Práctica de Análisis Matemático III

Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HVCA

PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO III - IV CICLO “A”

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INDEFINIDA

1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN COMPLEJA

a)∫ sen5 (2 x )dx

Solución:

sen (2x )= e2 ix−e−2ix

2 i

⇒∫ sen5 (2x )dx=∫( e2 ix−e−2 ix

2i )5

dx=∫ (e2 ix−e−2 ix )5

32idx

¿∫ (e10ix−5e6ix+10e2 ix−10e−2 ix+5e−6 ix−e−10ix )32i

dx

¿∫ (e10ix−e−10 ix )32i

dx−∫ (5 e6 ix−5e−6 ix )32i

dx+∫ (10e2 ix−10e−2 ix )32 i

dx

¿ 116

∫ (e10ix−e−10 ix )2i

dx− 516

∫ (e6 ix−e−6 ix )2 i

dx+ 1016

∫ (e2 ix−e−2 ix )2 i

dx

¿ 116∫ sen (10 x )dx− 5

16∫ sen (6 x )dx+1016∫sen (2x )dx

¿− 1160

cos (10 x )+ 596

cos (6x )− 516

cos (2 x )+C

b)∫ cos5 (2 x )dx

Solución:

⇒∫cos5 (2x )dx=∫( e2 ix+e−2 ix

2 )5

dx=∫ (e2 ix+e−2 ix )5

32dx

¿∫ (e10ix+5 e6 ix+10e2 ix+10e−2 ix+5e−6 ix+e−10 ix )32

dx

Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 1


¿∫ (e10ix+e−10ix )32

dx+∫ (5e6 ix+5e−6 ix )32

dx+∫ (10e2ix+10e−2ix )32

dx

¿ 116

∫ (e10ix+e−10ix )2

dx+ 516

∫ (e6 ix+e−6 ix )2

dx+ 1016

∫ (e2ix+e−2 ix )2

dx

¿ 116∫cos (10 x )dx+ 5

16∫ cos (6 x )dx+1016∫ cos (2 x )dx

¿ 1160

sen (10x )+ 596sen (6 x )+ 5

16sen (2 x )+C

c)∫ tan7 (3x )dx

Solución:

⇒∫ tan7 (3x )dx=tan (3x )= sen(3 x )

cos (3 x )=

e3ix−e−3 ix

2ie3ix−e−3 ix

2

= e3 ix−e−3 ix

i (e3 ix−e−3ix )

¿ tan (3 x )= e6 ix−1

i (e6 ix+1 )=1i− 2

i (e6 ix+1 )=−i+ 2 i

e6 ix+1

¿∫ tan7 (3 x )dx=∫(−i+ 2 ie6 ix )

7

dx=−i∫( 2e6 ix+1

−1)7

dx

¿−i∫¿¿

−4

(e6 ix+1 )2+

2

e6 ix+1−1]dx

¿−128 i∫ dx

(e6ix+1 )7+64 i∫ dx

(e6 ix+1 )6−32 i∫ dx

(e6 ix+1 )5+16 i∫ dx

(e6ix+1 )4−¿

−8 i∫ dx

(e6 ix+1 )3+4 i∫ dx

(e6ix+1 )2−2i∫ dx

e6 ix+1+i∫ dx

Hallando cada integral:

¿∫ dx

(e6ix+1 )7

u=e6 ix+1; du=6 i e6ix dx ;dx= du6 i (u−1 )



⇒∫ dx

(e6 ix+1 )7= 1

6 i∫du

(u−1 )u7= 1

6 i∫u− (u−1 )(u−1 )u7

du= 16 i∫

du(u−1 )u6

− 16 i∫

du

u7

¿ 16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u6 du−16 i ( u

−6

−6 )= 16 i∫ du

(u−1 )u5 −1

6 i∫ duu6 + 1

36u6

¿ 16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u5 du−16 i ( u

−5

−5 )+ 136 i u6 =

16 i∫ du

(u−1 )u4 −16 i∫ duu5 + 1

30 iu5 +1

36 i u6

¿ 16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u4 du−16 i ( u

−4

−4 )+ 130 iu5 +

136 iu6 =

16 i∫ du

(u−1 )u3 −1

6 i∫ duu4 + 1

24u4

+1

30i u5+ 1

36 iu6= 1

6 i∫du

(u−1 )u3− 1

6 i∫du

u4+ 1

24u4+ 1

30 iu5+ 1

36i u6

16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u3 du−16 i ( u

−3

−3 )+ 124 u4 + 1

30 i u5 +1

36 iu6 =16 i∫ du

(u−1 )u2 −16 i∫ duu3 +¿

+118i u3 +

124u4 +

130 iu5 +

136 iu6 =

16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u2 du−( u−2

−2 )+ 118 iu3 + 1

24 u4 +¿

+1

30i u5+ 1

36 iu6= 1

6 i∫du

(u−1 )udu− 1

6 i∫du

u2+ 1

12 iu2+ 1

18 i u3+ 1

24u4+ 1

30 iu5+¿

+136 iu6 =

16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )udu− 1

6 i (u−1

−1 )+ 112 iu2 +

118i u3 +

124u4 +

130 iu5 +

136 iu6

¿ 16 i

ln|u−1|− 16 i

ln|u|+ 16 iu

+ +1

12i u2+ 1

18 iu3+ 1

24u4+ 1

30i u5+ 1

36 iu6

⇒∫ dx

(e6 ix+1 )6


⇒∫ dx

(e6 ix+1 )6= 1

6 i∫du

(u−1 )u6= 1

6 i∫u− (u−1 )(u−1 )u6

du= 16 i∫

du(u−1 )u5

− 16 i∫

du

u6

¿ 16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u5 du−16 i ( u

−5

−5 )= 16 i∫ du

(u−1 )u4 −16 i∫ duu5 + 1

30 iu5



¿ 16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u4 du−16 i ( u

−4

−4 )+ 130 iu5=

16 i∫ du

(u−1 )u3 −16 i∫ duu4 + 1

24u4 + 130 iu5

¿ 16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u3 du−16 i ( u

−3

−3 )+ 124 u4 + 1

30 i u5 =1

6 i∫ du

(u−1 )u2 −16 i∫ duu3 + 1

18 iu3

+124u4 + 1

30i u5 =16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u2 du−( u−2

−2 )+ 118i u3 +

124u4 +

130 iu5

¿ 16 i∫

du(u−1 )u

du− 16 i∫

du

u2+ 1

12 iu2+ 1

18i u3+ 1

24u4+ 1

30 iu5

¿ 16 i

ln|u−1|− 16 i

ln|u|+ 16 iu

+ +1

12i u2+ 1

18 iu3+ 1

24u4+ 1

30i u5

⇒∫ dx

(e6 ix+1 )5


⇒∫ dx

(e6 ix+1 )5= 1

6 i∫du

(u−1 )u5= 1

6 i∫u−(u−1 )(u−1 )u5

du= 16 i∫

du(u−1 )u4

− 16i∫

du

u5

¿ 16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u4 du−16 i ( u

−4

−4 )+ 130 iu5=

16 i∫ du

(u−1 )u3 −16 i∫ duu4 + 1

24u4

¿ 16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u3 du−16 i ( u

−3

−3 )+ 124 u4 =

16 i∫ du

(u−1 )u2 −1

6 i∫ duu3 + 1

18 i u3 +1

24u4

¿ 16 i∫ u−(u−1 )

(u−1 )u2 du−( u−2

−2 )+ 118i u3 +

124u4 =

16 i∫ du

(u−1 )udu− 1

6 i∫ duu2 + 1

12 iu2 +¿

+1

18i u3+ 1

24u4= 1

6 iln|u−1|− 1

6 iln|u|+ 1

6 iu+ +1

12i u2+ 1

18 iu3+ 1

24u4

⇒∫ dx

(e6 ix+1 )4


⇒∫ dx

(e6 ix+1 )4= 1

6 i∫du

(u−1 )u4= 1

6 i∫u−(u−1 )(u−1 )u4

du= 16 i∫

du(u−1 )u3

− 16 i∫

du

u4



−4

(e6 ix+1 )4− 32

15 (e6 ix+1 )5− 32

9 (e6 ix+1 )6+C

d)∫ sec3 (4 x )dx

Solución:

e)∫ senh5 (3 x )dx

Solución:

senh (3x )= e3 x−e−3x

2

⇒∫ senh5 (3 x )dx=∫( e3x−e−3 x

2 )5

dx

¿ 132∫ (e15 x−5e9x+10e3 x−10e−3x+5e−9x−e−15 x)dx

¿ 132∫ (e15 x−e−15 x )dx− 5

32∫ (e9x−e−9x )dx+1032∫ (e3x−e−3 x)dx

¿ 116

∫( e15 x−e−15 x

2 )dx− 516

∫( e9x−e−9x

2 )dx+ 1016

∫( e3x−e−3 x

2 )dx¿ 1

16∫ senh (15x )dx− 516∫ senh (9 x )dx+ 10

16∫ senh (3 x )dx

¿ 1240

cosh (15 x )− 5144

cosh (9 x )+ 524

cosh (3 x )+C

f)∫ cosh3 ( 4 x )dx

Solución:

cosh (4 x )= e4 x+e−4 x

2

⇒∫cosh3 (4 x )dx=∫( e4x+e−4 x

2 )3

dx=18∫ (e12 x+3e4x+3e−4 x+e−12 x)dx

¿ 18∫ (e12 x+e−12 x )dx+ 1

8∫ (e4 x+e−4x )dx

¿ 14∫( e12 x+e−12 x

2 )dx+ 14∫( e4 x+e−4 x

2 )dx=14∫ cosh (12 x )dx+ 1

4∫cosh (4 x )dx



¿ 148senh (12 x )+ 1

16senh ( 4 x )+C

g)∫coth3 (6 x )dx

Solución:

coth (6 x )= e6x+e−6 x

e6x−e−6 x=1+ 2e12 x−1

⇒∫coth 3 (6 x )dx=∫(1+ 2e12 x−1 )

3

dx

¿∫(1+ 6e12 x−1

+ 12

(e12 x−1 )2 +8

(e12 x−1 )3 )dx¿∫dx+6∫ dx

e12 x−1+12∫ dx

(e12 x−1 )2+8∫ dx

(e12 x−1 )3

Si: e12 x−1=u⇒ du=12e12 x dx⇒ dx= du12 (u+1 )

⇒∫coth 3 (3 x )dx=x+ 612∫

duu (u+1 )

+ 1212∫

du

u2 (u+1 )+ 8

12∫du

u3 (u+1 )

¿ x+12∫

(u+1 )−uu (u+1 )

du+∫ (u+1 )−uu2 (u+1 )

du+ 23∫

(u+1 )−uu3 (u+1 )

du

¿ x+12

ln|u|−12

ln|u+1|+∫ du

u2−∫ du

u (u+1 )+ 2

3∫du

u3−2

3∫du

u2 (u+1 )

¿ x+12

ln| uu+1|+( u−1

−1 )−∫ (u+1 )−uu (u+1 )

du+ 23 ( u−2

−2 )−23∫ (u+1 )−uu2 (u+1 )

du

¿ x+12

ln| uu+1|−1

u−ln|u|+ ln|u+1|− 1

3u− 4

3u2−2

3∫ duu (u+1 )

¿ x+12

ln| uu+1|−1

u−ln|u|+ ln|u+1|− 1

3u− 4

3u2−2

3ln|u|−2

3ln|u+1|+C

¿ x+12

ln|e12 x−1e12 x |− 1

e12 x−1−ln|e12 x−1|+ ln|e12 x|− 1

3 (e12 x−1 )− 4

3 (e12 x−1 )2

−23

ln|e12 x−1|−23

ln|e12 x|+C



h)∫ csch5 ( 4 x )dx

Solución:

i)∫e3x sen4 (2x )dx

Solución:

e (ax+biy )=eax . ebiy=eax (cos (by )−isen (by ) )

e iz=cos ( z )+isen ( z )

e4 iz=cos4 ( z )+4 cos3 ( z )isen ( z )+6 cos2 ( z )i2 sen2 ( z )+4 cos ( z )i3 sen3 ( z )+i4 sen4 ( z )

e4 iz=cos4 ( z )+4 isen ( z ) cos3 ( z )−6 sen2 ( z) cos2 ( z )−4 i sen3 ( z ) cos ( z )+sen4 ( z )

cos (4 z )+isen ( 4 z )=cos4 ( z )−6 sen2 ( z )cos2 ( z )+sen4 ( z )+[ 4 sen (z ) cos3 ( z )−¿

−4 sen3 ( z ) cos ( z ) ]

ℜ∫dx=∫ℜ (d (x ) )

cos (4 z )=cos4 ( z )−6 sen2 ( z )cos2 ( z )+sen4 ( z )

sen (4 z )=cos (4 z )+6 sen2 ( z ) cos2 ( z )−cos4 (z )

e3x sen4 ( z )=e3x cos (4 z )+6 e3 xsen2 (z ) cos2 ( z )−e3x cos4 (z )

⇒∫e3x sen4 ( z )dx=∫ e3xcos (4 z )dx+∫ 6e3x sen2 ( z )cos2 (z )dx−∫ e3 xcos4 (2x )dx

Hallando cada una de las integrales:

Si: sen (2 x )= e2 ix−e−2 ix

2i;cos (2x )= e

2 ix+e−2 ix

2

∫ e3 xcos (3 x )dx=∫e3x ( e8ix+e−8 ix

2 )dx=12∫ (e( 3+8 i ) x+e( 3−8 i) x )dx

¿ 12 ( e (3+8 i) x

3+8 i+ e

(3−8 i ) x

3−8 i )=12

(3−8 i ) e3x+8 ix+ (3+8 i )e3x−8 ix

9+64

⇒∫e3x cos (3 x )dx= 373e3x cos (8 x )dx+ 8

73e3x sen (8x )

∫ e3 xsen2 (2 x ) cos2 (2x )dx=∫e3x ( e2 ix+e−2 ix

2 )2

( e2 ix−e−2 ix

2 i )2

dx



¿∫ [−e3x

16(e4 ix+2+e−4 ix ) (e4 ix+e−4 ix−2 )]dx=−1

16∫ e3 x (e8 ix+e−8ix−2 )dx

¿− 116

∫ (e (3+8 i) x+e (3−8 i ) x−2e3 x )dx=−116 ( e (3+8i ) x

3+8 i+ e

(3−8 i ) x

3−8 i−2e3x

3 )¿ 1

16e3x ( 3e8 ix+3e−8 ix−8i e8 ix+8 i e−8 ix

73 )+ e3 x

24

¿ −3584

e3 xcos (8 x )− 173e3 x sen (8 x )+ 1

24e3x+C

∫ e3 xcos4 (2x )dx=∫e3x ( e2 ix+e−2 ix

2 )4

dx

¿∫ e3 x

16(e8 ix+4 e4 ix+10e0+4 e−4 ix+e−8 ix )dx

¿ 116∫ (e(3+8 i) x+4e (3+4 i) x+10e3x+4 e (3−4 i ) x+e( 3−8 i) x )dx

¿ 116 ( e( 3+8 i) x

3+8 i+ 4e (3+4 i ) x

3+4 i+ 10e3 x

3+ 4 e(3−4 i) x

3−4 i+ e

(3−8i ) x

3−8 i )¿ 1

16 ( (3−8 i ) e(3+8 i) x+(3+8i ) e (3−8 i) x

(3−8 i ) (3+8i ) )+ 416 ( (3−4 i ) e( 3+4 i) x+(3+4 i )e (3−4 i) x

(3−4 i) (3+4 i ) )+¿

+1048

e3x= e3x

16 (3e8 ix−8 ie8 ix+3e−8 ix+8i e−8 ix

73 )+ e3x

4 ( 3e4 ix−4 ie4 ix+3e−4 ix

25+¿

+ 4 i e−4 ix

25 )+ 5e3x

24= e

3 x

16 ( 673

cos (6 x )+ 1673sen (8 x ))+ e

3x

4 ( 625

cos (4 x )+ 825sen (4 x ))

+524e3x= 3

584e3xcos (8 x )+ 1

73e3 x sen (8 x )+ 3

50e3 xcos ( 4 x )+ 1

50e3x sen (4 x )+ 5

24e3x

∫ e2 xsen (4 x )dx= 373e3x cos (8 x )+ 8

73e3x sen (8 x )− 9

292e3x cos (8 x )− 6

73e3x sen (8 x )

+18e3x− 3

584e3 xcos (8x )− 1

73e3 x sen (8 x )− 3

50e3x cos (4 x )− 1

50e3 x sen (4 x )− 5

24e3x+C

j)∫ e−2x cos5 (3 x )dx

Solución:

cos (3 x )= e3 ix+e−3 ix

2



cos5 (3 x )=( e3 ix+e−3ix

2 )5

= e15ix+e−15ix+5e9 ix+5e−9ix+10e3 ix+10e−3 ix

32

cos5 (3 x )= 116 [ e15 ix+e−15 ix

2+

5 (e9 ix+e−9ix )2

+10 (e3 ix+e−3 ix )

2 ]cos5 (3 x )= 1

16( cos (15 x )+5 cos (9 x )+10 cos (3x ) )

