Práctica 02. Gráficos 3D con Mathematica - ujaen....

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  • Prctica 02. Grficos 3D con Mathematica

    Anlisis Matemtico II. Departamento de Matemticas.Diplomatura en Estadstica / Ingeniera Tcnica de Informtica de Gestin

    Como vimos en la prctica 0.1 Mathematica es una potente herramienta para la representacin grfica de funciones de una variable ycurvas en el plano. En esta prctica estudiaremos las herramientas que nos proporciona Mathematica para representar grficamentefunciones de dos variables y superficies en el espacio tridimensional.Como una generalizacin de las instrucciones que vimos para el caso bidimensional, estudiaremos la instruccin Plot3D(generalizacin de Plot) para representar grficas de funciones de dos variables que estn expresadas en forma explcita. La instruccinParametricPlot3D (generalizacin de ParametricPlot) para representar curvas alabeadas (curvas en el espacio) y superficies param-tricas. Por otra parte ContourPlot representar grficamente en el plano las curvas de nivel asociadas a una funcin de dos variables.Estas herramientas de representacin grfica que nso proporciona el programa Mathematica nos sern muy tiles para comprenderconceptos bsicos como la variacin de una funcin de varias variables o el estudio de extremos.

    1. Representacin grfica de funciones reales de dos variables: la instruccin Plot3DLa instruccin que sirve para representar grficas de funciones de dos variables en una regin [a,b] x [c,d] es:

    Plot3D[funcin[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]

    Esta instruccin, a diferencia de Plot, no acepta una lista de funciones para representar conjuntamente. Si queremos representar ms deuna funcin necesitaremos usar la instruccin Show.

    La instruccin Plot3D tiene muchas opciones en comn con la orden bidimensional Plot, si bien algunos de los valores pordefecto de stas cambian, como por ejemplo AspectRatio, cuyo valor por defecto en este caso es Automatic. Para listartodas las opciones que admite la orden Plot3D junto con los valores que stas toman por defecto ejecutaremos Options[-Plot3D] o ??Plot3D.

  • In[1]:= Options@Plot3DD

    Out[1]= :AlignmentPoint Center, AspectRatio Automatic, Axes True, AxesEdge Automatic,AxesLabel None, AxesStyle 8

  • In[4]:= superficie1 = Plot3DAx2 + y2, 8x, 2, 2

  • In[6]:= Show@superficie1, superficie2D

    Out[6]=

    Opciones de la instruccin plot3D MeshTrue/False

    Dibuja (True) o no dibuja (False) la retcula sobre la que se construye la grfica.

    Ejemplo 3.

    Utilizando la misma funcin definida en el ejemplo 1

    In[7]:= Plot3D@Sin@xD + Cos@yD, 8x, 2 , 2

  • indica el nmero de divisiones. El valor por defecto es 15, el nmero de puntos en los que evaluar la funcin es 225.

    Ejemplo 4.

    In[8]:= Plot3D@Sin@xD + Cos@yD, 8x, 2 , 2

  • In[9]:= Plot3D@Sin@xD + Cos@yD, 8x, 2 , 2

  • In[10]:= Plot3DAx2 + y2, 8x, 2, 2

  • In[11]:= Plot3DAx2 + y2, 8x, 2, 2

  • 2. Curvas de nivel: la instruccin ContourPlotUna forma til de visualizar la variacin de una funcin f es mediante las curvas de nivel. Las curvas de nivel las componen los puntos(x , y) que toman el mismo valor mediante f, es decir, puntos que tienen la misma altura. Son curvas que expresadas de forma implcitavienen definidas por la ecuacin f (x , y) = Cte.

    Las curvas de nivel nos van a representar en el plano una superficie tridimensional como es la grfica de una funcin de dos variables ynos va a permitir ver las zonas de crecimiento, decrecimiento y los extremos de la funcin.

    La instruccin que representa funciones de dos variables mediante curvas de nivel es:

    ContourPlot[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]

    Ejemplo 7.

    In[12]:= ContourPlotAx2 + y2, 8x, 1, 1

  • In[13]:= ContourPlot@Cos@x yD, 8x, ,

  • Opcin ContourShadingTrue/False

    Por defecto, esta opcin est activada en True pero si queremos eliminar los grises del grfico utilizamos la opcin ContourShadingFalse.

    In[15]:= ContourPlotAx2 + y2, 8x, 1, 1

  • 3. Curvas y superficies expresadas en forma paramtrica: la instruccin ParametricPlot3DYa estudiamos cmo representar grficamente curvas planas expresadas en forma paramtrica con la instruccin Parametric-Plot, ahora representaremos curvas en el espacio y superficies que estn expresadas en forma paramtrica con la instruccinParametricPlot3D, cuya sintaxis para una curva parametrizada en la forma x=x(t),y=y(t),z=z(t) es:

    ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1, t2}]

    Si la superficie parametrizada viene dada por x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v) con u[u1,u2] y v[v1,v2], utilizaremos estamisma instruccin indicando los intervalos de variacin de ambos parmetros

    ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2}]

    Ejemplo 8. Dibujar la hlice de ecuacin x=sen t, y=cos t, z=t/3 en el intervalo [0,5p]

    12 Practica02_Graficas3D.nb

  • In[17]:= ParametricPlot3D@8Sin@tD, Cos@tD, t 3

  • In[18]:= ParametricPlot3DB8Cos@uD Cos@vD, Sin@uD Cos@vD, Sin@vD

  • In[20]:= RevolutionPlot3DAx2, 8x, 0, 1

  • In[22]:= RevolutionPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD