Uniwersytet Mikoaja KopernikaWydzia Fizyki, Astronomii i Informatyki StosowanejInstytut FizykiWojciech Kryszaknr albumu: 199631Praca magisterskana kierunku zykaWykrywanie spltania kwantowego.Metody oparte na entropowych relacjachnieoznaczonociOpiekun pracy dyplomowejdoktor Jacek JurkowskiInstytut Fizyki, Zakad Fizyki MatematycznejToru 2011Prac przyjmuj i akceptuj................................................data i podpis opiekuna pracyPotwierdzam zoenie pracy dyplomowej................................................data i podpis pracownika dziekanatuDzikuj memu opiekunowi - Jackowi Jurkowskiemuza zaufanie i wsparcieSzczeglnie dzikuj moim Rodzicom i Paulinieza zaufanie i wsparciei wszystko inneTo rozlega, mroczna polana owietlona jedynie wskimi pasmamiwiatapadajcymi zgry. Napolanietej chciaobysibawii roz-koszowa. Tu obok jednak rozpoczyna si gsta puszcza glottogonii,pena cikiego milczenia, wiecznej ciemnoci i rozrastajcych si buj-niezaroli,wktrychatwosicakiemzaplta.Dotegociemnegolasu nie powinnimy wchodziGerhard DoerferMemu Sonku Wiosennemu...Uniwersytet Mikoaja Kopernika zastrzega sobie prawo wasnoci niniejszej pracymagisterskiej w celu udostpniania dla potrzeb dziaalnoci naukowo-badawczej lubdydaktycznejSpis treciSpistreci i1 Wstp 11.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Plan pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 FormalizmNierelatywistycznejMechanikiKwantowej 52.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Struktura formalna Mechaniki Kwantowej . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Eksperyment i jego kwantowomechaniczny opis . . . . . . . . . . . 62.3.1 Postulaty Mechaniki Kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Interpretacja macierzy gstoci macierze statystyczne . . 122.3.3 Pomiary uoglnione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Zoone ukady kwantowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.1 Fizyka ukadw zoonych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Interpretacja macierze zredukowane a statystyczne . . 182.4.3 Zagadnienie Cirelsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 SpltanieKwantowe 223.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Separowalno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.1 Spltanie wieloskadnikowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Dyskusja i interpretacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Zunikowane kryteria kwantowej nielokalnoci . . . . . . . . . . . . 263.3.1 Denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.2 (Nie)lokalno Bella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.3 Spltanie kwantowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.4 EPR-sterowalno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.5 Hierarchia modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.6 Interpretacje operacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33iSPIS TRECI ii3.3.7 Argument EPR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.8 Spltanie a nielokalno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Wykrywanie spltania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.1 Czciowa Transpozycja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2 Odwzorowania dodatnie, ale niekompletnie . . . . . . . . . 403.4.3 wiadkowie spltania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.4 Inne kryteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Relacjenieoznaczonociwmechanicekwantowej 444.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Sformuowanie wariancyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.2 cise sformuowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.3 Wady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Entropowe relacje nieoznaczonoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.1 Historia i przegld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.2 cise sformuowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.3 Entropie i ich wasnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.4 Wzajemnie zrwnowaone bazy. . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.5 Pewne uoglnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.6 Pami kwantowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Sformuowanie Landaua-Pollaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.1 Uoglnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.2 Silniejsze entropowe relacje nieoznaczonoci . . . . . . . . . 664.5 Sformuowanie majoryzacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5.1 Majoryzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5.2 Suprema i formalna relacja nieoznaczonoci . . . . . . . . . 684.6 Znaczenie relacji nieoznaczonoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 Wykrywaniespltaniazapomocrelacjinieoznaczonoci 745.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2 Entropowe relacje nieoznaczonoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.1 Metoda G uhne-Lewensteina. . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.2 Pewne zastosowania i przykady . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.3 Formalizm stabilizatorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3 Sformuowanie Landaua-Pollacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.1 Przykady zastosowa (saba wersja). . . . . . . . . . . . . 885.4 Sformuowanie majoryzacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4.1 Przykady i porwnanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.5 Metoda macierzy Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.5.1 Twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5.2 Przykady. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96SPIS TRECI iii5.5.3 Wykrywanie spltania wieloczciowego . . . . . . . . . . . 985.6 Dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996 EPR-sterowalnoiKwantowaPami 1016.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1016.2 Relacje nieoznaczonoci z pamici kwantow. . . . . . . . . . .1026.2.1 Wykrywanie spltania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1026.3 Kryteria EPR-sterowalnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1096.3.1 Oglne kryteria entropowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1106.4 Dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1136.4.1 Uyteczno kryteriw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1136.4.2 Interpretacja ujemnej entropii . . . . . . . . . . . . . . . . .1156.4.3 Otwarte pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1177 Innepowizanemetody 1207.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1207.2 Kryteria Termodynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1217.2.1 Zasada Landauera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1217.2.2 Kryterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1227.3 Entropowe nierwnoci Bella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1247.3.1 Kryterium Schumachera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1257.3.2 Kryterium Braunsteina - Cavesa . . . . . . . . . . . . . . .1277.3.3 Kryterium Cerfa - Adamiego . . . . . . . . . . . . . . . . .1287.4 Dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129Bibliograa 136AElementyteoriiprzestrzeniHilberta 148A.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148A.2 Przestrze Hilberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148A.2.1 Iloczyn skalarny i notacja Diraca . . . . . . . . . . . . . . .148A.2.2 Operatory liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150A.2.3 Operatory normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152A.2.4 Operatory unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154A.2.5 Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154A.2.6 Operatory dodatnie i projektory . . . . . . . . . . . . . . .155A.3 Przestrze iloczynu tensorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156A.3.1 Wektory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156A.3.2 Operatory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157BEntropieShannonaivonNeumanna 160B.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160B.2 Entropia Shannona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160SPIS TRECI ivB.2.1 Intuicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161B.2.2 Formalizm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161B.2.3 Znaczenie operacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162B.2.4 Wielkoci pochodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163B.3 Entropia von Neumanna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165B.4 Dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166Spissymboliiskrtw 169Spisrysunkw 170Rozdzia 1Wstp1.1 WprowadzenieTeoriaKwantowastanowi gwnylarnaszegorozumieniai formalnegoopisy-waniaPrzyrody. Jestdoskonalepotwierdzonempiryczniekonstrukcjformal-n.Mimowielulatcigychpostpweksperymentalnychnieudaosiznalezjawiskasprzecznegozjej przewidywaniami. Tenieodmienniesprawdzajcesiprzewidywaniaumoliwiyniezwykezmianyjakiezaszywciguostatnich80lat w yciu ludzi jako jednostek, oraz Ludzkoci w ogle. Mimo wielu lat cigychprb, nie udao si te znale powszechnie akceptowanego sposobu interpretacjimatematycznego formalizmu tej Teorii.Fenomen kwantowego spltania uwaany jest za najbardziej niezwyk i wy-mykajcsinaszemuklasycznemurozumowaniucechmechaniki kwantowej.Jego istota zostaa dostrzeona bezporednio po sformuowaniu matematycznychpodstaw nierelatywistycznej mechaniki kwantowej. Wieloletnie zmagania koncep-cyjne z tajemniczym dziaaniem (nawet, cho niekoniecznie) na odlego roz-poczy si od fundamentalnej pracy Einsteina, Podolskiego i Rosena [35]. Trwajone nieprzerwanie do dzi. Dzi ju jednak wiemy, e kwantowe splatanie ciglepozostajc wielk zagadk daje si realizowa eksperymentalnie, kontrolowai wykorzystywadopewnychnietrywialnychzada. Naledonichbezpiecznakomunikacja kwantowa, obliczenia kwantowe i wiele innych.Tak obiecujce perspektywy praktycznego wykorzystania tego zasobu, jakimmoebykwantowespltanie, jasnoukazujwagwysikwzmierzajcychdolepszego teoretycznego zrozumienia tego fenomenu. Podstawowym zadaniem jestpodaniejasnychkryteriwspltaniakwantowego. Dobrze, jeli tekryteriada-dzsiatworealizowaeksperymentalnie. Takimi kryteriami napewnostebezporednioodnoszcesidopomiarwnapotencjalniespltanychukadachzoonych. Wszczeglnoci gdyinteresujnas ukadyrozseparowaneprze-1ROZDZIA 1. WSTP 2strzennie pomiary te wykonywane s na podukadach ukadu zoonego, a ichwyniki zbierane i porwnywane za porednictwem komunikacji klasycznej. Nieste-ty nie jest atwo rozstrzygn o spltaniu ukadu, nawet tylko dwuskadnikowegoitonawetjeliposiadamypenmoliwwiedznatemattegoukadu(znamyodpowiadajc mu tzw. macierz gstoci)!Spltanieniejest jednakjedynnieklasyczncechmechaniki kwantowej.Ju na poziomie jej nierelatywistycznego sformuowania spotykamy si z innymiprzejawami zupenienieintuicyjnegoopisumikroskopowegoPrzyrody. Opistenwynikajcybezporedniozformalizmumatematycznegoteoriijestnieod-czniezwizanym. in. zzasadsuperpozycji, kwestitosamoci (tzw. iden-tycznoci numerycznej) czstek nieodrnialnych (identycznych jakociowo) [39],niekompatybilnocipomiarwizrelacjaminieoznaczonoci.Towanierelacjenieoznaczonoci i ich zwizki z kwantowym spltaniem s