∫ e−2 xcos5 (3 x )dx= 116∫e

−2 x (cos (15 x )+5 cos (9 x )+10 cos (3 x ) )dx

∫ e−2 xcos5 (3 x )dx= 116∫e

−2 xcos (15 x )dx+ 516∫ e

−2x cos (9 x )dx+ 1016∫ e

−2 xcos (3 x )d x

Resolviendo:∫ e−2 xcos (15 x )dx

∫udv=uv−∫vdu

Sea :e−2x=u;cos (15 x )dx=dv

−2e−2x dx=du ;sen (15 x )

15=v

⇒∫e−2 xcos (15 x )dx= e−2x

15sen (15x )+ 2

15∫e−2 xsen (15x )dx

Haciendo otro cambio:

Sea:e−2 x=u;sen (15 x )dx=dv

−2e−2x dx=du ;−cos (15 x )

15=v

⇒∫e−2 xcos (15 x )dx= e−2x

15sen (15x )+ 2

15 [−e−2 xcos (15 x )15

− 215

∫ e−2x cos (15 x )dx ]∫ e−2 xcos (15 x )dx= e

−2x

15sen (15x )− 2

225e−2x cos (15 x )− 4

225∫e−2x cos (15 x )dx

¿ 229225

∫e−2x cos (15 x )dx= e−2 x

15sen (15 x )− 2

225e−2xcos (15x )

∫ e−2 xcos (15 x )dx= 15225

e−2 x sen (15x )− 2229

e−2x cos (15x )

Resolviendo:∫ e−2 xcos (9x )dx

Sea:e−2 x=u;cos (9 x )dx=dv



−2e−2x dx=du ;sen (9x )

9=v

⇒∫e−2 xcos ( 9x )dx= e−2x

9sen (9 x )+ 2

9∫ e−2x sen (9 x )dx



−2e−2x dx=du ;−cos (9 x )

9=v

⇒∫e−2 xcos ( 9x )dx= e−2x

9sen (9 x )+ 2

9 [−e−2x cos (9 x )9

−29∫ e−2x cos (9 x )dx]

∫ e−2 xcos (9x )dx= e−2x

9sen (9 x )−2e−2x

81cos (9 x )− 4

81∫e−2 xcos (9 x )dx

∫ e−2 xcos (9x )dx=81e−2 x sen (9 x )(9 ) (85 )

−(2 ) (81 ) e−2 x cos (9 x )

(81 ) (85 )

∫ e−2 xcos (9x )dx= 985e−2x sen (9 x )− 2

85e−2 xcos (9x )

Resolviendo:∫ e−2 xcos (3 x )dx

Sea:e−2 x=u;cos (3 x )dx=dv

−2e−2x dx=du ;sen (3 x )

3=v

⇒∫e−2 xcos (3 x )dx= e−2x

3sen (3x )+ 2

3∫e−2 x sen (3x )dx



−2e−2x dx=du ;−cos (3 x )

3=v

⇒∫e−2 xcos (3 x )dx= e−2x

3sen (3x )+ 2

3 [−e−2 xcos (3 x )3

−23∫ e−2x cos (3 x )dx ]

∫ e−2 xcos (3 x )dx= e−2x

3sen (3 x )−2

3e−2x cos (3 x )−4

9∫ e−2x cos (3 x )dx



∫ e−2 xcos (3 x )dx=9e−2 x sen (3 x )(3 ) (13 )

−(2 ) (9 )e−2 xcos (3 x )

(13 ) (9 )

∫ e−2 xcos (3 x )dx= 313e−2 xsen (3x )− 2

13e−2xcos (3x )

Finalmente reemplazando en la expresión inicial:

∫ e−2 xcos5 (15 x )dx= 153664

e−2x sen (15 x )− 11832

e−2xcos (15x )+ 9272

e−2 xsen (9 x )−¿

−1136

e−2 xcos (9 x )+ 15104

e−2x sen (3 x )− 552e−2xcos (3x )+C

k)∫ e2 x tan2 (2 x )dx

Solución:

l)∫e4 x sec3 ( x )dx

Solución:

ll)∫ e2 xsen3 (3 x )dx

Solución:

sen (3 x )= e3 ix−e−3 ix

2 i

sen3 (3x )=( e3 ix−e−3 ix

2 i )3

= e9ix−e−9 ix

(2 i )3−3

e3 ix−e−3 ix

(2i )3

¿ e9ix−e−9 ix

(−4 ) (2 i )−

3 (e3 ix−e−3 ix )(−4 ) (2i )

=−14sen (9x )+ 3

4sen (3 x )

∫ e2 xsen3 (3 x )dx=−14 ∫e2x sen (9 x )dx+ 3

4∫ e2 x sen (3x )dx

Hallando :∫ e2x sen (9 x )dx

Sea:e2x=u ; sen (9 x )dx=dv

2e2xdx=du ;−cos (9 x )

9=v



∫ e2 xsen (9x )dx=−e2x

9cos (9 x )+ 2

9∫ e2 xcos ( 9x )dx

Haciendo otro cambio en :∫ e2xcos (9 x )dx

Sea:e2x=u ;cos (9 x )dx=dv

2e2xdx=du ;sen (9 x )

9=v

∫ e2 xcos (9 x )dx= e2x

9sen (9x )−2

9∫ e2x sen (9 x )dx


9cos (9 x )+ 2

9 ( e2x sen (9 x )9

−29∫ e2x sen (9 x )dx)

∫ e2 xsen (9x )dx=−985e2xcos (9 x )+ 2

85e2 x sen (9 x )

Hallando :∫ e2x sen (3 x )dx

Sea:e2x=u ; sen (3 x )dx=dv

2e2xdx=du ;−cos (3 x )

3=v


9cos (3 x )+ 2

3∫e2x cos (3 x )dx

Haciendo otro cambio en :∫ e2xcos (3x )dx

Sea:e2x=u ;cos (3x )dx=dv

2e2xdx=du ;sen (3 x )

3=v

∫ e2 xcos (3 x )dx= e2 x

3sen (3 x )−2

3∫e2x sen (3 x )dx


9cos (3 x )+ 2

3 ( e2x

3sen (3 x )−2

3∫e2x sen (3 x )dx)

∫ e2 xsen (3x )dx=−313e2 xcos (3 x )+ 2

13e2x sen (3 x )

Reemplazando en la expresión inicial:

∫ e2 xsen3 (3 x )dx=−9e2x

340cos ( 9x )+ e

2 x

170sen (9 x )−9e2 x

52cos (3 x )+ 3e2x

26sen (3 x )+C



m)∫e√x cos3 (√ x )dx

Solución:

n)∫ e√ x sen2 (√x )dx

Solución:

ñ)∫ ex sen3 ( x )dx

Solución:

o)∫e3x cos3 (√3 x )dx

Solución:

p)∫ e2 xcos2 (√2 x )dx

Solución:

q)∫ e2x cosn ( x )dx

Solución:

2. MÉTODO DE INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

a)∫ sen5 (2 x )dx

Solución:

b)∫ cos5 (3 x )dx

Solución:

∫cos5 (3x )dx=∫ tan4 (2 x ) tan2 (2 x )dx=∫ tan4 (2x ) (sec2 (2 x )−1 )dx



¿∫ ( tan4 (2 x ) sec2 (2 x )−tan4 (2x ) )dx=∫ tan 4 (2 x ) sec2 (2x )dx−∫ tan4 (2x )dx

¿ 12∫ tan4 (2x )d ( tan (2 x ))−∫ tan2 (2 x ) (sec2 (2x )−1 ) dx

¿tan5 (2x )

10−∫ ( tan2 (2x ) sec 2 (2 x )−tan 2 (2 x )) dx

¿tan5 (2x )

10−1

2∫ tan2 (2 x )d ( tan (2x ) )+∫ tan2 (2x )dx

¿tan5 (2x )

10−

tan 3 (2 x )6

+∫ (sec2 (2x )−1 ) dx

¿tan5 (2x )

10−

tan 3 (2 x )6

+tan (2 x )

2−x+C

c)∫ tan6 (2x )dx

Solución:

d)∫ csc5 (2 x )dx

Solución:

e)∫ sen5 ( x ) tan4 ( x )dx

Solución:

f)∫ cos4 (x ) sen3 (x )dx

Solución:

g)∫ tan3 (3 x ) sen3 ( x )dx

Solución:

h)∫ sec2( x3 )sen2( x2 )dxSolución:



i)∫sen2 (2x ) cos2( x2 )cos2( x4 )dxSolución:

Hacemos que: x=4 t ;dx=4dt

⇒∫ sen2 (2x ) cos2( x2 )cos2( x4 )dx=2∫ sen2 (8 t )cos2 (2 t )2 cos2 ( t )dt

¿2∫ sen2 (8 t ) cos2 (2t ) (1+cos (2 t ) )dt

¿2 [∫ (sen2 (8 t ) cos2 (2 t ) )dx+2∫ sen2 (8 t ) cos (2 t )dt ]¿∫ sen2 (8t ) (1+cos ( 4 t ) )dt+∫ sen2 (8 t ) 2 cos2 (2t ) cos (2 t )dt

¿∫ sen2 (8t )dt+∫ sen2 (8 t )cos (4 t )dt+∫ sen2 (8 t ) (1+cos (4 t ) ) cos (2 t )dt

¿ 12∫ (1−cos (16 t ) )dt+∫sen2 (8t ) cos (4 t )dt+∫ sen2 (8 t ) cos (2 t )dt+¿

+∫cos (4 t ) sen2 (8 t )cos (2t )dt

¿ 12t−sen (16 t )

32+∫ sen2 (8 t )cos (4 t )dt+∫ sen2 (8 t ) cos (2 t )dt+¿

+∫cos (4 t ) sen2 (8 t )cos (2t )dt

Hallando:∫ sen2 (8 t ) cos ( 4 t )dt

¿∫ (2 sen (4 t ) cos (4 t ) )2 cos (4 t )dt=4∫ sen2 ( 4 t )cos3 (4 t )dt

¿∫ sen2 (4 t ) cos2 (2t ) cos (4 t )dt=∫ sen2 (4 t ) (1−sen2 (4 t ) )cos ( 4 t )d (4 t )

¿∫ sen2 (4 t )d ( sen (4 t ) )−∫ sen4 (4 t )d (sen (4 t ) )= sen3 (4 t )3

−15sen5 ( 4 t )

Hallando:∫ sen2 (8 t ) cos (2 t )dt

¿∫ (4 sen2 (4 t )cos2 (4 t ) )cos (2 t )dt=4∫sen2 (4 t )cos2 (4 t ) cos (2 t )dt

¿ 162 ∫ (2 sen6 (2t )−3 sen4 (2 t )+sen2 (2 t ) )cos (2 t )d (2t )

¿8∫ (2 sen6 (2t )−3 sen4 (2 t )+sen2 (2 t )) d ( sen (2 t ) )



⇒∫ sen2 (8 t )cos (2 t )dt=167sen7 (2 t )−24

5sen5 (2 t )+ 1

3sen3 (2 t )

Hallando:∫cos ( 4 t ) sen2 (8 t )cos (2 t )dt

¿4 sen2 ( 4 t )cos2 ( 4 t )cos (4 t ) cos (2 t )=4 sen2 (4 t ) cos3 (4 t ) cos (2 t )

¿4 (4 sen2 (2 t )cos2 (2 t ) )(cos2 (2 t )−sen2 (2 t ) )3cos (2t )

¿16 sen2 (2t ) cos2 (2t ) (cos6 (2 t )−3 cos4 (2t ) sen2 (2 t )+3cos2 (2 t ) sen4 (2 t )−sen6 (2 t ) )

¿16∫ [ sen2 (2t ) cos9 (2 t )−3 sen4 (2 t ) cos7 (2t )+3 cos5 (2 t ) sen6 (2 t )−sen8 (2 t )cos3 (2 t ) ]dt

Hallando:∫ sen2 (2t ) cos9 (2 t )dt

¿∫ sen2 (2t ) (1−sen2 (2t ) )4 cos (2t )dt

¿ 12∫ sen

2 (2 t ) (1−4 sen2 (2 t )+6 sen4 (2t )−4 sen6 (2t )+sen8 (2t ) )d (sen (2t ) )

¿ 12∫ (sen2 (2t )−4 sen4 (2 t )+6 sen6 (2 t )−4 sen8 (2 t )+sen10 (2 t ) )d ( sen (2 t ) )

¿ 16sen3 (2 t )− 4

10sen5 (2 t )+ 6

14sen7 (2t )− 4

18sen9 (2 t )+ 4

22sen11 (2 t )

Hallando:∫3 sen4 (2 t ) cos7 (2 t )dt

¿3∫ sen4 (2 t ) (1−sen2 (2 t ) )3cos (2t )dt

¿ 32∫ (sen4 (2 t )−3 sen6 (2t )+3 sen8 (2 t )−sen10 (2t ) )d (sen (2 t ) )

¿ 310sen5 (2t )− 9

14sen7 (2 t )+ 1

2sen9 (2 t )− 3

22sen11 (2t )

Hallando:∫3 cos5 (2 t ) sen6 (2t )dt

¿ 32∫ sen

6 (2t ) (cos2 (2 t ))2cos (2t )d (2 t )

¿ 32∫ (sen6 (2 t ) (1+sen4 (2 t )−2 sen2 (2 t ) ))cos (2 t )d (2 t )

¿ 32∫ (sen6 (2 t )+sen10 (2t )−2 sen8 (2t ) )d (sen (2t ) )

¿ 314sen7 (2 t )+ 3

22sen11 (2 t )−1

3sen9 (2t )



Hallando:∫ sen8 (2t ) cos3 (2 t )dt

¿ 12∫ sen

8 (2t ) cos2 (2t ) cos (2 t )d (2t )=12∫ sen

8 (2 t ) (1−sen2 (2 t ) )d ( sen (2 t ) )

¿ 12∫ (sen8 (2 t )−sen10 (2 t ) )d ( sen (2t ) )= 1

18sen9 (2 t )− 1

22sen11 (2t )

Reemplazando en la expresión inicial:

∫ sen2 (2 x ) cos2( x2 )cos2( x4 )dx= x8−sen ( 4 x )

32+sen3 ( x )

3−sen5 (x )

5+

25 sen7 ( x /2 )7

−¿

−11sen5 ( x /2 )2

+17 sen3 ( x /2 )

6−sen9 ( x /2 )+¿

+4 sen11 ( x /2 )11

+C

j)∫ sen3 (2 x ) sen2( 2 x3 )sen2( 3 x

4 )sen ( 2x5 )dx

Solución:

k)∫ cos2 (3x ) cos2(3 x2 )cos2( 2 x

3 )cos( 5 x2 )dx

Solución:

l)∫ tan3 ( x ) sec 4 (2 x )dx

Solución:

Llevando a un mismo argumento mediante las I.T.

tan( x2 )=√ 1−cos ( x )1+cos ( x )

⇒∫ tan3 (x ) sec 4 (2x )dx=∫(√ 1−cos ( x )1+cos ( x ) )

3

sec4 (2 x )dx

¿∫ 1−cos (2 x )1+cos (2 x ) (√ 1−cos ( x )

1+cos ( x ) )sec4 (2 x )dx=∫ (1−cos (2x ) )2sec4 (2x )

sen (2x ) (1+cos (2 x ) )dx



¿∫ (1−cos (2 x ) )3 sec4 (2 x )sen3 (2 x )

dx=∫ (1−cos3 (2x )−3 cos (2x )+3 cos2 (2 x ) )sec 4 (2 x )sen3 (2 x )

dx

¿∫ sec4 (2 x )+sec (2 x )−3 sec3 (2x )+3 sec2 (2 x )sen3 (2 x )

dx

¿∫ sec4 (2x ) csc3 (2x )dx−∫ sec (2 x ) csc3 (2 x )dx−3∫ sec3 (2 x ) csc3 (2 x )dx+¿

+3∫ sec2 (2 x )csc 3 (2 x )dx

Hallando:∫ sec4 (2x ) csc3 (2x )dx

∫ sec4 (2 x )csc3 (2 x )dx=∫ sec4 (2 x ) (1+cot2 (2 x ) )csc (2x )dx

¿∫ sec4 (2x ) csc (2x )dx+∫ sec 4 (2x ) csc (2x ) co t 2 (2 x )dx

¿∫ (1+ tan2 (2 x ) )2 csc (2x )dx+∫ cot2 (2x ) sec 4 (2 x ) csc (2 x )dx

¿∫ (1+2 tan2 (2 x )+ tan 4 (2 x ) )csc (2x )dx+∫ csc5 (2x )dx

¿∫csc (2 x )dx+2∫ tan 2 (2 x )csc (2 x )dx+∫ tan4 (2 x ) csc (2 x )dx+∫csc5 (2 x )dx

¿ 12

ln|csc (2 x )−cot (2 x )|+2∫ sen (2 x )cos2 (2 x )

dx+∫ sen3 (2 x )cos4 (2 x )

dx+∫csc5 (2x )dx

Hallando:∫ sen (2x )cos2 (2x )

dx=−12∫ d (cos (2x ) )

cos2 (2x )=

12cos (2x )

