistentes, porque tenemos que pensar en la operación “y” que está fuera del paréntesis de la proposición q “” (r p), y en la “r” que puede ser tanto 1 como 0, no se si se puede ver, o sea con solo que r sea 1 y p y q sean 0, toda esa proposición puede ser 1, pero si r es falsa toda la proposición se hace 0, lo que significa que dependemos de r, y no podemos depender de r, de algo que no sabemos

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA si es falso o si es verdadero (también aplicable a la vida, cuidado), entonces, directamente no se puede determinar el valor de verdad.

d) (p ¬p) (s t), sabiendo que (t v ¬s) es falsa.

Contradicción (1 0)(No se tiene en cuenta) (0 1)

1

La proposición es válida, vuelvo a repetir, si no se entiende vean la parte en donde explico lo de V y F, es lo mismo con 0 y 1, y lean teoría.

4) Algunos ejercicios resueltos:

Todos los

Es tautología Es tautología

Es tautología

No es tautología

No es tautología

¬ ( ¬ p ) p1 0 1 1 10 1 0 1 0

(p p ) p1 1 1 1 10 0 0 1 0

(p p ) p1 1 1 1 10 0 0 1 0

( p q) r p (q r)1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 1 1 0 1 0 01 0 0 0 1 1 1 0 0 0 11 0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 0 1 0 1 1 0 0 1 1 10 0 1 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

( p q) r p (q r)1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 1 1 1 01 1 0 1 1 1 1 1 0 1 11 1 0 1 0 1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 0 1 1 1 10 1 1 1 0 1 0 1 1 1 00 0 0 1 1 1 0 1 0 1 10 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

( p q) r (p r) (q r)1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 00 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 00 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0


5) Contradicción.

En resumen de lo que hemos visto y podemos ver en algunos casos:Es tautología: Cuando todo es verdadero o todo es igual a 1.Es contradicción: Cuando todo es falso o todo es igual a 0.Es contingencia: Cuando es verdadero, falso y después verdadero, o sea se intercalan 0 y 1, Es decir (1, 0, 1, 0, 1, 0…) es ese orden.

6) Se resuelven los ejercicios:a) Silogismo Hipotético:

1º Premisa p q2º Premisa q rConclusión: p r

Se sigue la cadena de la implicación o sea, que de p se va a r, como se vio, en las funciones compuestas en Álgebra, sino, repasar es muy importante tener presente los contenidos brindados en Álgebra.

b) Modus ponens:

1º Premisa p q2º Premisa pConclusión: q

Si la primera proposición se repite en la segunda premisa lo que hacemos es afirmar que la segunda proposición es válida, ya que no hay argumentos que permitan decir lo contrario en este caso.

c) Modus toilens:

1º Premisa p q2º Premisa ¬qConclusión: ¬p

Si decimos que la segunda proposición es falsa, es porque se partió de algo falso, o sea, de una primera proposición falsa. Vean que esto es coherente.

7) i) Primero identificamos las proposiciones:p: El auto se detuvo q: El semáforo está en rojo.

Después resolvemos en este caso, teniendo en cuenta la estructura del idioma en español, entiendan que la lógica es independiente del idioma que utilizamos.

Reemplazamos la ecuación proposicional del ejercicio: (p q q p)

p ¬ p1 0 0 10 0 1 0

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA El auto se detuvo, entonces, el semáforo está en rojo y el semáforo está en rojo, entonces, el auto se detuvo.

Tengan cuidado al escribir, no se olviden de las comas y los puntos que se utilizan en nuestro idioma, por ejemplo, las comas del entonces, vean que tiene una atrás y otra delante, no se escribe el entonces a secas.

Ahora desmenuzamos esa frase para sacar el valor de verdad. El auto se detuvo, entonces, el semáforo está en rojo y el semáforo está en rojo, entonces, el auto se detuvo.

Vean que tenemos una “y”, tengan cuidado con los conectores lógicos, (repasando, son: y, o , no, entonces, si y solo si, no exclusivo, etc… ya se explico las variedades).Después vean en el ejemplo que un auto puede detenerse, pero no exclusivamente tiene que estar el semáforo en rojo, pudo haberse detenido para estacionar, o por problemas mecánicos, por ejemplo… entonces, eso es falso. La segunda proposición compuesta es verdadera pero recordemos que si una de las dos proposiciones simples o compuestas, llega a ser falsa en un “y”, entonces, todo es falso.

Conclusión: (0 1 1 1) (0 1) (0)(p es condición suficiente para q)

Así traten de resolver los ejercicios por favor, desmenucen el problema.

ii) p: Juan es correntino. q: Juan es argentino.

Reemplazamos en (p q q p) por:

Juan es correntino, entonces, es argentino y es argentino, entonces, es correntino.

Conclusión: (1 1 1 0) (1 0) (0)(q es condición suficiente para p)

iii) p: Hoy es feriado.q: Hoy es domingo.


Hoy es feriado, entonces, es domingo y hoy es domingo, entonces, es feriado.

Conclusión: (1 0 1 1) (0 1) (0)

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA (p es condición suficiente para q)

iv) p: Hoy es sábado.q: Ayer fue viernes.


Hoy es sábado, entonces, ayer fue viernes y ayer fue viernes, entonces, hoy es sábado.

Conclusión: (1 1 1 1) (1 1) (1)(p es condición necesaria y suficiente para q) Aquí se habla de doble implicación o sí y solo sí, porque de los dos lados es verdadero.

8)Para resolver este ejercicio hay que tener en cuenta cinco cosas:1. p q es directa.2. q p es recíproca.3. ¬p ¬q es contraria.4. ¬q ¬p es contrarrecíproca.5. El símbolo congruente o “”, que significa que dos proposiciones simples o compuestas son equivalentes o exactamente iguales (tómenle cariño a ese símbolo porque lo van a ver muy de seguido).

i) Se resolverá solo el primer ejercicio, practiquen ustedes el resto…

p q ¬ (p ¬q) ¬p q (Es como si distribuimos la negación (¬p ¬(¬q)) “Ley de DeMorgan”, si no se convencen de algo, lean teoría y hagan las famosas tablitas de verdad)

Identificamos las proposiciones:

p: Un número es múltiplo de 8q: dicho número es múltiplo de 2 y de 4.

Reemplazamos (p q) por lo siguiente:

Si un número es múltiplo de 8, dicho número es múltiplo de 2 y de 4. Lo copiamos como está o le colocamos el entonces, es lo mismo por lo que vimos anteriormente, así:

Si un número es múltiplo de 8, entonces, dicho número es múltiplo de 2 y de 4. Ahora, por el ejercicio que nos mandaron hay que negar la expresión, ¿Cómo? Sencillo:

¬ (p q) ¬ [¬(p ¬q)] p ¬q

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA Si no entienden, teoría y tabla de verdad por favor, les voy a molestar con eso todo el tiempo.

Reemplazo (p ¬q) por:

Negación: Un número es múltiplo de 8 y dicho número no es múltiplo de 2 o de 4.

Tengan mucho cuidado porque q había sido que tiene una conjunción a su vez que es (p q) y la negación de una conjunción, es la disyunción de las negaciones (Ley de DeMorgan), o sea que ¬(p q) es (¬p ¬q).

q pRecíproca: Un número es múltiplo de 2 y de 4, entonces, es múltiplo de 8.

¬p ¬qContraria: Si un número no es múltiplo de 8, entonces, dicho número no es múltiplo de 2 y de 4.

¬q ¬pContrarrecíproca: Un número no es múltiplo de 2 y de 4, entonces, no es múltiplo de 8.

9) Hay que tratar de volver validas todas las proposiciones, no se olviden que una encadena a la otra, la respuesta es la siguiente, pero es conveniente que la piensen:

a: José es Rosales. (1 o sea, verdadero) a) ¬a bb: Quirós es el 10. (0 o sea, falso) b) b cc: Araña es Morales. (1) c) c dd: Justino es el 7. (1) d) d ee: Rosales es Rayo. (1) e) e af: José es Rayo. (1) f) ¬f ¬ag: José es Araña. (0) g) ¬f ¬ah: Araña es el 10. (1) h) h ii: Juan es el 9. (1) i) ¬j kj: Juan es Araña. (0) j) ¬c lk: Quirós es el 7 (1) k) m nl: Morales es el 8 (1)m: Justino es Quirós. (1)n: Juan es Pupy. (1)

NOMBRE APELLIDO APODO NUMEROJosé Rosales Rayo 8Julián Morales Araña 10Juan García Pupy 9Justino Quirós Torpedo 7

10) a) Si 4 es múltiplo de 5, 8 es múltiplo de 10.8 no es múltiplo de 10.

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA Identificamos las proposiciones:p: 4 es múltiplo de 5q: 8 es múltiplo de 10Luego, tenemos que (p q) ¬q. Luego utilizando el Modus Toilens, la conclusión es ¬p es decir:

Conclusión: 4 no es múltiplo de 5.Esto se da por lo que se explicó anteriormente del Silogismo Hipotético, del Modus Ponen y Modus Ponens. b)Juan es cordobés sólo si es argentino.Juan es cordobés.