przedmiotem tej pracy.Niniejszapracadotyczypewnychmetodwykrywaniasplataniaopartychnakwantowych relacjach nieoznaczonoci. Rozwaane s relacje nieoznaczonoci opar-te na prawdopodobiestwach otrzymania konkretnych wynikw pomiarw kwan-towych.Niesrozwaanekryteriaspltaniazwizanez(bardziejznanymi)wa-riacyjnymi sformuowaniami Zasady Nieoznaczonoci.Opisywane alternatywne podejcia do Zasady Nieoznaczonoci maj jako ce-ch wspln to, e wszystkie one bior pod uwag tylko prawdopodobiestwa (ro-zumianeeksperymentalniejakoczstoci wzgldne)otrzymaniaposzczeglnychwynikw pomiarw. Odnoszc si tylko do podstawowej i nieodcznej cechy po-miarw kwantowych jak jest ich probabilistyczno, s one najprostszymi i naj-bardziejfundamentalnymisformuowaniamikwantowejnieoznaczonoci(zwanejrwnie komplementarnoci). Do takich sformuowa kwantowej nieoznaczonocinale m.in.:relacje oparte na funkcjach entropowych (wypukych),relacje Landaua-Pollaka,sformuowania majoryzacyjneNauytektej pracy, tealternatywne(chojaksiwydajebardziej funda-mentalne)sformuowaniarelacjinieoznaczonocibdnazywaneodtdprobabi-listycznymi sformuowaniami relacji nieoznaczonoci, lubkrtkoprobabilistycz-nymi relacjami nieoznaczonoci. Trzebapodkreli, eniejesttoterminologiapowszechna i nie naley raczej oczekiwa spotkania jej w innej literaturze.Wszystkie one umoliwiaj formuowanie pewnych metod wykrywania splta-nia kwantowego. Metody te nie s wic tylko czysto matematycznymi kryteriami,alemajbezporedniimplementacjeksperymentaln.Mwicoiwjakispo-sbnaleymierzy, abyzbadaczydanyukadwykazujekwantowespltanie.Cowicej, kryteriateopierajsitylkonaczstoci wzgldnej otrzymywaniaROZDZIA 1. WSTP 3rnychwynikwpomiarw. Niewymagajadnej dodatkowej obrbki danycheksperymentalnychtypuliczeniewartoci rednich, wariancji itp. Swiconekryteriami najbliszymi surowym danym pomiarowym, a przez to (prawdopo-dobnie) w wielu przypadkach najprostszymi w praktyce eksperymentalnej. Chonie s to czsto kryteria silne, to maj podstawowe znaczenie koncepcyjne wicdwie niezwyke dla klasycznego pojmowania Natury cechy jej kwantowego opisunieseparowalnoi indeterminizm. Przegld, opisi analizatakichkryteriwspltania s gwnymi celami pracy.Skupiono si na wykrywaniu spltania dwuskadnikowego. Jest to najprostszyi najlepiej zrozumiany rodzaj spltania. Pewne metody daj si jednak zastosowarwnie do detekcji spltania wieloskadnikowego. Ich wykorzystanie w tym celuzostanie wic rwnie opisane.Oprczopisupewnychszczeglnychmetodwykrywaniaspltania, pracatapodkrelapewnefundamentalnezwizkimidzyspltaniemanieoznaczonoci.Mimoipraktycznaistotnotychzwizkwjestcigleniejasna, tonapewnomaj one kluczowe znaczenie dla lepszego zrozumienia mechaniki kwantowej.Wcelunawietleniatychpowiza,opisanorwnieinnepokrewnemetodywykrywania spltania. S to tzw. metody termodynamiczne i metody oparte naentropowych nierwnociach Bella. Przedstawione zostan te zwizki pomidzykomplementarnoci(lubkompatybilnoci)pomiarwaamaniemnierwnociBella.1.2 Plan pracyStrukturapracyjest nastpujca. 3kolejnerozdziaystanowiczwprowa-dzajcpracy. Wrozdziale2zostanieprzedstawionyformalizmi terminologiaNierelatywistycznejMechanikiKwantowej,wrazzestosowanwpracynotacj.Rozdzia 3 przypomina podstawowe informacje o spltaniu kwantowym. Jego ce-lemniejestszeroki przegldtegozoonegozagadnienia, ajedynieprezentacjatych faktw ktre s niezbdne dla zrozumienia dalszej czci pracy. Wprowadzaon poza tym zunikowane denicje nielokalnoci kwantowej i niezbdn chospecycznterminologi. Wreszcierozdzia4zawieradoszerokdyskusjRelacjiNieoznaczonoci.Kadzieonszczeglnynacisknawaciwezrozumienieznaczenia teoretycznego i koncepcyjnego tych relacji.Poczci wprowadzajcejnastpuje, gwnaczpracy. Zawieraonaprze-gld niektrych znanych metod wykrywania spltania opartych na probabilistycz-nych relacjach nieoznaczonoci. Rozdzia 5 prezentuje gwne znane metody, ichpowizania, ograniczenia i ulepszenia. Opisuje on kolejno: metody oparte na en-tropowychrelacjachnieoznaczonoci [53], metodyzwizanezesformuowaniemLandaua-Pollacka [29] i krtko wspomina o moliwych zastosowaniach majoryza-cyjnego sformuowania relacji nieoznaczonoci [115]. Poszczeglne metody ilustro-ROZDZIA 1. WSTP 4wane s prostymi przykadami pozwalajcymi zorientowa si w ich sile, zaletachi ograniczeniach. Metody te opisywane s w kontekcie dostpnych w literaturzewynikw z innych obszarw bada. Te czsto niedawno otrzymane wynikipozwalajzjednejstronylepiejzrozumiepewnefakty, azdrugiejumoliwia-j czasem istotne ulepszenia opisanych metod. Takim ulepszeniem jest niedawnowprowadzonametoda[70], ktrnapotrzebytej pracybdziesitunazywametodmacierzyQ.Podrozdzia5.5.3prezentujeinteresujcmoliworoz-szerzenia tej metody w celu wykrywania spltania wieloczciowego.Rwniekolejnyrozdzia6prezentujekryteriakwantowegospltania(ado-kadniej tzw. EPR-sterowalnoci ) oparte na relacjach nieoznaczonoci. S to jed-nakkryteriakoncepcyjnieodmienneodwczeniej przedstawionych. Wpodroz-dziaach 4.3.6 oraz 6.2 opisano niedawno otrzymane wyniki dotyczce tzw. relacjinieoznaczonoci z kwantow pamici. S to entropowe relacje nieoznaczonociuwzgldniajce moliwo spltania 2 ukadw. Koncepcyjnie relacje te nawizujdo argumentu EPR. Fenomen dostrzeony przez Einsteina, Podolskiego i Rosenawiesinatomiastcilezpojciemtzw. EPR-sterowalnoci. OglnekryteriaEPR-sterowalnoci opisane s w podrozdziale 6.3. Wszystkie one opieraj si narelacjach nieoznaczonoci. W szczeglnoci moliwe jest stosowanie entropowychrelacji nieoznaczonoci. Niepowinnyzatemdziwizwizki midzyfenomenemEPR,awykrywaniemspltaniazapomockwantowejpamici.Podkreleniutych zwizkw suy podrozdzia 6.4.Wceludostarczeniaczytelnikowi pewnegoszerszegoobrazui nawietleniarnych powiza, opisano w rozdziale 7 rwnie inne, pokrewne wczeniej wpro-wadzonym, metody wykrywania spltania. S to tzw. metody termodynamiczne imetody oparte na entropowych nierwnociach Bella. Przedstawione zostan tezwizki pomidzy komplementarnoci pomiarw a amaniem nierwnoci Bella.Koczcwstp, autor chciabypodkreli, ejegopracajest wduej cz-ci prac przegldow. Obejmuje ona bardzo szerok tematyk (std dua liczbaodnonikwdopracrdowych), aleprzedstawiadosubiektywnypunktwi-dzenia. Subiektywno ta wynika z zainteresowa autora pewnymi szczeglnymiproblemami, o istocie ktrych chciaby przekona czytelnika. Wybr opisywanychtematw i zagadnie w rwnej mierze odzwierciedla rwnie niewiedz autora. Wistocie, podanabyobyszerokiei spjnerozumienieopisywanychzagadnie,czegoautoryczysobie,aprzedewszystkimczytelnikowi.Maonprzytymna-dziej,epracatapotencjalnemuczytelnikowibardziejpomoeniprzeszkodziw deniu do tego celu.Rozdzia 2Formalizm NierelatywistycznejMechaniki KwantowejWtymrozdzialezostaniewprowadzonyformalizmnierelatywistycznejmechani-ki kwantowej (NMK). Rozdzia tenjestzkoniecznoci bardzoskondensowany,niemniejzawierawszystkiepodstawowematematycznenarzdziaizyczneideekonieczne do zrozumienia dalszej czci pracy. Opiera si on gwnie na pozycjachtakichjak[128, 50]. Szczeglniepolecanaczytelnikowi jestksika[50] bdcabardzodobrympodrcznikiempodstawMechaniki Kwantowejkadcymszcze-glnynacisknacisoi klarownowywodumatematycznego. Niebrakujewniej rwnie zagadnie interpretacyjnych, szerzej poruszonych mi.in. w [119, 72].NiezbdnyformalizmmatematycznyjestopisanywDodatkuA. Obejmujeon podstawowe zagadnienia przestrzeni Hilberta (skoczenie wymiarowych) oraziloczynw tensorowych takich przestrzeni. Tu skupiono si na zastosowaniu tegoformalizmu w Nierelatywistycznej Mechanice Kwantowej.2.1 WprowadzenieKada teoria zyczna powinna przewidywa zachowanie si obiektw zycznychw czasie eksperymentw. Teoria Kwantowa moe by uwaana za oglny schematteoretycznywszystkichteoriizycznychopisujcychzjawiskazycznenapozio-mie mikroskopowym. Najwczeniejsz tak teori jest nierelatywistyczna mecha-nikakwantowa.Fundamentyformalizmumatematycznegotejteoriipowstawaynaprzeomielat20.i30.XXw.,atrwapostauzyskayw1932r.[163].Odtegoczasupozostajeonwistocieniezmieniony. Jedynistotn(przynajmniejzpunktuwidzeniaprezentowanegowtej pracy)innowacjbyowprowadzeniepojcia pomiarw uoglnionych (pomiarw typu POVM). Formalizm ten tworzy5ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 6spjn matematyczn struktur.1Wartopodkreli, eformalizmtenjestwpeni postulowany.Chonajegopodstawie otrzymuje si wyniki bdce w doskonaej zgodnoci z eksperymentami,to zawsze pozostaje pytanie o gbsze uzasadnienie takiego a nie innego formali-zmu. Nie udao si dotychczas w peni zadowalajcy sposb wyprowadzi go (lubwszczeglnoci uzasadniliniowoteorii2, stosowanieamplitudprawdopodo-biestwa,itp.)zzasadmajcychjasninterpretacjzyczn,wszczeglnocizzasad majcych jasne znaczenie w teorii informacji. Podejmowano w ostatnich la-tach liczne prby w tym kierunku, przykadem mog by prace [55, 100, 95, 103].MogtobybardzoowocneposzukiwaniaprowadzcedolepszegozrozumieniaTeorii Kwantowej, cho trzeba podkreli, e podejcie takie ma te wielu kryty-kw [17].Formalizmnierelatywistycznej mechaniki kwantowej maswczkinema-tyczn(opisobiektwzycznych)idynamiczn(opisewolucji tychobiektwwczasie).To wanie sposb w jaki mechanika kwantowa opisuje systemy jest rdempodstawowychrnicmidzyni, ateoriklasyczn. Opissamej ewolucji jestwobuschematachzasadniczopodobny. Dynamikasystemwzamknitychjestodwracalnai opisywanajest zapomocrwnarniczkowych.3Zagadnieniaswobodnej ewolucji systemw nie s istotne z punktu widzenia tej pracy. Gwnynacisk pooony wic zostanie na cz kinematyczn formalizmu, cile zwizanz pojciem przestrzeni Hilberta.Jako,ezajmowasibdziemytylkotzw. d-poziomowymiukadamikwan-towymi w dalszej czci ograniczymy si do opisu formalizmu dotyczcego tylkotakich systemw. Precyzyjniej, rozwaa bdziemy ukady, ktrych opis matema-tyczny wymaga stosowania jedynie skoczenie wymiarowych przestrzeni Hilberta.Znacznie uproci to rwnie zamieszczony w dodatku A przegld podstaw teoriitakich przestrzeni.2.2 Struktura formalna Mechaniki Kwantowej2.3 Eksperyment i jego kwantowomechaniczny opisTakzwanyeksperymentzycznydogodniejestpodzielikoncepcyjnienadwieczci: przygotowanie i pomiar.1Nie wystpuj problemy typowe dla elektrodynamiki kwantowej, gdzie wiadomo (prawie zpewnoci odpowiadajc rygorom matematycznym), e opis jaki oferuje ta teoria jest niespjny.2Artyku [80] oferuje przykad pokazujcy, e liniowo teorii nie wynika tylko z tzw. zasadyniesygnalizowania(ang. no signalling), cho nieliniowo umoliwia jej amanie [44]3Dynamik tak nazywa si te czasem dynamik typu U, dla odrnienia od dynamiki typuR majcej opisywa proces kolapsu funkcji falowej [118]. Jej opis nie jest jednak niezbdny doformuowania przewidywa eksperymentalnych. Kolaps mona po prostu postulowa i uwaajego interpretacj za nieistotn.ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 7Przygotowanie ukadujest procedurokrelajcwarunki pocztkowe dlaukadu zycznego. Dysponujc dokadn informacj na temat procedury przygo-towawczej ukadu, teoria powinna przewidywa wynik dowolnego pomiaru na tymukadzie. Okazuje si, e w oglnoci tak silny wymg jest niemoliwy do spenie-nia. Te same pomiary wykonywane na tak samo przygotowanych obiektach mogdawarnewyniki. Wszystkocojestemywstanieprzewidzietoprawdopo-dobiestwaotrzymaniaposzczeglnychwynikw. Eksperymentalnieprawdopo-dobiestwa s rozumiane jako (zbiene w dugiej serii eksperymentw) czstociwzgldne. Istniej silne powody by traktowa ten probabilistyczny opis ekspery-mentwniejakoartefaktniekompletnoci teorii, alejakofundamentalncechPrzyrody.Kwestiatazostanienawietlonawdalszejczcipracy,m.in.wpod-rozdziale 4.6.Przygotowaniem systemu kwantowego nazywamy wic zbir dziaa ktre de-terminujdystrybucjeprawdopodobiestwadowolnych(pniejdokonywanych)pomiarw. Poniewa wiele rnych procedur przygotowawczych moe prowadzido tych samych dystrybucji prawdopodobiestw, rozsdnie i wygodnie jest wpro-wadzi pojcie tzw. stanu. Stan ukadu kwantowego okrela mierzalny efekt pro-cedury przygotowawczej, bez wzgldu na to jak rzeczywicie zostaa ona przepro-wadzona.Stan kwantowy naley wic rozumie jako klas rwnowanoci procedur przy-gotowawczych. Warto zaznaczy, e zupenie analogiczne pojcie stanu wystpujew zyce klasycznej. Stan np. pola elektromagnetycznego w pewnym obszarze na-ley rozumie jako klas rwnowanoci rozkadw adunkw i prdw prowadz-cychdotychsamychobserwowalnychefektw(zachowaadunkwprbnych).Jedyn rnic jest konieczno opisu probabilistycznego.W dalszej czci obiekt zyczny bdcy w pewnym stanie kwantowym bdziesinazywaskrtowostanemkwantowym.Jesttodopowszechniestosowany,cho oczywicie niepoprawny i mylcy, nieformalny zwyczaj. Warto wic uwia-domi sobie zasadnicz rnic midzy obiektem zycznym, a matematyczn re-prezentacj naszej wiedzy o tym obiekcie, stosowan w jakiej teorii.Dowolndobrzeokrelonprocedurpomiarownaukadzienazywamyob-serwabl. Turwnienaleyrozwayklasyrwnowanoci procedurpomiaro-wych prowadzcych do tych samych dystrybucjiprawdopodobiestwdowolnychpomiarw wykonywanych na jednakowo przygotowanych ukadach.Podstawowkwestijestwicmatematycznyopisobserwabli.UjawnialnewpomiarachcechysystemusreprezentowaneprzezpodprzestrzenieEPpewnejprzestrzeni Hilberta H stowarzyszonej z tym systemem. Co wicej, wykluczajcesi cechy s reprezentowane przez ortogonalne podprzestrzenie. 2 cechy s wyklu-czajce, jeli nie jest moliwe aby ujawniy si one w 2 (nastpujcych po sobie)pomiarach(mogcychujawnitecechy). Oznaczmyzbirwszystkichpodprze-strzeni HprzezP(H). Niechbdziemiarprobabilistycznnatymzbiorze,ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 8tzn. odwzorowaniemP(H) [0, 1] speniajcym 2 podstawowe wymogi:1. addytywno: miara dla sumy prostej podprzestrzeni wzajemnie ortogonal-nych musi by rwna sumie miar dla tych podprzestrzeni:(Nj=1Pj) =Nj=1(Pj).2. unormowanie: miara przestrzeni zerowej musi by zerem, a miara dla penejprzestrzeni H musi by unormowana do jednoci:() = 0; (H) = 1.Mimo swej prostoty, 2 powysze wymogi narzucaj bardzo silne ograniczeniana moliwe miary probabilistyczne okrelone na P(H). Matematycznie, ogranicze-nia te zostay znalezione w 1957 r. przez Gleasona, ktry udowodni nastpujcekluczowe twierdzenie:Twierdzenie1(Gleasona).Dla przestrzeni Hilberta o wymiarzedimH > 2 kada dopuszczalna miara proba-bilistyczna (czyli speniajca 2 powysze wymogi) jest postaci:(P) = Tr[P] (2.1)gdzie jest samosprzonym, dodatnimi unormowanym(wsensie normyladowej) operatorem, tzn.:1. = ,2. [[ , 0; H,3. Tr[] = 1.Dowd twierdzenia mona znale w oryginalnej pracy [48] oraz np. w [20].4Twierdzenie Gleasona w znacznym stopniu ogranicza moliwoci zmodyko-wania standardowego formalizmu mechaniki kwantowej5.4Dowdmonaistotnieuprocijeli uwzgldni sitzw. uoglnionepomiary(opisanewczci 2.3.3)i zaoyniekontekstualnoprawdopodobiestw. Twierdzeniejestwtedysusznenawet dla dimH = 2 [26].5IstotnymwnioskiemzTwierdzeniaGleasonajestto, emiara(P)jestcigawP(H).Wykorzystywane jest to w dowodzie Twierdzenia Kochena-Speckera (ograniczajcego moliwoodtwarzania przewidywa mechaniki kwantowej przez tzw. niekontekstualne modele zmiennychukrytych) [60, 20].ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 9Wzrokrelajcymiarnazywanyjest(uoglnionym)postulatem(zasad)Borna. Jakwida, monagowyprowadzi, jeli najpierwzapostulujesi sto-warzyszenie cech obiektw kwantowych z podprzestrzeniami odpowiednich prze-strzeni Hilberta, tak aby wykluczajce si cechy odpowiaday podprzestrzeniomortogonalnym6.Operator jest nazywany operatorem gstoci lub operatorem statystycznym.W skoczenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta (a tylko takie nas interesuj)kady operator jest okrelony przez macierz bdc konkretn reprezentacj tegooperatorawkonkretnej bazie. Mwi siwicczsto(skrtowoi maocile)omacierzy gstoci. W analogii do statystycznych mieszanin klasycznych stanw jestnazywanastanemsystemu. Zbirmacierzygstoci (operatorwspeniaj-cych warunki 13 z Twierdzenia Gleasona) oznacza bdziemy symbolemS(H).Wancechtegozbiorujestto, ezbirtenjestwypuky. Oznaczato, eje-li ismacierzami gstoci, aiprawdopodobiestwami (sumujcymi sidojednoci), wtedy wypuka mieszanina: = iiijest rwnie macierz gstoci.Ztwierdzeniaspektralnego, krtkowspomnianegowdodatkuAwynika, ekada macierz7gstoci ma kompletny zbir ortonormalnych wektorw wasnych[i. Dowolna macierz S(H) moe wic by zapisana jako: =Ni=1iigdzie: i = [i i[ (2.2)Powyszerwnanieokrelawicwypukyrozkadzapomocoperatorwrzutowych.MacierzjestelementemekstremalnymS(H),jelipowyszasumaredukujesidojednegoelementu. Wtakimwypadkustan(reprezentowanyprzez jednowymiarowy operator rzutowy) nazywamy stanem czystym. Stan, ktrynie jest stanem czystym nazywamy stanem mieszanym(mieszanin).Powtarzalny (a wic te nieniszczcy) pomiar to taki ktry jeli zostanie po-wtrzony(natychmiast)natymsamymukadziezycznym(chojunietakimsamym), zawszedawczeniejuzyskanywynik. Mwimy, ewynikpomiarupo-wtarzalnego jest reprodukowalny z pewnoci (z prawdopodobiestwem rwnym1). Nie kady pomiar jest powtarzalny.8Specjaln podklas pomiarw powtarzal-nych s pomiary idealne.Pomiaryidealnetotakie, ktreniezmieniajstanwwasnych. Jeli jeststanem, dlaktregopewienpomiardajezawszetensamwynik, topomiarten6Istnieje wiele drg prowadzcych do zasady Borna [61]. Jedna z nich wiedzie przez fenomenkwantowego splatania [172, 142].7Dla prostoty rozwaamy przypadek niezdegenerowanej macierzy8Przykadem moe by pomiar detektorem o skoczonej sprawnoci.ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 10jest idealny, jeli nie zmienia tego stanu. Przykadami pomiarw powtarzalnych stzw. pomiary von Neumanna oraz pomiary L udersa. Niech Pk bdzie projektoremnapodprzestrze Hodpowiadajck-temuwynikowi. Podprzestrzetamoebyl-wielowymiarowa, wtedymonadokona(niejednoznacznego)rozkadunaprojektory rzdul: Pk= lPkl. W wyniku pomiaru von Neumanna na staniezmienia si on nastpujco:IvNk() = lPklPkl,natomiast w wyniku pomiaru L udersa:ILk () = PkPk.Wida,ewoglnoci (Pkrzdu>1)tylkopomiarL udersajestpomiaremidealnym. Jest on te pomiarem powtarzalnym.ZpostulatuBornawynika, eidealnypomiarjestzdeniowanyprzezzbirortogonalnychpodprzestrzeni przestrzeni H. Brakortogonalnoci umoliwiabyotrzymanieinnegowynikuprzypowtrzonympomiarze.9Alenieoznaczato,ezkadympomiaremidealnymnaleywizaprojektorynateprzestrzenie.Jesttakdopierogdyrozwaamyperfekcyjne(inaczejostre)pomiary,tzn.takiektre zawsze daj jaki wynik. Kady taki pomiar idealny i ostry jest pomiaremL udersa.Bardzowygodnymsposobemdeniowaniaidealnychpomiarwostrychjestwicprzypisanieimsamosprzonychoperatorw.KadytakioperatorAmoeby zdiagonalizowany w bazie ortonormalnej:A = kak[k k[ , ak R. (2.3)Zazwyczajakuznaje si za moliwe wyniki pomiaru otrzymywane z prawdo-podobiestwamipk. W takim wypadku atwo obliczy wielkoci pochodne, takiejak warto rednia obserwabli A = kakpk = Tr[A].Jednak to co okrela pomiar idealny, to baza ortonormalna (i zwizane z nioperatoryrzutowe,nazywaneoperatoramiefektowymi).Sameoznaczeniawyni-kwpomiarwsprzeciezupeniedowolne.Zazwyczajuwaasiemierzalnewielkoci zycznepowinnyprzyjmowawartoci nalecedozbioruliczbrze-czywistychR.Jesttojednaktylkoprzyzwyczajeniewywodzcesizmechanikiklasycznej. Jesttowygodnywybr, aleskalemakroskopowychprzyrzdwpo-miarowych mog by wyskalowane dowolnie (nawet kolorami czy symbolami). Tocosinaprawdmierzyweksperymentachtoczstociwzgldneotrzymywaniarnych wynikw. Jeli s one zbiene to utosamia si je z prawdopodobiestwa-mi10Wartoci rednie s jedynie wielkociami pochodnymi.9Zwizane jest to z opisanym niej postulatem rzutowym10Z dokadnoci do bdu odpowiadajcego iloci dokonanych pomiarw.ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 112.3.1 Postulaty Mechaniki KwantowejTak zwany ortodoksyjny formalizm mechaniki kwantowej mona podsumowa wponiszych punktach:1. Stany (postulat)Kademuzycznemusystemowiodpowiada pewnaprzestrzeHilberta H.Stany mieszane odpowiadaj (bijektywnie) operatorom (macierzom) gsto-ci zwntrzazbioruS(H).Stanyczysteodpowiadaj(bijektywnie)ele-mentom ekstremalnym, czyli macierzom nalecym do brzegu zbioru S(H).S one jednowymiarowymi operatorami rzutowymi.2. Obserwable (postulat)Kadej mierzalnej zycznej wielkoci (obserwabli) A odpowiada samosprz-ony operatorA dziaajcy na H.11(Zgodnie z powysz dyskusja jest takgdy ograniczamy si do idealnych i ostrych obserwabli.)3. Spektrum (postulat)Jedynymi moliwymi wynikami pomiarw obserwabli A s wartoci z widmaoperatoraA.4. (Uoglniona) Zasada Borna (dla przypadku dyskretnego)DlasystemuwstanieipomiaruobserwabliA(oskoczeniewielumo-liwychwynikach)reprezentowanejprzezoperatorA(zeskoczonymwid-mem) prawdopodobiestwo otrzymania wyniku ai (bdcego wartoci wa-snA) jest rwne:Tr[PAi]gdziePAis projektorami rzutujcymi na podprzestrzenie rozpinane przezwektory wasne A odpowiadajceai. W przypadku oglnymPAinie muszby oczywicie jednowymiarowe.5. (Uoglniona) projekcja (postulat, dla przypadku dyskretnego)Jeli w wyniku pomiaru obserwabli A dokonanego na ukadzie S bdcymw stanie otrzymano rezultatai(ze spektrumA), to stan systemu po po-miarze bdzie najbliszym stanem z podprzestrzeni wasnej odpowiadajcejai:11WdalszejczcidlaunikniciapomyekoperatorodpowiadajcyobserwabliAbdziesizazwyczaj oznacza A. PodkrelatozasadniczrnicmidzyprocedurpomiarowAi jejmatematyczn reprezentacj A. Moliwe przy zwykej konwencji pomyki wynikaj m.in. z za-stosowanej konwencji zapisu entropii Shannona i von Neumanna.ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 12 ; =PaiPaiTr[PaiPai](2.4)Znaczenie tego postulatu staje si jasne, jeli traktuje si stan ukadu jakoobiektmatematycznyumoliwiajcydokonywanieprzewidywawynikwprzyszych pomiarw.Nieprzedstawionojeszczeewolucjiukadwwczasie.Podobniejakwzyceklasycznej, ewolucja ukadw zamknitych jest odwracalna. Okazuje si, e impli-kuje to opis ewolucji za pomoc operatorw unitarnych. Opis dynamiki podsumo-wuje kolejny, ostatni punkt ortodoksyjnego sformuowania mechaniki kwantowej:6. (Uoglniona) ewolucja Schrodingera (postulat)Stan systemu, na ktrym w pewnym przedziale czasu nie dokonuje si ad-nychpomiarw, ewoluujewsposbopisywanyprzezrodzinoperatorwunitarnych:(t) = U(t, t0)(t0)U(t, t0)gdzieU(t, t0) = exp[iH(t t0)/], aHjest niezalenym od czasu hamil-tonianem systemu.2.3.2 Interpretacja macierzy gstoci macierze statystycznePowyej, wczci 2.3wprowadzonokoncepcjstanukwantowegoopisywanegozapomocmacierzywsposbformalnyi do abstrakcyjny. Pojcie stanuczystegojestjeszczedoatwedoprzyswojeniai interpretowania. Odpowiadaon wektorowi z przestrzeni Hilberta okrelonemu z dokadnoci do fazy (czstomwi si wic o tzw. promieniu).Jednakstanymieszanedostarczajpowanychtrudnoci interpretacyjnych.Chciaoby si interpretowa je jako odpowiadajce mieszaninie statystycznej pew-nychdobrzeokrelonychstanwczystych. Odpowiadaobytosytuacji znanej zzyki klasycznej.Istotnie, taka interpretacja narzuca si sama jeli spojrze na rwnanie (2.2).Stan odpowiada mieszaninie probabilistycznej stanw [i. Warto oczekiwanaoperatoraAwstaniejestrwna A = Tr[A],cozgodniezprzedstawieniemspektralnym mona zapisa jako:A =Ni=1iTr[Ai] =Ni=1ii[A[iJest to rednia waona wartoci oczekiwanych dla stanw czystych. Podobnie jako redni waon mona zapisa prawdopodobiestwo otrzymania jakie-go konkretnego wyniku pomiaru. Tak wic wydaje si, e stan jest rzeczywicieROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 13mieszaninstatystycznstanw [i. Takainterpretacjajestbezwtpieniapo-prawna i mona poda przykady procedur przygotowawczych, w wyniku ktrychzokrelonymprawdopodobiestwemiotrzymujesiukadywtakichstanachczystych. Sytuacjatajestanalogicznadoopisuukadwstatystycznychwme-chanice klasycznej.12Jednak taka naiwna interpretacja macierzy gstoci natraa na powane trud-noci.Pierwszjestto,erozkad(2.2)niejestjednoznaczny.Kadystanmie-szany mona przedstawi nie tylko na wiele, ale na nieskoczenie wiele sposobwanalogicznych do (2.2): =Kk=1pk[k k[gdzieKk=1pk=1, aK N+jestdowolne, oraz [ksdowolne. Oznaczato,e stan mona przygotowa jako mieszanin stanw czystych na nieskoczeniewiele sposobw!Jest to kluczowa rnica w porwnaniu do klasycznej teorii, gdzie zbir stanwstatystycznych jest tzw. zbiorem symplektycznym. Oznacza to, e dla kadego sta-nu mieszanego istnieje tylko jedna unikalna dekompozycja w postaci mieszaninyprobabilistycznej stanw czystych.Zbir S(H) nie jest sympleksem. Skoro rne moliwe sposoby mieszania sta-nw czystych prowadzi mog do tego samego stanu, to (zgodnie z wprowadzondenicj stanu kwantowego) te rne procedury przygotowawcze s zycznie nie-odrnialne. Kada procedura daje ukad, dla ktrego przewidywania statystykiwynikw pomiarw s te same13.2.3.3 Pomiary uoglnioneJako e prawdopodobiestwa musz sumowa si do jednoci, konieczne jest abysuma tzw. operatorw efektowychPAi= [i i[ ,bya operatorem jednostkowym: iPi = 1. Warunek ten jest oczywicie spenio-nywtymnajprostszymprzypadku, ktryodpowiadarozkadowi spektralnemu12By to pierwotny sposb wprowadzenia stanw mieszanych przez von Neumanna.13Warto w tym miejscu wspomnie o czysto hipotetycznym urzdzeniu/procedurze pozwala-jcym okreli jakiej mieszaninie stanw czystych odpowiada stan . Takie urzdzenie (nazywa-neanalizatoremstanwmieszanych)niemoeistniezgodniezpowyszdyskusj.Cowicejurzdzenietakieumoliwiaobyprzekazywaniesygnawmidzydwomaeksperymentatoramizaporednictwemtylkoiwyczniedzielonychstanwspltanych.Takakomunikacjamogabyodbywa si nawet z dowoln prdkoci! Jest to jednak niemoliwe i mona to pokaza na wielesposobw, np. [19, 18].ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 14operatora A danemu wzorem (2.3). Ale Mechanika Kwantowa nie nakada takiegoograniczenia na pomiar. Nie musimy rozwaa wycznie pomiarw idealnych.Oglniej, kady zbir operatorw dodatnich speniajcych taki warunek nor-malizacyjny (bdcych rozkadem operatora identycznociowego) nazywamy mia-rowartociachwoperatorachdodatniookrelonych (ang. positive operator-valuedmeasure - (POVM)), lubmiarpspektraln. Takiemiaryoperatorwdodatnich odpowiadaj najoglniejszej koncepcji pomiaru kwantowego. Najogl-niejszej,gdyniejestwymagane,abywynikipomiarwbyywzajemniewyklu-czajce si.Oczywicie projektory spektralne tworz tak miar. Jednak pomiary POVMnie musz odpowiada ortogonalnym projektorom. Nie da si ich wtedy reprezen-towa za pomoc operatorw hermitowskich. Pomiary takie nazywa si pomiara-miuoglnionymi,nieostrymi(lubpomiaramitypuPOVM).Jeszczeinnanazwaspotykanawliteraturzetoprobabilityoperatormeasurements (POM). Pomiaryidealne(i ostre)nazywasinatomiastczstopomiarami vonNeumanna14(lubpomiarami typu PVM - projector valued measures).Najoglniejsza koncepcja pomiaru sformalizowana jest wic nastpujco. Po-miar uoglniony jest reprezentowany przez odwzorowanieX E(X) o nastpu-jcych wasnociach:1. dziedzinswszystkieelementyXz-algebrypodzbiorwprzestrzeniwynikw A,2. przeciwdziedzinsoperatoryE(X)takiee0 E(X) 1. Operatorytakie nazywa si operatorami efektowymi,3. odwzorowanie jest -addytywne, tzn.: E (iXi) = iE(Xi), dlakadejskoczonejlubprzeliczalnienieskoczonejsumyrozcznychzbiorwz.(W przypadku sum nieskoczonych rwno naley rozumie w sensie sabejzbienoci)4. E(A) = 1.Zwykepojcieobserwabli stowarzyszonej zoperatoremhermitowskimjestszczeglnym przypadkiem, gdy operatory efektowe s projektorami na podprze-strzenie wartoci wasnych.2.4 Zoone ukady kwantoweDotejporydyskusjaformalizmumechanikikwantowejdotyczyatzw.ukadwprostych. Obiekt zyczny nazywamy obiektem zoonym, jeli posiada on pewn14Cho powinno chyba nazywa si je pomiarami L udersa.ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 15wewntrzn struktur, ktra umoliwia wyrnienie kilku stopni swobody obiek-tu, ktremog by oddzielnietraktowane eksperymentalnie. Takie stopnieswo-bodytworzpodsystemy(podukady) ukaduzoonego. Sonedostpnedlaeksperymentatora w sposb indywidualny, oddzielny i niezalenie od siebie.Mona poda wiele przykadw ukadw zoonych. Ukadem takim dobrzeopisywanym przez zyk klasyczn jest ukad Ziemia + Ksiyc (+ oddziay-waniegrawitacyjne).Klasycznie,stanukaduzoonegojestwpeniokrelonyprzezstanypodukadwiichwzajemneinterakcje.Takiopisklasycznychuka-dw zoonych jest efektywn implementacj podejcia redukcjonistycznego.Najprostszymprzykademkwantowegoukaduzoonegomoebysystem,dlaktregowpomiarachwykonywanychw2rnychmiejscachrejestrujesifoton w kadym z tych miejsc. System ten, i wiele innych podobnych, nazywamysystememrozseparowanymprzestrzennie. Jest to sytuacja mogca prowadzi dobardzonietrywialnychi nieintuicyjnychobserwacji. Wszczeglnoci systemwtakich dotyczy synny argument EPR [35], omwiony w czci 3.3.7.Fotony s traktowane w mechanice kwantowej jako czstki nieodrnialne.15Odrnialne s natomiast lokalizacje (oznaczane np. A i B) w ktrych fotony sirejestruje. Podsystemy ukadu zoonego odpowiadaj wic lokalizacjom detekto-rw A i B. Mimo i fotony nie maj indywidualnej tosamoci, mamy moliwoindywidualnego manipulowania nimi w miejscach A i B. To wystarcza do jasne-go,operacyjnegozdeniowaniasystemuzoonego.Bypodkrelitooperacyjnesformuowanie zyki ukadw zoonych, czsto wprowadza si w literaturze ob-serwatorw (eksperymentatorw) umieszczonych w rnych lokalizacjach i prze-prowadzajcych indywidualnie eksperymenty (pomiary) na swoich podukadachza pomoc swojej aparatury. Dla prostoty, te indywidualne manipulacje i pomia-ry w lokalizacjach A, B, C, ... okrela si jako dziaania Alicji, Bolka, Cezarego, ...16W tej pracy czsto bdzie stosowana taka narracyjna terminologia uatwiajcanadanie operacyjnego sensu rozwaanym zagadnieniom. Zazwyczaj dopuszcza si,aby obserwatorzy ci mogli komunikowa si za pomoc klasycznych rodkw (li-stw, sygnaw radiowych). Takie lokalne, indywidualne dziaania obserwatorw,ktremogbyuzalenioneodinformacji (np. owynikachpomiarw) pocho-dzcychodinnychobserwatorw, nazywasiskrtowooperacjami LOCC(odangielskiego terminu Local Operations and Classical Communication).Oczywicie, podsystemyniemuszbyoddzieloneprzestrzennie. Ukademzoonym moe by pojedynczy elektron z orbitalnym (zewntrznym) i spinowym(wewntrznym) stopniem swobody. Ukady takie nie znajduj jednak zastosowa-niawzagadnieniachkwantowej komunikacji i kwantowychobliczerozproszo-15Jest tojedenznieklasycznychelementwopisukwantowego[39]. Jest onomwionywkadym podrczniku mechaniki kwantowej. Tu zaznaczmy tylko, e wie si on z nietrywialnymzagadnieniem spltania czstek nieodrnialnych.16Niekoniecznie majcych stopie doktorw zyki, ale zdolnych do dokonania kolapsu funkcjifalowej [9].ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 16nych. S one rwnie mniej interesujce dla zrozumienia spltania i zagadnie nastyku Mechaniki Kwantowej i Szczeglnej Teorii Wzgldnoci.Ukady zoone opisywane przez zyk kwantow mog wykazywa zupenienieklasyczne, holistyczne cechy.17W przypadku klasycznym, stan czysty systemu zoonego jest zawsze stanemproduktowym, tzn. (dlaukadwdwuskadnikowych)stanempostaci SASB,gdzie zarwnoSA, jak iSBs stanami czystymi.Zasada superpozycji mechaniki kwantowej nie pozwala aby przestrzeni sta-nwukaduzoonegoby iloczynkartezjaski przestrzeni podukadw. Takaprzestrzeniejestbowiemprzestrzeniwektorow.Przestrzeniwektorowza-wierajcwszystkiestanyproduktowei ichliniowekombinacjejestprzestrzetensorowa:HAB... = HAHB. . .Przegld matematycznego formalizmu produktowych przestrzeni Hilberta za-warty jest w Dodatku A.Tu opisane zostan zastosowania tego formalizmu w mechanice kwantowej sys-temwzoonych.Dlaprostotynotacyjnejdyskusjajestzazwyczajprowadzonadla przypadku ukadw dwuskadnikowych. Uoglnienie na wiksz liczb skad-nikw jest trywialne.2.4.1 Fizyka ukadw zoonychFundamentalnym postulatem okrelajcym kwantowomechaniczny opis ukadwzoonych jest nastpujcy:1 Stany ukadu zoonego (postulat):StanyizolowanegozoonegosystemuSABzoonegozpodsystemwSA,SB,... s opisywane za pomoc operatora (macierzy) gstoci AB... okrelo-nego na produktowej przestrzeni Hilberta HAB... = HAHB. . .18Postulat tenjak kadyswe podstawowe uzasadnienie znajduje w zgodno-ci przewidywa teoretycznych z eksperymentem. Na gruncie nierelatywistycznejmechanikikwantowejczystodowiadczalnerdomarwniefakt,egdyma-mydoczynieniazczstkami identycznymi, wtedyniekadyelementiloczynutensorowegoopisujestantakiegoukadu. Wprzyrodzierealizujsidwiemo-liwoci:stanyczysteodpowiadajalbowektoromsymetrycznym(bozony),alboantysymetrycznym(fermiony) ze wzgldu na permutacje numeracji czstek iden-tycznych.17Jest tak, gdy wykazuj one tzw. spltanie, szerzej omwione w czci 418Wdalszej czci systemzoonySABbdziesiczstooznaczapoprostuAB, podob-niepodsystemy: Ai B. Zbienooznaczezobserwablami niejestprzypadkowa. Podkrelanatomiast operacyjn denicj podsystemu.ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 17Postulaty wprowadzone wczeniej w sekcji 2.3.1 stosuj si oczywicie do sys-temu SAB. Kady nieizolowany system mona uzupeni do cakowitego systemuizolowanegopoprzezuwzgldnieniewnimwszelkichinnychukadwzktrymioddziauje (tzw. otoczenie).Pomiar na systemie zoonym jest okrelony za pomoc hermitowskiego ope-ratoraokrelonegona HAB. Specjalnymprzypadkiemjestpomiardokonywanynajednymzpodsystemw, np. pomiar Alicji napodsystemie SA. Pomiar ta-ki (w przypadku ukadw rozseparowanych przestrzennie) nazywamy pomiaremlokalnym. Jest on reprezentowany przez operator:CAB = CA1Ba konkretny wynik pomiaru jest stowarzyszony z operatorem rzutowym:PAB = PCA 1BPrzypumy, e dwaj obserwatorzy, Alicja i Bolek, s w posiadaniu poduka-dwdwuskadnikowegoukaduzoonego(spltanegolubnie).Rozwamykon-sekwencjepomiarwlokalnychAlicji zjej punktuwidzenia. AlicjamoenawetniewiedzieoistnieniuBolkabdcegowposiadaniuukaduskorelowanegozjej ukadem. Niemniej powinna ona mc opisywa swoje eksperymenty w jzykumechaniki kwantowej.19Musi istnie moliwo przypisania ukadowi Alicji sta-nu (operatora speniajcego warunki 13 z twierdzenia Gleasona), ktry okrelawszelkie obserwowalne przez Alicj cechy jej (pod)ukadu.PrawdopodobiestwootrzymaniaprzezAlicjwynikupomiaruoznaczonegoprzeza wynosi:Tr[(PAa1B)AB]Wprowadmy tzw. stan zredukowany, zdeniowany za pomoc operacji laduczciowego:A = TrB[AB] :=NBj=1j[AB[j.atwosiprzekona, eprawdopodobiestwa(np. otrzymaniakonkretnegowynikua) dla pomiarw Alicji mona teraz przedstawi w postaci:Tr[(PAa1B)AB] = TrA[PAaA]Oznaczato,ejeli ograniczymysidorozwaaniatylkopomiarwnapod-systemie SA, to operator gstoci otrzymany przez lad czciowy ABumoliwia19Zpewnocijesttopodanasytuacja, gdybytakniebyo, Alicjamusiabywczydoopisu swego ukadu opis caego Wszechwiata.ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 18wszelkie przewidywania statystyczne dla tego podsystemu. Podobnie rzecz si madla drugiego podsystemu.PoniewawszystkieprzewidywaniadotyczcepomiarwnaSAswsposbjednoznacznyzdeterminowane przez zredukowanmacierz gstoci A, naleyuzna, estanempodsystemuSAjest wanie A. Analogicznie, stanempod-systemu BolkaSBjest zredukowana macierz gstociB. Takie stany nazywa sitestanami czciowymi lubstanami lokalnymi. Alicjai Bolekmogopisywaswoje podsystemy lokalnie.Operacja liczenia ladu jest niezalena od wyboru bazy (tzw. unitarna nieza-leno). Bardzo wanym wnioskiem wynikajcym z tej wasnoci jest to, e bezwzgldunatoco(hipotetyczny)Bolekrobi zeswojczciukadu, stancz-ciowy(zredukowany)Alicjijesttensam.Bolekniemoewicwadensposbprzekaza Alicji adnej informacji (tylko za porednictwem dzielonych ukadw ilokalnych operacji na podukadach). Okrela si to jako zasad niesygnalizowania(ang. no-signallingprinciple)20. Naley zaznaczy, e pewna forma sygnalizacjiponadwietlnej waciwie jest moliwa na gruncie Nierelatywistycznej mechanikiKwantowej, ale nie za porednictwem lokalnych pomiarw na podukadach.Liczc lady czciowe zawsze mona korzysta z oglnej denicji i dowolnejbazy.Czasemjednakprociejzaoy,eBolekdokonujepomiaruswegopodu-kadu w jakiej bazie. W wyniku, z pewnymi prawdopodobiestwami, stan Alicjiulega projekcjom na odpowiednie podprzestrzenie. Taka mieszanina statystycznastanw skolapsowanych musi by rwna stanowi zredukowanemu Alicji! Jest towniosek z zasady niesygnalizowania. Do kwestii tej powrcimy w czci 3.3.2.4.2 Interpretacja macierze zredukowane a statystyczneProblem interpretacji macierzy gstoci zosta zarysowany ju w czci 2.3.2. Dys-kusja dotyczya ukadw prostych, jednoskadnikowych. Zauwaono, e mimo nie-symplektycznego charakteru przestrzeni stanw S(H), cigle mona uwaa mie-szanystankwantowyzaistotnieprzygotowanyzapomocprocedurymieszaniadobrze okrelonych stanw czystych. Jest to tak zwana interpretacja statystyczna(zwana rwnie w literaturze angielskojzycznej ignorance interpretation).Jednakdlasystemwzoonychtakainterpretacjaniejestjumoliwa. Woglnoci nie mona ju interpretowa stanw podsystemw SA i SB jako miesza-nin statystycznych. Zamy e jest to zawsze moliwe, niech wicAiBbdmieszaninami statystycznymi:A = iqAiiAiA20W szczeglnoci nie jest moliwe przesyanie sygnaw ponadwietlnych. Oznacza to wic,ejestspenionyminimalnywymgzgodnoci mechaniki kwantowej (nierelatywistycznej!)zeSzczeglnTeoriWzgldnoci[51].Jesttojednaktylkotzw.zgodnoepistemologiczna,nie-koniecznie ontologiczna [10].ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 19B = jqBjjBjBZamy, e stan caego ukadu dany jest macierz gstoci:AB = AB = ijqABijiAjBiAjB = ijqABijiAiA jBjB(2.5)czne prawdopodobiestwaqABijpowinny zachowywa korelacje, tak aby:jqABij=qAi, oraz iqABij=qBjJednaknajoglniejszamacierzgstoci stanudwuskadnikowego jest postaci:AB = ijklmpmqABijm(qABklm)iAjBkAlB (2.6)gdzie prawdopodobiestwapmsumuj si do jednoci, orazijqABijm2= klqABklm2= 1.Jest jasne, e ta najoglniejsza posta 2.6 macierzy gstoci nie moe zawszeby zapisana w postaci 2.5.Powyszy argument (opierajcy si na strukturze przestrzeni tensorowej sto-sowanejdoopisuukadwzoonych)pokazuje, estanymieszaneniemogwoglnoci bytraktowanejakomieszaninystanwczystych. Niezachodzi wicsytuacjatakajakwmechaniceklasycznej,gdziestanymieszanewprowadzasi,aby uwzgldni nasz nieznajomo rzeczywistego stanu ukadu.Biorc pod uwag sposb ich przygotowania, stany mieszane nie musz by jumieszankamistatystycznymi.Sytuacjatakaniedopuszczanaiwnejinterpretacjistanwmieszanych.Takiezredukowanemacierzegstocisrwnowanestaty-stycznienieskoczeniewielumieszaninomstatystycznym. Zapomoclokalnychrodkw Alicja nie moe oczywicie okreli, czy jej stan powsta w wyniku jakiejkonkretnejprocedurystatystycznej(rzeczywicieopisujezbirstanwczystychw okrelonych proporcjach). Ale z powyszej dyskusji jasno wynika, e Alicja niewie nawet czy jej ukad nie jest czci jakiego wikszego systemu. System tenmoe by nawet w stanie czystym!Konkludujcpodkrelmy,eoglnyoperatorgstoci ABsystemuzoone-goniemoebywoglnoci skonstruowanyzeswoichstanwzredukowanych.Systemmoebypodzielonynapodsystemy(opisywanewsposbzupenyzaporednictwem stanw zredukowanych), jednak z takich podsystemw nie monazoy caego ukadu. Dzielc system moemy utraci istotne informacje o je-go caociowym (holistycznym) zachowaniu (tzn. o pewnych korelacjach wynikwROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 20pomiarwnapodsystemach).Nawetmaksymalnawiedzaozachowaniupodsys-temw nie wystarcza do okrelenia takich korelacji globalnych.Tezupenienieklasycznewnioski saspektami tzw. kwantowegospltania.Podstawowe zagadnienia zwizane z takim zachowaniem systemw zoonych zo-stan przyblione w kolejnym rozdziale pracy.2.4.3 Zagadnienie CirelsonaZagadnienie Borysa Cirelsona21dotyczy tego jak modelowa matematycznie po-miarynapodukadachkwantowych. Standardowo(wNierelatywistycznej Me-chaniceKwantowej)wtymceluwprowadzasistrukturiloczynutensorowegoHAB = HAHB. Prawdopodobiestwa wynikw moliwych pomiarw (POVM)oblicza si wtedy ze wzoru:PQ(a, b[A, B) = Tr[MAaMBb];aMAa= 1.PoniewakadyuoglnionypomiarPOVMnastaniemieszanymmoebyopisanyjakopomiarrzutowy(PVM)nastanieczystymwwikszej przestrzeniHilberta, zbir powyszych korelacji kwantowych spenia rwnowanie:PQ(a, b[A, B) = [EaEb[ .Jednak aksjomaty tzw. algebraicznej kwantowej teorii pola wymagaj jedynietego, by operatory odpowiadajce pomiarom na ukadach rozseparowanych prze-strzennie22komutowayzesob.23Zbircznychprawdopodobiestwwynikwpomiarw jest wtedy zbiorem elementw, takich e:PQ (a, b[x, y) = [EaEb[ ; [Ea, Eb] = 0.Czyzatemtrzebazakadastrukturtensorow?Czymatowoglejakie-kolwiekznaczeniezpunktuwidzenianierelatywistycznejmechanikikwantowej?Zachodzi PQ PQ .ZagadnienieCirelsonatopytanieczytedwamodeleopisumatematycznegoobejmujdokadnietesamekorelacje.Jelitak,torozwizujetonaszproblem: moemyuywastrukturytensorowej. Jeli jednakstrukturakomutacyjna jest bogatsza (modeluje szersz klas pomiarw i ich wynikw), touzasadnieniestosowaniastrukturytensorowej stasimoewanymzagadnie-niem.21W literaturze anglojzycznej stosuje si rwnie zapis Tsirelson. Sam Tsirelson robi takod 1990r. Opisywany problem jest jednak wczeniejszy. Poza tym stosowana tu transkrypcja jestpolsk transkrypcj.22W sensie interwau czasoprzestrzennego w Szczeglnej Teorii Wzgldnoci, a wic oddalonetylko w przestrzeni w pewnym ukadzie odniesienia23Motywowane jest to m.in.Twierdzeniem L udersa. [90]ROZDZIA 2. FORMALIZM NIERELATYWISTYCZNEJ MECHANIKIKWANTOWEJ 21ProblemCirelsonapozaznaczeniemczystoteoretycznym, moemieimpli-kacje praktyczne, np. dla problemw bezpiecznej dystrybucji kluczy kwantowychlub generowania liczb prawdziwie losowych.Z naszego punktu widzenia nie ma ten problem znaczenia, gdy zajmowa sibdziemy ukadami w skoczenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta, a tam tedwa zbiory korelacji s identyczne. Udowodni to sam Cirelson [143]. W oglnociproblem pozostaje jednak otwarty. Jest on te zwizany z pewn niewyjanionhipotez matematyczn, problemem Connesa [77]. Struktur tensorow postulujesi i jak dotd nie prowadzi to do sprzecznoci z dowiadczeniem. Istniej jednakmetody pozwalajce j uzasadni. Jedn z nich jest wariant twierdzenia Gleasona[40].Rozdzia 3Spltanie KwantoweZadaniemtegorozdziaujest przyblienieczytelnikowi podstawteorii stanwspltanych.Przypomnianezostanpodstawowedenicjeorazwprowadzonazo-stanie niezbdna terminologia. W duej czci jest to skondensowane wprowadze-nie, typowe dla wielu prac z dziedziny kwantowej teorii informacji. Zaznajomionyztproblematykaczytelnikmoewicswobodnieprzejdolekturydalszychrozdziaw. Niepowinienjedyniepominpodrozdziau3.3, gdziewprowadzasizunikowanyopisrnychtypwkorelacji dlapomiarwnaukadachdwu-skadnikowych. Zaznajomienie si z tym opisem oraz stosowan terminologi jestkonieczne dla zrozumienia metod wykrywania spltania opisanych w czci 6.3.W kocowych podrozdziaach zarysowana zostanie problematyka wykrywaniaspltania, tzn. metod pozwalajcych na eksperymentalne rozstrzygnicie kwestiiprzynalenoci ukadu do jednej z 2 klas, ukadw spltanych bd separowalnych.Wyczerpujco o rnych aspektach kwantowego spltania traktuje m.in. jesz-cze do wiea praca przegldowa Horodeckich [69].3.1 WprowadzenieJedn z najwaniejszych rnic koncepcyjnych miedzy klasycznym a kwantowymopisem obiektw zycznych, jest to, e spltane stany kwantowe charakteryzujsisilniejszymikorelacjami,niteosigalnezapomocdowolnegomodelutzw.lokalnychzmiennychukrytych. Innymi sowy, niesoneopisywalnezapomoclokalnie przyczynowej teorii. Jest tobardzoznamiennyfakt, poraz pierwszydostrzeony z ca moc przez Bella w 1964 r. [7].Takie nielokalne korelacje nie wystpuj, jeli pomiary dokonywane s na tzw.stanachseparowalnych.Nieseparowalnostanu(jegospltanie)jestwarunkiemkoniecznym dla podwaenia naszych klasycznych intuicji. Dopiero niedawno oka-22ROZDZIA 3. SPLTANIE KWANTOWE 23zao si, e (przynajmniej w pewnych scenariuszach eksperymentalnych dla uka-dw dwuskadnikowych) jest rwnie warunkiem dostatecznym [99].Wtymrozdzialezaprezentowanazostaniepodstawowamatematycznade-nicja stanw spltanych. Ich istnienie jest bezporedni konsekwencj strukturytensorowej przestrzeni Hilberta dla zoonych ukadw kwantowych.3.2 SeparowalnoRozwamynajprostszyprzypadekstanwczystych: n- czciowyczystystankwantowy nazywamy separowalnym, jeli da si zapisa w postaci produktu ten-sorowegon stanw czystych:[sep = [1... [n. (3.1)Z powodu swojej formy, takie stany separowalne nazywa si te czsto stanamiproduktowymi lub stanami nieskorelowanymi.atwo zauway, e statystyki pomiarw na tym stanie mog zawsze by opi-sywanezapomoclokalnychzmiennychukrytych.(Oczywicietymizmiennymiukrytymi s w istocie same stany i). Wyniki pomiarw s zawsze skorelowanieklasycznie.1Dopumy moliwo tzw. klasycznego skorelowania stanw. Najbardziej ogl-npostacistanwskorelowanychklasyczniejestwypukakombinacjastanwproduktowych:sep = kpkk1... kn(3.2)gdzie kpk ,0oraz kpk=1.Warunek kpk ,0jestistotny,gdyprzyjegopominiciu kady stan kwantowy daje si zapisa w powyszej postaci.Jeli stan kwantowy nie da si zapisa w postaci (3.2), nazywamy go stanemspltanym (niem. verschrankt, ang.entangled). Kady rozkad takiego stanu nastanyczystemusi zawieraconajmniej jedenstanczystyspltany. Powyszadenicja zostaa wprowadzona dopiero w 1989 r. przez Wernera [168].Denicja ta kadzie nacisk na opis matematyczny stanu w przestrzeni Hilber-ta. Mona j interpretowa operacyjnie nastpujco: stan spltany to taki, ktryniemoebyprzygotowanyzapomocoperacji lokalnychi klasycznejkomuni-kacji (tzw. operacje LOCC). Jest to interpretacja w terminach zasobw i metodpotrzebnych do przygotowania stanu. Nie mwi wiele o zachowaniu ukadw weksperymentach. Jasne jest jednak, e kady stan separowalny jest stanem, ktrywykazuje wycznie klasyczne korelacje.1Pojcie klasycznych i kwantowych korelacji wynikw pomiarw zostanie sformalizowane wczci 3.3.ROZDZIA 3. SPLTANIE KWANTOWE 24Warto tu podkreli, e z denicji bezporednio wynika fakt, e stany separo-walne tworz zbir wypuky. Kada wypuka kombinacja stanw separowalnychjest te stanem separowalnym. Co wicej, kady stan separowalny moe by za-pisany jako wypuka kombinacja czystych stanw produktowych.23.2.1 Spltanie wieloskadnikoweKlasykacjadwuczciowychstanwkwantowychjest bardzoprosta. Mogtobystanyczysteproduktowelubspltane. Wprzypadkustanwmieszanych,stanalbodajesizapisajakowypukakombinacja stanwproduktowych(jestseparowalny), albo