Hallando:∫ sen3 (2 x )cos4 (2 x )

dx

Sea : t=cos (2 x )⇒ dt=−2 sen (2 x )dx

t 2=1−sen2 (2x )⇒ sen2 (2x )=1−t2

¿−12∫ (1−t2 )

t 4 dt=−12∫ dtt4

+ 12∫ dtt2

= 16 t3

− 12t

=16sec3 (2 x )−1

2sec (2 x )

Hallando:∫csc5 (2 x )dx

¿∫ (1+cot2 (2 x ) )csc3 (2 x )dx=∫csc3 (2x )dx+∫cot2 (2x ) csc3 (2x )dx

¿∫csc3 (2x )dx+∫cot (2 x )csc 2 (2 x )csc (2 x )cot (2 x )dx

En:∫cot (2 x ) csc2 (2 x )csc (2 x )cot (2 x )dx ;mediante integración por partes:



Sea :u=cot (2 x ); dv=csc2 (2x ) csc (2x ) cot (2 x )dx

du=−2csc2 (2x )dx; v=−csc3 (2 x )/6

∫cot (2 x ) csc2 (2 x ) csc (2 x ) cot (2x )dx=−cot (2x ) csc3 (2x )6

−26∫ csc5 (2 x )dx

Hallando:∫csc3 (2 x )dx=∫ (1+cot2 (2x ) )csc (2 x )dx=∫ csc (2 x )dx+¿

+∫cot2 (2 x )csc (2 x )dx

¿ 12

ln|csc (2 x )−cot (2 x )|+∫ cot (2x ) cot (2 x ) csc (2 x )dx

En:∫cot (2 x )cot (2 x ) csc (2 x )dx ;mediante integración por partes :

Sea :u=cot (2 x ); dv=cot (2 x )csc (2 x )dx

du=−2csc2 (2x )dx; v=−csc (2 x )/2

∫ csc3 (2 x )dx=12

ln|csc (2 x )−cot (2x )|− cot (2x ) csc (2x )2

−∫csc3 (2 x )dx

∫ csc3 (2 x )dx=14

ln|csc (2 x )−cot (2x )|− cot (2x ) csc (2x )4

⇒∫csc 5 (2 x )dx=14

ln|csc (2x )−cot (2x )|− cot (2 x ) csc (2x )4

−13∫csc

5 (2x )dx−¿

−cot (2x ) csc3 (2x )6

¿ 13∫csc

5 (2x )dx+∫csc5 (2x )dx=14

ln|csc (2x )−3 cot (2 x )|− cot (2 x )csc (2 x )4

−¿

−cot (2x ) csc3 (2x )6

= 316

ln|csc (2x )−cot (2x )|−3 cot (2 x )csc (2 x )16

−3 cot (2 x )csc3 (2 x )

24

⇒∫ sec4 (2 x ) csc3 (2 x )dx= 316

ln|csc (2 x )−cot (2x )|−3cot (2 x ) csc (2 x )16

−sec3 (2x )

6−¿

−18

cot (2 x )csc3 (2 x )

Hallando:∫ sec (2 x ) csc3 (2 x )dx

¿∫ sec (2 x ) (1+cot2 (2x ) )cs c (2 x )dx=∫ sec (2x ) csc (2 x )dx+¿



+∫cot 2 (2 x ) sec (2 x ) csc (2x )dx

¿∫ ( tan (2x )+cot (2 x ) )dx+∫ cos (2x )sen3 (2x )

dx=12

ln|sec (2 x )|+12|sen (2x )|+∫ cos (2x )

sen3 (2 x )dx

¿ 12

( ln|sec (2x )|+ ln|sen (2x )|)+∫ cos (2 x )sen3 (2x )

dx

En:∫ cos (2x )sen3 (2 x )

dx ; haremos el cambio de variable:

t=sen (2x )⇒dt=2cos (2 x )dx

∫ cos (2 x )sen3 (2x )

dx=12∫

dt

t3=−1

4 t 2=−1

4csc2 (2 x )

⇒∫ sec (2x ) csc3 (2x )dx=12

ln|sec (2x )|+ 12

ln|sen (2 x )|−14csc2 (2x )

Hallando:∫ sec3 (2 x ) csc3 (2 x )dx

¿∫ (1+ tan2 (2 x ) ) (1+cot2 (2 x ) ) csc (2 x ) sec (2x )dx

¿∫ (1+cot2 (2 x )+ tan2 (2x )+1 )csc (2 x ) sec (2 x )dx

¿2∫ csc (2x ) sec (2 x )dx+∫cot2 (2 x )csc (2 x ) sec (2 x )dx+∫ tan2 (2x ) csc (2x ) sec (2 x )dx

¿2∫ (tan (2 x )+cot (2x ) )dx+∫ cos (2x )sen3 (2 x )

dx+∫ sen (2x )cos3 (2x )

dx

¿2∫ tan (2 x )dx+2∫ cot (2x )dx+ 12∫ d ( sen (2 x ) )

sen3 (2 x )−

12∫ d (cos (2 x ) )

cos3 (2 x )

⇒∫ sec3 (2 x ) csc3 (2 x )dx=ln|sec (2x )|+ ln|sen (2 x )|−14csc 2 (2 x )+ 1

4sec2 (2 x )

Hallando:∫ sec2 (2 x )csc 3 (2 x )dx

¿∫ (1+ tan2 (2 x ) ) (1+cot2 (2 x ) ) csc (2 x )dx=∫ (2+ tan2 (2 x )+cot2 (2x ) )csc (2 x )dx

¿2∫ csc (2x )dx+∫ cot2 (2x ) csc (2x )dx+∫ tan2 (2 x )csc (2 x )dx

¿ ln|csc (2 x )−cot (2 x )|+∫ cot (2 x ) cot (2 x )csc (2 x )dx+∫ tan (2x ) tan (2 x )csc (2 x )dx

En:∫cot (2 x )cot (2 x ) csc (2 x )dx ;mediante integración por pates

Sea :u=cot (2 x ); dv=cot (2 x )csc (2 x )dx



du=−2csc2 (2x )dx; v=−csc (2x )2

¿−cot (2 x ) csc (2x )

2−∫ csc3 (2x )dx

¿−cot (2 x ) csc (2x )

2−1

4ln|csc (2 x )−cot (2 x )|− cot (2x ) csc (2x )

4

En:∫ tan (2x ) tan (2 x )csc (2 x )dx=∫ sen (2 x )cos3 (2 x )

dx=−12∫ d (cos (2 x ) )

cos3 (2 x )=

14sec2 (2x )

⇒∫ sec2 (2 x ) csc3 (2 x )dx=ln|csc (2 x )−cot (2 x )|−34

cot (2 x )csc (2 x )+ sec2 (2 x )4

∴∫ tan3 ( x ) sec4 (2x )dx=3916

ln|csc (2x )−cot (2x )|−3916

cot (2x ) csc (2x )+ sec3 (2 x )6

−¿

−18

cot (2 x )csc3 (2 x )−72

ln|sec (2x )|−72

ln|sen (2x )|+¿

+csc 2 (2 x )+ 94

ln|csc (2x )−cot (2x )|−94

cot (2x ) csc (2x )+C

ll)∫ senh3 (2 x ) senh2 (2x )dx

Solución:

m)∫cosh2 (3 x ) cosh2 (2 x )cosh2 (4 x )dx

Solución:

n)∫ tanh (2x ) senh2 (2 x )dx

Solución:

ñ)∫ senh3 ( x ) cosh2 ( x ) senh2 (2 x ) cosh2 (2x )dx

Solución:

o)∫ tanh (2x ) tan (2 x )dx



Solución:

p)∫ senh2 ( x ) cosh2 ( x ) sen ( x ) cos ( x )dx

Solución:

q)∫ senh3 ( x ) senh2( x2 )sen2( x3 )dxSolución:

r)∫ cosh2 ( x ) cos2 ( x ) cosh( x3 )cos ( x3 )dxSolución:

s)∫ senh2 (2 x ) cos (2 x ) senh ( x2 )dxSolución:

t)∫ sen (2 x )(1−sen ( x ) )3

dx

Solución:

u)∫ cos3 (2x )sen2 (x )

dx

Solución:

v)∫ dx

( cos ( x )−sen ( x ) )4

Solución:



w)∫ cos (2 x )2 sen ( x )+3 cos ( x )

dx

Solución:

x)∫ cos3 ( x )−sen3 ( x )sen2 (2x )−cos2 (2x )

dx

Solución:

y)∫ sen2 (2 x )sen ( x )cos (3x )

dx

Solución:

z)∫ 2 sen (3 x )2+cos ( x )

dx

Solución:

3. MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES

a)∫ 3x+2

2 x2+7 x−6dx

Solución:

Es una fracción propia:

3 x+2

2x2+7 x−6= A

(2 x−(−7+√97/2 ) )+ B

(x+ (7+√97 /4 ) )