Identificamos las proposiciones:p: Juan es cordobés.q: Juan es argentino.

Entonces, (p q) p. Luego utilizando el Modus Ponens, la conclusión es q es decir:Conclusión: Juan es argentino

Resolución Práctico N° 2: Álgebras de Boole

1) Para resolver el ejercicio hay que tener en cuenta las propiedades del Álgebra de Boole (SIMILAR a estructuras algebraicas en Álgebra), y acordarse como se armaban las tablitas de las estructuras algebraicas, solamente para el análisis, lo demás no es nada extraño.Tengan en cuenta que los conjuntos booleanos, tienen solo 1 y 0, verdadero o falso, nada más, no se confundan con los conjuntos numéricos antes vistos, que la suma (+) y el producto (.), no son exclusivamente suma y producto, no se si se entiende, la suma trabaja como una disyunción, y el producto como una conjunción. Si hay dudas repasen el tema 1.Sea un (B, + , .) Álgebra de Boole, sí y sólo si, 1. “+” y “.” son LCI en B.2. “+” y “.” son Asociativas en B.3. “+” y “.” son Conmutativas en B.4. “+” es distributiva con respecto a “.” .5. Existen elementos neutros “+” y “.” en B.

0 B / a B : a + 0 = 0 + a = a 1 B / a B : 1 . a = a . 1 = a

6. 1 0.7. Todo elemento a B, admite inverso a’ B

a B / a’ B : a + a’ = a’ + a = 1 a B / a’ B : a . a’ = a’ . a = 0

1) (P(I3), , )

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA Identificamos los elementos:

I = {1, 2, 3}

Si no especifican que elementos son, se supone que son números, por ejemplo si yo digo P(I3) pero del abecedario, obviamente ustedes eligen a b c, y si les digo P(I4) de los números negativos es: -1, -2, -3, -4.

P (I3) = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, I, }

Ahora armamos las tablas que son similares a las de estructuras algebraicas, similar no iguales, aclaro:En la esquina superior izquierda coloco la operación y en la primera columna y primera fila, todos los conjuntos de partes del conjunto que se han formado. Repasar tema 1 de Álgebra si no se entiende por favor.

{1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} I {1} {1} {1, 2} {1, 3} {1, 2} {1, 3} I I {1}{2} {1, 2} {2} {2, 3} {1, 2} I {2, 3} I {2}{3} {1, 3} {2, 3} {3} I {1, 3} {2, 3} I {3}

{1, 2} {1, 2} {1, 2} I {1, 2} I I I {1, 2}{1, 3} {1, 3} I {1, 3} I {1, 3} I I {1, 3}{2, 3} I {2, 3} {2, 3} {2, 3} I {2, 3} I {2, 3}

I I I I I I I I I {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} I

Tengan en cuenta varias cuestiones: la tabla, se conforma de casilleros en donde se ven tanto lo que está en negrita de la primera columna y de la primera fila, que son las referencias de cada fila y columna. En base a eso hacemos los resultados. Hay que “acomodar” dichos resultados en orden, o sea, ven que va desde 1 hasta 3, no importa como esta el orden en las referencias, nosotros los resultados los ponemos en orden.La letra “I”, es el conjunto, no significa nada en especial, o sea que I tiene todos los elementos del conjunto.

Ahora la otra operación, pero traten de hacerlo ustedes solos ¿si?: {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} I {1} {1} {1} {1} {1} {2} {2} {2} {2} {2} {3} {3} {3} {3} {3}

{1, 2} {1} {2} {1, 2} {1} {2} {1, 2} {1, 3} {1} {1} I {1, 3} {1} {1, 3} {2, 3} {2} {3} {2}I {3} {2, 3} {2, 3}

I {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} I

Media fea la tabla ¿no?, lleno de vacíos, lo que pasó fue que la primera tabla decía: “agrega los elementos de la fila y la columna” y esta otra dijo: “no, quiero solo los elementos que hay en común con la fila y la columna” y bueno eso fue lo que nos dio. Cuando me refiero a fila y columna es a lo que está en negrita. Dudas: Algebra tema 1.

De aquí determino las propiedades del Álgebra de Boole:

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA 1. a, b P (I3) : a b P (I3) a b P (I3)O sea, que tanto para la unión, como para la intersección, se cumple la ley de composición interna, o sea, todos los resultados van a caer en P (I3), nada de escapa a los elementos que tiene que tiene digamos.

2. a, b P (I3) : (a b) c = a (b c) (a b) c = a (b c)

Cumple la ley de asociatividad, o sea, que en el orden que tomemos para operar siempre va a dar el mismo resultado, como la suma aritmética, que quedó en el olvido, en la antigüedad, que ya nos dimos que cuenta que tenemos que decirle adiós.

3. a, b P (I3) : a b = b a a b = b a

Cumple la ley de conmutatividad, o sea, cambiamos de lugar los elementos, y lo mismo, va a dar igual resultado de todas formas.

4. a (P (I3), ) , b (P (I3), ) : a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c)

Cumple la ley de distributividad de la unión, con respecto a la intersección, o sea, que una operación fuera del paréntesis “entra adentro” de dicho paréntesis, y opera a cada elemento del mismo, dejando como operación principal, a la operación que tenía “adentro el paréntesis ese”.

5. e P (I3) / a P (I3) : a e = e a = a e’ P (I3) / a P (I3) : e’ a = a e’ = a

Cumple la ley de neutros, para ambas operaciones, donde (el neutro “e”) en la unión es el vacío y “e” en la intersección es el mismo conjunto, o sea, vean en cada tabla que cuando se opera el vacío en la intersección no cambian los elementos, lo mismo pasa en la intersección con el conjunto entero, dicho en símbolos.

En (P (I3), ), e = .En (P (I3), ), e’ = I.

6. e e’

Cumple la ley que dice que los neutros deben ser distintos, entonces, obviamente el vacío es distinto de todo el conjunto I, pero aclaro que no porque sean distintos van a dejar de ser compañeros, es decir, pertenecer al mismo conjunto (con esta materia se aprende mucho de la vida, les recomiendo un libro de filosofía a mano, intercambiar experiencias y sociabilizar, súper recomendado).

7. a B / a’ B : a a’ = a’ a = I a B / a’ B : a a’ = a’ a =

Cumple la ley de inversos, o de complementario. En donde a’ = I – a, es decir, “a prima” es el o los elementos que le faltan al conjunto entero.O sea, en este caso, el conjunto entero es I = {1, 2, 3} , si le sacamos el elemento {2}, le va a quedar {1, 3} ¿no es cierto?. Espero que se haya entendido porque partiendo

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA de esa idea, yo voy a unir ambos, y ¿no me da el conjunto completo de nuevo acaso?. ¿no es {1, 2, 3} que conformaba I? y si buscamos elementos en común entre los subconjuntos {2} y {1, 3} ¿no creen que no va a haber ningún elemento en común?, por eso se obtiene el vacío .

Siendo (P(I3), , ) Álgebra de Boole.

2) Para resolver este ejercicio lean la parte de las propiedades del Álgebra de Boole, a parte de las 7 que la hacen nacer, hay otras más… lean esas.a) Complementarios del 0 y del 1:

1 = 1 . 1 = 1 . (0 + 0’) = 1 . 0’ = 0’ (1) (2) (3) (4)

(1) El uno es el neutro para el producto lógico.(2) El uno es el resultado de la suma lógica de los dos complementos. (3) Como el 0 es el neutro para la suma da 0’.(4) Como el 1 es el neutro del producto lógico otra vez da 0’.

Aclaro que la comilla simple que acompaña a algo x’, es el complemento de x, o sea, lo contrario de x. Es decir, que si es verdadero o 1 complementado, significa que es falso y si es falso o 0 complementado significa que es verdadero. Vieron que los números están debajo de las igualdades, tengan cuidado con eso.

0 = 1’ trivial porque son iguales, ese 1’ es un 0, demostremos:

0 = 0 . 0 = 0 . (1 + 1’) = 0 . 1’ = 1’

b) Leyes de De Morgan:(a + b) . (a’. b’) = a . (a’. b) + a . (a . b’) = a . (a’ . b) + b . (b’ . a’) = (a . a’). b + (b . b’).a’= (1) (2) (3) (4)= 0 . b + 0 . a’ = 0 + 0 = 0 (*) (5) (6)(a + b) + (a’ . b’) = (a + b + a’) . (a + b + b’) = (a + a’ + b) . (a + b + b’) = (7) (8) (9)= [(a + a’) + b], [a + (b + b’)] = (1 + b).(a + 1) = (b + 1).(a + 1) = 1.1 = 1 (**) (10) (11) (12) (13)

(1) En la primera igualdad se hizo una distributividad.(2) Conmutativa del producto.(3) Asociatividad.(4) Se hizo el complementario de la operación anterior.(5) Es la absorción del cero. (6) Identidad del 0.(7) Distributiva con respecto al producto.(8) Distributividad.(9) Asociativa de la suma.(10) Asociativa del producto.(11) Conmutativa de la suma.(12) Identidad(13) 1 es el neutro para el producto

De (*) y (**), resulta: (a + b)’ = a’.b' por unicidad del complementario.(a . b)’ = (a’ + b’) Trivial por Principio de Igualdad.


c) Ley Cancelativa del producto:a = a . 1 = a . (b + b’) = (a . b) + (a . b’) = (c . b) + (c . b’) = c.(b + b’) = c . 1 = c (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

(1) Existencia de elemento neutro.(2) Existencia del complementario del elemento neutro.(3) Distributiva del producto con respecto a la suma.(4) Sustituye a por c. (5) Distributiva del producto de c con respecto a la otra c. (6) Complementario con respecto a b.(7) 1 es el elemento neutro con respecto al producto.

d) a + a’ b = (a + a b) + a’ b = a + (a b + a’ b) = a + (a + a’) b = a + 1 . b = a + b (1) (2) (3) (4) (5) (1) Absorción.(2) Asociativa de la suma.(3) Distributiva del producto con respecto a la suma (Saco factor común).(4) Existencia del complemento de a. (5) 1 es elemento neutro del producto.

a.(a’ + b) = a.b Trivial por el principio de dualidad. Explicando:

a + a b’ = aa + a’ b’ = (a + ab) + a’ b’

3) Hallamos los complementarios;a) (a + b c) . a. (a + c), con a, b, c B.{ [(a + b c)] . [a. (a + c)] } = { [(a + b c)] . [a . a + a . c)] = [(a + b c) . (a + a . c)] =

a (a + b c) . (a + a . c) = [(a + b c) . a. (a + c)]’ = a’ b’ + a’ c’ + a’ a’ + a’ c’ =

a’

= a’ b’ + a’ c’ + a’ + a’ + c’ = a’ b’ + a’ c’ + a’ = (a’ b’ + a’) + a’ + c’ = a’ (b’ + a) + a’ c’ = a’ (b’ + a) + a’ c’ = a’ + a’ c’ = a’ + (a‘ c) = a

b) Resolver.

B. Funciones Booleanas

1) Como el ejercicio pide que trabaje con los casos particulares en donde la botella debe ser retirada, es donde la señal F emite un 1, o sea, que la columna F tendrá todos unos y las demás columnas serán pertenecientes a la fila de cada 1 emitido, así:

f: B4 BEs B a la cuarta, porque trabajamos con cuatro elementos, o sea, va a ser B a la n, si trabajamos con n elementos.

x y z w F1 0 1 1 11 0 1 0 1


1 0 0 1 10 0 1 1 10 0 0 1 1

Es decir que de esta matriz inicial del ejercicio:x y z w F1 1 1 1 01 1 1 0 01 1 0 1 01 1 0 0 01 0 1 1 11 0 1 0 11 0 0 1 11 0 0 0 00 1 1 1 00 1 1 0 00 1 0 1 00 1 0 0 00 0 1 1 10 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 0

Se seleccionaron las filas en donde están los unos, donde marqué con gris. Toda la selección se hace en orden, desde arriba hacia abajo, tengan cuidado porque esto altera el resultado.De ahí lo que hay que hacer es lo siguiente, se saca la función booleana que es como una ecuación general, así:

F(x, y, z, w) = 1Porque todos los F son 1.

F(x, y, z, w) = x y’ z w + x y’ z w’ + x y’ z’ w + x’ y’ z w + x’ y’ z’ w

Donde se coloca la comillita en cada variable si en la tabla aparece un 0, sino se deja la variable como está, esto teniendo en cuenta las columnas, ojo. Cuando termine la fila, se coloca un signo más y se sigue con la otra fila de abajo, con el F = 1, eso también tengan cuidado.