jest spltany.Wprzypadkuukadwwieloskadnikowych3sytuacjajestbardziej zoona.Musimy rozrni tzw. penespltanie(ang. genuineentanglement) oraz pewnenisze klasy spltania. Ucilijmy denicje podane w poprzednim podrozdziale.Rozwamy ponownien-czciowy stan czysty. Nazywamy go w peni separo-walnymjelijestpostaci 3.1. Stanmieszanyjestwpeni separowalny,jeli jestwypuk kombinacj czystych stanw separowalnych (a wic jest postaci 3.2).Jest jednak moliwe, e stan czysty da si zapisa jako iloczyn tensorowy tyl-komstanwczystych,gdzie10), tomacierzNTrwniebdziemacierz19Cho rola spltania nie jest tu cakiem jasna [78].ROZDZIA 3. SPLTANIE KWANTOWE 40dodatni. Mwimy, e transpozycja jest odwzorowaniem dodatnim.CzciowatranspozycjaPToperatoraOnaprzestrzeni HAB= HA HBwzgldem 1. podsystemu jest odwzorowaniemPT: O OTAtakim, e:kl[N[mn =ml[NT[kn. (3.15)Macierznazywamystanemododatniejczciowejtranspozycji (ang.positivepartialtransposition- PPT), jeli wszystkie czciowe transpozycje tej macierzys dodatnie. Jeli po czciowej transpozycji macierz ma co najmniej jedn ujem-nwartowasn, tonazywamytakmacierzmacierzoujemnej czciowejtranspozycji (ang. negative partial transposition- NPT).Bezporednio z denicji stanu separowalnego wynika:Twierdzenie2(Kryterium PPT (warunek konieczny)).Jeli stanjestseparowalny, toczciowatranspozycjawzgldemdowolnegopod-systemu jest operatorem dodatnim.Tak wic, jeli po czciowej transpozycji stan ma co najmniej jedn wartowasna ujemn to jest spltany. Jest to wic warunek konieczny separowalnoci.Cowicej, wprzypadkusystemwniskowymiarowych, jesttorwniewarunekdostateczny:Twierdzenie3(Kryterium PPT (warunek dostateczny)).Jeli stannalecydoprzestrzeni HAB= HA HBgdziedimHA=2orazdimHB = 2 lub dimHB = 3 jest stanem PPT, to jest te stanem separowalnym.Niestety dla ukadw w przestrzeniach wyejwymiarowych nie istnieje podob-ne uniwersalne kryterium.Stany spltane o dodatniej czciowej transpozycji nale do klasy tzw. stanwo zwizanym spltaniu[65]. W pewnym sensie spltanie tych stanw jest bardzosabe. Mianowicie bez wzgldu na to jak (skoczon) liczb kopii takich stanwdysponujemy, niejestmoliweabyzapomocoperacji LOCCotrzymaznichcho jeden stan cakowicie spltany.3.4.2 Odwzorowania dodatnie, ale niekompletnieTranspozycja jest odwzorowaniem dodatnim, jednak nie jest odwzorowaniem tzw.kompletnie dodatnim(ang. completely positive- CP).Denicja2(Kompletna dodatnio).Odwzorowanie nazywamy kompletnie dodatnim, wtedy i tylko wtedy, gdy odwzo-rowanie:= 1njestdodatniedlakadegon,gdzie1njestodwzorowaniemidentycznociowym w przestrzeni Hilberta o wymiarze n.Jelijest dodatnie, to mwimy, e jest n-dodatnie. Zatem kompletna do-datnio to n-dodatnio dla kadego n.ROZDZIA 3. SPLTANIE KWANTOWE 41Tylkowictylkoteodwzorowaniadodatnie,ktrenieskompletniedodat-nimi (ang. positive, not completely positive- PnCP) s uyteczne w wykrywaniuspltania.Zastosowanietakiegoodwzorowaniadostanuspltanegomoedawefekcie operator posiadajcy ujemn warto wasn. Sygnalizuje to wtedy spl-tanie. Oczywicie dowolne odwzorowanie dodatnie na stanach separowalnych za-wszeprowadzi dostanwdodatnich. UoglniatokryteriumPPT, dostarczajckoniecznych kryteriw separowalnoci dla dowolnego odwzorowania typu PnCP.Mona jednak udowodni co wicej, mianowicie:Twierdzenie4(Kryterium PnCP).Jeli dla wszystkich odwzorowa dodatnich macierz(A1B)ABnalecy doprzestrzeni HAB = HAHB jest macierz dodatnio okrelon, to ABjest stanemseparowalnym.Twierdzenie 4 zapewnia oglne konieczne i dostateczne kryterium separowal-noci.Problememjestoczywiciesprawdzeniewarunkudodatniocidlawszyst-kichodwzorowaPnCP. Charakteryzacjatakichodwzorowajestpowanymiwci nierozwizanym problemem.3.4.3 wiadkowie spltaniaOdwzorowaniaPnCPdajjakwidzielimyoglnmetodwykrywaniasplta-nia.Jesttojednakmetodaczystomatematyczna.Wymagabowiemznajomocimacierzy gstoci stanu kwantowego. By pozna ten stan musimy w oglnoci sto-sowa metody tomograi kwantowej. Dopiero wtedy mona go bada metodamimatematycznymi.CzyjednakniedasistosowametododwzorowaPnCPbezporedniowlaboratorium?Czyniedasizaprojektowaukadueksperymentalnegorealizu-jcego takie odwzorowanie, a nastpnie bada tylko przeksztacony stan ukadu?Odpowied jest negatywna, odwzorowania niekompletnie dodatnie nie mog byimplementowane eksperymentalnie [22]. S to odwzorowania niezyczne.Istnieje jednak sposb obejcia tego problemu. Zapewnia go tzw. izomorzmJamiokowskigo [73]. Jak sama nazwa wskazuje okrela on pewn wzajemnie jed-noznaczn odpowiednio, w tym przypadku midzy odwzorowaniami liniowymi,a stanami:Denicja3.Niech bdzie dowolnym odwzorowaniem liniowym z (d1 wymiarowej) przestrzeniHilberta H1 do (d2 wymiarowej) przestrzeni H2. Istnieje wzajemnie jednoznacznaodpowiednio midzy, a operatoremE B(H1H2). Jest ona dana wzorem:E = ( 1)([ [)gdzie [ jest stanem maksymalnie spltanym.ROZDZIA 3. SPLTANIE KWANTOWE 42Maksymalnie spltany stan dwuczciowy to taki, ktrego redukcja do podu-kadujestcakowiciemieszana(proporcjonalnado1, ajej entropiavonNeu-mannajest maksymalna).Powyszy wzr nie tylko okrela wzajemn odpowiednio. Pewne wasnocimacierz E (nazywanej macierz Choi, lub stanem Jamiokowskiego w przypadkugdy jest dodatnie i zachowujce lad) odpowiadaj wasnociom odwzorowania.WszczeglnociodwzorowaniaPnCPodpowiadajwzajemniejednoznaczniehermitowskim operatorom dodatnim na podprzestrzeni rozpitej przez czyste sta-ny separowalne, lecz nie na caej przestrzeni. Takie operatory hermitowskie s wzasadziezycznierealizowalne(odpowiadajoneobserwablom). Ichimplemen-tacjaeksperymentalnamoebyjednakzoona. Obserwabletakienazywamywiadkami spltania.Denicja4(wiadek spltania).wiadkiem spltania nazywamy tak obserwabl W, dla ktrej:Tr(Wsep) , 0 dla wszystkich stanw separowalnychsep, orazTr(Went) < 0 dla pewnego stanu spltanegoent.ZtwierdzeniaHahna-Banachai zwypukoci zbiorustanwseparowalnychwynika,edowolnystanspltanymaswojegowiadka(wistocienieskoczeniewiele), wtymsensie, eistniejeobserwabla, ktrejwartooczekiwananatymstaniejestujemna,natomiastnawszystkichstanachseparowalnychjestdodat-nia. Sprawdzenie wszystkich obserwablii odpowiadajcych odwzorowaniom PnCPjest wicwystarczajcedookreleniaspltania[64]. Monanawet ograniczysi do obserwabli odpowiadajcych odwzorowaniom przeksztacajcym operatoridentycznociowy w siebie. Oczywicie takich obserwabli nadal jest nieskoczeniewiele.3.4.4 Inne kryteriaIstnieje wiele innych, oglnych metod wykrywania spltania, np. kryterium reduk-cji(sabsze ni PPT), kryterium przetasowania elementw macierzowych stanu (ang. matrixrealignment),kryteriamajoryzacjiwartociwasnychmacierzyg-stoci [137]. W szczeglnoci metod tak moe by rwnie szukanie nielokalnychkorelacjidlaprawdopodobiestwwynikwpomiarw(amanienierwnociBel-la). Istniej rwnie liczne podejcia algorytmiczne. Przegld metod wykrywaniasplatania zawarty jest w pracy [54].Wtej pracyzaprezentowane zostannatomiast pewne bardzospecycznemetody. Stometodyopartenarelacjachnieoznaczonoci. Niesonezazwy-czaj silnewtymsensie, eniewykrywajwielustanwspltanych. Warunkikonieczne dla separowalnoci otrzymane za pomoc relacji nieoznaczonoci majjednak wiele zalet. Jedn z nich jest to, e s zazwyczaj atwiejsze do sprawdzeniaROZDZIA 3. SPLTANIE KWANTOWE 43eksperymentalnego. Wyraone s one bowiem bezporednio za pomoc prawdo-podobiestwwynikwpomiarw. Innekryteriasczstobardziej wymagajceeksperymentalnie.Kryteriumczciowejtranspozycjiwymaganaprzykadzna-jomocimacierzygstoci.Wyznaczeniejejmetodamitomograikwantowejniejest proste i wymaga wykonania wielu pomiarw.Oczywicie ostatecznie wszystkie kryteria da si przetumaczy na jzyk praw-dopodobiestwwynikwpomiarw(tylkotewielkoci snamdanewekspery-mentach zycznych). Zalet opisywanych w tej pracy kryteriw jest to, e s onewyraone w tym jzyku od samego pocztku.Rozdzia 4Relacje nieoznaczonoci wmechanice kwantowejWrozdziale tymzostanie przypomniane powszechnie kojarzone z mechanikkwantowpojcienieoznaczonoci. Wprowadzonezostanrnesformuowaniamatematycznerelacji nieoznaczonoci. Jestichwiele, atenajbardziejznanetooczywicie sformuowanie wariacyjne. Zostanie ono omwione w rozdziale 4.2.Istniej jednak zupenie inne, mniej znane, ale pod wieloma wzgldami ciekaw-sze i bardziej fundamentalne sformuowania. S one kluczowo istotne dla gwnegotematutejpracy,jakimispewneopartenanichmetodywykrywaniakwanto-wegospltania. Teinnesformuowaniazostandoszerokoomwionewtymrozdziale.Niejesttoomwieniewyczerpujce. Skupionosinapewnychszczeglnychopisanychwliteraturzezwizkachi ichuoglnieniach, asonejakzobaczymyliczne i wielokierunkowe. Co wicej, wiele z tych rezultatw zostao otrzymanychdopiero w ostatnich latach. Warto wic im si przyjrze, nie tylko ze wzgldu naich rol w dalszej czci pracy.4.1 WprowadzenieMechanika kwantowa jest powszechnie uwaana za fundamentalny i uniwersalnyopis wiata zycznego. Schematy koncepcyjne tej teorii rni si jednak zasadni-czo od tych z zyki klasycznej. Powstanie mechaniki kwantowej rozpoczo rewo-lucjwnaszympojmowaniuwiata.Jednymznajbardziejuderzajcychaspek-tw tych rnic jest to, e teoria stawia fundamentalne ograniczenia na precyzj,zjakmoemyukadomzycznymprzypisywarwnoczeniewartoci rnychwielkoci zycznych: najlepszymprzykademmoebypooeniei pdczstki.44ROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ45Najlepszym, gdy najbardziej sprzecznym z naszymi makroskopowymi przyzwy-czajeniami. Nie moemy przygotowa czstki tak by miaa dobrze okrelony pd,a zarazem dobrze okrelone pooenie.W terminach pomiarw oznacza to, e w pomiarach na jednakowo przygoto-wanych ukadach nie otrzymuje si zarwno maego rozrzutu wynikw pomiarwpdw jak i maego rozrzutu wynikw pomiarw pooe, nawet jeli na kadym zukadw dokonujemy tylko jednego typu pomiaru. Jest to oglna cecha mechani-ki kwantowej i dotyczy wszystkich tzw. niekomutujcych obserwabli, lub oglniejobserwablii, ktre nie maj cho jednego wsplnego wektora wasnego.rda zasady komplementarnoci i zasad nieoznaczonoci s cile zwizane zt nieprzemiennoci operatorw opisujcych obserwable w mechanice kwantowej.Koncepcjakomplementarnoci rodziasiwrazzsammechanikkwantow(iza jej spraw). Graa ona gwn rol w debatach nad lozocznymi konsekwen-cjami mechaniki kwantowej, wszczeglnoci nadspjnocitzw. interpretacjikopenhaskiej mechaniki kwantowej. Debaty te byy szczeglnie ywe w tamtychpocztkowych latach nowej teorii, przykadem mog by synne dyskusje midzyEinsteinem a Bohrem [14].Pierwszecisesformuowaniazasadakomplementarnoci znalazawmate-matycznych relacjach znanych jako zasady lub reguy nieoznaczonoci. Wkrtcepo pierwszych nieprecyzyjnych prbach Heisenberga przyszy cise sformuowa-nia, wanejakofaktymatematycznedotyczceoperatorw. Ichimplikacjedlarozumienia mechaniki kwantowej byy na tyle wane, e nadano im nazw zasad.Okrelaj one bowiem wysoce nieklasyczne cechy nowej teorii.WolfgangPauli twierdzi, etanowateoriamogazostanazwanTeoriKomplementarnoci. Ju to wskazuje na centraln rol jak gra Komplementar-noi zwizanezniZasadynieoznaczonoci wrozumieniupodstawtejnowejteoriiMechaniki Kwantowej.4.2 Sformuowanie wariancyjnePodrozdzia ten przypomina pierwsze i najbardziej znane sformuowanie zasadynieoznaczonoci: sformuowanie Schrodingera - Robertsona. Nie bdzie ono czstowykorzystywanewdalszej czci pracy. Dyskusjategosformuowaniapozwolijednak lepiej zrozumie zalety sformuowa alternatywnych.4.2.1 HistoriaZasadaNieoznaczonoci zostaawprowadzonaprzezHeisenbergaw1927r. wartukulepodtytuemUberdenanschaulichenInhaltderquantentheoretischenKinematik