3 x+2=A (x+(7+√97 /4 ) )+B (2 x−(−7+√97 /2 ) )

3 x+2=Ax+ A4

(7+√97 )+B (2x )− B2

(−7+√97 )

3 x+2=x (A+2B )+A(7+√97 )

4+B

(−7+√97 )2

A+2 B=3→A=3−2B………………… (1 )

( 7+√974 )A+(−7+√97

2 )B=2

(14+2√97 ) A+(−28+4√97 )B=16



(14+2√97 ) (3−2B )−28B+4 B√97=16

42+6√97−28 B−4 B√97−28 B+4 B√97=16

26−56B+6√97=0

B=13+3√9728

Reemplazando en (1)

A=3−2( 13+3√9728 )⇒ A=29−3√97

14

¿(29−3√97 )

14∫ dx

2 x−(−7+√97/2 )+

(13+3√97 )28

∫ dxx+(7+√97/28 )

⇒∫ 3 x+22x2+7 x−6

dx=(29−3√97 )

8ln|2 x− (−7+√97 )

2 |+¿

+ (13+3√97 )28

ln|x+ (7+√97 )4 |+C

b)∫ 2x2+4 x−63 x5−5 x2−11 x+2

dx

Solución:

c)∫ 4 x−3

9 x3−81 xdx

Solución:

4 x−3

9 x3−81x= 4 x−3

9 x ( x−3 ) ( x+3 )= A

9 x+ Bx−3

+ Cx+3

4 x−3=A ( x−3 ) ( x+3 )+9Bx ( x+3 )+9Cx ( x−3 )

si: x=0→A=1/3

x=3→B=1/18

x=−3→C=−5/54

⇒∫ 4 x−3

9 x3−81 xdx=1

3∫dx9 x

+ 118∫

dxx−3

− 554∫

dxx+3

¿ 127

ln|x|+ 118

ln|x−3|− 554

ln|x+3|+C



d)∫ 3x+2

x4−4 x2−3dx

Solución:

Es una fracción propia

3x+2

x4−4 x2−3= 3x+2

(x2+2+√7 ) (x2+2+√7 )= Ax+Bx2+2+√7

+ Cx+Dx2+2+√7

3 x+2=( Ax+B ) (x2+2+√7 )+(Cx+D ) (x2+2−√7 )

3 x+2=A x3+ (2−√7 ) Ax+B x2+B (2−√7 )+C x3+( 2+√7 )Cx+Dx2+D (2+√7 )

3 x+2=( A+C ) x3+(B+D ) x2+(C (2+√7 )+A (2−√7 ) ) x+ (2−√7 ) B+(2+√7 )D

A+C=0 A=−3/2√7

B+D=0⇒B=−1/√7

A (2−√7 )+C (2+√7 )=3C=3 /2√7

B (2−√7 )+D (2+√7 )=2D=1/√7

⇒∫ 3x+2

x4−4 x2−3dx= −1

2√7∫ (3 x+2 )x2+2+√7

dx+ 12√7

∫ 3 x+2

x2+2−√7dx

¿ −34√7

∫ 2 xdx

x2+2+√7− 1

√7∫ dx

x2+(√2+√7 )2+ 3

4√7∫ 2 xdx

x2+2+√7+¿

+1

√7∫ dx

x2+(√2−√7 )2

¿−34√7

ln|x2+2+√7|+ 1

√14+7√7arctan ( x

√2+√7 )+ 34√7

ln|x2+2−√7|+¿

+1

√14−7 √7arctan( x

√2−√7 )+C¿ 3

2√7ln|x2+2−√7x2+2+√7 |+ arctan ( x /√2+√7 )

√14+7√7+

arctan (x /√2−√7 )√14−7√7

+C

e)∫ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9 x3−32x2+72

dx

Solución:

Como no es una fracción propia, se convierte a fracción propia

⇒ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9 x3−32x2+72

= x4+ 3

4+

9x4

4+ 27 x3

4+24 x2−17 x−58

4 x5−9 x3−32 x2+72



⇒∫ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9x3−32x2+72

dx=∫ xdx4

+∫ 3dx4

+∫9 x4

4+ 27 x3

4+24 x2−17 x−58

4 x5−9 x3−32 x2+72dx

¿ x2

8+3 x

4+∫

9 x4

4+ 27 x3

4+24 x2−17x−58

4 x5−9 x3−32 x2+72dx

Hallando:∫9 x4

4+ 27 x3

4+24 x2−17 x−58

4 x5−9 x3−32x2+72dx

9 x4

4+ 27 x3

4+24 x2−17 x−58

4 x5−9 x3−32x2+72= Ax−2

+ B2 x+3

+ C2 x−3

+ Dx+Ex2+2 x+4

9 x4

4+ 27 x3

4+24 x2−17 x−58=A ( 4 x2−9 ) (x2+2x+4 )+B (2 x2−7 x+6 ) (x2+2x+4 )

+C (2 x+3 ) ( x−2 ) (x2+2 x+4 )+(Dx+E ) ( 4 x3−8 x2−9 x+18 )

Si : x=2⇒ A=42/ 47

Si : x=−3 /2⇒B=647/4368

Si : x=3 /2⇒C=−299 /111

D=171668844 /182302848

E=−29761377/5696964

¿ 4247∫

dxx−2

+ 6474368∫

dx2 x+3

−299111∫

dx2 x−3

+ 171668844364605696∫

2 xdx

x2+2 x+4−¿

297613775696964 ∫ dx

x2+2 x+4

¿ 4247

ln|x−2|+ 6478736

ln|2 x+3|−299222

ln|2x−3|+171668844364605696∫

2x+2

x2+2 x+4dx−¿

−171668844182302848 ∫ dx

x2+2x+4−29761377

5696964 ∫ dx

x2+2 x+4

∴∫ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9 x3−32x2+72

dx= x2

8+ 3 x

4+ 42

47ln|x−2|+ 647

8736ln|2 x+3|−299

222ln|2x−3|

+171668844364605696

ln|x2+2 x+4|− 171668844182302848√3

arctan ( x+1

√3 )−¿



−297613775696964√3

arctan( x+1

√3 )+C

f)∫ x4+3 x2+x−1

x (x2−4 )3 (x−3 )dx

Solución:

g)∫ 4 x5−6x3+2 x−13x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2

dx

Solución:


4 x5−6 x3+2 x−13 x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2

= A3 x2 +

Bx+ C

( x−1 )3+ D

( x−1 )2+ Ex−1

+ M( x+5 )2

+ Nx+5

4 x5−6 x3+2x−1=A ( x−1 )3 ( x+5 )2+Bx ( x−1 )3 (x+5 )2+C x2 ( x+5 )2+¿

+D x2 ( x−1 ) ( x+5 )2+E x2 ( x−1 )2 (x+5 )2+M x2 ( x−1 )3+¿

N x2 ( x−1 )3 ( x+5 )

4 x5−6 x3+2x−1=A x5−7 A x 4−2 A x3−46 A x2+65 Ax−25 A+B x6+7B x5−¿

−2B x4−46 B x3+65 B x2+25 Bx+C x4+10C x3+25C x2+¿

+D x5−11D x4+15Dx3−25D x2+Ex6+8 E x5+6 E x4−¿

−40E x3+25 E x2+M x5−3M x4+3M x3−M x2+N x6+¿

+2N x5−12N x4+14N x3−5N x2

Hallando el sistema de ecuaciones

B+E+N=0 A=1 /25

A+7 B+D+8E+M+2N=4B=−3 /125

−7 A−2B+C−11D+6E-3M−12N=0C=−1/36

−2 A−46B+10C+15D−40E+3M+14N=−6⇒D=−29.8

−46 A+65B+25C−25D+25E−M−5N=0 E=13186/705

65 A+25 B=2M=11761 /5400



−25 A=−1N=1.81

⇒∫ 4 x5−6 x3+2 x−13x2 ( x−1 )3 (x+5 )2

dx= 125

∫ dxx2 − 2

125∫ dxx

− 136

∫ dx( x−1 )3

−29.8∫ dx( x−1 )2

+¿

+13186705 ∫ dx

x−1+ 11761

5400 ∫ dx

( x+5 )2+1.8∫ dx

x+5

¿− 175 x

− 1125

ln|x|+ 1

216 ( x−1 )2+ 149

15 ( x−1 )+ 13186

2115ln|x−1|−0.73

x+5+3 ln|x+5|

¿− 175 x

− 1125

ln|x|+ 1

216 ( x−1 )2+ 149

15 ( x−1 )+ 13186

2115ln|x−1|−0.73

x+5+ 3

5ln|x+5|+C

h)∫ x3−4 x2+2x−9( x+5 )3 ( x−1 )2 x

dx

Solución:


⇒ x3−4 x2+2 x−9( x+5 )3 ( x−1 )2 x

= A( x+5 )3

+ B( x+5 )2

+ Cx+5

+ D( x+1 )2

+ Ex+1

+ Fx

x3−4 x2+2 x−9=Ax ( x−1 )2+Bx ( x+5 ) ( x−1 )2+Cx ( x+5 )2 ( x−1 )2+¿

+Dx ( x+5 )3+Ex ( x−1 ) ( x+5 )3+F ( x+5 )3 (x−1 )2

x3−4 x2+2 x−9=A x3−2 A x2+Ax+B x4+3B x3−9B x2+5 Bx+C x5+8C x 4+¿

+6C x3−40C x2+25Cx+D x4+15Dx3+75D x2+125Dx+¿

+E x5+14 E x4+60 E x3+50E x2−125 Ex+F x5+13 F x 4+¿

+46F x3−10 F x2−125 Fx+125 F


C+E+F=0 A=61/45

B+8C+D+14E+13F=0 B=28133 /130

A+3 B+6C+15D+60E+46F=1⇒C=73.7

−2 A−9B−40C+75D+50E-10 F=−4D=−5/108

A+5 B+25C+125D−125E-125F=2E=5533/780

125 F=−9 F=−9 /125



⇒∫ x3−4 x2+2 x−9( x+5 )3 ( x−1 )2 x

dx=6145

∫ dx( x+5 )3

+ 28133130

∫ dx( x+5 )2

+73.3∫ dxx+5

−¿

−5108∫

dx

( x−1 )2+ 5533

780 ∫ dxx−1

− 9125∫

dxx

¿ 61

90 ( x+5 )2− 28133

130 ( x+5 )+73.7 ln|x+5|+ 5

108 ( x−1 )+5533

780ln|x−1|− 9

125ln|x|

¿ 61

90 ( x+5 )2− 28133

130 ( x+5 )+73.7 ln|x+5|+ 5

108 ( x−1 )+5533

780ln|x−1|−9 ln|x|

125+C

i)∫ x5+6 x3−3 x−2

( x+6 )2 ( x2−16 )3dx

Solución:

j)∫ x+1

x4 ( x−6 )3dx

Solución:


⇒ x+1

x4 ( x−6 )3= A

x4+ Bx3

+ Cx2

+ Dx

+ E

( x−6 )3+ F

( x−6 )2+ Gx−6

x+1=A x3−18 A x2+108 Ax−216 A+B x4−18 Bx3+108 Bx2−216 Bx+C x5−¿

−18C x4+108C x3−216C x2+D x6−18D x5+108D x4−216D x3+E x4+¿

+F x5−6F x4+Gx6−12G x5+36Gx4


D+G=0 A=−1/216

C−18D+F−12G=0B=−1/144

B−18C+108D+E−6 F+36G=0C=−1/324

A−18B+108C−216D=0⇒D=−23 /23328

−18 A+108 B−216C=0 E=7/1296

108 A−216B=1F=77 /32400



−216 A=1G=23/16200

⇒∫ x+1

x4 ( x−6 )3dx= −1

216∫dx

x 4− 1

144∫dx

x3− 1

324∫dx

x2− 23

23328∫dxx

+¿

+71296∫

dx

( x−6 )3+ 77

32400∫dx

( x−6 )2+ 23

16200∫dxx−6

¿ 1

648x3+ 1

288 x2+ 1

324 x− 23

23328ln|x|− 7

2592 ( x−6 )+ 23

16200ln|x−6|+C

k)∫ 3 x+2

( x+2 )3 ( x2−2x+4 )dx

Solución:


⇒ 3 x+2

( x+2 )3 (x2−2 x+4 )= A

( x+2 )3+ B

(x+2 )2+ Cx+2

+ Dx+Ex2−2 x+4

3 x+2=A (x2−2 x+4 )+B ( x+2 ) (x2−2x+4 )+C ( x+2 )2 (x2−2 x+4 )+¿

+(Dx+E ) (x+2 )3

3 x+2=A x2−2 Ax+4 A+B x3+8 B+C x4+2C x3+8Cx+16C+Dx4+6Dx3+¿

+12Dx2+8Dx+E x3+6 E x2+12Ex+8 E

Hallando el sistema de ecuaciones:

C+D=0 A=−1/3

B+2C+6D+E=0 B=1/ 4

A+12D+6 E=0⇒C=−5/72

−2 A+8C+8D+12E=3D=5 /72

4 A+8 B+16C+8E=2 E=11 /36

⇒∫ 3 x+2

( x+2 )3 (x2−2 x+4 )dx=−1

3 ∫ dx

( x+2 )3+ 1

4∫dx

( x+2 )2− 5

72∫dxx+2

+¿

172∫

5 x+22

x2−2 x+2dx

¿ 1

6 ( x+2 )2− 1

4 (x+2 )− 5

72ln|x+2|+ 1

72∫5 x

x2−2x+4dx+22∫ dx

x2−2x+4



¿ 1

6 ( x+2 )2− 1

4 (x+2 )− 5

72ln|x+2|+ 5

144ln|x2−2 x+4|+1589

72 ∫ dx

( x+1 )2+(√3 )2

¿ 1

6 ( x+2 )2− 1

4 (x+2 )− 5

72ln|x+2|+ 5

144ln|x2−2 x+4|+arctan ( x−1

√3 )+C

l)∫ 4 x2−3x+4

x ( x−6 ) (2 x2+5x+8 )dx

Solución:

ll)∫ x−2

x2 ( x−3 )2 (x2+x+1 )3dx

Solución:


⇒ x−2

x2 ( x−3 )2 (x2+ x+1 )3= A

x2+Bx+ C

( x−3 )2+ Dx−3

+ Ex+F

(x2+x+1 )3+¿

+Mx+N

(x2+x+1 )2+ Px+Qx2+x+1

x−2=A (x−3 )2 (x2+x+1 )3+Bx ( x−3 )2 (x2+x+1 )3+C x2 (x2+x+1 )3+¿

D x2 ( x−3 ) (x2+x+1 )3+ (Ex+F ) x2 (x−3 )2+¿

+(Mx+N ) x2 ( x−3 )2 (x2+x+1 )+(Px+Q ) x2 ( x−3 )2 (x2+ x+1 )2

m)∫ x5+3x+6

(x+2 ) (x2+4 )dx

Solución:

n)∫ x3+4 x+2

( x+2 ) x3 (x2−3 x+5 )dx

Solución:




⇒ x3+4 x+2

( x+2 ) x3 (x2−3 x+5 )=¿

ñ)∫ 2 x2+x−4

x2 (x2+4 )2 (x2+4 )dx

Solución:


⇒ 2x2+x−4

x2 (x2+4 )3= Ax2 +

Bx+ Cx+D

(x2+4 )3+ Ex+F

(x2+4 )2+Mx+Nx2+4

2 x2+x−4=A (x2+4 )3+Bx ( x2+4 )3+ (Cx+D ) x2+(Ex+F ) x2 (x2+4 )+¿

(Mx+N ) x2 (x2+4 )2

2 x2+x−4=A x6+12 A x4+48 A x2+64 A+B x7+12B x5+48B x3+64 Bx+C x3+¿

+D x2+E x4+F x3+4 E x2+4 Fx+M x7+N x6+8M x5+8N x4+¿

+16M x3+16N x2


B+M=0 A=−1/16

A+N=0B=0

12B+8M=0C=−1/4

12 A+E+8N=0⇒D=3

48 B+C+F+16M=0E=1/ 4

48 A+D+4E+16 N=2 F=1/4

64 B+4 F=1M=0

64 A=−4N=1/16

⇒∫ 2 x2+x−4

x2 (x2+4 )2 ( x2+4 )dx=−1

16∫ dxx2 −1

4∫ x+12

(x2+4 )3dx+ 1

4∫ x+1x2+4

dx+ 116

∫ dxx2+4

¿ 116x

−14∫

x

(x2+4 )3dx+3∫ dx

x2+4+ 1

8∫2 x+2

x2+4dx+ 1

16∫dx

x2+22

¿ 116x

+ 1

4 (x2+4 )− 1

2 (x2+4 )2+ 1

8∫2 x+4

x2+4dx−1

4∫dx

x2+22+ 49

16∫dx

x2+22



¿ 116x

+ 1

4 (x2+4 )− 1

2 (x2+4 )2+ 1

8ln|x2+4|+ 49

16arctan( x+2

2 )+C

o)∫ x+4

(x2−2 x+4 ) (x2+3 x+9 )dx

Solución:

p)∫ 3 x+2

(x2+x+4 )3 ( x2−x+4 )2dx

Solución:

3 x+2

(x2+x+4 )3 (x2−x+4 )2;es una fracción propia

3 x+2

(x2+x+4 )3 (x2−x+4 )2= Ax+B

( x2+x+4 )3+ Cx+D

(x2+x+4 )2+ Ex+Fx2+ x+4

+¿

+Px+Q

(x2−x+4 )2+ Mx+Nx2−x+4

3 x+2=( Ax+B ) (x2−x+4 )+(Cx+D ) (x2+x+4 ) ( x2− x+4 )+¿

+(Ex+F ) (x2+ x+4 )2 (x2−x+4 )+(Px+Q ) (x2+x+4 )3+¿

+(Mx+N ) (x2+x+4 )2 (x2−x+4 )

3 x+2=P x7+3 P x6+15P x5+25 Px4+60P x3+48 P x2+64 Px+Q x6+¿

q)∫ ( x+2 )3

(x2+5x+12 )2dx

Solución:

( x+2 )3

(x2+5 x+12 )2;es una fracción propia

( x+2 )3

(x2+5 x+12 )2= Ax+B

( x2+5 x+12 )2+ Cx+Dx2+5x+12

( x+2 )3=( Ax+B )+(Cx+D ) (x2+5 x+12 )

x3+6 x2+12 x+8=Ax+B+C x3+5C x2+2Cx+D x2+5Dx+2D



x3+6 x2+12 x+8=C x3+(5C+D ) x2+( A+2C+5D ) x+(B+2D )


C=1 A=5

5C+D=6⇒B=6

A+2C+5D=12C=1

B+2D=8D=1

⇒∫ 5 x+6

(x2+5x+12 )2dx=∫ 5 x+6

(x2+5 x+12 )2dx+∫ x+1

x2+5 x+12dx

¿5∫ x

(x2+5 x+12 )2dx+6∫ dx

(x2+5 x+12 )2+ 1

2∫2x+2+3−3

x2+5 x+12dx

¿5∫ xdx

[ (x+5 /2 )2+(√23 /2 )2 ]2+6∫ dx

[ ( x+5 /2 )2+ (√23 /2 )2 ]2+ 1

2∫(2 x+5 )dxx2+5 x+12

−¿

−23 ∫ dx

(x+5 /2 )2+(√23 /2 )2

¿5∫ x

[ (x+5 /2 )2+(√23 /2 )2 ]2dx+ 1

2∫2 x+5

x2+5x+2dx+ 9

2∫dx

( x+5/2 )2+(√23/2 )2

¿ −5

2 [ (x+5 /2 )2+(√23 /2 )2 ]2+1

2ln|x2+5x+12|+9arctan( x+2/5

√23/2 )+C

r)∫ 4 x2+3 x+2

(x+2 )2 (x2+1 )2dx

Solución:

4 x2+3 x+2

( x+2 )2 (x2+1 )2;es una fracción propia

4 x2+3 x+2

( x+2 )2 (x2+1 )2= A

( x+2 )2+ Bx+2

+ Cx+D(x2+1 )2

+ Ex+Fx2+1

4 x2+3 x+2=A (x2+1 )2+B (x+2 ) (x2+1 )2+ (Cx+D ) ( x+2 )2+¿

+(Ex+F ) (x2+1 ) (x+2 )2

4 x2+3 x+2=A x4+2 A x2+A+B x5+2B x4+2 Bx3+4B x2+Bx+2B+c x3+¿



+4C x2+Dx2+4Cx+4Dx+4D+E x5+F x4+4 E x4+5 E x3+¿

+4 Ex+4 Fx+4 F+4 F x3+4 E x2+5 F x2


B+E=0B=−E A=12 /25

A+2 B+4E+F=0 F=−25 E/6 B=¿

2B+C+5E+4 F=0⇒C=41E /3C=¿

2 A+4 B+4C+D+4E+5 F=4C=D=¿

B+4C+4D+4E+4 F=3D=E=¿

A+2 B+4D=2D=F=¿

s)∫ 3 x4+2 x2+10

(x2+4 )2 ( x2+2 )3dx

Solución:

3 x4+2 x2+10

(x2+4 )2 (x2+2 )3;es una fracción propia

3 x4+2 x2+10

(x2+4 )2 (x2+2 )3= Ax+B

(x2+4 )2 +Cx+Dx2+4

+ Ex+F(x2+2 )3

+Gx+H(x2+2 )2

+ Ix+Jx2+2

3 x4+2 x2+10=( Ax+B ) (x2+2 )3+ (Cx+D ) (x2+4 ) (x2+2 )3+(Ex+F ) (x2+4 )2

+(Gx+H ) (x2+4 )2 (x2+2 )+ ( Ix+J ) (x2+4 )2 (x2+2 )2

3 x4+2 x2+10=C x9+D x8+ (A+10C+D+G ) x7+ (B+10C+H+4 I+J ) x6+¿

+(6 A+36C+E+10G+4 I+4 J ) x5+ (6B+36D+F+10H+8D

+4 J ) x4+ (12 A+56C+8E+32G+48 I+8 J ) x3+¿

8 F+32H+96 I+48 J ) x2+ (8 A+32C+16E+32G+64 I+96J ) x

+(8 B+32D+16 F+32H+64 J )


C=0

D=0



A+10C+G+ I=0

B+10C+H+4 I+J=0

6 A+36C+E+10G+4 I+4 J=0

6 B+36D+F+10H+PI +4 J=3

12 A+56C+8E+32G+48 I+8J=0

12B+56D+8F+32H+96 I+48J=2

8 A+32C+16E+32G+64 I+96 J=0

8 B+32D+16F+32H+64 J=10

t)∫ dx

(x2+16 )5

Solución:

u)∫ 2 x3+4 x+8

x3 (x4−9 )2 (x4−25 )3dx

Solución:

v)∫ x3+x−4

( 2x2+3 x+3 )3dx

Solución:

4. MÉTODO DE BINOMIOS DIFERENCIALES

a)∫ dx

x2 (3+x2 )3 /2

Solución:

b)∫ dx

x (5+x2 )1/3



Solución:

c)∫ dx

x (2+4 x4 )2/3

Solución:

d)∫ dx

(1+x3 )1/3

Solución:

e)∫ dx3√ x (3−3√ x)1/2

Solución:

f)∫ dx

x5 (6−x 4 )1/2

Solución:

g)∫ dx

x4 (3+x2 )1/2

Solución:

h)∫ (2+√x )1 /3

xdx

Solución:

i)∫ x2

(a+b x5 )18 /5

Solución:



j)∫ dx

x11 (3+x4 )1/2

Solución:

k)∫ (x−x3 )1/3dx

Solución:

l)∫ (2+ 4√x )1 /3dx

Solución:

m)∫ (2+ 5√ x )1/3dx

Solución:

n)∫ (2 3√ x+3 )1/2

x3 dx

Solución:

ñ)∫ (√ x+3 )1/2

x4 dx

Solución:

o)∫ ( 4√ x+2 )5 /4

x5 dx

Solución:

p)∫ (√sen ( x )+1 )2 /3

√xdx

Solución:



q)∫ ( 3√cos ( x )+1 )2 /3

√xdx

Solución:

r)∫ ( 5√ tan ( x )+5 )1 /6

x5 dx

Solución:

s)∫ ( 4√ x+1 )1 /3

x3 dx

Solución:

5. MÉTODO DE HERMITE

a)∫ x3+2 x+8

( x+1 )2 (x2+4 )3dx

Solución:

b)∫ x3−27

( x2−1 )2 (x2−16 )3dx

Solución:

c)∫ x3+81x

x (x2+3 )2 (x2−25 )4 dx

Solución:

d)∫ ( x+2 )3 x3

x (x2+√2 )2 ( x2+25 )2dx

Solución:



e)∫ ( x−3 )5 ( x+2 )3

x (x2−√2 )4 ( x3−27 )2dx

Solución:

f)∫ x (x+4 )3 ( x−1 )2

x2 (x−√2 )4 (x3+81 )3dx

Solución:

g)∫ x (x2−9 )3 ( x+3 )3

x3 ( x+1 )5 (x3−81x )4 dx

Solución:

h)∫ x (x2−2 )2 ( x−2 )4

x2 (x−4 )4 (x3−125 x )5dx

Solución:

i)∫ (x2−16 )3 ( x+5 )5

x ( x−5 )3 (x3+125x )4 dx

Solución:

j)∫ sen2 ( x )−cos2 ( x )tan2 ( x )+sec3 ( x )

dx

Solución:

k)∫ sen3 (2 x )+cos2 (2 x )tan2 (3 x )−sec2 (3 x )

dx

Solución:



l)∫ sen2 ( x ) cos ( x )−cot2 ( x )tan3 ( x )−sen ( x )cos3 ( x )

dx

Solución:


Práctica de Análisis Matemático III

Documents

Transcript of Práctica de Análisis Matemático III