2) Cuando el ejercicio no dice nada en particular, se toman siempre que la función esté activada, es decir que f = 1 y g = 1, y se seleccionan las filas como antes se vio.

f: B3 BAhora cambió la potencia de B, porque tiene tres elementos.

x y z f0 0 0 10 1 1 11 1 0 11 1 1 1

x y z g0 0 1 10 1 0 11 0 0 11 0 1 1


Se encuentra la función booleana otra vez, pero para cada una de las matrices, ojo, esto entra en el examen también.

f: B3 B / f(x, y, z) = x’ y’ z’ + x’ y z f: B3 B / g(x, y, z) = x’ y’ z + x’ y z’ + x y z’ + x y z + x y’ z’ + x y’ z

3)a)f: B3 B / f(x, y, z) = [(x + y) (x y’ z)’ ]’ = (x + y’)’ + [(x y’ z)’ ]’ = x’ . (y’)’ + x y’ z = = x’ y + x y’ z

b)f: B3 B/ f(x, y, z) = {[(x’ . y’)’ + z] . (x + z)}’ = { [ (x’ y’)’ + z ] . (x + z) }’ = x’ z’ { [x y + z] . (x + z) }

4) Mapas de Karnaugh:El mapa sirve para reducir una suma de productos o mini términos, y tienen muchas aplicaciones a la electrónica y a la parte física de la computadora. Es una introducción a la asignatura Arquitectura y Organización de Computadoras.Pueden agruparse de a pares o sea, de 2, 4, 8, cantidades de 1 adyacentes, es decir, dado un cuadrito donde hay unos agrupados:

1

1 1 1 11 1 1 1

1 1 11 1

1 1 1 1

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1 1 1 Se pueden agrupar en cuadrados, en rectángulos de pares de unos, si hay tres unos se pueden yuxtaponer los agrupamientos, se agrupa con el que está del otro lado, tanto de arriba y abajo como hacia los costados. Pero tengan en cuenta que tienen que estar adyacentes, “uno al lado de otro” en cierto sentido.

x y x y’ x’ y’ x' y


z 1z’ 1 1 1

Con este caso en donde hay que agrupar y ver que variables varían empezamos con el agrupamiento horizontal, ahí vemos en la primera fila que tenemos “x y” y también “x y’ “, aclaro que estoy analizando esos dos casilleros, porque los unos están situados debajo. Bueno, podemos ver que varía y ¿no es cierto?, veanlo bien:

x y x y’ x’ y’ x' yz 1z’ 1 1 1

Vean que el primero es “x y” y lo que cambia al segundo es y o sea que es “x y’ ”, es decir, y ahora es y’, entonces, no se va a escribir cuando se pase a la función booleana. Lo mismo va a pasar con el agrupamiento vertical, pero hay una diferencia ahora varía z:

x y x y’ x’ y’ x' yz 1z’ 1 1 1

Teniendo en cuenta estos conceptos, desarrollo la función:Hago todo desde 0, pero esto después ya es implícito o sea lo tienen que dominar o van a tardar tiempo en resolver:

f: B3 B/ f(x, y, z) = x y z’ + x y’ z’ + x’ y’ z + x’ y’ z’

Si no hacía la tabla y no escribía la función en orden no hubiese hecho lo siguiente:

Agrupo de a paresf: B3 B/ f(x, y, z) = (x y z’ + x y’ z’) + (x’ y’ z + x’ y’ z’)Saco factor común en el primero de x z’ y me queda:f: B3 B/ f(x, y, z) = x z’ (y + y’) + (x’ y’ z + x’ y’ z’)Y en el segundo saco factor común x’ y’ y me queda, siguiendo de lo otro, ojo:f: B3 B/ f(x, y, z) = x z’ (y + y’) + x’ y’ (z + z’)¿Se acuerdan que en la suma, si se operaban los complementarios daban 1 y en el producto daban 0? Bueno, por eso se van, adiós y + y’ y z + z’.FUNCIÓN RESUELTA:f: B3 B/ f(x, y, z) = x z’ + x’ y’¿No les parece más sencillo ver que varía y eliminarlo de una, y escribir lo que se agrupó una sola vez? Les conviene hacer eso para no perder tiempo, al menos que se les diga que desarrollen, pregunten nomás a sus JTP (Jefes de Trabajos Prácticos).

x y x y’ x’ y’ x' yz u 1 1z u’ 1 1z’ u’ 1 1 1z’ u 1

Es lo mismo, nada más que tiene 4 viables en vez de tres, ah, y otra cosa, traten de acordarse de los simbolitos de las filas y las columnas, pero todos son normales,

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA después el ultimo lleva comilla, todos llevan comilla y al final, el primero es el que lleva la comilla. Me refiero a las variables, x x’, y y’, etcétera.

f: B4 B/ f(x, y, z, u) = x’ z + y z’ u’ + x’ y’ z’