und Mechanik[59]:ROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ46At the instant of time when the position is determined, that is, atthe instant when the photon is scattered by the electron, the electronundergoesadiscontinuouschangeinmomentum.Thischangeisthegreater thesmaller thewavelengthof thelight employed, i.e., themore exact the determination of the position. At the instant at whichthe position of the electron is known, its momentum therefore can beknown only up to magnitudes which correspond to that discontinuouschange;thus,themorepreciselythepositionisdetermined,thelessprecisely the momentum is known, and conversely.Z elementarnego sformuowania efektu Comptona dla pewnego mylowegoeksperymentu, Heisenberg oszacowa, e niedokadnoci s rzdu:px h.Wedle Heisenberga relacja ta wywodzi si z nieuniknionego zaburzenia pduspowodowanegoprzezpomiarpooenia. (Dotyczymiaabytzw. preegzystuj-cychwasnoci ukadu.)Wielkoci pi xniezostayprzezniegojednakpre-cyzyjnieokrelone. Dotyczoneniedokadnoci wpomiarzejednaj zwielkocizycznych i stowarzyszonego zaburzenia w rozkadzie innej wielkoci. Tak relacjata bya pierwotnie rozumiana przez Heisenberga [62].Droga rozumowania Heisenberga bya niekoniecznie poprawna[113].4.2.2 cise sformuowanieMierzcdowolnobserwablQzwyklepowtarzamypomiarwielokrotnieotrzy-mujc pewien rozkad wynikw. Oblicza si nastpnie warto redni, a za miarrozrzutu otrzymanych wartoci czsto przyjmuje si odchylenie standardowe:Q =(QQ)2.W zyce klasycznej skoczony rozrzut interpretuje si po prostu jako skutekskoczonej dokadnoci przyrzdw pomiarowych oraz jako skutek naszej niewie-dzy co do rzeczywistego stanu ukadw. Ten rozrzut wynikw pomiarw (i to dlarnychwielkoci)naukadachwtymsamymmaksymalnieokrelonymstanie(tzw.stanieczystym)moebywzasadziedowolniemay.Wzycekwantowejtakie niepewnoci maj duo bardziej fundamentalny charakter. Zwizane onescilezmatematykmechanikikwantowej,adokadniejznieprzemiennocioperatorw.Pierwszymcisymsformuowaniemmatematycznymrelacjinieoznaczonocibyosformuowanie Kennarda[79]. W1927r. dowid on, e dlawszystkichznormalizowanych wektorw [ zachodzi:ROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ47TQ , /2, gdzie(T)2=T2(T)2.Nierwno ta zostaa uoglniona w 1929 r. przez Robertsona [134] na wszyst-kieobserwable.Mwiona,ejeliprzygotujemywielekopiiukadwwtymsa-mym stanie i na kadej z nich zmierzymy bd A bd B, to otrzymamy:/B ,12[/, B]Jego dowd wykorzystuje nierwno Cauchyego-Schwartza.1E. Schrodingerz kolei w 1930 r. znalaz silniejsz relacj [2]:/B ,14[/, B] + 14//, B B2gdzie (, T:= (T + T(jesttzw.antykomutatoremdwchoperatorw (i T.Relacja ta jest te znana jako relacja Schrodingera - Robertsona.Wszystkiesformuowaniazasadynieoznaczonoci dotyczniepewnocicodowartoci pomiarwniekomutujcychobserwabli przynalenychtemusame-mustanowi kwantowemu(procedurzeprzygotowawczej systemu). Jednoczesnypomiar takich obserwabli nie jest dobrze okrelony (pierwotny stan jest niszczo-ny podczas pomiaru, postulat 2.4 z czci 2.3.1), a wic relacje nieoznaczonocidotycz tzw. kontrfaktualnychsytuacji.2Nie mwi one nic o jednoczesnych (na-stpujcych po sobie) pomiarach na tym samym ukadzie.34.2.3 WadySformuowanieSchrodingera-Robertsonajestcisym, matematycznymrezulta-tem. Jednakjegointerpretacjazycznapozwalauwiadomisobielicznewadytakiej formalizacji kwantowej nieoznaczonoci. Porazpierwszywagatychwadzostaa podkrelona przez Deutscha w 1983 r. [32].Po pierwsze, prawa strona wyraenia zaley jawnie od wektora [. Jest tak,gdy w oglnoci komutator / i B nie jest liczb (nie jest operatorem proporcjo-nalnym do operatora identycznociowego). Prawa strona nie okrela zatem staegodolnego ograniczenia. W szczeglnoci ograniczenie to jest trywialne jeli [ mazerowwartooczekiwanna[/, B],cowskoczeniewymiarowymprzypadkujest zawsze moliwe.Inna niedogodno uwidacznia si, gdy rozwaymy obserwable stowarzyszonezoperatorem /, oraz2/. Odchyleniestandardoweobserwabli 2Ajest wte-dy2razywiksze! Naszaniewiedzaowynikupomiarwniezwikszyasi.1Dodatek A2Zobacz dyskusj w podrozdziale 4.6.3Do tak zwanych pomiarw cznych nawiemy w sekcji 4.3.5.ROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ48Jestonazwizanabowiemtylkozbazoperatorw, aniezwielkociami war-toci wasnych. Dobrzewicbyobydysponowamiarstopnianaszej niewie-dzy(niepewnoci)niezalenodjednostek. IstniejteinnewadyrelacjiSchrodingera-Robertsona,alejako,eniedotyczsystemwskoczeniewymia-rowych, nie bd tu omawiane.Oprcz wytknicia niedogodnoci standardowego podejcia, Deutsch sformu-owarwniekilkawarunkwktrepowinnywedugniegobyspenioneprzezkad formalizacj zasady nieoznaczonoci. Co wicej pokaza, e spenienie tychwarunkwjest moliwe, wyprowadzajcpewncisrelacjopisanniej. Wszczeglnoci zapewnia ona nietrywialne i niezalene od stanu (a jedynie od bazyoperatorwreprezentujcychobserwable)dolneograniczenienanaszniepew-no.4.3 Entropowe relacje nieoznaczonociSpostrzeeniaDeutschauwiadomiyzykomkoniecznowprowadzenieinnychmiar niepewnoci (nieoznaczonoci). Zgodnie z teori informacji Shannona [149](ktrejzwizewprowadzeniezawartowdodatkuB)entropia(nazwanapniejjegonazwiskiem) jest jedynrozsdn(speniajcpewnefundamentalneiintuicyjne kryteria) miar niepewnoci co do wartoci zmiennej losowej.Waniezapomocentropii Shannonawyraonoporazpierwszywalter-natywnysposbrelacjenieoznaczonoci. ZaletytakiegosformuowaniazostaypodkreloneprzezDeutscha. Byotoimpulsemdointensywnychbada, czegoefektemslicznesformuowaniaentropowe, wyraonerwniezapomoctzw.entropiiuoglnionych(4.3.3).Wtympodrozdzialezostanomwionerneen-tropijne sformuowania wraz z ich ulepszeniami i uoglnieniami. Dla wygody czy-telnika i przejrzystoci rozdzia ten podzielono na liczne podrozdziay. Pozwoli toczytelnikowi lepiejzorientowasiwrozlegympolubadai zastosowaentro-powych relacji nieoznaczonoci.4.3.1 Historia i przegldZacznijmyodkrtkiegoprzeglduhistorii badanatympolui kluczowychre-zultatw.Pierwszentropowzasadnieoznaczonocizaproponowaw1957r.Hirsch-mann. Bya to - idc za przykadem Heisenberga i Kennarda - relacja dla pooe-nia i pdu. Ulepszon nierwno w 1975 r. otrzyma Becker. W tym samym rokuswoj relacj dla n kanonicznie sprzonych par pooe Qi i pdw Pi przedsta-wili Biaynicki-Birula i Mycielski [13]. Ich relacja przedstawia si nastpujco:H(Q1...Qn, ) +H(T1...Tn, ) , nlog(e),ROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ49gdzie H() jest tzw. cig (lub inaczej rniczkow) entropi Shannona.4Co istot-ne,nierwnotaimplikujenierwnoRobertsona!Entropowerelacjenieozna-czonocimogbyzatemuwaanezasilniejszeibardziejoglnesformuowaniekwantowej komplementarnoci.PierwszrelacjentropowwyraonzapomocentropiiShannonadlado-wolnychobserwabli otrzyma w1983 r. DavidDeutsch[32]. Jeli dokonamypomiaruna dowolnymstanie H(dimH=d) obserwabli odpowiadaj-cych operatorom z bazami ortonormalnymi odpowiednio / = [a1 , .., [ad orazB = [b1 , .., [bd, to otrzymamy zwizek:12 (H(/, ) +H(B, )) , log_1 +c(/, B)2_, (4.1)gdzie ograniczeniec:c(/, B) := max[a [ b[ [ [a /, [a B (4.2)jest rwnemaksymalnej wartoci bezwzgldnej nakrywaniasiwektorwwa-snychdla2dowolnychoperatorw.Intuicyjniejestzrozumiae,eimmniejna-krywaj si te wektory wasne, tym mniej kompatybilne s odpowiednie obserwa-ble i tym wiksza moe by suma entropii. Maassen i Unk w 1988 r. wzmocnilit nierwno [92] dowodzc wczeniejszego przypuszczenia Krausa [84].12 (H(/, ) +H(B, )) , log c(/, B) (4.3)Staacwpowyszej nierwnoci danajest tymsamymwzorem4.2. Rela-cjaMaassenai Unkaniejestatwawdowodzie. Wartowspomnietylko, ewykorzystuje ona Twierdzenie Riesza.Prawa strona przyjmuje maksymaln warto rwn12 log d dla tzw. wzajem-nie rwnych baz operatorowych, omwionych niej w rozdziale 4.3.4. W oglnocitoograniczeniedolneniemusi byosigalne, alewyraasizapomocbardzoprostej, geometrycznej informacji o wzajemnym pooeniu baz.Rozwamynaprzykadpomiarnaukadziedwuwymiarowym(kubicie)b-dcymwstanieczystym [0.Rozwamypomiarwbazie [0 , [1orazwbazie[+ , [. W przypadku tej pierwszej, znamy wynik pomiaru z cakowit pew-noci. Pomiar w drugiej bazie daje jednak wynik cakowicie losowy. Nie moemygo przewidzie, musimy po prostu zgadywa. Entropia zwizana z 1. typem po-miarujestzerowa, natomiastdla2. bazyprzyjmujewartomaksymaln. Ichsuma osiga w tym przypadku ograniczenie dolne dla tych pomiarw.Wiadomo e ograniczenie Maassena i Unka jest osigalne dla przypadku ob-serwabli komplementarnych. Nasuwa si pytanie czy tak jest rwnie w oglnym4Wnastpnympodrozdzialezostaniedokadniewyjanioneznaczenieargumentwtakichfunkcji.ROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ50przypadku. Numeryczneanalizydlakubitwpokazuj, ewprzypadkuobser-wablii niecakowicieniekompatybilnych(czyli tychniebdcychobserwablamikomplementarnymi) dolne ograniczenie nie musi by osigalne [42].Entropowe sformuowania zasad nieoznaczonoci maj liczne zalety i speniajw wikszoci kryteria Deutscha. Otrzymujemy dziki nim uniwersalne (niezaleneod stanu) dolne ograniczenie na rozrzut wynikw pomiarw, nawet w przypad-ku skoczenie wymiarowym. Ograniczenie to wyraa stopie niekompatybilnocirnych pomiarw. Cho wprowadzone tu nierwnoci dotycz 2 obserwablii, tow oglnoci podejcie to da si zastosowa dla wyraenia zwizkw midzy roz-rzutamiwynikwpomiarwdladowolnej ichiloci (niemniej prawdjest, eprzypadek 2 obserwabli jet najlepiej zrozumiany). Jest to niemoliwe (lub przy-najmniej trudne) w przypadku takich relacji, ktre stosuj ograniczenia zaleneod komutatorw.4.3.2 cise sformuowaniePowyej przedstawiono kilka entropowych relacji nieoznaczonoci, gwnie w kon-tekcie historii bada nad nimi oraz ich zalet. Wprowadmy pojcie entropowychzasadnieoznaczonociwsposbmaksymalnieoglnyicisydeniujcwszelkieistotne wielkoci.Niechzbiory /j=Mjx[MjxB(H)reprezentujpomiary(oglne) naprzestrzeni Hzeskoczonymi zbiorami Awynikwx A. Dlawszystkichxmamy zatem warunek xMjx = 1.Dla kadego stanu kwantowego, pomiar /jindukuje rozkad T(/j) wy-nikw pomiarw dany wzorem:TMj= T(/j) =_Px(/j)[x AMj_, (4.4)gdzie:Px(/j) = Tr_Mjx_.Wzr (4.4) okrela tzw. wektor probabilistyczny. Precyzyjniej, jest to elementprzestrzeni [0, 1]|X|unormowany do jednoci, tzn. xPx(/j).Entropi (ogln, niekoniecznie Shannona) H tej dystrybucji oznaczmy przezH(/j, ).5Entropia jest funkcj okrelon na zbiorze wektorw probabilistycz-nych. Nie jest to jednak dowolna funkcja. Jak wskazuje nazwa, spenia ona mu-si pewnewarunki. Dladystrybucji ostrejlubinaczej deterministycznej (tzn.takiej,ejedenzelementwwektoraprobabilistycznegojestjedynk,cozycz-nieoznacza,ezawszeotrzymujemyodpowiedniwynikpomiaru),powinnaonaprzyjmowa warto minimaln. Zazwyczaj wygodnie by wartoci t byo 0. Imrozkadbardziejniepewny,tymwartoentropiipowinnabywiksza.Oczy-wicie, tocooznaczabardziej niepewnyzaleyodpostaci funkcji. Warto5Nienaleytakiegooznaczeniaargumentwfunkcji(poprzecinku)mylizczstostoso-wanym w kolejnych rozdziaach oznaczeniem entropii cznej dystrybucji prawdopodobiestwa.ROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ51maksymalnpowinnaonaprzyjmowadlamaksymalnieniepewnejdystrybucji,ktra jest bez wtpienia wektorem o wszystkich skadowych rwnych.Takentropijestnp. entropiaShannona(majcawdodatkuwieleinnychpodanych cech). Jej jawna posta to:H(/j, ) = xTr(Mjx) log[Tr(Mjx)]. (4.5)Oglnaentropowarelacjanieoznaczonociwyraawzajemnniekompatybil-no kilku pomiarw /1, ..., /L. Najoglniejsz postaci takiej relacji dla sumentropii jest:1LLj=1H(/j, ) , c{Mj}(4.6)dla wszystkich o(H), gdzie c{Mj} jest sta zalen tylko od zbioru pomiarw(a nie od stanu).Bdziemy odtd stosowa czsto oznaczenie:H(B, ) := H ([x x[ , )okrelajce entropi wynikajc z pomiarw w bazie ortonormalnej operatora Bodpowiadajcej pomiarowi B. EntropiadlapomiarwuoglnionychobserwabliA danej przez odpowiednie operatoryAx =EAxbdzie natomiast zapisywana wnastpujcych formach:H(/, ) := H (Ax, ) = H (TA) = H (/) .Szczeglnie interesujce jest znalezienie pomiarw, dla ktrych c{Mj} jest takdue, jak to moliwe.Jaki wybrAi Bmaksymalizujeprawstron(4.3)?Zpostaci (4.2)jasnowynika, ejesttak, gdywszystkiewektorywasne2obserwabli nakrywajsitak, e ich iloczyny skalarne s rwne. Wynosz wtedy one 1/d, a prawa stronaprzyjmuje warto12 log d.Jest to ograniczenie dolne ktre jest osigalne dla pewnego stanu kwantowego.O takim ograniczeniu mwimy, e jest ciasne (ang. tight). Takim stanem kwan-towym jest oczywicie np. stan [a1. Naley zaznaczy, ze dla oglnych obserwa-bli ograniczenie dolne dane wzorem (4.2) nie musi by ograniczeniem ciasnym.Istotnie, nie jest tak np. dla nieoznaczonoci wyraonej sum entropii Shannona.4.3.3 Entropie i ich wasnociPojcieentropii jestjednymznajwaniejszychzarwnowzycestatystycznej,jakiwteoriiinformacji.Pojcietookazujesibyzwizanecilerwniezwydawaoby sibardzo odlegymi od termodynamiki dziedzinami, np. z oglnROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ52teoriwzgldnoci [160]. Entropiesrwnieinteresujcesamewsobie, jakoobiekt ciekawych bada matematycznych.Entropi Shannona i bdc (w pewnym sensie) jej kwantowym odpowiedni-kiem entropi von Neumanna opisano w dodatku B.Tu natomiast opisane zostana pewne oglniejsze ni entropia Shannona funk-cje. Skupimy si na tych oglnych entropiach, ktre s uyteczne ze wzgldu naichzastosowaniawmechanicekwantowej.Wszczeglnocinatych,dlaktrychsformuowano entropowe relacje nieoznaczonoci.MoemyzdeniowawieledogodnychmiarentropowychdlarozkaduPX=x1, ..., xn nad zbiorem A, gdziePX(x) jest prawdopodobiestwem otrzymaniaokrelonego elementux A. Najwaniejszymi z nich s tzw. entropie Renyiego[133] orazentropiewprowadzoneniezalenieprzezHavrdai Charvata[56] orazprzez Tsallisa [156].EntropieRenyiegoEntropia informacyjna Shannona zostaa uoglniona przez wgierskiego matema-tyka Renyiego [133]. Entropie te tworz jednoparametrow rodzin miar entropo-wych i dziel z entropia Shannona wiele wanych cech. Cho zostay wprowadzonewlatach60., zastosowaniewzycei naukachpokrewnychznajdujdopieroodniedawna.Entropie Renyiego s zdeniowane formu:HR (PX) =11 log_xXPX(x)_(4.7)Renyi w swej pracy [133] ograniczy si do dodatnich wspczynnikw, alew zasadzie mona dopuci wszystkie wartoci (oprcz osobliwoci w = 1, dlatakiego parametru moemy rozwaa entropi jedynie przez przejcie do granicy).Czasemwygodniejestjednaknarzuciwarunek>1,poniewawtedymonawprowadzi parametr sprzonyspeniajcy relacj:1 +1= 2. (4.8)Entropia Renyiego spenia dwa pierwsze aksjomaty opisane w dodatku B, niespenianatomiasttrzeciegoznich.Jednakspenia(wynikajcyztegotrzeciegoaksjomatu)sabszywarunekaddytywnoci (coatwosprawdziprzeksztacajclogarytmiloczynunasumlogarytmw).Kadaliniowakombinacja(cigalubdyskretna) entropii Renyiego rwnie spenia prawo addytywnoci.Entropia ta zwizana jest z tzw.-norm wektora probabilistycznegov, zde-niowan jako:[[v[[ =_xXPX(x)_1/ROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ53Przechodzcdogranicy 1entropiaRenyiegostajesirwnaentropiiShannona:H(PX) =lim1HR (PX) = xXPX(x) log [PX(x)].By to zobaczy wystarczy zastosowa regu de lHospitala.Podstawowe wasnoci entropii Renyiego s nastpujce:EntropiaRenyiegomonotoniczniemalejewrazz : HR () ,HR () dla .Przyjmuje wartoci z przedziau:0 HR () log [A[ .Dolneograniczenieotrzymujesidlaostrejdystrybucji(PX(x) = 1dlapewnego x), grne ograniczenie osiga ona dla jednorodnego rozkadu:PX(x) = 1/ [A[.Istotn cech entropii jest ich wypuko na zbiorze wektorw probabilistycz-nych. Entropie Renyiego s wypuke dla 0 < 1. Naley podkreli, e entro-pie te rzdu > 1 nie s ani czysto wypuke, ani czysto wklse [75].Monarwniezdeniowatzw. entropikolizyjn(ang. collisionentropy),tzn. entropi Renyiego rzdu = 2 i dan rwnaniem:HR2 (PX) = log xXPX(x)2(4.9)i tzw. entropi minimaln dan w granicy jako:HR(PX) = log maxxXPX(x). (4.10)EntropiaTsallisaRozwamy z kolei rodzin entropii Tsallisa [156]. Entropie te s zdeniowanewzorem:HTq (PX) =1 xXPX(x)qq 1(4.11)gdzieqjest parametrem rzeczywistym (q = 1).Rodzina tapodobnie jak to ma miejsce dla entropii Renyiegozawiera en-tropiShannonawswejgranicyq 1.Coistotne,rodzinatazawierarwnieROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ54wariancje dla tzw. obserwablii dychotomicznych (o 2 moliwych wynikach pomia-rw), reprezentowanych przez operatory w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta.Dla operatora:/ = [a a[ [a a[ (4.12)gdzie: a[a = 0 zachodzi mianowicie:H2(/) = 2P(a) (1 P(a)) =(/)22(4.13)oraz:H3(/) =3(/)28. (4.14)Tenzwizekmaznaczeniewkontekcietzw. meta-relacji nieoznaczonoci,opisanej w podrozdziale 4.3.5.Kluczowrnicwporwnaniudoentropii Renyiegojest to, eentropieTsallisamajokrelonwasnowypukoci. EntropieTsallisasmianowiciewypuke dla parametrwq> 0 oraz wklse dlaq< 0.Krtki przegld wasnoci i zastosowa entropii Tsallisa w zyce mona zna-lewartykule [123].Ozastosowaniach jejwzyceinaukach pokrewnych dajepogld rwnie praca [41].4.3.4 Wzajemnie zrwnowaone bazySilnarelacjanieoznaczonoci, totakadlaktrej staac{Mj}jestbardzodua.Zauwamy, e dla zbioru pomiarw rzutowych PVM : /1. . . /L, zawsze moe-my znale stan taki, eH(/j, ) = 0 dla pewnego /j. W tym celu wybranaleyjakostanwasny /j. Entropiadlaprawdopodobiestwodpowiadaj-cych /jbdzie wic zerowa. Dla pozostaych pomiarw jest ona oczywicie niewiksza ni log [A[.Otrzymujemy wic fundamentalne ograniczenie:log [A[ (1 1/L) , c{Mj} , 0Jeli c{Mj} osiga powysz grn granic, to zbir takich pomiarw bdziemynazywa maksymalnie niekompatybilnym, a odpowiedni relacj nieoznaczonociokrela jako maksymalnie siln. Zerowa entropia dla jednego z pomiarw impli-kuje wtedy maksymaln dla pozostaych.Domaksymalnie silnychrelacji nieoznaczonoci prowadztzw. wzajemniezrwnowaone (ang. unbiased, brakznanegomi innegopolskiegoterminu)ba-zy pomiarw (ang. Mutually Unbiased Bases - MUB).ROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ55Denicja5(Bazy Wzajemnie Zrwnowaone).Niech B1=b11, ...,b1di B2=b21, ...,b2dbddwomaortonormalny-mi bazami wCd. Nazywamyjewzajemniezrwnowaonymi, jeli zachodzib1k b2l = 1/d dla kadegok, l.Zbir B1, ..., BmbazortonormalnychwCdjest nazywanyzbioremwza-jemniezrwnowaonychbaz, jeli kada para baz jest wzajemnie rwna.Pojecie to zostao wprowadzone przez Schwingera. Ostatnio bada si je doszeroko w kontekcie spltania i innych fundamentalnych cech ukadw kwanto-wych.Wszystkie bazy operatorw musz by wzajemnie rwne, aby mc otrzymamaksymalnie siln relacj nieoznaczonoci. Wynika to z prostego argumentu. Za-my,edwiezbaznieswzajemnierwne.Wtedy [x B1i [y B2na-krywajce si tak, e iloczyn skalarny tych wektorw ma warto [x [ y[2> 1/dWybierajczatem= [x x[otrzymujemyzerowentropiwbazie B1imniejni maksymaln entropi w bazie B2.Wzajemnie rwne bazy prowadz do maksymalnie silnych relacji nieoznaczo-noci dlaL=2pomiarw. Woglnoci niezachodzi tojednakdlaL>2[4].Maksymalnieniekompatybilnepomiarymogbyjednakzawszeznalezionedladowolnego L, jeli ograniczymy si do [A[ = 2 wynikw pomiarw.Wiadomo wic, e istniej dowolnie due zbiory pomiarw dychotomicznychdajcych maksymalnie silne relacje. Wiadomo te, e w przestrzeniach wysokowy-miarowych wybieranie baz losowo rwnie moe prowadzi do do silnych relacji.Nie znamy jednak odpowiedzi czasem na proste pytania, nie wiadomo w szczegl-noci, czy istniej 3 pomiary z 3 moliwymi wynikami (dla wymiaru przestrzenid > 2) ktre s maksymalnie niekompatybilne wzgldem entropii Shannona.Istniej 2 podstawowe sposoby konstrukcji baz wzajemnie rwnych. Pierwszai bardziej powszechna korzysta z uoglnionych macierzy Pauliego. Druga opierasi na tzw. kwadratach aciskich.4.3.5 Pewne uoglnieniaIstniejewielemocniejszychlubbardziejoglnychsformuowaentropowychza-sadnieoznaczonoci.Wtympodrozdzialeprzedstawionezostantenajbardziejznane.Silniejsze relacje oraz inne entropieW pewnych sytuacjach mona znalesilniejsze ograniczenia dla sformuowania(4.3). Taka silniejsza relacja istnieje na przykad dla pomiarw na kubitach [76].Inne wzmocnienia relacji Maassena i Unka otrzymano w [165].Silniejsze ograniczenia dla relacji (4.3) mona te otrzyma (dla kubitw) sto-sujcjawn minimalizacjzwizaminarzuconymi przezrelacjnieoznaczonociROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ56Landaua-Pollaka. Opisane to zostanie w czci 4.4.2.Oprcz najpopularniejszego sformuowania relacji nieoznaczonoci za pomoc en-tropii Shannona, Maasseni Unk(wzmacniajcrezultatLandauai Pollackaz1961 r.) pokazali, e relacja Deutscha zachodzi rwnie dla wczeniej zdeniowa-nej tzw. entropii minimalnej (min-entropy):12 (H(/, [) +H(B, [)) , log_1 +c(/, B)2_, (4.15)gdzie:H(PX) = log maxxXPX(x). (4.16)Dla pewnychpomiarwograniczenie dolne jest osigalne dla pewnego stanuczystego [(czyli jestciasne). Rozwamynp. 2wzajemnierwnebazydlapomiarwnakubitach. Bazami takimi swszczeglnoci bazaobliczeniowa:/ = [0 , [1 oraz tzw. baza Hadamarda: B = [+ , [.Cowicej,udaosi[94]udowodnirelacjenieoznaczonocidlaentropiimi-nimalnejipomiarwodpowiadajcychwzajemnierwnymbazom.Wdowodziekorzysta si z istnienia pewnych wasnoci symetrii takich baz. Relacja ta dotyczydowolnej, w oglnoci wikszej ni 2 liczby pomiarw. Zostanie wic przedstawio-na w podrozdziale 4.3.5.Istnieje wiele sformuowa uywajcych entropii Renyiego. Najwczeniej otrzy-man relacj tego typu jest:12 (H(/, ) +H(B, )) , log c(/B), (4.17)gdzie indeksy is wzajemnie sprzone: > 1, =(2 1)< 1.W granicy, 1 otrzymujemy rezultat dla entropii Shannona. Wynik tenzosta otrzymany przez Maassena i Unka. Mona sprawdzi bezporednimi obli-czeniami, e dla baz wzajemnie zrwnowaonych, stanami osigajcymi powyszedolne ograniczenie s stany tworzce bazy pomiarowe.Pewne silne relacje wyraone za pomoc sumy entropii Renyiego i oglnychpomiarwPOVMopisaneswpracy[127].Otrzymanotamograniczeniadolnezalene od stanu, jak i pewne sabsze, niezalene od stanu kwantowego.RelacjenieoznaczonocidlaentropiiTsallisaotrzymanodlapomiarwpoo-enia i pdu, ale rwnie dla pomiarw PVM na kubitach [93].Dla sumy entropii Tsallisa wyraajcej niepewno dotyczc wynikw 2 nie-kompatybilnych pomiarw odkryto pewien ciekawy efekt [91]. Mianowicie zacho-dzi (co najmniej dla pomiarw na kubitach) pewna sprzeczno midzy wnioskamiopartymi na rnych wyborach parametrwq. Stany, dla ktrych suma entropii(dlategosamegoparametruq1)jestminimalna,mogbystanamidlaktrychROZDZIA 4. RELACJE NIEOZNACZONOCI W MECHANICE KWANTOWEJ57przy innym wyborze parametru q2 otrzymuje si maksymaln niepewno pomia-rw.Inne relacje dla entropii Tsallisa i oglnych pomiarw POVM otrzymano rw-nie w pracy [127].Stany mieszaneZapomocbardzooglnegorozumowania(prowadzcegoprzedewszystkimdowynikw prezentowanych w czci 4.3.6) otrzymano silniejsze relacje nieoznaczo-noci dla stanw mieszanych. W szczeglnoci s to silniejsze relacje typu Maasse-na i Unka dla 2 dowolnych pomiarw POVM (z czego jeden musi by pomiaremrzdu 1) [85]. Ograniczenie dolne jest wiksze precyzyjnie o warto entropii vonNeumanna stanu, na ktrym dokonywany jest pomiar. W ten sam sposb monawzmocni wynik S`anchez-Ruiz [76].Pomiary POVMEntropowa relacja nieoznaczonoci Maassena i Unka zostaa uoglniona do po