5) Gráficos de Compuertas o Circuitos Lógicos:f(x, y, z) = x y’ + x’ z’ + y

x x y’ y y’ x y’ + x’ z’ + y X x’ x’ z’ z z’

y

Vean ustedes que los primeros tres símbolos, que son los triángulos con los círculos en las puntas, son las negaciones (NOT), que hacen que las variables se complementen, o sea que si llevan un 1 se hagan 0, y si llevan un 0 se hagan 1. Los dos segundos símbolos, que parecen una D rara, esos son los productos lógicos (AND), que pueden tener tantas entradas, como variables se quieran agregar; lo que hace este símbolo es la función de un p q que hace valer la expresión cuando solo cuando todas son verdaderas. El último símbolo, es el sumador lógico (OR), cumpliendo la función del p v q que generalmente se coloca último, cuando es una suma de productos (minitérminos), en caso contrario, si hablamos de maxitérminos, es ese lugar iría un OR grandote, multiplicando las sumas que existan. Espero que se entienda, el ultima lugar lleva la función que más se repite en la fórmula, en este caso tenemos una suma, la suma, equivale a ese símbolo en forma de medialuna. Si fuesen maxitérminos entonces tendremos que usar un producto, porque se repetiría más, el “por (.)”, de la multiplicación.Lean la teoría para profundizar.g(x, y, z) = (x + y)’ + (y + z’) . x

x (x + y)’ y

(x + y)’ + (y + z’) . x

y (y + z’)z’

z (y + z’) . x x


Bueno, acá fue muy sencillo, mantenemos la nomenclatura del primer ejercicio, hacemos un sumador grande que contiene a dos sumas chiquitas y un producto chiquito, que esta multiplicando la suma de (y + z’) con una x.Ahora, ya que hay un producto y una suma, podría tomar un producto grande y envolver a una suma mediana y luego a las dos sumitas con tan solo la x, que queda sola, me explico gráficamente:

x (x + y)’ (x + y)’ + (y + z’) y

(x + y)’ + (y + z’) . x

y (y + z’)z’

z x

Aunque en la electrónica, la implementación física de los minitérminos (sumas de productos SOP) en las placas y los circuitos eléctricos y electrónicos, es menos costosa. Esto se dará en profundidad en una materia del segundo año llamada Arquitectura y Organización de Computadoras.

6) a) Cuando no nos dicen las variables que usemos, nosotros colocamos x, y, z, w, v así en orden, en este caso de arriba hacia abajo así:

x x’ x’ + y’

y y’

f: B2 B/ f(x, y) = x’ + y’ Es muy sencillo, sabemos que los triangulitos complementan así que ponemos las comillitas a las variables, y que la medialuna suma, así que sumamos los complementos, re fácil. Teoría si no se entiende por favor.

b) x (x . y) y (x . y) + (x’ . y’)

x x’ (x’ . y’)

y y’

f: B2 B/ f(x, y) = (x . y) + (x’ . y’)

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA 7) Tengan cuidado con esto, porque los ejercicios en estos casos pueden ser muy variados. Fíjense algo, ¿vieron que en este ejercicio dice que al menos 3 de los votos deben ser favorables de m1, m2, m3, m4?.Bueno, en primer lugar dense cuenta que m5 no va a intervenir en el asunto, presten atención en eso, en segundo lugar, dice que al menos 3 votos favorables, no es al menos 3, es 3, no se confundan, son 3 unos que deben actuar sobre la tabla siguiente, pero una cosa, deben ser diferentes, es decir, los 4 miembros van a votar diferente, o sea, que vamos a probar todas las posibilidades. Es difícil de entender, así que presten atención, a pesar que es el último ejercicio suele entrar en los exámenes.

m1 m2 m3 m4 f1 1 1 0 11 1 0 1 11 0 1 1 10 1 1 1 11 1 1 1 1

La ultima fila, queda por el voto del m5, que no se toma en cuenta, y tampoco la vamos a tomar para armar la función booleana, que recordemos, usamos los símbolos que habíamos dicho: x, y, z, u, y que quedaba como está cuando era 1 y cambiaba, agregándose una comillita si era 0 y cuando pasábamos a la siguiente fila, se sumaba. Recuerden, o sino revean el tema de las tablitas.f: B4 B/ f(x, y, z, u) = x y z u’ + x y z’ u + x y’ z u + x’ y z u

Resolución Práctico N° 3: Lógica de PredicadosA. Lógica Clásica1) a) * Un número primo, es un número que se divide por sí mismo, su negativo, por el 1 y -1. O sea, tiene 4 divisores. Entonces, P(x): x es un número primo. (Tiene muchas respuestas y no puede evaluarse)* Q(x, y): 2.x + y = 5. (También tiene muchas respuestas y no puede evaluarse) O sea, que por ejemplo si hacemos la operación 2.1 + 3 nos da 5. De la misma forma si hacemos 2.2 + 1 También nos da 5. Si hacemos 2. 0 + 5, también nos da 5, y si hacemos 2. (-1) + 7, lo mismo da 5, y si hacemos 2 . (-2) + 9, y si hacemos, y si hacemos… seguiríamos hasta el otro día, disculpen pero quiero invertir mi tiempo de otra forma. * R(x, y): x . y = 0. (Hay tres posibilidades, esto si se puede evaluar, fíjense)

x puede ser igual a 0, porque todo número operado con 0 da… 0!!, y puede ser igual 0, o ambos pueden ser iguales a 0.

Si x = 0, y = 0 (x = 0 y = 0), se puede escribir que: x Z : R (x, 0) x Z : R (0, y)

b) i)P(x): x Z / P(x) es VQ(x): x, y Z / Q(x, y) es V

x Z / y Z : R (x, y) es VR(x): y Z / x Z : R (x, y) es V x, y Z / R (x, y) es V

ii)

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA P(x): x Z / P(x) es FQ(x): x, y Z / Q(x, y) es F

x Z, y Z / R (x, y) es FR(x): y Z, x Z / R (x, y) es F x, y Z : R (x, y) es F

En definitiva, cuando hablamos de un x CONJUNTO / “algo”, significa que una propiedad solo se cumple para ciertos valores o ciertos casos de estudio, recuerden que x ahora puede ser cualquier cosa no solo números, pueden ser objetos, personas, etcétera.Y cuando hablamos de un y Z : “algo”, significa que una propiedad se verifica para todos los elementos de un cierto conjunto, absolutamente para todos, si un elemento no cumple tal o cual condición, el cuantificador universal pierde sentido.

2) Escribo las negaciones correspondientes a los ejercicios:a) Ningún cisne es blanco.b) Algunas aves son mamíferos.c) Todos los días son soleados.d) Algunos argentinos son latinoamericanos.e) Alguien vino a la fiesta.

3) Voy a proceder a negar todas las siguientes proposiciones que pertenecen al ejercicio 1b aplicando negación a todo:

i)P(x): ( x Z / P(x) es V)Q(x): ( x, y Z / Q(x, y) es V)

( x Z / y Z : R (x, y) es V)R(x): ( y Z / x Z : R (x, y) es V) ( x, y Z / R (x, y) es V)

ii)

P(x): ( x Z / P(x) es F)Q(x): ( x, y Z / Q(x, y) es F)

( x Z, y Z / R (x, y) es F)R(x): ( y Z, x Z / R (x, y) es F) ( x, y Z : R (x, y) es F)

Después convierto los x, en x y los x en x, así fíjense, no es muy simple, tengan cuidado con los “/” “tal que” y los “:” “se verifica”

i) P(x): x Z : P(x) Q(x): x, y Z : Q(x, y)

x Z, y Z : R (x, y) R(x): y Z, x Z : R (x, y)

Lógica y Matemática Computacional PRACTICA x, y Z : R (x, y)

ii)

P(x): x Z / P(x) Q(x): x, y Z / Q(x, y)

x Z, y Z / R (x, y)R(x): y Z, x Z / R (x, y) x, y Z / R (x, y)

4) a) i) Todas las ranas son anfibios.

Todos los anfibios son vertebrados.______________________________Todas las ranas son vertebradas.

a) Término Mayor (P): Vertebrados Término Menor (S): Ranas Término Medio (M): Anfibiosb) Tiene la forma A, todo S es P.c) Con la conclusión sabemos que es TODO S ES P, según la definición teórica.Se cumple 1, 2, 3 y 4. La 5 y la 6 No son aplicables.

ii) Algunos europeos son franceses.Algunos franceses son inteligentes._______________________________Algunos europeos son inteligentes.

a) Término Mayor (P): Vertebrados Término Menor (S): Ranas Término Medio (M): Anfibiosb) Tiene la forma A: todo S es P.c) Con la conclusión sabemos que es TODO S ES P, según la definición teórica.Se cumple 1, 2, 3 y 4. La 5 y la 6 No son aplicables.

iii) Todos los amigos de Pedro juegan al basket. - Todos los que juegan al basket son altos.

_________________________________ Todos los amigos de Pedro son altos.

iv) Todos los chaqueños son argentinos. Algunos argentinos son bondadosos. _________________________________ Algunos bondadosos son chaqueños

v) Ningún inteligente es imprudente. Algunos estudiantes son inteligentes. _______________________________ Algunos estudiantes son imprudentes.

Práctica de Lógica

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